Algorithmique pour le BTS
Alexandre Meslé
5 octobre 2012
Table des matières
Chapitre 1
Considérons la suite d’instructions suivante :
1. Faites chauffer de l’eau dans une casserole
2. Une fois que l’eau boue, placez les pâtes dans l’eau
3. Attendez dix minutes
4. Versez le tout dans un écumoire
5. Vos pâtes sont prêtes.
Vous l’aurez deviné, il s’agit des grandes lignes de la recette permettant de préparer des pâtes (si vous les voulez al dente, attendez un petit peu moins de 10 minutes). Cette recette ne vous expose pas le détail des réactions chimiques qui font que les pâtes cuisent en dix minutes, ni pourquoi il faut les égoutter. Il s’agit seulement d’une suite d’instructions devant être exécutées à la lettre. Si vous ne les suivez pas, vous prenez le risque que le résultat ne soit pas celui que vous attendez. Si vous décidez de suivre une recette, vous décidez de vous conformer aux instructions sans poser de questions. Par opposition, vous pouvez décider de créer vous-même une recette, cela vous demandera davantage de réflexion, et vous serez amené à élaborer d’une suite d’instructions qui vous permettra de retrouver le même résultat.
Considérons comme autre exemple une notice de montage. Elle est composée d’un ensemble d’étapes à respecter scrupuleusement. Il ne vous est pas demandé de vous interroger sur la validité de ces instructions, on vous demande juste de les suivre. Si vous vous conformez aux indications de la notice, vous parviendrez à monter votre bibliothèque Louis XV I. Si vous ne suivez pas la notice de montage, il vous restera probablement à la fin une pièce entre les mains, et vous aurez beau chercher ou` la placer, aucun endroit ne conviendra. Vous aurez alors deux solutions : soit vous démontez tout pour reprendre le montage depuis le début, soit vous placez cette pièce dans l’assiette qui est dans l’entrée en attendant le prochain déménagement, et en sachant que la prochaine fois, vous suivrez la notice Cet exemple est analogue au premier, vous avez entre vos mains une suite d’instructions à exécuter, si vous les suivez, vous obtenez le résultat attendu, sinon, il y a de très fortes chances que n’obteniez pas le résultat escompté. De la même fa¸con, le but n’est pas que vous vous demandiez pourquoi ou comment c¸a marche, la notice est faite pour que vous n’ayez pas à vous poser ce type de question. Si jamais vous décidez de créer un meuble (par exemple, une bibliothèque Nicolas Premier) à monter soi-même, il vous faudra fournir avec une notice de montage. C’est-à-dire une succession d’étapes que l’acquéreur de ce meuble devra suivre à la lettre.
On conclut de de la fac¸on suivante : nous avons vu qu’il existait des séquences d’instructions faites pour être exécutée à la lettre et sans se poser de questions, c’est le principe de l’algorithme. Nous retiendrons donc que Un algorithme est une séquence d’instructions exécutée de fa¸con logique mais non intelligente.
– Logique parce que la personne (ou la machine) qui exécute les instructions est capable de comprendre et exécuter sans erreur chacune d’elles.
– Non intelligente parce que la personne qui exécute l’algorithme n’est pas supposée apte à comprendre pourquoi la succession d’étapes décrite par l’algorithme donne bien un résultat correct.
Les premiers algorithmes remontent à l’antiquité. Par exemple l’algorithme de calcul du plus grand commun diviseur de deux nombres, appelé maintenant ”algorithme d’Euclide”. Il s’agissait en général de méthodes de calcul semblables à celle que vous utilisez depuis le cours élémentaire pour additionner deux nombres à plusieurs chiffres. Notez qu’à l’époque, on vous demandait juste d’appliquer la méthode sans vous tromper, on ne vous a pas expliqué pourquoi cette méthode marchait à tous les coups. Le principe était donc le même, vous n’aviez pas le niveau en mathématiques pour comprendre pourquoi la succession d’étapes qu’on vous donnait était valide, mais vous étiez capable d’exécuter chaque étape de la méthode. Avant même d’avoir dix ans, vous connaissiez donc déjà des algorithmes.
