Livre complet de cours et exercices sur les mathematiques financieres

Livre complet de cours et exercices sur les mathématiques financières

PARTIE 1MATHEAMTIQUES FINANCIERESA COURT TERME

Le court terme, en finance, ne dépasse pas l’année. Il se compte, enjours, en mois, en trimestres, etc. Les mathématiques financières, à court terme, se déduisent d’une seule et unique formule.

La formule fondamentale de l’intérêt simple :

I = C n t

Mathématiques financières

CHAPITRE 1L’INTERET SIMPLE

1.1. DEFINITIONS.

Le taux d’intérêt simple est l’intérêt que rapporte un DH pendant une période, c’est-à-dire en général, l’année. Ainsi un taux t = 8% = 0,08 veut dire que 1 DH rapporte (ou produit) un intérêt de 0,08 DH pendant une année.

De cette définition simple, découle la règle pour calculer l ’intérêt produit par un capital C pendant n périodes. En effet il suffit de multiplier le taux d’intérêt t par C et par n, ce qui donne la Formulefondamentale de l’intérêt simple :

c :

- C : capital prêté ;

- n : nombre d’unités de temps (n années) ;

- t : le taux d'intérêt simple, pour une année.

Remarque 1 : La formule (1) diffère de la formule qu’on trouve, habituellement, dans certainsouvrages de mathématiques financières, à savoir la formule suivante :

En effet, la différence entre les formules (1) et (2) vient du fait que :

-dans la formule (1), le taux d’intérêt est pris pour sa vraie valeur mathématique, àsavoir, par exemple, si t = 7% on prendra t = 0, 07 ;

-dans la formule (2), le taux d’intérêt n’est pas pris pour sa vraie valeur mathématique, c’est-à -dire que par exemple, pour t = 7% on prendra la valeur t = 7, étantdonné que le produit n x C x t est déjà  divisé par 100.

Nous avons, pour notre part, privilégié, l’expression (1), celle de la notation qui noussemble mathématiquement parlant, la plus réelle.

Toutes les formules que nous manipulerons, dans les chapitres de cette 1è partie, seront des formules déduites de la formule fondamentale (1) de l’intérêt simple. Ainsi, toute cette 1èpartie est basée sur une seule formule, la formule (1).

La formule (1) donne l’intérêt I que l’emprunteur doit débourser, au bout de n années : I = C ´ n ´ t . Le calcul des intérêts simples n’intervient, en principe, que pour le court terme, c’est-à-dire, pour des périodes inférieures à une année (quelques jours ou quelques mois) car, comme nous le verrons, dans la 2è partie, pour des périodes qui dépassent l’année, on calcule, habituellement, des intérêts composés. Dans ces conditions, et pour des durées de court terme, comptées en mois, quinzaines, jours, etc., nous utilisons des formules qui sont déduites de la formule (1) :

¤ Périodes décomptées en mois : Si la durée est exprimée en mois, n mois, parexemple, comme n mois équivalent à (n/12) années, la formule fondamentale (1) devient :

¤ Périodes décomptées en quinzaines : Si la durée est exprimée en quinzaines, nquinzaines, par exemple, comme n quinzaines équivalent à (n/24) années, la formule fondamentale (1) devient :

¤ Périodes décomptées en jours : Si la durée est exprimée en jours, n jours , parexemple, comme n jours équivalent (n/360) années (l’année commerciale étant de 360 jours),

la formule fondamentale (1) devient :

Les formules des intérêts simples (1), (3), (4) et (5) sont des relations entre les 4 paramètres, I (intérêt simple), C (capital prêté ), n (nombres d’unités de temps) et t (taux

d'intérêt simple ) ; elles permettent, par conséquent, de résoudre quatre problèmes différents : déterminer un paramètre, connaissant les trois autres.

Exemple 1 :Calculer l’intérêt simple que produit un capital de 50 000,00 DH placé àintérêt simple, au taux annuel de 7%, du 5 avril au 16 octobre de la même année :

On commence par déterminer, d’abord, la durée de placement en nombre de jours :

On utilise la formule (6) donnant la valeur de l’intérêt I en fonction des autres paramètres :

= C . n . t = 50000 ´194 ´ 0,07 =

I 1 886,11 DH 360 360

Exemple 2 : Quel capital faut-il placer,au taux d’intérêt simple de 5% l’an, pendant 25jours pour avoir un intérêt de 350,00 DH ?

