Livre avec exercices corriges sur la finance de marche

Livre avec exercices corrigés sur la finance de marché

CHAPITRE 3 Modélisation des marchés discrets

3.1      Modèle probabiliste

Nous nous donnons un espace probabilisé (Ω, F, P). Un élément générique de Ω est parfois appelé scénario (cette terminologie est propre aux mathématiques financières). La probabilité P représente la probabilité réelle du « monde » Ω dans lequel nous nous plaçons et est appelée probabilité historique. Dans nos problèmes de calcul de prix d’actifs dérivés, son rôle est de distinguer les scenarii importants de ceux qui ne le sont pas : elle donne les ensembles de mesure nulle. Comme nous supposerons souvent que la probabilité historique charge tous les scenarii, celle-ci jouera donc un rôle mineur et d’autres probabilités seront introduites sur Ω.

Nous verrons que, dans le cas des marchés dits complets, on peut sans véritable perte de généralité supposer Ω fini. Le fait que Ω soit fini permet de simplifier les preuves bien sûr et offre également une présentation beaucoup plus aisée des principaux concepts. En particulier, on ne doit pas faire d’hypothèse d’intégrabilité et l’on peut s’épargner beaucoup d’égalités ou d’inégalités P-p.s. Nous préciserons dans chaque chapitre dans quel contexte nous nous trouvons. Mais, sauf mention explicite du contraire (essentiellement dans les parties traitant des marchés incomplets), nous allons faire les trois hypothèses suivantes :

(i) l’espace Ω est supposé fini,

(ii) Ω est muni de sa tribu grossière P(Ω) (engendrée par tous les scenarii élémentaires

{ω}, ω ∈ Ω),

(iii) P({ω}) > 0 pour tout ω ∈ Ω : la probabilité historique charge tous les scenarii.

Un espace probabilisé (Ω, F, P) vérifiant (i), (ii) et (iii) est dit non redondant. La probabilité P sera aussi appelée probabilité non redondante. L’hypothèse de non redondance signifie qu’il n’y a pas dans Ω de scénario ω « inutile ».

Une probabilité P sur un espace non redondant est entièrement caractérisée par la donnée d’une famille

…

Par ailleurs, toute application X : Ω → R est une variable aléatoire réelle, puisque, pour tout borélien B ∈ B(R), X⁻¹(B) ∈ P(Ω).

L’espace vectoriel L_R(Ω, F, P) des variables aléatoires réelles sur Ω confond donc avec

le R-espace vectoriel de dimension |Ω|⁽¹⁾ des applications de Ω dans R, noté R^Ω. Il en est de même de L^∞_R(Ω, F, P) et de L^p_R(Ω, F, P) pour p ∈ ]0, ∞[ (l’indice _R sera souvent omis dans la suite). L’espérance par rapport à la probabilité P sera notée E_P ou, plus simplement, E en l’absence d’ambiguïté. Elle est définie par

E_P(X) =          p_ω X(ω).

ω∈Ω

À noter que, grâce à l’hypothèse de non-redondance, l’application

(X, Y ) 7→E(XY )

définit un véritable produit scalaire sur R^Ω.

Nous nous donnons un horizon de temps entier et fini T ∈ N^∗. En général, T correspond à l’horizon des actifs financiers à analyser.

Nous munissons alors l’espace probabilisé (Ω, F, P) d’une filtration (voir défini-tion 2.3.1), i.e. d’une suite croissante pour l’inclusion de sous-tribus de F, notée F = (F_t)_t{0,...,T}. La sous-tribu F_t représente l’information « observable » ou « dispo-nible » à chacun des instants t∈ {0, . . . , T } : la croissance pour l’inclusion rend compte du fait que l’information s’accumule au fil du temps. Le plus souvent, mais pas toujours, la tribu F₀ sera la tribu triviale, i.e.,

F₀ := { , Ω}

et la tribu terminale F_T la tribu grossière P(Ω). La trivialité de F₀ rend compte du fait que le présent est déterministe dès qu’il est observable et la grossièreté de F_T est

– comme la non-redondance – une caractéristique de la minimalité du modèle.

