Exercices corriges a propos de la finance
Exercices corrigés
n Cas Markoland
n Beta et SML
n Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement exclusifs
n SML et ratio de Sharpe
n Risque et coefficient de corrélation
n Trois actifs parfaitement corrélés
n Portefeuille de variance minimale
n Actifs parfaitement corrélés, vente à découvert
| Are Markets Efficient? Harvard Economic Review (avec la permission de Dilbert !) | 1 | n Arbitrage | 2 |
Le cas Markoland
n Cas extrait d’un livre d’exercices corrigés et de cas
n « Gestion de portefeuille et théorie des marchés financiers »
n Marie-Agnès Leutenegger, Economica, 3ième édition
n Données du problème
n Titres A et B de prix aujourd’hui 120 € et 1700 €, valeur d’un part de portefeuille de marché M aujourd’hui : 260 €
n Dividende de 10 € pour A et de 100 euros pour B, payés en fin de période.
| Probabilité | Cours de A en € | Cours de B en € | Valeur du portefeuille de marché M |
| 0.2 | 100 | 2200 | 250 |
| 0.3 | 130 | 1500  | 330 |
| 0.3 | 150 | 2000 | 340 |
| 0.2 | 180 | 2400 | 360 |
3
n Tableau des rentabilitésn Remarques sur la manière de mener les calculs
| Probabilité | rentabilité de A | rentabilité de B | rentabilité de M |
| 0.2 | ?8.33% | 35.29% | ?3.85% |
| 0.3 | 16.67% | ?5.88% | 26.92% |
| 0.3 | 33.33% | 23.53% | 30.77% |
| 0.2 | 58.33% | 47.06%  | 38.46% |
n Il est plus simple de compléter le tableau précédent à partir d’Excel
n Si Excel est disponible …
n Les fonctions statistiques standard d’Excel ne sont pas utiles ici
n Attention également aux différentes formules de calcul d’écart-type « dans l’échantillon » ou « dans la population » (ce dernier étant privilégié en finance)
| n Espérances de rentabilités | n Dans quelques cas, on peut simplifier les calculs à la main |
n n 0,2
nn Mais ce n’est pas généralisable
5 6
Le cas Markoland
n
7
Question 2 : n Question 2 :
n Il existe un actif sans risque de taux de rentabilité n
n
n Quelle est la prime de risque de marché
n Quelle est la rentabilité espérée des titres A et B d’après
l’équation de la SML ? n
n Comment interpréter les différences avec les rentabilités nespérées obtenues à la question 1 ?
9
n De même, on trouve que , %
Or, le premier calcul a donné
Comment interpréter la différence entre les 2 valeurs de ?
n Un (au moins) des deux calculs pose problème
n On a pu se tromper sur les probabilités des différentes rentabilités
n Ce qui affecte les calculs dans les deux approches
n Si les calculs sont effectués avec un échantillon de rentabilités observées, on a fait un calcul dans l’échantillon et non pas dans la population (ce qui revient à une erreur sur les données)
10
Le cas Markoland
n Question 2 : Comment interpréter cette différence ? (suite)
n S’il n’y avait aucun « bruit d’échantillonnage»
n Connaissance parfaite des lois de probabilité des rentabilité
n Et donc des espérances de rentabilité et des betas titres
n On pourrait encore se tromper sur le taux sans risque
n Si ce n’est pas le cas, soit le MEDAF est invalidé, soit les marchés sont inefficients
n Dans le premier cas, on donne une valeur normative au MEDAF
n C’est souvent l’approche des ouvrages académiques (la théorie prime)
n Ici, alpha de Jensen négatif
n Le taux de rentabilité proposé par le marché est inférieur au taux normatif du MEDAF
n Pour qu’il remonte et revienne « à la normale », le prix de A doit baisser
n Stratégie de vente à découvert du titre ?
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n Question 3 : on suppose que le portefeuille de marché M est Question 4 : l’investisseur s’est fixé un niveau de risque efficient et que c’est le portefeuille tangent. Établir l’équation de
de la CML n Calculer l’espérance de rentabilité de son portefeuille et
n La CML est la demi-droite qui relie l’actif sans risque et le sa composition portefeuille de marché dans le plan (écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités)
n Actif sans risque %
n Portefeuille de marché : , %, , %
n Soit un portefeuille P sur la CML. On écrit l’égalité des pentes entre l’actif sans risque et les portefeuilles P ou M
, % %
n(ratio de Sharpe de M)
n
Le cas Markoland
n Question 4 : l’investisseur s’est fixé un niveau de risque de
n Calculer l’espérance de rentabilité de son portefeuille et sa composition
n D’où
, où
n Or,
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Betas et SML
Question 5 : calculer le risque total, le risque de n Problème posé par P-A. Patard (2012) marché et le risque spécifique du titre B
n On rappelle que
n Où est le risque spécifique, le risque total et le risque de marché.
n On a déjà calculé
n ,
n D’où
n De , on tire
n Le risque spécifique de B est prépondérant.
