Exercices corriges sur les techniques des marches financiers

Exercices corrigés sur les techniques des marchés financiers

Exercice 1 : le suivi d’une position de change

1. Il devra déboucler sa position au prix de 1,4122 ; en effet ses flux seront alors les suivants :

…

1. a. Il a gagné 5 pips sur les 5 premiers millions, il peut donc se permettre de racheter plus cher (5 pips au-dessus) les 5 millions suivants : son point mort est situé 5 pips au dessus de 1,4327, soit à 1,4332.
2. Il est en position short de 5 millions d’EUR/USD, son risque est une hausse de l’EUR/USD, le prix auquel il devra sortir de sa position est donc situé au dessus de son point mort.
3. Comme dans la première question, il est en position de 5 millions d’EUR/USD, le prix auquel il doit sortir de sa position est donc aussi situé à 200 pips de son point mort (mais au-dessus), c’est donc 1,4532.
4. a. Il est maintenant long de 10 millions d’EUR/USD. Il était short de 5 millions à 1,4332 et il les a rachetés à 1,4324, il a gagné 8 pips sur 5 millions, il peut se permettre d’en perdre 4 sur les 10 millions qu’il a maintenant en position. Son point mort est donc de 1,4320. Avec une position de 10 millions son prix stop loss doit être situé à 100 pips de son point mort et au dessous puisqu’il est en position longue.
5. Ses flux seront les suivants :

Point mort 2 ^{14 320 000} 2 1,4320 10 000 000

Prix stop loss 2 ^{14 220 000} 2 1,4220 10 000 000

Exercice 2 : les titres de taux

1. a. Le SVT sera servi à 100% sur la demande de 50 millions d’EUR qu’il a faite à 0,35% et sera servi à 80% sur la demande de 60 millions qu’il a faite à 0,36%, il aura donc acheté un ^{montant nominal de :} Montant nominal acheté 2 50 4 580 % 7 608 2 98 millions
2. Il aura gagné 0,5 BP (Basis Point) sur les 50 millions et 1,5 BP sur les 48 millions. Le taux étant exprimé en annuel alors que la période est d’environ 1/4 d’année, le gain sera approximativement de :

90,005 % 7 50 000 000 7 ¹₄: 4 90,015 % 7 48 000 000 7 ¹₄: 2 2425 EUR

2 49 959 199,99 4 47 959 713,84 2 97 918 913,83 EUR

Soit un gain de 2259,63 EUR

1. a. Le nombre de jours du 25/10/2009 au 24/12/2009 est de 60 et le nombre de jours total sur lequel porte le prochain coupon est de 365, soit un coupon couru de :

Coupon couru 2 ₃₆₅⁶⁰ 7 3,75 % 2 0,6164384 %

b. Le montant payé en EUR sera donc :

Montant payé 2 10 000 000 7 5102,93 % 4 0,6164384 %8

1. 10 354 643,84 EUR
2. Le taux actuariel i doit être tel que la somme des valeurs actuelles des flux payés soit égale à la somme des valeurs actuelles des flux reçus. On peut l’écrire en se situant à la date de paiement du premier flux, soit le 24/12/2009, mais elle est plus simple si on l’écrit en se situant à la date du 25/10/2009 :

Equation du taux actuariel en se situant à la date du 24/12/2009 :

Equation du taux actuariel en se situant à la date du 25/10/2009 :

…

Exercice 3 : mathématiques et statistiques

1. Calcul des dérivées :

f5x8 2 51 4 x8^KB

f L5x8 2 M3 7 51 4 x8^KN f LL5x8 2 12 7 51 4 x8^KD

1. Tous les tirages sont équiprobables, il suffit donc de calculer le nombre de tirages respectant la condition et diviser par le nombre total de tirages possibles.

…

1. On calcule dans un premier temps la probabilité de faire 3 fois pile sur les 3 premiers lancers, puis 7 fois face :

Proba de faire 3 fois pile puis 7 fois face 2 9¹₂:^B 7 9¹₂:^`

Le nombre de manières de placer les 3 lancers on l’on a obtenu pile parmi les 10 lancers est égal au nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 10, d’où la probabilité cherchée p.

