UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE
Master 1 “Economie et Gestion de l’Environnement et du Dev´ eloppement Durable”
Gestion de Projets
Daniel DE WOLF
Dunkerque, Janvier 2008
I Techniques de gestion de projets 9
1 Introduction 11
1.1 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Definition´ de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Definition´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Definition´ des objectifs du projet . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Notion de tachesˆ d’un projet . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 La definition´ de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 L’ordonnancement de projets 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Formulation du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Representation´ graphique du probleme` . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Graphe de la methode´ du potentiel . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Representation´ des autres types de contraintes . . . . . . . 25
2.3.3 Condition d’existence d’une solution . . . . . . . . . . . 26
2.4 Classement des activites´ par niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Calcul de l’ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Ordonnancement au plus totˆ . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1 Notion de tacheˆ critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
Table des matières
2.6.2 Notion de chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.3 Notions de marge libre et de marge independante´ . . . . . 35
2.7 L’ordonnancement par la methode´ PERT . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Reduction´ de la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Programmation effective du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10 Presentation´ des resultats´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Cas de contraintes cumulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.12.1 Critere` de minimisation de la duree´ d’achev` ement du projet 46
2.12.2 Critere` de lissage de charge des ressources utilisees´ . . . . 48
2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Analyse du projet 57
3.1 Definition´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Structuration hierarchis´ ee´ du projet . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Les phases du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Utilite´ de l’ingenierie´ concourante . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Gestion simultanee´ de plusieurs projets . . . . . . . . . . 62
3.2 Definition´ technique des tachesˆ et de leurs relations . . . . . . . . 63
3.2.1 Les relations entre tachesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Les caracteristiques´ de la tacheˆ . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Le coutˆ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Analyse des coutsˆ sur la duree´ de vie d’un produit . . . . 68
3.4 Analyse economique´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 L’appel a` l’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Un exemple de choix de capacite´ . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Le suivi du projet 83
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Le suivi de la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Table des matières 5
4.3 Le suivi des coutsˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Les donnees´ de ref´ erences´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Les donnees´ revis´ ees´ a` date t . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.3 Les grandeurs a` comparer . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.4 Analyse de l’ecart´ de planning . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 La prise en compte du risque 95
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 L’approche quantitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.1 Distribution statistique de la duree´ d’une tacheˆ . . . . . . 96
5.2.2 L’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.3 L’approche simulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque delai´ . . . . . 108
5.3 L’analyse qualitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’elaboration´ du
projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.2 Les risques externes encourus en phase d’elaboration´ du
projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Les risques relatifs a` la prevision´ d’utilisation des ressources111
5.3.4 Les risques encourus en phase d’execution´ du projet . . . 112
5.4 La prise en compte du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1 La diminution du risque en phase d’elaboration´ . . . . . . 113
5.4.2 Organisation de la reacti´ vite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1Notion de marge libre et de marge totale . . . . . . . . . . . . . . 119
A.2Calcul d’annuites´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.3Definition´ de l’ecart´ de planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.4Definition´ de l’ecart´ de coutˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Table des matières
A.5Distribution de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.6L’approche classique du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Table de nombres au hasard 125
C Table de la loi normale centree´ reduite´ 127
D Etudes´ de cas 131
D.1Cas 1 : Societ´ e´ de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
D.2Cas 2 : Achat de materiel´ informatique . . . . . . . . . . . . . . 131
D.3Cas 3 : Conception d’un site Internet . . . . . . . . . . . . . . . 131
D.4Cas 4 : Construction d’un stade olympique . . . . . . . . . . . . 132
2.1 Graphe de la methode´ du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Graphe de la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 graphe associe.´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Trois autres types de contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Circuit de longueur positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Relation d’anteriorit´ e´ inutile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Ordonnancement au plus tot.ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Ordonnancement au plus tard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.10 Calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.11 Cas de plusieurs chemins critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.12 Graphe associe´ pour la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . 37
2.13 Introduction d’un contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.14 Arc fictif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.15 Ordonnancement par la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . 39
2.16 Reduction´ d’un jour de la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . 40
2.17 Reduction´ de la duree´ du projet de deux jours . . . . . . . . . . . 41
2.18 Graphe de la methode´ des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.20 Diagramme de Gantt-Tachesˆ (projet) . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.21 Diagramme de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.22 Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource . . . . . . 46
2.23 Solution 2 : priorite´ a` la tacheˆ critique . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.24 Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 47
Liste des figures
2.25 Solution 4 : definir´ une tacheˆ par sa quantite´ totale de travail. . . . 48
3.1 Organigramme technique : top-down. . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Organigramme technique : bottom-up. . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Trois graphes potentiels-tachesˆ correspondant aux 3 niveaux. . . . 60
3.4 Approche sequentielle´ classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Overlapping problem solving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Gammes alternatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Recouvrement : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9 Cycle des coutsˆ engages´ et decaiss´ es.´ . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10 Flux nets de tresorerie´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.11 Logique d’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.12 Arbre de decision´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.13 Construction de 5 000 en cas de demande forte. . . . . . . . . . . 74
3.14 Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. . . . . . 75
4.1 Le suivi d’execution´ des tachesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Le suivi des coutsˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Les ecarts´ de coutˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Distribution uniforme de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Distribution Betaˆ de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Distribution normale de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Intervalle a` 95 % sur la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Construction de la fonction de repartition´ . . . . . . . . . . . . . 106
A.1 Distribution uniforme de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 Distribution Betaˆ de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.3 Distribution normale de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.4 Distribution triangulaire de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . 124
Partie I
Techniques de gestion de projets
Chapitre 1
Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s’agit, d’une part, de donner aux etudiants´ les bases pour la formulation de problemes` de gestion de projets et, d’autre part, d’introduire les techniques de resolution´ de ces problemes.` On presentera´ les techniques d’ordonnancement, d’analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque.
Comme ref´ er´ ence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de projets, [2].
Des etudes´ de cas illustrant les concepts vus au cours pourront etreˆ trouvees´ dans les les ouvrages suivants :
• Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1],
• Robert HOUDAYER, Evaluation financier` e des projets [4],
• Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6]
• J.R. MEREDITH et al, Project Management [7].
Le cours est divise´ en cinq chapitres.
par exemple). On presentera´ les objectifs de respect de la qualite´, de respect des delais´ et de respect des coutsˆ . On presentera´ briev` ement la direction de projet qui relev` e des decisions´ strategiques´ (definition´ des objectifs, des ressourcesa` mettreen œuvreet appreciation´ des risques)et le controleˆ de projet qui, lui, relev` e des decisions´ tactiques (estimation prealable´ de la duree´ et des coutsˆ des taches,ˆ respect des delais´ et des coutsˆ durant la realisation´ du projet).
Chapitre 2 : L’ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous presente-´ rons les deux principales techniques de planification de projets, a` savoir la methode´ du potentiel et la methode´ PERT. Pour chacune de ces deux methodes,´ nous verrons comment representer´ le probleme` a` l’aide d’un graphe, comment calculer les dates de deb´ ut au plus totˆ et au plus tard des tachesˆ ainsi que la maniere` de calculer le chemin critique. Nous verrons eg´ alement comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un equipement´ a` partager) ou de lissage de charge des ressources utilisees.´ Nous verrons eg´ alement comment l’analyse du chemin critique peut etreˆ utile pour reduire´ la duree´ du projet.
Chapitre 3 : L’analyse du projet. Lors de la definition´ du projet, il convient de donner une definition´ precise´ des phases du projet, une definition´ fine des tacˆ hes du projet et de leurs relations ainsi qu’un calcul des coutsˆ de realisation´ des tacˆ hes du projet. On s’interessera´ eg´ alementdans ce chapitre a` l’elaboration´ du plan d’investissementnecessaire´ a` la realisation´ du projet et a` l’analyse economique´ du projet.
Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous presente-´ rons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans l’approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de la duree´ ou du coutˆ de realisation´ d’une tache.ˆ On peut alors faire des simulations. Dans l’approche qualitative du risque, on presentera´ les differentes´ techniques de reduction´ des risques encourus aussi bien dans la phase de definition´ du projet (mauvaises previsions)´ que dans la phase d’execution´ (rencontre d’aleas´ externes).
