Cours mathematiques financieres approfondies

Cours mathématiques financières approfondies

CH 1. LES INTERETS SIMPLES

X prête de l'argent à Y pendant un temps déterminé. L'intérêt constitue la rémuné­ration du service rendu par X à Y : c'est le loyer de l'argent prêté.

1.  LE CALCUL DE L'INTERET (I)

E Le nombre de jours de placement est calculé :

• soit en dénombrant le nombre de jours réels chaque mois sur une année de 365 j. ;
• soit par mois de 30 jours sur une année de 360 jours (simplification souvent utili­sée dans les relations commerciales).

Exemple

La Sté ABC a effectué les placements ci-dessous.

Calculer l'intérêt acquis et en déduire le taux moyen de placement (année de 365 j.) ?

(1) = 5 000 x t x 1.25 + 4 000 x t x 8/12 + 2 000 x t x 112/365 = 497.05 Þ t = 5.22%

2.  LA VALEUR ACQUISE (V_n) ET LA VALEUR ACTUELLE (V_o)

                               ¾¾+¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾+®

Exemple : Calculer la valeur acquise des 3 placements précédents ?

3.  L'ESCOMPTE DES EFFETS DE COMMERCE (E)

3.1.  La technique de l’escompte

Un effet de commerce (lettre de change, billet à ordre ou warrant) constate l'engagement pris par un débiteur de payer à son créancier à une date déterminée une somme d'argent, montant de la dette qu'il a contractée.

Si le créancier a besoin de cet argent avant l'échéance stipulée, il cédera l'effet de commerce, avec tous les droits qui s'y attachent, à une banque, suivant la technique de l'escompte : le banquier escompteur achète l'effet et se substitue au créancier ; le débiteur paiera au banquier le montant de sa dette à l'échéance fixée. Le banquier verse par avance au créancier la somme qui lui est due, mais avec des intérêts pour prix du service rendu.

Ce moyen de financement qui permet aux entreprises de disposer du montant de leurs créances avant leur échéance constitue une mobilisation de créances.

3.2.  Les agios d'escompte

Vendre un effet de commerce, c’est le négocier. L'acheter, c'est l'escompter.

Le total des intérêts, frais et commissions perçus par la banque en rémunération du crédit qu'elle consent constituent les agios. Les agios d'escompte comportent l'escompte proprement dit et des commissions :

1. L'escompte (E) : il se calcule comme l’intérêt mais à partir de la valeur nominale (Vn) : valeur de l’effet à l’échéance.
2. Les commissions : Elles sont proportionnelles ou fixes et permettent à la banque de récupérer ses frais et de se rétribuer les services qu'elle rend. Généralement, sont perçues :

• une commission d'endos pour couvrir les frais d'endossement des effets : elle se calcule dans les mêmes conditions que l'escompte (proportionnelle au temps) ;
• une commission de service dont le montant par effet est fixe.

S'y ajoutent parfois des commissions spéciales, telle la commission d'acceptation dont le montant est forfaitaire, en rémunération de l'envoi des effets à l'acceptation des tirés. Ces nombreuses commissions sont très fréquemment remplacées par une seule commission forfaitaire, variable selon les banques.

Les agios proportionnels au temps (escompte proprement dit et la commission d’endos) représentent la rémunération d’une opération financière et sont, à ce titre, exonérés de TVA. Seule la commission de service (rémunération du service com­mercial rendu par la banque) est assujettie à la TVA.

Les commissions majorent le taux d'escompte et rendent l'opération coûteuse, surtout si les effets sont de faible valeur nominale. En diminuant la valeur nominale du total des agios on obtient la valeur actuelle(Vo).

Exemple

• Le 10/11, la Sté ABC escompte un effet de 2 000 €, échéance le 31/12.
• Le 13/11, elle reçoit le document ci-dessous.

10/11                                         31/12             Escompter un effet consiste à remettre

¾¾¾¾+¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾+®               un effet à sa banque pour obtenir de la

V_o = 1 973.78                               V_n = 2 000             trésorerie avant l'échéance.

3.3.  Le taux réel d'escompte

C’est le taux de revient pour l’entreprise de l’opération : taux d’escompte majoré des diverses commissions. Il correspond au taux qui, appliqué à la valeur nominale et au temps, donne le total des agios HT = Vn x taux réel x n/360 = S agios HT.

