Algorithmique pour le BTS
Alexandre Meslé
5 octobre 2012
Table des matières
Chapitre 1
Considérons la suite d’instructions suivante :
1. Faites chauffer de l’eau dans une casserole
2. Une fois que l’eau boue, placez les pâtes dans l’eau
3. Attendez dix minutes
4. Versez le tout dans un écumoire
5. Vos pâtes sont prêtes.
Vous l’aurez deviné, il s’agit des grandes lignes de la recette permettant de préparer des pâtes (si vous les voulez al dente, attendez un petit peu moins de 10 minutes). Cette recette ne vous expose pas le détail des réactions chimiques qui font que les pâtes cuisent en dix minutes, ni pourquoi il faut les égoutter. Il s’agit seulement d’une suite d’instructions devant être exécutées à la lettre. Si vous ne les suivez pas, vous prenez le risque que le résultat ne soit pas celui que vous attendez. Si vous décidez de suivre une recette, vous décidez de vous conformer aux instructions sans poser de questions. Par opposition, vous pouvez décider de créer vous-même une recette, cela vous demandera davantage de réflexion, et vous serez amené à élaborer d’une suite d’instructions qui vous permettra de retrouver le même résultat.
Considérons comme autre exemple une notice de montage. Elle est composée d’un ensemble d’étapes à respecter scrupuleusement. Il ne vous est pas demandé de vous interroger sur la validité de ces instructions, on vous demande juste de les suivre. Si vous vous conformez aux indications de la notice, vous parviendrez à monter votre bibliothèque Louis XV I. Si vous ne suivez pas la notice de montage, il vous restera probablement à la fin une pièce entre les mains, et vous aurez beau chercher ou` la placer, aucun endroit ne conviendra. Vous aurez alors deux solutions : soit vous démontez tout pour reprendre le montage depuis le début, soit vous placez cette pièce dans l’assiette qui est dans l’entrée en attendant le prochain déménagement, et en sachant que la prochaine fois, vous suivrez la notice Cet exemple est analogue au premier, vous avez entre vos mains une suite d’instructions à exécuter, si vous les suivez, vous obtenez le résultat attendu, sinon, il y a de très fortes chances que n’obteniez pas le résultat escompté. De la même fa¸con, le but n’est pas que vous vous demandiez pourquoi ou comment c¸a marche, la notice est faite pour que vous n’ayez pas à vous poser ce type de question. Si jamais vous décidez de créer un meuble (par exemple, une bibliothèque Nicolas Premier) à monter soi-même, il vous faudra fournir avec une notice de montage. C’est-à-dire une succession d’étapes que l’acquéreur de ce meuble devra suivre à la lettre.
On conclut de de la fac¸on suivante : nous avons vu qu’il existait des séquences d’instructions faites pour être exécutée à la lettre et sans se poser de questions, c’est le principe de l’algorithme. Nous retiendrons donc que Un algorithme est une séquence d’instructions exécutée de fa¸con logique mais non intelligente.
– Logique parce que la personne (ou la machine) qui exécute les instructions est capable de comprendre et exécuter sans erreur chacune d’elles.
– Non intelligente parce que la personne qui exécute l’algorithme n’est pas supposée apte à comprendre pourquoi la succession d’étapes décrite par l’algorithme donne bien un résultat correct.
Les premiers algorithmes remontent à l’antiquité. Par exemple l’algorithme de calcul du plus grand commun diviseur de deux nombres, appelé maintenant ”algorithme d’Euclide”. Il s’agissait en général de méthodes de calcul semblables à celle que vous utilisez depuis le cours élémentaire pour additionner deux nombres à plusieurs chiffres. Notez qu’à l’époque, on vous demandait juste d’appliquer la méthode sans vous tromper, on ne vous a pas expliqué pourquoi cette méthode marchait à tous les coups. Le principe était donc le même, vous n’aviez pas le niveau en mathématiques pour comprendre pourquoi la succession d’étapes qu’on vous donnait était valide, mais vous étiez capable d’exécuter chaque étape de la méthode. Avant même d’avoir dix ans, vous connaissiez donc déjà des algorithmes.
Le mot algorithme prend étymologiquement ses racines dans le nom d’un mathématicien arabe du moyen âge : Al-Kawarizmi. Les algorithmes sont extrêmement puissants : en concevant un algorithme, vous pouvez décomposer un calcul compliqué en une succession d’étapes compréhensibles, c’est de cette fac¸on qu’on vous a fait faire des divisions (opération compliquée) en cours moyen, à un âge ou` votre niveau en mathématiques ne vous permettait pas de comprendre le fonctionnement d’une division.
Contrairement aux mythe Matrix-Terminator-L’Odyssée de l’espace-I, Robot-R2D2 (et j’en passe) un ordinateur fonctionne de la même fac¸on qu’un monteur de bibliothèque (rien à voir avec l’alpinisme) ou votre cuisinier célibataire (il y a quand même des exceptions), il est idiot et pour chaque chose que vous lui demanderez, il faudra lui dire comment faire. Vous aller donc lui donner des successions d’instructions à suivre, et lui les respectera à la lettre et sans jamais se tromper. Une suite d’instructions de la sorte est fournie à l’ordinateur sous la forme de programme. Pour coder un programme, on utilise un langage de programmation, par exemple C, Java, Pascal, VB Selon le langage utilisé, une même instruction se code différemment, nous ferons donc dans ce cours abstraction du langage utilisé. Nous nous intéresserons uniquement à la fa¸con de combiner des instructions pour former des programmes, indépendamment des langages de programmation. Le but de ce cours est donc de vous apprendre à créer des algorithmes, c’est-à-dire à décomposer des calculs compliqués en successions d’étapes simples.
Une algorithme se présente comme une liste d’instructions, elles sont écrites les unes au dessus des autres et elles sont exécutées dans l’ordre, lorsque l’on conc¸oit une algorithme, il faut toujours avoir en tête le fait que l’ordre des instructions est très important. Le premier concept nécessaire pour concevoir un algorithme est celui de variable. Une variable est un emplacement dans la mémoire ou` est stockée une valeur. Une variable porte un nom, ce nom est laissé au choix du concepteur de l’algorithme, il doit commencer par une lettre et ne pas comporter d’espace. On se sert du nom d’une variable pour lire la valeur qui s’y trouve ou bien pour la modifier, une variable ne peut contenir qu’une seule valeur à la fois. Une valeur est numérique s’il s’agit d’un nombre, ou bien alphanumérique s’il s’agit d’une succession de symboles, par exemple des mots. Toute variable a un type : si une variable est de type numérique, il n’est possible d’y mettre que des valeurs numériques, si une variable est de type alphanumérique, il n’est possible d’y stocker que des valeurs alphanumériques.
L’affectation est une opération permettant de modifier la valeur d’une variable. La syntaxe de l’affectation est la suivante :
nomvariable ?? valeur
<nomvariable> est le nom de la variable dont on souhaite modifier la valeur, <valeur> est la valeur que l’on veut placer dans la variable. Notez bien que cette valeur doit être de même type que la variable. Par exemple,
place la valeur 5 dans la variable A. Si A contenait préalablement une valeur, celle-ci est écrasée. Il est possible d’affecter à une variable le résultat d’une opération arithmétique.
A ?? 5 + 2
On peut aussi affecter à une variable la valeur d’une autre variable
A ?? B + 2
La première instruction lit la valeur de B et la recopie dans A. la deuxième instruction, donc exécutée après la première, lit la valeur de B, lui additionne 2, et recopie le résultat dans A. Le fait que l’on affecte à A la valeur de B ne signifie pas que ces deux variables auront dorénavant la même valeur. Cela signifie que la valeur contenue dans B est écrasée par la valeur que contient Aau moment de l’affectation. Si la par la suite, la valeur de A est modifiée, alors la valeur de B restera inchangée. Il est possible de faire figurer une variable simultanément à gauche et à droite d’une affectation :
A ?? A + 1
Cette instruction augmente de 1 la valeur contenue dans A, cela s’appelle une incrémentation.
Exemple
Quelles sont les valeurs des variables après l’exécution des instructions suivantes?
A ?? C + 1
B ?? D + C
Construisons un tableau nous montrant les valeurs des variables au fil des affectations :
| instruction | A | B | C | D |
| début | n.i | n.i | n.i | n.i |
| A ?? 1 | 1 | n.i | n.i | n.i |
| B ?? 2 | 1 | 2 | n.i | n.i |
| C ?? 3 | 1 | 2 | 3 | n.i |
| D ?? A | 1 | 2 | 3 | 1 |
| A ?? C + 1 | 4 | 2 | 3 | 1 |
| B ?? D + C | 4 | 4 | 3 | 1 |
| C ?? D + 2 ? A | 4 | 4 | 9 | 1 |
n.i signifie ici non initialisée. Une variable est non initialisée si aucune valeur ne lui a été explicitement affectée. A ?? 1 modifie la valeur contenue dans la variable A. A ce moment-là de l’exécution, les valeurs des autres variables sont inchangées. B ?? 2 modifie la valeur de B, les deux variables A et B sont maintenant initialisées. C ?? 3 et D ?? A initialisent les deux variables C et D, maintenant toutes les variables sont initialisées. Vous remarquerez que D a été initialisée avec la valeur de A, comme A est une variable initialisée, cela a un sens. Par contre, si l’on avait affecté à D le contenu d’une variable non initialisée, nous aurions exécuté une instruction qui n’a pas de sens. Vous noterez donc qu’il est interdit de faire figurer du coté droit d’une affectation une variable non initialisée. Vous remarquez que l’instruction D ?? A affecte à D la valeur de A, et que l’affectation A ?? C + 1 n’a pas de conséquence sur la variable D. Les deux variables A et D correspondent à deux emplacements distincts de la mémoire, modifier l’une n’affecte pas l’autre.
Un littéral est la représentation de la valeur d’une variable. Il s’agit de la fa¸con dont on écrit les valeurs des variables directement dans l’algorithme.
– numérique : 1,2,0,?4,
– alphanumérique : ”toto”, ”toto01”, ”04”,
Attention, 01 et 1 représentent les mêmes valeurs numériques, alors que ”01” et ”1” sont des valeurs alphanumériques distinctes. Nous avons vu dans l’exemple précédent des littéraux de type numérique, dans la section suivante il y a un exemple d’utilisation d’un variable de type alphanumérique.