1.3. Définition de la gestion de projets
Comme l’indique Giard [2],
Definition´ 1.1Un projet est defini´ et mis en œuvre pour elabor´ er une reponse´ au besoin d’un utilisateur, d’un client et il implique un objectif et des actions a` entreprendre avec des ressources donnees.´
Cette definition´ implique que l’on mette en œuvre une organisation specifique´ et temporaire durant la preparation´ et la realisation´ du projet.
A titre d’exemples, on peut classer ce qui peut faire l’objet d’un projet sous les quatre rubriques suivantes :
• La production de type serie´ unitaire qui se definit´ comme la mobilisation de toutes les ressources de l’entreprise pour la realisation´ d’un projet de production sur une duree´ assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de tres` gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de genie´ civil (tels que le Tunnel sous la manche).
• Les activites´ de gestion non rep´ etitive´ correspondant a` un enjeu technicoeconomique´ important pour l’entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d’un nouveau produit, le changement de systeme` informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production.
• Enfin, programmes d’aide aux pays en voie de developpement´ sont souvent ordonnees´ et controlˆ es´ avec les techniques d’ordonnancement et de controleˆ de projets qui seront present´ ees´ dans ce cours.
Dans tout projet, on peut identifier trois categories´ d’objectif qui sont souvent antagonistes :
• Les objectifs de performance technique relatifs au respect des specifications´ fonctionnelles et des caracteristiques´ techniques du produit. On se definit´ ainsi un niveau de qualite´ en ce qui concerne, par exemple le respect de
tolerance,´ la fiabilite´ du produit, la facilite´ d’usage, etc
• Les objectifs de delai´ sont un composante tres` importante pour le client. Ainsi, il ne sert a` rien de livrer un stade olympique 3 mois apres` la fin des jeux olympiques. D’autre part, dans un marche´ concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, etreˆ le premier a` mettre sur le marche´ un nouveau vaccin ou un nouveau medicament´ peut representer´ un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arrive´ sur le marche.´
• Lesobjectifsdecoutˆ sontprimordiaux,notammentdanslecadred’uncontrat a` prix non revisables´ ou dans le cas d’un projet interne.
Ces trois categories´ d’objectif sont fortement liees.´ Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le delai´ imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus onereuses.´
Un projet est constitue´ d’un ensemble de tachesˆ ou encore d’activites.´ Chaque tacheˆ du projet :
• est identifiee´ par son roleˆ a` jouer dans l’execution´ du projet,
• se caracterise´ par un deb´ ut et une fin,
• est souvent reliee´ aux autres tachesˆ du projet par des relations d’anteriorit´ e´ qui impliquent qu’une tacheˆ ne peut deb´ uter avant qu’une autre ne soit prealablement´ terminee´ (bien qu’un certain recouvrement des tachesˆ soit possible dans certains cas comme nous le verrons).
Onresumera´ utilementlalistedestaches,ˆ deleursancetresˆ etdeleurconsommation de ressource par un tableau tel que celui present´ e´ en tableau 1.1.
Le management de projet comporte deux fonctions bien differentes´ :
• La direction de projet qui s’interesse´ aux decisions´ strategiques´ (decisions´ a` long terme mettant en jeu l’avenir de l’entreprise).
No | tacheˆ | duree´ | prealables´ | Consommation |
(jours) | de ressources | |||
1 | terrassement | 5 | - | 1 ouvrier |
2 | fondations | 4 | 1 | 3 ouvriers |
3 | colonnes porteuses | 2 | 2 | 2 ouvriers |
4 | charpente toiture | 2 | 3 | 2 ouvriers |
5 | couverture | 3 | 4 | 4 ouvriers |
6 | maconnerie¸ | 5 | 3 | 3 ouvriers |
7 | plomberie, electricit´ e´ | 3 | 2 | 2 ouvriers |
8 | coulage dalle beton´ | 3 | 7 | 2 ouvriers |
9 | chauffage | 4 | 8 et 6 | 1 ouvrier |
10 | platreˆ | 10 | 9 et 5 | 4 ouvriers |
11 | finitions | 5 | 10 | 1 ouvrier |
Tableau 1.1: Donnees´ du probleme`
• la gestion de projet qui s’interesse´ aux decisions´ operationnelles´ (decisions´ a` court terme de gestion des equipements´ et du personnel).
La direction de projet est assuree´ par un chef de projet assiste´ parfois d’une equipe.´ La mission de cette direction de projet est quadruple :
2. definir´ les moyens a` mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources materielles´ et humaines. Ce qui implique directement d’attribuer un budget a` la realisation´ du projet.
3. d’apprecier´ les risques encourus et de mettre en œuvre des procedures´ de surveillance (par exemple, definir´ des indicateurs de tenue des delais´ et des couts),ˆ
4. d’animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs activites,´ en faisant des ev´ aluations reguli´ eres` qui conduisent parfois a` reviser´ les objectifs du projet.
La gestion de projet est assuree´ par un controleurˆ de projet. Elle a pour objectifd’apportera` ladirectiondeprojetlesinformationsrelativesa` l’avancement de l’execution´ du projet, au respect de ses objectifs et de ses couts.ˆ
• Durant la phase de prepar´ ation, la gestion de projet permet une estimation rapide de la duree´ des tachesˆ et des moyens a` mobiliser et donc des coutsˆ induits. Ceci permet de preparer´ l’ordonnancement.
• Durant l’execution´ du projet, la gestion de projet vise la maˆ?trise des delais´ et des coutsˆ en utilisant des tableaux de bord.
• A la fin du projet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des enseignements pour l’avenir.
Dans ce cours, nous allons presenter´ un certain nombre d’outils qui relev` ent de la gestion de projets : par exemple, les techniques d’ordonnancement qui seront present´ ees´ au chapitre 2, les techniques de suivis budgetaire´ et de planning qui seront present´ ees´ au chapitre 4.
Nous presenterons´ eg´ alement un certain nombre de techniques relevant de la direction de projets : par exemple, l’analyse economique´ du projet qui fera l’objet du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l’objet du chapitre 5.
1.4. Exercices
(a) On demande de remplir le tableau 1.2 en y indiquant les prealables´ de chaque tache.ˆ
Code | Tacheˆ | Anteriorit´ e´ | Duree´ |
A | Construction des composants internes | 2 | |
B | Modification du plafond | 3 | |
C | Construction du collecteur d’air | 2 | |
D | Installation du nouveau cadre | 4 | |
E | Installation du bruleurˆ haute temperature.´ | 4 | |
F | Installation du controleˆ d’emission´ | 3 | |
G | Installation du systeme` de depollution´ | 5 | |
H | Test et mise en service du systeme` | 2 |
Tableau 1.2: Tableau des prealables´ et des durees´ des tachesˆ
1.2. Cas de l’entreprise BURBOX. La societ´ e´ BURBOX est une societ´ e´ specia-´ lisee´ dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d’edifier´ une nouvelle usine a` la place d’un entrepotˆ inutilise´ afin de repondre´ a` l’accroissement de sa demande. Les tachesˆ a` executer´ sont les suivantes :
1) La demolition´ de l’ancien entrepotˆ et l’enlev` ement des gravats par la societ´ e´ DUPONDauneduree´ estimee´ a` 10joursouvrables. L’operation´ est facturee´ 300.000 euro le premier jour de l’execution´ de la tache.ˆ Le permis de demolition´ est dej´ a` accorde.´
2) L’obtention du permis de batirˆ pour le nouveau batimentˆ devrait prendre 25 jours.
3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent deb´ uter avant que le permis ne soit accorde,´ sont prevus´ pour une duree´ de 5 jours. Le coutˆ est de 180 euro par m3 et on estime qu’il y a 5.000 m3 a` enlever. Le paiement est fait pour moitie´ au deb´ ut et pour moitie´ a` la fin de la tache.ˆ
4) Les travaux de fondation du nouveau batimentˆ durent 10 jours pour un coutˆ prevu´ de 370.000 euro a` payer le premier jour.
5.1 Lapremier` etranchedeb´ utantapres` lesfondationsestprevue´ pour une duree´ de 18 jours et un coutˆ previsionnel´ de 478.000euro qu’il est prevu´ de payer en trois fois (20 % au deb´ ut, 40 % le 10eme` jour et le solde a` la fin du gros œuvre 1);
5.2 La seconde tranche, qui peut deb´ uter 5 jours avant la fin de la premiere` tranche, doit durer 7 jours et a un coutˆ prevu´ de 140.000 euro (50 % au deb´ ut, 50 % a` la fin).
