Cours mathematiques financieres annuites

Cours mathématiques financières annuités

1.DEFINITION ET CARACTERISTIQUES

On appelle annuités une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de temps égaux.

Le terme « annuité » est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la période  est  différente  de  l’année,  il  est  préférable  de  remplacer  le  terme  « annuité » par « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».

L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque  flux.

Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que lorsque leur montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités  variables.

Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin de  période.

Les annuités peuvent être certaines lorsque leur nombre est connu à l’avance, aléatoires ou viagères, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat ou  enfin  perpétuelles lorsque leur nombre est illimité.

2.LES ANNUITES CONSTANTES

La valeur acquise ou la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes dépend de la date de versement c’est à dire début de période ou fin de  période.

2.1. Les annuites constantes de fin de periode

2.1.1. La valeur acquise

On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le versement de la dernière   annuité.

a                     a                                 a                     a

0                     1                     2                                n-1                  n

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités a   : l’annuité constante de fin de période

n   : le nombre de périodes (d’annuités)

i     : le taux d’intérêt par période de  capitalisation On a alors:

Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 + …..+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1 Vn  = a [ 1 + (1+i) + (1+i)2  + …..+ (1+i)n-2  + (1+i)n-1 ]

a a(1+i)

a(1+i)n-2

a(1+i)n-1

Vn = S

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

(1 + i)n  - 1

Vn     = a

(1+ i) - 1

Le terme (1+ i)n  - 1 i est fourni par la table financière N°3

2.1.2.  La valeur acquise exprimee p periodes apres le dernier versement

a                    a                      a                     a

0                 1                    2                      n-1                  n                 1                   2                p

Vn

Soit      p la valeur acquise de la suite des  annuités constantes  de fin de période exprimée    p périodes après le dernier versement.

Vp  = V

(1 + i) p

n          n

(1+ i) n - 1 (     ) p

Vn  = a         i 1+ i

On peut donc écrire :

(1+ i) n + p - (1 + i) p

Vp  = ai

2.1.3. La valeur actuelle

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date  origine.

a                     a                                a                     a

a(1+i)-1

a(1+i)-2

a(1+i)-n+1 a(1+i)-n

V0  = S

0                     1                     2                                n-1                n-2

Si on note par:

V0 = la valeur actuelle par la suite des annuités a   = l’annuité constante de fin de  période

n   = le nombre de périodes (d’annuités)

i    = le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors:

V0  = a(1+i)-1  + a(1+i)-2  + …..+ a(1+i)-n+1 + a(1+i)-n

V0  = a [ (1+i)-1  + (1+i)-2  + …..+ (1+i)-n+1  + (1+i)-n ]

V0  = a (1+i)-1  [ 1+ (1+i)-1  + …..+ (1+i)-n+2  + (1+i)-n+1 ]

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)-1 et comprenant n termes. La formule devient :

…

2.1.4.  La valeur actuelle exprimee p periode avant la date d'origine

1- (1 + i) - n (     ) - p

V 0  = a

1+ i

V p  = a

(1 + i) - p - (1 + i) - n - p

2.2.   Les annuites constantes de debut de periode

2.2.1.    La valeur acquise

Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique suivant: a          a          a                a

0              1                 2                                n-1                   n

a(1+i) a(1+i)n-2

a(1+i)n-1 a(1+i)n

Vn = a(1+i) + a(1+i)2  + ………..+ a(1+i)n-1  + a(1+i)n

Vn  = a(1+i) [ 1 + (1+i) + (1+i)2  + …..+ (1+i)n-2  + (1+i)n-1 ]

Vn  = S

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

Vn   = a (1 + i) (1 + i)  - 1

(1+ i) - 1

2.2.3.  La valeur actuelle

a a(1+i)-1

a(1+i)-2

a(1+i)-n+1 V0 = S

V0 = a + a(1+i)-1 + a(1+i)-2 + …..+ a(1+i)-n+1 V0  = a [ 1+ (1+i)-1  + (1+i)-2  + …..+ (1+i)-n+1]

