UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE
Master 1 “Economie et Gestion de l’Environnement et du Dev´ eloppement Durable”
Gestion de Projets
Daniel DE WOLF
Dunkerque, Janvier 2008
I Techniques de gestion de projets 9
1 Introduction 11
1.1 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Definition´ de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Definition´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Definition´ des objectifs du projet . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Notion de tachesˆ d’un projet . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 La definition´ de la gestion de projets . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 L’ordonnancement de projets 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Formulation du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Representation´ graphique du probleme` . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Graphe de la methode´ du potentiel . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Representation´ des autres types de contraintes . . . . . . . 25
2.3.3 Condition d’existence d’une solution . . . . . . . . . . . 26
2.4 Classement des activites´ par niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Calcul de l’ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Ordonnancement au plus totˆ . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Ordonnancement au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1 Notion de tacheˆ critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
Table des matières
2.6.2 Notion de chemin critique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.3 Notions de marge libre et de marge independante´ . . . . . 35
2.7 L’ordonnancement par la methode´ PERT . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Reduction´ de la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Programmation effective du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10 Presentation´ des resultats´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Cas de contraintes cumulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.12.1 Critere` de minimisation de la duree´ d’achev` ement du projet 46
2.12.2 Critere` de lissage de charge des ressources utilisees´ . . . . 48
2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Analyse du projet 57
3.1 Definition´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Structuration hierarchis´ ee´ du projet . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Les phases du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Utilite´ de l’ingenierie´ concourante . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Gestion simultanee´ de plusieurs projets . . . . . . . . . . 62
3.2 Definition´ technique des tachesˆ et de leurs relations . . . . . . . . 63
3.2.1 Les relations entre tachesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 Les caracteristiques´ de la tacheˆ . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Le coutˆ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Analyse des coutsˆ sur la duree´ de vie d’un produit . . . . 68
3.4 Analyse economique´ du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 L’appel a` l’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Un exemple de choix de capacite´ . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Le suivi du projet 83
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Le suivi de la programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Table des matières 5
4.3 Le suivi des coutsˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Les donnees´ de ref´ erences´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Les donnees´ revis´ ees´ a` date t . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.3 Les grandeurs a` comparer . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.4 Analyse de l’ecart´ de planning . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.5 Analyse de l’ecart´ de coutˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 La prise en compte du risque 95
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 L’approche quantitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.1 Distribution statistique de la duree´ d’une tacheˆ . . . . . . 96
5.2.2 L’approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.3 L’approche simulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque delai´ . . . . . 108
5.3 L’analyse qualitative du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’elaboration´ du
projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.2 Les risques externes encourus en phase d’elaboration´ du
projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Les risques relatifs a` la prevision´ d’utilisation des ressources111
5.3.4 Les risques encourus en phase d’execution´ du projet . . . 112
5.4 La prise en compte du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1 La diminution du risque en phase d’elaboration´ . . . . . . 113
5.4.2 Organisation de la reacti´ vite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A Formulaire pour la gestion de projets 119
A.1Notion de marge libre et de marge totale . . . . . . . . . . . . . . 119
A.2Calcul d’annuites´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.3Definition´ de l’ecart´ de planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.4Definition´ de l’ecart´ de coutˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Table des matières
A.5Distribution de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.6L’approche classique du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Table de nombres au hasard 125
C Table de la loi normale centree´ reduite´ 127
D Etudes´ de cas 131
D.1Cas 1 : Societ´ e´ de routage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
D.2Cas 2 : Achat de materiel´ informatique . . . . . . . . . . . . . . 131
D.3Cas 3 : Conception d’un site Internet . . . . . . . . . . . . . . . 131
D.4Cas 4 : Construction d’un stade olympique . . . . . . . . . . . . 132
2.1 Graphe de la methode´ du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Graphe de la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 graphe associe.´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Trois autres types de contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Circuit de longueur positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Classement par niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Relation d’anteriorit´ e´ inutile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Ordonnancement au plus tot.ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Ordonnancement au plus tard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.10 Calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.11 Cas de plusieurs chemins critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.12 Graphe associe´ pour la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . 37