3.2      Actifs risqués et actif sans risque

Considérons un marché financier constitué de d + 1 actifs négociables notés selon les cas S⁰, S¹, . . . , S^d ou plus simplement 0, 1, . . . , d. Ce marché a pour horizon l’entier T ∈N^∗– on parle aussi de marché à T périodes – et t = 0, 1, 2, . . . , T désignent de façongénérique les T + 1 instants de cotation de ce marché. La nature des actifs financiers variera de problèmes en problèmes (actions sans dividendes, actifs négociables « associés » à des actions distribuant des dividendes, taux de change, taux d’intérêt). Pour chaque t ∈{0, . . . , T }, S_tⁱdésigne le prix (ou valeur ou cotation) de l’actif Sⁱà l’instant t⁽²⁾.Les S_tⁱ sont modélisés par des variables aléatoires positives, définies sur le même espace probabilisé filtré (Ω, F, F, P), où l’on rappelle que F = (F_t)_t{0,...,T}.

1. Il est implicite dans cette définition que ce marché fonctionne sans coût de transaction, qu’il n’y a donc pas de prix bid et ask pour les actifs sous-jacents. Il s’agit là évidemment d’une restriction peu réaliste même si elle est souvent adoptée.

Nous nous plaçons dans un cadre où, à chaque instant t, les prix des actifs négociables du marché sont observables et ne dépendent que de l’information « disponible » en t. Cela se traduit par le fait que, pour tout t∈ {0, . . . , T }, les prix (S_t⁰, S_t¹, . . . , S_t^d) des actifs à la date t sont F_t-mesurables. En particulier, ceci est équivalent à σ(S_t⁰, S_t¹, . . . , S_t^d) ⊂ F_t, où σ(S_t⁰, S_t¹, . . . , S_t^d) désigne la plus petite tribu sur Ω rendant les variables aléatoires S_tⁱ, i = 0, . . . , d, mesurables (voir définition 2.1.4). CommeF_test croissante pour l’inclusion,on en déduit qu’en fait

F_t^S0...Sd := σ(S_s⁰, S_s¹, . . . , S_s^d, i = 0, . . . , d, s = 0, . . . , t) ⊂ F_t,

…

3.2.1    Définition

En termes de modélisation, nous distinguerons l’actif S⁰ des autres actifs. Mathémati-quement, nous imposerons que

S₀⁰= 1   et      ∀ t ∈ {1, . . . , T },S_t⁰ > 0.

Grâce à l’hypothèse S_t⁰> 0, l’actif S⁰ permet de transférer, éventuellement à perte, de l’argent d’une date à l’autre. La quantité S_t⁰ représente la capitalisation à la date t d’une unité monétaire placée dans l’actif 0 à la date 0. Cet actif rend donc compte de la rémunération des liquidités, ainsi que de leur coût d’emprunt au jour le jour. Il est souvent appelé numéraire. Cet actif est relié à la notion de taux d’intérêt. En effet, la quantité définie, pour tout t∈ {1, . . . , T }, par

désigne le rendement de l’actif S⁰ entre t − 1 et t et n’est autre que le taux d’intérêt d’un placement fait en t, entre t et t + 1. Il s’agit donc du processus des taux d’intérêt à court terme, i.e. le montant des intérêts requis ou versé en t pour 1 euro emprunté ou placé en t −1. Ceci est équivalent à affirmer que₁₊¹_rtest le prix en t −1d’un0-coupon versant1

euro en t. Évidemment, on obtient que

s=1

Notons que l’on désigne souvent S⁰ sous le nom d’actif sans risque, à tort (puisque que l’on ne suppose même pas r_t> 0).

Par extension, les d autres actifs négociables du marché S¹, . . . , S^d sont appelés actifsrisqués. Nous noteronsS_t:= (S_t¹, . . . , S_t^d)le vecteur des prix des actifs risqués à l’instant t etS_t:= (S_t⁰, S_t)le vecteur des prix de l’ensemble des d + 1actifs.

Ainsi, si l’on résume les hypothèses faites :

(i) (Ω, F, P) est non redondant,

(ii) F est une filtration telle que F₀ = { , Ω} et F_T = F,

(iii) S = (S⁰, S) est F-adapté,

(iv) S₀⁰ = 1 et S_t⁰> 0, ∀t ∈ {1, . . . , T }.

Notation : Un tel marché financier est désigné par

M(Ω, P(Ω), P, F, S⁰, S).

Dans l’énoncé de certaines définitions, théorèmes et dans certains problèmes, nous considérerons un espace Ω infini non dénombrable et nous ne pourrons plus faire la première hypothèse (i) ; dans ce cas le marché sera alors noté

M(Ω, F, P, F, S⁰, S).

Dans les sections 3.3, 3.4 et 3.5, certaines définitions ou propositions sont données en se référant à F sans préciser si F = P(Ω) ou non, car ces énoncés, bien que donnés dans le cadre Ω fini, seront aussi utilisés dans le cadre infini.

Remarquons que, dans le cadre des modèles à temps continu, le numéraire S⁰ et les actifs risqués Sⁱ ne sont habituellement pas des processus de même nature probabiliste. Ce n’est pas le cas pour les marchés en temps discret. Mais nous allons voir dans le paragraphe suivant que, cependant, le numéraire S⁰ joue un rôle particulier au sein des actifs négociables.

3.2.2    Actualisation

La valeur actualisée d’un actif négociable est sa valeur exprimée en unités de numéraire : à chaque instant t∈ {0, . . . , T }, nous définissons donc la valeur actualisée de l’actif i par

_Si_Seⁱ_:=^t_.^tS_t⁰

Dans un univers déterministe, c’est la quantité de liquidités qu’il faut détenir à l’origine (t = 0) et qui, placée dans le numéraire S⁰ entre les dates 0 et t, aura pour valeur capitalisée S_tⁱ à la date t. L’actualisation consiste donc à évaluer les prix des actifs, non plus en unités monétaires (e), mais en unités de numéraire. On étalonne ainsi l’évolution des actifs risqués à l’aune de l’actif dit « sans risque », i.e. à la rémunération des liquidités.

Il est à noter que S^e_t⁰ = 1 identiquement pour t∈ {0, . . . , T }.

Les S^e_tⁱ sont évidemment des variables aléatoires positives définies sur Ω, F_t-adaptées (en particulier S^e_tⁱ n’a évidemment aucune raison d’être connue à la date initiale). Nous définissons alors le vecteur des prix actualisés des actifs risqués par

S^e:= (S^e1, . . . , S^ed).

3.3      Portefeuille, stratégie

Tout agent (ou opérateur ou investisseur) sur le marché décrit ci-dessus va se constituer un portefeuille et va donc détenir à chaque instant t ∈ {1, . . . , T } un certain nombre de chacun des actifs du marché. Dès la diffusion des cotations à l’instant t − 1, cet agent, au vu des informations disponibles à cet instant, c’est-à-dire F_t−1, va prévoir une modification de la composition de son portefeuille qui sera effective à l’instantt.

Nous noterons donc Φⁱ_t la quantité d’actif i détenue en portefeuille à la date t, ou, plus précisément, « sur la période ]t − 1, t] ».

Chaque Φⁱ_t est une variable aléatoire définie sur l’espace probabilisé filtré (Ω, F, F, P) associé au marché. Nous notons Φ_t := (Φ¹_t, . . . , Φ^d_t) le vecteur aléatoire des quantités

d’actifs risqués détenues à la date t∈ {0, . . . , T }, Φ = (Φ_t)_t{0,...,T} le processus (vectoriel) de ces quantités et, enfin, avec des notations évidentes, Φ := (Φ⁰, Φ).