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)-1 et comprenant n termes. La formule devient  :

1- (1 + i) - n

V0    = 1- (1 + i) -1

V0    = (1+ i)(1+ i) 1- (1+ i) - n1- (1+ i) -1

2.2.4.  La valeur actuelle exprimee p periode avant la date d'origine

V p  =) - p

 (     ) 1 - (1 + i)     (1+ i) - p

V p  =

0                          i

(1+ i)1-p  -  (1+ i)1- n-p

V p  = i

3.LES ANNUITES VARIABLES

3.1.  Les annuites quelconques

3.1.1. Les annuites quelconques de fin de periode

3.1.1.1.    La valeur acquise

Si on note par:

Vn = la valeur acquise par la suite des annuités. ap     = l’annuité à la date p.

n   = le nombre de périodes (d’annuités)

i     = le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors:

Vn  = an  + an-1(1+i) +……+ a2(1+i)n-2+a1(1+i)n-1

3.1.1.2.    La valeur actuelle

V0  = a1(1+i)-1  + a2(1+i)-2  +……+ an-1(1+i)-n+1+an(1+i)-n

3.1.2. Les annuites quelconques de debut de periode

3.1.2.1.    La valeur acquise

Vn  = an  (1+i) + an-1(1+i)2  +……+ a2  (1+i)n-1+a1 (1+i)n

3.1.2.2.    La valeur actuelle

V0  = a1+ a2(1+i)-1  +……+ an-1(1+i)-n+2+an(1+i)-n+1

3.2.   Les annuites en progression arithmetique

3.2.1.    Les annuites de fin de periode en progression arithmetique

3.2.1.1.    La valeur acquise

Soit une progression arithmétique d’annuités de raison r représentée par le graphique suivant:

a             a+r           a+2r   ……………….      a+(n-2)r     a+(n-1)r

0             1              2              3         ……………….         n-1               n

V   = (a + (n - 1)r ) + (a + (n - 2)r)(1+ i) + ...... + (a + 2r) (1+ i)n-3  + (a + r) (1+ i)n-2  + a (1+ i)n

…

Donc,

Exemple:

Calculer la valeur acquise d’une suite d’annuités de fin de période,  en  progression arithmétique dont les caractéristiques sont les suivantes:

a = 1 000TND

n = 5ans i = 5%

r = 100TND

Solution:

…

3.2.2.   Les annuites de debut de periode en progression arithmetique

3.2.2.1.    La valeur acquise

Vn = (a + (n - 1)r)(1+ i) + (a + (n - 2)r )(1+ i)2 + ...... + (a + 2r)(1+ i)n-2 + (a + r)(1+ i)n-1 + a(1+ i)n

Vn = (1+ i) ´ T(a + (n - 1)r )+ (a + (n - 2)r )(1+ i) + ...... + (a + 2r)(1+ i)n - 3 + (a + r)(1+ i)n - 2 + a(1+ i)n - 1 

 …

On sait que:   V0  = Vn (1+ i)

V    =  (a +   )´ (1+ i) ´

3.3.   Les annuites en progression geometrique

3.3.1.   Les annuites de fin de periode en progression geometrique

3.3.1.1.    La valeur acquise

Soit une progression géométrique d’annuités de fin de période de raison q représentée par le graphique suivant:

Vn = aqn - 1 + aqn - 2 (1+ i) + ..... + aq2 (1+ i)n - 3 + aq(1+ i)n - 2 + a(1+ i)n - 1

V    = a   1+ i n - 1 + q 1+ i n - 2 + q2 1+ i n - 3 + ......... + qn - 2 1+ i  + qn - 1 n              ..,

Suite géométrique de 1er terme (1+ i)n - 1, de raison q´ (1+ i)- 1 = 

…

)     (1+ i)n J

T n            n             n  

V    = a q   - (1 + i)   

q - (1+ i) (1+ i)n J

3.3.1.2.   