E Calculer le taux réel d'escompte de l’exemple précédent ?                                        (9.20%)

Agios HT = V_n x t x 50/360 Þ (26.22 – 0;66) = 2 000 x t x 50/360Þ t = 9.20%

4.  L'ACTUALISATION ET LES DECISIONS FINANCIERES

La prise de décision sur le plan financier (décision de remplacement ou de choix entre plusieurs modes de règlement...) nécessite souvent de comparer plusieurs valeurs monétaires exprimées à des échéances différentes. Cette comparaison se réalise par le calcul de la valeur actuelle de chaque valeur exprimée dans le temps.

4.1.  Le remplacement d'un mode de règlement

Exemple

La Sté ABC dispose d'un effet de 10 000 €, échéance le 30/11. Le 01/11, GRIMAUD, le tiré, demande un étalement de sa dette. La Sté ABC lui propose la création de 2 effets de montant identique, échéance le 30/11 et le 31/12 (année de 360 j.).

Déterminer la valeur nominale V_n de ces 2 effets  (taux d'escompte 7%) ?            (5 014.71)

01/11                                       30/11                                       31/12

1. Avant                                                      10 000

2. Après                                                         V_n                                            V_n

Le 01/11, il doit y avoir équivalence entre les 2 modes de règlement :

La valeur actuelle avant doit être égale à la valeur actuelle après.

Þ 10 000 - 10 000 x 0.07 x 29/360 = 2V_n -((V_n x 0.07 x 29/360) + (V_n x 0.07 x 59/360))

Þ                                      9 943.61 = 1.9829 V_n               Þ    V_n = 5 014.71€

4.2.  Le choix entre plusieurs modes de règlement

Exemple

Le 30/09/N, en règlement de l'achat d'un matériel (valeur 10 000 HT), la Sté ABC a le choix entre 3 modes de règlement :

1. soit au comptant sous escompte de 2% ;                                                  (9 800.00)
2. soit avec une traite de 10 420 €, échéance 30/11 ;                                   (10 298.43)
3. soit avec 2 traites de 5 200 €, échéances 31/10 et 30/11.                         (10 309.00)

Quel est le règlement le plus avantageux (escompte à 7% ; année de360j.) ?   (1, 2 puis 3)

…

Le mode règlement le plus avantageux est celui pour lequel la valeur actuelle est la plus faible le 30/09 :

V_o1 = 9 800.00

V_o2 = 10 420 - (10 420 x 0.07x 60/360) = 10 298.43

V_o3 = (5 200 - 5 200 x 0.07 x 30/360) + (5 200 - 5 200 x 0.07 x 60/360) = 10 309.00

Þ Le mode de règlement le plus avantageux est le 1°, puis le 2° puis le 3°.

5.  LES COMPTES COURANTS REMUNERES

Ce sont des comptes pour lesquels les opérations créditrices (alimentant le compte) et les opérations débitrices (les prélèvements) portent intérêts.

1. Les comptes courants ouverts dans les établissements financiers

Leur tenue respecte certaines règles (méthode hambourgeoise) :

• les opérations sont classées par dates de valeur croissantes (1) ;
• les intérêts sont calculés sur le temps de placement du solde du compte (nombre de jours de date de valeur séparant deux soldes) ;
• le taux d'intérêt dépend du sens (débiteur ou créditeur) du solde.

 (1) Il faut en effet distinguer la date d'opération (date effective de réalisation de celle-ci) et la date de valeur (la date à partir de laquelle on calcule l'intérêt) :

Exemple : Faire l'exemple 1 page 4.

1. Les comptes courants d'associés

Ils se gèrent dans les mêmes conditions que les précédents.

Exemple : Faire l'exemple 2 page 4.

Exemples sur les comptes courants rémunérés

CH 2. LES INTERETS COMPOSES

Exemple

Soit un placement de 10 000 € à 5% pendant 3 ans :

H1 placement à intérêts simples             H2 placement à intérêts composés.

• Comparer l'évolution de la valeur acquise ?

