Le test du khi-deux document de cours detaille et bien explique

plusieurs  population.

En  fonction de d'hypothèses  testés  plusieurs  types  de  testes peuvent  être réalisés:

*Les tests  destinés  à vérifier  si un échantillon   peut  être considère comme extrait  d'une population  donnée ,vis-à-vis  d'un paramètre comme  la moyenne  ou  la  fréquence  observée (test de conformité) ou par   rapport  à  sa  distribution  observée  (test d' ajustement).

*Les tests  destinés  à  comparer  plusieurs  populations  à  l'aide  d'un équivalent  d'échantillon (test  d'homogénéité)…etc. Mais  pour  faire ces  tests, il  faut  utilise  un  parmi  plusieurs   des  type  comme   le test

, le test de,et le test de.

Dans ce travail  nous  avons  étudie  le  test  khi-deux  qui  l'un  des principaux  tests  appliqués  pour  le  prise  de  décision les  tests d'hypothèses.

Dans  le  chapitre I, nous définissions  les  tests  d'hypothèses  dans  le cas généralepour  pouvoir  permettre  une  décision  en  évaluant  les risques .

Dans le chapitre II, on  s'intéresse à  la  loi  du khi-deux : on définie  n variables  aléatoires  qui  suit  la  loi  normale  centrée  réduite,

On pose:  = ∑                      alors  suit  la  loi  de  khi-deux  à  n  degré

de  liberté puis  faisons  la  preuve  du  théorème  fondamentale  du  test du  khi-deux .

1-Les hypothèses:

Les statistiques développent  des techniques et des méthodes qui permettent  d’analyser  les donnée  issues des l’observation, afin de cerner les caractéristiques de la population concernée et d’identifier un modèle capable d’engendrer ces données.

Dans ce cadre, on est amené à faire des hypothèses, c'est-à-dire à émettre des assertions concernant ces caractéristiques de la population on ce modèle.

Le plus souvent, la situation  se résume en une alternative  constituée de deux hypothèses  qui s’excluent mutuellement et qui sont appelées  respectivement l’hypothèse nulle, ou fondamentale, et l’hypothèse alternative, ou contraire.

En général, les hypothèses  ne jouent pas des rôles symétriques, et on choisit  pour hypothèse nulle  l’hypothèse à laquelle on croit ou on tient, ou encore celle qui permet de faire des calcules, ou encore celle dont le rejet est lourd de conséquences.

2-Règle  de décision :

Un  test d’hypothèses  est une règle  de décision  qui

permet, sur  la base des données observées et avec des risques d'erreur    déterminés ,d’accepte  ou de  refuser  une  hypothèse statistique.  Elle  est définie sous  l’hypothèse «  est vraie » et pour un seuil de signification α fixé.

valeur seuil(S _seuil) c’est-à-dire : alors l’hypothèse  est rejetée au risque d’erreur α et l’hypothèse  est acceptée.

-si la valeur de statistique S calculée ( ) est inférieure à la valeur seuil ( ) c’est-à-dire : alors l’hypothèse  ne peut être rejetée.

3-les erreurs et les risques :

La règle de décision d’un test étant basé sur l’observation d’un échantillon, on n’est jamais sur de l’exactitude de la conclusion : il y a donc toujours un risque d’erreur.

L’erreur de première espèce consiste à rejeter  à tort : le risque d’erreur de première espèce est noté  , c’est le risque d’erreur que l’on prend en rejetant  alors qu’elle est vraie. On l’appelle aussi le niveau  du test.

L’erreur de deuxième espèce consiste à rejeter  à tort : le risque d’erreur de deuxième espèce est noté  , c’est le risque d’erreur que l’on prend en rejetant  alors qu’elle est vraie.

Les risques lies aux tests d’hypothèses peuvent se résumer ainsi :

SITUATION   VRAIE

H₀ est  vraie

H₁ est vraie

La

Décision est

Probabilité de prendre cette décision avant expérience

La

Décision est

Probabilité de prendre cette décision avant expérience

β)

Conclusion

du

test

Accepter

H₀

bonne

1-α

fausse

β(risque de deuxième espèce)

Rejeter H0

fausse

α(risque      de première espèce)

bonne

1-β

Remarque:

La probabilité complémentaire du risque de deuxième espèce (1 définit la puissance du test à l’égard de la valeur du paramètre

dans l’hypothèse alternative     .

La puissance du test représente la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle  lorsque l’hypothèse vraie est  plus  est petit, plus le test est puissant.

                                                                          = 3    )

Donc:        ) = 3                                  ) = 2.

