Travaux pratiques en electricite appliquee
...
3) Détermination d'intensités :
Calculer l'intensité dans la branche AB du réseau ci-dessous :
4) Générateurs ou récepteurs :
Le circuit ci-contre comprend deux générateurs (G1) et (G2) de fém E1 (positive) et E2 (signe quelconque) et de résistances internes r1 et r2. Ces générateurs sont branchés en parallèle sur la résistance R dont on peut faire varier la valeur.
Déterminer, selon les valeurs de R, le type de fonctionnement (générateur ou récepteur) de chacun des deux générateurs.
5) Générateur de tension et générateur de courant :
On étudie le réseau ci-dessous. Calculer l'intensité i du courant dans la branche AB.
Régimes transitoires
6) Charge d’un condensateur à l’aide d’une source de tension (CCP) : Pour t < 0, le circuit est au repos et e(t) est un échelon d’amplitude E.
v(0 ) +(0 ) ( 0 0 ; (0 )
+ +
v = ( ) − v = i = =0
2 R 2
La loi des mailles et la loi des nœuds donnent ensuite : i1 (0+) = i(0+) = E
R1
i1 i2 E et v(∞) = R2i2 R2 E
R1 +R 2 R1 +R 2
c-d) En transformant le générateur de tension par un générateur de courant et en regroupant ensuite les résistances en parallèle, on se ramène, grâce à une nouvelle transformation en R modèle de Thévenin, à un circuit série alimenté par un générateur de fem 2
E = Eéq
R1 + R2
R R
série avec une résistance 1 2
R =éq R1 + R2 .
La tension aux bornes du condensateur est alors : /
v t E éq e− t RéqC
( ) (1= − )− tr RéqC
5% /
( 5%) ( 5%)
= Cv tr = CE (1 − e ) 0,95
= CE éq
éq
Soit : 5% /
tr RéqC
e − = 0,05 d'où tr R éq C
= ln(20)
5% ∞
fo CV(t)2 + f Rll(t)dt+fZ2 (t)dt Le bilan énergétique s’écrit Eil (t)dt = i Ri
2 0 0
7) Détecteur de particules :
Un dispositif destiné à détecter des particules ionisantes se comporte, sous l'effet de l'une de ces particules, comme un générateur de courant dont le courant électromoteur (ou de court-circuit) est i0 (t) = I0 exp(−t / r) . Ce dispositif est connecté à un circuit RC dont la constante de temps RC = kr, où k est une constante positive réelle (voir la figure) :
vs (t) = ARI0 Cexp(− t) − exp(− tkr) )
Donner l'expression de A en fonction de k.
8) Régime transitoire dans un circuit RLC :
On considère le circuit représenté ci-dessous. En prenant pour l'instant initial celui de la fermeture de l'interrupteur (K), étudier la tension u(t) aux bornes du condensateur C pour les valeurs :
E = 2 V ; R = 10 n ; C = 10-6 F ;
u L = 10-3 H
9) Oscillateur à relaxation :
Le montage étudié comporte un condensateur C, un générateur de fém constante E et de résistance interne R, un interrupteur parfait (K) ainsi qu’un « éclateur ».
Le fonctionnement de l’éclateur est décrit par sa caractéristique tension-courant, qui fait apparaître quatre parties. Lorsque la tension u croît à partir d’une valeur inférieure à sa tension d’amorçage Ua, l’éclateur se comporte comme un circuit ouvert : le courant i est nul (segment [O,A]). Dès que u atteint la valeur Ua, l’éclateur devient conducteur : il laisse passer un courant d’intensité ia (« saut » [A,A’]). Ensuite, si la tension décroît, il se comporte comme un dipôle passif de résistance r (segment [A’,E’]). La tension peut ainsi décroître jusqu’à la valeur d’extinction Ue de l’éclateur, pour laquelle il redevient isolant (« saut » [E’E]).
Schéma du circuit étudié (à gauche) et caractéristique de l’éclateur (à droite)
On admet que « les sauts » sont instantanés et qu’ils sont impossibles en sens inverse. Au point E de la caractéristique, l’éclateur ne peut redevenir conducteur à tension constante et au point A’ il ne peut redevenir isolant à tension constante.
1) Le condensateur étant initialement déchargé, on ferme à t = 0 l’interrupteur (K).
2) On suppose désormais que E > Emin.
3) Etude de la phase de conduction de l’éclateur.
4) Décrire l’évolution ultérieure à te. Représenter graphiquement u(t).
5) on donne E = 500 V, Ua = 450 V, Ue = 150 V, R = 100 92, r = 10 92 et C = 1 µF. En régime établi, calculer la période de la tension u(t).
