Cours complet sur les statistiques et les mathematiques financieres

Cours complet sur les statistiques et les mathématiques financières

INTRODUCTION

Ce document comporte trois parties consacrées à deux thèmes très indépen-dants : les Calculs Financiers et la Statistique. Le point commun entre ces deux thèmes, dans la gestion des entreprises, est le recours à des techniques numériques et graphiques faisant appel à des notions mathématiques.

Les Calculs Financiers constituent la première partie de ce cours. Les notions introduites forment la base indispensable pour comprendre et analy-ser les produits bancaires ordinaires. Le premier chapitre présente la gestion d’un livret d’épargne. On y indique les règles communes à la plupart des livrets permettant de calculer les intérêts. Le chapitre suivant introduit les notions fondamentales d’intérêts simples et d’intérêts composés qui régissent la plupart des calculs financiers. Les notions liées sont celles de taux propor-tionnels et taux équivalents, valeur acquise et valeur actuelle et l’équivalence de capitaux. La mesure de l’inflation, qui fait l’objet du troisième chapitre, est une illustration des calculs à intérêts composés. On détermine, à partir de l’indice des prix à la consommation, les différents taux d’inflation. On re-vient sur l’actualisation et on précise les notions d’euros constants et d’euros courants. Enfin, le dernier chapitre traite le problème du remboursement d’un emprunt, avec la construction du tableau d’amortissement. On évoque aussi les frais de dossier, l’assurance afin de dégager le taux effectif global.

Les eléments mathématiques nécessaires à cette première partie sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les calculs seront organisés avec le tableur Excel.

Les deux autres parties de ce cours concernent le thème Statistique.

La Régression linéaire est présentée en deuxième partie. Il s’agit de l’étude d’une variable statistique que l’on cherche à expliquer, souvent à des fins de prévision, à l’aide d’autres variables. L’exemple classique consiste à donner une fourchette de poids raisonnable pour un individu dont on connaît la taille. Le chapitre 5 traite les aspects descriptifs de la régression linéaire simple, dans laquelle il y a une seule variable explicative. On introduit la droite de régression associée aux estimateurs des moindres carrés. Le coefficient de corrélation linéaire permet de mesurer l’importance de la relation entre les deux variables. L’analyse descriptive des résidus constitue une première ap-proche visuelle de la validité du modèle. Les aspects inductifs de la régression linéaire simple font l’objet du chapitre suivant. Ils reposent sur un modèle probabiiliste, faisant appel à la loi normale, qui permet de préciser les pro-priétés des estimateurs en termes de biais et variance. L’inférence statistique nécessite d’introduire deux nouvelles lois de probabilités issues de la loi nor-male : la loi du chi-deux et la loi de Student. Ceci permet de définir les esti-mateurs studentisés et la notion de p-valeur afin de quantifier la pertinence de la régression. Les résidus studentisés précisent la validation du modèle. Il est alors possible d’effectuer une prévision sous forme d’intervalle de confiance. Enfin, la régression linéaire multiple, dans laquelle il y a plusieurs variables explicatives, est présentée au chapitre 7. On retrouve l’ensemble des notions introduites en régression linéaire simple dans ce cadre plus général. En par-ticulier, le coefficient de corrélation linéaire multiple mesure l’importance de la dépendance entre la variable d’intérêt et l’ensemble des variables explica-tives. Le test de Fisher et la p-valeur associée sont encore là pour juger de la pertinence de cette régression.

Les eléments mathématiques nécessaires à cette seconde partie relèvent de l’analyse de base, pour ce qui concerne la régression linéaire simple, et de l’algèbre linéaire pour la régression linéaire multiple. Plus précisément, ce dernier point fait appel au calcul matriciel. Cette difficulté est surmontée à l’aide des logiciels. En effet, les calculs de la régression linéaire simple seront menés dans un premier temps sous Excel. Nous les retrouverons alors dans le cadre du logiciel statistique R. L’extension à la régression linéaire multiple sera alors immédiate sous R.

