Cours electricite s1
Cours electricite s1
1 – VOCABULAIRE, DEFINITIONS
Un circuit électrique est un ensemble de composants conducteurs ou semi-conducteurs, reliés entre eux par des fils de jonctions et dans lequel circule un courant électrique.
Un dipôle électrique est un composant électrique limité par deux bornes (résistor, condensateur, bobine, pile, etc …)
Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles.
Une maille est une portion d’un circuit électrique constituant un contour fermé. Une branche est une portion de circuit électrique entre deux nœuds consécutifs.
2 – COURANT ELECTRIQUE
2.1 - DEFINITION
De façon générale, le courant électrique résulte d’un déplacement de porteurs de charges dans un conducteur.
Ce peut être le déplacement d’ions dans une solution (électrolyse cf chimie) ou le déplacement d’électrons dans un métal.
Ce dernier cas nous intéresse plus particulièrement dans le cadre du cours d’électricité !
| - | Ainsi le courant électrique dans un conducteur métallique apparaît comme : |
La vitesse de déplacement des électrons est faible (de l’ordre du m s-1, ce n’est pas la vitesse de la lumière !)
Sens conventionnel :
2.2 – ORIENTATION D’UNE BRANCHE
| A | I1 | B | I2 | C |
Chaque branche doit être orientée :
Le choix du sens est arbitraire …
… mais avec une certaine habitude, on choisira le sens donnant des intensités positives après calculs.
Orienter une branche consiste à placer une flèche sur le conducteur et placer une lettre I à proximité.
Chaque branche étant a priori parcourue par des courants d’intensité différentes, on indicera la lettre I.
2.3 – RELATION ENTRE CHARGE ET INTENSITE
Charge électrique d’un électron est : qe = - 1,6.10-19 C
L’intensité du courant électrique traversant un conducteur est un débit de charge : c’est la charge dq traversant une section droite du conducteur pendant un intervalle de temps dt.
| i en ampères A |
| dq en Coulomb C |
| dt en secondes s |
Si quelle que soit la date t de l’évaluation de i on obtient toujours la même valeur : i(t) = cste, alors le courant est continu, on le note en majuscules : I.
Sinon le courant est variable dans le temps, on le note en minuscules i(t) ou plus simplement i. On parle de grandeur instantanée.
On pourra alors comme en mécanique pour les vitesses s’intéresser à une intensité moyenne Imoy
On parle de régime stationnaire quand la loi d’évolution des grandeurs électriques est définitivement établie. Cela ne veut pas dire qu’elles soient continues c’est à dire constantes dans le temps.
L’intensité du courant est une grandeur algébrique. Suivant l’orientation arbitraire de la branche effectuée, le résultat du calcul de i peut être
- positif : les électrons se déplacent en sens inverse de l’orientation choisie
- négatif : les électrons se déplacent dans le sens de l’orientation choisie
2.4 - LOI DES NOEUDS
Elle résulte du principe de conservation de la charge électrique en régime stationnaire : En régime stationnaire, il n’y a ni accumulation ni disparition de charge électrique dans un circuit.
i1 Loi des nœuds :
Conséquence : L’intensité du courant électrique est la même en tout point d’une même branche.
2.5 – MESURE DE L’INTENSITE DU COURANT
Compte tenu de la définition du courant, il faut que l’appareil de mesure soit traversé par le débit d’électrons à mesurer.
L’intensité du courant électrique se mesure à l’aide d’un ampèremètre inséré en série dans la branche dans laquelle on souhaite réaliser la mesure.
3 - TENSION OU DDP
3.1 - TENSION : FORCE ELECTROMOTRICE
La tension est dans le cas des générateurs parfois appelée « force électromotrice » (fem), en effet :
Le générateur de tension agit comme une pompe ou une différence de hauteur dans un système hydraulique : Il est nécessaire pour obtenir un courant.