Afin que nous soyons certains de bien nous comprendre lorsque nous rédigeons des algorithmes, définissons de fac¸on précise des règles d’écriture. Un algorithme s’écrit en trois parties :
1. Le titre, tout algorithme porte un titre. Choisissez un titre qui permet de comprendre ce que fait l’algorithme.
2. La déclaration de variables, vous préciserez dans cette partie quels noms vous avez décidé de donner à vos variables et de quel type est chacune d’elle.
3. Les instructions, aussi appelé le corps de l’algorithme, cette partie contient notre succession d’instructions.
Par exemple,
| Algorithme : Meanless Variables : numériques : A, B, C alphanumériques : t DEBUT A ?? 1 B ?? A + 1 C ?? A A ?? A + 1 t ??”this algorithm is dumb” FIN |
La lisibilité des algorithmes est un critère de qualité prépondérant. Un algorithme correct mais indéchiffrable est aussi efficace qu’un algorithme faux. Donc c’est un algorithme faux. Vous devrez par conséquent soigner particulièrement vos algorithmes, ils doivent être faciles à lire, et rédigés de sorte qu’un lecteur soit non seulement capable de l’exécuter, mais aussi capable de le comprendre rapidement.
De nombreux algorithmes ont pour but de communiquer avec un utilisateur, cela se fait dans les deux sens, les sorties sont des envois de messages à l’utilisateur, les entrées sont des informations fournies par l’utilisateur.
Il est possible de demander à un utilisateur du programme de saisir une valeur. La syntaxe de la saisie est la suivante :
Saisir< nomvariable >
La saisie interrompt le programme jusqu’à ce que l’utilisateur ait saisi une valeur au clavier. Une fois cela fait, la valeur saisie est placée dans la variable nomvariable. Il est possible de saisir plusieurs variables à la suite,
SaisirA, B, C
place trois valeurs saisies par l’utilisateur dans les variables A, B et C.
Pour afficher un message à destination de l’utilisateur, on se sert de la commande
Afficher< message >
Cette instruction affiche le <message> à l’utilisateur. Par exemple,
Afficher”Hello World”
affiche ”Hello World” (les guillemets sont très importantes!). Il est aussi possible d’afficher le contenu d’une variable,
AfficherA
affiche l’écran le contenu de la variable A. On peut entremêler les messages et les valeurs des
variables. Par exemple, les instructions
Afficher”La valeur de la variable A est”;
AfficherA;
ont le même effet que l’instruction
Afficher”La valeur de la variable A est”, A
Lorsque l’on combine messages et variables dans les instruction d’affichage, on les sépare par des virgules. Notez bien que ce qui est délimité par des guillemets est affiché tel quel, alors tout ce qui n’est pas délimité par des guillemets est considéré comme des variables.
Cet algorithme demande à l’utilisateur de saisir une valeur numérique, ensuite il affiche la valeur saisie puis la même valeur incrémentée de 1.
| Algorithme : Affichage incrément Variables : numériques : a,b DEBUT Afficher”Saisissez une valeur numérique”Saisira b ?? a + 1 Afficher”Vous avez saisi la valeur ”, a, ”.” Affichera, ”+ 1 = ”, bFIN |
Nous mettrons maintenant de côté le type numérique pour privilégier les deux types suivants :
– entier, que nous utiliserons pour représenter des nombres entiers, éventuellement négatifs.
– réel, que nous utiliserons pour représenter des nombres réels.
Nous affinerons aussi les types alphanumériques en leur substituant les deux types suivants :
– caractère, qui est un type permettant de représenter un symbole, et un seul.
– cha^?ne, que nous utiliserons lorsque l’on voudra représenter zéro, un ou plusieurs caractères.
Les littéraux de type caractères seront délimités par des simples quotes (apostrophes) et les chaˆ?nes de caractères seront délimitées par des double-quotes (guillemets).
On appelle traitement conditionnel un bloc d’instructions dont l’exécution est soumise à la vérification d’un test.
La syntaxe d’un traitement conditionnel est la suivante :
| Si< condition >alors < instructions >fin si |
Les <instructions> ne sont exécutées que si <condition> est vérifiée. Par exemple,
| SiA = 0 alors Afficher”La valeur de la variable A est nulle.”fin si |
Si la variable A, au moment du test, a une valeur nulle, alors l’instruction Afficher "La valeur de la variable A est nulle." est exécutée, sinon, elle est ignorée.
Une condition peut être tout type de test. Par exemple,
A = 2
A = B
B <> 7
2 > 7
La condition A = 2 est vérifiée si la valeur contenue dans A est 2. A = B est vérifiée si les valeurs contenues dans A et dans B sont les mêmes. B <> 7 est vérifiée si B contient une valeur différente de 7. 2 > 7 est vérifiée si 2 est supérieur à 7, donc jamais, cette condition est donc fausse et ne dépend pas des valeurs des variables.