5. Calcul de l’espérance mathématique de X :

dE5X8 2 b p_c 7 x_c 2 1,1ceF

Pour calculer la variance de X on étudie la variable aléatoire X² :

E5X²8 2 1,7

Variance5X8 2 E5X^J8 M hE5X8i^J 2 1,7 M 1,1² 2 0,49 Ecart– type de X 2 σ5X8 2 k0,49 2 0,7

6. On effectue un changement de variable en posant :

_{X 2} Y M 1,1 0,7

Proba5Y m 08 2 Proba 9^{Y M}_0,7^1,1 m ^M1,1_0,7: 2 Proba5X m M1,57148

En utilisant la fonction LOI.NORMALE.STANDARD 5ou NORMSDIST en anglais8 sur Excel^®, on obtient :

Proba5Y m 08 2 Proba5X m M1,57148 2 0,058

Exercice 4 : change à terme et swaps de change

1. Pour déterminer le prix à donner au client, on prend le plus défavorable des fourchettes, c’est-à-dire celles qui donnent le prix sera le plus élevé. On prend donc le haut de fourchette du spot et on enlève le minimum de points de swaps. La marge de 1500 USD pour un montant de 10 millions de GBP correspond à 1,5 pip, en effet :

1500

Marge en pips 2 _{10 000 000} 2 0,00015 soit 1,5 pip

Prix spot utilisé : 1,6580

Prix utilisé sur le swap : –3,98 pips , soit –0,000398

Prix donné au client 2 1,6580 M 0,000398 4 0,00015 2 1,657752 Y 1,6578

1. Le client veut acheter de l’USD contre EUR à terme 3 mois. Comme la cotation s’effectue avec l’EUR en devise directrice, il vaut mieux dire que le client souhaite vendre de l’EUR/USD. On utilise donc le bas de fourchette du spot EUR/USD, on soustrait le maximum de points de swaps (côté gauche de la fourchette) et on soustrait la marge.

Prix spot utilisé : 1,4969

Prix utilisé sur le swap : –10,60 pips , soit –0,001060 A ce prix, il faut soustraire la marge de 2 pips.

Prix donné au client 2 1,4969 M 0,001060 M 0,0002 2 1,495640 Y 1,4956

Comme il souhaite faire l’opération sur 10 millions d’USD, on peut lui présenter de la manière suivante :

Il achète à terme 10 000 000 USD en valeur 23/02/2010 et vend :

10 000 000

1,4956

2 6 686 279,75 EUR

Le client a acheté du GBP/USD à 1,6578 alors qu’il vaut maintenant 1,6135/37, il est donc potentiellement perdant.

Il ne veut plus acheter les GBP/USD en valeur 23/12, la banque va donc les vendre sur le marché en valeur 23/12 et les racheter en valeur 23/01, ce qu’elle fera sous la forme d’un swap Sell/Buy EUR/USD 1 mois.

Etant acheteuse à terme et vendeuse spot (au comptant) dans le swap, elle espère la différence la plus faible entre le terme et le spot , elle subit la cotation et aura donc la plus élevée, soit –3,12 pips, soit avec un prix spot en milieu de fourchette :

Prix spot 2 1,6136 et prix terme 2 1,613288

L’ancien contrat de terme est conservé et la banque fait un nouveau contrat aux conditions actuelles de marchés.

La banque augmentera le prix terme (puisque le client va acheter du GBP/USD à terme) à 1,6134. Elle annoncera donc au client qu’il vend valeur 23/12 ses GBP/USD à un prix de 1,6136 (ce qui annulera l’achat à terme précédent) et qu’il les achète valeur 23/01 à un prix de 1,6134.

Flux de la banque

Flux du client

1. Si le client ne veut pas avoir de flux le 23/12, la banque lui prêtera les 442 000 USD, qu’elle empruntera sur le marché sur la durée de 1 mois au taux de 0,35 %. Le nombre de jours du 23/12 au 23/01 est de 31.