Attention : la fem reste une tension exprimée en Volt, ce n’est pas une force au sens mécanique en Newton !
Tension délivrée par le générateur
Champ électrique E dans le conducteur
Force sur chaque électron F = qE
Mouvement d’ensemble des électrons
Courant électrique
3.2 - TENSION : DIFFERENCE DE POTENTIEL
La tension peut aussi être considérée dans le cas des récepteurs et des générateurs comme une différence de potentiels (ddp) => toujours entre deux points
Les potentiels sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de potentiel a un sens physique.
La masse d’un circuit est un point servant de référence des potentiels auquel on attribue arbitrairement un potentiel nul.
| u | u = vA - vB | ||
| A | B | A | B |
| vA | vB |
Ainsi la tension entre deux points A et B d’un dipôle est représentée par une flèche tension. C’est une grandeur algébrique (avec signe) qui s’exprime en Volt.
3.3 – CONVENTIONS D’ORIENTATIONS
| Convention récepteur : | u = vA - vB |
3.5 – MESURE DES TENSIONS
La tension se mesure entre deux points d’un circuit, le Voltmètre est branché en parallèle entre ces deux points. Il y a forcément deux fils !
4 – GENERALITES SUR LES DIPOLES
4.1 – CARACTERISTIQUE COURANT/TENSION
…
Chapitre 2 – DIPOLE PASSIF RESISTIF
1 – RESISTANCE, LOI D’OHM
Un dipôle passif résistif (résistor) est un dipôle dont la caractéristique courant/tension est une fonction linéaire, c’est à dire une droite passant par l’origine.
…
La conductance G est l’inverse de la résistance : G = 1/R
G s’exprime en Siemens (S).
Dans un circuit constitué d’un résistor alimenté par un générateur de tension => u = cste
Remarque : Si la branche comportant le résistor est orientée selon la convention générateur, la loi d’Ohm devient u = -Ri
2 - GROUPEMENT DE RESISTANCES
Exercice : démontrer ces relations en utilisant les lois énoncées au chapitre 1.
3 – DIVISEUR DE TENSION
Attention : La formule n’est applicable que s’il y a même courant
| R2 | v = R2 u / [ R1 + R2 ] | |
Exercice : Démontrer cette relation dans les deux résistances
4 – LOI DES NOEUDS EN TERMES DE POTENTIELS
4.1 - METHODE
Dans un circuit électrique, on sera le plus souvent amené à utiliser la loi des nœuds. Pour cela on respectera la procédure suivante :
1) Sur le schéma :
A R B
u = vA - vB
En général, on évite d’utiliser la loi des mailles, elle génère trop d’équations, trop de variables, les étudiants s’y perdent !
…
On utilise la formule de Millman dans les schémas de ce type.
Toutes les branches menant au nœud considéré sont orientées vers ce nœud.
Exercice : Etablir le théorème de Millman en exprimant la tension v en fonction de v1 ,v2 , v3 , v4 et v5 .
Chapitre 3 – DIPOLES ACTIFS LINEAIRES (électromoteurs)
1 – GENERATEURS DE TENSION
1.1 - DEFINITION
En réalité cette tension a tendance à diminuer quand le courant débité augmente.
Pour preuve , les cas extrêmes :
Rc = +∞ : I = 0, fonctionnement à vide U est maxi : U = UT
Rc = 0 : court circuit U = 0 et I est maxi : I = IN
1.3 - MODELE EQUIVALENT
Tout se passe comme si le générateur était constitué d’un générateur de tension parfait UT avec une résistance RT en série provoquant une chute de tension interne RT I expliquant la diminution de U quand I augmente.