II. Loi du khi deux à n degré de liberté:

1.  Définition:

T₁, T₂,…, T_nDésignant  n  variables aléatoires indépendantesqui suivent toutes la loi normale centrée réduite, soitXla variable aléatoire définie par: = ∑ ,On dit que la variable aléatoire

Xsuit la loi  du khi-deux àndegrés de liberté

2.  Densité de probabilité:

D'après  la  densité de  la  loi de  khi-deux  à  n  degré  de  liberté ;

                              On a                    .En remarque que: g(x) la densité d'une

variable aléatoiresuitla loi Gamma( , )alors la densité de variable aléatoire X suit la loi de Gamma( ,   ) est:

alors, cette  densité est le même que la

densité d'une variable  X  suit la loi de khi-deux  à  n  degré de liberté.

3.  Espérance et variance mathématique:

Graphe  n 01

Remarque:

Si la variable aléatoire   X  suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté, la table donne, pour un risque  choisi, le nombre tel que:

IV. Théorème fondamentale de test du khi-

deux :

Théorème 1:

Si    X₁, X₂,…, X_n sont des variables aléatoires normales indépendantes, la variable aléatoire   S=X₁²+X₂²+…+X_n² suit une loi khi-deux à n degrés de liberté.

Théorème 2:

Sous l'hypothèse H₀, (X₁, X₂,…, X_n) est  un échantillon d'une loi

     entièrement  spécifié  alors  la statistique :                                    à

pour loi asymptotique la loi       .

Preuve:

A/ Montrons tout d'abord que les variables aléatoires N₁, N₂,…, N_k obéissent à la loi multinomiale à s'avoir :

)

Soient X  la variable aléatoire étudiée (X₁,X₂,…,X_n) un  n échantillon  de  X ,et  la mesure de probabilité de  X  lorsque H₀ est vraie.

On  partage  l'ensemble  des  valeurs  X (Ω)  en  k  classes (Cj)

Avec 1≤

Si  X  est  une variable aléatoire discret, les C_j sont en générale des points.

Si  X  est  une variable aléatoire continue, les C_j sont en générale des intervalles ou des produits des intervalles.

Pour tout indice j de 1 à k, on note  P_j la probabilité théorique de la classe C_j donnée la loi de  avec  P_j=P(X∈C_j).

On note  N_j le nombre de variable  X_j prenant leur valeur dans C_j ; si H₀ est vraie.

On suppose que :

1      si     X_j ∈ C_j

 =

O       sinon

       Alors                                             l  étant fixé

,               la fonction caractéristique de (Y_1l,Y_2l,…,Y_kl) est :

Si  Y_jl =1  i.e  X_l ∈C_j .donc tous les autres  Y_ml sont nuls est cet événement a pour probabilité  P_j et pour conséquent  la fonction caractéristique pour  l  fixé est :∑ exp ( )

Les  Y_jl pour les valeurs différentes de  l  sont indépendants  d’où la fonction caractéristique de l'ensemble de  Y_jl es :

∏ )) donc, la fonction caractéristique de ( , … , ) est:

= ∏

= (∑

Test de conformité

*Exemple:

On a croisé deux races de plantes différant par deux caractère A et B .

La première génération est homogène .la seconde génération fait apparaitre 4 types de plantes; dont les phénotypes est noté : AB, Ab, aB, ab.

Si les caractères se transmettent selon les lois de « Mendel », la proposition théorique: des 4 phénotypes sont  9/16,3/16,3/16 et 1/16.

Dans une expérience un échantillon de 160 plantes a donné:

AB/100,     Ab/18,    aB/24,   ab/18.

Cette répartition est –elle conforme aux lois de « Mendel » au seuil de signification de 5℅?

* La réponse:

On pose l’hypothèse  nulle.

H₀: »la répartition observée est conforme aux loi de Mendel » Pour calculer le khi-deux on établit le tableau suivant:

On obtient :

=12.51

Tq:

 =les effectifs observés.

 =les effectifs calculent.

Ici le nombre de degré de liberté=n-1=4-1=3.

Sur la table de khi-deux : on lit     =7.815 avec α=0.05=le risque d’erreur.     D’où  , l’hypothèse de conformité  doit être rejetée au seuil de signification de 5℅.

1 ij1 ij2

deux  j₁et  j₂différents choisis parmi 1,2,…,k.

Soitencore : les propositions d'individusprésentantchaquemodalité du caractèrenesontpasidentiquespourles populationspour au moins une modalitéducaractère .

*Deuxième étape:

Sous  l'hypothèse d'homogénéité  deux  populations, on doit comparer les effectifs observés  aux  effectifs théoriques.

Pour calculer les effectifs théoriques, il nous  faut déterminerla proposition d'individus  associées  à la modalité   i  et que  l'on  suppose identique  dans  les k  populations.

On  obtiendra  une  estimation  de  cette  proportion  en  utilisant l'ensemble des  données  collectées ;on choisit donc:

,  on  déduire  les  effectifs  théoriques  de  chaque  classe

grâce  à  la  relation .Pour  comparer  les  écarts  entre  ce qu'on observe et  ce  qui  se  passe  sous  l'hypothèse  H₀, on  considère la  somme  des écarts réduits  de  chaque  classe ,à  savoir  la  quantité :

 = ∑ Cette  variablealéatoire  suit  une  loi  de khi-deux   mais  quel  est  donc  nombre  de  degrés  de  liberté ?

