Exercices avec corriges detailles pour apprendre la statistique et prpbabilite de A a Z

Exercices avec corriges detailles pour apprendre la statistique et prpbabilite de A a Z

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Exercices

Calculs simples de probabilité s 1.1

Quatre hommes déposent leur chapeau au vestiaire en entrant dans un res­taurant et choisissent au hasard en sortant 1 des 4 chapeaux. Calculer les probabilité s suivantes.

1. Aucun des 4 hommes ne prend son propre chapeau.
2. Exactement 2 des 4 hommes prennent leur propre chapeau.

1.2

Aurélie et Nicolas jouent aux dés. Ils lancent tour à tour 2 dés et observent les chiffres sortis. Quand la somme est 7 ou le produit 6, Aurélie marque un point; quand la somme est 6 ou le produit 4, Nicolas en marque 1. Pour qui parieriez-vous?

1.3

Parmi les familles de 2 enfants, la moitiése trouve être bien répartie, c’est­à-dire composée d’autant de garçons que de filles. En est-il de même parmi les familles de 4 enfants? (On suppose ici que chaque naissance donne avec équiprobabilité un garçon ou une fille.)

1.4

On tire au hasard 2 cartes d’un jeu de cartes de poker (52 cartes). Quelle est la probabilité qu’elles forment un black jack, ou autrement dit, que l’une soit un as et l’autre un dix, un valet, une dame ou un roi?

1.5

On classe 5 hommes et 5 femmes selon leur résultats lors d’un examen. On fait l’hypothèse que tous les scores sont différents et que les 10! classements possibles ont tous la même probabilité de se réaliser. On désigne le rang de la meilleure femme par X (par exemple X vaudra 2 si le meilleur résultat a étéobtenu par un homme et le suivant par une femme). Donner la fonction de fréquences de X, c’est-à-dire P(X = i) pour i = 1, ... ,10.

1.6

Problème posépar le Chevalier de Mérée à Pascal en 1654.

Quel est l’événement le plus probable: obtenir au moins 1 fois 1 as en lançant 4 fois un déou obtenir au moins 1 fois 1 double as en lançant 24 fois 2 dés?

1.7

On considère 3 événements A, B, et C.

• À l’aide d’un dessin des ensembles A, B et C, trouver une formule per­mettant de calculer P(A∪B∪C) si l’on connaît les probabilité s de chacun de ces événements et les probabilité s des intersections de ces événements.
• Démontrer cette formule à partir des axiomes de la théorie des probabilité s.

1.8

On considère une famille avec 2 enfants. On suppose que la venue d’une fille est aussi certaine que celle d’un garçon.

• Quelle est la probabilité que les 2 enfants soient des garçons sachant que l’aînéest un garçon?
• Quelle est la probabilité que les 2 enfants soient des garçons sachant qu’au moins un des enfants est un garçon?

1.9

On jette 2 dés équilibrés.

• Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant que les 2 résultats sont différents?
• Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant que leur somme vaut i? Calculer le résultat pour toutes les valeurs pos­sibles de i.

Probabilité s totales et théorème de Bayes

1.10

1. Probabilité s élémentaires 5

A, B, C, D et E, respectivement. On suppose que les pannes simultanées dans plus d’une composante à la fois sont si rares qu’on peut les négliger.

1. Si une panne du système n’est pas causée par A, quelle est la probabilité qu’elle soit causée par B?
2. Si une panne du système n’est causée ni par A, ni par B, quelle est la probabilité qu’elle soit causée par C ou D?

1.11

On compte respectivement 50, 75, et 100 employés dans 3 entrepôts A, B et C, les proportions des femmes étant respectivement égales à 50 %, 60 % et 70 %. Une démission a autant de chance de se produire chez tous les employés, indépendamment de leur sexe. Une employée donne sa démission. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’entrepôt C?

1.12

Tous les meilleurs joueurs du monde sont inscrits au tournoi de tennis de Diamond City pour lequel le 1^er prix est une rivière en diamants. On estime a priori que Roger Federer a 4 chances sur 10 de gagner, Andy Roddick 3 chances sur 10 et Leyton Hewitt 2 sur 10. Si par hasard Roger Federer se blesse et an­nule sa participation au dernier moment, que deviennent les chances respectives de Andy Roddick et Leyton Hewitt de remporter la rivière de diamants?

1.13

Dans un pays oùil naît autant de filles que de garçons, le docteur Gluck prévoit le sexe des enfants à naître. Il se trompe 1 fois sur 10 si c’est un garçon et 1 fois sur 20 si c’est une fille. Aujourd’hui il vient de dire à Mme Parisod qu’elle aurait une fille. Quelle est la probabilité pour que cela soit vrai?

1.14

Une compagnie d’assurance répartit les assurés en 3 classes: personnes à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité qu’une personne soit impliquée dans un accident sur une période d’un an est respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30. On estime que 20 % de la population est à bas risque, 50 % à risque moyen et 30 % à haut risque.

1. Quelle est la proportion d’assurés qui ont eu un accident ou plus au cours d’une année donnée?

1. Si un certain assurén’a pas eu d’accidents l’année passée, quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à bas risque?

1.15

Un avion est portédisparu. On pense que l’accident a pu arriver aussi bien dans n’importe laquelle de 3 régions données. Notons par 1 − ai la probabilité qu’on découvre l’avion dans la région i s’il y est effectivement. Les valeurs ai représentent donc la probabilité de manquer l’avion lors des recherches. On peut l’attribuer à diverses causes d’ordre géographique ou à la végétation propre à la région.

Quelle est la probabilité que l’avion se trouve dans la i^e région (i = 1, 2,3) si les recherches dans la région 1 n’ont rien donné?

1.16

À Londres il pleut en moyenne 1 jour sur 2 et donc la météo prévoit de la pluie la moitiédes jours. Les prévisions sont correctes 2 fois sur 3, c’est-à-dire les probabilité s qu’il pleuve quand on a prévu de la pluie et qu’il ne pleuve pas quand on a prévu du temps sec sont égales à 2/3. Quand la météo prévoit de la pluie, Mr. Pickwick prend toujours son parapluie. Quand la météo prévoit du temps sec il le prend avec probabilité 1/3. Calculer:

• la probabilité que Mr. Pickwick prenne son parapluie un jour quelconque;
• la probabilité qu’il n’ait pas pris son parapluie un jour pluvieux;
• la probabilité qu’il ne pleuve pas sachant qu’il porte son parapluie.

1.17

Le sultan dit à Ali Baba: « Voici 2 urnes, 4 boules blanches (b) et 4 boules noires (n). Répartis les boules dans les urnes, mais je rendrai ensuite les urnes indiscernables. Tu auras la vie sauve en tirant une boule blanche. »

• Quelle est la probabilité qu’Ali Baba ait la vie sauve s’il place les 4 boules blanches dans la 1^re urne et les 4 noires dans la 2^e?
• Idem avec 2b+2n dans la 1^re urne et 2b+2n dans la 2^e.
• Idem avec 3b dans la 1^re urne et 1b+4n dans la 2^e.
• Comment Ali Baba maximise-t-il ses chances?

1.18

1. Probabilité s élémentaires 7

la 1^re fois obtiendront une communication avec l’un de ces assistants. On de­mande aux autres de laisser leur numéro de téléphone. Trois fois sur 4 un assistant trouve le temps de rappeler le jour même, autrement le rappel a lieu le lendemain. L’expérience a montré que, dans cette clinique, la probabilité que le patient prospectif demande une consultation est de 0,8 s’il a pu parler immédiatement à un assistant, tandis qu’elle tombe à 0,6 et 0,4 respectivement s’il y a eu rappel du patient le jour même ou le lendemain.

1. Quel pourcentage des patients qui appellent demande une consultation?
2. Quel pourcentage des patients en consultation n’a pas eu à attendre qu’on les rappelle?

1.19

On a à disposition 2 tests sanguins pour le dépistage du HIV: d’une part l’ELISA, relativement bon marché(environ 20 E) et raisonnablement fiable, et d’autre part le Western Blot (WB), nettement meilleur mais beaucoup plus cher (environ 100 ^,E).

Un patient vient vers vous, un médecin, avec des symptômes vous suggérant qu’il peut être HIV-positif. Pour ce patient, le prévalence du HIV est estimée par la littérature médicale à P(A) = P(il est HIV-positif ) = 0,01. Les données concernant des personnes dont on connaît le statut HIV apportent:

P(ELISA positif HIV-positif) = 0,95;

P(ELISA négatif HIV-négatif) = 0,98.

En utilisant le théorème de Bayes, calculer:

P(HIV-positif 1 ELISA négatif) et P(HIV-négatif 1 ELISA positif).

Quelle(s) conséquence(s) peut-on en tirer sur l’utilisation de l’ELISA?

1.20

L’hôpital de Jujuy, petite ville du Nord-Ouest de l’Argentine, compte parmi ses malades 4 % qui sont d’origine basque, 58 % d’origine espagnole, 32 % d’origine indienne et 6 % d’origine italienne. Sachant que 3 % des Indiens ont un sang de rhésus négatif, ainsi que 87 % des Basques et 22 % des populations d’origine latine, quelle est la probabilité pour qu’une éprouvette de sang de rhésus négatif provienne d’un malade d’origine basque?

1.21

Depuis Genève (GVA) où il habite, Serge veut se rendre à Dublin (DUB) pour assister à un concert de U2. S’y étant pris un peu tard, tous les avions pour aller en Irlande sont presque pleins. Trois itinéraires différents et équiprobables s’offrent à lui: passer par Bruxelles (BRU), Munich (MUC) ou Francfort (FRA).

Nadine, qui est hôtesse d’accueil à l’aéroport, a une bonne expérience et fait l’estimation suivante:

– la correspondance partant de BRU a une probabilité  de 1/5 d’être pleine; – celle partant de MUC, une probabilité  de 1/4;

– celle partant de FRA, une probabilité  de 1/2.

Il existe encore une possibilité supplémentaire. Si Serge décide de passer par FRA (et la liaison FRA-DUB est complète), il aura le temps de prendre un train rapide qui l’amènera à MUC à temps pour prendre le vol MUC-DUB ^(à condition qu’une place soit disponible dans l’avion, bien entendu).

Cinq jours plus tard, Serge rencontre David et lui témoigne le plaisir qu’il a eu de pouvoir assister au concert de U2. Quelle est la probabilité  qu’il soit passé par MUC?

1.22

Le petit David est très friand de bonbons; il en a toujours quelques-uns dans les poches. Manquant d’esprit de décision quant à l’arôme qu’il préfère, il procède au jeu suivant. Dans sa poche gauche, il met 5 bonbons à l’orange et 3 à la fraise et, dans la droite, il en met 4 à l’orange et 2 à la fraise. Il tire ensuite une pièce et si elle donne pile, il pioche à gauche et si elle donne face, il se sert à droite. La pièce est bien sûr parfaitement équilibrée.

• Quelle est la probabilité qu’après 2 jets, il ait mangé2 bonbons ayant le même parfum?
• Il rentre ensuite chez lui et vide ses poches sur une table. Sa mère, au courant du jeu de son fils, trouve sur la table 7 bonbons à l’orange et 5 à la fraise. Aidez-la à trouver la séquence des 2 jets de pièce la plus probable qu’a eue David.

1. Le lendemain, David n’a plus que des bonbons à l’orange. Il en met 5 à gauche et 2 à droite. Il passe chez l’épicier pour en acheter à la fraise.

Sachant qu’il les mettra tous dans la poche droite, combien doit-il en acheter pour qu’au prochain jet, il soit le plus près possible d’avoir autant de chances d’en tirer un à l’orange ou à la fraise?

1.23

Un tribunal de 3 juges déclare un individu coupable lorsque 2 au moins des 3 juges estiment que cette décision est fondée. On admettra que si l’accusé est effectivement coupable, chaque juge se prononcera dans ce sens avec probabilité 0,7, ceci indépendamment des 2 autres. Cette probabilité  tombe à 0,2 dans le cas où l’accusé est innocent. 70 % des accusés sont coupables. Calculer la probabilité  que le juge 3 vote coupable dans chacune des situations suivantes:

• les juges 1 et 2 l’ont fait;
• le juge 1 a vot écoupable ou le juge 2 a vot écoupable;

1. Probabilité s élémentaires 9
2.  les juges 1 et 2 ont voté tous deux non coupables.

1.24

Freddy fait une sauce au vin que le monde entier vient goûter. Comme elle est très délicate, il la rate 1 fois sur 10 s’il utilise du Bordeaux ou du Bourgogne et 1 fois sur 5 avec du Côtes-du-Rhône. Dans sa cuisine, Freddy a une bouteille ouverte dont il a perdu l’étiquette. Connaissant la proportion de ces 3 vins dans sa cave, il estime que les chances que cette bouteille soit un Bordeaux, un Bourgogne ou un Côtes-du-Rhône sont respectivement 40 %, 30 % et 30 %. Freddy utilise cette bouteille pour faire sa sauce et la rate. Quelles doivent être ses nouvelles estimations sur la provenance de la bouteille?