Cours d’introduction aux mathematiques financieres
Cours d’introduction aux mathématiques financières
CHAPITRE I : Les intérêts
Se reporter au poly. du cours.
Exemple A : Valeur acquise :
On place, le 9/10/00, un capital de 12500 F au taux annuel de 5% durant 3 mois.
Valeur acquise ?
Vo (capital) = 12500
Vn (valeur acquise) = Vo + I (intérêts)
Soit Vn = 12500 + ((12500 x 5%) x 3/12)) on applique un prorata temporis, puisqu’il s’agit d’un taux annuel.
Vn = 12500 + 156.25 = 12656.25
Exercices : se reporter au poly. pour l’énoncé.
N° 1 Vo = 2000 I= 4.5% l’an
Calculer la valeur acquise Vn et les intérêts :
a/ I = Vn x taux (1 an)
2000 x 4.5% = 90 d’intérêt
2000 + 90 = 2090 valeur acquise
b/ I = Vn x taux x n (temps) 3 mois
(2000 x 4.5%) x 3/12 = 22.5 d’intérêt
2000 + 22.5 = 2022.5 valeur acquise
c/ Placement du 1/06 au 20/08
I = (2000 x 4.5%) x ((30-1)+31+20) / 360 = 20
Vn = 2000 + 20 = 2020
Pour l’année on prend 360 jrs, mais on prend les mois avec le nombre réel de jours.
N° 2 Vo = 7645 taux annuel 8% du 17/03 au 05/09
I = (7645 x 8%) x ((31-17)+30+31+30+31+31+5)/360
I = 611.6 x (172/360) = 292.21
N° 3 intérêt calculé par quinzaine
Vo = 9800 depot le 18/08 Vn au 27/12 ?
Les intérêt cours à partir du 1 septembre jusqu’au 15 décembre
Soit 7 quinzaines
Vn = 9800 + (9800 x 3.5% x(7/24))
Vn = 9800 + 100.04 = 9900.04
N° 4 Diverses opérations réalisées sur un Codevi.
(taux calculé à la quinzaine, cf n° 3)
Calculer les intérêt acquis au 1 septembre.
Méthodes possibles :
Par les soldes :
01/01/01 – 15/03/01 I = 10000 x 3.5% x (5/24) = 72.92 dépot 10000
16/03/01 – 15/05/01 I = 11000 x 3.5% x (4/24) = 64.17 depot 1000
16/05/01 – 30/06/01 I = 12000 x 3.5% x (3/24) = 52.50 dépot 1000
01/07/01 – 15/08/01 I = 11500 x 3.5% x (3/24) = 50.31 retrait 500
16/0801 – 31/08/01 I = 10700 x 3.5% x (1/24) = 15.60 retrait 800
______
total 255.50
Par les flux :
+ I1 = 10000 x 3.5% x 16/24 = 233.33
+ I2 = 1000 x 3.5% x 11/24 = 16.04
+ I3 = 1000 x 3.5% x 7/24 = 10.20
- I4 = 500 x 3.5% x 4/24 = - 2.91
- I5 = 800 x 3.5% x 1/24 = - 1.16 Soit au total 255.5
N° 5 Jour de valeur
a/ Valeur acquise au 27/11 d’un placement de 4832 F à 4.75% depuis le 3/06
((30-(3+2))+31+31+30+31+(27-1)) soit 174 jours
Vn = 4832 + (4832 x 4.75%) x 174/360 = 4832 +110.93 = 4942.93
b/ Valeur nette sur le compte rémunéré
I1 = 4000 x 5% x ((31-(5+2)+28+31+30+31+30+31+31+(10-1))/360= 136.11
-I2 = 1000 x 5% x ((30-(20-1))+31+31+9)/360 = - 11.38
+I3 = 400 x 5% x (30-(8+2)+31+(27-1))/360 = 4.27