2.13 Introduction d’un contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.14 Arc fictif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.15 Ordonnancement par la methode´ PERT. . . . . . . . . . . . . . . 39
2.16 Reduction´ d’un jour de la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . 40
2.17 Reduction´ de la duree´ du projet de deux jours . . . . . . . . . . . 41
2.18 Graphe de la methode´ des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.19 Diagramme de Gantt-Ateliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.20 Diagramme de Gantt-Tachesˆ (projet) . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.21 Diagramme de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.22 Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource . . . . . . 46
2.23 Solution 2 : priorite´ a` la tacheˆ critique . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.24 Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 47
Liste des figures
2.25 Solution 4 : definir´ une tacheˆ par sa quantite´ totale de travail. . . . 48
3.1 Organigramme technique : top-down. . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Organigramme technique : bottom-up. . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Trois graphes potentiels-tachesˆ correspondant aux 3 niveaux. . . . 60
3.4 Approche sequentielle´ classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Overlapping problem solving. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Gammes alternatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Recouvrement : un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8 Recouvrement : mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9 Cycle des coutsˆ engages´ et decaiss´ es.´ . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10 Flux nets de tresorerie´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.11 Logique d’actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.12 Arbre de decision´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.13 Construction de 5 000 en cas de demande forte. . . . . . . . . . . 74
3.14 Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. . . . . . 75
4.1 Le suivi d’execution´ des tachesˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Le suivi des coutsˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Les ecarts´ de coutˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Distribution uniforme de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Distribution Betaˆ de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Distribution normale de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Distribution triangulaire de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Intervalle a` 95 % sur la duree´ du projet . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Construction de la fonction de repartition´ . . . . . . . . . . . . . 106
A.1 Distribution uniforme de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 Distribution Betaˆ de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.3 Distribution normale de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.4 Distribution triangulaire de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . 124
Partie I
Techniques de gestion de projets
Chapitre 1
Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s’agit, d’une part, de donner aux etudiants´ les bases pour la formulation de problemes` de gestion de projets et, d’autre part, d’introduire les techniques de resolution´ de ces problemes.` On presentera´ les techniques d’ordonnancement, d’analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque.
Comme ref´ er´ ence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de projets, [2].
Des etudes´ de cas illustrant les concepts vus au cours pourront etreˆ trouvees´ dans les les ouvrages suivants :
• Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1],
• Robert HOUDAYER, Evaluation financier` e des projets [4],
• Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6]
• J.R. MEREDITH et al, Project Management [7].
Le cours est divise´ en cinq chapitres.
Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une definition´ de la gestion de projets que l’on rencontre aussi bien pour les problemes` de type serie´ unitaire (construction d’ouvrages d’art,..) que pour le lancement de nouveaux produits (lancement d’un nouveau modele` automobile
par exemple). On presentera´ les objectifs de respect de la qualite´, de respect des delais´ et de respect des coutsˆ . On presentera´ briev` ement la direction de projet qui relev` e des decisions´ strategiques´ (definition´ des objectifs, des ressourcesa` mettreen œuvreet appreciation´ des risques)et le controleˆ de projet qui, lui, relev` e des decisions´ tactiques (estimation prealable´ de la duree´ et des coutsˆ des taches,ˆ respect des delais´ et des coutsˆ durant la realisation´ du projet).
Chapitre 2 : L’ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous presente-´ rons les deux principales techniques de planification de projets, a` savoir la methode´ du potentiel et la methode´ PERT. Pour chacune de ces deux methodes,´ nous verrons comment representer´ le probleme` a` l’aide d’un graphe, comment calculer les dates de deb´ ut au plus totˆ et au plus tard des tachesˆ ainsi que la maniere` de calculer le chemin critique. Nous verrons eg´ alement comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un equipement´ a` partager) ou de lissage de charge des ressources utilisees.´ Nous verrons eg´ alement comment l’analyse du chemin critique peut etreˆ utile pour reduire´ la duree´ du projet.
Chapitre 3 : L’analyse du projet. Lors de la definition´ du projet, il convient de donner une definition´ precise´ des phases du projet, une definition´ fine des tacˆ hes du projet et de leurs relations ainsi qu’un calcul des coutsˆ de realisation´ des tacˆ hes du projet. On s’interessera´ eg´ alementdans ce chapitre a` l’elaboration´ du plan d’investissementnecessaire´ a` la realisation´ du projet et a` l’analyse economique´ du projet.
Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous presenterons´ les deux principales techniques de controleˆ d’un projet, a` savoir le suivi de la programmation (suivi de l’execution´ des taches)ˆ et le suivi des coutsˆ (controleˆ budgetaire´ du projet). On analysera les ecarts´ de planning et les ecarts´ de coutˆ et on presentera´ les indicateurs a` mettre en œuvre a` fin de detecter´ ces ecarts.´
Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous presente-´ rons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans l’approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de la duree´ ou du coutˆ de realisation´ d’une tache.ˆ On peut alors faire des simulations. Dans l’approche qualitative du risque, on presentera´ les differentes´ techniques de reduction´ des risques encourus aussi bien dans la phase de definition´ du projet (mauvaises previsions)´ que dans la phase d’execution´ (rencontre d’aleas´ externes).