La valeur actuelle

On sait que :

alors

V   = V (1+ i)-n

3.3.2.    Les annuites de debut de periode en progression geometrique

3.3.2.1.    La valeur acquise

3.3.2.2.    La valeur actuelle

    a      (      ) qn - (1+ i)n

V    = 0     (1+ i)n

q - (1+ i)

EXERCICES ET PROBLEMES

Exercice 1

Un particulier doit 10000 dinars, 20000 dinars et 30000 dinars respectivement dans un, deux et trois ans. Il désire se libérer de sa dette en deux versements égaux  dans  quatre  et cinq ans.  En supposant un taux de 7%, calculer le montant des versements à  effectuer.

Exercice 2

Pour acheter à crédit un appareil électroménager coûtant 499,155 dinars, on peut s’adresser à deux magasins. Le premier propose le mode de paiement suivant : une suite de 12 mensualités de 44,810 dinars chacune. Le second propose un règlement unique de 579 dinars à la fin de la première année.

1. Déterminer les taux d’intérêt pratiqués par les deux magasins.
2. Quel magasin propose le meilleur mode de paiement ?

Exercice 3

Un couple désire investir. Le mari dépose 250 dinars par mois pendant 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 8,5% capitalisé mensuellement et son épouse, 900 dinars par semestre pendant la même durée à un taux annuel de 10% capitalisé  semestriellement.

1. Lequel des deux placements est plus avantageux que l’autre ?
2. Lequel des deux placements aura accumulé le plus de capital ?
3. Calculer le capital accumulé par le couple.

Exercice 4

Un employé bénéficiant d’une part d’héritage de 100000 dinars reçoit  immédiatement 10000 dinars et une suite de semestrialités de 5000 dinars. Si la banque où cet héritage est déposé lui verse un intérêt capitalisé semestriellement au taux annuel de 1,0025%, on vous demande de déterminer :

1. Le nombre d’années durant lesquels cet employé reçoit des versements de  5000 dinars.
2. Le montant X du versement additionnel ajouté au dernier versement de 5000 dinars lui permettant de recevoir la totalité de sa part d’héritage.
3. Le montant Y du versement effectué six mois après le dernier versement de 5 000 dinars lui permettant de recevoir la totalité de sa part d’héritage.

Exercice 5

Le 01/09/03, une personne décide de verser à un organisme de capitalisation, à des intervalles réguliers égaux à une année, des sommes constantes de montant 1000 dinars chacune au taux d’intérêt annuel de 10%. Le premier versement aura lieu dans une année. La date prévue pour le dernier versement est le 01/09/2019. On vous demande de calculer le montant du capital constitué :

1. A la date du dernier versement.
2. A la date du premier versement.
3. Au 01/09/2023, si cette personne ne retire pas son capital au 01/09/2019.
4. Au 01/09/2023, si cette personne opte pour une date du dernier versement plus éloignée qui devient le 01/09/2023 au lieu du 01/09/2019.

Exercice 6

Afin de disposer d’un capital lui permettant de financer les études supérieures de son fils, monsieur Z décide de déposer tous les trois mois 90,123 dinars, dans un compte bancaire où le taux d’intérêt est capitalisé trimestriellement. Le premier dépôt est effectué à la naissance de l’enfant et le dernier dépôt quand il est âgé de 18  ans.

Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que le banquier informe monsieur Z que le montant du capital constitué lorsque son fils aura 18 ans s’élèvera à 10000  dinars.

Exercice 7

Le directeur de la société Alpina décide de mettre à la disposition de son représentant commercial une voiture de service. A cet effet, il s’est trouvé devant deux éventualités possibles, acheter la voiture ou la louer auprès d’une agence de la  place.