Total intérêt 136.11-11.38+4.27 = 129 soit une valeur nette sur le compte de 3529
N° 6 Compte épargne rémunéré à la quinzaine Taux 4.5%
1/ intérêts par soldes
Dte Opé | Dte Int | Montant | Période | Calcul | INTERET |
01/06 | 01/06 | 10000 | 01/06-15/06 | 10000*4.5%*1/24 | 18.75 |
13/06 | 16/06 | 12000 | 16/06-30/06 | 12000*4.5%*1/24 | 22.50 |
16/06 | 16/16 | ||||
29/06 | 16/06 | ||||
05/07 | 01/07 | 10500 | 01/07-15/07 | 10500*4.5%*1/24 | 19.69 |
15/07 | 16/07 | 14500 | A partir du 16/07 | ||
Total | 60.94 |
Solde à retirer le 17/07 14500 + 60.97 = 14560.94
2/ avec jours de banque (+3/-3)
Dte Valeur | Dte Int | Solde | Calcul | INTERET |
04/06 | 16/06-30/06 | 9000 | 9000*4.5%*1/24 | 16.87 |
16/06 | 16/06 | 10500 | 10500*4.5%*1/24 | 19.69 |
19/06 | 01/07-15/07 | |||
26/06 | 16/06 | |||
02/07 | 01/07 | |||
18/07 | 01/08 | |||
Total | 36.56 |
Solde à retirer le 17/07 10500 + 36.56 = 10536.56
Exemple B : L’escompte
10/10 20/11 10/01
Vente escompte Vn 15780
Escompte 15780 x 9% x ((30-20)+31+10)/360 = 201.20
Commission d’endos 15780 x 1.5% x 51/360 = 33.53
Commission service 8 x 1.196 = 9.57
Total AGIOS 244.30
Net Perçu = Vn – Agios 15780 – 244.30 = 15535.70
Valeur actuelle = Vn – escompte = 15780 – 201.20 = 15578.80
Taux Réel d’Escompte (t)
Agios = Vn x t x n 244.30 = 15780 x t x 51/360 = 10.93%
Taux de Revient
Agios = Net Perçu x t x n
244.30 = 15535.70 x t x 51/360 = 11.10%
N° 7 Effet escompté
a/ Calculer la valeur actuelle
15/03 20/06 09/10
Escompte = 2399 x 10% x ((30-20)+31+31+30+9)/360 = 73.97
Valeur actuelle = Vn – escompte
Valeur actuelle = 2399 + 73.97 = 2325.03
b/ Calculer le montant reçu, le tx d’escompte réel et le tx de revient
Escompte = 2399 x 10% x ((30-20)+31+31+30+9)/360 = 73.97
Commission service 10 F
TVA 1.96
Total Agios 85.93
Net perçu 2399 – 85.93 = 2313.07
Taux réel 85.93 = 2399 x t x 111/360 = 11.61%
Taux de revient 85.93 = 2313.07 x t x 111/360 = 12.05%
N° 8 Escompte
1/ calcul des agios de la banque A
Escompte 48450 x 7.5% x 48/360 = 484.50
Endos 48450 x 0.5% x 48/360 = 32.30
Service 8 x 1.196 = 9.57
Total AGIOS = 526.37
Net Perçu 48450 – 526.37 = 47923.63
Taux de revient 526.37 = 48450 x t x 48/360 = 8.15 %
Taux réel 526.37 = 47923.63 x t x 48/360 = 8.23 %
2/ Le taux réel de la banque A est de 8.15 %
c’est cette banque qui présente le taux le plus bas
3/ Le taux de revient est de 8.23 %
L’entreprise a tout intérêt à réaliser un emprunt, en effet le taux proposé est de 8.10%.