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Betas et SML
n
n
19
Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement
Betas et SML exclusifs
n Problème : choisir parmi un ensemble de portefeuilles
n Le premier actif étant sans risque 0 (mutuellement) exclusifs
n 45%, 27%, 18% n Source : Finance 3e édition, Pearson, Collection Synthex
n 0, 2, 8
n Farber, Laurent, Oosterlink & Pirotte
n
n Pages 62 et suivantes
nnTante Gaga est soumise à un choix cornélien : dans quelle
en actif sicav va-t-elle investir son épargne ?Elle a reçu des offres
sans risque de trois banques (A, B et C) ayant des caractéristiques très
n Au sein de la poche risquée, la part investi dans le titre 1 différentes
est , dans le titre 2, et donc n %, % la part investie dans le titre 3 den %, %
n L’allocation est identique à celle du portefeuille de n %, % marché (supposé efficient) nLe taux sans risque,
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Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement exclusifs
n Problème : choisir parmi un ensemble de portefeuilles
(mutuellement) exclusifs
n Supposons que l’objectif de tante Gaga est d’obtenir une espérance de rentabilité de
n A) Quelle allocation d’actifs devrait-elle réaliser selon la sicav choisie et quel serait le risque correspondant ?
n B) Que devrait-elle choisir ?
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Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement exclusifs exclusifs
Problème : choisir parmi un ensemble de portefeuilles n Problème : choisir parmi un ensemble de portefeuilles
n Tante Gaga est maintenant prête à accepter que le risque n Si Tante Gaga exprime son objectif en termes de risque, la de son portefeuille soit de proportion à investir dans la sicav choisie est
n C) Quelle allocation d’actifs devrait-elle réaliser selon lan avec
sicav choisie et quelle serait l’espérance de rentabilité nL’espérance de rentabilité est alors correspondante ?
n D) Que devrait-elle choisir ? n
n E) Le choix de la sicav dépend-il de son objectif ?
n
nn
nn
nnTante Gaga choisit la solution qui lui donne la rentabilité
nattendue la plus élevée : la sicav B de nouveau
Choisir parmi 3 portefeuilles mutuellement exclusifs
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SML et ratio de Sharpe
Problème : caractérisation des portefeuilles efficients
n On considère un portefeuille
nespérance et écart-type de la rentabilité du portefeuille
n beta du portefeuille (par rapport au portefeuille de marché)
nespérance et écart-type de la rentabilité du portefeuille de marché
n taux sans risque
ncoefficient de corrélation entre la rentabilité du portefeuille et celle du portefeuille de marché
n Utiliser l’équation de la SML pour montrer que le ratio de Sharpe est maximal pour les portefeuilles efficients
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SML et ratio de Sharpe
n Problème : caractérisation des portefeuilles efficients n ratio de Sharpe du portefeuille :
n Équation de la SML :
n
n , puisque
n Le ratio de Sharpe du portefeuille est inférieur ou égal au ratio de Sharpe du portefeuille de marché
n Égalité si : le portefeuille est parfaitement corrélé avec le portefeuille de marché
n Portefeuilles combinant actif sans risque et , donc efficients
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Risque et coefficient de corrélation
n Problème : risque et coefficient de corrélation n Portefeuille de deux titres n Espérances de rentabilités : n Écart-types des rentabilités
n
n A) Représenter graphiquement dans le plan , le portefeuille précédent quand le coefficient de corrélation entre les rentabilités des titres et varie entre et .
n B) Trouver le coefficient de corrélation tel que l’écarttype de la rentabilité du portefeuille est égal à l’écarttype de la rentabilité du titre .