Les conditions de la location:

Un loyer de 300 dinars payé au début de chaque mois pendant 36 mois à la suite desquels on rend la voiture sans frais  additionnels.

Les conditions d’achat:

Le prix d’achat de la même voiture est de 9500 dinars toutes taxes comprises. L’entreprise compte financer cet achat par un emprunt bancaire au taux annuel de 12 % capitalisé mensuellement. Le remboursement de l’emprunt se fera par 36 mensualités égales de début de période. Au bout du 36e mois, la valeur de revente de la voiture est évaluée à 3 000   dinars.

1)  Calculer la mensualité à payer à la banque  prêteuse.

1. Quelle option suggérez-vous à ce directeur ?
2. Que devrait être la valeur de revente de la voiture pour que les deux options (achat ou location) s’équivalent ?

Exercice 8

Le 01 mai de chaque année, une personne verse 20000 dinars capitalisés à 7%. Après avoir effectué 10 versements, elle laisse la somme acquise en banque, pendant 5 ans, au taux de 8%. Au bout des 5 années, elle procède, le premier mai de chaque année, à 10 retraits de 20000 dinars chacun (taux d’intérêt annuel = 7%).

1. Calculer le solde disponible immédiatement après le dernier retrait.
2. Quelle somme constante aurait-il fallu placer pour que ce solde soit nul ?

Exercice 9

Monsieur Taktouk décide aujourd’hui de se constituer une épargne lui permettant d’assurer les dépenses relatives aux études supérieures de son fils ainsi que sa propre pension de retraite.

Son fils Falfoul, âgé aujourd’hui de 10 ans, aura besoin de 4000 dinars par an, pour assurer ses études supérieures qui débuteront dans 8 ans et dureront 4  ans.

Concernant sa retraite, Taktouk, âgé aujourd’hui de 40 ans, désire bénéficier dans 20 ans d’une pension annuelle égale à 25 000 dinars. Monsieur Taktouk estime sa durée de vie à 80 ans (durée de vie moyenne des hommes en  Tunisie).

En supposant que le taux d’intérêt est égal à 10%, calculer la somme que Taktouk doit épargner annuellement (un premier montant constant durant les 8 premières années et un deuxième montant constant durant les 12 années restantes) pour assurer l’éducation de son fils et sa pension de retraite.

Exercice 10

Le 01/01/N, une personne prévoit son budget pour les deux années à venir. Elle prélèvera sur ses revenus perçus en fin de chaque mois : d’une part 160 dinars par mois pour régler son loyer ; d’autre part 400 dinars d’épargne mensuelle pendant 3 mois, 600 dinars par mois les 6 mois suivants et 750 dinars mensuellement durant la dernière période. Elle pourrait placer ses capitaux au taux d’intérêt annuel de 19,56%.

On vous demande de calculer la valeur du loyer global et de l’épargne totale  :

1. A la date du dernier versement.
2. A la date du premier versement.
3. Trois ans après le dernier versement.

Exercice 11

Une personne effectue 10 versements de 10000 dinars chacun, tous les deux ans au taux d’intérêt annuel de 8,5%.

On vous demande de calculer la valeur du placement global  :

1. A la date du dernier versement.
2. Au moment du premier versement.
3. Deux ans après le denier versement

Exercice 12

Un individu de 38 ans pense à se constituer une retraite personnelle par capitalisation. La phase d’épargne sera constituée par 22 règlements constants, le premier intervenant à la signature du contrat.

La phase de retraite est constituée par des versements annuels qui débuteront lorsque l’individu  aura  60  ans.  Le  contrat  prévoit  25  versements,  le  premier  versement  est  de 15 000 dinars la première année, avec un taux de revalorisation de 2% par an. Le taux d’intérêt annuel est de 5% aussi bien pendant la phase d’épargne que pendant la phase de retraite.

Calculer le montant d’épargne nécessaire.

Réponses:

Exercice 1 :Montant = 34 761,266 dinars.