Le mot algorithme prend étymologiquement ses racines dans le nom d’un mathématicien arabe du moyen âge : Al-Kawarizmi. Les algorithmes sont extrêmement puissants : en concevant un algorithme, vous pouvez décomposer un calcul compliqué en une succession d’étapes compréhensibles, c’est de cette fac¸on qu’on vous a fait faire des divisions (opération compliquée) en cours moyen, à un âge ou` votre niveau en mathématiques ne vous permettait pas de comprendre le fonctionnement d’une division.
Contrairement aux mythe Matrix-Terminator-L’Odyssée de l’espace-I, Robot-R2D2 (et j’en passe) un ordinateur fonctionne de la même fac¸on qu’un monteur de bibliothèque (rien à voir avec l’alpinisme) ou votre cuisinier célibataire (il y a quand même des exceptions), il est idiot et pour chaque chose que vous lui demanderez, il faudra lui dire comment faire. Vous aller donc lui donner des successions d’instructions à suivre, et lui les respectera à la lettre et sans jamais se tromper. Une suite d’instructions de la sorte est fournie à l’ordinateur sous la forme de programme. Pour coder un programme, on utilise un langage de programmation, par exemple C, Java, Pascal, VB Selon le langage utilisé, une même instruction se code différemment, nous ferons donc dans ce cours abstraction du langage utilisé. Nous nous intéresserons uniquement à la fa¸con de combiner des instructions pour former des programmes, indépendamment des langages de programmation. Le but de ce cours est donc de vous apprendre à créer des algorithmes, c’est-à-dire à décomposer des calculs compliqués en successions d’étapes simples.
L’affectation est une opération permettant de modifier la valeur d’une variable. La syntaxe de l’affectation est la suivante :
nomvariable ?? valeur
<nomvariable> est le nom de la variable dont on souhaite modifier la valeur, <valeur> est la valeur que l’on veut placer dans la variable. Notez bien que cette valeur doit être de même type que la variable. Par exemple,
place la valeur 5 dans la variable A. Si A contenait préalablement une valeur, celle-ci est écrasée. Il est possible d’affecter à une variable le résultat d’une opération arithmétique.
A ?? 5 + 2
On peut aussi affecter à une variable la valeur d’une autre variable
A ?? B + 2
La première instruction lit la valeur de B et la recopie dans A. la deuxième instruction, donc exécutée après la première, lit la valeur de B, lui additionne 2, et recopie le résultat dans A. Le fait que l’on affecte à A la valeur de B ne signifie pas que ces deux variables auront dorénavant la même valeur. Cela signifie que la valeur contenue dans B est écrasée par la valeur que contient Aau moment de l’affectation. Si la par la suite, la valeur de A est modifiée, alors la valeur de B restera inchangée. Il est possible de faire figurer une variable simultanément à gauche et à droite d’une affectation :
A ?? A + 1
Cette instruction augmente de 1 la valeur contenue dans A, cela s’appelle une incrémentation.
Exemple
Quelles sont les valeurs des variables après l’exécution des instructions suivantes?
A ?? C + 1
B ?? D + C
Construisons un tableau nous montrant les valeurs des variables au fil des affectations :
| instruction | A | B | C | D | ||||
| début | n.i | n.i | n.i | n.i | ||||
| A ?? 1 | 1 | n.i | n.i | n.i | ||||
| B ?? 2 | 1 | 2 | n.i | n.i | ||||
| C ?? 3 | 1 | 2 | 3 | n.i | ||||
| D ?? A | 1 | 2 | 3 | 1 | 4 | 2 | 3 | 1 |
| B ?? D + C | 4 | 4 | 3 | 1 | ||||
| C ?? D + 2 ? A | 4 | 4 | 9 | 1 |
n.i signifie ici non initialisée. Une variable est non initialisée si aucune valeur ne lui a été explicitement affectée. A ?? 1 modifie la valeur contenue dans la variable A. A ce moment-là de l’exécution, les valeurs des autres variables sont inchangées. B ?? 2 modifie la valeur de B, les deux variables A et B sont maintenant initialisées. C ?? 3 et D ?? A initialisent les deux variables C et D, maintenant toutes les variables sont initialisées. Vous remarquerez que D a été initialisée avec la valeur de A, comme A est une variable initialisée, cela a un sens. Par contre, si l’on avait affecté à D le contenu d’une variable non initialisée, nous aurions exécuté une instruction qui n’a pas de sens. Vous noterez donc qu’il est interdit de faire figurer du coté droit d’une affectation une variable non initialisée. Vous remarquez que l’instruction D ?? A affecte à D la valeur de A, et que l’affectation A ?? C + 1 n’a pas de conséquence sur la variable D. Les deux variables A et D correspondent à deux emplacements distincts de la mémoire, modifier l’une n’affecte pas l’autre.