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Risque et coefficient de corrélation Risque et coefficient de corrélation
n
n
n
n
n
n
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Risque et coefficient de corrélation
n Problème : risque et coefficient de corrélation (suite)
n B) Trouver le coefficient de corrélation tel que l’écarttype de la rentabilité du portefeuille est égal à l’écart-
n
n
n
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n Problème : trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à n Problème : trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à découvert découvert
nnPremier cas de figure
n
n
n Quelle forme prend la frontière efficiente ?
n On distinguera deux cas de figure
n Remarque : on sait comment combiner les titres deux à deux séparément
n Il s’agit des segments de droite qui relient les points associés aux titres dans le plan
n Un dessin met en évidence deux cas de figure
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Trois actifs parfaitement corrélés
n Problème : trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à
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n Trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à découvert n Trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à découvert
n Ensemble des portefeuilles atteignables : intérieur du triangle nEnsemble des portefeuilles atteignables : intérieur du triangle
n premier cas de figure frontière efficiente n Second cas de figure frontière efficiente
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Trois actifs parfaitement corrélés
n Trois actifs, corrélations parfaites, pas de vente à découvert
n Introduction d’un placement sans risque, taux
n Quelle est la forme du portefeuille « tangent » intervenant dans la CML ? On distinguera les deux cas précédents, ainsi que l’influence du niveau du taux sans risque.
n Le portefeuille tangent est constitué d’actifs risqués
n La pente de la demi-droite reliant l’actif sans risque à un portefeuille est le ratio de Sharpe de ce portefeuille n Le portefeuille tangent maximise le ratio de Sharpe
n Les deux graphiques suivants montrent deux situations correspondant à deux valeurs de
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Exercice : portefeuille de variance minimale
n
n
Exercice : portefeuille de variance minimale
n Problème : portefeuille de variance minimale
n Minimum de , pas de contrainte de vente à découvert
n C) Quel est le minimum de la variance du portefeuille ?
n Minimum de
n
n
n Écriture de la forme canonique du trinôme
contrainte
Exercice : portefeuille de variance minimale Exercices complémentaires corrigés
n Tirés des partiels des années passées
octobre
Exercice : vente à découvert :
n Problème : titres avec des rentabilités parfaitement corrélés
n Deux titres
n Espérances de rentabilités :
n Écart-types des rentabilités
n Coefficient de corrélation entre les rentabilités :
n A) Représenter graphiquement dans le plan type des rentabilités en abscisse, espérance des rentabilités en ordonnée), l’ensemble des portefeuilles formés des titres et . On suppose qu’on ne peut vendre à découvert aucun
des deux titres.
n B) Représenter dans le plan , l’ensemble des portefeuilles formés des titres et . On ne peut vendre à découvert , mais c’est possible pour
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On prolonge le segment de droite précédent vers la droite
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Exercice : vente à découvert :
n Pour résoudre le problème B), il faut se souvenir que
n Quand le coefficient de corrélation est égal à ou à ,
n
n vendu à découvert () et où
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n C) On suppose que l’on peut vendre à découvert le titre n C) On suppose que l’on peut vendre à découvert le titre mais pas le titre . mais pas le titre .
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Exercice : vente à découvert :
n C) On suppose que l’on peut vendre à découvert le titre mais pas le titre .
n
n
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n C) On suppose que l’on peut vendre à découvert le titre n C) On suppose que l’on peut vendre à découvert le titre mais pas le titre . mais pas le titre .
Exercice : vente à découvert :
n D) Ensemble des portefeuilles formés des titres et qui ne sont jamais choisis par les investisseurs
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Exercice : corrélations parfaites - arbitrage Exercice : corrélations parfaites - arbitrage
n Examen du cas où des titres ou des portefeuilles de titres sont parfaitement corrélés
n Situation déjà examinée pour deux titres risqués
n L’ensemble des portefeuilles constitués des deux titres en quantités positives est représenté par le segment de droite reliant les points associés à ces deux titres
n Que se passe-t-il si on peut vendre à découvert ces deux titres ?
n Dans le cas où on combine un actif sans risque et un titre risqué, l’ensemble des portefeuilles est représenté par une demi-droite
n Y a-t-il un lien avec le cas précédent ?
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Exercice : corrélations Le segment de droite reliant les points A
et B représente l’ensemble des
parfaites - arbitrage portefeuilles combinant les titres 1 et 2,
en quantités positives, pour un niveau de corrélation égal à 1
n Corrélation Ep ? X E R1? ? ?? ?1 ??1? X E R1?? ? ?? ?2
| E E X E Ep ? ? ? ?2 1 ? 1 2? |
n Segment de droite ?