Exercice 2 :1) ia (1) = 14,98%;

2) Magasin 1.

ia (2) = 16%.

Exercice 3 :1) Le placement effectué par  l’épouse.

2) Le capital accumulé par le mari. 3) C = 16 261,644 dinars.

Exercice 4 :1) 9 ans.

2)  X = 4 524,655 dinars.

3) Y = 4 547,288 dinars.

Exercice 5 :1) V2019  = 35 949,730 dinars.

2) V2004  = 8 606,079 dinars.

3) V2023  = 52 634 dinars.

4) V2023  = 57 275 dinars.

Exercice 6 :i = 4 ,418%.

Exercice 7 :1) 309,877 dinars.

1. Achat.

3) 425,399 dinars.

Exercice 8 :1) 470 118,386 dinars.

2) 7 403,843 dinars.

Exercice 9 :1er  montant = 5 307, 316 dinars ; 2e  montant = 4 087,699  dinars.

Exercice 10 :1) V (abonnement) = 4 581,363 ; V (épargne) = 18 849,833  dinars.

1. V (abonnement) = 3 252,938 ; V (épargne) = 13 384,081 dinars.
2. V (abonnement) = 7 829,832 ; V (épargne) = 32 215,526 dinars.

Exercice 11 :1) V18= 232 024,044 dinars.

2) V0= 53 431,542 dinars.

3) V20= 273 144,505 dinars.

Exercice 12 :6 694,217 dinars.

EXTRAITS DES SUJETS D'EXAMENS

EXAMEN GESTION FINANCIERE SESSION PRINCIPALE 2003/2004

Exercice

Monsieur A désire financer l’achat d’un logement par un prêt auprès de la Banque de l’Habitat au taux de 6,625% sur une durée de vingt ans. Le prêt sera remboursé en mensualités constantes terme échu. En supposant que l’emprunteur a une capacité de remboursement de 105 dinars par mois et que grâce à une épargne qu’il a constitué il peut payer au comptant 4300,950 dinars, quel est le prix du logement qui sera acquis par monsieur A  ?

Réponse:18 460 dinars.

TEST DE CONTROLE CONTINU GESTION FINANCIERE 2003/2004

Exercice

Vous aimeriez avoir 1000000 TND dans 30 ans, au moment de prendre votre  retraite.

1/ Si on suppose que vous avez aujourd’hui 10000 TND, quel rendement (taux d’intérêt) vous faudrait-il pour atteindre votre but.

2/ Quel montant doit-on placer aujourd’hui, si le taux de rendement serait de  13%.

3/ Avant combien d’années auriez-vous du commencer le placement des 10000 TND au taux de 13% pour obtenir à l’échéance 1000000 TND.

4/ Si on suppose que vous avez aujourd’hui 10000 TND, que vous placez au taux de rendement i qui augmente tous les cinq ans de 1%. Calculez i qui au bout d’une durée de placement de 30 ans vous permet d’avoir 1000000  TND.

Réponse:1/ i = 16,6 %

2/ V0  = 25565, 053

3/ n = 37 ans + 8 mois + 5 jours 4/ i = 13,59%

TROISIEME CHAPITRE

LES EMPRUNTS INDIJIIS

ET LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES

1. LES EMPRUNTS INDIVIS

1.1.   Definition

Un emprunt indivis est un emprunt ordinaire faisant l’objet d’un contrat entre un prêteur et un emprunteur. Il n’y a qu’un seul prêteur, il est donc indivisible, d’où le qualificatif  indivis.

Le remboursement de cet emprunt s’effectue généralement, par annuités de fin de période. Chaque annuité est composée de deux  éléments:

Y     Un remboursement d’une partie du capital emprunté, appelé  l’amortissement.

Y     Une partie intérêt calculée sur la base du taux d’intérêt convenu entre les    deux parties et du capital restant dû dépendant.