Ce cours se termine avec une troisième partie consacrée à l’étude des Séries Chronologiques. Une série chronologique, ou série temporelle, est consti-tuée d’observations effectuées régulièrement au cours du temps. Le tableau de bord de toute entreprise regorge de ce type de données, ne serait-ce que son chiffre d’affaires mensuel. L’objectif est de dégager une tendance, dans l’évolution de la grandeur etudiée, mais aussi un éventuel effet saisonnier, sou-vent à des fins de prévision. Le chapitre 8 se réduit aux Généralités donnant le cadre et le vocabulaire attachés à ce type d’étude. On y précise les notions de tendance et d’effet saisonnier, en particulier grâce à des représentations graphiques pertinentes. La distinction entre modèle additif et modèle multi-plicatif est également discutée. Le chapitre 9, intitulé Modèle de Byus-Ballot et Prévision, se place dans le cadre du modèle additif. La chronique est constituée de la somme de trois composantes : une tendance linéaire, un effet saisonnier périodique matérialis´ par des coefficients saisonniers et un terme d’erreur. Le principe des moindres carrés, utilisé en régression linéaire, est appliqué ici de façon analogue. On retrouve ainsi les estimateurs des moindres carrés, leurs versions studentisées et les p-valeurs associées, pour juger de la pertinence de la tendance et/ou des coefficients saisonniers, les résidus stu-dentisés, pour la validation du modèle, la prévision par intervalle de confiance et enfin le test de Fisher, pour juger de la présence ou non de l’effet saison-nier dans son ensemble. Le dernier chapitre, Lissage et Série CVS, se place, comme le précédent, dans le cadre du modèle additif. La différence est que la tendance n’est plus linéaire et est alors estimée par lissage. L’objectif n’est plus la prévision, mais l’estimation de l’effet saisonnier afin de le neutrali-ser pour constituer la série CVS (Corrigée des Variations Saisonnières). Les données économiques sont souvent exprimées ainsi, car elles sont plus perti-nentes. Par exemple, le chômage exprim´ en données brutes peut augmenter en eté, alors qu’il diminue en données CVS.

Les eléments mathématiques nécessaires à cette dernière partie restent au niveau de l’analyse de base. Les calculs seront effectués sous Excel.

Le thème Statistique présent´ ici n’est pas une entrée en la matière dans ce domaine, sans toutefois exiger de pré-requis solides. Des rudiments de

Statistique descriptive et de Calcul des Probabilités figurent maintenant dans les programmes du lycée.

Bibliographie

Il est clair que le moyen le plus simple d’obtenir des compléments d’infor-mation est de faire une recherche sur le web à partir des mots-clef (Google). Certains cites sont d’ailleurs indiqués dans la partie consacrée aux calculs fi-nanciers. De plus, quelques ouvrages, pouvant être consultés à la bibliothèque, figurent en bibliographie.

Remarque

A la fin de chaque chapitre, une rubrique intitulée En résum´ indique les eléments essentiels à retenir.

PREMIERE PARTIE

CALCULS FINANCIERS

– Chapitre 1 : GESTION D’UN LIVRET D’EPARGNE

– Chapitre 2 : INTERETS SIMPLES ET INTERETS COMPOSES

– Chapitre 3 : MESURE DE L’INFLATION

– Chapitre 4 : REMBOURSEMENT D’UN EMPRUNT

Chapitre 1 GESTION D’UN LIVRET D’EPARGNE

1.1         Introduction

Nous commençons cette première partie par l’étude de la gestion du produit financier le plus populaire : le livret d’épargne. Le Tableau 1.1 in-dique de façon sommaire les principales caractéristiques des livrets d’épargne classiques. Pour un complément d’information, on pourra effectuer une re-cherche ”livret d’épargne” sur le site http ://www.service-public.fr/. Ces ca-ractéristiques sont en effet fixées par décrets gouvernementaux et ne dépendent pas de l’organisme bancaire gérant le produit. Par exemple, le taux du livret A a et´ fixé à 3,00% à partir du 1^er aoˆut 2007. Auparavant, il était de 2,75 %.

Tab. 1.1 – Caractéristiques de quelques livrets d’épargne classiques

Nous présentons ci-après les principes de la gestion d’un livret d’épargne, puis nous proposons une méthode pour organiser le calcul des intérêts.

1.2         Les principes de la gestion d’un livret

La gestion d’un livret d’épargne, du type de ceux présentés dans le Ta-bleau 1.1, est basée sur les principes suivants :

Quinzaines : L’année civile est découpée en quinzaines qui débutent le 1^er et le 16 de chaque mois. Elles se terminent donc le 15 ou le dernier jour du mois et le nombre de jours variable de ces quinzaines n’est pas pris en compte.