Ce qui nous donne des agios de : 47923.63 * 8.10% * 48/360 = 517.57
Exemple C : Equivalence d’effet ou capital :
30/09 N1 20/10 23/12 31/01
Vn = 30000+20000
Vn ? Valeur actuelle du nouvel effet = Valeur Actuelle 1er + Valeur actuelle du 2e
Valeurs actuelle des anciens effets = (Vn1 – escpte 1) + (Vn2 – escpte 2)
= (30000 – (30000 * 8% * ((31+30+20)/360)) +
(20000 – (20000 * 8% * ((31+30+31+31)/360))
= 48913.33
Valeur actuelle du nouvel effet escompté = Vn – Vn * 8% * n/360 = 48913.33
48913.33 = Vn – Vn * 8% * (31+30+23)/360
Vn (1 – 8% (31+30+23)/360 = 48913.33
Vn = (48913.33 /(1 – (8% *(84/360)))) = 49843.75
2e Solution Vn = 30000 + 20000 = 50000
50000 – 50000 * 8% * N/360 = 48913.33
N = ( 50000 – 48913.33) * 360 /(50000 * 8%) = 97.8 +/- 98 jours
Date d’échéeance = 30/09/00 + 98 jrs = 06/01/01
N° 9 Decompte valeurs remise à l’escompte
Taux à retenir Taux de base bancaire (TBB) 9.5% + tx escompte 1.4 = 10.90%
Nbres de jours mini 10 : Escompte mini 10
Effets | Nb Jrs réels | Nb jrs retenus | Escompte | Escompte retenu |
8412 | 6 | 10 | 8412*10.90* 10/360 = 25.47 | 25.47 |
2560 | 9 | 10 | 2560*10.90* 10/360 = 7.75 | 10 |
1140 | 17 | 17 | 1140*10.90* 17/360 = 5.86 | 10 |
7934 | 38 | 38 | 7934*10.90* 38/360 = 91.28 | 91.28 |
Total des effets (8412+2560+1140+7934) = 20046
Total des escomptes (25.47+10+10+91.28)= 136.76
Net perçu 20000 – 136.76 – (4*11*1.196) = 19856.62
N°10 Règlement d’escomptes
Taux 0.75% mois ou 9%
Taux endos 0.75% an
Service 11F
42285 36987
6/09 10/11 8/01 20/03
(42285-(42285*9%*(65/360)) + (36987-(36987*9%*(195/360))
Somme des Vo des anciens effets
Vn = (42285 – 687.13) + (36987 – 1803.12) = 76781.75
1/ calculer la valeur nominale du nouvel effet
Vo nouvelle au 8/01 Vn – escompte
76781.75 = Vn – Vn *9% * 124/360
Vn = 79238.13
2/ calculer l’échéance moyenne
Vn = Somme des anciens effets = 79272
Vo nouvel effet = 79272 –79272 * 9% * n/360 = 76781.13
ð (79272 –76781.75) / (79272 *(9%/360)) = +/- 126 jrs = 10/01
N° 11
Somme Vo anciens effets = (30000 – 30000 * 9% * ((1+30)/360) +
(20000 – 20000 * 9% * ((1+30+31)/360)) = 49457.50
1/ Vn ?
Vo nouvelle = Vn – Vn *9% * ((1+30+30)/360)) = somme Vo anciens = 49457.50
Vn = 50223.41
2/ Vn = 50000 (30000+20000)
50000 – 50000 * 9% * n/360 = 49457.50
=> +/- 44 jours 13 octobre
N° 12
Achat au comptant 4000 * 95 % = 3800
Remise de 5% pour paiement comptant
Achat à crédit
1600 + ((2400/24) * 1.2) ( 1- i * 1/12) + 120(1 – i * 2/12) …+120 (1-i *24/12)
1600 + 120 * 24 – 120 (i/12) ( 1+2+...+24)
3800 = 1600 + 120*24 –120*(i/12) * (24*25)/2 = 22.67% = i
INTERETS COMPOSES
Exemple A
Soit 15720 f placé pendant 3 à 5%, puis pendant 3ans et 5 mois.
Vn = Vo * (1 + i)n
1/ Vn = 15720 * (1 + 0.05)3= 18197.86
2/ Vn = 15720 * (1 +0.05) (41/12) = 18571.60
On prend ici le nombre de mois soit 3 * 12 + 5 que l’on divise par 12 pour ramener à l’année.