Montant à rembourser par la banque 2 442 000 7 91 4 ^{31 7 0,35 %}: 2 442 133,21 USD

La banque débitera ce montant sur le compte du client au 23/01 et le client n’aura pas de flux au 23/12. Il devra donc payer un montant de :

–16 132 880–442 133,21216 575 013,21 USD

Soit un prix annoncé au client de 1,6577.

La banque aura donc annulé l’opération de vente à terme du client au 23/12.

Flux de la banque

Flux du client

1. Le client avait vendu de l’EUR/USD à 1,4956 alors que l’EUR/USD spot est maintenant à 1,4322/24, il est donc gagnant sur son opération.
2. Si le client veut effectuer une levée anticipée, la banque va faire sur le marché un swap Sell/Buy EUR/USD 2 mois (pour un montant de 10 millions d’USD au comptant et à terme) à

un prix de –1,92 pips (le plus défavorable pour elle) :

Prix spot 2 1,4323 et prix terme 2 1,432108

La banque répercutera ces prix au client en prenant une marge comprise entre 1 et 2 pips sur le prix de 1,432108. Elle augmentera donc le prix terme (puisque le client va acheter à terme) à 1,4323. La banque annoncera au client un achat valeur 23/12 de l’EUR/USD à 1,4323 et une vente valeur 23/02 à 1,4323 (ce qui annulera la vente à terme précédente). Le montant d’USD est stable à 10 millions, d’où on déduit les montants en EUR.

Flux de la banque

Flux du client

1. Si le client ne veut pas avoir de flux le 23/02, la banque lui prêtera la valeur actuelle des 295 497,81 EUR qu’elle empruntera sur le marché sur 2 mois à un taux de 0,65 %. Le nombre de jours du 23/12 au 23/02 est de 62.

La banque créditera donc ce montant sur le compte du client au 23/12 et le client n’aura pas de flux au 23/02. Il devra donc payer un montant de :

–6 981 777,564295 167,392–6 686 610,17 EUR

La banque annoncera au client un prix arrondi de 1,4955, ce qui donnera un montant exact d’EUR de 6 686 726,85.

Flux de la banque

Flux du client

Exercice 5 : le risque de taux et les opérations de Repo

1. L’opérateur pense que le taux actuariel de l’OAT va diminuer plus (ou augmenter moins) que le taux actuariel de la BUND. Il doit donc acheter des OAT et vendre des BUND. Il financera l’achat d’OAT en effectuant une opération de Repo dans laquelle il empruntera le cash et prêtera ses titres. Pour pouvoir vendre les BUND qu’il n’a pas il effectuera une opération de Reverse Repo dans la quelle il prêtera le cash obtenu par la vente des titres et empruntera les titres.

Une semaine plus tard, il vendra les OAT qu’il aura récupéré de l’opération de Repo et achètera les BUND qu’il rendra à la contrepartie de son opération de Reverse Repo.

1. Il doit ajuster les montants nominaux de telle sorte que pour un faible mouvement de taux un mouvement parallèle des taux entre l’OAT et le BUND lui soit indifférent ; pour cela, il faut que :

Nominal OAT 7 BPV OAT 2 Nominal BUND 7 BPV BUND

50 000 000 7 8,394 2 Nominal BUND 7 8,519

Nominal BUND 2 ^{50 000 000 7 8,394}Y 49 266 0008,519

1. Pour les OAT il effectue un emprunt de cash, il obtiendra donc le taux le plus élevé de la cotation, soit 0,40 %. Pour les BUND, il effectue un prêt de cash, il obtiendra donc le plus bas de la cotation, soit 0,33 %
2. Flux titres et cash des opérations en date de valeur du 24/12 et du 31/12 :

On peut supposer par exemple que le taux de l’OAT baisse d’1 BP et que le taux des Bunds reste stable. On néglige l’influence des opérations de Repo. Le montant gagné sera de l’ordre de :

50 000 000 7 8,394 7 0,01 % 2 41 970EUR

6. Calcul des montants payés pour racheter les OAT et revendre les BUND

Flux cash et titres au 31/12/2009 compte tenu du débouclement des opérations :

Le spread OAT-BUND est passé de 23 BP à 20,7 BP, soit une diminution de 2,3 BP et un gain approximatif de :

Gain approximatif 2 2,3 7 41 970 2 96 531 EUR

Exercice 6 : swaps et FRA

1. Les taux étant exprimés en monétaire ACT/360, la formule qui permet de calculer les discount factors (DF) est la suivante :

…

Les discount factors sur les grandes périodes se déduisent de la formule suivante : DF_t 2 DF_u 7 DF_tKu

où p est le nombre de jours de la petite période et g le nombre de jours de la grande période.