Un littéral est la représentation de la valeur d’une variable. Il s’agit de la fa¸con dont on écrit les valeurs des variables directement dans l’algorithme.
– numérique : 1,2,0,?4,
– alphanumérique : ”toto”, ”toto01”, ”04”,
Attention, 01 et 1 représentent les mêmes valeurs numériques, alors que ”01” et ”1” sont des valeurs alphanumériques distinctes. Nous avons vu dans l’exemple précédent des littéraux de type numérique, dans la section suivante il y a un exemple d’utilisation d’un variable de type alphanumérique.
1. Le titre, tout algorithme porte un titre. Choisissez un titre qui permet de comprendre ce que fait l’algorithme.
2. La déclaration de variables, vous préciserez dans cette partie quels noms vous avez décidé de donner à vos variables et de quel type est chacune d’elle.
3. Les instructions, aussi appelé le corps de l’algorithme, cette partie contient notre succession d’instructions.
Par exemple,
| Algorithme : Meanless Variables : numériques : A, B, C alphanumériques : t DEBUT A ?? 1 B ?? A + 1 C ?? A A ?? A + 1 t ??”this algorithm is dumb” FIN |
La lisibilité des algorithmes est un critère de qualité prépondérant. Un algorithme correct mais indéchiffrable est aussi efficace qu’un algorithme faux. Donc c’est un algorithme faux. Vous devrez par conséquent soigner particulièrement vos algorithmes, ils doivent être faciles à lire, et rédigés de sorte qu’un lecteur soit non seulement capable de l’exécuter, mais aussi capable de le comprendre rapidement.
De nombreux algorithmes ont pour but de communiquer avec un utilisateur, cela se fait dans les deux sens, les sorties sont des envois de messages à l’utilisateur, les entrées sont des informations fournies par l’utilisateur.
Il est possible de demander à un utilisateur du programme de saisir une valeur. La syntaxe de la saisie est la suivante :
Saisir< nomvariable >
La saisie interrompt le programme jusqu’à ce que l’utilisateur ait saisi une valeur au clavier. Une fois cela fait, la valeur saisie est placée dans la variable nomvariable. Il est possible de saisir plusieurs variables à la suite,
SaisirA, B, C
place trois valeurs saisies par l’utilisateur dans les variables A, B et C.
Pour afficher un message à destination de l’utilisateur, on se sert de la commande
Afficher< message >
Afficher”Hello World”
affiche ”Hello World” (les guillemets sont très importantes!). Il est aussi possible d’afficher le contenu d’une variable,
AfficherA
affiche l’écran le contenu de la variable A. On peut entremêler les messages et les valeurs des
variables. Par exemple, les instructions
Afficher”La valeur de la variable A est”;
AfficherA;
ont le même effet que l’instruction
Afficher”La valeur de la variable A est”, A
Lorsque l’on combine messages et variables dans les instruction d’affichage, on les sépare par des virgules. Notez bien que ce qui est délimité par des guillemets est affiché tel quel, alors tout ce qui n’est pas délimité par des guillemets est considéré comme des variables.
Cet algorithme demande à l’utilisateur de saisir une valeur numérique, ensuite il affiche la valeur saisie puis la même valeur incrémentée de 1.
| Algorithme : Affichage incrément Variables : numériques : a,b DEBUT Afficher”Saisissez une valeur numérique”Saisira b ?? a + 1 Afficher”Vous avez saisi la valeur ”, a, ”.” Affichera, ”+ 1 = ”, bFIN |
Nous mettrons maintenant de côté le type numérique pour privilégier les deux types suivants :
– entier, que nous utiliserons pour représenter des nombres entiers, éventuellement négatifs.
– réel, que nous utiliserons pour représenter des nombres réels.
Nous affinerons aussi les types alphanumériques en leur substituant les deux types suivants :
– caractère, qui est un type permettant de représenter un symbole, et un seul.
– cha^?ne, que nous utiliserons lorsque l’on voudra représenter zéro, un ou plusieurs caractères.
Les littéraux de type caractères seront délimités par des simples quotes (apostrophes) et les chaˆ?nes de caractères seront délimitées par des double-quotes (guillemets).
La syntaxe d’un traitement conditionnel est la suivante :
| Si< condition >alors < instructions >fin si |
Les <instructions> ne sont exécutées que si <condition> est vérifiée. Par exemple,
| SiA = 0 alors Afficher”La valeur de la variable A est nulle.”fin si |
Si la variable A, au moment du test, a une valeur nulle, alors l’instruction Afficher "La valeur de la variable A est nulle." est exécutée, sinon, elle est ignorée.
Une condition peut être tout type de test. Par exemple,
A = 2
A = B
B <> 7
2 > 7
La condition A = 2 est vérifiée si la valeur contenue dans A est 2. A = B est vérifiée si les valeurs contenues dans A et dans B sont les mêmes. B <> 7 est vérifiée si B contient une valeur différente de 7. 2 > 7 est vérifiée si 2 est supérieur à 7, donc jamais, cette condition est donc fausse et ne dépend pas des valeurs des variables.
Le traitement conditionnel peut être étendue de la sorte :
| Si< condition >alors < instructions >sinon < autresinstructions >fin si |
Si <condition> est vérifiée, les <instructions> sont exécutées. Dans le cas contraire, donc si <condition> n’est pas vérifiée, alors ce sont les <autresinstructions> qui sont exécutées. Par exemple,
| Algorithme : Valeurs Distinctes Variables : entiers : a,b DEBUT Afficher”Saisissez deux valeurs entières” Saisira,b Sia = balors Afficher”Vous avez saisi deux fois la même valeur, à savoir ”, a, ”.”sinon Afficher”Vous avez saisi deux valeurs différentes, ”, a, ” et ”, b, ”.”fin si FIN ImbricationIl est possible d’imbriquer les SI à volonté :
Si par exemple a et b sont tous deux positifs, alors aucun des deux tests ne sera vérifié, et c’est donc le sinon du sinon qui sera exécuté, à savoir Afficher "a et b sont positifs". Connecteurs logiquesLes connecteurs logiques permettent de d’évaluer des conditions plus complexes. Deux sont disponibles : – et : la condition <condition1> et <condition2> est vérifiée si les deux conditions <condition1> et <condition2> sont vérifiées simultanément. – ou : la condition <condition1> ou <condition2> est vérifié si au moins une des deux conditions <condition1> et <condition2> est vérifiée. Par exemple, écrivons un algorithme qui demande à l’utilisateur de saisir deux valeurs, et qui lui dit si le produit de ces deux valeurs est positif ou négatif sans en calculer le produit.
L’instruction Afficher "positif ou nul" sera exécutée si au moins une des deux conditions suivantes est vérifiée : – a ? 0 et b ? 0 – a ? 0 et b ? 0 Lorsque que l’on souhaite conditionner l’exécution de plusieurs ensembles d’instructions par la valeur que prend une variable, plutôt que de faire des imbrications de si à outrance, on préférera la forme suivante : cas< valeurn > : < instructionsn > autres cas< instructions >fin |
Selon la valeur que prend la variable <variable>, le bloc d’instructions à exécuter est sélectionné. Par exemple, si la valeur de <variable> est <valeur 1>, alors le bloc <instructions 1> est exécuté. Le bloc <autres cas> est exécuté si la valeur de <variable> ne correspond à aucune des valeurs énumérées.