6) La toiture devrait pouvoir etreˆ faite en 10 jours au prix de 340.000 euro (a` payer le premier jour) et peut deb´ uter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre.
7) La tacheˆ de finition du batimentˆ consiste en les cinq tachesˆ suivantes :
7.1 La pose de panneaux industriels de platreˆ pour une duree´ de 6 jours et un coutˆ forfaitaire de 150.000 euro a` payer au deb´ ut;
7.2 Lapremier` ephased’electrification´ dubatimentˆ consisteenl’installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuee´ par la societ´ e´ LAMBERT pour 500.000 euro (versement initial de 200.000 euro, versement de 100.000 euro a` la reception´ de chaque transformateur). L’installation et la reception´ d’un transformateur necessite´ 5 jours (15 jours au total pour la tache);ˆ
7.3 La seconde phase d’electrification´ est prise en charge par le personnel des services gen´ eraux´ de la societ´ e´ BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estime´ a` 320 heures de travail (coutˆ horaire de 150 euro). Les fournitures a` acheter coutentˆ 15.000 euro. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la premiere` phase d’electrification.´ Les travaux d’electrification´ doivent etreˆ termines´ avant la peinture. Leur coutˆ est impute´ le premier jour.
7.4 Le travail de peinture des murs est estime´ a` 200 heures et est pris en charge par les services gen´ eraux´ de BURBOX.
8) Le demontage´ des anciennes machines (2 jours) est effectue´ par les 5 employes´ des services gen´ eraux.´ On programme cette tacheˆ au plus tard avec une marge de 5 jours. On impute son coutˆ le premier jour.
9) Le remontage des machines (2 jours) mobilise les memesˆ ressources. Ilfautquelestravauxdepeinture(muretsol)soientfinis. Leremontage est programme´ au plus tard. On impute son coutˆ le premier jour.
10) L’acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000 euro (moitie´ a` la commande, moitie´ a` la fin des essais) comporte les tachesˆ suivantes :
10.1 1 jour pour passer la commande;
10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuee´ 21 jours apres` la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie. 10.3 3 jours d’essai du materiel.´
11) L’inauguration des nouvelles installations a` l’issue du remontage et des essais dure 1 jour.
(a) Refl´ echir´ a` la duree´ des travaux confies´ aux services centraux en :
• calculant la duree´ de la tacˆ he 7.3 en tenant compte de journee´ de 8 heures pour les ouvriers des services centraux de la societ´ e´
BRUBOX,
• imaginant une organisation du travail de peinture (tacˆ hes 7.4 et 7.5) pour realiser´ ces deux tachesˆ en parallele.`
(b) Etablir´ un tableau recapitulatif´ des tachesˆ avec leur designation,´ la liste de leurs ancetres,ˆ leur duree,´ leur coutˆ et les observations quant a` leur programmation (recouvrement possible avec un ancetre,ˆ etc ). On remplira le tableau 1.3.
Tacheˆ | Duree´ | Prealables´ | Remarques de | coutˆ (keur) et |
programmation | date de debours´ | |||
1 - Demolition´ | 10 jours | - | 300 (jour 1) | |
2- Permis | ||||
3- Terrassement | ||||
4- Fondations | ||||
5.1- Gros-oeuvre | ||||
5.2- Gros-oeuvre | ||||
6 - Toitures | ||||
7.1 Placoplatreˆ | ||||
7.3 Electricite´ 2 | ||||
7.4 Peinture murs | ||||
7.5 Peinture sol | ||||
8 - Demontage´ | ||||
9 - Remontage | ||||
10.1 - Commande | ||||
10.2 - livraison | ||||
10.3 - Essais | ||||
11 - Inauguration |
Tableau 1.3: Cas de l’entreprise BURBOX
Chapitre 2
Lorsdetoutprojetdegrandeenvergure(constructiond’unbateau, d’unavion, d’un batiment, ),ˆ un probleme` crucial qui se pose est celui du calendrier d’execution´ des taches.ˆ Le probleme` est de determiner´ dans quel ordre doivent s’enchaˆ?ner les diverses tachesˆ de maniere` a` minimiser le temps total d’execution´ du projet.
Prenons un exemple. On veut construire un nouveau batimentˆ de maniere` a` pouvoir dem´ enager´ au plus tot.ˆ Certaines tachesˆ ne peuvent s’executer´ qu’apres` que d’autres soient terminees.´ Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondationssont terminees.´ D’autres tachesˆ peuvent s’executer´ simultanement.´ Par exemple, les travaux d’electricit´ e´ et de plomberie peuvent etreˆ menes´ de pair. Les donnees´ sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple.
No | tacheˆ | duree´ (jours) | prealables´ |
1 | terrassement | 5 | - |
2 | fondations | 4 | 1 |
3 | colonnes porteuses | 2 | 2 |
4 | charpente toiture | 2 | 3 |
5 | couverture | 3 | 4 |
6 | maconnerie¸ | 5 | 3 |
7 | plomberie, electricit´ e´ | 3 | 2 |
8 | coulage dalle beton´ | 3 | 7 |
9 | chauffage | 4 | 8 et 6 |
10 | platreˆ | 10 | 9 et 5 |
11 | finitions | 5 | 10 |
Tableau 2.1: Construction d’un batimentˆ
On doit tenir compte, dans les problemes` d’ordonnancement, de divers types
21
de contraintes.
• Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d’ante-´ riorite´ entre les tachesˆ : une telle tacheˆ ne peut commencer avant la fin d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’est pas fini).
• Les contraintescumulatives imposentla prise en comptede la disponibilite´ deressourcesnonstockables,parexempledesheuresdetravailenpersonnel ou d’equipement´ dont on peut disposer au cours d’une periode´ et qui sont perdues si elles ne sont pas utilisees´ durant cette periode.´
• Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tachesˆ ne peuvent avoirlieuenmemeˆ tempssansquel’onpuissedirelaquelledoitetreˆ effectuee´ avant l’autre (par exemple, une memeˆ grue est utilisee´ sur deux chantiers).
Le probleme` d’ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appele´ probleme` central d’ordonnancement. Il s’agit donc de determiner´ le calendrier de deb´ ut de chacune des tachesˆ de maniere` a` terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles.
Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa resolution,´ ce probleme` utilise la notion de graphe. On peut, en effet, representer´ le probleme` sur ungrapheet,ensuite,resoudre´ leprobleme` graphiquement. Deplus,lapresentation´ du resultat´ de calcul (l’ordonnancement des taches)ˆ sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres.
Il existe deux methodes´ de resolution´ pour ce probleme,` a` savoir :
• la methode´ du potentiel dev´ eloppee´ en France dans les annees´ 60 et qui associe a` chaque tacheˆ un nœud du reseau,´ tandis que les relationsd’anteriorit´ e´ sont represent´ ees´ par des arcs entre les tachesˆ (voir figure 2.1);
Algorithmiquement, les deux methodes´ de resolution´ sont equi´ valentes, mais la methode´ du potentiel permet d’ecrire´ le graphe de reseau´ de maniere` systematique´ (sans ajouter d’arc fictif).
tâche i tâche j
d i
”i avant j”
Figure 2.1: Graphe de la methode´ du potentiel.
”i avant j”
i,di j,dj
tâche i tâche j
Figure 2.2: Graphe de la methode´ PERT.
Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tachesˆ a` executer´ , indicees´ i = 1, n. Utilisons eg´ alement la notation di pour designer´ la duree´ d’execution´ de la tacheˆ i (qui est ici une donnee).´
Les variables du probleme` sont les suivantes : ti note le temps de deb´ ut d’execution´ de la tacheˆ i, et tf note le temps de fin de chantier.
L’objectif est de minimiser le temps de realisation´ du chantier :
minz = tf ? t0
ou` t0 note la date de deb´ ut de chantier que l’on fixe a` t0 = 0.