2. On peut déduire du DF 1 an le taux du 1 an en base 30/360 par la formule suivante :

DF^{F vd} 2 ¹ 2 0,99001117 d⁼où taux 2 1,008962 % ?1 4 taux 7 30 7 12@

360

Ce taux correspond à la valeur théorique du taux fixe d’un swap de durée 1 an contre Euribor

3 mois.

1. A est payeur du taux fixe de 1,008962 % pour un montant de 10 millions d’EUR . Les flux connus du swap seront les suivants :

…

4. a. On calcule dans un premier temps les taux forward à partir des discount factors :

Soit, en remplaçant les taux inconnus par leurs forward :
…

1. En calculant la jambe variable comme un prêt qui serait remboursé à la prochaine échéance connue, on obtient :

…

Le résultat est bien équivalent.

Exercice 7 : contrats futures sur indice actions et taux

1. Les contrats futures sur indices actions

Lundi 21/12/2009 au soir

L’opérateur est en position acheteuse de 20 contrats CAC janvier.

On peut calculer la marge en comparant le prix de négociation de chaque opération au cours de compensation :

Pour l’achat de 30 contrats :

Gain de 53824 M 38128 7 30 7 10 2 3600

Pour la vente de 10 contrats :

Perte de 53824 M 38208 7 10 7 10 2 400

Soit une marge à recevoir de 3200 EUR.

Mardi 22/12/2009 au soir

L’opérateur est en position acheteuse de 20 contrats CAC février.

Il a juste roulé sa position d’une échéance à l’autre. Si l’opération de spread a été réalisée avec un CAC janvier à 3810, le CAC février a été réalisé à 3811,5. La marge sur l’échéance janvier est donc

Perte de 53824 M 38108 7 20 7 10 2 2800 EUR et la marge sur l’échéance février :

Perte de 53811,5 M 38008 7 20 7 10 2 2300 EUR

Soit une marge à payer de 5100 EUR.

1. Les contrats futures sur les taux longs
2. L’opération de cash and carry consiste à acheter les titres du gisement, vendre le contrat et livrer les titres au moment de l’échéance du contrat. Le calcul est effectué sous l’hypothèse d’une stabilité du cours du contrat.

b. Taux de cash and carry du BUND 2,50 % 10/10/2014 :

Montant payé au moment de l⁼achat du titre 2 101,44 % 4 0,5136986 % 2 101,9536986 %

Montant récupéré au moment de la livraison

2 117,02 % 7 0,862992 4 1,0342466 % 2 102,02157044 %

Taux de cash and carry du BUND 3,75 % 04/01/2015 :

Montant payé au moment de l⁼achat du titre 2 107,08 % 4 3,6369863 % 2 110,7169863 %

Montant récupéré au moment de la livraison

2 117,02 % 7 0,907986 4 0,6678082 % 2 106,92032992 %

Montant du coupon touché replacé à 0,60 % 2 3,75 % 7 91 4 ^{0,60 % 7 65}: 360

2 3,7540625 %

Taux de cash and carry

₂ 106,92032992 % 4 3,7540625 % M 110,7169863 % ₇ 360

110,7169863 %                                                                     76

2 – 0,18 %

La moins chère à livrer est donc la BUND 2,50 % 10/10/2014. c. On utilise le ratio de couverture suivant :

BUND 5 ans, on joue un aplatissement de courbe entre le 5 ans et le 10 ans (c’est-à-dire que le taux du 10 ans baisse plus ou monte moins que le taux du 5 ans) et aussi sur une amélioration de la signature de l’Etat français par rapport à celle de l’Etat allemand.

3. Les contrats futures sur les taux courts.

a. Déduire des cotations des contrats les taux forward 3 mois dans 3 mois, dans 6 mois et dans 9 mois.