Le traitement conditionnel peut être étendue de la sorte :
| Si< condition >alors < instructions >sinon < autresinstructions >fin si |
Si <condition> est vérifiée, les <instructions> sont exécutées. Dans le cas contraire, donc si <condition> n’est pas vérifiée, alors ce sont les <autresinstructions> qui sont exécutées. Par exemple,
| Algorithme : Valeurs Distinctes Variables : entiers : a,b DEBUT Afficher”Saisissez deux valeurs entières” Saisira,b Sia = balors Afficher”Vous avez saisi deux fois la même valeur, à savoir ”, a, ”.”sinon Afficher”Vous avez saisi deux valeurs différentes, ”, a, ” et ”, b, ”.”fin si FIN |
Dans l’exemple ci-dessus, la condition a = b est évaluée. Si à ce moment-là les variables a et b contiennent la même valeur, alors la condition a = b sera vérifiée. Dans ce cas, l’instruction Afficher "Vous avez saisi deux fois la m^eme valeur, à savoir ", a, "." sera exécutée. Si la condition a = b n’est pas vérifiée, donc si les variables a et b ne contiennent pas la même valeur au moment de l’évaluation de la condition, c’est alors l’instruction Afficher "Vous avez saisi deux valeurs différentes, ", a, " et ", b, "." qui sera exécutée.
Il est possible d’imbriquer les SI à volonté :
| Sia < 0 alors Sib < 0 alors Afficher”a et b sont négatifs”sinon Afficher”a est négatif, b est positif”fin si Sib < 0 alors Afficher”b est négatif, a est positif”sinon Afficher”a et b sont positifs”fin si fin si |
Si par exemple a et b sont tous deux positifs, alors aucun des deux tests ne sera vérifié, et c’est donc le sinon du sinon qui sera exécuté, à savoir Afficher "a et b sont positifs".
Les connecteurs logiques permettent de d’évaluer des conditions plus complexes. Deux sont disponibles :
– et : la condition <condition1> et <condition2> est vérifiée si les deux conditions <condition1> et <condition2> sont vérifiées simultanément.
– ou : la condition <condition1> ou <condition2> est vérifié si au moins une des deux conditions <condition1> et <condition2> est vérifiée.
Par exemple, écrivons un algorithme qui demande à l’utilisateur de saisir deux valeurs, et qui lui dit si le produit de ces deux valeurs est positif ou négatif sans en calculer le produit.
| Algorithme : Signe du produit Variables : entiers : a,b DEBUT Afficher”Saississez deux valeurs entières” Saisira, b Afficher”Le produit de ”, a, ” par ”, b, ” est ” Si(a ? 0 et b ? 0) ou (a ? 0 et b ? 0)alors Afficher”positif ou nul”sinon Afficher”négatif”fin si FIN |
L’instruction Afficher "positif ou nul" sera exécutée si au moins une des deux conditions suivantes est vérifiée :
– a ? 0 et b ? 0
– a ? 0 et b ? 0
Lorsque que l’on souhaite conditionner l’exécution de plusieurs ensembles d’instructions par la valeur que prend une variable, plutôt que de faire des imbrications de si à outrance, on préférera la forme suivante :
| Suivant< variable >faire cas< valeur1> : < instructions1>cas< valeur2> : < instructions2> cas< valeurn > : < instructionsn > autres cas< instructions >fin |
Selon la valeur que prend la variable <variable>, le bloc d’instructions à exécuter est sélectionné. Par exemple, si la valeur de <variable> est <valeur 1>, alors le bloc <instructions 1> est exécuté. Le bloc <autres cas> est exécuté si la valeur de <variable> ne correspond à aucune des valeurs énumérées.
Ecrivons un algorithme demandant à l’utilisateur le jour de la semaine. Affichons ensuite le´ jour correspondant au lendemain.
| Algorithme : Lendemain Variables : entier : erreur chaˆ?nes : jour, lendemain DEBUT Afficher”Saisissez un jour de la semaine”Saisirjour erreur ?? 0 Suivantjourfaire cas”lundi” : lendemain ?? ”mardi” cas”mardi” : lendemain ?? ”mercredi” cas”mercredi” : lendemain ?? ”jeudi” cas”jeudi” : lendemain ?? ”vendredi” cas”vendredi” : lendemain ?? ”samedi” cas”samedi” : lendemain ?? ”dimanche” cas”dimanche” : lendemain ?? ”lundi” autres cas erreur ?? 1 fin Sierreur = 1 alors Afficher”Erreur de saisie”sinon Afficher”Le lendemain du ”, jour, ” est ”, lendemain, ”.”fin si FIN |
Vous remarquez que si l’on avait voulu écrire le même algorithme avec des Si, des imbrications nombreuses et peu élégantes auraient été nécessaires.