1.  LA VALEUR ACQUISE (V_n) ET LA VALEUR ACTUELLE (V_o)

Soit :    V_o    = le capital initial ;

V_i     = la valeur acquise à la fin de la période_i ;

t      = l'intérêt de 1 € pour une période de capitalisation ;

n     = le nombre de périodes de capitalisation.

Exemple : Retrouver dans l'exemple précédent le calcul de la valeur acquise à la fin de la 3° période  et le calcul de la valeur actuelle à partir de la valeur précédente (en utilisant les intérêts composés).

V₃ = 10 000 (1.05)³ = 11 576.25V_o = 11 576.25 (1.05)^-3 = 10 000

2.  LES CAS PARTICULIERS

2.1.  La période de capitalisation des intérêts est différente d'un an

Le taux est en principe défini pour une période d'un an. Si la capitalisation des intérêts se réalise sur une période plus courte, il est nécessaire de convertir le taux annuel. Il existe deux méthodes de conversion :

2.1.1.  L'utilisation de taux proportionnels

Deux taux sont proportionnels si leur rapport est égal au rapport de leur période de capitalisation respective (méthode utilisée par les banques).

Exemple : Calculer les taux proportionnels ?

2.1.2.  L'utilisation de taux équivalents

Deux taux sont équivalents si pour une même durée de placement , ils conduisent à une même valeur acquise à intérêts composés (méthode plus précise).

Exemple : Calculer les taux équivalents ?

2.2.  La durée n'est pas égale à un nombre entier de périodes

Exemple : Quelle est au bout de 3 ans et 7 mois la valeur acquise d'un placement de 2 000 € au taux annuel de 5% ?

Il y a deux méthodes de résolution de ce type de problème :

1. Le calcul d'untaux proportionnel pour la durée inférieure à la période de capitali­sation prévue.                                                                                                                   (2 382.78)

V_n = 2 000 (1.05)³ (1+0.05x7/12) = 2 382.78 €

2. Le calcul d'une période de capitalisation proportionnelle pour la durée infé­rieure à la période de capitalisation prévue (méthode des taux équivalents).                               (2 382.09)

V_n = 2 000 (1.05)^3+7/12 = 2 382.09 €

Cette 2^ième méthode donne un résultat plus précis.

2.3.  Les montants sont réguliers et de valeur constante

Lorsque le montant des placements ou des versements sont réguliers (tous les ans, tous les trimestres, ou autre ...) et de valeur constante, le calcul de la valeur acquise et de la valeur actuelle s'effectue différemment (voir le ch.3 sur les annuités et le ch. 4 sur les emprunts).

3.  LES DECISIONS FINANCIERES A INTERETS COMPOSES

Pour prendre des décisions financières, il est nécessaire d'actualiser au jour de la prise de décision les valeurs monétaires exprimées dans le temps (voir le ch.1 §4).

A intérêts composés, l'actualisation des données monétaires est utilisée dans les mê­mes domaines qu'à intérêts simples (choix ou remplacement d'un mode de règle­ment), mais elle permet aussi de mesurer la rentabilité et de définir des critères de choix des investissements (voir le ch.5).

CH 3. LES ANNUITES

On appelle annuités une suite de transactions effectuées à intervalles de temps égaux (ou périodes).

Au sens strict, le terme correspond à des transactions annuelles. Le terme adéquat est fonction de leur périodicité : mensualités, trimestrialités, semestrialités).

Les annuités peuvent être variables ou constantes et les transactions peuvent être effectuées en fin de période (cas des remboursements d'emprunt) ou en début de période (cas des placements avec capitalisation des intérêts).

1.  LES ANNUITES VARIABLES

Soit une série de n annuités variables (a_i) de fin de période :

…

1.1.  Le calcul de la valeur acquise (V_n)

1.2.  Le calcul de la valeur actuelle (V_o)

Exemple

La Sté ABC prévoit de réaliser les surplus de trésorerie suivants :

• 2 000 € fin N+1 ;
• 3 000 € fin N+2 ;
• 5 000 € fin N+3.

1. Calculer la valeur acquise en N+3 (placement au taux de 6%) ?                        (10 427.20)

2. Calculer la valeur actuelle fin N (taux d'actualisation de 6%) ?                             (8 754.88)