Cours complet mathematiques financieres
Cours complet mathématiques financières pdf
INTRODUCTION :
Exemple 1 : Une personne veut acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellement au CIH une de 5000000 DH.
But : Constituer un capital
Versements : annuels et constants
Période : année
Exemple 2 : la personne a une dette de 6000000 DH. Pour rembourser cette dette, elle verse mensuellement une somme de 1500 DH.
But : Remboursement de dette
Versements : mensuels constants
Période : mois
Principe : On appelle annuités, des versements réguliers et constants effectués à des intervalles de temps constants. On distingue :
n Les annuités de capitalisation ou annuités de placement, dont l’objectif est de constituer un capital
n Les annuités de remboursement ou d’amortissement, dont l’objectif est de rembourser une dette
Les versements peuvent être effectués à la fin de période : c’est le cas des annuités de remboursement où le 1er remboursement intervient à la fin de la première période (on parle d’annuité de fin de période).
Comme elle peuvent être versés en début de période : c’est le cas généralement, pour les annuités de placement, dès la signature du contrat, un premier versement est effectué.
I - Les annuités de fin de période
A- La valeur acquise des annuités de fin de période
1° - Exemple : Une personne verse annuellement 1000 DH àla BMCEpendant 5 ans.
Quelle est la somme retirée au moment du dernier versement (taux 10%)
Schéma linéaire
1 000 1 000 1 000 1 000 1000 annuités
0 1 2 3 4 5 périodes
Valeur acquise ?
Va = 100 (1,1)4 + 1000 (1,1)3 + 1000 (1,1)² + 1000 (,1) + 1000
Va = 1000 + 1000 (1,1) + 1000 (1,1)² + 1000 (1,1)3 + 1000 (1,1)4
Suite géométrique
raison (q = 1+ t ) = 1,10
1er terme (a) = 1000 DH
nbre de termes = 5 termes
Somme des termes d’une suite géométrique
qn - 1
S = a
q - 1
(1,10)5 - 1
S = 1000
1,10 - 1
La valeur acquise après n période de versement s’exprimera par la formule :
(1 + t)n - 1
Va = a
(1+ t)² - 1
t est le résultat de l’intersection de la ligne de n et de la colonne de t qui figurent
dans la table financière n° 3 d’aprèsla T.Tn° 3 on a
Va = 1000 x 6,105100
Va = 6105,10
Application :
a - Recherche de l’annuité
Quel doit être le montant de chacune des 20 annuités qui permettraient de constituer au moment du dernier versement un capital de 100000 DH au taux de 11%
Va = 100000 t = 11% n = 20 a = ?
| (1 + t )n - 1 Va = a | Va x t ou a = (1 + t)n - 1 |
| d’aprèsla T.F N° 3 (1,11)20 - 1 100000 = a x 0,11 100 000 = a x 64, 202832 a = 100 000 64,202832 a = 1557,563 | d’aprèsla T.F. N° 5 Il est possible d’obtenir la valeur de en lisant dansla T.F.n° = 5 (1+t)n - 1 la valeur de pour le temps est le taux 1-(1+t)-n donnés et en retranchant (t) on obtient. - t = 1 - (1 + t)-n (1 + t)n - 1 |
a = 100 000 x ( 0,11 - 0,11)
1-(1,11)-20
a = 100 000 x (0,1 255756 - 0,11)
a = 100 000 x 0,0 155756 = 1557,56 dh
- Recherche de n
Combien d’annuités constantes de 10 000 dh faut - il verser en fin de période, pour obtenir par capitalisation au taux de 7 % un capital de 150 000 dh ?
Solution
V = 150 000 n ? t = 7 % a = 10 000
V = a (1 + t)n - 1 150 000 = 10 000 (1,07)n - 1
0,07
15 = (1,07) - 1
0,07
T.F. n° = 3 donne
(1,07)10 - 1 = 13,816448
0,07
(1,07)11 - 1 = 15,783593
0,07
Le nombre théorique d’annuités est compris entre dix et onze, sous le forme posée, le problème ne comporte pas de solution, n’étant obligatoirement entier.
Il faut envisager soit de verser 10 annuités supérieurs à 10 000 dh, soit de verser onze annuités inférieurs à 10 000 dh.
- recherche du taux
Sachant que 10 annuités constantes de 10 000 dh chacune permettant de constituer un capital de 151929,29 dh. Calculer le taux d’intérêt correspondant à ce placement.
V = a (1 + t) - 1
151929,29 = 10 000 (1+t) - 1
10
(1 + t) - 1 = 151929,29 = 15,192929
t 10 000
à l’aide dela T.Fn° = 3 t = 9 %
B) Valeur actuelle des annuités de fin de période
1° Principe
Connaissant la valeur acquise des annuités de fin de période, déterminer leur valeur actuelle un an avant le 1er versement.