Exemple B
Vo = Vn * ( 1+ i ) -n
18629.40 = Vn * (1 + 0.03) –2 = 18629.40 / 1.0609 = 17560
Exemple C Convertion de taux
Taux mensuel 12% / 12 = 1% Tx propor mens (1+ 0.12) 1/12 – 1 = 0.949%
Tx Trimest 12% / 4 = 3% Tx propor trim (1+0.12) ¼ - 1 = 2.87 %
Exemple D
Somme Vo anciens effets = 30000 * (1.05) –(1+3/12) + 20000 * (1.05) –3
= 45501.79
ð Vn ?
Vo = Vn (1.05) –2= Vo anciens effets = 45501.79
ð Vn = 50165.72 (45501.79 * (1.05) –2)
Vn = 30000 + 20000 = 50000 Date échéance ?
Vo nouvelle = 50000 (1.05) –n = Vo anciens effets = 45501.79
ð (1.05) –n = 45501.79/50000 => -n ln (1.05) =>
ð ln ( 45501.79/50000) = 1.93 ans
ð soit 1 an et 11 mois vers le 28/02
ln (45501.79/50000) / ln (1.05) = 1.93
Exercice N°1
Capital 240000 Tx = 7.6% pendant 7 ans et 9 mois
24000 * (1.076) 93/12 = 42340.53
Exercice N° 2
Capital 7600 à taux variable
7600 * (1.045)14/12 = 8000.48
8000.48 * (1.06) 17/12 = 8688.92
8688.92 * (1.055)6/12 = 8924.67
8924.67 * (1.065)11/12 = 9455.02
Exercice N° 3
Valeur actuelle d’un effet de 25000f payable dans 3 ans….
Vn = 25000 tx = 10% n = 3
Vo = Vn * (1 + tx) n
Vo = 25000 * (1 + 0.10) 3 = 18782.87
Exercice N° 4
Quel est le taux semestriel, mensuel équivalent au taux annuel de 6% ?
Rappel formule (1 + tx annuel) 1 = (1 + tx semestr ) 2
Soit un tx semestriel de (1.06) ½- 1 = 2.96 %
Soit un taux mensuel de (1.06) 1/12 – 1 = 0.49 %
Exercice n° 7
Voir poly pour l’énoncé Vo =280000 tx semest = 3.25%
a/ Valeur acquise au 28/02/2004
nombres de semestres = 8
Vn = 280000 * (1+ 0.0325) 8
Vn = 361641.71
b/ Montant si capitalisation annuelle ? tx annuel 6.5%
Vo =280000 tx = 6.5%
Vn = 280000 * ( 1 + 0.065) 4
Vn = 360210.58
c/ le calcul est fait avec deux types de taux différents, un proportionnel et un équivalent
Exercice n° 8
Règlement par anticipation d’une dette
Vo = 460000 tx = 8%
Vo = 460000 * ( 1 + 0.08) –4 (l’exposant est ici négatif puisque l’on règle avec anticipation, on remonte le temps)
Vo = 338113.73
Exercice n° 9
Règlement de plusieurs dettes en un seul règlement.
a/
12000 16000 20000
01/06/00 01/09/00 01/11/00 01/03/01
On remarque ici que deux des effets seront réglés par anticipation (16000 et 20000)
Il faut calculer la nouvelle valeur de chacun des effets.
Vo1 = 12000 * ( 1 + 0.065) 3/12 = 12190.42
Vo2 = 16000 * ( 1 + 0.065) –2/12= 15832.95
Vo3 = 20000 * ( 1 + 0.065) –6/12 = 19380.06
Règlement total par anticipation = 12190.42 + 15832.95 + 19380.06 = 47403.43
b/ Echéance moyenne ?
Vo anciens effets = 48000 * (1 + 0.065) –4
47403.43 = 48000 * ( 1+ 0.065 ) –n
n = -log (47403.43/48000) /log (1.065) = +/- 0.198
soit 12 * 0.198 = 2. 37 soit 0.37 * 30 = +/- 11 donc 2 mois et 11 jours (11/11/00)
ANNUITES
Exemple E
Annuités constantes a = 1000
15/09/00 15/09/01 15/09/02 15/09/03 04
a a a a a
a/ Vn au 15/09/2003 ?