On utilise la formule (7) donnant la valeur du capital C en fonction des autres paramètres :

C = ^{360 . I} = ^{350 x 360} =100 800,00 DH n . t 25 ´ 0,05

Exemple 3 :Quel taux d’intérêt simple t faut-il appliquer pour qu’un capital d’un montant égal à 15 000,00 DH prêté pendant 80 jours produise un intérêt de 300,00 DH ?

On utilise la formule (8) donnant la valeur du taux d’intérêt t en fonction des autres paramètres :

Exemple 4 : Au bout de combien de temps un capital de 10 000,00 DH placé au tauxd’intérêt simple de 6,5%, par an, produira un intérêt de 325 ,00 DH ?

On utilise la formule (9) donnant la durée n de placement en fonction des autres paramètres :

1.2. VALEUR ACQUISE ET VALEUR ACTUELLE.

1.2.1. Définition de la valeur acquise.

La valeur acquise CA ou C_n, par un capital placé à un tau x d’intérêt simple, pendant n périodes est égale au capital placé C augmenté de l’intérêt produit I.

La valeur acquise est donnée, par définition, par les formules suivantes :

CA = C_n= C + I = C + C . n . t

Soit :                                CA = C ( 1 + t )(10)

Avec toujours :        - CA ou C_n : Valeur acquise ;

-  I : Intérêt produit pendant n périodes ;

-  C : Capital placé ou prêté ;

-  n : nombre de périodes de placement ;

-  t : le taux d'intérêt simple, pour une période.

De même que pour les formules de l’intérêt simple (3), (4) et (5), les formules (11) et (12) de la valeur acquise, à intérêt simple, sont des relations qui lient les 4 paramètres C, C_n, t et n ; elles permettent, par conséquent, de résoudre quatre problèmes différents : Déterminer un paramètre connaissant les 3 autres ; pour ce faire, on a recours aux séries des 4 formules suivantes :

…

Exemple 5 : Quelle est la valeur acquise par un capital de 20 000,00 DH prêté , pendant 35jours, au taux d’intérêt annuel simple de 7% ?

On utilise la formule (17) donnant la valeur acquise C_n en fonction des autres paramètres :

Exemple 6 :Quel taux d’intérêt simplefaut-il appliquer pour qu’un capital de 15 000 DHprêté pendant 74 jours ait une valeur acquise, à la fin du prêt, égale à 15 231 DH ?

On utilise la formule (19) donnant le taux d’intérêt t en fonction des autres paramètres :

Exemple 7 : Quel capital faut-il placer au taux d’intérêt simple de 5% pendant 7 moi s pouravoir une valeur acquise de 25 367 DH ?

On utilise la formule (14) donnant le capital C en fonction des autres paramètres :

Exemple 8 : Au bout de combien de temps un capital de 10 500 DH placé au taux d’intérêtsimple de 6,5% aura acquis une valeur de 10 949,00 DH ?

On utilise la formule (20) donnant la période n en fonction des autres paramètres :

1.2.1. Définition de la valeur actuelle.

De même que nous l’avons fait pour la valeur acquise, nous pouvons définir la valeur actuelle Ca, d’un capital qui atteint la valeur C après un placement, à un taux d’intérêt simple t, pendant n périodes, par la formule simple :

Dans cette relation, C joue le rôle d’une valeur acquise et Ca celui du capital placé ou prêté puisqu’on est parti de la relation fondamentale de l’intérêt simple : C = Ca (1 + n t) pour établir cette dernière relation.

Avec toujours :        - Ca : Valeur actuelle ;

-  C : Valeur du capital après n périodes de placement ;

-  n : nombre de périodes de placement ;

-  t : le taux d'intérêt simple, pour une période .

Cette formule de la valeur actuelle d’un capital devient, dans le cas de périodes données, respectivement, en mois ou en jours :

De même que pour la formule de la valeur acquise, la formule de la valeur actuelle, à intérêt simple, est une relation qui lie les 4 paramètres C, C_a, t et n ; elle permet, par conséquent, de résoudre quatre problèmes différents : Déterminer un paramètre connaissant les 3 autres .

Exemple 9 : Un capital placé, pendant 5 mois, à un taux d’intérêt simple de 6%, atteint unevaleur de 15 000,00 DH, quelle est sa valeur actuelle ?

On utilise la formule (24) donnant la valeur actuelle C_a en fonction des autres paramètres :

Exemple 10 :Quel taux d’intérêt simple faut-il appliquer pour qu’un capital de20 000 DHprêté pendant 60 jours ait une valeur actuelle, au début du prêt, égale à 1 8 181,82 DH ?

On utilise la formule (30) donnant le taux d’intérêt t en fonction des autres paramètres :

1.3. INTERET PRODUIT PAR PLUSIEURS CAPITAUX. 1.3.1. Méthode des nombres et du diviseur fixe.

Cette méthode est appliquée dans le cas de plusieurs capitaux C ₁, C₂, …, C_k placés au même taux d’intérêt t pendant des durées différentes respectives n₁, n₂,…..n_k.

L’intérêt total produit par les k capitaux si la durée est exprimée en jours est :

I _tot = I₁ + I₂ +…………+I_k.

On appelle D : diviseur fixe

L’expression (3) devient une expression qui rend les calculs très simples :

Exemple 11 :Soit à calculer l’intérêt produit parles trois capitaux suivants, placés à intérêtsimple, au taux annuel de 6%.

1è capital : 35 000 DH placé du 1^er Avril au 15 Juillet de la même année ; 2è capital : 40 000 DH placé du 1^er Avril au 25 Août de la même année ; 3è capital : 50 000 DH placé du 1^er avril au 2 octobre de la même année.

Le diviseur fixe D = 360/0,06 = 6000.

L’intérêt total produit par les trois capitaux :

Remarque 2 : La méthode du diviseur fixe était très utile lorsqu’on ne disposait pas, dans letemps, de petites calculettes puissantes. Nous la donnons, cependant pour l’histoire, car de

nos jours, les calculs peuvent être faits aisément et très rapidement par des machines (calculettes générales, calculettes financières, ordinateurs, etc.)

1.3.2. Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément.

Soit k capitaux C₁, C₂, ….., C_k placés simultanément à intérêt simple aux taux respectifs t ₁, t₂,……,t_k et pendant les durées respectives n₁ , n₂ ,…..n_k, l’intérêt total produit par les k capitaux est égal à la somme des intérêts simples produits pa r chaque capital.

I_Tot = C₁.n₁.t₁ + C₂.n₂.t₂ + . . . + C_k.n_k.t_k

Par définition, le taux moyen de plusieurs placements est le taux unique qui, appliqué aux capitaux respectifs et pour leurs durées respectives donnerait le même intérêt total. Nous avons donc par définition :

C₁.n₁.t_moy + C₂.n₂.t_moy + . . . + C_k.n_k.t_moy = C₁.n₁.t₁ + C₂.n₂.t₂ + . . . + C_k.n_k.t_k

(C₁.n₁ + C₂.n₂ + . . . + C_k.n_k) .t_moy = C₁.n₁.t₁ + C₂.n₂.t₂ + . . . + C_k.n_k.t_k

i =1

Le taux moyen de plusieurs placements est donc la moyenne arithmétique des différents taux pondérés par les produits n _iC_i. Ceci est tout à fait évident du fait que l’intérêt est, comme

il ressort de la formule fondamentale (1), proportionnel à n et à C.

Si l’on avait utilisé la formule donnant I avec le temps compté en jours ou en mois, nous aurions abouti à la même formule (33 ) qui donne le taux d’intérêt moyen, en effet, on aura successivement :

…

Ce qui donne, après simplification par 360, la même formule (33) pour t_moy.

¤ Pour des durées comptées en jours :

Ce qui donne, après simplification par 12, la même formule (33) pour t_moy.

De même que pour la formule fondamentale de l’intérêt simple et celle de la valeur acquise, la formule du taux d’intérêt moyen de plusieurs capitaux placés, pendant des périodes différentes à des taux d’intérêt différents, est une relation qui lie plusieurs ensembles de

paramètres qui sont : , t_moy, les différents C_i, les différents t_i et les différents n_i ; elle permet, par conséquent, de résoudre plusieurs types de problèmes différents : Déterminer un paramètre connaissant tous les autres.

Puisque les capitaux C_i jouent des rôles symétriques, n ous proposons d’étudier les 4 cas possibles suivants :

1è cas : Calcul du tauxd’intérêtmoyen t_moyà partir de la connaissance de tous les autresparamètres.

Exemple 12 : Trois capitaux de montants respectifs 10 000,00 DH, 20 000,00 DH et40 000,00 DH ont été placés à intérêt simple aux taux respectifs : 8%, 6%, et 10% pendant les durées respectives de 8 mois, 9 mois et 6 mois.

Calculer le taux moyen de placement de ces trois capitaux.

Le taux moyen de ces trois placements est donné par la formule (33) :

å C _i n _i t _it= i = 1

moy          3

å C _i n _i i = 1 = 10000 ´8 ´ 0,08 + 20000 ´ 9 ´ 0,06 + 40000 ´ 6 ´ 0,10 = 8,24%

10000 ´8 + 20000 ´ 9 + 40000 ´ 6

2è cas : Calcul du tauxd’intérêtde placementd’undes capitaux à partir de la connaissancede tous les autres paramètres.

Exemple 13 :  Trois  capitaux  de  montants  respectifs  15 000,00  DH,  31  500,00  DH  et

5 000,00 DH ont été placés, à intérêt simple, pen dant les durées respectives de 30 jours, 50 jours et 45 jours. Les taux d’intérêt annuels auxquels ont été placés le s deux premiers capitaux sont respectivement 7% et 5%. Quel doit être le taux d’intérêt de placement du 3è capital pour

…

Cette formule devient après simplification par 360 :

t_moy(C₁n₁ +  C₂n₂ + C₃n₃) = (C₁n₁t₁ +  C₂n₂t₂ +  C₃n₃t₃)

On cherche à calculer t₃, pour ce faire, on isole le terme contenant t₃ et on calcule après t₃.

C₃n₃t₃ = t_moy(C₁n₁ +  C₂n₂ + C₃n₃) - (C₁n₁t₁ +  C₂n₂t₂)

Ce qui donne bien t₃ = 11%.

3è cas : Calculdu montant d’undes capitaux à partir de la connaissance de tous les autresparamètres.

Exemple 14 : Trois capitaux de montants respectifs 7 000,00 DH, 20 000,00 DH et C₃ontété placés aux taux d’intérêt simple annuels respectifs 9%, 5% et 10%, pendant les durées respectives de 100 jours, 55 jours et 36 jours. Quel est le montant du 3è capital pour que le taux moyen de placement annuel des 3 capitaux soit 7% ?

…

Cette formule devient après simplification par 360 : t_moy(C₁n₁ + C₂n₂ + C₃n₃) = (C₁n₁t₁ + C₂n₂t₂ + C₃n₃t₃)

On cherche à calculer C₃, pour ce faire, on isole les termes contenant C₃ :

C₃.(n₃.t₃ – n₃.t_moy) = t_moy(C₁n₁ +  C₂n₂ ) - (C₁n₁t₁ +  C₂n₂t₂)

Ce qui donne bien C₃ = 7 407,41 DH.

4è cas : Calcul du montant de la durée de placement d’un des capitaux à partir de laconnaissance de tous les autres paramètres.

Exemple 15 : Trois capitaux de montants respectifs 6 000,00 DH, 9 000,00 DH et 4 000,00ont été placés aux taux d’intérêt simple annuels respectifs 5%, 9% et 8%, pendant les durées respectives de 4 mois, 3 mois et n₃ mois, pour le 3è capital. Quelle est la durée n₃ de placement du 3è capital pour que le taux moyen annuel des 3 capitaux soit 7,5% ?

Pour résoudre un tel problème, revenons à la définition du taux d’intérêt moyen :

^C1ⁿ1^tmoy       ₊^C2 ⁿ2 ^tmoy  ₊^C3ⁿ3 ^tmoy   ₌^C₁ⁿ₁^t₁₊^C₂ⁿ₂^t₂₊^C₃ⁿ₃^t₃

12              12              12             12           12            12

Cette formule devient après simplification par 12 :

t_moy(C₁n₁ +  C₂n₂ + C₃n₃) = (C₁n₁t₁ +  C₂n₂t₂ +  C₃n₃t₃)

On cherche à calculer n₃, pour ce faire, on isole les termes contenant n₃ :

C₃.n₃.(t₃ – t_moy) = t_moy(C₁n₁ +  C₂n₂ ) - (C₁n₁t₁ +  C₂n₂t₂)

Ce qui donne n₃ = 9,75 mois soit 9 mois et 23 jours. 24

1.4. DIFFERENTS TAUX D’INTERET.

1.4.1. Taux effectif pour intérêt précompté.

Le taux d’intérêt simple qu’on a défini, jusqu’à maintenant, suppose un paiement des intérêts , à la fin de la période de prêt ; dans le cas contraire où l’on exige de l’emprunteur de payer les intérêts , au début de la période de prêt, c’est-à-dire au moment du versement par le

prêteur du capital prêté, le prêt est dit, prêt à intérêt précompté  à la date de la souscription.

Dans le cas d’un prêt précompté, l’emprunteur ne paie pas un intérêt calculé au taux d’intérêt annoncé mais, en réalité, il paie un intérêt calculé à un taux plus élevé appelé taux effectif. C’est le cas notamment des bons du Trésor public qui paie les intérêts au moment de leur souscription.