| Géné | |
| de U | Rc |
| tension |
| I | |||
| UT | RT | U | Rc |
Ceci est un modèle équivalent de Thévenin
2 - GENERATEUR DE COURANT
2.1 - DEFINITION
En réalité ce courant a tendance à diminuer quand la résistance de la charge augmente :
Pour preuve , les cas extrêmes :
Rc = 0 : court circuit U = 0 et I maxi : I = IN
Rc = +∞ : fonctionnement à vide I = 0
2.2 - CARACTERISTIQUE
| Géné | IN |
| de U | Rc |
| courant |
Equation de la caractéristique U(I) :
U
Pente –1/RN
U
Pente -RN
IN I
2.3 - MODELE EQUIVALENT
Tout se passe comme si le générateur était constitué d’un générateur de courant parfait IN avec une résistance RN en parallèle dérivant une fraction du courant IN d’autant plus grande que Rc augmente.
3 – COMPARAISON GENERATEUR DE TENSION ET DE COURANT
GENERATEUR DE TENSION GENERATEUR DE COURANT
I
Géné
U Rc
| U | Pente -RT | U | Pente -RN |
UT
| I | IN | I |
Equation de la caractéristique U(I) : U = UT – RT I
Equation de la caractéristique U(I) : U = RN IN – RN I
Les caractéristiques sont du même type : droite affine. Seul l’ordre de grandeur de la pente les distingue.
| RT << Rc | RN >> Rc |
Les deux modèles sont équivalents :
on peut représenter un générateur de courant à l’aide d’un MET on peut représenter un générateur de tension à l’aide d’un MEN
Tout générateur peut être représenté sous l’une ou l’autre forme indépendamment de sa nature.
L’équivalence donne :
RT = RN
UT = RN IN
Exemple : Un générateur de 12 V ayant une résistance interne de 1 kΩ peut être considéré comme un générateur de courant pour une charge de 10 Ω, et comme un générateur de tension pour une charge de 100 kΩ.
…
Théorème de Théorème de Norton
Thevenin
Un schéma compliqué peut être simplifié en un modèle équivalent sous la forme :
| D’un Modèle Equivalent de Thévenin (MET) | D’un Modèle Equivalent de Norton (MEN) |
| UT | RT U | Rc | IN | RN U | Rc |
| UT = Tension à vide | IN = Courant de court-circuit | ||
| (I = 0 charge RC = +∞) | (U = 0 charge RC =0) | ||
| RT = Résistance entre les bornes de | RN = Résistance entre les bornes de | ||
| sortie en remplaçant dans le schéma | sortie en remplaçant dans le schéma | ||
| compliqué, si ils sont autonomes : | compliqué, si ils sont autonomes : | ||
| - les générateurs de tension par | - les générateurs de tension par | ||
| des court-circuits | des court-circuits | ||
| - Les générateurs de courant | - Les générateurs de courant | ||
| par des circuits ouverts | par des circuits ouverts | ||
| L’équivalence donne : | |||
| RT = RN | |||
| UT = RN IN | |||
Définition d’un générateur autonome : C’est un générateur qui délivre une grandeur électrique (courant ou tension) non commandée par une autre.
Contre-exemple : Transistor bipolaire modèle BF petit signaux : ib
Générateur de courant non autonome car le courant débité dépend de ib
Chapitre 4 – LES CONDENSATEURS
1 – RAPPELS D’ELECTROSTATIQUE
1.1 – CHAMP ET FORCE ELECTROSTATIQUE
La présence de charges dans une région de l’espace modifie les propriétés physiques aux alentours : elles créent un champ électrique E dans leur voisinage.
| Une charge q placée dans un champ électrostatique E subit une force électrostatique : | F = q E |
Les forces électrostatiques sont responsables du phénomène d’influence électrostatique :
1.2 – LIGNES DE CHAMP
On appelle ligne de champ toute courbe orientée le long de laquelle le vecteur champ électrique est tangent en tout point.
1.3 – CHAMP UNIFORME
Considérons deux plaques parallèles chargées et en influence électrostatique.