Les contraintes du probleme` sont de trois types :
• Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tacheˆ i ne peut commencer avant le deb´ ut de chantier :
ti ? t0, ?i = 1,2, n (2.1)
ti + di ? tj, ? tacheˆ i anterieure´ a` la tacheˆ j (2.2)
• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tacheˆ i doit etreˆ finie avant la fin de chantier :
ti + di ? tf, ?i = 1,2, n (2.3)
Remarquez que vu la presence´ des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d’ecrire´ (2.1) pour toute tacheˆ n’ayant pas de pred´ ecesseur´ et (2.3) pout toute tacheˆ n’ayant pas de successeur.
On associe donc au probleme` central d’ordonnancement un graphe dont les sommets representent´ les diverses tachesˆ du probleme` d’ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond a` la date de deb´ ut de chantier et un nœud f = n + 1 qui correspond a` la fin de chantier. Les arcs du reseau´ representent´ les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante
ti + di ? tj
On peut construire systematiquement´ le graphe associe´ au probleme` d’ordon-
1. On relie d’abord toutes les tachesˆ sans prealable´ (la tacheˆ 1 dans le cas de l’exemple) au nœud 0, deb´ ut de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu’il s’agit de la representation´ des contraintes (2.1).
2. Ensuite, on prend une tacheˆ dej´ a` dans le graphe et on examine si elle prec´ ede` d’autres. Par exemple, la tacheˆ 1 doit prec´ eder´ la tacheˆ 2. On doit donc avoir
t1 + d1 ? t2.
On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur d1. On fait de memeˆ pour representer´ toutes les contraintes de type (2.2).
Lorsdelaconstructiondugraphed’unprobleme` reel´ quipeutcomporterplusd’une centaine de taches,ˆ une methode´ plus systematique´ de construction du graphe doit etreˆ utilisee,´ methode´ faisant appel au classement des activites´ par niveaux (voir section 2.4).
2.3.2 Representation´ des autres types de contraintes
Disons un mot de la representation´ des trois autres types de contraintes :
1. Supposons d’abord que la tacheˆ 3 ne puisse commencer avant 10 :
t3 ? 10 ? t3 ? t0 + 10.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4).
2. Ensuite, supposons que la tacheˆ 5 doive etreˆ commencee´ avant 40 :
t5 ? 40 ? t0 ? t5 ? 40.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de “longueur” -40.
3. Enfin, supposons que la tacheˆ 9 doive commencer au plus tard 5 jours apres` le deb´ ut de la tacheˆ 8 :
t9 ? t8 + 5 ? t8 ? t9 ? 5.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de “longueur” -5.
Figure 2.4: Trois autres types de contraintes.
Avant de voir l’algorithme qui permet de resoudre´ le probleme` d’ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probleme` est realisable.´ En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et etreˆ incompatibles entres elles.
Supposons que nous ayons la situation suivante. La tacheˆ 1, qui dure d1 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 2 ne commence. La tacheˆ 2, qui dure d2 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 3 ne commence. La tacheˆ 3, qui dure d3 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 1 ne commence.
tacheˆ | duree´ | prealable´ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | d1 | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 | d2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 | d3 | 2 Figure 2.5: Circuit de longueur positive. Cette situation est represent´ ee´ a` la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient uncircuit(cycleavectouslesarcsdanslememeˆ sens)dontlasommedeslongueurs des arcs est positive. Ecri´ vons les contraintes correspondantes : t1 + d1 ? t2 t2 + d2 ? t3 t3 + d3 ? t1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : d1 + d2 + d3 ? 0 On peut montrer le resultat´ suivant. Lemme 2.1Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associe´ ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive. 2.4. Classement des activités par niveauxRemarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs neg´ ative ne pose pas de probleme.` Par exemple, a` la figure 2.4, la tacheˆ 8 de longueur 3 doit etreˆ finie avant que ne commence la tacheˆ 9 et la tacheˆ 9 doit commencer endeans´ les 5 jours de deb´ ut de la tacheˆ 8 : t8 + 3 ? t9t9 ? 5 ? t8 Ceci se represente,´ comme vu ci-dessus, par une fleche` de 8 vers 9 de longueur 3 et une fleche` retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probleme,` la somme des “longueurs” etant´ neg´ ative. 2.4 Classement des activites´ par niveauxDefinition´ 2.1Le niveaud’unetacˆ he correspondau plus grand nombre de tacˆ hes rencontrees´ sur un memeˆ itiner´ aire depuis le deb´ ut du projet, plus un. Pour determiner´ le niveau des taches,ˆ on procede` comme suit. On place au premier niveau les tachesˆ qui n’ont aucun ancetreˆ et on raye ces tachesˆ de la liste des taches.ˆ On continue comme suit : • Etape´ 1 : onraye, danslacolonnedesancetres,ˆ lestachesˆ quiviennentd’etreˆ affectees´ au dernier niveau analyse;´ • Etape´ 3: s’ilrestedestachesˆ nonrayees´ danslacolonnedestaches,ˆ onrepart a` l’etape´ 1. Sinon le processus est termine.´ Par ailleurs, cette etape´ permet de detecter´ des anteriorit´ es´ redondantes parce que ne portant pas sur des ancetrˆ es immediats.´ Cette etape´ permet eg´ alement de mettre en evidence´ des incoherences´ du type A a pour ancetreˆ B, B a pour ancetreˆ C, lequel a pour ancetreˆ A. L’application de la methode´ a` l’exemple introductif est illustree´ au tableau 2.2 pour les trois premieres` iterations,´ au tableau 2.3 pour les trois suivantes et au tableau 2.4 pour l’iteration´ finale. On peut alors construire le graphe de la methode´ des potentiels en visualisant chaqueniveauparunebandeverticaleetenplacant,¸ danschaqueniveau, lestachesˆ de ce niveau, puis en visualisant les contraintes d’anteriorit´ e´ par des fleches` dont Iteration´ 1 Etape´ 1 Etape´ 2
Iteration´ 2 Etape´ 1 Etape´ 2
Iteration´ 3 Etape´ 1 Etape´ 2
Tableau 2.2: Classement des tachesˆ par niveaux 2.4. Classement des activités par niveauxIteration´ 4 Etape´ 1 Etape´ 2
Iteration´ 5 Etape´ 1 Etape´ 2
Iteration´ 6 Etape´ 1 Etape´ 2
Tableau 2.3: Classement des tachesˆ par niveaux (suite) Iteration´ 7 Etape´ 1 Etape´ 2
Tableau 2.9: Construction d’une maison (c) Calculer, pour chaque tache,ˆ la date de deb´ ut au plus tot,ˆ la marge et la date de deb´ ut au plus tard. (d) Determiner´ le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.` (e) La direction de l’entreprise, inquiete` du delai´ de realisation´ de la maison, voudraitreduire´ celui-cide2semaines. Onpeutagirsurlestachesˆ reprises au tableau 2.10.
Tableau 2.10: Reduction´ de la duree´ des tachesˆ Que proposez-vous comme actions afin de reduire´ la duree´ du projet de deux semaines a` coutˆ minimum ? 2.7. Cas de contraintes cumulatives. On veut executer´ 7 tachesˆ soumises aux contraintes de succession indiquees´ dans le tableau 2.11.
Tableau 2.11: Cas de contraintes cumulatives. (a) Calculer les dates de deb´ ut au plus totˆ et au plus tard et determiner´ le chemin critique par la methode´ des potentiels. (b) Presenter´ les resultats´ prec´ edents´ en tracant¸ un diagramme a` barres. Tracer aussi la courbe de charge donnant l’ev´ olution de la demande en main d’œuvreen fonctiondu temps. L’effectif permanentde 5 ouvriers est-il suffisant ? (c) On envisage l’embauche de travailleurs temporaires. Comment limiter a` 4 semaines l’embauche de la main d’œuvre supplementaire´ sans allonger la duree´ totale d’execution´ des travaux ? (d) Si on renonce a` embaucher des travailleurs temporaires, de combien faut-ilallongerladuree´ destravauxpourrespecterlacontraintedemain d’œuvre ? (e) Onreprendleprobleme` delapremiere` question. Enplusdescontraintes initiales, on veut que la tacheˆ 7 ne commence pas apres` 8 semaines. Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte ? Que pensez-vous de cette nouvelle exigence ? 2.8. Construction d’une piscine. Une societ´ e´ a recu¸ la maˆ?trise de la construction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Les durees´ des differentes´ taches,ˆ ev´ aluees´ en jours sont reprises au tableau 2.12. Les travaux deb´ utent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte 20 jours ouvrables. (a) L’inauguration peut-elle avoir lieu comme prevu´ le 15 juin ?
Tableau 2.12: Construction d’une piscine. (b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d’incidents techniques, cette operation´ durera 6 jours de plus que prevu.´ Sans recommencer le diagramme, determinez´ si cela influencera le delai´ final. (c) La direction du campus, inquiete` quant au respect des delais,´ propose de se passer de la sonorisation sous-marine. Qu’en pensez-vous ? 2.9. Ordonnancementde projets. Un projet est constitue´ des tachesˆ 0, 1, 2, 3 et 4. La tacheˆ 0 n’a pas de pred´ ecesseur´ et dure 2 semaines. La tacheˆ 1 succede` directement a` la tacheˆ 0 et dure 5 semaines. La tacheˆ 2 succede` directement a` la tacheˆ 1 mais ne peut pas commencer avant la 10eme` semaine. Elle dure 5 semaines. La tacheˆ 3 succede` directement a` la tacheˆ 2 et dure 3 semaines. La tacheˆ 4 succede` directement aux tachesˆ 2 et 3 mais doit commencer au plus tard 7 semaines apres` le deb´ ut de la tacheˆ 2. Elle dure 2 semaines. (a) Dessinez le graphique associant les tachesˆ aux sommets. (b) Ce projet est-il realisable´ ? Justifiez briev` ement. (c) Vous avez la possibilite´ d’allonger ou de reduire´ la duree´ des tachesˆ 1 et/ou 2 de une ou deux semaines, a` un coutˆ additionnel de 500 euro la semaine et par tache.ˆ Et aussi d’allonger ou de reduire´ la duree´ des tachesˆ 3 et/ou 4 de une ou deux semaines, a` un coutˆ additionnel de 1000 euro la semaine et par tache.ˆ Quelle solution proposez-vous afin de realiser´ le projet a` un coutˆ minimum ? (d) Quelle est alors la duree´ totale du projet ? 2.10. Installation d’un systeme` de depollution´ de l’air. Pour l’exercice 1.1, (a) Classer ces tachesˆ par niveaux. (b) Construire le graphe de la methode´ potentiel. (c) Determiner´ sur ce graphe le temps minimum de realisation´ du projet. (d) Calculer les date de deb´ ut au plus tot,ˆ au plus tard et les marges. (e) Determiner´ le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probleme.` (f) La direction de l’entreprise voudrait reduire´ celui-ci de 2 semaines a` coutˆ minimum. On peut agir sur les tachesˆ suivantes :
Que proposez-vous comme actions ? Quel est le coutˆ correspondant ? Quel(s) est (sont) maintenant le(s) chemin(s) critique(s) ? Chapitre 3 Analyse du projetL’analyse du projet porte sur la definition´ du projet et se traduit concretement` par une liste de tachesˆ avec leurs contraintes (anteriorit´ e,´ disjonctives, cumulatives). 3.1 Definition´ du projetLa demarche´ souvent utilisee´ pour des projets de grande envergure consiste a` analyser le projet de manier` e hierar´ chique. Souvent, on definit´ eg´ alement, que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet. Nous verrons ensuite l’analyse du contenu precis´ des tachesˆ et de leur relations d’anteriorit´ e.´ Remarquez que ce travail de definition´ du projet peut representer´ la moitie´ du temps de travail des gestionnaires du projet. Le principe est le suivant. A un niveau de detail´ k, on dispose de nk taches.ˆ Pour passer au niveau de detail´ inferieur´ k + 1, on examine chaque tacheˆ qui peut etreˆ decompos´ ee´ en un ensemble de sous-tachesˆ dont la reunion´ redonne la tacheˆ du niveau superieur´ . Ceci conduit a` un accroissement du nombre de tachesˆ avec le niveau, autrement dit : nk+1 > nk Remarquez qu’a` ce niveau, on ne donne aucune information sur les relations d’anteriorit´ e´ entre tacˆ hes. Ainsi dans l’organigramme de la figure 3.1, les fleches` 57 Figure 3.1: Organigramme technique : top-down. representent´ des relations d’inclusion et non des relations d’anteriorit´ e.´ Le nombre de niveaux peut aller jusqu’a` 6 dans les tres` gros projets. Gen´ era-´ lement, on attribue un nom pour designer´ les tachesˆ d’un memeˆ niveau. Ainsi : • le niveau 1 correspond au programme, • le niveau 2 correspond au projet, • le niveau 3 correspond a` la tacˆ he, • le niveau 4 correspond a` la sous-tacˆ he, • le niveau 5 correspond au lot de travaux, • le niveau 6 correspond au travail el´ ementair´ e. Quelques regles` de bonne pratique sont a` retenir dans l’etablissement´ de cet organigramme technique : • Les tachesˆ du dernier niveau ne doivent pas etrˆ e trop nombreuses : on se limite gen´ eralement´ a` une centaine pour un projet. Le cabinet Arthur D. Little a ainsi pu montrer pour les programmes de la Defense´ aux Etats-Unis´ que l’exces` de detail´ est un facteur accroissant le risque d’echec.´ • Les tachesˆ ne doivent pas etreˆ d’importancetrop inegale´ que ce soit en terme du duree´ ou de consommation de ressources. 3.1. du projetLa technique que nous venons de presenter´ est appelee,´ pour une raison evidente,´ demar´ che descendante (ou top-down). On peut imaginer la demarche´ inverse d’agreg´ ations successives qui est qualifiee´ de demar´ che ascendante (ou bottomup). Cette demarche´ est illustree´ par le second organigramme (voir figure 3.2) ou` l’on est parti des memesˆ tachesˆ de niveau 3 mais ou` les regroupements de niveau 2 et de niveau 1 sont differents.´ Figure 3.2: Organigramme technique : bottom-up. On peut imaginer que dans la premiere` organisation (voir figure 3.1), on a privilegi´ e´ la dimension technique tandis que dans la deuxieme` organisation (voir figure 3.2), on a privilegi´ e´ la dimension organisationnelle (par exemple, la tacheˆ 1’ correspond a` un sous-traitant, la tacheˆ 2’ au maˆ?tre d’œuvre. Les tachesˆ du projet, definies´ pour un niveau donne,´ se caracterisent´ par des relations d’anteriorit´ e´ qui conduisent a` un graphe Potentiel-Tacˆ hes pour ce niveau. Il y aura donc autant de graphes que de niveaux retenus par l’organigramme technique. On illustre a` la figure 3.3 l’effet de zoom que l’on a en passant d’un niveau au niveau superieur´ et montre que la transformationdes relations d’anteriorit´ e´ peut s’averer´ fort complexe en passant d’un niveau a` l’autre. Remarquez que si l’approche hierarchique´ (ou desagr´ eg´ ative) des projets complexes est preconis´ ee´ pour des raisons d’efficacite,´ du point de vue de l’ordonnancement il n’y a pas equi´ valence entre les differents´ niveau. En effet, on peut montrer que (le niveau le plus bas que l’on cherche justement a` eviter).´ Niveau 2 • l’approche hierarchique´ conduit a` rendre inutilement critiques certaines tacˆ hes. Pour eviter´ cet effet pervers, il faut eg´ alement repartir de l’analyse du niveau de detail´ le plus fin. 3.1.2 Les phases du projetLesphasesduprojetcorrespondenta` desgroupeshomogenes` detachesˆ s’achevant parunjalonou` labonnefind’unensembledetachesˆ estattestee.´ Nousallonsdefinir´ les principales phases concernant : • les cas de fabrication d’un equipement´ ou d’un ouvrage, • le cas de la fabrication en serie´ , Nous dirons ensuite un mot de l’ingenierie´ concourante dont le but est de lutter contre les effets nef´ astes de la division du projet en phases ainsi que des problemes` specifiques´ lies´ a` la gestion simultanee´ de plusieurs projets. Dansle casde la fabricationd’unequipement´ ou d’unouvrage, on distingue gen´ eralement´ les phases suivantes : • L’avant-projet est une etude´ sommaire de l’ouvrage envisage´ permettant d’en definir´ les principales caracteristiques.´ Son but est de pouvoir prendre la decision´ de poursuivre ou abandonner le projet. • La seconde phase est la reponse´ a` l’appel d’offre consiste a` elaborer´ de maniere` detaill´ ee´ l’offre que l’entreprise va faire. Les moyens consacres´ a` cette phase sont limites´ vu les risques gen´ eralement´ importants de ne pas obtenir le contrat. 3.1. du projet• En cas de succes,` on passe alors a` la phase de lancement du projet ou` l’organisation est definie.´ • On passe alors a` l’etape´ suivi du projet afin de verifier´ que l’on respecte bien les objectifs de delai´ et de cout.ˆ – L’etape´ d’acceptation mecanique´ constatant la fin des travaux a` l’exception de certaines finitions. On procede` alors a` la mise en route, phase durant laquelle on procede` aux essais des fluides (air, eau, ) qui prec´ ede` l’etape´ de declaration´ de l’ouvrage en ordre de marche. – Lareception´ provisoireestunacteleg´ almaterialis´ e´ parunproces` verbal constatant de maniere` contradictoire avec le client que l’ouvrage peut etreˆ accepte´ par le client car repondant´ aux obligations contractuelles du maˆ?tre d’ouvrage. Deb´ ute alors le delai´ de garantie. – La reception´ definitive´ a lieu au bout du delai´ de garantie et deg´ age definiti´ vement la responsabilite´ du fournisseur. Dans le cas de la fabrication en serie´ , on distingue gen´ eralement´ les phases suivantes : • La constructiond’unprototypequi est un produittechniquementidentique au produit en serie´ mais realis´ e´ seulement en quelques exemplaires avec des ressources (machines, operateurs)´ differentes´ de celles qui seront utilisees´ pour le produit en serie.´ L’objectif est de tester si les fonctionnalites´ du produit repondent´ bien a` l’utilisation envisagee.´ Ceci permet de remedier´ a` certaines imperfections du produit constatees´ a` cette etape.´ • La pres´ erie´ est un produit identique a` celui qui sera produit en serie,´ realis´ e´ en quelquesunites´ maiscettefois-cia` l’aidede ressourcesidentiquesa` celles qui seront utilisees´ en serie.´ Le but est cette fois-ci de tester le processus de production. Ce qui peut amener a` modifier le produit ou le processus de production si certains problemes` de fabrication sont constates´ a` cette etape.´ • Vient alors la phase d’industrialisation du produit qui consiste a` lancer la production en serie.´ • Elleest suivie par la phaseproductionproprementditequi consisteproduire le produit a` un haut niveau. • des travaux additionnels lies´ a` un manque de coordination technique, • des durees´ d’execution´ inutilement longues. Pour remedier´ a` cela, on utilise les techniques d’ingenierie´ concourante qui consiste a` une integr´ ation systematique´ des activites´ de conception des produits et de conception de leurs gammes de fabrication et de maintenance durant leur duree´ de vie. Ceci a pour effet, non seulement d’ameliorer´ la qualite´ des produits mais aussi de diminuer leur delai´ et leur cout.ˆ Dans l’approche sequentielle´ classique (voir figure 3.4), les phases d’analyse des besoins, de definition´ du produit, de definition´ du processusde fabricationet de fabrication du prototype se succedent.` La solution optimale d’une phase devient une contrainte pour la phase suivante, ce qui conduit le plus souvent a` une solution globalement sous-optimale. Analyse des Définition du Définition du processus Fabrication du besoins produit de fabrication prototype Figure 3.4: Approche sequentielle´ classique. Dans la realit´ e,´ on a tout inter´ etˆ a` accepter un recouvrement important de ces phases pour avoir une retroaction´ permanente de la phase aval pour discuter des repercutions´ sur la phase aval des decisions´ prises par la phase amont. Ce processus s’appelle overlapping problem solving et est illustre´ par la figure 3.5. 3.1.4 Gestion simultanee´ de plusieurs projetsDans la pratique, souvent les entreprises ont a` gerer´ simultanement´ plusieurs gros projets, par exemple, la construction simultanee´ de plusieurs navires dans un chantier naval. Le partage de certains equipements´ techniques conduit a` une certaine interdependance´ des projets. Trois approches sont utiles dans la pratique pour resoudr´ e les conflits ainsi gen´ er´ es´ : Figure 3.5: Overlapping problem solving. • La deuxieme` approche consiste periodiquement,´ lors de l’introduction d’un nouveauprojet, a` proceder´ a` unereallocation´ desressourcesentrelesprojets. Onanalyseraainsil’inter´ etˆ detransfer´ erdesressourcesd’unprojeta` l’autre. • La troisieme` approche consiste a` considerer´ le probleme` d’ordonnancement comme un probleme` global dont on cherche une solution tenant compte des contraintes cumulatives. Il faut cependant veiller a` ne pas remettre en cause sans cesse l’allocation des ressources car cette instabilite´ peut perturber le fonctionnement des projets. 3.2 Definition´ technique des tachesˆ et de leurs relationsAfin de proceder´ a` l’ordonnancement vu au chapitre 2, il convient de donner une description precise´ de chaque tacheˆ et d’identifier les relations entre tachesˆ . 3.2.1 Les relations entre tachesˆNousavonsvuauchapitre2, quetroiscategories´ derelationentretachesˆ peuvent etreˆ rencontrees´ : 1. les contraintes d’anteriorit´ e´ qui disent qu’une tacheˆ ne peut commencer avant la fin d’une autre. Ces contraintes sont cependant a` nuancer dans le cas d’un recouvrement partiel possible entre tacˆ hes, 2. les contraintes de localisation temporelle qui disent qu’une tacheˆ ne peut commenceravant une date donnee´ ou ne peut deb´ uter apres` une date donnee.´ Ces contraintes se compliquent s’il s’agit d’interdire l’execution´ de la tacˆ he durant une periode´ donnee´ , 3. les contraintes disjonctives qui disent que deux tachesˆ ne peuvent etreˆ exe-´ cutees´ en memeˆ temps car faisant appel a` la memeˆ ressource, 4. les contraintes cumulatives qui tiennent compte du partage d’une ressource entre plusieurs taches.ˆ Nous allons maintenant dire un mot des contraintes genantesˆ non prises en compte dans les logiciels : – la date la plus tardive des dates de fin au plus totˆ des ancetresˆ avec lesquels le descendant est lie´ par une relation et (comme avant); – la date la plus precoce´ de fin au plus totˆ des ancetresˆ avec lesquels le descendant est lie´ par une relation ou. Le probleme` se complique fortement si l’on passe d’une contrainte du type achev` ement prealable´ d’un ancetreˆ a` achevement` prealable´ dek ancetrˆ es parmi une liste den ancetrˆ es avec bien surˆ k < n. Il est a` remarquer que la prise en compte de relations du type ou n’etant´ pas prise en compte par les logiciels d’ordonnancement, cela oblige a` certaines acrobaties : il faut faire appel a` un recouvrement correctement calcule´ pour les tachesˆ a` neutraliser. • Le probleme` des gammes alternatives est celui qui resulte´ du choix possibles entre deux methodes´ de production, ce qui conduit a` faire un ou exclusif non pas entre deux tachesˆ mais entre deux groupes de tachesˆ , ce qui conduit a` considerer´ deux chemins alternatifs dans le graphe comme le montre la figure 3.6 ou` l’on a le choix pour passer de l’activite´ A a` l’activite´ A Figure 3.6: Gammes alternatives. F a` passer par les activites´ B et D, soit par les activites´ C et E, le choix final s’effectuant sur base de la minimisation de la duree´ du projet. A nouveau les logiciels ne permettent pas de tenir compte d’une telle contrainte et il convient de construire deux graphes reprenant separ´ ement´ les deux alternatives en conservant celle de temps minimum. Terminons en disant un mot des formulations alternatives des contraintes de recouvrement. Le chevauchement ou recouvrement entre deux tachesˆ i et j telles que i est l’ancetreˆ de j consiste a` pouvoir deb´ uter j avant que i ne soit achevee.´ Ce cas se rencontre lorsque l’analyse plus fine de la tacheˆ i conduit a` un des des cas de figures suivants : • La tacheˆ i est composee´ de tacˆ hes el´ ementair´ es differ´ entes, les dernieres` n’etant´ pas requises pour que j puisse deb´ uter. • La tacheˆ i et la tacheˆ j sont composees´ de tachesˆ el´ ementaires´ execut´ ees´ a` la suite les unes des autres qui ont et´ e´ regroupees´ en deux tachesˆ dans la logique de proceder´ par lot. La relation d’anteriorit´ e´ n’a vraiment de sens qu’entre une tacheˆ el´ ementaire´ de i et une tacheˆ el´ ementaire´ de j et, bien surˆ , le regroupement en deux lots a` pour effet d’augmenter artificiellement le temps du projet. Vincent GIARD [2] remarque qu’il existe quatre possibilites´ de definir´ une relation d’anteriorit´ e´ entre deux tachesˆ et donc autant de facon¸ de definir´ le recouvrement. Nous reprenons ci-dessous uniquement la relation initiale qui est une relation entre le deb´ ut de l’ancetreˆ et le deb´ ut du descendant. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.7 ou` la tacheˆ i de duree´ 7 jours prec´ ede` la tacheˆ j de duree´ 5 jours. Il y a un recouvrement possible de 3 jours. Le parametre` d donne le decalage´ positif entre la date de deb´ ut de l’ancetreˆ et celle de deb´ ut du successeur : ti + 4 ? tj Ce parametre` se calcule comme la duree´ de la tacˆ he prealable´ moins la duree´ du recouvrement possible. Figure 3.8: Recouvrement : mise en œuvre Pratiquement, on peut utiliser une des deux methodes´ suivantes pour tenir compte d’un recouvrement : • Casdelamethode´ Potentiel. Soit,onindiquelarelationdeb´ ut-deb´ utrappelee´ ci-dessous : Dans ce cas, il ne faut pas oublier de terminer la tacheˆ i avant la fin du projet. • Cas de la methode´ PERT. Soit on decoupe´ la tacheˆ prealable´ i en deux sous-tachesˆ i1 et i2. La premiere` correspondra a` la partie non commune des deux taches,ˆ soit 7 - 3 = 4 jours, tandis que la seconde correspondra a` la partie commune des deux tachesˆ soit 3 jours. On indiquera les relations d’anteriorit´ e´ : i1 avant i2 et avant j. 3.2.2 Les caracteristiques´ de la tacheˆChaque tacheˆ est identifiee´ par le roleˆ qu’elle a a` jouer dans la bonne fin du projet, parundeb´ utetunefinbienidentifiee,´ etparlefaitqu’elleconsommedesressources disponibles en quantite´ limitee´ . Disons un mot des hypotheses` restrictives du modele` classique. • Dans le modele` classique d’ordonnancement au chapitre 2, on suppose que la duree´ de la tacheˆ , definie´ comme l’intervalle de temps separant´ son deb´ ut d’execution´ de sa fin d’execution,´ comme invariante. Nous avons dej´ a` indique´ plus haut que cette hypothese` n’est pas toujours verifi´ ee.´ Si le temps total de realisation´ du projet est trop long, on peut raccourcir la duree´ de certaines tachesˆ critiques, moyennant un surcout.ˆ Le nouveau probleme` pose´ est de trouver la combinaison d’actions a` entreprendre pour atteindre au moindre coutˆ , la diminution voulue de la duree´ du projet. • Dans le modele` classique, la duree´ d’une tacheˆ et le niveau d’utilisation des ressources sont constants. Ce interdit donc de considerer´ les cas suivants : – le cas de la cesur´ e d’une tacˆ he, c’est-a-dire` le fait de pouvoir interrompre et reprendre plus tard l’execution´ d’une tache,ˆ – l’utilisation des ressources est constante dans le modele` classique ce qui exclut, par exemple, d’utiliser un ouvrier durant cinq jours puis deux ouvriers durant les cinq jours suivants. • Enfin, dans le modele` classique, on considere` que la duree´ des tachesˆ est certaine. Le rejet de cette hypothese` conduit a` remplacer la duree´ certaine des tachesˆ par une duree´ aleatoire´ des taches.ˆ Nous reviendrons a` ce probleme` dans le chapitre 5 consacre´ a` la gestion du risque. 3.3 Le coutˆ du projetTout projet gen´ ere` des depenses´ ainsi que, pour certains d’entre eux, des recettes. Pour des projets internes comme le lancement d’un nouveau produit, il importe de faire l’analyse de ces flux de tresorerie´ sur une periode´ assez longue, de pref´ erence´ sur une periode´ allant de la conception du produit a` son retrait du marche.´ Ceci va nous amener a` considerer´ la duree´ de vie des produits. 3.3.1 Analyse des coutsˆ sur la duree´ de vie d’un produitEn marketing, on considere` classiquement une courbe de cycle de vie d’un produit commeunecourbedonnantenfonctiondutempsl’ev´ olutiondesventesduproduit. On distingue gen´ eralement´ quatre phases : • le lancement du produit • la phase de croissance rapide, • la maturite´ du produit, • le declin´ du produit. Nous allons maintenant voir les consequences´ financieres` de la notion de cycle de vie du produit. Les coutsˆ du cycle de vie d’un produit correspondent a` l’ensemble des charges que devra supporter l’entreprise sur la duree´ de vie du produit : • les coutsˆ de recherche et developpement´ lies´ au dev´ eloppement du nouveau produit, • les coutsˆ d’acquisition de ressources de production telle que l’achat des machines, la formation du personnel, etc • les coutsˆ de production lies´ a` la fabrication du produit • les coutsˆ de retrait du produit comme la purge des stocks. Il y aura un arbitrage a` faire entre ces differ´ ents coutsˆ . En effet, une diminution des coutsˆ de recherche et dev´ eloppement peut se traduire, par exemple, par un accroissement des coutsˆ de production ou des coutsˆ d’apres-v` ente. 3.3. Le coutˆ du projetIl est important de faire la distinction entre les coutsˆ engages´ et les coutsˆ decaiss´ es´ . Comme l’illustre la figure 3.9, avant memeˆ la phase de production plus de 80 % des coutsˆ du cycle de vie sont engages´ contre seulement 20 % des coutsˆ decaiss´ es.´ C’est donc essentiellement au cours de la phase de recherche et dev´ eloppement que des gains substantiels de coutsˆ peuvent etreˆ deg´ ages.´ Recherche et Industrialisation Production temps développement Figure 3.9: Cycle des coutsˆ engages´ et decaiss´ es.´ Il convient donc de passer d’une logique purement comptable de controleˆ des coutsˆ decaiss´ es´ a` unelogiquedeconceptiona` coutˆ objectif,c’esta` direa` demander aux ingenieurs´ des bureaux d’etude´ de definir´ des produits et des processus de fabrication sur base non seulement des specifications´ fonctionnelles du produit mais aussi en ayant en vue les futurs coutsˆ de production du produit. Comme on peut le remarquer a` la figure 3.10, les flux nets de tresorerie´ seront negatifs´ durant la phase de dev´ eloppement et d’industrialisation du produit pour devenir largement positifs lors de la phase de production. C’est le decalage´ classique entre le coutˆ d’investissement les ben´ efices´ futurs attendus de l’investissement. Figure 3.10: Flux nets de tresorerie´ La comparaison de plusieurs projets d’investissement conduit a` considerer´ un indicateur synthetique´ . A cet eg´ ard, il est important d’introduire un facteur d’actualisationpourramenera` unememeˆ periode´ (gen´ eralement´ laperiode´ initiale) l’ensembles des flux de tresorerie´ : on definit´ ainsi la VAN pour valeur actualisee´ nette. 3.4.1 L’appel a` l’actualisationChacun des encaissements (correspondant a` des flux de tresorerie´ positifs) ou des decaissements´ (correspondant a` des flux de tresorerie´ neg´ atifs) sont dates.´ L’actualisation permet de ramener toutes ces valeurs a` une memeˆ date afin de pouvoir les comparer. On peut plus facilement expliquer le principe de l’actualisation en considerant´ l’operation´ symetrique,´ a` savoirlacapitalisation. Lorsqueladuree´ d’unplacement excede` un an, il est d’usage que l’inter´ etˆ soit paye´ periodiquement´ (gen´ eralement,´ une fois l’an) et non en une seule fois. On peut alors replacer les inter´ etsˆ durant la duree´ restante du pret.