Espérance de rentabilité
| ?P ? ?? ? ?2X1? 1 ? 2? |
| E ?E Ep ? ?E2 ??P ??2?? 1 2 ?1 ??2 | |
?P ?X1 1? ? ??1 X1??2
Relation affine entre
Écart?type de espérance de rentabilité etla rentabilité écart?type des rentabilités 71
| ?12 ??1 |
?12 ??1 ?P2 ??X?1 ? ??1 X??2?2n Écart-type des rentabilités
n
73
| ?12 ??1 |
Exercice : corrélations parfaites arbitrage
partir de deux titres risqués
75
n Représentation des titres 1 et 2 et du portefeuille sans risque (3) n Le portefeuille 3 non risqué est constitué de titres 1 et 2
n Plan écart-type des rentabilités - espérance des rentabilités n Tout portefeuille constitué de titres 3 et de titres 1 est donc
composé de titres 1 et de titres 2
n En étudiant la CML, on a vu l’ensemble des portefeuilles constitué d’un placement sans risque et d’un titre risqué
n Ici le placement sans risque est le titre 3
n Il s’agit de la réunion de deux demi-droites
n La demi-droite inférieure correspond à des espérances de
| ?12 ??1 |
Exercice : corrélations parfaites arbitrage
n Représentation des titres 1 et 2 et du portefeuille sans risque (3) n Ensemble des portefeuilles formés de 1 et de 2
n Plan écart-type des rentabilités - espérance des rentabilités n Pour toutes les valeurs de
Exercice : corrélations parfaites arbitrage
n
n
n Si , on peut emprunter euros au taux et investir cette somme dans le titre
n La mise de fonds à la date courante est nulle
n À la date suivant la date courante, on doit rembourser l’emprunt soit
83
n La demi-droite noire représente les portefeuilles constitués
n Si l’on suppose maintenant que de placement sans risque et de titre
n On prête une somme au taux
n On vend à découvert des titres pour un montant
n L’investissement net à la date courante est nul
n On récupère à la date suivant la date courante le montant
n
n On a à nouveau construit une opportunité d’arbitrage
n S’il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage, on ne peut pas avoir
n La seule valeur de compatible avec l’absence d’opportunité d’arbitrage est
85
Exercice
n Exercice : étude du cas extrême
n Ensemble des portefeuilles constitués de deux actifs quand le coefficient de corrélation est égal à ?
n Fraction de la richesse investie dans le titre
n Rentabilité du portefeuille
n Espérances des rentabilités :
| E??R E XE RP??? P ? ? ?? ?1 ??1? X E R E X E E? ? ?? ?2 ? 2 ? ? 1 ? 2? |
n Variance des rentabilités :
Var??RP????P2 ? X2 2? ?1 ?212X?1? X???1 2 ??1? X?2?22
?P2 ? X2 2?1 ?2X?1? X???1 2 ??1? X?2?22
2
?P2 ??X?1 ??1? X??2? 87
n Représentation des deux titres et et du titre (sans risque) n Si on combine les titres 1 et 3, on obtient la demi-droite reliant n Plan (écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités) les points associés aux titres 1 et 3
89
Exercice
n On remarque que l’ensemble des portefeuilles constitués des titres n Étude du cas où les ventes à découvert sont interdites : risqués 1 et 2, quand 0 ? X ? 1
n a exactement la même forme géométrique que l’ensemble des nLe transparent précédent représente l’ensemble des portefeuilles constitués de l’actif sans risque et d’un actif risqué portefeuilles combinant les titres1et2, de rentabilité
n Réunion de deux demi-droites
n
n Ce n’est pas une coïncidence car quand , on peut n Dans le plan (écart-type des rentabilités, espérance des reconstituer un actif sans risque 3, à partir des titres 1 et 2. rentabilités)
n Le portefeuille 3 comporte une quantité non nulle de titre 1 n L’ensemble des portefeuilles de rentabilité
?2
X? ?0
? ?1 ? 2
nest donc inclus dans la réunion des deux demi-droites n L’ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 est présentées dans le transparent précédent. identique à l’ensemble des portefeuilles combinant le titre 1 et
le portefeuille3. n Déterminons quelle partie de deux demi-droites retenir
Exercice
n Examinons comment la rentabilité des portefeuilles constitués de titres et dépend de
R X RP ? ? ? ? ?1 ?1 X R X? 2, ?¡
n On rappelle que :
E??R E XE RP??? P ? ? ?? ?1 ??1? X E R E X E E? ? ?? ?2 ? 2 ? ? 1 ? 2?
n Au total X??0,1?? E E EP ??? 1,2??
95
n Ventes à découvert interdites :n Ventes à découvert interdites :
n La zone hachurée en rose correspond à l’ensemble des
portefeuilles tels que : n L’ensemble des portefeuilles formés des titres 1 et 2 en
n Les portefeuilles formés des titres 1 et 2 en quantités positives quantités positives est la réunion des deux segments de droitecorrespondent à l’intersection des deux demi-droites précédentesEPet de la zone hachurée E2
Liens entre notation du cours et des TD (rappels)
n Quelques notations supplémentaires (poly. de TD)
n
99