Calcule du nombre de degrés de liberté du khi-deux:

A priori, on a  k r  cases dans  notre tableau  donc  (k r) degrés  de liberté.

que  le  nombre  de  relations  entre  les différents  élément  des  cases. On a estimé probabilité théorique à l'aide des valeurs du tableau (P₁, P₂,…, P_r) mais seulement (r-1) sont indépendantes puisqu'on impose la restriction:∑        = 1.Par ces estimations, on a donc supprimé (r-1) degrés de libertés.

Les effectifs de chaque colonne sont toujours liés par les relations:

∑                = et ces relations sontau nombre de k.

Finalement, le nombre de degrés de libertés du khi-deux est:

n=kr-(r-1)=(k-1)(r-1)

*Troisième étape:

On impose à la zone d'acceptation de H₀concernant valeur du khideux d'être un intervalle dont est la borne inferieure.

Il nous faut donc déterminer dans la table, la valeur maximale , de l'écart entre les deux  distributions imputable aux variations d'échantillonnage au seuil de signification, c'est–à-dire vérifiant :

*Quatrième étape:

On calcule la valeur prise par dans l'échantillon

-si la valeurse trouve dans la zone de rejet, on dira que l'écart observé entre les k distributions est statistiquement significatif au écart est anormalement élèvé et ne permet pas d'accepter

H₀

-si la valeurse trouve dans la zone d'acceptation, on dira que l'écart est imputable aux fluctuations d'échantillonnage.

3. position de problème :

Un  maladie  est  traité  dans  quatre hôpitaux  différent .On  a  fait les observations  suivantes:

Peut–onconsidérer que l’efficacité des 4 traitements est sensiblement  la même?Autrement dit–peut-on attribuer au seuil hasard,Les divergences observées entre les pourcentages de guérison au taux de sécurité de 95℅?

On pose l’hypothèse nulle H₀:«l’efficacité des 4 traitements est la même

».

Dans ce cas, on prend  pour estimation du pourcentage théorique de guérison, lepourcentageglobal correspondant a l’ensembledes maladies  traités:

 =  = 0.756

Les effectifs théoriques  des différentes classes au moyen  de cette valeur P₀dans le tableau suivant:

Par exemple :

151×0.756=114.

Nous avons :

X² =11.11

dire d.d.l= (4

valeur X² Nous avons l'hypothèse

significatives c’est

Effectif totale

502

163

665

75.6

L'effectif théorique des cas de guérison pour l'hôpital 1 est:

L'effectif théorique des cas de non–guérison est:151-114=37

Le nombre de degré de libertéd.d.l= (n-1) (k-1) c'est-à-1) (2-1)=3

La table de X2 indique pour d.d.l  =3 et au taux de sécurité de95%,La

0.05=7.8147… doncX²> X²_0.05.

Au taux de sécurité de95%, nous ne pouvons donc p accepter

H₀ que les 4 traitements possèdent la même efficacité.Les

différences observées entre les pourcentages de guérison sont

-à-dire les 4 traitements  sont indépendants. Il semble

En fin nous pouvons dire que le test de  khi-deux

nous permet d'obtenir  des  renseignements et  des  informations concernant  les paramètres  d'une  population  inconnue  dite population  mère  sur  la  base d'un  ensemble  d'observation statistiques  provenant  de  cette  population

Ce  test  est  très  utilisable  dans  la  biologie  (génétique)  et  dans l'économie….et  aussi  important  par  rapport  à  les  différentes  type de  test d'hypothèse.

Annexe:

Loi multinomiale:

1*Paramètre:

n>0:nombre d'épreuves (entier) p₁….p_n : probabilité des évènements (∑ = 1)

N_i ∈{1…m}

2*Support:

∑

3*Densité:

 ) =

4*Espérance:

Esp=npi

5*Variance:

Var=n p_i(1-p_i)

6*Fonction caractéristique:

(

Sommaire:

              Introduction:

               Chapitre 1:    Généralités sur les tests

i.        Les hypothèses

ii.       Règle de décision

iii.      Les  erreurs  et  les  risques

              Chapitre 2:     la loi du khi-deux

i.      Loi  du  khi -deux  à  un degré  de  liberté

ii.     Loi  du  khi- deux  à  n  degré  de  liberté

iii.    Les  courbes  du khi -deux

iv.       Théorème fondamentale  de test du khi deux

              Chapitre 3:     le test  du khi –deux

i. Test  de conformité

*généralité

*position du problème ii. Test  d'homogénéités

*généralité

*position du problème      Conclusion:

               Annexe: