Exercice corrigé sur les diodes redressement en PDF


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C22-1- Redressement non commandé monophasé

Un pont de Graetz monophasé non commandé (= pont de diodes à structure PD2) est alimenté par un transformateur fournissant une tension alternative dont l’expression est u(t) = 30 sin(100?t) .

1°) Débit sur charge résistive.

La charge est une résistance R = 10 ?.

-  Dessiner l’allure de la tension redressée.

-  Calculer la valeur moyenne de l’intensité débitée dans la charge.

2°) Débit sur charge R, E

La charge est maintenant constituée par une batterie de fem E = 10 V et de résistance interne négligeable en série avec une résistance r = 2 ?.

-  Déterminer les instants de mise en conduction des diodes.

-  Dessiner (sur le graphique tracé au 1°) l’allure de la tension uc aux bornes de la charge.

-  Calculer la valeur moyenne de l’intensité ic parcourant la charge.

-  La batterie a une capacité de 200 AH. Calculer la durée d’une charge complète.

C22-2- Redressement triphasé sur charge très inductive

On considère un montage P3 (en régime triphasé équilibré direct, f = 50 Hz, Veff = 240 V entre phase et neutre). Le courant dans la charge est ininterrompu et parfaitement lissé, c'est-à-dire que ic  = I = constante.

 

1)  Tracer la courbe uc(t).

 

2)  Etablir la relation donnant la valeur moyenne de la tension redressée, notée U   0 , en fonction de

 

Veff. A.N. : calculer numériquement U 0 .

3)  Tracer les courbes des courants iD1(t), iD2(t), iD3(t). Calculer  leur valeur moyenne et leur valeur efficace en fonction de (formule littérale).

4)  Calculer le facteur de puissance de ce montage au secondaire du transformateur.

5)  On remplace les diodes par des thyristors. Pour des angles d'amorçage ? de ?/6 et ?/2 tracer uc(t).

 

6)  Etablir la relation donnant la valeur moyenne de la tension redressée, notée U   c , en fonction de

 

Veff et ?. A.N. : calculer numériquement U   c .

7)  Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace des courants iTh1(t), iTh2(t), iTh3(t) en fonction de I. Ces valeurs dépendent-elles de ? ?

8)  Calculer le facteur de puissance au secondaire du transformateur en fonction de ?. Conclusion ?

On donne : cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb cos(a b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(ab) = sina cosb – sinb cosa

C22-3- Redressement monoalternance sur charge inductive (montage P1)

1- Décharge d'un circuit inductif par une diode

l'instant t = 0, on ouvre K. Ecrire l'équation différentielle du courant traversant la branche AB pour t ? 0. Résoudre

AN : R = 3 ?; L = 0, 1 H ; E = 220?2 V 

Soit v(t) = Vsin?t . Exprimer i(t) en fonction de V, R et

AN : V = 220?2 V ; f = 50 Hz

par une tension sinusoidale la branche AB.

des résultats des §§ 1 et 2 résoudre cette équation. Donner

     AN : mêmes valeurs qu'aux §§ 1 et 2.                                         v(t)

3-3 Représenter les tensions vAB(t) et Ri(t) sur 6 périodes.

Montrer qu'à l'intersection de ces deux courbes le graphe de Ri(t) présente une tangente horizontale.

 4- Alimentation d'un récepteur inductif à travers une diode

l'étude précédente en indiquant les modifications apportées v(t) par D2. On note vAB(t) la tension aux bornes du circuit RL.

Représenter (choisir des échelles convenables) :

a)   la tension Ri(t) et ses composantes transistoire et

harmonique sur une période de v(t). A quel instant le courant s' annule-t-il ?

b)  les tensions vAB(t) et Ri(t) sur 6 périodes.

Conclusion.

v(t)

5- Circuit "roue libre" (diode de récupération)

On insère la diode D1 en parallèle sur le circuit RL.

Mêmes questions. Conclusion.

REPONSES

C22-1- Redressement non commandé monophasé

1°)  tension redressée : uc(t) = |u(t)|

 

Le courant redressé a la même allure que la tension redressée, son amplitude crête est :

I A

?

1

Donc :I =         ? Imax A ? 0

 

a)      Instants de mise en conduction des diodes D1 et D'2 : on calcule tout d'abord ?1 :

u(t) = E

Par symétrie, l'extinction de ces diodes a lieu pour : ?2 = 180° – ?1 ? 160,5°

Sachant que u(t) = 30 sin(100?t), la fréquence de la source est f = 50 Hz et sa période T = 20 ms. La période du signal redressé est donc égale à 10 ms. D'où :

                                t ms ; t                                   8,92 ms

b)     Voir figure ci-dessus

c)      Imax = Umax ?E = 30?10 =10 A

                               r                2

?

Donc :I  A

d)     Q = I.t ?t heures

C22-2- Redressement triphasé sur charge très inductive

1°) Tension redressée d'ordre 3 (3 arcs de sinusoïde par période)

 

2°) On effectue ce calcul sur un arc de sinusoïde, de période 2?/3 :

                                                                                        ?/?                                                 5?         ??