Les lignes de champ sont des droites parallèles entre elles, le champ est uniforme : En tout point de l’espace entre les plaques, il a même direction, sens et intensité.
| Dans ce cas, on a : | E = U / d | E champ électrique entre les plaques en V m-1 | |
| U tension entre les plaques en Volts | |||
| d distance entre les plaques en m |
2 – CONSTITUTION D’UN CONDENSATEUR
Un condensateur est un composant passif formé en associant deux conducteurs métalliques séparés par un dispositif isolant d’épaisseur suffisamment mince et constante.
Les deux conducteurs sont les armatures du condensateur
L’isolant est le diélectrique
| Symbole : | Condensateur polarisé | |
3 – CHARGE ET DECHARGE D’UN CONDENSATEUR
3.1 – DISPOSITIF ETUDIE
On enregistre uR(t) à l’aide d’un oscilloscope à mémoire lorsque l’interrupteur K bascule :
CuC - de la position 1 à 2 - puis de 2 à 1.
Remarque : Puisque uR(t) = R i(t) alors i(t) a la même forme que uR(t).
3.2 – EVOLUTION DE i(t)
uR(t)
E
| 2 à 1 | 2 à 1 |
| 1 à 2 | 1 à 2 |
- E
i(t)
E/R
| 2 à 1 | 2 à 1 |
| 1 à 2 | 1 à 2 |
- E/R
Conclusion : Bien que le circuit soit interrompu par l’isolant du condensateur, il y a transitoirement circulation d’un courant : C’est le t phénomène d’influence électrostatique dans le condensateur qui provoque ce déplacement de charges.
Ce courant cesse :
- lorsque les armatures du condensateurs comptent le même nombre de charges (on dit que le condensateur est chargé)
t
- lorsque le condensateur est complètement déchargé
3.3 – EVOLUTION DE uC(t)
uC(t)
| 2 à 1 | 2 à 1 | |
| 1 à 2 | 1 à 2 | t |
K bascule de 1 à 2 :
K bascule de 2 à 1 :
3.3 – CONCLUSIONS
4 – CAPACITE D’UN CONDENSATEUR
Dans le dispositif précédent, si E augmente alors l’amplitude de i(t) augmente. La charge prise par le condensateur a augmenté.
Il y a proportionnalité entre la charge prise par le condensateur et la tension à ses bornes. Le coefficient de proportionnalité est la capacité du condensateur en Farad.
…
Avec un isolant autre que l’air :
C = ε0 εr S /e
5 – ASSOCIATION DE CONDENSATEURS
5.1 – EN PARALLELE
i1(t) C1
i(t) i2(t) C2
i3(t) C3
uC(t)
On a : q1 = C1 uc q2 = C2 uc q3 = C3 uc
S surface des armatures en m2 E épaisseur du diélectrique en m ε0 : permittivité du vide =
εr : permittivité relative du diélectrique
Ceq
i(t)
uC(t)
La charge totale est q = q1 + q2 + q3 = ( C1 + C2 + C3 ) uc
q = Ceq uc
On a donc : Ceq = C1 + C2 + C3
5.2 – EN SERIE
uC(t)
Par influence électrostatique, on a : q1 = q2 = q3 = q
D’autre part : uc = uc1 + uc2 + uc3 = q1/C1 + q2/C2 + q3/C3
= q(1/C1 + 1/C2 + 1/C3) = q / Ceq
On a donc :
1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3
Chapitre 5 – CARACTERISTIQUES DES SIGNAUX UTILISES EN EEA
De nombreuses fonctions de l’électronique analogique mises en œuvre dans une chaîne de mesure visent à traiter des signaux comme par exemple l’amplification, le filtrage.
Ces signaux véhiculant l’information sont variables dans le temps.
Ce chapitre a pour objet de définir certaines grandeurs caractérisant les signaux variables.
1 – SIGNAUX ALEATOIRES
Considérons une chaîne de mesure destinée à mesurer une grandeur physique y (par exemple une température). Pour cela on utilise un capteur dont le but est de transformer la grandeur physique en un signal électrique (un courant ou le plus souvent une tension).