Le type Booléen sera utilisé pour des variables ne pouvant prendre que deux valeurs : vrai et faux. Il serait tout à fait judicieux de se demander quel est l’intérêt d’un tel type? Observons tout d’abord cet exemple :
| Algorithme : Lendemain Variables : booléen : erreur chaˆ?nes : jour, lendemain DEBUT Afficher”Saisissez un jour de la semaine”Saisirjour erreur ?? faux Suivantjourfaire cas”lundi” : lendemain ?? ”mardi” cas”mardi” : lendemain ?? ”mercredi” cas”mercredi” : lendemain ?? ”jeudi” cas”jeudi” : lendemain ?? ”vendredi” cas”vendredi” : lendemain ?? ”samedi” cas”samedi” : lendemain ?? ”dimanche” cas”dimanche” : lendemain ?? ”lundi” autres cas erreur ?? vraifin Sierreuralors Afficher”Erreur de saisie”sinon Afficher”Le lendemain du ”, jour, ” est ”, lendemain, ”.”fin si FIN |
Le test opéré lors du Si alors est effectué sur une expression pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par conséquent, un test peut aussi s’opérer sur une variable booléenne. Si la variable erreur contient la valeur vrai, alors le test est vérifié et l’instruction se trouvant sous la portée du alors est exécutée. Si par contre elle contient la valeur faux, alors le test n’est pas vérifié et l’instruction de trouvant sous la portée du sinon est exécutée.
Une boucle permet d’exécuter plusieurs fois de suite une même séquence d’instructions. Cette ensemble d’instructions s’appelle le corps de la boucle. Chaque exécution du corps d’une boucle s’appelle une itération, ou encore un passage dans la boucle. Il existe trois types de boucle :
– Tant que
– Répéter jusqu’à
– Pour
Chacune de ces boucles a ses avantages et ses inconvénients. Nous les passerons en revue ultérieurement.
La syntaxe d’une boucle Tant que est la suivante.
| Tant que< condition > < instructions >fin tant que |
La condition est évaluée avant chaque passage dans la boucle, à chaque fois qu’elle est vérifiée, on exécute les instructions de la boucle. Un fois que la condition n’est plus vérifiée, l’exécution se poursuit après le fin tant que. Affichons par exemple tous les nombres de 1 à 5 dans l’ordre
croissant,
| Algorithme : 1 à 5 Tant que Variables : entier : i DEBUTi ?? 1 Tant quei ? 5 Afficheri i ?? i + 1 fin tant que FIN |
Cet algorithme initialiseià 1 et tant que la valeur de i n’excède pas 5, cette valeur est affichée puis incrémentée. Les instructions se trouvant dans le corps de la boucle sont donc exécutées 5 fois de suite. La variable i s’appelle un compteur, on gère la boucle par incrémentations successives de i et on sort de la boucle une fois que i a atteint une certaine valeur. L’initialisation du compteur est très importante! Si vous n’initialisez pas i explicitement, alors cette variable contiendra n’importe quelle valeur et votre algorithme ne se comportera pas du tout comme prévu.
| répéter < instructions >jusqu’à< condition > ; |
La fonctionnement est analogue à celui de la boucle tant que à quelques détails près :
– la condition est évaluée après chaque passage dans la boucle.
– On exécute le corps de la boucle jusqu’à ce que la condition soit vérifiée, donc tant que lacondition est fausse.
Une boucle Répéter jusqu’à est donc exécutée donc au moins une fois. Reprenons l’exemple précédent avec une boucle Répéter jusqu’à :
| Algorithme : 1 à 5 Répéter jusqu’à Variables : entier : i DEBUTi ?? 1 répéter Afficheri i ?? i + 1 jusqu’ài > 5 FIN |
De la même fac¸on que pour la boucle Tant que, le compteur est initialisé avant le premier passage dans la boucle. Par contre, la condition de sortie de la boucle n’est pas la même, on ne sort de la boucle qu’un fois que la valeur 5 a été affichée. Or, i est incrémentée après l’affichage, par conséquent i aura la valeur 6 à la fin de l’itération pendant laquelle la valeur 5 aura été affichée. C’est pour cela qu’on ne sort de la boucle qu’une fois que i a dépassé strictement la valeur 5. Un des usages les plus courant de la boucle Répéter jusqu’à est le contrôle de saisie :
| répéter Afficher”Saisir un nombre strictement positif” Saisiri Sii ? 0 alors Afficher”J’ai dit STRICTEMENT POSITIF!”fin si jusqu’ài > 0 |
| Pour< variable > allant de < premierevaleur > à < dernierevaleur > [par pas de < pas >] < instructions >fin pour |
La boucle Pour fait varier la valeur du compteur <variable> entre <première valeur et <dernière valeur>. Le <pas> est optionnel et permet de préciser la variation du compteur entre chaque itération, le pas par défaut est 1 et correspond donc à une incrémentation. Toute boucle pour peut être réécrite avec une boucle tant que. On réécrit de la fac¸on suivante :
| < variable >??< premierevaleur > Tant que< variable ><>< dernierevaleur > + < pas > < instructions > < variable >??< variable > + < pas >fin tant que |
La boucle pour initialise le compteur <variable> à la <première valeur>, et tant que la dernière valeur n’a pas été atteinte, les <instructions> sont exécutées et le compteur incrémenté de <pas> si le pas est positif, et décrémenté de |<pas>| si le pas est négatif.
| Algorithme : 1 à 5 Pour Variables : entier : i DEBUT Pouri allant de 1 à 5 Afficherifin pour FIN |
Observez les similitudes entre cet algorithme et la version utilisant la boucle tant que. Notez bien que l’on utilise une boucle pour quand on sait en rentrant dans la boucle combien d’itérations devront être faites. Par exemple, n’utilisez pas une boucle pour pour contrôler une saisie!
