Le gradateur monophasé exercice corrigé

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Gradateurs : corrigé des exercices

I. Étude de gradateurs (fonctionnement sur charge résistive)

Les interrupteurs sont constitués de thyristors supposés idéaux (circuit ouvert à l’état bloqué et court­circuit à l’état passant). Le réseau a pour pulsation w. La figure ci­dessous représente le schéma d’un gradateur monophasé débitant sur une charge résistive pure. Les thyristors sont amorcés avec un retard angulaire ₀=t₀^=₂ par rapport aux passages à zéro de la tension v(t).

1.    Gradateur monophasé

1.1.Indiquer sur le document réponse n°1, en les justifiant, les intervalles de conduction des deux thyristors et le chronogramme de l’intensité i(t) du courant dans la résistance R.

Le thyristor T est passant à partir de y rad et se bloque au passage par zéro du courant, c'est à dire à p rad. Le thyristor T' est passant à partir de p+y rad et se bloque au passage par zéro du courant, c'est à dire à 2p rad. Le graphe est complété On donne V = 220 V et R = 10 W. pour y proche de 45°.

la valeur particulière α₀=90° , exprimer simplement la puissance active moyenne P fournie par le réseau en fonction de V et R. Faire l'application numérique.

La charge est alors connectée pendant la moitié du temps au réseau et déconnectée pendant l'autre moitié du temps. Si le gradateur se comportait en permanence comme un interrupteur fermé alors la charge recevrait une puissance P_max=^V2 ; comme elle n'est reliée que la moitié du temps à la source, elle reçoit

R

P=^{1 V2} soit P==2420 W 2 R  2 10

déduire les valeurs efficaces I_eff de i(t) et U_ceff de u_c(t).

Le gradateur étant parfait, il ne présente aucune perte donc P=R I²_eff soit

I_eff A

D'après la loi d'Ohm :

U_Ceff=RI_eff=10×15,6=156 V

le développement en série de Fourier de i(t), on trouve que le fondamental a pour expression :

i₁t=I_1maxsint−₁                 avec                                        Document réponse n°1

I_1max = 18,4 A et j₁ = 32,5° = 0,567 rad.

Déduire de la connaissance de i₁(t), une expression de la puissance active P. À l’aide de cette expression, recalculer P.

Puisque l'une des deux grandeurs (tension et courant) est sinusoïdale alors le fondamental « transporte » la

I  220^×18,4         W puissance active ; on peut donc écrire :  soit ^P

Que vaut la puissance réactive fournie par le réseau ?

Puisque l'une des deux grandeurs (tension et courant) est sinusoïdale alors le fondamental « transporte » la

I                   220×18,4

puissance réactive ; on peut donc écrire :  soit ^P

1.5. Quelle est la puissance apparente S de la source ?

C'est par définition le produit des valeurs efficaces de la tension et de l'intensité en entrée du gradateur (on ne peut pas utiliser S car l'une des deux grandeurs n'est pas sinusoïdale) :

S=V I_eff=220×15,6=3432 VA

1.6. Calculer le facteur de puissance de l’installation.

Par définition k=^P=²⁴²⁰=0,705

S     3432

1.7. Proposer une méthode (schéma, type d’appareil à utiliser) pour mesurer la valeur efficace du courant, la puissance active et la puissance réactive. Préciser les caractéristiques des appareils à utiliser (RMS ou non, AC ou DC, …).

2.    Gradateur triphasé

La figure ci­contre en donne un schéma de principe. Les tensions sinusoïdales v_a, v_b et v_c ont même valeur efficace V et constituent un système triphasé équilibré direct. Sur le document réponse n°2 (voir ci­dessous), on précise le séquencement de l’amorçage des six thyristors dans le cas où j₀ = 30°. On a toujours V = 220 V et la charge est résistive. Les interrupteurs sont supposés idéaux.

Le fonctionnement étant parfaitement symétrique, on étudie dans un premier temps l’intervalle [0, 180°].