Grandeur
Le signal électrique obtenu est une image de la grandeur physique mesurée.
Or, si on cherche à mesurer les grandeurs physiques, c’est bien parce qu’elles sont variables dans le temps :
y varie de façon continue (au sens mathématique) dans le temps et peut prendre une infinité de valeurs possibles dans un intervalle [Ymin ; Ymax] : y et donc u constituent ainsi des signaux analogiques.
y varie de façon plus ou moins imprévisible : y et donc u sont des signaux aléatoires.
Ainsi dans le cas le plus général, un signal de mesure apparaît comme un signal aléatoire dont l’étude (basée sur des méthodes statistiques) est hors programme du DUT Mesures Physiques.
Dans un certain intervalle de temps, les signaux apparaissent souvent comme périodiques (signal sonore, vibration mécanique par exemple). Ces signaux, après avoir caractérisé certaines grandeurs mesurables sont entièrement connus. Ce sont des signaux déterministes.
2 – SIGNAUX PERIODIQUES
2.1 – DEFINITION
Il existe T minimum tel que, quel que soit t0 ι ]-∞ ;+∞[ , x(t0+T) = x(t0)
t0 t0+T
T est la période du signal exprimée en seconde.
f = 1/T est la fréquence du signal en Hz (s-1) et représente le nombre de motifs (de …
Valeur moyenne ou
| composante continue ou tension de décalage(offset) | Variations autour de la valeur moyenne |
La mesure de la valeur moyenne d’un signal électrique (tension courant) se réalise avec un voltmètre ou ampèremètre en position DC ou sur un calibre DC (direct current).
Remarques La position DC d’un oscilloscope permet d’observer le signal complet (Ymoy et δy)
La position AC d’un oscilloscope permet de couper la valeur moyenne et de n’observer que δy. (pratique si Ymoy >> δy).
2.3 – VALEUR EFFICACE
Yeff2 =
t0 + T
= (1/T) y2(t) dt
t0
Pour un dipôle résistif, la puissance instantanée dissipée est :
p(t) = u(t) i(t) = R i2(t)= u2(t) / R
La puissance dissipée en moyenne est :
P = (1/T) ∫ p(t) dt = R (1/T) ∫ i2(t) dt = R Ieff2
= (1/RT) ∫ u2(t) dt = Ueff2 / R
La notion de valeur efficace prend tout son sens dans la notion de puissance moyenne dissipée.
La valeur efficace d’un courant (d’une tension) périodique quelconque représente l’intensité (la tension) continue qui produirait pendant une même durée le même dégagement de chaleur dans le même résistor.
La mesure d’une valeur efficace d’une grandeur électrique périodique quelconque s’effectue avec un appareil « RMS » (Root Mean Square) c’est à dire à valeur efficace vraie.
Il convient alors de regarder sur la notice la bande passante de l’appareil. Les multimètres numériques ont généralement des bandes passantes faibles. La mesure de la valeur efficace d’une tension de fréquence 100 kHz a de fortes chances d’être fausse !
3 - SIGNAL SINUSOIDAL
3.1 - DEFINITIONS
Soit une grandeur électrique sinusoïdale : u(t) = Umax sin (ω0t + ϕ0)
Umax est l’amplitude du signal ou encore valeur maximale ou encore valeur crête. ω0t+ϕ0 est un angle (puisque les fonctions trigonométriques portent sur des angles !). Cet angle est appelé phase instantanée du signal y.
Sa dérivée temporelle est la pulsation instantanée du signal ω(t) = dϕ/dt ϕ0 est la phase à l’origine (phase instantanée à t=0).
ω0 est la pulsation du signal en rad.s-1
Pour un signal sinusoïdal, la pulsation instantanée est constante : ω(t) = ω0
Valeur efficace : Ueff = Umax/√2 (résultat de calcul avec la définition ci-dessus, valable que pour le sinus !)