Versement : Un versement produit des intérêts à partir de la quinzaine qui suit immédiatement la date de versement. Ceci vaut également pour le versement initial à l’ouverture du livret. Ainsi, un versement effectu´ le 1^er du mois ne prendra effet qu’à partir du 16 de ce même mois.

Retrait : Un retrait est décompt´ du capital productif d’intérêts dès le début de la quinzaine qui recouvre la date de ce retrait. Ainsi, un retrait effectu´ le 15 du mois prend effet dès le 1^er de ce même mois.

Intérêts : Les intérêts produits au cours d’une même année civile sont capi-talisés, c’est-à-dire produisent eux-mêmes des intérêts, dès le 1^er janvier de l’année suivante.

Une bonne gestion consistera donc à effectuer ses versements en fin de quin-zaine alors que les retraits se feront en début de quinzaine. Attention, un versement d’une certaine somme, suivie de son retrait au cours d’une même quinzaine, a pour effet de produire des intérêts négatifs !

En vertu de ces principes, un capital C, maintenu constant sur un livret pendant n quinzaines (n ≤ 24), ne recouvrant ni 1^er janvier, ni date de changement de taux, produit les intérêts I donnés par

I = C × i × ₂₄ⁿ,

où i est le taux d’intérêt annuel en vigueur pendant cette période. Depuis le 1^er juillet 2004, les règles de fixation des taux des livrets réglementés sont arrêtées. Par exemple, la banque de France détermine le 15 janvier et le 15 juillet de chaque année, le taux d’intérêt du Livret A en fonction du taux d’inflation et du taux interbancaire de la zone euro pour la rémunération des dépôts (cf. http ://www.cbanque.com/placement/taux livreta.php). Le Tableau 1.2 indique l’évolution de ce taux depuis 2000.

1.3. METHODE DE CALCUL DES INTERETS

Tab. 1.2 – Evolution du taux d’intérêt annuel du Livret A depuis 2000

1.3         Méthode de calcul des intérêts

Afin de présenter la méthode de calcul des intérêts que nous préconisons, nous proposons de considérer l’exemple d’un livret d’épargne populaire.

1.3.1        Historique du livret

• Ouverture le 5 février 2002 avec un dépôt initial de 200 e .
• Retrait de 50 e le 15 avril 2002.
• Dépôt de 150 e le 26 juin 2002.
• Retrait de 100 e le 16 décembre 2002.
• Dépôt de 250 e le 1^er mars 2003.
• Le taux d’intérêt annuel en vigueur sur la période est i = 3, 00%.

L’objectif est de calculer le capital productif d’intérêts et les intérêts non capitalisés à la date du 16 mai 2003.

1.3.2        Conventions et notations

• Le temps t est mesur´ en quinzaines et l’origine, t = 0, est fixée au 1^er janvier de la première année concernant l’étude. Ainsi t symbolise à la fois une date associée à un début de quinzaine et le nombre de quinzaines ecoulées entre le 1^er janvier d’origine et cette date t.
• C(t) est le capital productif d’intérêts à la date t.
• I(t) sont les intérêts non capitalisés à la date t.
• I_aa sont les intérêts produits au cours de l’année aa.

En ce qui concerne le livret etudié, les faits marquants, dans l’ordre chro- nologique, se présentent alors comme suit :

Il est souhaitable de résumer ces informations sur un schéma permettant de visualiser l’historique du livret (cf. Figure 1.1). La date t = 33 correspond au 16 mai 03 pour indiquer le calcul de C(33) et I(33).

Fig. 1.1 – Historique du livret à l’étude

1.3.3        Calcul des intérêts chaque quinzaine

Il est particulièrement simple, à l’aide d’un tableur, de déterminer l’évolution du capital C(t) et des intérêts I(t), quinzaine par quinzaine, sur la période considérée. En effet le capital C(t) évolue selon les dépôts et retraits et les intérêts I(t) satisfont I(t + 1) = I(t) + C(t) × ₂₄ⁱ . Il est cependant nécessaire d’arrondir, au centime le plus proche, les intérêts capitalisés le 1^er janvier. Ces résultats sont reportés dans le Tableau 1.3.