Ecrivons un algorithme demandant à l’utilisateur le jour de la semaine. Affichons ensuite le´ jour correspondant au lendemain.
| Algorithme : Lendemain Variables : entier : erreur chaˆ?nes : jour, lendemain DEBUT Afficher”Saisissez un jour de la semaine”Saisirjour erreur ?? 0 Suivantjourfaire cas”lundi” : lendemain ?? ”mardi” cas”mardi” : lendemain ?? ”mercredi” cas”mercredi” : lendemain ?? ”jeudi” cas”jeudi” : lendemain ?? ”vendredi” cas”vendredi” : lendemain ?? ”samedi” cas”samedi” : lendemain ?? ”dimanche” cas”dimanche” : lendemain ?? ”lundi” autres cas erreur ?? 1 fin Sierreur = 1 alors Afficher”Erreur de saisie”sinon Afficher”Le lendemain du ”, jour, ” est ”, lendemain, ”.”fin si FIN |
Vous remarquez que si l’on avait voulu écrire le même algorithme avec des Si, des imbrications nombreuses et peu élégantes auraient été nécessaires.
Le type Booléen sera utilisé pour des variables ne pouvant prendre que deux valeurs : vrai et faux. Il serait tout à fait judicieux de se demander quel est l’intérêt d’un tel type? Observons tout d’abord cet exemple :
| Algorithme : Lendemain Variables : booléen : erreur chaˆ?nes : jour, lendemain DEBUT Afficher”Saisissez un jour de la semaine”Saisirjour erreur ?? faux Sierreuralors Afficher”Erreur de saisie”sinon Afficher”Le lendemain du ”, jour, ” est ”, lendemain, ”.”fin si FIN |
Le test opéré lors du Si alors est effectué sur une expression pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par conséquent, un test peut aussi s’opérer sur une variable booléenne. Si la variable erreur contient la valeur vrai, alors le test est vérifié et l’instruction se trouvant sous la portée du alors est exécutée. Si par contre elle contient la valeur faux, alors le test n’est pas vérifié et l’instruction de trouvant sous la portée du sinon est exécutée.
Une boucle permet d’exécuter plusieurs fois de suite une même séquence d’instructions. Cette ensemble d’instructions s’appelle le corps de la boucle. Chaque exécution du corps d’une boucle s’appelle une itération, ou encore un passage dans la boucle. Il existe trois types de boucle :
– Tant que
– Répéter jusqu’à
– Pour
Chacune de ces boucles a ses avantages et ses inconvénients. Nous les passerons en revue ultérieurement.
La syntaxe d’une boucle Tant que est la suivante.
| Tant que< condition > < instructions >fin tant que |
La condition est évaluée avant chaque passage dans la boucle, à chaque fois qu’elle est vérifiée, on exécute les instructions de la boucle. Un fois que la condition n’est plus vérifiée, l’exécution se poursuit après le fin tant que. Affichons par exemple tous les nombres de 1 à 5 dans l’ordre
croissant,
| Algorithme : 1 à 5 Tant que Variables : entier : i DEBUTi ?? 1 Tant quei ? 5 Afficheri i ?? i + 1 fin tant que FIN
La fonctionnement est analogue à celui de la boucle tant que à quelques détails près : – la condition est évaluée après chaque passage dans la boucle. – On exécute le corps de la boucle jusqu’à ce que la condition soit vérifiée, donc tant que lacondition est fausse. Une boucle Répéter jusqu’à est donc exécutée donc au moins une fois. Reprenons l’exemple précédent avec une boucle Répéter jusqu’à :
De la même fac¸on que pour la boucle Tant que, le compteur est initialisé avant le premier passage dans la boucle. Par contre, la condition de sortie de la boucle n’est pas la même, on ne sort de la boucle qu’un fois que la valeur 5 a été affichée. Or, i est incrémentée après l’affichage, par conséquent i aura la valeur 6 à la fin de l’itération pendant laquelle la valeur 5 aura été affichée. C’est pour cela qu’on ne sort de la boucle qu’une fois que i a dépassé strictement la valeur 5. Un des usages les plus courant de la boucle Répéter jusqu’à est le contrôle de saisie :
|