10) Régime transitoire en électricité, étude électrique d’un radar :
Le circuit de déviation magnétique d’un tube cathodique radar (d’inductance L et de résistance r) est attaqué par un générateur de fém e. A l’instant t = 0, u(0−) = 0, iL(0−) = 0 et on ferme l’interrupteur (K).
Exprimer ó et ù0 en fonction de R, L et C.
α, â, L, R et C pour que l’intensité puisse s’écrire i Dt( e t ) − τ = 1− . Quelles sont les valeurs de
L
D et de ô ? Tracer la courbe représentative de iL (t).
τ 1 dès que t > 5ô . L’émission de l’onde radar et le départ du spot sont simultanés. Le spot se déplace de O en P proportionnellement à iL. L’onde radar se déplace à la vitesse de la lumière dans le vide c = 3.10 8 m.s−1. L’écho E apparaît comme un point brillant sur le rayon OP.
Montrer que la mesure de OP n’est proportionnelle à la distance de l’objectif qu’à partir d’une certaine distance d0. Calculer la valeur de la capacité C pour avoir d0 = 2 250 m. En déduire R. Vérifier que les approximations faites à la question (1) sont justifiées.
Solution :
de
Par conséquent : ~ ~
~ Ce RCi C
= ~ − − dt
1 di de
d d i ~
L L
i e ri L
L ; ( −
i = ) = − C ~ − di L
~~ r − L ~~
C 2
R ~ ~ dt dt ~ dt dt dt ~
En supposant que rC << L / R et r << R, l’équation précédente se simplifie :
….
+ σω 0 + ω 0 = , est nul. La condition 4 2 ( 2 1) 0
Δ = ω 0 σ − = conduit alors à un facteur d’amortissement ó = 1. Par conséquent, 2R = L / C .
2 2
d i di ù
L L 2 0
2 +ω = i ( t ) α + β
0 L
dt 2 0 dt R
La solution de cette équation est de la forme L, p
i L = (at + b)e − ω 0 + i , où iL,p est une solution t
particulière de l’équation précédente, que l’on cherche sous une forme semblable au second membre, c’est-à-dire de la forme i L , p = xt +y, où x et y sont des constantes à déterminer en
écrivant que cette fonction est solution de l’équation précédente, soit :
ω 2
0
2 (x) (xt y) ω + ω + =
2 ( t α + β 0 0 R α ~ á
Soit, en identifiant : x = et ~
1 2 ~
y = β −
~ . Ainsi, l’expression de iL devient :
R R ~ ù 0) α R − 2á ω0
A l’instant t = 0+, i L (0 ) = 0
+ (continuité du courant dans une bobine) et u(0 ) = 0
+ (continuité
de la charge d’un condensateur). Par conséquent, la tension aux bornes de la bobine est également nulle, soit (diL / dt)(0 + )=0. Ces deux conditions initiales sur le courant iL permettent alors de déterminer les constantes d’intégration a et b :
…
s’exprime finalement sous la forme : i ~ ~ t e−ω0t 0
= − β − + t ~ ( e −ω
+ β −
~ − + 1)
L R ~ ù R R
0 ~ ~ ù 0 ~
Le courant sera alors de la forme i Dt(1 e t )
= − si â = 2á / ù0 , en posant D = á / R et
− τ
Lô =1 / ù0 . La courbe représentative de iL(t) est donnée ci-dessous : (on a choisi arbitrairement :
τ= 1 s et 1 D 1 A.s −= )
IL (A)
t (s)
courant iL peut s’écrire i Dd(1 e d c ) / c = − et ne sera proportionnel (tout comme le rayon – τ L OP) à la distance parcourue d que si e d c << 1
− τ , soit, avec la convention proposée dans
l’énoncé, d ≥ d0 = 5ôc . Si d0 =2250m, alors d / 5c 1,5 . 1 0 6 s
−τ = = , ce qui correspond à une 0 1 L capacité C 2 / L 5. 1 0−11 F
=τ = . La résistance R vaut alors =
R = 1 5 kÙ . On vérifie bien
2 C
que r <<R et que rC 1,25 . 1 0 s = −9 << L = 3. 1 0−6 s R .
Régime sinusoïdal – Filtres linéaires passifs
11) Courant en dents de scie :
On considère i = f(t) donnée par la courbe ci-contre. Calculer l'intensité moyenne et l'intensité efficace de ce courant en dents de scie.
12) Etude d'un circuit (RLC) :
On dispose d'un condensateur de capacité C = 20 µF, d'une bobine de résistance R = 10 Ù et de coefficient d'auto-inductance L = 0,3 H, d'un générateur BF délivrant une tension sinusoïdale de valeur efficace 100 V et de fréquence f = 50 Hz.
Calculer l'intensité du courant et son déphasage par rapport à la tension quand on applique la tension successivement :
13) Diviseurs de tensions et de courants :
Circuit (a) Circuit (b)
14) Admittance et puissance :
La figure donne la composition d'un dipôle tel que :
C1 = 2 µF ; L1 = 40 µH ; R2 = 5 52 ; C3 = 4 µF ; R3 = 0,2 52
Il est alimenté par un courant sinusoïdal de fréquence f = 120 kHz et la tension efficace aux bornes A et B du dipôle est Ue = 12 V. On demande de calculer :
R2 B
C3
R3
15) Facteur de puissance :
Une installation électrique est alimentée sous une tension efficace Ue = 200 V.
Elle consomme une puissance P = 12 kW. La fréquence est f = 50 Hz et l'intensité efficace 80 A.
16) Adaptation d'impédances :
L’impédance du générateur est une résistance pure R. Le dipôle d’utilisation est une résistance R ‘(différente de R). Pour disposer de la puissance maximale, on intercale entre le générateur et R’ un quadripôle d’adaptation formé d’un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance L.
1) Déterminer les valeurs de L et de C qui rendent maximale la puissance consommée dans R.
2) Est-ce possible dans les deux cas R’ < R et R’ > R ? Sinon, proposer un autre quadripôle.
3) Pourquoi ne pas prendre un quadripôle d’adaptation formé de deux résistances ?
17) Association de cellules (R,C) :
C u1 ue
Circuit (a) Circuit (b)
18) Filtres de Wien, de Colpitts et de Hartley :
Circuit (a) Circuit (b) Circuit (c)
19) Filtre passif réjecteur de bande :
On considère le filtre ci-contre utilisé en sortie ouverte (i2 = 0).
Régime sinusoïdal – Filtres linéaires actifs
20) Amplificateur de chaîne Hi-fi :
Un amplificateur de chaîne hi-fi peut être modélisé par le schéma électrique suivant, dans lequel la résistance d’entrée Re sera considérée comme infinie :
On réalise pour cela les deux essais suivants :
De plus, on constate que, lors de chaque essai, les deux signaux de sortie gardent, quelle que soit la fréquence, la même valeur efficace et sont en phase avec e(t).
a Déterminer le gain à vide G et l’impédance de sortie complexe Zs.
b L’amplificateur étant alimenté par une tension e(t) = E cos (2ðft), quelle doit être la résistance de charge R pour qu’il fournisse le maximum de puissance moyenne à tension d’entrée d’amplitude E constante ?
Solution :
Ø a. On pose, en notation complexe et en notant Ee et Vs,e les valeurs efficaces des tensions d’entrée et de sortie et ϕ le déphasage de vs par rapport à e :
e(t) = Ee 2 exp(j2ðft) et vs (t) = Vs ,e 2 exp(j(2ðft + ϕ))
La règle du diviseur de tension donne :
v s R Ge
R +Z s
En posant Zs = Rs + jBs , où les parties réelle et imaginaire Rs et Bs dépendent a priori de la fréquence, la valeur efficace de la tension de sortie peut s’écrire :
Le déphasage entre vs et e étant nul quelle que soit la fréquence, on déduit Bs = 0 et :
R Vs,e =s
Comme la valeur efficace Vs,e ne dépend pas de la fréquence, l’impédance de sortie de la chaîne hi-fi est donc finalement réelle et équivalente à une seule résistance Rs de valeur constante, indépendante de la fréquence.
Les essais effectués avec deux valeurs de la résistance R conduisent alors au système de deux équations suivant :
(16 + Rs )0,67=16.10−3G et (8 + Rs )0,5 = 8.10−3 G (avec Rs en Ù)
dont la résolution donne : R s = 8 Ù et G = 103.
Ø b. La puissance électrique moyenne reçue par la résistance de charge vaut :
V2 = R G2E2
s,e (R + R ) 2 e
s
Elle sera extrémale, à Ee, G et Rs donnés (caractéristiques de l’amplificateur) lorsque dP/dR=0. Or :
Par conséquent, dP / dR = 0 pour R = R s . La puissance est alors effectivement maximale et
2
vaut Pmax = P(R s) = G E 2 / 4R s . La résistance de charge est dite adaptée à la résistance de
sortie de la chaîne hi-fi et l’on parle d’adaptation des résistances.
Remarque : si l’amplificateur avait eu une impédance complexe de sortie Zs, l’impédance adaptée Z de la charge placée en sortie aurait alors été telle que Z = Zs (c’est-à-dire, mêmes parties réelles mais parties imaginaires opposées).