1.3. Définition de la gestion de projets
Comme l’indique Giard [2],
Definition´ 1.1Un projet est defini´ et mis en œuvre pour elabor´ er une reponse´ au besoin d’un utilisateur, d’un client et il implique un objectif et des actions a` entreprendre avec des ressources donnees.´
Cette definition´ implique que l’on mette en œuvre une organisation specifique´ et temporaire durant la preparation´ et la realisation´ du projet.
A titre d’exemples, on peut classer ce qui peut faire l’objet d’un projet sous les quatre rubriques suivantes :
• La production de type serie´ unitaire qui se definit´ comme la mobilisation de toutes les ressources de l’entreprise pour la realisation´ d’un projet de production sur une duree´ assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de tres` gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de genie´ civil (tels que le Tunnel sous la manche).
• Les activites´ de gestion non rep´ etitive´ correspondant a` un enjeu technicoeconomique´ important pour l’entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d’un nouveau produit, le changement de systeme` informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production.
• Memeˆ danslesindustriesdeproductiondemasse, lagestiondeprojetestutilisee´ pour raccourcir de maniere` importante l’intervalle de temps qui separe´ la decision´ de creer´ un produit de sa production en serie.´ Un exemple classique est le lancement d’un nouveau modele` automobile.
• Enfin, programmes d’aide aux pays en voie de developpement´ sont souvent ordonnees´ et controlˆ es´ avec les techniques d’ordonnancement et de controleˆ de projets qui seront present´ ees´ dans ce cours.
Dans tout projet, on peut identifier trois categories´ d’objectif qui sont souvent antagonistes :
• Les objectifs de performance technique relatifs au respect des specifications´ fonctionnelles et des caracteristiques´ techniques du produit. On se definit´ ainsi un niveau de qualite´ en ce qui concerne, par exemple le respect de
tolerance,´ la fiabilite´ du produit, la facilite´ d’usage, etc
• Les objectifs de delai´ sont un composante tres` importante pour le client. Ainsi, il ne sert a` rien de livrer un stade olympique 3 mois apres` la fin des jeux olympiques. D’autre part, dans un marche´ concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, etreˆ le premier a` mettre sur le marche´ un nouveau vaccin ou un nouveau medicament´ peut representer´ un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arrive´ sur le marche.´
• Lesobjectifsdecoutˆ sontprimordiaux,notammentdanslecadred’uncontrat a` prix non revisables´ ou dans le cas d’un projet interne.
Ces trois categories´ d’objectif sont fortement liees.´ Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le delai´ imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus onereuses.´
Un projet est constitue´ d’un ensemble de tachesˆ ou encore d’activites.´ Chaque tacheˆ du projet :
• est identifiee´ par son roleˆ a` jouer dans l’execution´ du projet,
• se caracterise´ par un deb´ ut et une fin,
• consomme des ressources qui ont un coup d’utilisation et sont disponibles en quantite´ limitee,´
• est souvent reliee´ aux autres tachesˆ du projet par des relations d’anteriorit´ e´ qui impliquent qu’une tacheˆ ne peut deb´ uter avant qu’une autre ne soit prealablement´ terminee´ (bien qu’un certain recouvrement des tachesˆ soit possible dans certains cas comme nous le verrons).
Onresumera´ utilementlalistedestaches,ˆ deleursancetresˆ etdeleurconsommation de ressource par un tableau tel que celui present´ e´ en tableau 1.1.
Le management de projet comporte deux fonctions bien differentes´ :
• La direction de projet qui s’interesse´ aux decisions´ strategiques´ (decisions´ a` long terme mettant en jeu l’avenir de l’entreprise).
| No | tacheˆ | duree´ | prealables´ | Consommation |
| (jours) | de ressources | |||
| 1 | terrassement | 5 | - | 1 ouvrier |
| 2 | fondations | 4 | 1 | 3 ouvriers |
| 3 | colonnes porteuses | 2 | 2 | 2 ouvriers |
| 4 | charpente toiture | 2 | 3 | 2 ouvriers |
| 5 | couverture | 3 | 4 | 4 ouvriers |
| 6 | maconnerie¸ | 5 | 3 | 3 ouvriers |
| 7 | plomberie, electricit´ e´ | 3 | 2 | 2 ouvriers |
| 8 | coulage dalle beton´ | 3 | 7 | 2 ouvriers |
| 9 | chauffage | 4 | 8 et 6 | 1 ouvrier |
| 10 | platreˆ | 10 | 9 et 5 | 4 ouvriers |
| 11 | finitions | 5 | 10 | 1 ouvrier |
Tableau 1.1: Donnees´ du probleme`
• la gestion de projet qui s’interesse´ aux decisions´ operationnelles´ (decisions´ a` court terme de gestion des equipements´ et du personnel).
La direction de projet est assuree´ par un chef de projet assiste´ parfois d’une equipe.´ La mission de cette direction de projet est quadruple :
1. fixer les objectifs du projet en terme de delais,´ de performances techniques (notamment le choix des solutions techniques),
2. definir´ les moyens a` mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources materielles´ et humaines. Ce qui implique directement d’attribuer un budget a` la realisation´ du projet.
3. d’apprecier´ les risques encourus et de mettre en œuvre des procedures´ de surveillance (par exemple, definir´ des indicateurs de tenue des delais´ et des couts),ˆ
4. d’animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs activites,´ en faisant des ev´ aluations reguli´ eres` qui conduisent parfois a` reviser´ les objectifs du projet.
La gestion de projet est assuree´ par un controleurˆ de projet. Elle a pour objectifd’apportera` ladirectiondeprojetlesinformationsrelativesa` l’avancement de l’execution´ du projet, au respect de ses objectifs et de ses couts.ˆ
• Durant la phase de prepar´ ation, la gestion de projet permet une estimation rapide de la duree´ des tachesˆ et des moyens a` mobiliser et donc des coutsˆ induits. Ceci permet de preparer´ l’ordonnancement.
• Durant l’execution´ du projet, la gestion de projet vise la maˆ?trise des delais´ et des coutsˆ en utilisant des tableaux de bord.
• A la fin du projet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des enseignements pour l’avenir.
Dans ce cours, nous allons presenter´ un certain nombre d’outils qui relev` ent de la gestion de projets : par exemple, les techniques d’ordonnancement qui seront present´ ees´ au chapitre 2, les techniques de suivis budgetaire´ et de planning qui seront present´ ees´ au chapitre 4.
Nous presenterons´ eg´ alement un certain nombre de techniques relevant de la direction de projets : par exemple, l’analyse economique´ du projet qui fera l’objet du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l’objet du chapitre 5.
1.4. Exercices
1.1. Installationd’unsysteme` dedepollution´ del’air. Pourinstallerunsysteme` de depollution´ de l’air, une entreprise a identifie´ 8 tachesˆ a` entreprendre. Au deb´ ut du projet deux tachesˆ peuvent commencer simultanement´ : la construction de composants internes a` l’entreprise (tacheˆ A) et la modification du plafond de l’usine (tacheˆ B). La construction du collecteur d’air (tacheˆ C) necessite´ la fin de la construction des composants internes (tacheˆ A). L’installation du nouveau cadre (tacheˆ D) peut avoir lieu des` que les composants sont disponibles (tacheˆ A) et que le plafond de l’usine (tacheˆ B) a et´ e´ modifie.´ Apres` l’installation du collecteur d’air (tacheˆ C), deux tachesˆ peuvent commencer : l’installation du bruleurˆ haute temperature´ (tacheˆ E) et le systeme` de controleˆ des polluants emis´ (tacheˆ F). Le systeme` de depollution´ des fumees´ (tacheˆ G) peut etreˆ installe´ apres` que le cadre (tacheˆ D) et le bruleurˆ haute temperature´ (tacheˆ E) aient et´ e´ installes.´ Lorsque le systeme` de controleˆ des polluants emis´ (tacheˆ F) et le systeme` de depollution´ des fumees´ (tacheˆ G) sont installes,´ on peut tester le systeme` afin de le mettre en fonctionnement (tacheˆ H).
(a) On demande de remplir le tableau 1.2 en y indiquant les prealables´ de chaque tache.ˆ
| Code | Tacheˆ | Anteriorit´ e´ | Duree´ |
| A | Construction des composants internes | 2 | |
| B | Modification du plafond | 3 | |
| C | Construction du collecteur d’air | 2 | |
| D | Installation du nouveau cadre | 4 | |
| E | Installation du bruleurˆ haute temperature.´ | 4 | |
| F | Installation du controleˆ d’emission´ | 3 | |
| G | Installation du systeme` de depollution´ | 5 | |
| H | Test et mise en service du systeme` | 2 |
Tableau 1.2: Tableau des prealables´ et des durees´ des tachesˆ
1.2. Cas de l’entreprise BURBOX. La societ´ e´ BURBOX est une societ´ e´ specia-´ lisee´ dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d’edifier´ une nouvelle usine a` la place d’un entrepotˆ inutilise´ afin de repondre´ a` l’accroissement de sa demande. Les tachesˆ a` executer´ sont les suivantes :
1) La demolition´ de l’ancien entrepotˆ et l’enlev` ement des gravats par la societ´ e´ DUPONDauneduree´ estimee´ a` 10joursouvrables. L’operation´ est facturee´ 300.000 euro le premier jour de l’execution´ de la tache.ˆ Le permis de demolition´ est dej´ a` accorde.´
2) L’obtention du permis de batirˆ pour le nouveau batimentˆ devrait prendre 25 jours.