1 2 3 n périodes
0 a a a a a annuités
(V actuelle) V0 = Va (1 + t)-n
V0 = a (1 + t) - 1 (1 + t)-n
V = a 1 - (1 + t) avec 1 - (1 + t) dans TFn°4
2°) Application
a- recherche de a
V0 = a 1 - (1 + t) a = V x t
1 - (1 + t)-n
T.F. n° = 5
Exemple : Un fond de commerce est acheté à 300 000 dh payable par 12 annuités constantes de fin d’année au taux de 10 %
Quel doit être le montant de chaque annuité ?
a = 300 000 x 0,10
1 - (1,10)-12
= 300 000 x 0,146763
a = 44028,9
- recherche du taux
Une dette de 450 000 dh doit être remboursée par cinq versement annuel de 125 000 dh chacun. Le 1er versement ayant lieu dans un an. Calculer le taux d’intérêts.
Vo = a 1 - (1 + t)-n
450 000 = 125 000 1 - (1 + t)-5
3,6 = 1 - (1 + t)-5
d’aprèsla T.F.n° 4 on a
Interpolation linéaire
3,5 82562 < 3,6 < 3,6047762
12,25 < t < 12
t = 12,05
- recherche du nombre d’annuités (n)
Combien faut - il verser d’annuités de 18500 dh pour obtenir un an avant le 1er versement la valeur de 98000 dh au taux de 10 %
980 000 = a 1 - (1 + t)-n
t
980 000 = 18500 1 - (1 ,10)-n
0,10
5, 2972973 = 1 - (1,10)-n
0,10
d’aprèsla T.F.n° 4
4,868419 < 5,2972973 < 5,334926
7 < n < 8
on a 2 solutions :
Solution n°1 : le nombre d’annuité est 7
versement complémentaire
980 000 - (18500 x 4,868419)
980 000 - 90065,75150 - 7934,2485
Solution n° 2 : changement de l’annuité
n = 7
980 000 = a x 4,868419
a = 201297,3821
n = 8
980 000 = a x 5,334926
a = 18369,5144 dh
II Les annuités de début de période
A - Valeur acquise des annuités de début de période (Va')
1° exemple :
Soit une suite de 5 annuités de début de période de 10 000 dh chacune. Calculer sa valeur, une période après le dernier versement taux 12 % l’an.
0 1 2 3 4 5 périodes
10000 10000 1 0000 10000 1 0000 va annuités
Va’ = 10000 (1 + t)5 + 10000 (1 + t)4 + 10000 (1 + t)3 + 10000 (1 + t)2 + 10000 (1 + t)1
Va’ = 10000 (1 + t)1 + 10000 (1 + t)2 + 10000 (1 + t)3 + 10000 (1 + t)4 + 10000 (1 + t)5
prog géométrique
1er terme = 10000 (1 + t)
n = 5
raison (1 + t)
S = a q - 1 = 10000 (1 + t) (1 + t )5 - 1
q - 1 t
la valeur acquise (Va’ )des annuités de début de période s’exprimera par la formule.
Va' = a (1 + t) (1 + t) - 1
T.F n° 3
Va' = 10000 (1,12) (1,12) - 1 = 71151,89 dh
0,12
2° Application
Application n° 1 : Combien faut-il verser d’annuités annuelles de 9531,69 dh chacune, pour constituer un an après le dernier versement, en capital de 157737,41 dh taux 12 % l’an.
Va’ = a (1 + t) (1 + t) - 1 = 9531,69(1,12) (1,12)1 - 1 = 157737,41
t 0,12
(1,12)n - 1 = 14,77565607 d’aprèsla T.F. n° 3
0,12
n = 9
Application n°2
15 versements annuel sont effectués le 1er janvier de chaque année, pendant 15 ans, au taux de 11 % l’an. Le capital constitué, un an après le dernier versement est de 248234,67 dh. Calculer le montant de chaque versement.
Va’ = a (1 + t) (1 + t)n - 1
248234,67 = a (1,11) (1,11)15 - 1
0,11
d’après la T.F.n° 3 (1,11)15 - 1 = 34,405359
0,11
a = 7215 = 6500
Application n°3
Le versement de 10 annuités annuelles constantes de début de période de 10000 dh chacune, a permis de constituer , à la fin de la 10ème année, un capital de 170 000 dh. Quel est le taux de capitalisation utilisé ?
170 000 = 10 000 (1 + t) (1 + t)10 - 1
17 = (1 + t) (1 + t)10 - 1 = (1 + t)11 - (1 + t) = (1 + t)11 - 1 - t
17 = (1+ t)11 - 1 - 1 17 + 1 = (1 + t)11 - 1 = 18
la T.F.n° 3 donne 9,25 < t < 9,50
t = 9,46 soit 9,46 %
B - Valeur actuelle des annuités de début de période Vo'
1° Principe :
Connaissant la valeur acquise (Va’) de n annuités de début de période, placées au taux t, calculer leur valeur V0’ au moment du 1er versement.
Va' = a (1 + t) (1 + t)n - 1
Vo’= Va’ (1 + t)-n = a (1 + t) (1 + t)-n - 1 x (1 + t)-n
Vo’= Va’ (1 + t)-n = a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
Vo’= a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
2° exemple:
Combien faut - il verser d’annuités annuelles constantes de 5000 dh chacune, pour avoir une valeur de 20 186, 74 dh au moment du 1er versement, au taux de 12 % l’an.
V0’ = a (1 + t) 1 - (1 + t)-n
t
20 186,74 dh = 5000 (1,12) x 1 - (1,12)-n
0,12
20186,74 = 5600 1 - (1,12)-n
0,12
3,604775 = 1 - (1,12)-n
0,12
D’après la table financière n° 4 on a n = 5 soit 5 versements.
3° Application
Calculer à la date du 01-01-93 la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de 3000 dh chacune. La 1ere étant versée le 01 - 01 - 93, la dernière le 01-01-97 taux d’actualisation 12 % l’an.
V0’ = 3000 (1,12) x 1 - (1,12)-5
0,12
V0’ = 3000 x 4,037349346626
= 12112 DH
Exercices d'application
Exercice 1
Calculer, dans chacun des cas suivants, la valeure acquise par une suite de versement périodiques et constantes, immédiatement après le dernier versement:
- 18 annuités égales chacune à 12 500, taux annuel de capitalisation : 9,60%
- 12 semestrialités égales chacune à 4500 dh. Taux semestriel :4%
- 16 trimestrialités égales chacune à 2800 dh .
Exercice 2
Déterminer la valeur acquise par une suite de 10 annuités constantes de 3800 dh chacune au taux annuel de 10,40 %
- au moment du dernier versement ;
- 2 ans après le dernier versement ;
- 3 ans et 6 mois après le dernier versement ;
- 1 an et 125 j après le dernier versement (année comptée pour 365 j)
Exercice 3 :
Déterminer, dans chacun des cas suivants, la valeur actuelle d’une suite de versements constants une période avant le 1er versement :
- 8 annuités égales chacune à 6920 dh, taux annuel 9,25 %
- 14 semestrialités égales chacune à 3780 dh, taux annuel 6,50 %
- 12 trimestrialités égales chacune à 8100 dh ; taux semestriel 6 %
Corrigé :
Ex (1) : valeur acquise, au moment du dernier versement par :
- 18 annuités de 12500 dh taux annuel : 3,60
V18 = 12500 x (1,096)18 - 1 = 12500 x 43,82321611 = 547790,20 dh
0,096
- 12 semestrialités de 4500 dh taux semestriel 4 %
V12 = 4500 x (1,04)12 - 1 = 4500 x 15,0258 = 67616, 10 dh
0,04
- 16 trimestrialités de 2800 dh taux trimestriel 2,25 %
V16 = 2800 x (1,0225)16 - 1 = 2800 x 19,005398 = 53215,11 dh
0,0225
- 36 mensualités de 1200 dh taux annuel 12 %
taux mensuel équivalent (1,12)1/12 - 1 = 0,009488793
V36 = 1200 x (1,009488793)36 - 1 = 1200 x 42,67434277 = 51209,21 dh
0,009488793
Ex (2)
V10 = 3800 (1,104)10 - 1 = 3800 x 16,24633476 = 61736 dh
0,104
V13 (2 ans après le dernier versement : 61736 x (1,104)2 = 61736 x 1,218816 = 75244,82 dh
V13 1/2 (trois ans et 6 mois après le dernier versement) :
V10 x (1 + i)3,5 = 61736 x (1,104)3,5 = 61736 x 1,4138123 = 87283,11 dh
V11 + 125 (1 an et 125 j après le dernier versement) :
365
V10 x (1 + i)1 + 125 = 61736 x (1,104)1 + 125/365
365 = 61736 x (1,104) 490/365
= 61736 x 1,1420483
= 70505,49 dh
Ex (3) :
Valeur actuelle, une période avant le premier versement, de :
- 8 annuités de 6920 dh taux annuel 9,25 %
V0 = 6920 x 1 - (1,0925)-8 = 6920 x 5,4837616 = 37947,63 dh
0,0925
- 14 semestrialités égales de 3780 dh taux annuel 6,50 %
taux semestriel équivalent : (1,065)1/2 - 1 = 0,031988372
V0 = 3780 x 1 - (1,031988372)-14 = 3780 x 11,14448 = 42126,13
0,031988372
- 12 trimestrialités égales chacune à 8100 dh ; taux semestriel 6 %
taux trimestriel équivalent (1,06) - 1 = 0,029563
V0 = 8100 x 1 - (1,029563)-12 = 8100 x 9,980020431 = 80838,16 dh
0,029563
DEVOIR
Exercice 1 :
L'achat d'un immeuble d'un montant de 5000000 est réglé comme suit :
2000.000 comptant
3000.000 payable au moyen de 10 échéances annuelles constantes, la première intervenant un après l'achat.