Vn = a * (1 + i) n – 1 n = nombre de placement
i
Vn = 1000 * (1.05)4 –1 = 4310.13
0.05
Vn au 15/09/2004
Vn (15/09/03) * (1 + i )
Vn = 4310.13 * 1.05 = 4525.64
b/ Versements en progression géométrique de raison 1.2
00 01 02 03 04
a aq aq2 aq3 aq4
Vn = a * (1 + i) n - qn n = nombre de placement
(1 + i) – q q = la raison
Vn au 15/09/03
Vn = 1000 * (1 + 0.05)4 –1.24 = 5720.63
(1 + 0.05) – 1.2
Vn au 15/09/04
5720.63 * (1.05) = 6006.66
c/ Versements en progression arithmétique
Vn = (1 + i) n – 1 * (a + r) - (n * r) r la raison
i i i
00 01 02 03 04
a a+r a+2r a+3r a+4r
n nombre d’annuités = 4
r raison = 200
a = 1ere annuités = 1000
Vn = (1.05) 4 – 1 * (1000 + 200) – (4 * 200) = 5550.63
0.05 0.05 0.05
Exercice n° 11
15/10/00 15/10/01 15/10/02 15/10/03
2350 2350 2350 2350
a/ Vn = 2350 * (1 + 0.075)4 - 1 = 105011.37 Vn au 15/10/2003
0.075
b/ Vo au 15/10/99
Vn = (1+ i) –4 = 10511.37 (1.075) –4= 7870.92
Exercice supplémentaire
On veut K au 17/09/05 de 25000 F
En faisant des placements semestriels constants tout les 17/10 et 17/04
Semestrialisation avec un taux annuel de 6.5%
17/10/00 17/04/00 17/10/01 17/04/01 ;;;;;
Nombre de semestrialités n ? = 10 (5ans * 2)
Tx semestriel équivalent ?
(1 + 0.065)1 = (1 + tx semes)2
tx semest = (1 +0.065) ½ - 1 = 3.20 %
Semestrialités (S)
Vn = S * (1 + i) n– 1
I
Avec Vn = 25000
I = tx semest = 3.20%
N = nb de semest = 10
S = Vn i = 25000 * 0.032 = 2160.75
(1 + i)n – 1 (1.032)10 – 1
CHAPITRE II : EMPRUNTS INDIVIS
I EXEMPLE Cas général
Tableau de remboursement
K emprunté = Vo = 20000 F
Durée emprunt = n = 4 ans
Taux annuel = i = 3.5%
Tableau de remboursement (ou amortissement) de l’emprunt.
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1 2 3 4 | Vo 20000 Vo 17700 Vo 13319.50 Vo 8785.68 | 700 619.5 466.18 307.5 | 2300 4380.50 4533.82 8785.68 | 3000 5000 5000 9093.18 | 17700 13319.5 8785.68 |
I1 = 20000 * 3.5% = 700
M1 (1er amortissement) = a1 – I1 = 3000 – 700 = 2300
K1 de fin = 20000 – 2300
Relation :
1/ K emprunté Vo
è Vo = å amortissements
20000 = 2300 + 4380.50 + 4533.82 + 8785.68
è Vo = valeur actuelle de la suite d’annuités
20000 = 3000 * (1.035) –1 + 5000 * (1.035) –2 + 5000 * (1.035) –3 +
9093.18 * (1.035) –4
2/ Dernière annuités an
an = (Intérêt de n) + (Amortissement de n)
= In + Mn = (Mn * i) + Mn = Mn * (1 + i)
Le dernier amortissement = K restant du.
3/ Capital restant du après paiement de la x0 annuité : Dx
K du après paiement de la 2e Annuité : D2
ð D2 = å amortissement restant = 4533.82 + 8785.68
ð D2 = Vo - å amortissement déjà payés = 20000 – (2300 + 4380.50)
ð D2 = å Valeurs actuelles des annuités restantes
= 5000 * (1.035) –1 + 9093.18 * (1.035) -2
ð D2 = Valeurs en fin de 2e année de Vo - å valeurs en fin de 2e année des annuités payées.