Pour une pulsation donnée, le signal sinusoïdal est caractérisé par :
- son amplitude Umax ou sa valeur efficace Ueff
- sa phase à l’origine ϕ0
Ainsi on peut associer un vecteur à cette grandeur sinusoïdale : le vecteur de Fresnel.
3.2 - DEPHASAGE DE DEUX GRANDEURS SINUSOIDALES DE MEME
FREQUENCE
On considère deux grandeurs électriques sinusoïdales de même pulsation.
u1(t) = U1max sin ωt
u2(t) = U2max sin (ωt+ϕu2/u1) U2
ϕu2/u1
U1
u2 en avance sur u1
ϕu2/u1 : déphasage de u2 par rapport à u1
ϕu2/u1> 0 : u2en avance sur u1
ϕu2/u1< 0 : u2en retard sur u1
u2 en retard sur u1
u1u2 ωt ϕu2/u1 ϕu2/u1 ωt
Le temps qui passe
u2 passe par son maximum avant u1
L’étudiant arrivant à 8h15 est en retard de 15 min pour le cours de 8 h …
… mais en avance de 45 min pour le cours de 9 h !
u2 passe par son maximum après u1
Les mêmes chronogrammes
u2 en avance sur u1 !!!
u1 u2 ωtϕu2/u1
Expérimentalement :
- Appliquer un signal sinusoïdal à l’entrée du quadripôle
- Régler l’amplitude de e(t) la plus grande possible tout en veillant à ce que le signal de sortie reste sinusoïdal : pas d’écrétage, pas de distorsion
- Mesurer le déphasage en visualisant simultanément les deux signaux à l’aide de l’oscilloscope
ϕu2/u1
u2 passe par son maximum avant u1 u2 en avance sur u1
u1u2 ωt
- carreaux
- Mettre une ½ période d’une des deux courbes sur 9 carreaux en désétalonnant la base de temps.
- 9 carreaux correspondent à 180° donc on obtient une échelle de
20°/carreaux.
- Mesurer ϕu2/u1 directement en degré.
- Réfléchir et appliquer le signe correct au déphasage ainsi mesuré
Précautions à prendre :
- Les deux courbes doivent être bien centrées sur la même ligne horizontale.
- Pour centrer les courbes on peut :
- régler l’offset du G.B.F
- tricher en jouant sur la position horizontale des voies de l’oscilloscope
3.3 - GAIN D’UN QUADRIPOLE
Sinus !!
| GBF | e(t) | quadripôle | s(t) |
| sinus |
Le gain du quadripôle est définit par : G = 20 log Smax/Emax attention : log décimal
G s’exprime en décibel : dB
Expérimentalement :
- Appliquer un signal sinusoïdal à l’entrée du quadripôle
- Régler l’amplitude de e(t) la plus grande possible tout en veillant à ce que le signal de sortie reste sinusoïdal : pas d’écrétage, pas de distorsion
- Mesurer Smax et Emax à l’aide de l’oscilloscope
- Calculer G
3.4 – COURBES DE REPONSE EN FREQUENCE (courbes de Bode)
Les courbes de réponse en fréquence ou courbes de Bode sont les courbes G(f) et ϕs/e (f). On les trace sur papier semi-logarithmique (décimal en ordonné et logarithmique en abscisses).
On effectue des mesures aux points « 1, 2, 4, 7 » de chaque décades. Les points sont ainsi régulièrement espacés. Si la courbe présente une variation plus rapide (résonance) on resserre bien sûr les points de mesure.
Pour une fréquence donnée, on mesure G et ϕs/e .
On change la fréquence et on recommence, etc …
On commence par évaluer l’intervalle de variation de G et ϕ pour la bande de fréquence choisie. Cela permet de définir l’échelle des ordonnées : utiliser des échelles lisibles facilement et permettant à la courbe d’occuper le maximum d’espace sur le papier.