Le choix de Φ_t ne dépend que de l’information disponible à la date t − 1 pour tout t ≥ 1 : Φ_testF_t−1-mesurable.

La suite Φ = (Φⁱ_t)_t{0,...,T} est donc supposée prévisible.

Le cas t = 0 est un peu particulier et nous verrons que les quantités investies à cette date n’interviennent pas réellement. Dès que F₀ = { , Ω}, Φ₀ étant F₀-mesurable, c’est une constante.

Par extension, nous dirons qu’un processus Φ est prévisible si

Φ_testF_t−1-mesurable,t∈{1, . . . , T}et Φ₀estF₀-mesurable.

Définition 3.3.1 Une suite(Φ_t)_t{0,...,T}de vecteursF-prévisibles à valeurs dansR^d+1est appelée portefeuille ou stratégie.

La définition suivante est propre au cas où Ω est infini.

Définition 3.3.2 Dans le cas oùΩest infini, les stratégies sont ditesP-admissibles si,en outre, pour tout t, (Φ :S^e)_t est Q-intégrable (voir la définition 2.3.4) lorsque Q parcourt une famille P de probabilités (voir le théorème 4.2.3 ci-après pour la définition de P).

D’après la remarque 3.4.4 ci-après, cela revient à supposer que la valeur du portefeuille est intégrable pour toute probabilité risque-neutre équivalente. On notera que, par exemple, les stratégies Φ bornées sont toujours admissibles.

Remarque 3.3.3 Nous avons choisi d’adopter la convention selon laquelle les stratégiessont prévisibles. Ce choix a été fait par souci de cohérence avec la modélisation en temps continu. On peut alternativement choisir les stratégies adaptées. On suppose alors que, pour tout t = 0, . . . , T − 1, Φⁱ_t représente la quantité d’actif i détenue sur la période [t, t + 1[ pour i = 0, . . . , d. Il faut alors modifier les définitions qui suivent en conséquence.

Le produit Φⁱ_tS_tⁱ correspond au montant investi en actif i = 0, . . . , d à la date t∈{0, . . . , T }. En conséquence, la valeur d’un tel portefeuille (ou stratégie) est donnée àchaque instant t par

V_t^Φ= Φⁱ_tS_tⁱ= Φ⁰_tS_t⁰+ Φ_t.S_t=Φ_t.S_t. i=0

Remarque 3.3.4 Nous ferons la convention suivante :X.Ydésignera systématiquementle produit scalaire des vecteurs aléatoires X par Y dans leur espace d’états. Ainsi, pour chaque ω ∈ Ω, Φ_t.S_t(ω) résulte d’un produit scalaire dans R^d et Φ_t.S_t(ω) d’un produit scalaire dans R^d+1.

Souvent, la valeur initiale du portefeuille joue un rôle particulier, elle sera notée x,

Si x > 0, il faut un capital pour initialiser la stratégie, si x < 0, à l’inverse, ce portefeuille dégage un « profit » au départ.

La valeur actualisée d’un portefeuille à la date t ∈ {0, . . . , T } est définie par

V^eΦ:=^VtΦ= Φ⁰+ Φ_t.S^e_t=Φ_t.S^e_t

t_St0          tS_t

où S^e_t = _St0 = (1, S^e_t) pour tout t ∈ {0, . . . , T }.

3.4      Autofinancement

Nous allons dans un premier temps traduire la notion d’autofinancement d’un portefeuille. Comme l’indique son nom, il s’agit de construire, date après date, un portefeuille se finançant lui-même : la liquidation du portefeuille de la date précédente permet exactement de construire celui de la date suivante.