Considérons un algorithme dont l’exécution donnerait :
Saisissez 10 valeurs :
4
90
5
-2
0
6
8
1
-7
39
Saisissez une valeur :
-7
-7 est la 9-ième valeur saisie.
Comment rédiger un tel algorithme sans utiliser dix variables pour stocker les 10 valeurs?
Une tableau est un regroupement de variables de même type, il est identifié par un nom. Chacune des variables du tableau est numérotée, ce numéro s’appelle un indice. Chaque variable du tableau est donc caractérisée par le nom du tableau et son indice.
Si par exemple, T est un tableau de 10 variables, alors chacune d’elles sera numérotée et il sera possible de la retrouver en utilisant simultanément le nom du tableau et l’indice de la variable. Les différentes variables de T porteront des numéros de 1 à 10, et nous appellerons chacune de ces variables un élément de T.
Une variable n’étant pas un tableau est appelée variable scalaire, un tableau par opposition à une variable scalaire est une variable non scalaire.
Comme les variables d’un tableau doivent être de même type, il convient de préciser ce type au moment de la déclaration du tableau. De même, on précise lors de la déclaration du tableau le nombre de variables qu’il contient. La syntaxe est :
< type >:< nom > [< taille >]
Par exemple,
entier : T[4]
déclare un tableau T contenant 4 variables de type entier.
Les éléments d’un tableau à n éléments sont indicés de 1 à n. On note T[i] l’élément d’indice i du tableau T. Les quatre éléments du tableau de l’exemple ci-avant sont donc notés T[1], T[2], T[3] et T[4].
Nous pouvons maintenant rédiger l’algorithme dont le comportement est décrit au début du cours. Il est nécessaire de stocker 10 valeurs de type entier, nous allons donc déclarer un tableau E de la sorte :
entier : E[10]
La déclaration ci-dessus est celle d’un tableau de 10 éléments de type entier appelé E. Il convient ensuite d’effectuer les saisies des 10 valeurs. On peut par exemple procéder de la sorte :
Afficher”Saisissez dix valeurs : ”
SaisirE[1]
SaisirE[2]
SaisirE[3]
SaisirE[4]
SaisirE[5]
SaisirE[6]
SaisirE[7]
SaisirE[8]
SaisirE[9]
SaisirE[10]
La redondance des instructions de saisie de cet extrait sont d’une laideur rédhibitoire. Nous procéderons plus élégamment en faisant une boucle :
| Pouri allant de 1 à 10 SaisirE[i] fin pour |
Ce type de boucle s’appelle un parcours de tableau. En règle générale on utilise des boucles pour manier les tableaux, celles-ci permettent d’effectuer un traitement sur chaque élément d’un tableau. Ensuite, il faut saisir une valeur à rechercher dans le tableau :
Afficher”Saisissez une valeur : ”Saisirt
Nous allons maintenant rechercher la valeur t dans le tableau E. Considérons pour ce faire la boucle suivante :
| i ?? 1 Tant queE[i] <> t i ?? i + 1 fin tant que |
Cette boucle parcourt le tableau jusqu’à trouver un élément de E qui ait la même valeur que t. Le problème qui pourrait se poser est que si t ne se trouve pas dans le tableau E, alors la boucle pourrait ne pas s’arrêter. Si i prend des valeurs strictement plus grandes que 10, alors il se produira ce que l’on appelle un débordement d’indice. Vous devez toujours veiller à ce qu’il ne se produise pas de débordement d’indice! Nous allons donc faire en sorte que la boucle s’arrête si i prend des valeurs strictement supérieures à 10.
| i ?? 1 Tant quei <= 10 et E[i] <> t i ?? i + 1 fin tant que |
Il existe donc deux fa¸cons de sortir de la boucle :
– En cas de débordement d’indice, la condition i <= 10 ne sera pas vérifiée. Une fois sorti de la boucle, i aura la valeur 11.
– Dans le cas ou` t se trouve dans le tableau à l’indice i, alors la condition E[i] <> t ne sera pas vérifiée et on sortira de la boucle. Un fois sorti de la boucle, i aura comme valeur l’indice de l’élément de E qui est égal à t, donc une valeur comprise entre 1 et 10.
On identifie donc la fa¸con dont on est sorti de la boucle en testant la valeur de i :
| Sii = 11 alors Affichert, ” ne fait pas partie des valeurs saisies.”sinon Affichert, ” est la ”, i, ”-ème valeur saisie.”fin si |
Si (i = 11), alors nous sommes sorti de la boucle parce que l’élément saisi par l’utilisateur ne trouve pas dans le tableau. Dans le cas contraire, t est la i-ème valeur saisie par l’utilisateur. Récapitulons :
| Algorithme : Exemple tableau Variables : entiers : E[10], i, t DEBUT Afficher”Saisissez dix valeurs : ” Pouri allant de 1 à 10 SaisirE[i] fin pour Afficher”Saisissez une valeur : ”Saisirt i ?? 1 Tant quei <= 10 et E[i] <> t i ?? i + 1 fin tant que Sii = 11 alors Affichert, ” ne fait pas partie des valeurs saisies.”sinon Affichert, ” est la ”, i, ”-ème valeur saisie.”fin si FIN |
Chapitre 2
Après les affectations suivantes :
A <- 1
B <- A + 1
A <- B + 2
B <- A + 2
A <- B + 3
B <- A + 3
Quelles sont les valeurs de A et de B?