2.1.  Sur chacun des six intervalles : [0°, 30°], [30°, 60°], [60°, 90°], [90°, 120°], [120°, 150°], [150°, 180°], donner un schéma équivalent de l’installation tenant compte des interrupteurs passants et expliquer la forme de la tension u_Ca donnée sur le document réponse n°2 entre 0° et 180°.

Voir deux possibilités ci­dessous ( v₁(t) pour v_a , … et u_c1(t) pour u_Ca , …) :

2.2.  Compléter le document réponse n°2 sur [180°, 360°].

Lorsque trois thyristors sont passants alors u_Ca=v₁            (système triphasé équilibré).

Lorsque deux thyristors sont passants : on prend l'exemple de droite de la page précédente. La loi des mailles permet d'écrire v_a –u_Ca+u_Cb−v_b=0 et comme u_Ca=−u_Cb          alors v_a –2u_Ca−v_b=0 ce qui donne va –vb uCa=      ₂

II. Démarrage d’un moteur asynchrone (fonctionnement sur charge inductive pure)

À l’instant du démarrage, chaque phase du moteur est assimilée à une inductance pure L = 0,32 mH.

1.    Quelle serait la valeur efficace du courant d’un démarrage en direct sur un réseau 690 V / 50 Hz ? D'après la loi d'Ohm pour une inductance en régime sinusoïdal :

I A

Afin de limiter l’intensité du courant de démarrage, on insère en série avec chaque enroulement du moteur un gradateur constitué de deux thyristors T et T’. Le thyristor T est amorcé avec un retard angulaire α par rapport à l’origine de la tension simple d’expression vt . Le thyristor T’ est amorcé une demi période plus tard.

2.    Écrire l’équation liant i(t) et v(t) lorsque T est passant.

Le régime n'est plus sinusoïdal, l'utilisation des impédances complexes et de leurs modules n'est plus possible.

v(t)=Ldi(t) dt

3.    Résoudre cette équation en tenant compte qu’à l’instant d’amorçage de T, i(t) = 0. Vérifier que :

Document réponse n°1

L'équation v(t)=Ldi(t) devient VLdi(t) soit             di         =          sinωt dtdt        dt         L

En intégrant, on obtient iA avec A une constante d'intégration.

L

Détermination de la constante A en utilisant les conditions initiales : pour t=^αω on a i^(αω)=0

L'équation précédente devient :                                                              qui se simplifie en

                                                                   ce qui donne A

En remplaçant A par sa valeur dans l'équation iA , on obtient L4. On donne à l’angle de retard la valeur =•    Placer sur le document réponse n°1 la droite horizontale d’ordonnée V ^√2 cosα , en déduire l’allure du

Lω courant i(t) lorsque T est passant. Préciser l’intervalle pour lequel T est passant.

Valeur numérique de                                                         VL         0,32.10₋₃×2 π×50      4 A          . On place une droite

V horizontale à – 3960 A en tenant compte que =             =5600 A               .

Le courant est obtenu en « décalant » la courbe −cos ωt                         de « 3960 » vers le bas ce qui donne la

L ω

courbe en bleu. Le thyristor T est passant lorsque le courant est positif et bloqué sinon.

•    Compléter le document réponse n°1 pour T’ passant.

Le comportement pour l'alternance négative est le symétrique de celui pour l'alternance positive.

5. Pour =         , que devient l’équation de i(t) 2

lorsque T est passant ? Tracer i(t) sur le document réponse n°2 et préciser les intervalles de conduction des thyristors.

Vérifier que la valeur efficace de i(t) est I₀ = 3960 A.

D'après l'équation i

Lω

et comme alors

Document réponse n°2 it

Lω

Le courant est sinusoïdal et tracé sur le document réponse. Chaque thyristor conduit pendant une demi période : le gradateur se comporte comme un interrupteur fermé.

V

La valeur efficace est égale à la valeur maximale, soit                                     , divisée par                      ce qui donne

Lω

I_eff A