ˆ Illustrons les choses par l’exemple d’une somme initiale x0 = 1.000 placee´ a` un taux d’inter´ etˆ de 5 % l’an. Apres` un an, la somme, capital et inter´ etsˆ s’el´ ev` e a` : x1 = 1.000 + 0,05 × 1.000 = 1.050 Apres` deux ans, la somme s’el´ ev` e, capital et inter´ etsˆ compris a` : x2 = 1.050 × (1 + 0,05) = (1 + 0,05) × (1 + 0,05) × 1.000 En gen´ eral,´ si les inter´ etsˆ sont verses´ annuellement, une somme initiale de x0 placee´ durant un an a` un taux d’inter´ etˆ i rapporte ix0. La somme disponible au bout d’un an est donc : x1 = x0 + ix0 = (1 + i)x0 Auboutdeladeuxieme` annee,´ lasommecapitalisee´ aveclesinter´ etsˆ deladeuxieme` annee´ est de : x2 = x1 + ix1 = (1 + i)x1 = (1 + i)2x0 xt = x0(1 + i)t (3.1) Lorsque les inter´ etsˆ sont aussitotˆ et integralement´ replaces,´ on parle de placement a` inter´ etsˆ composes.´ On appelle la valeur future xt la valeur acquise. L’operation´ qui consiste a` calculer xt a` partir du capital initial x0 s’appelle la capitalisation, tandis que le coefficient (1 + i)t est appele´ coefficient de capitalisation. Il est a` remarquer que si l’on dispose de la somme initiale, de la somme capitalisee´ et du nombre de periodes,´ on peut calculer l’inter´ etˆ par periode´ en resolv´ ant (3.1) par rapport a` i. On obtient : (3.2) A titre d’illustration, la capitalisation d’un investissement de 100 au bout de 2 ans au taux annuel de 10 % rapporte : 10 × 1,12 = 121 Symetriquement,´ si l’on connaˆ?t la valeur future xt et que l’on veut determiner´ a` quel capital initial elle correspond, on parle alors d’actualisation. Et donc l’actualisation de xt donne le capital au temps t = 0 de : (3.3) La figure 3.11 presente´ l’actualisation d’une somme future de 121 au bout de 2 ans au taux d’actualisation 10 % l’an. On dispose donc de x2 = 121 et on cherche x0. On suppose donc un taux de 10 % l’an. On peut calculer successivement : On peut encore remarquer que : justifiant la formule (3.3) ci-dessus. 3.4.2 Un exemple de choix de capacite´Nous allons illustrer l’utilite´ de la VAN sur un exemple de choix d’une capacite´ sur l’exemple tire´ de Mac Clain [5] d’une boulangerie industrielle qui fournit les supermarches´ de sa region´ et qui s’attend a` une croissance de la demande. Les donnees´ numeriques´ sont les suivantes : 1. Modelisation´ de la demande : il y a incertitude sur la demande future du produit. Si le succes` du produit est important, une capacite´ supplementaire´ de 5 000 unites´ par semaine sera necessaire´ pour un profit de 40 000 $ par semaine hors frais d’amortissement du capital. Si le succes` du produit est mitige,´ une capacite´ de 2 000 unites´ par semaine sera suffisante et la compagnie fera un profit de 16 000 $ par semaine. La demande est connue au bout d’un an. On suppose que les ben´ efices´ sont comptabilises´ en fin d’annee.´ Une annee´ comporte 52 semaines d’ouverture du magasin. 2. Donnees´ de coutˆ d’investissement. Une capacite´ de 2 000 unites´ par semaine peutetreˆ construitepour800000$. Unecapacite´ de5000unites´ parsemaine peut etreˆ construite pour 1,5 millions de $. Une capacite´ de 2 000 peut etreˆ etendue´ a` une capacite´ de 5 000 pour 1 million de $. Les surcapacites´ sont sans valeur. 3. La duree´ de vie des equipements´ est de 20 ans. 4. Le facteur d’actualisation, necessaire´ car les profits sont repartis´ dans le futur, est de 25 % l’an. Les differents´ choix possibles peuvent etreˆ utilement illustres´ sur un arbre de decision´ tel que celui de la figure 3.12. Un carre´ represente´ une decision.´ Un Profit. 40,000 16,000 16,000 16,000 +24,000 16,000 0 Figure 3.12: Arbre de decision´ cercle represente´ un etat´ du monde. Definition´ 3.1On appelle valeur nette presente´ , la somme actualisee´ des profits futurs moins l’investissement initial. Considerons´ la construction initiale de 5 000 en cas de demande forte. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.13. La VAN se calcule donc comme suit : FNt Figure 3.13: Construction de 5 000 en cas de demande forte. On peut demonter´ la formule suivante pour le calcul d’annuites´ : (3.4) Appliquons ceci a` notre exemple : D’ou` la valeur nette au bout d’un an de : V AN = 40 000 × 52 × 3,953883 ? 1 500 000 = 6 724 077. Considerons´ maintenant la construction initiale de 5 000 en cas de demande faible. La VAN se calcule comme suit : . Considerons´ maintenant la construction de 2000 en cas de demande haute et sans investissement supplementair´ e. La VAN se calcule comme suit : . Considerons´ la construction initiale de 2 000 augmentee´ de 3 000, en cas de demande forte. L’investissement initial de 2 000 rapporte 16 000 $ durant 20 ans et l’investissement de deb´ ut de 2eme` annee´ rapporte un supplement´ de profit de 24 000 durant 19 ans. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.14. La VAN au temps 1 de FNt Figure 3.14: Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. l’investissement supplementaire´ se calcule comme suit : . On obtient donc une valeur nette au bout d’un an de l’investissement supplemen-´ taire : Onenconclutquel’onainter´ etˆ a` fairel’investissementpuisquelaValeurActualisee´ Nette est positive : on aura un return positif de l’investissement. Pour obtenir la VAN de ce cas, il faut ajouter la VAN de l’investissement initial de 2 000 qui rapporte 16 000 durant 20 ans : Enfin, le cas d’une demande faible avec un investissement initial de 2 000 est identique au cas de la construction intiale de 2 000 et d’une demande forte lorsque l’on reste a` 2 000. Il a dej´ a` et´ e´ calcule´ plus haut. Les resultats´ dans les differents´ cas sont resum´ es´ au tableau 3.1. On peut alors
Tableau 3.1: Calcul de la VAN calculer les profits esper´ es´ dans chacun des trois cas : • Construire 5 000 : E(V AN) = 0,2 × 6724077 + 0,8 × 1789631 = 2776520 $. • Construire 2 000 : E(V AN) = 0,2 × 5625677 + 0,8 × 2489631 = 3116840 $. • Ne rien construire : E(V AN) = 0 En conclusion, il vaut mieux construire une petite capacite´ et etendre´ apres` un an si necessaire.´ Remarquons que le resultat´ depend´ crucialement de la probabilite´ de succes` du produit (voir exercice ci-dessous). 3.5 Exercices3.1. Lancement d’un nouveau produit. Une societ´ e´ met a` l’etude´ le lancement d’un nouveau produit. Ce lancement necessite´ la realisation´ de 10 tachesˆ reper´ ees´ par les lettres A a` J, et dont les caracteristiques´ sont donnees´ a` la table 3.2.
Tableau 3.2: Lancement d’un nouveau produit (a) Etablir´ le graphique de la methode´ du potentiel. (b) Verifier´ sur le graphique que le probleme` est soluble (expliquer succinctement pourquoi). (c) Calculer les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ au plus tard, les marges. (d) Donner tous les chemins critiques.
Tableau 3.3: Reduction´ possible de la duree´ (e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la duree´ d’execution´ du projet d’une semaine. Les tachesˆ sur lesquelles il est possible d’agir ainsi que le coutˆ correspondant a` leur diminution de duree´ d’une semaine sont donnes´ a` la table 3.3. Que suggerez-v´ ous ? 3.2. Planification d’un projet de tel´ ecommunications.´ La societ´ e´ PTV veut moderniser son reseau´ de tel´ edistrib´ ution de chaˆ?nes privees.´ Le projet s’articule selon les activites´ citees´ au tableau ci-dessous.
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