Article rédigé par : Zakaria AJANA
Le principe d'un prêt bancaire est qu'il n'est pas remboursable en une seule fois, mais sur des périodes. En effet, le remboursement d'un capital prêté se fait généralement sur des versements successifs. Il faut donc maîtriser le calcul des intérêts produits de ce prêt. Éclairage.
Nous appelons annuités une suite de flux monétaires réglés à intervalles de temps égaux. Le terme annuité renvoi à un autre terme "année" donc nous réservons usuellement le terme annuité pour une périodicité annuelle.
Si la période étudiée est différente de l'année, il est recommandé de remplacer ce terme et d'utiliser plutôt des termes précis comme « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité.»
L'objectif de l'étude des annuités est de déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise d'une suite de flux monétaire, à une date donnée. L'étude considère plusieurs paramètres : la date du premier flux, la périodicité de flux, le nombre de flux et enfin la valeur (le montant) de chaque flux.
Remarque : nous parlons dans ce cas d’annuités constantes quand les annuités sont égales, par contre, quand leur montant varie d’une période à une autre, nous les appelons des annuités variables.
La date de versement des annuités coïncide soit avec le début de période ou la fin de période.
Les annuités peuvent être qualifiées de “ certaines” si leur nombre est connu à l’avance, par contre, elles sont dites aléatoires ou viagères, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat. Dans le cas où le nombre des annuités est illimité, nous parlons des annuités perpétuelles.
Exemple 1. Un épargnant place chaque mois 20 000 Dhs sur son compte-épargne. Il est facile de déduire que la suite d’annuités est certaine et d'une périodicité mensuelle.
Exemple 2. Une personne a bénéficié d'un prêt sur un an, il aura à rembourser une partie après deux mois, une partie après quatre mois et le reste après un an.
les périodes : la période est de deux mois avant le premier versement, de deux mois entre le premier et le deuxième versement et de huit mois entre le deuxième et le dernier versement.
La suite d’annuités est donc aléatoire.
Une suite d’annuité constantes à une val dépend de la date de versement (début ou fin de période)
La somme des annuités (V) exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité est appelée une valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période.
Cette valeur est exprimée par la formule : Vn= a x [(1+i)^n - 1/i]
Avec :
Vn : la valeur acquise par la suite des annuités
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
Nous appelons la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date originale.
La formule : V0=ax[1-(1+i)^-n /i]
Avec :
Vo : la valeur actuelle par la suite des annuités
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes ou annuités
i : le taux d'intérêt par période de capitalisation
Si nous considérons que les flux sont versés en début de période, nous avons la formule suivante :
Vn= ax(a+i)xΣ(1 + (1+i)^n-k) avec K de n jusqu’à 1
Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison géométrique (1+i)
On déduit alors cette formule :
V0=ax(1+i)x[(1+i)^n - 1/i]
Un emprunt indivis est un emprunt fait auprès d’un seul prêteur. Nous allons étudier le cas où le prêteur accorde à l’emprunteur un capital pour une durée fixée à l’avance, et où l’emprunteur rembourse ce capital sur des échéances périodiques. Le remboursement comprend bien sûr les intérêts.
Quand il s’agit du remboursement, il faut faire la différence lors de chaque annuité entre :
Nous appelons la période de remboursement P, et Ap est l’annuité ou le montant de remboursement sur la période P
Nous aurons cette formule :
Ap = Ip+ Mp Avec Ip l'intérêt crée sur la période P et Mp l’amortissement de la période.
Exemple :
Un capital noté D0 emprunté à un taux d’intérêt i, le i est l’intérêt par période. La durée de l’emprunt est divisée sur n périodes.
À chaque début de période p, on a une dette Dp−1 (la somme qui reste due) cette somme crée un intérêt Ip = Dp−1i pendant la période. À la fin de la période, le bénéficiaire de l ’emprunt rembourse l’annuité Ap et paye l’intérêt Ip pour procéder au remboursement de la dette : Ap = Ip + Mp.
Nous obtenons alors la dette de début de période p + 1 est alors Dp = Dp−1 −Mp
Dans la pratique, votre banquier est en mesure de vous donner le tableau d'amortissement pour différentes raisons. Ce tableau est un outil qui montre la somme due par l'emprunteur à chaque échéance (data clé) en détaillant la répartition du remboursement entre le capital, les intérêts, la prime des probables assurances et le capital restant dû à chaque échéance.
La somme totale remboursée est égale à la somme de toutes les annuités versées.
Nous avons cette formule :
S = A1+ A2+A3+.......An
D’une autre part la somme empruntée au début de la période est D0
Le coût de l’emprunt est A1+ A2+A3+.......An − D0
Somme restant à payer :
Quelle est alors la somme qui reste à payer au début de la période p +1 ?
Cette somme est la valeur actuelle des n−p annuités restantes, autrement dit, la somme que l'emprunteur va rembourser par les n−p annuités restantes. L'intérêt est bien sûr inclus dans ces annuités.
Somme empruntée
La somme D0 due en début de première période.
Nous aurons cette formule : D0= Σ AK(1+i)^-k
Avec Ak les remboursements sur la période K, K est compris entre 1 et n
Amortissement
Nous pouvons relier l’amortissement d’une période à l’amortissement de la période précédente.
Mp+1 = (1+ i)Mp + Ap+1 − Ap.
Remarque :
Dans un emprunt par annuité constante, les amortissements sont ensuite géométriques de raison 1+ i
Donc :
Mp+1 = (1+ i)Mp.
Le remboursement d’un prêt se fait avec des annuités constantes ou variables, les calculs suivent alors les formules définis sur ce cours.
Le but du tableau d’amortissement est de monter le capital restant pour chaque échéance.
Dans la vie pratique, quand vous empruntez pour acquérir un bien immobilier ou autre, vous pouvez à tout moment demander le tableau d’amortissement à votre banquier, ce tableau est produit par la banque et suit les mêmes méthodes de calcul.
Avec la maîtrise de méthodes exposées dans ce cours, vous pouvez toujours vérifier derrières un emprunteur