1.2.   Remboursement d'un emprunt

Le remboursement d’un emprunt dépend du mode d’amortissement utilisé (in fine, par annuités constantes ou par amortissement constant). D’une façon générale le tableau d’amortissement se présente comme suit :

Avec:

C0 : capital restant dû au début de la première année soit le montant de l’emprunt. Ip     : intérêt de la pème  période.

mp : amortissement de la pème période. ap   : annuité de la pème  période.

Cp-1: capital restant dû au début de la  pème   période.

Les amortissements servent à rembourser la dette donc leur somme est égale au capital emprunté:

Après le paiement du nème amortissement mn, le capital restant dû est égal à zéro donc la dette non remboursée avant le paiement de mn  est égale à mn  c’est à dire Cn-1  =  mn

Relation entre deux annuités successives :

ra = mp + p = mp + Cp - 1 ´ i

m           I

l =

p + 1 + p + 1 = mp + 1 + Cp ´i

ap + 1 - ap = mp + 1 - mp + CP x

ap + 1 - ap = mp + 1 - mp (1+ i)

i - Cp - 1x i

1.2.1 Remboursement in fine

Le remboursement du capital d’un emprunt s’effectue en une seule fois, à la fin du contrat. Le montant de l’intérêt (I) versé à chaque échéance, prévue par le contrat, est égal au montant emprunté multiplié par le taux d’intérêt.

Emprunt C0                                                                                         Remboursement C0

TABLEAU D’AMORTISSEMENT

1.2.1    Remboursement par annuites constantes

On a,  a1  = a2  = …. = ap= ….= an  = a

et, a = mn  + In  Û a = mn  + Cn-1 .i Û a = mn  + mn.i

1.2.1.1.    Loi de succession des amortissements

On a : ap + 1 - ap = mp + 1 - mp (1+ i)

Et ap+1 = ap

Alors

D’après la relation précédente, on aura: m2  = m1(1+i)

m3 = m2(1+i) = m1(1+i)² m4  = m3(1+i) = m1(1+i)3

mp  = m1 (1+i)p-1

On a : mn = m1(1+i)n-1 Or, a = mn(1+i)

D ’où, a = m1(1+i)n-1  (1+i) = m1(1+i)n

Donc:

1.2.1.2.    Relation entre CO et le premier amortissement (m1)

C0 = m1 + m2 + m3 + m4 + ......... + mn

C0 = m1 + m1(1+ i) + m1(1+ i)2 + m1(1+ i)3 + ......... + m1(1+ i)n - 1

T                          2             3

0        1

n - 1 

C    = m

 L  + (1+ i) + (1+ i) + (1+ i) + ......... + (1+ i)      J

Et

1.2.1.3.    Relation entre CO et l'annuite constante (a)

La valeur actuelle des annuités = C0

Et,

Exemple :

Le tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par annuités constantes indique que les intérêts payés l’avant dernière année s’élèvent à 12300 dinars et les intérêts payés la dernière année sont égaux à 6300 dinars. Enfin, la différence entre les intérêts de la 1ère année et ceux de la 2ème année s’élève à 4061,040  dinars.

Déterminer i, a, m1  puis C0.

Solution:

On a In-1 = 12300 dinars = Cn-2 . i = (mn-1 +mn).i In  = 6300 dinars = Cn-1. i = mn.i

I1  - I2  = 4061,040 dinars = C0  . i- C1  . i = (C0  - C1  ).i = m1.i

On sait que: mn  = mn-1.(1+i)

…

1+ (1+ i)- 1

12 300

� 12 300 = 6 300 IV1+ (1+ i)- 11       Û (1+ i)- 1 = 12 300 - 1

A                                            6 300

Û 1 = 0,952380952 Û i = 0,05 1+ i

i = 5%

mn  .i = 6300   mn  = 126 000 dinars

a = mn .(1+i) = 126000 (1 + 0,05)a = 132300 dinars I1  - I2  = 4061,040  = C0  . i- C1  . i = (C0  - C1  ).i = m1.i