                                                                                                                            3

                                   5?                 ??            ?

     6                  6?            6

2?

I

                   U cVeff                  2sin x.dx

                                          3               ?+5?/6

              ?U c =Veff      2 2?[?cosx]?+?/6

                                               3 ?       ?     5??        ?    ?? ?

                          =Veff     2   ? ?cos? ?+ ? + cos? ?+ ? ?



             2??      ?      6 ?        ?    6? ?

                                 ?     5??        ?     ?      ?          ?     ??

Sachant que cos? ?+ ? = cos? ?? +?? =?cos? ?? ?  :

                           ?      6 ?        ?      6      ?          ?     6?

                                          3 ?    ?     ??        ?    ?? ?

?U c =Veff          2           ? cos? ??      ? +cos? ?+    ? ? 2?

             ?    ?     6?        ?    6? ?

Sachant que cos(a b) + cos(a + b) = 2 cosa cosb :

                    ?U =Vcoscos?

?U c =U 0 cos?

Pour ? = ?/6, on trouve : U   c ? 242 V ; pour ? = ?/2, U   c = 0.

7°) Valeurs identiques au 3°), les graphes des courants étant simplement translatés d'un angle ? (voir fig.).

 

8°) Principe de calcul identique au 4°) :

 

? Le facteur de puissance diminue avec ? !

C22-3- Redressement monoalternance sur charge inductive (montage P1)

1- Décharge d'un circuit inductif par une diode

L'interrupteur K étant fermé depuis longtemps, il circule entre A et B un courant continu correspondant à un régime permanent établi de façon stable. La diode Dl est en inverse : elle est bloquée, n'est traversée par aucun courant et ne joue aucun rôle.

Par application de la loi d'Ohm, la valeur du courant est I0 = E/R car la bobine supposée idéale équivaut à un simple fil de cuivre, sans résistance.

A l'instant t = 0 , on ouvre K. La bobine étant précédemment parcourue par I0 a emmagasiné de l'énergie, qu'elle va devoir restituer.

 Une bobine traversée par un courant ne peut voir celui-ci subir de discontinuités brusques. di

Dans le cas contraire, la tension à ses bornes L          deviendrait infinie (ce qui, en pratique, est source   dt

d'arcs électriques)

 La bobine se décharge donc à travers Dl en jouant le rôle d'un générateur qui délivre un courant i(t) de sens identique à celui qu'avait Io à t < 0 (ce qui explique que Dl soit maintenant conductrice:

      i(t)                             bobine (en convention récepteur) décharge de la bobine :

di

                                      di                                                                                     i?? L    <0

                              u = L            dt

                                   dt                                      D1

La tension entre A et B étant nulle ( Dl conductrice supposée parfaite ), la relation à laquelle obéit i(t) est, d'après la loi des mailles : di

              + Ri = 0

dt

Avec ( condition initiale ) : à t = 0, i(0) = I0 = E/R  Cette équation a pour solution (cf cours):

E ?t/?

             i =    e      avec ? = L/R

                 R

Numériquement :

? = 0, 033s  ; I0 =  103,7 A

2- Régime harmonique d'un récepteur inductif

En utilisant les règles de calcul sur les nombres complexes appliqués à l'électricité en alternatif, on trouve :

V

              I = avec  :         V =[V;0]=[220 2 V ; 0]

                    Z

R +L ? =31,6?

                                                   Z = R+ jL?? ?                                   L?

? ? Arg(Z) = ?Z =arctan R =1,476 rad (84,5°)

Le courant i(t) s'écoulant en régime harmonique est donc :

V

i(t) =sin(?t ??Z ) 2      2              2           R + L ?

Numériquement: i(t) = 9,85sin(314t ?1,476)

3- Régime transitoire d'un récepteur inductif alimenté par une tension sinusoidale

3-1 A t = 0, la tension v(t) = Vsin?t devient positive et croit. L'équation différentielle décrivant le courant est : di

              L   + Ri =Vsin?t

dt

Avec par hypothèse (le circuit est au repos à l'instant initial) : à t = 0, i(0) = 0

3-2 Résolution de l'équation différentielle :

-  Solution de l'équation générale sans second membre (cf § 1) ? régime transitoire : di ?t/?

              L    + Ri = 0? it(t) =ke        

dt

Avec : k constante d'intégration à déterminer .

-  Solution particulière de l'équation complète (cf § 2) ? régime permanent :

V

ip(t) =sin(?t ??Z )

2         2              2      R + L ?

-  Solution complète :

                 i(t) = it(t)+ip(t)= ke?t/? +            V          sin(?t ??Z )

             R2 + L2?2

-  Application de la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration k :

             0 = ke?0/? +          V          sin(?0??Z )? k =          V          sin?Z

                                               2        2    2                                                     2        2    2

                                     R + L ?                                        R + L ?

-  Solution complète sous sa forme définitive :

             i(t) =          V          (sin?Z.e?t/? +sin(?t ??Z ))

             R2 + L2?2

-  Application numérique:

i(t) = 9,85(0,955.e?t/0,033 +sin(314t ?1,476))

( t en s; i en A )

3-3 Représentation graphique



Le courant i(t) est la somme de ses deux composantes, transitoire et permanente.

On représente ci-dessous les tensions Ri, Rit et Rip, ainsi que la tension v/10.

On constate qu'au bout de quelques périodes i(t) ? ip(t).

On note au départ une importante surintensité : Rimax ? 50 V, soit imax ? 17 A (au lieu de 9,85 A par la suite) 

Rit

Ri

Rip v (échelle 1/10e)

4- Alimentation d'un récepteur inductif à travers une diode

La présence de D2 empêche le courant de devenir négatif. Lorsque le courant s'annule, D2 se bloque puisqu'elle ne peut conduire un courant inverse. Le courant reste donc nul jusqu'à la prochaine alternance, ainsi que la tension vAB aux bornes du circuit RL.

a)    Graphiquement ("zoom" ci-dessous), on constate que ce courant s'annule pour ?t ? 5,3 rad ? 1,7? soit t ? 17 ms :

Rit

Ri

Rip

b)    A chaque période, le même phénomène se reproduit : on repart à zéro à chaque début

d'alternance. Le courant ne peut donc jamais atteindre des valeurs importantes !

 

5- Circuit "roue libre" (diode de récupération)

Le fonctionnement de ce circuit est identique au précédent lorsque v(t) > 0. Le courant circule en effet dans le sens passant de D2, tandis que Dl est connectée en inverse.

A l'instant t = T/2, le courant (non nul) circule toujours dans le même sens mais la tension v(t) s'inverse : la diode Dl devient conductrice, ce qui entraîne le blocage de D2 qui est alors connectée en inverse.

Le courant circule donc dans L, R, et Dl comme au § 1 : la bobine se décharge en "roue libre" jusqu'à la fin de la demi-période, avant que v(t) ne devienne à nouveau positive. Le cycle alors recommence.

a) Représentation graphique ("zoom" ci-dessous) de la première période :

-  De 0 à t = T/2 : i(t) = 9,85(0,955.e?t/0,033 +sin(314t ?1,476))

? i(T/2) ? 17 A (? Ri ? 51 V)

-  De t = T/2 à T :   i =17e?t/? (décharge exponentielle)

? i(T) ? 12,7 A (? Ri ? 38 V) : ceci est la nouvelle valeur de la condition initiale de l'équation différentielle appliquée à la deuxième période.

 

b) Au bout d'un temps suffisamment long (théoriquement infini), le courant en fin de période est

égal au courant en début de période : on atteint le régime permanent.

La résolution complète de l'équation différentielle en régime permanent est compliquée. Mais on peut raisonner plus simplement en valeur moyenne. Sachant que :

             ?           T         di

             ? 0<t <        L      + Ri =vAB (t)     vAB (t) =Vsin?t

             ?           2        dt

         ?? T2 <t <T Ldidt + Ri =vAB (t)    vAB (t) = 0

Il vient, en moyenne :

                1 T ? di         ?       1 T

                ? ? + Ri? dt = ? vAB(t)dt

              T     ? dt         ?       T

0                  0

Soit, après changement de variable t ? ?t = x :

1                  2?? di        ?         1 ?         1 2?       1 2?       1 ?

                   ? ? + Ri? dx = ? V sinxdx + 0 ?     ? Ldi + ? Ridx = ? V sinxdx

              2?     ? dx         ?       2?                               2?              2?                 2?

             0                                            0                                     0                       0                         0

En appliquant les règles de calcul habituelles :

                   ?                                   ?                        2?

          2L?? ?      i(2?)?i(0)       ? ? +           R          idt            = 2V?[?cosx]?0

? ?0 par def. du rég. permanent?

             =R<i> par def. de la val. moyenne

Soit :

V

R <i > =           ?100V, soit  < i > ? 33 A ?

Conclusion : contrairement au cas précédent, le courant peut atteindre cette fois une valeur "normale", qui ne dépend que de la valeur moyenne de la tension vAB redressée aux bornes du circuit RL et de la résistance.

                                                                                                          v  



°) La puissance active est la puissance consommée par la charge (tension U   0 et courant I continus). La puissance apparente est égale à trois fois la puissance apparente dans un enroulement, où circule un courant identique au courant traversant une diode :

La faible valeur de ce facteur de puissance limite l'intérêt du montage P3 : on lui préfère en général le pont de Graëtz (PD3).

[2] °) L'angle de déclenchement ? des thyristors est compté à partir de l'angle de commutation naturelle (commutation des diodes). Voir fig. ci-dessous.

°) Calcul identique au 2°, mais avec décalage d'un angle ? :



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