Taux 8,5 %
Immédiatement après paiement de la troisième de ces annuités l'acquéreur demande à se libérer au moyen de quatre annuités constantes, la première intervenant dans un an
Taux d'intérêt restant 8,5 %
- Calculez le montant de chacune de ces annuités
Exercice 2 :
Une société contracte un emprunt de 2000.000 remboursables au moyen de 20 annuités constantes.
Taux d'intérêt 10%.
Lors du paiement de la 13ème annuités le prêteur consent une réduction de 10% sur le montant des intérêts compris dans cette 13ème annuité (réduction limitée aux seuls intérêts de cette seule 13ème annuité).
- Calculez le montant de la 13ème annuité après réduction.
Exercice 3 :
Un emprunt de 1000.000 est contracté le 15 novembre 92, il est remboursable au moyen de trimestrialités constants de chacune 8376,66 la première versée le 15 février 93.
Dans le tableau d'amortissement dressé à cette occasion l'amortissement afférent à la dernière triméstrialité s'élève à 8132,68
- Déterminez la date de paiement de dernière triméstrialité.
CORRIGE :
EX 1:
Cette résiduelle après paiement de 3 annuités :
10 3
3000 000 x 1,085 - 1.085 = 2340302,7
10
1,085 -1
Montant de chacune des annuités nouvelles :
2340302,7 X 0,085 = 714466,3
-4
1-0,085
EX 2 :
Annuité constante : 2 000 000 x 0,10 = 234920
-20
1-1,10
Ier amrt : 234920 - (2 000 000 x 0,10) = 34920
Amrt contenu dans la 13 ème annuité :
12
34920 x1,10 = 109593,90
Intérêt contenu dans la 13 ème annuité :
234920 – 109 593,90 = 125 326,10
Montant de la 13 ème annuité, après réduction
234920 – 125326,10 x 10/100 = 222 387 ,39
EX 3:
Désignons par (i) le taux trimestriel cherché :
1+i = a =8376,66 = 1,03 d’ou i = 0,03
8132,68
Si n est le nombre de trimestrialités
8376,66 = 100 000 0,03
-n 0,03
1-1,03 -n 0,837666
1-1,03
La lecture de la table financière 5, colonne 3% , montre que n = 15
Date de paiement de la 15 éme et dernière trimestrialité ; 15 août 1996 .
L’EMPRUNT INDIVIS
DEFINITION
L’emprunt indivis ou ordinaire se caractérise par le fait que l’emprunteur (un particulier ou une entreprise) s’adresse à un seul créancier.
L’emprunt indivis s’oppose donc à l’emprunt obligatoire par lequel l’emprunteur (une grande entreprise ou l’Etat) recourt à une multitude de créanciers.
II) LES FORMULES DE REMBOURSEMENT
A- Les emprunts remboursables par amortissements constants
Selon cette formule, le montant de l’emprunt indivis est divisé en parts égales (les amortissements) en fonction du nombre de période de remboursement. A la fin de chaque période, l’emprunteur verse au prêteur une partie de la dette (amortissement) et un intérêt calculé au taux prévu sur le montant encore dû (non remboursé au prêteur).
La somme de ces 2 éléments (amortissement-intérêt) forme « l’annuité de remboursement »
1) Exemple :
Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 dh àla B.M.C.E. en vue de faire face aux surcoûts apparus sur les marchés d’approvisionnements.
Cet emprunt est remboursable en quatre fractions égales, payables à la fin de chacune de quatre années : taux de l’emprunt 12 % l’an.
Tableau d’amortissement de l’emprunt
| Périodes | capital en début de période1 | Intérêt de la période 2 | Amortissement 3 | Annuité 4 | Capital en fin de période 5 |
| 1 2 3 4 | 1000 000 750 000 500 000 250 000 | 120 000 90 000 60 000 30 000 | 250 000 250 000 250 000 250 000 | 370 000 340 000 310 000 280 000 | 750 000 500 000 250 000 |
| 300 000 | 1000 000 | 1300 000 |
4 = 2 + 3 5 = 1 - 3
2) Généralisation
Soit :
a = annuité
D = amortissement
I = intérêt
k = rang
an =Dn + Dn x i
| an = Dn (1 + i) |
La somme des amortissements est égale au montant du capital emprunté
V0 = D1 + D2 + .....Dn
La somm