…

C0  = 1021584 dinars

1.2.1.4.    Expression de la dette amortie et non amortie apres le versement de la peme annuite

Après le paiement de la pème annuité, la partie de l’emprunt qui a été remboursée s’élève à la somme des p premiers amortissements: Rp Rp = m1  + m2  + …. +mp

p        1T1                                2

p - 1 

R    = m

 L  + (1+ i) + (1+ i) + ........ + (1+ i)       J

T (1+ i)p – 1

R    = m

 . Or, m   = C

p        1L        i        J

1       0 (1+ i)n - 1

T         p    1 

Alors,  R

i         (1 + i)   -     = C                                      

Donc

0 (1+ i)n - 1L         i        J

La dette non amortie est égale à C0  - Rp

1.2.2. Remboursement d'un emprunt par amortissements constants

Soit: C0: le montant de l’emprunt n : le nombre d ’annuités

m : amortissement constant

m = C0        l

Donc, les annuités ne sont pas constantes

Ip  = Cp-1

1.2.2.1. Loi de succession des annuites

On a :

ap + 1 - ap = mp + 1 - mp (1+ i)

or donc

mp + 1 = m    =     0 n

=> On remarque que les annuités sont en  progression arithmétique de raison

Exemple :

Un emprunt indivis contracté au taux annuel i est remboursable par 5 annuités: a1, a2, a3, a4 , a5 .

Les amortissements successifs m1 ,m2 ,m3 ,m4 et m5 forment une progression géométrique de raison (1+k), k étant différent de i.

1. Sachant que:

-  Les intérêts de la 2ème année I2 = 102102 dinars

-  Les intérêts de la 4ème année I4 = 55902 dinars.

-  le 2ème amortissement m2 = 440000 dinars.

Calculer i

1. Déterminer le montant de l’emprunt et dresser le tableau d’amortissement.

Solution

On a I2 = 102102 = C1  . i I4 = 55 902 = C3  . i m2  = 440 000

I2 = C1 . i = (C0 - m1 ).i = (m1+ m2 + m3 + m4 + m5 - m1).i

= (m2  + m3  + m4  + m5).i

I4 = C3 . i = [C0 - (m1 + m2 + m3 )].i

= (m1+ m2  + m3  + m4  + m5  - m1  - m2  - m3  ).i = (m4  + m5).i

D ’où, I2  = (m2  + m3  + m4  + m5).i =102102                      (1) I4  = (m4  + m5).i = 55902                                                           (2)

(1) - (2) => (m2  + m3).i = 102102 - 55902 = 46200  (3)

(m4  + m5 )´ i = 55902 = (2)/(3) =>  (m2 +  m3 )´ I 46200

1,21

m4 + m4 (1+ k) = Û m4 [1+ (1+ k)] = Û m4  = m2 + m2

(1+ k)

1,21

m2 [1+ (1+ k)]

1,21

1,21

m2

Or, m   = m  (1+ k)2

=> m 4 = m2

m  (1+ k)2

m2 = 1,21 Û

(1+ k)2 = 1,21 = (1,1)2

=> k = 10%

A partir de (3), on a:(m2  + m3).i = 46 200

Û i =               46 200               =i = 46 200      m2  + m3

440 000 + 440 000(1,1)

0,05

Donc   i =5%

C    =        m  = m +  m 1+ k +m +    2 + m +    3 + m     + 2)      0        L     i i = 1 1       1(      )

1(1  k)

1(1  k)

1(1 k)4

Û C0  = m1

(1+ k)5  - 1

Or k

m   =  1      1+ k

440000

1,10 = 400 000

Û C0  = 400 000

(1,1)5  - 1

0,1

= 2 442 040 Û

C0  = 2442040 dinars

Le tableau d’amortissement de cet emprunt se présente comme  suit:

<td va