Considérons donc les deux quantités suivantes pour t ∈ {1, . . . , T }

– la valeur du portefeuille juste après les cotations de l’instant t − 1 est donnée par

^Φt−1^.St−1^{= Φ0}t−₁^St⁰−₁^{+ Φ}t−1^.St−1^,

– la valeur du portefeuille après le redéploiement décidé par l’investisseur au vu des cotations de t − 1 et juste avant celles de t est donnée par

La conservation de la valeur – pendant financier de la loi de conservation de la masse – induit l’égalité immédiate suivante

^Φt−1^.St−1^=Φt^.St−1^.

D’où la définition suivante.

Définition 3.4.1 Un portefeuille(Φ_t)_t{0,...,T}de vecteursF-prévisibles à valeurs dansR^d+1 est autofinancé si, pour t ∈ {1, . . . , T },

V_t^Φ   =     V_t^Φ− V_t^Φ₋₁

=      Φ_t.S_t− Φ_t−1.S_t−1

=      Φ_t.S_t− Φ_t.S_t−1= Φ_t.  S_t.

D’où, l’identité

La notion d’autofinancement se traduit donc par le fait que la variation de valeur du portefeuille entre deux instants successifs t − 1 et t ne provient que de la variation des cours entre ces mêmes instants. En sommant les relations (3.4.3) entre les instants 1 et t, pour tout t∈ {1, . . . , T }, on obtient alors

…

La valeur d’un portefeuille autofinancé est donc à chaque instant la somme de l’investis-sement initial x = Φ₀.S₀ et des gains algébriques réalisés au fil des cotations.

L’équation (3.4.2) s’interprète à son tour, en séparant actifs risqués et sans risque, et en utilisant que S^e_t = 1,

Ceci signifie que l’on peut remanier son portefeuille autofinancé comme l’on veut sur les actifs risqués, sous réserve de se financer ou de placer ses excédents de liquidités en numéraire. En remarquant que, par hypothèse (voir l’équation (3.3.1)), Φ⁰₀ = x−Φ₀.S₀ et, par autofinancement, Φ⁰₁ = x − Φ₁.S₀, on établit par une récurrence immédiate l’identité

En d’autres termes, le processus des quantités d’actif sans risque (Φ⁰_t)_t{0,...,T} est entièrement déterminé par le couple constitué de l’investissement initial x et du pro-cessus Φ = (Φ_t)_t{0,...,T} des quantités investies en actifs risqués. On voit même que

(Φ⁰_t)_t{1,...,T} est entièrement déterminé par x et Φ = (Φ_t)_t{1,...,T}. Nous allons pour-suivre le raisonnement et montrer que la valeur d’un portefeuille autofinancé Φ dans

son ensemble est caractérisée par x et (Φ_t)_t{1,...,T}. Nous verrons, comme annoncé précédemment, que la stratégie à l’instant 0 n’intervient pas dans la détermination de

V ^Φ. Reprenons la démonstration de l’identité (3.4.4), mais en considérant cette fois le

…

s=1

Définition 3.4.2 On appelleracaractéristiques du portefeuille autofinancé Φ = (Φ⁰,Φ)–

au sens de sa valeur – le couple (x, (Φ_t)_t{1,...,T}), où x = Φ⁰₀ + Φ₀.S₀ et l’on notera de manière alternative

V_t^x,Φ:= V_t^Φ

la valeur du portefeuille autofinancé Φ à l’instant t.

Réciproquement, étant donné x∈ R et (Φ_t)_t{1,...,T}, un processus vectoriel F-prévisible à valeurs dans R^d, on peut construire (Φ⁰_t)_t{1,...,T} grâce à l’identité (3.4.6) de telle sorte que le portefeuille Φ = (Φ⁰_t, Φ_t)_t{1,...,T} soit autofinancé et que V_t^x,Φ = V_t^Φ. On notera que Φ⁰₀ et Φ₀ ne sont pas complètement identifiés : on sait juste que x = V₀^x,Φ =

V₀^Φ= Φ⁰₀+ Φ₀.S₀.

Remarque 3.4.3 Les stratégies à la date0ne sont pas très importantes pour définir lavaleur d’une stratégie autofinancée puisque V₀^Φ = Φ⁰₁ + Φ₁.S₀. On peut adopter plusieurs conventions :

(i) Φ⁰₀ = Φ⁰₁ et Φ₀ = Φ₁,

(ii) Φ⁰₀ = 0 et Φ₀.S₀ = x, i.e on débute la stratégie sans liquidités,

(iii) Φ⁰₀ = x et Φ₀ = 0, i.e on débute la stratégie sans actifs risqués.

Chacune de ces possibilités présente des avantages et des inconvénients, aussi choisirons-nous de ne pas spécifier Φ⁰₀ et Φ₀. Il faudra donc, dès à présent, considérer Φ = (Φ_t)_t{1,...,T}lorsque l’on écritV_t^x,Φ.

1. _˜

=     Φ₀ + (Φ :S)_t.

Remarque 3.4.5 Si l’on choisit des stratégies adaptées, la condition d’autofinancementchange. En effet, à la date t∈ {1, . . . , T }, l’investisseur – au vu de l’information disponible à la date t en l’espèce F_t – réajuste sa stratégie Φ_t−1 détenue entre [t−1, t[, en Φ_t détenue entre [t, t + 1[ ; ce réajustement se fait à la cotation de la date t et l’autofinancement s’écrit

Φ_t−1.S_t= Φ_t.S_t.

3.5      Financement avec entrée/sortie

Contrairement à la section précédente, nous allons envisager d’autoriser à chaque instant l’intervenant, soit à recevoir, soit à dépenser de l’argent en dehors des actifs financiers du marché. Ainsi, c’est le cas, par exemple, si l’intervenant reçoit un salaire ou décide de consommer en dehors des actifs financiers du marché, une partie de l’argent investi. Ce montant est décidé au vu de l’information disponible à la date t. Nous noterons donc

c_tle montant de liquidités dépensé ou reçu localement à la date t.

Chaque c_t est une variable aléatoire définie sur l’espace probabilisé filtré (Ω, F, F, P) associé au marché financier, elle est supposée F_t-adaptée.

Les notions liées à l’autofinancement avec entrée/sortie seront utiles pour parler de stratégie minimale de couverture (voir définition 5.1.3) et aussi, plus directement, pour modéliser et résoudre le problème de consommation optimale (voir problème 15).

Définition 3.5.1 Une suite(c_t)_t{0,...,T}de variables aléatoiresF-adaptées à valeursdans R est appelée processus d’entrée/sortie locale. Si c_t ≥ 0, on parle de consommationlocale.

Le choix fait dans la section précédente pour définir la valeur du portefeuille Φ ne tenait pas compte de l’apport ou du retrait d’argent à chaque date. Nous allons donc maintenant considérer la valeur du portefeuille une fois l’entrée/sortie locale effectuée, que nous noterons V_t^Φ,c, et donnée par

V_t^Φ,c:= V_t^Φ− c_t=Φ_t.S_t− c_t,t∈{0, . . . , T }.

Il est naturel de le désigner sous le nom de valeur nette d’entrée/sortie associée au portefeuille Φ et au processus d’entrée/sortie locale c (par extension nous appellerons souvent portefeuille le couple (Φ, c)). Les deux processus de valeurV^ΦetV^Φ,ccoïncidentévidemment en l’absence d’entrée/sortie locale c ≡0.

La valeur actualisée d’un portefeuille (Φ, c) est définie par

…

où c˜_t = _S^ct₀  pour tout t (processus d’entrée/sortie locale actualisé).

Intéressons-nous maintenant à la variation de la richesse de l’investisseur entre deux instants t − 1 et t, pour t ∈ {1, . . . , T }.

Considérons les trois quantités suivantes :

– la valeur du portefeuille juste après les cotations de l’instant t − 1 est

^Φt−1^.St−1^{= Φ0}_t−₁^S_t⁰−₁^{+ Φ}t−1^.St−1^,

– l’entrée/sortie locale en t − 1 est c_t−1,

– la valeur du portefeuille après le redéploiement – décidé par l’investisseur au vu des cotations de t − 1 et juste avant celles de t – et avant l’entrée/sortie locale à l’instant t est

Φ_t.S_t−1= Φ⁰S⁰₋+ Φ_t.S_t−1.

tt  1

En appliquant à nouveau, la loi de conservation de la valeur, on obtient

^Φt−1^.St−1−^ct−1^=Φt^.St−1

Ceci conduit à la définition ci-après.

Définition 3.5.2 Un portefeuille(Φ_t)_t{0,...,T}de vecteursF-prévisibles à valeurs dansR^d+1 est dit financé par un processus d’entrée/sortie locale (c_t)_t=0,...,T si, pour t ∈

{1, . . . , T },

^Φt−1^.St−1−^ct−1^=Φt^.St−1^.

Ceci se réécrit pour tout t∈ {1, . . . , T } en

Φ_t.S_t−1=−c_t−1.

Sous forme actualisée, on obtient pour tout t∈ {1, . . . , T }

Φ_t.S^e_t−1=−c˜_t−1.

Remarquons d’après la loi de conservation (3.5.1) que, pour t ∈ {1, . . . , T }

V_t^Φ,c= V_t^Φ,c− V_t^Φ₋^,c₁=Φ_t.S_t− c_t−(Φ_t−1.S_t−1− c_t−1)= Φ_t.S_t − c_t − Φ_t.S_t−1 = Φ_t.S_t − c_t.

D’où l’identité fondamentale

V_t^Φ=Φ_t.  S_t− c_t,t∈{1, . . . , T }.

(3.5.1)

(3.5.2)

(3.5.3)

(3.5.4)

Comme précédemment, l’investissement initial nécessaire à la mise en œuvre de la stratégie sera noté x, et vérifie donc

Nous allons nous appuyer sur cette formulation pour définir les caractéristiques d’un portefeuille. En effet, il est évident à partir de la formule (3.5.3) que

Φ⁰_t = Φ⁰_t−1 − ΔΦ_t.S^e_t−1 + c˜_t−1.

Ainsi, comme par définition Φ⁰₀ = x − Φ₀.S₀ + c₀, et d’après la formule (3.5.1), Φ⁰₁ = x −Φ₁.S₀. Par une récurrence immédiate, on obtient pour t ∈{2, . . . , T },

En d’autres termes, pour le processus d’entrée/sortie (c_t)_t{0,...,T} donné, l’équation de financement par entrée/sortie (3.5.1) permet de déterminer entièrement le processus des quantités d’actifs sans risque (Φ⁰_t)_t{0,...,T} à partir de l’investissement initial x et du processus Φ des quantités investies en actifs risqués. Comme dans le cas autofinancé, nous allons voir que la valeur du portefeuille V^Φ,c ne dépend pas de c₀ et Φ₀. Reprenons la preuve de la relation (3.5.4), mais en utilisant le processus des valeurs actualisées. En remarquant que S^e_t⁰ = 0, il vient que pour t ∈ {1, . . . , T }

…

Définition 3.5.3 On appellera caractéristiques – au sens de sa valeur – du portefeuille

Φ = (Φ⁰,Φ)financé par le processus entrée/sortiec, le triplet(x,(Φ_t)_t{1,...,T},(c_t)_t{1,...,T})où x = Φ⁰₀ + Φ₀.S₀ − c₀ et nous noterons de manière alternative

V_t^x,Φ,c:= V_t^Φ,c

la valeur à l’instant t d’un portefeuille Φ financé par le processus entrée/sortie c.

Soit x∈ R, Φ := (Φ_t)_t{1,...,T} un processus vectoriel à valeurs dans R^d, F-prévisible

et c := (c_t)_t{1,...,T} un processus réel F-adapté, alors on peut construire (Φ⁰_t)_t{1,...,T} grâce à l’identité (3.5.5), de telle sorte que (Φ_t)_t{1,...,T} soit financé par entrée/sortie et

que V_t^x,Φ,c := V_t^Φ,c. Encore une fois, Φ⁰₀, Φ₀ et c₀ ne sont pas complètement identifiés puisque l’on sait juste que x = Φ⁰₀ + Φ₀.S₀ − c₀.

Remarque 3.5.4 Les stratégies et la consommation à la date0ne sont pas trèsimportantes pour définir la valeur d’une stratégie financée par entrée/sortie puisque V₀^Φ,c= Φ⁰₁+ Φ₁.S₀− c₀. On peut adopter plusieurs conventions, chacune privilégiant lechoix d’une consommation nulle en 0 :

(i) Φ⁰₀ = Φ⁰₁, Φ₀ = Φ₁ et c₀ = 0,

(ii) Φ⁰₀ = 0, Φ₀.S₀ = x et c₀ = 0, (iii) Φ⁰₀ = x, Φ₀ = 0 et c₀ = 0.

Au vu de ces commentaires, nous choisissons de ne pas de spécifier Φ⁰₀et Φ₀ dans la suite. Nous allons introduire une notion de consommation cumulée et, de ce fait, il est pratique de choisir c₀ = 0.

Il faudra donc dès à présent considérer des suites Φ = (Φ_t)_t{1,...,T} et c = (c_t)_t{0,...,T} avec c₀= 0 lorsque l’on écrit V_t^x,Φ,c.

Remarque 3.5.5 Un portefeuille Φ financé par entrée/sortie est autofinancé si etseulement c = 0.

On voit alors que ces caractéristiques sont (x, Φ, 0). Nous adopterons bien évidemment les notations de la section précédente et noterons (x, Φ) en lieu et place de (x, Φ, 0), soit encore

V_t^Φ,0= V_t^Φet V_t^x,Φ,0= V_t^x,Φ.

Nous déduisons immédiatement de l’équation (3.5.8) les propriétés de linéarité et de croissance suivantes du processus (V_t^x,Φ,c)_t{0,...,T}.

Proposition 3.5.6 (a)L’application

(x, Φ, c) 7−→(V_t^x,Φ,c)_t{0,...,T}

est linéaire.

(b) L’application c 7→(V_t^x,Φ,c)_t{0,...,T} est décroissante au sens où, si c_t ≤ c⁰_t pour tout t∈{0, . . . , T }, alors

V_t^x,Φ,c≥ V_t^x,Φ,c0 ,t∈{0, . . . , T }.

(c) Pour tout t∈ {0, . . . , T }, l’application x 7→V_t^x,Φ,c est strictement croissante.

Définition 3.5.7 À partir d’une suite(c_t)_t{0,...,T}d’entrée/sortie locale (voir défini-tion 3.5.1), le processus d’entrée/sortie cumulée est défini par C₀ = c₀ = 0 et t

C_t= S_t^0X_S^cs₀ ,t∈{1, . . . , T }.   (3.5.9)

s=1     ^s

Alors c˜_t =   C_tet il est équivalent de se donner le processus C ou le processus c.

Nous utiliserons les caractéristiques (x, Φ, c) ou (x, Φ, C) selon les problèmes rencontrés. Remarquons que, dans un cadre déterministe, choisir la consommation cumulée revient à réaliser trois opérations. Tout d’abord, nous actualisons toutes les consommations locales en zéro, i.e pour tout s ∈ {0, . . . , t} nous calculons _S^cs₀ . Cela a alors un sens de s les sommer, i.e^Pt