Exercice 2 - Permutation des valeurs de 2 variables
Quelle série d’instructions échange les valeurs des deux variables A et B déjà initialisées?
Saisir le nom et l’âge de l’utilisateur et afficher ”Bonjour , tu as ans.” en rempla¸cant les par respectivement le nom et l’âge.
Exercice 4 - Permutation de 2 variables saisies
Saisir deux variables et les permuter avant de les afficher.
Exercice 5 - Moyenne de 3 valeurs
Saisir 3 valeurs, afficher leur moyenne.
Exercice 6 - Aire du rectangle
Demander à l’utilisateur de saisir les longueurs et largeurs d’un rectangle, afficher sa surface.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir 4 valeurs A,B,C,D et qui permute les variables de la fa¸con suivante :
| noms des variables | A | B | C | D |
| valeurs avant la permutation | 1 | 2 | 3 | 4 |
| valeurs après la permutation | 3 | 4 | 1 | 2 |
Dans l’exemple ci-dessus, on suppose que l’utilisateur a saisi les valeurs 1, 2, 3 et 4. Mais votre algorithme doit fonctionner quelles que soient les valeurs saisies par l’utilisateur.
On considère la permutation qui modifie cinq valeurs de la fa¸con suivante :
| noms des variables | A | B | C | D | E |
| valeurs avant la permutation | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| valeurs après la permutation | 4 | 3 | 5 | 1 | 2 |
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir 5 valeurs que vous placerez dans des variables appelées A, B, C, D et E. Vous les permuterez ensuite de la fa¸con décrite ci-dessus.
Exercice 9 - Permutation ultime Même exercice avec :
| noms des variables | A | B | C | D | E | F |
| valeurs avant la permutation | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| valeurs après la permutation | 3 | 4 | 5 | 1 | 6 | 2 |
Nous disposons d’un nombre illimité de pièces de 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0.02 et 0.01 euros. Nous souhaitons, étant donné une somme S, savoir avec quelles pièces la payer de sorte que le nombre de pièces utilisée soit minimal. Par exemple, la somme de 0.96 euros se paie avec une pièce de 0.5 euros, deux pièces de 0.2 euros, une pièce de 0.05 euros et une pièce de 0.01 euros.
1. Le fait que la solution donnée pour l’exemple est minimal est justifié par une idée plutôtintuitive. Expliquez ce principe sans excès de formalisme.
2. Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir une valeur positive ou nulle. Ensuite,affichez le détail des pièces à utiliser pour constituer la somme saisie avec un nombre minimal de pièces.
Vous choisirez judicieusement les types de vos variables numériques pour que les divisions donnent bien les résultats escomptés.
Que font les suites d’affectations suivantes?
| A ?? 1; B ?? 3; SiA ? Balors A ?? B; sinon B ?? A; fin si |
Pourriez-vous compléter les instructions suivantes?
SI A = 0 ALORS
SI B = 0 ALORS
Afficher A, " et ", B, " sont nuls."
SINON
Afficher
Exercice 3 - Majorité
Saisir l’âge de l’utilisateur et lui dire s’il est majeur.
Saisir une valeur, afficher sa valeur absolue. On rappelle que la valeur absolue de x est la distance entre x et 0.
Saisir une note, afficher ”ajourné” si la note est inférieure à 8, oral entre 8 et 10, admis dessus de 10.
Une compagnie d’assurance effectue des remboursements en laissant une somme, appelée franchise, à la charge du client. La franchise représente 10% du montant des dommages sans toutefois pouvoir être inférieure à 15 euros ou supérieure à 500 euros. Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir le montant des dommages et lui affichant le montant remboursé ainsi que le montant de la franchise.
Exercice 7 - Plus petite valeur parmi 3
Afficher sur trois valeurs saisies la plus petite.
Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur de saisir trois valeurs et qui lui dit s’il s’y trouve un doublon.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir 3 valeurs et qui les affiche dans l’ordre croissant.
Exercice 10 - Signe du produit
Saisir deux nombres et afficher le signe de leur produit sans les multiplier.
Exercice 11 - Valeurs distinctes parmi 3
Afficher sur trois valeurs saisies le nombre de valeurs distinctes.
Exercice 12 -ax + b = 0
Saisir les coefficients a et b et afficher la solution de l’équation ax + b = 0.
Exercice 13 -ax2 + bx + c = 0
Saisir les coefficients a, b et c, afficher la solution de l’équation ax2 + bx + c = 0.
Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur de saisir une heure de début (heures + minutes) et une heure de fin (heures + minutes aussi). Cet algorithme doit ensuite calculer en heures + minutes le temps écoulé entre l’heure de début et l’heure de fin. Si l’utilisateur saisit 10h30 et 12h15, l’algorithme doit lui afficher que le temps écoulé entre l’heure de début et celle de fin est 1h45. On suppose que les deux heures se trouvent dans la même journée, si celle de début se trouve après celle de fin, un message d’erreur doit s’afficher. Lors la saisie des heures, séparez les heures des minutes en demandant à l’utilisateur de saisir :
– heures de début
– minutes de début
– heures de fin
– minutes de fin
Ecrire un algorithme de saisir une date (jour, mois, année), et affichez la date du lendemain. Saisissez les trois données séparément (comme dans l’exercice précédent). Prenez garde aux nombre de jours que comporte chaque mois, et au fait que le mois de février comporte 29 jours les années bissextiles. Une année est bissextile si elle est divisible par 4 mais pas par 100
(\%C3\%A9e_bissextile).
Vous utiliserez l’instruction a mod b pour obtenir le reste de la division entière de a par b.
On indice les cases d’un échiquer avec deux indices i et j variant tous deux de 1 à 8. La case (i,j) est sur la ligne i et la colonne j. Par convention, la case (1,1) est noire.
Ecrire un programme demandant à l’utilisateur de saisir les deux coordonnées i et j d’une case, et lui disant s’il s’agit d’une case blanche ou noire.
Ecrire un programme demandant à l’utilisateur de saisir les coordonnées (i,j) d’une première case et les coordonnées (i0,j0) d’une deuxième case. Dites-lui ensuite s’il est possible de déplacer un cavalier de (i,j) à (i0,j0).
Donner des conditions sur (i,j) et (i0,j0) permettant de tester la validité d’un mouvement de tour, de fou, de dame ou de roi.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir deux valeurs numériques a et b, un opérateur op (vérifier qu’il s’agit de l’une des valeurs suivantes : +,?,?,/) de type caractère, et qui affiche le résultat de l’opération a op b.
Les exercices suivants seront rédigés avec les trois types de boucle : tant que, répéter jusqu’à et pour.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir une valeur numérique positive n et affichant toutes les valeurs n,n ? 1, ,2,1,0.
Exercice 2 - factorielle
Ecrire un algorithme calculant la factorielle d’un nombre saisi par l’utilisateur.
Repérer, dans les exercices de la section précédente, les types de boucles les plus adaptées au problème.
Pour les exercices suivants, vous choisirez la boucle la plus simple et la plus lisible.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir la valeur d’une variable n et qui affiche la table de multiplication de n.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir deux valeurs numériques b et n (vérifier que n est positif) et affichant la valeur bn.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir la valeur d’une variable n et qui affiche la valeur 1 + 2 + + (n ? 1) + n.
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir un nombre au clavier et lui disant si le nombre saisi est premier.
Ecrivez un algorithme saisissant un nombre n et calculant la somme suivante :
Vous remarquez qu’il s’agit des inverses des n premiers nombres entiers. Si le dénominateur d’un terme est impair, alors vous l’aditionnez aux autres, sinon vous le soutrairez aux autres.
Ecrire un algorithme demandant la saisie d’un nombre´ n et calculant nn. Par exemple, si l’utilisateur saisit 3, l’algorithme lui affiche 33 = 3 × 3 × 3 = 27.
?Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir deux valeurs numériques x et p et affichant
x avec une précision p. On utilisera une méthode par dichotomie : à la k-ème itération, on cherche x dans l’intervalle [min,sup], on calcule le milieu m de cet intervalle (à vous de trouver comment la calculer). Si cet intervalle est suffisament petit (à vous de trouver quel critère utiliser), afficher
?
m. Sinon, vérifiez si x se trouve dans [inf,m] ou dans [m,sup], et modifiez les variables inf et sup en conséquence. Par exemple, calculons la racine carrée de 10 avec une précision 0.5?,
– Commen¸cons par la chercher dans [0? ,10], on a m = 5, comme 52> 10, alors 5 > 10, donc
10 se trouve dans l’intervalle [0,5].
– On recommence, m = 2.5, comme 10, alors 10, on poursuit la recherche dans [
? ?
– On a m = 3.75, comme 3.752> 10, alors 3.75 > 10? et 10?? [2.5,3.75]
– On a m = 3.125, comme 3.1252< 10, alors 3.75 < 10 et 10 ? [3.125,3.75]
– Comme l’étendue de l’intervalle [3? .125,3.75] est inférieure 2 × 0.5, alors m = 3.4375 est une
approximattion à 0.5 près de 10.
Exercice 1 - Initialisation et affichage
Ecrire un algorithme les valeurs 1,2,3, ,7 dans un tableau T à 7 élément, puis affichant les éléments de T en partant de la fin.
Exercice 2 - Contrôle de saisie
Ecrire un algorithme pla¸cant 20 valeurs positives saisies par l’utilisateur dans un tableau à 20 éléments. Vous refuserez toutes les valeurs strictement négatives.
Exercice 3 - Choix des valeurs supérieures àt
Ecrire un algorithme demandant à l’utilisateur de saisir dix valeurs numériques puis de saisir une´ valeur t. Il affichera ensuite le nombre de valeurs strictement supérieures à t. Par exemple, si l’utilisateur saisit 4,19,3,?2,8,0,2,10,34,7 puis 3, alors le nombre de valeurs strictement supérieures à 3 parmi les 10 premières saisies est 6 (4,19,8,10,34 et 7).