21) Déphaseur du premier ordre :
pulsation du générateur, ù0 = 1 / RC et l'AOP est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire .
22) Filtre universel :
Dans certains circuits intégrés, il peut être intéressant d’utiliser des filtres de nature différente (passe-bande, passe-bas, passe-haut ou encore réjecteur de bande) mais possédant la même pulsation caractéristique ù0. Ces filtres sont dits universels.
En exprimant les quatre tensions de sortie vs1, vs2, vs3 et vs4 (écrites en notation complexe) en fonction de ve, montrer que le circuit proposé dans cet exercice, utilisé en régime permanent sinusoïdal, constitue un exemple de filtre universel.
Les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Solution :
Les amplificateurs opérationnels numérotés (2) et (3) sont utilisés dans des montages intégrateurs, pour lesquels :
Dans le cas illustré sur la figure ci-contre, l’intensité i du courant qui traverse l’impédance complexe z (ou l’admittance y ) peut s’écrire en fonction des tensions
(par rapport à la masse) qui « l’encadrent » v1 et v2, sous la forme :
i=(v1−v2) / z=(v1−v2 )y
L’utilisation de ce résultat permet alors d’écrire la loi des nœuds en termes de potentiels au nœud B (dont le potentiel par rapport à la masse est nul), situé à l’entrée inverseuse de l’amplificateur (4), sous la forme :
1 1
− =
0) (0 v )
− + (0 v )
− soit v s4 = − (v s1 + v s3 )
s s
1 4
R R
L’amplificateur (4) est ici utilisé dans un montage sommateur inverseur.
Remarque : ce résultat pouvait être obtenu en appliquant directement le théorème de Millman qui, au nœud B, permet d’écrire :
0= vs1 + vs3 + vs4 ~~ ~~~R R R ~ Soit +
e la tension (par rapport à la masse) de la borne non inverseuse de l’amplificateur (1), égale à la tension de la borne inverseuse du même amplificateur en régime linéaire. L’écriture de la loi des nœuds en termes de potentiels aux nœuds A1 et A2 donne :
Soit
2e = v s 1 + v s 3+ et +
v e + v s 2 = 3e , d’où :
3(vs + s = e + sv ) 2(v v1 3
Là encore, les deux relations précédentes pouvaient s’obtenir en écrivant directement le théorème de Millman aux nœuds A1 et A2 :
e+=vs1 + vs 2
et e+ = v e +vs 2 3
R R R
R R R
On peut alors en déduire une relation entre les tensions vs1 et ve :
~1 1
2 ve − jRCùvs1 J=3 vs1 − (RCù)2 vs1
d’où, finalement :
…
On reconnaît la forme normalisée de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du 2nd ordre :
− ω ω
2 2
/ 2 1 1
0
= A (avec A0 = , ù 0 = et ó= )
0 2 2
1 2j /
+ σω ω − ω ω
/ 3 RC 3
0 0
La tension de sortie du 2ème amplificateur est alors telle que :
On reconnaît ici la forme normalisée de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du 2nd ordre, dont la pulsation de résonance est ù0.
La tension de sortie du 3ème amplificateur est donnée par :
= − 2 v s1
s3 (RCù )
v 3
s 2
d’où =
On aboutit à la fonction de transfert normalisée d’un filtre passe-bas du 2nd ordre. Enfin, la tension de sortie du 4ème amplificateur sera :
On obtient ainsi la forme normalisée de la fonction de transfert d’un filtre réjecteur de bande qui élimine les tensions dont la pulsation est proche de ù0 :
v s 4 = ve 2 1
31+(2 / 3) R 2C2
RCω−22ù2
pour les amplificateurs (2) et (3) et la sommation pour
(4)) qui
permettent, à part
(l’intégration
l’amplificateur
ir du montage réalisé autour du 1er amplificateur, d’obtenir quatre filtres de
base du 2nd ordre. Une telle structure est appelée « structure à variable d’état ».
23) Oscillateur à déphasage :
1) On considère un filtre passif à 3 cellules identiques (figure de droite), alimenté par la tension sinusoïdale e(t), de fréquence f = variable :
2 ð
Montrer que la fonction de transfert du filtre peut s’écrire :
Déterminer la pulsation wr pour laquelle cette fonction est réelle. Calculer H(jwr ) .
2) Le filtre précédent est utilisé dans le montage de droite, faisant intervenir deux AOP idéaux et fonctionnant en régime linéaire. Préciser (sans démonstration) la fonction de chaque AOP.
Montrer que le montage peut entrer en oscillation si l’on choisit convenablement les résistances R1 et R2.
Préciser la valeur de la fréquence d’oscillation avec R = 2 200 SZ et C = 33 nF. Solution :
24) Diode Zener :