Remarque : pas de zéro sur une échelle log
| 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0007 | 0,001 | 0,002 | 0,004 | 0,007  | 0,01 | 0,2 | 0,4 | 0,7 | 1 | |
(Hz)
On ne peut pas atteindre 0 !!
Chapitre 6 – CIRCUITS ELECTRIQUES EN REGIME SINUSOIDAL PERMANENT
| 1 - RESISTOR | i | R |
u = R i
1.1 – EXPRESSION INSTANTANEE
Le résistor est supposé parcouru par un courant sinusoïdal : i(t) = Imax sin ωt
On associe à i(t) le nombre complexe I purement réel :
La loi d’Ohm donne en écriture instantanée donne : u(t) = R i(t) = R Imax sin ωt
| 1.2 – REPRESENTATION DE FRESNELL | ||
| Ainsi : | I | U |
représentation de Fresnell
1.3 – COMPLEXE ASSOCIE
Le nombre complexe associé à u(t) est U = R Ieff purement réel :
1.4 – LOI D’OHM
La relation entre U et I est la loi d’Ohm faisant intervenir la notation efficacecomplexe :
2 – CONDENSATEUR uC
2.1– EXPRESSION INSTANTANEE
Le résistor est supposé parcouru par un courant sinusoïdal : i(t) = Imax sin ωt
On associe à i(t) le nombre complexe I purement réel :
On a : u(t) = (1/C) i(t) dt =
2.2 – REPRESENTATION DE FRESNELL
| U | représentation de Fresnell |
2.3 – COMPLEXE ASSOCIE
Le nombre complexe associé à u(t) est imaginaire pur :
2.4 – LOI D’OHM – IMPEDANCE COMPLEXE
La relation entre U et I s’écrit :
U = - j /(Cω) I = Zc . I
Cette relation fait apparaître l’impédance complexe Zc du condensateur :
Commentaires | Zc | = |U| / |I| = Ueff / Ieff rapport des val eff (ou amplitudes), s’exprime en Ω
Arg (Zc) = arg(U) – arg(I) = ϕu/i = - π/2
2.5 – COMPORTEMENT FREQUENTIEL DU CONDENSATEUR
Un condensateur est un composant dont l’impédance dépend de la pulsation et donc de la fréquence du courant qui le traverse :
Cas extrêmes
| En continu : ω -> 0 | En hautes fréquences : ω ->+∞ | ||||||||
| 1/(Cω) ∝ +∞ quand ω ∝ 0 | 1/(Cω) ∝ 0 quand ω ∝ +∞ | ||||||||
| C = circuit ouvert | C = court circuit | ||||||||
3 - BOBINE
| i | Cf cours électromagnétisme |
| uL = L di / dt | |
| uL |
3.1 – EXPRESSION INSTANTANEE
Le résistor est supposé parcouru par un courant sinusoïdal : i(t) = Imax sin ωt
On associe à i(t) le nombre complexe I purement réel :
On a uL(t) = L di(t)/dt =
3.2 – REPRESENTATION DE FRESNELL
représentation de Fresnell
3.3 – COMPLEXE ASSOCIE
Le nombre complexe associé à u(t) est U = j L ω Ieff imaginaire pur :
3.4 – LOI D’OHM – IMPEDANCE COMPLEXE
La relation entre U et I s’écrit :
U = j L ω I = ZL . I
Cette relation fait apparaître l’impédance complexe ZL de la bobine :
Commentaires | ZL | = |U| / |I| = Ueff / Ieff rapport des val eff (ou amplitudes), s’exprime en Ω
Arg (Zc) = arg(U) – arg(I) = ϕu/i = π/2
3.5 – COMPORTEMENT FREQUENTIEL DE LA BOBINE
Une bobine est un composant dont l’impédance dépend de la pulsation et donc de la fréquence du courant qui la traverse :
Cas extrêmes :
| En continu : ω -> 0 | En hautes fréquences : ω ->+∞ | ||||||||||
| Lω ∝ 0 quand ω ∝ 0 | Lω ∝ +∞ quand ω ∝ +∞ | ||||||||||
| L = court circuit | L = circuit ouvert | ||||||||||
4 - LOI D’OHM EN REGIME SINUSOIDAL – IMPEDANCE COMPLEXE
U = Z I
|Z| = Umax / Imax = Ueff / Ieff
arg (Z) = ϕu/i
Impédance : Z sous forme cartésienne : Z = R + jX
R résistance en Ω et X réactance en Ω
X < 0 =>
X > 0 =>
Admittance : Y = 1/Z
Ré(Y) : conductance en Ω-1 ou Siemens (S) Im(Y) : Suceptance en Ω-1
Les composants tels que bobines et condensateurs ont une impédance qui dépend de la fréquence du courant qui les traverse.