Exemple 16 : Kamal prête une somme de 10 000,00 DH à Said, aux conditions suivantes :

¤  Durée : 6 mois ;

¤  Taux d’intérêt simple : t = 10% l’an ;

¤  L’intérêt est versé lors de la signature du contrat.

L’intérêt I engendré par ce prêt est :

= 10000,00 ´ 6 ´ 0,1 =

I 500,00 DH 12

Kamal qui prête 10 000,00 DH, reçoit immédiatement 500,00 DH. Donc tout se passe comme si Kamal n’a prêté que 9 500,00 DH et reçoit, en fin de prêt, la somme de 10 000 DH. Le problème se pose alors de la façon suivante :

Quel est le taux d’intérêt d’un capital de 9 500,00 DH qui, au bout de 6 mois, produit un intérêt de 500 ,00 DH ? Ce taux s’appelle le taux effectif ou t_eff.

C’est là une question à laquelle nous savons répondre facilement en utilisant la formule (8) donnant le taux d’intérêt en fonction de C, n et I :

Said qui a emprunté, va donc payer un taux effectif de 10,53% supérieur au taux affiché qui est de 10%.

Cas général : Soit un capital C prêté à intérêt précompt é au taux annoncé t_apendant unedurée n exprimée en jours.

Pour l’emprunteur, du moment que l’intérêt est précompté, c’est-à-dire qu’il est payé, d’avance, le capital effectivement emprunté est :

…

On déduit l’expression donnant le taux effectif t_eff en fonction du taux annoncé t_a :

Si la durée est exprimée en mois , cette formule devient :

On remarque que le taux effectif ne dépend pas du capital C, ce qui est normal. Il ne doit dépendre que du taux affiché et de la durée de l’emprunt.

Exemple 17 : Le taux effectif correspondant àun taux d’intérêt précompté de 10% pendantune durée de placement de 6 mois est :

Il s’agit purement et simplement du même exemple 15 pour lequel on trouve évidemment le même résultat.

Exemple 18 : Calculer le taux annoncé t_ad’un prêtà intérêt précompté , octroyé pendant150 jours, dont le taux effectif est de 8% :

A partir de la formule donnant le taux effectif, on peut calculer le taux annoncé :

1.4.2. Taux d’intérêt réel.

Généralement, la banque facture , lors de l’octroi d’un prêt, certains frais, (frais d’ouverture de dossier, etc.), dans ces conditions, l’emprunteur paie un taux d’intérêt réel supérieur au taux annoncé, en effet, si le capital prêté, pendant n jours est C, que le taux d’intérêt annoncé est t_a

et que les frais facturés, par la banque sont f, le taux réel t_r, dans le cas où les intérêts ne sont pas précomptés, se calcule comme suit :

Remarquons que le taux d’intérêt réel t_r est bien supérieur au taux annoncé t_a et qu’il ne dépend pas de la durée du prêt.

Exemple 19 : Quel est le taux d’intérêt réel d’un prêt de 10000,00 DH, accordé pendant 75jours, au taux annoncé de 7% si les frais de dossier retenus par la banque s’élèvent à 150,00 DH

On reprend la formule (36) du taux d’intérêt réel qu’on vient d’établir :

Exemple 20 : Quel sont les frais que facture la banque si lors de l’octroi d’un prêt de

25 000,00 DH, le taux annoncé et le taux réel sont égaux respectivement à 7% et 7,05% ?

En reprenant la formule donnant le taux réel t_r en fonction du taux annoncé t_a, nous pouvons calculer les frais f facturés par la banque :

= 25 000,00 ´ (0,0705 - 0,07) =

f 177,30 DH 0,0705

1.5. EQUIVALENCE DE CAPITAUX.

La notion d’équivalence de 2 capitaux intervient lorsqu’on désire remplacer un capital placé ou prêté par un autre capital de façon qu’il n’y ait aucun avantage pour le préteur ou l’emprunteur. Pour ce faire et comme un capital placé ou prêté produit un intérêt, en fin de période, les 2 capitaux doivent avoir la même date d’échéance et la même valeur acquise à  cette date.

La définition de l’équivalence de 2 capitaux se déduit facilement de ce qui vient d’être dit :

1.5.1. Equivalence de deux capitaux placés le même jour et ayant la même échéance.

On considère 2 capitaux ayant les caractéristiques suivantes :

Les 2 capitaux C₁ et C₂ sont équivalents, c’est-à-dire que l’un peut remplacé l’autre, si leur valeur acquise sont égales, à leur date commune d’équivalence.