Tab. 1.3 – Capital C(t) et intérêts I(t) au cours des quinzaines

Lorsque le capital C(t) est constant, les intérêts I(t) forment une pro-gression arithmétique de raison C(t) × ₂₄ⁱ . Cette dernière quantité ne doit pas être arrondie dans les calculs. C’est la raison pour laquelle les intérêts I(t), arrondis au centime le plus proche, qui figurent dans le Tableau 1.3 ne constituent pas exactement des suites arithmétiques sur les périodes où le capital C(t) reste constant.

En fait, la banque détermine, au début de chaque quinzaine, les intérêts I_aa(t) qui seraient capitalisés au 1^er janvier de l’année suivante, si le livret restait en l’état jusqu’à cette date. Ces résultats sont reportés dans le Tableau 1.4.

Tab. 1.4 – Capital C(t) et intérêts annuels I_aa(t) selon la banque de France

1.3.4        Calcul direct des intérêts

Il n’est évidemment pas nécessaire de réaliser de tels tableaux pour déter-miner les intérêts annuels ou ceux produits à une date donnée. Il est cepen-dant indispensable de calculer les intérêts annuels afin de les arrondir avant de les capitaliser. De même, en cas de changement de taux sur la période considérée, il faudra déterminer le montant arrondi des intérêts selon les différents taux. Pour le livret considér´ ici, on calcul tout d’abord les intérêts I₀₂ en se référant à l’historique de la Figure 1.1 :

Le capital productif d’intérêts au 1^er janvier 2003 est alors :

C(24) = 200 − 50 + 150 − 100 + 6, 25 = 206, 25 e .

Le capital et les intérêts non capitalisés au 16 mai 2003 sont :

1.3.5       A propos des arrondis

De manière générale, on ne doit pas arrondir le résultat d’un calcul in-termédiaire, seules les informations communiquées au client doivent l’être. Ayant fait le choix d’une certaine précision, l’arrondi est effectué à la valeur la plus proche, ou à la valeur supérieure en cas d’égalité, sans tenir compte du signe. La valeur la plus proche relève du bon sens, bien qu’il existe des situations où le choix est différent (déclaration des revenus). Par contre, la valeur supérieure en cas d’égalit´ est due à une convention. Cette convention est celle retenue par les fonctions d’affichage en informatique (calculatrices ou logiciels). Un avantage, par rapport à la valeur inférieure, est qu’il suffit de connaître un chiffre de plus que la précision requise pour effectuer son arrondi sans erreur. En effet, en arrondissant au centime les sommes 4,2149 et 4,21501, on obtient 4,21 et 4,22 au vu des trois premiers chiffres après la virgule, alors que l’autre convention conduirait à 4,21 dans les deux cas. Par contre, cette convention ne permet pas d’arrondir de façon récursive : 4,2149 devient 4,215 à trois chiffres puis 4,22 au lieu de 4,21, mais c’est également le cas de l’autre : 4,21501 donne 4,215 puis 4,21 au lieu de 4,22.

En résumé Etre capable de mener à bien tout calcul relatif à un livret d’épargne.

Chapitre 2 INTERETS SIMPLES ET INTERETS COMPOSES

2.1         Introduction

Nous présentons ici les deux modes de calcul d’intérêts : intérêts simples et intérêts composés. Ils font alors apparaître les notions de suites arithmétiques et suites géométriques. Ensuite, nous leur associons les notions de taux pro-portionnels et taux équivalents. Puis, nous déclinons plusieurs définitions, directement attachées aux calculs d’intérêts, plus particulièrement selon le mode composé qui reste le plus fréquemment utilisé : valeur actuelle, valeur acquise, équivalence de capitaux,. . .

2.2            Les deux conventions fondamentales

Notons tout d’abord qu’un taux d’intérêt est toujours relatif à une période. Par exemple, 3% est le taux annuel actuel du livret A. Le Tableau 2.1 précise le vocabulaire des taux usuels.

Un capital C, placé pendant une période au taux d’intérêt i par période, produit les intérêts I₁ = Ci, par définition du taux.

Un capital C, placé pendant n périodes (n ≥ 2) au taux d’intérêt i par période, produit des intérêts I_n qui dépendent de la convention adoptée pour effectuer les calculs. Les deux conventions fondamentales sont les suivantes.

Tab. 2.1 – Quelques taux usuels

2.2.1        Intérêts simples

Dans un calcul à intérêts simples, les intérêts produits au cours d’une période ne sont pas capitalisés (ne produisent pas d’intérêts) au cours des périodes suivantes. Dans ce cas, le capital reste constant et produit les intérêts Ci à chaque période. Les intérêts I_n produits au bout de n périodes sont donc :

I_n = Cin,        n = 0, 1, . . .

La suite I_n, n = 0, 1, . . ., est une suite arithmétique de premier terme I = 0 et de raison Ci, car la différence I_n+1 −I_n est constamment égale à Ci. Notant C_n = C + I_n, la valeurs acquise par ce capital au bout de n périodes, on a :

C_n = C + I_n = C + Cin = C(1 + ni),             n = 0, 1, . . .

La suite C_n, n = 0, 1, . . ., est également arithmétique de premier terme C = C et de raison Ci, car C_n+1 − C_n = Ci pour tout n.

Notons que les points {n, I_n}, n = 0, 1, . . ., se situent sur la droite de pente Ci passant par l’origine, puisque I_n = Cin. On dit que la croissance de I_n est linéaire. Il en est de même pour C_n, puisque les points {n, C_n}, n = 0, 1, . . ., se situent sur la droite d’équation C_n = Cin + C.

2.2.2        Intérêts composés

Dans un calcul à intérêts composés, les intérêts produits au cours d’une période sont capitalisés (produisent eux-mêmes des intérêts) dès la période suivante. Dans ce cas, le capital (productif d’intérêts) augmente à chaque période. Notant C_n, n ≥ 0, ce capital, on a C = C, puis (raisonnement par récurrence) :

C₁   =     C + Ci = C(1 + i) = C(1 + i),

Ici, C_n, n ≥ 0, est une suite géométrique, de premier terme C = C et de raison 1 + i, car le rapport ^Cn+1  est constamment égal à 1 + i. La suite des C_n intérêts,

I_n = C_n − C = C(1 + i)ⁿ − C = C[(1 + i)ⁿ − 1],               n ≥ 0,

n’a pas de structure particulière, si ce n’est qu’elle évolue comme une suite géométrique puisque I_n = C_n − C.

En écrivant C_n sous la forme,

C_n = exp{log(C_n)} = exp{n log(1 + i) + log(C)} = C exp{n log(1 + i)},

on constate que les points {n, C_n }, n = 0, 1, . . ., sont sur le graphe d’une fonction exponentielle. On dit que la croissance de C_n est exponentielle. On dit aussi que la croissance de I_n est exponentielle, mais dans ce cas les points {n, I_n}, n = 0, 1, . . ., sont sur le graphe précédent, décal´ vers le bas de la quantité C.

2.2.3        Cas d’un livret d’épargne

Dans le cas d’un livret d’épargne, on rencontre les deux modes de calcul : intérêts simple à l’échelle de la quinzaine au cours d’une même année civile et intérêts composés à l’échelle de l’année. En reprenant la formule de calcul des intérêts sous la forme,

on reconnaît le placement de C à intérêts simples, pendant n quinzaines, au taux bimensuel i_q = ₂₄ⁱ . On dit que i_q est le taux bimensuel proportionnel au taux annuel i. Ce mode de calcul à intérêts simples peut sembler défavorable au client. Cependant, si on procédait à intérêts composés, le taux bimensuel à appliquer ne serait pas le taux proportionnel i_q, mais le taux équivalent i⁰_q défini par

En effet, ce taux provient de C(1 + i⁰_q)²⁴ = C(1 + i), qui exprime qu’un capital C, placé sur un livret pendant un an au taux an-nuel i, produit les mêmes intérêts que placé, à intérêts composés, pendant 24 quinzaines au taux bimensuel i⁰_q.

Dans le cas du taux annuel i = 3, 00% du livret A, les taux proportionnel i_q et équivalent i⁰_q sont donnés par :

Notons qu’il ne faut pas arrondir ce type de taux, sous peine de résultats erronés là où ils seraient utilisés. On constate que i⁰_q est légèrement inférieur à i_q, ce qui était prévisible du fait de leur signification.

On peut avoir le sentiment que le fait d’effectuer les calculs à intérêts simples désavantage le client. En fait, l’avantage se fait en faveur de l’une ou de l’autre convention selon les situations.

Considérons le cas d’un livret A sur lequel on dépose 1000 e fin décembre