= 20000 * (1.035) 2 – (3000 * (1.035) 1 + 5000 * (1.035) 0)
II CAS PARTICULIERS : Le capital est remboursé in fine (en fin)
Exemple :
1/
Vo = 100000
Durée n = 5 ans
Taux i = 9%
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1 2 3 4 5 | 100000 100000 100000 100000 100000 | 9000 9000 9000 9000 9000 | 100000 | 9000 9000 9000 9000 109000 | 100000 100000 100000 100000 |
Peu d’intérêt de faire un tableau
Différentes annuités : 1er à 4e a = I = Vo i = 9000
5e a = I + M = (Vo I) + Vo = 9000 + 100000
2/ Différentes annuités : 1er à 4e a = 0
5e a = I + Vo = Vn = Vo (1 +i) n=
100000 * (1.09) 5 = 153862.39
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1 2 3 4 5 | 100000 109000 118810 129510.9 141158.16 | 53862.40 | 100000 | 153862.40 | 109000 118810 129502.9 141158.16 |
III CAS CLASSIQUE
A/ Amortissement constant
Vo = å amortissement = nM
ak = Ik + M = (Dk– 1 * i) + M
ak+ 1 = Ik+ 1 + M = (Dk * i) + M = (Dk– 1 – M) i + M
= Dk-1 I – Mi + M = ak – Mi
B/ Anuités constantes
ak = a = Dk– 1 * i + Mk
ak+ 1 = a = Dk * i + Mk+1 = (Dk– 1 – Mk) i + Mk+1
Dk-1 i + Mk = Dk– 1 * i - Mki + Mk+1
Mk (1 + i) = Mk+1
EXERCICE : Cas Classique :
Vo = 300000 € Date emprunt 01/05/99 date 1er semestre = 01/11/1999 (à corriger sur le poly)
i= 9.5% annuel
n = 6 semestres
A/ Remboursement Amortissement constant
K restant du après la 4e semestrialité
ð calcul du Taux semestriel équivalent
(1 + i)1 = (1 + 0.095)2 = (1 + 0.095) ½ -1 = 4.64%
300000 / 6 = 50000 € soit M
1/ K restant du après la 4e semestrialité
D4 = å amortissement restant = 2 x M = 100000 €
2/
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1 2 3 4 5 6 | 300000 250000 200000 150000 100000 50000 | 13920 11600 9280 6960 4640 2320 | 50000 50000 50000 50000 50000 50000 | 63920 61600 59280 56960 54640 52320 | 250000 200000 150000 100000 50000 |
B/ Remboursement par Semestrialité constantes
ð calcul du Taux semestriel équivalent
(1 + i)1 = (1 + 0.095)2 = (1 + 0.095) ½ -1 = 4.64%
1/ Quel est le capital restant du après la 4eme semestrialité
a = Vo t____
1 – (1+t)-n
a= 300000 * 4.64%___ = 58426.52 semestrialité constante
1-(1.0464)-6
D4 = valeur actuelle (après 4émé semestrialité) des semestrialités restantes
D4 = a * (1+t)-1+ a * (1+t) -2
Da = 58426.52 * (1.0464) –1 + 58426.52 * (1.0464) –2= 109195.59
2/
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1/5/00 1/11/00 1/5/01 1/11/01 1/5/02 1/11/02 | 300000 255493.48 208921.86 160189.31 109195.57 55835.72 | 13920 11854.90 9693.97 7432.78 5066.67 2590.78 | 46571.62 46571.62 48732.55 50993.74 53359.85 55837.72 | 58426.52 58426.52 58426.52 58426.52 58426.52 58426.52 | 255493.48 208921.86 160189.31 109195.57 55835.72 |
EXERCICE A
Vo = 78600 n = 4 taux = 5%
- remboursement par annuités constantes
a = 78600 * (0.05 / (1-(1.05) -4)) = 22166.13
Année | K dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | K dû fin |
1 2 3 4 | 78600 60363.87 41215.93 21113.6 |