Quadripôle
s(t) sinus
e(t) sinus
f réglable Circuit avec ou
5 - GROUPEMENT D’IMPEDANCES COMPLEXES
6 - LOIS APPLICABLES
Régime sinusoïdal
Attention : Ne jamais écrire ces lois en faisant intervenir les valeurs maxi ou les valeurs efficaces car alors on oublie les déphasages introduits par les dipôles L ou C.
Chapitre 7 - REGIMES TRANSITOIRES : CIRCUITS RC
1 – CIRCUIT RC
1.1 - EQUATION DIFFERENTIELLE
La relation entre uC et e est une équation différentielle :
Elle permet de trouver l’expression temporelle de uC quel que soit le signal d’entrée appliqué.
1.2 - SIGNAL ECHELON, CONDITION INITIALE
On étudie dans la suite, la réponse du circuit à une tension e(t) en échelon : e(t)
On suppose qu’initialement le condensateur est déchargé, et donc uC(0) = 0
1.3 - REGIME PERMANENT
1.3.1 - Comportement du condensateur
Quand le régime permanent est atteint, on peut considérer que e(t) est une tension continue. Alors le condensateur peut-être considéré comme un circuit ouvert.
uR = 0
| I = 0 | ||
| R | ||
| e(t) = E | C | uC = E |
1.3.2 - Solution particulière de l’équation différentielle (SPEC)
On peut trouver ce même résultat à partir de l’équation différentielle : Au bout d’un temps suffisamment long, quand le régime permanent est atteint, uc(t) ne varie plus. Sa dérivée est donc nulle. L’équation différentielle devient donc : uC / (RC) = E / (RC) uc = E
Cette solution donnée par l’équation différentielle est la solution particulière de l’équation différentielle, de même nature que le second membre de cette équation différentielle (ici une constante).
1.4 - REGIME TRANSITOIRE
1.4.1 - Comportement du condensateur
Le condensateur est un réservoir de charges. Comme tout réservoir, à moins d’un débit infini, il ne peut se remplir ou se vider instantanément.
Ainsi, la charge q(t) accumulée dans le condensateur ne peut pas varier brutalement si le courant ne peut devenir infini. Il en sera de même pour la tension uc(t) puisque uc est proportionnelle à q(t) ( uc = q/C)
1.4.2 - Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM)
| Il faut résoudre : | duC/dt + uC / (RC) = 0 |
La solution générale de l’équation sans second membre est de la forme :
On peut vérifier que : lim uc(t) = 0 ce qui la moindre des choses pour du transitoire !
- -> +∞
1.5 - SOLUTION COMPLETE
La solution complète est constituée du régime transitoire et du régime permanent :
uc(t) = SGEESM + SPEC
transitoire+permanent
uc(t) = A exp(-t/RC) + E
1.6 - UTILISATION DE LA CONDITION INITIALE : détermination de la constante
Dans cet exemple : uC(0) = 0