3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent deb´ uter avant que le permis ne soit accorde,´ sont prevus´ pour une duree´ de 5 jours. Le coutˆ est de 180 euro par m3 et on estime qu’il y a 5.000 m3 a` enlever. Le paiement est fait pour moitie´ au deb´ ut et pour moitie´ a` la fin de la tache.ˆ
4) Les travaux de fondation du nouveau batimentˆ durent 10 jours pour un coutˆ prevu´ de 370.000 euro a` payer le premier jour.
5) Le gros œuvre est scinde´ en deux tranches :
5.1 Lapremier` etranchedeb´ utantapres` lesfondationsestprevue´ pour une duree´ de 18 jours et un coutˆ previsionnel´ de 478.000euro qu’il est prevu´ de payer en trois fois (20 % au deb´ ut, 40 % le 10eme` jour et le solde a` la fin du gros œuvre 1);
5.2 La seconde tranche, qui peut deb´ uter 5 jours avant la fin de la premiere` tranche, doit durer 7 jours et a un coutˆ prevu´ de 140.000 euro (50 % au deb´ ut, 50 % a` la fin).
6) La toiture devrait pouvoir etreˆ faite en 10 jours au prix de 340.000 euro (a` payer le premier jour) et peut deb´ uter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre.
7) La tacheˆ de finition du batimentˆ consiste en les cinq tachesˆ suivantes :
7.1 La pose de panneaux industriels de platreˆ pour une duree´ de 6 jours et un coutˆ forfaitaire de 150.000 euro a` payer au deb´ ut;
7.2 Lapremier` ephased’electrification´ dubatimentˆ consisteenl’installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuee´ par la societ´ e´ LAMBERT pour 500.000 euro (versement initial de 200.000 euro, versement de 100.000 euro a` la reception´ de chaque transformateur). L’installation et la reception´ d’un transformateur necessite´ 5 jours (15 jours au total pour la tache);ˆ
7.3 La seconde phase d’electrification´ est prise en charge par le personnel des services gen´ eraux´ de la societ´ e´ BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estime´ a` 320 heures de travail (coutˆ horaire de 150 euro). Les fournitures a` acheter coutentˆ 15.000 euro. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la premiere` phase d’electrification.´ Les travaux d’electrification´ doivent etreˆ termines´ avant la peinture. Leur coutˆ est impute´ le premier jour.
7.4 Le travail de peinture des murs est estime´ a` 200 heures et est pris en charge par les services gen´ eraux´ de BURBOX.
7.5 Le travail de peinture du sol est estime´ a` 120 heures et doit aussi etreˆ pris en charge par les services gen´ eraux.´ Les deux phases de peinture peuvent etreˆ effectuees´ en parallele` avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent etreˆ achevees´ avant l’installation des machines. Leur coutˆ est impute´ au deb´ ut de chaque phase.
8) Le demontage´ des anciennes machines (2 jours) est effectue´ par les 5 employes´ des services gen´ eraux.´ On programme cette tacheˆ au plus tard avec une marge de 5 jours. On impute son coutˆ le premier jour.
9) Le remontage des machines (2 jours) mobilise les memesˆ ressources. Ilfautquelestravauxdepeinture(muretsol)soientfinis. Leremontage est programme´ au plus tard. On impute son coutˆ le premier jour.
10) L’acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000 euro (moitie´ a` la commande, moitie´ a` la fin des essais) comporte les tachesˆ suivantes :
10.1 1 jour pour passer la commande;
10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuee´ 21 jours apres` la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie. 10.3 3 jours d’essai du materiel.´
11) L’inauguration des nouvelles installations a` l’issue du remontage et des essais dure 1 jour.
(a) Refl´ echir´ a` la duree´ des travaux confies´ aux services centraux en :
• calculant la duree´ de la tacˆ he 7.3 en tenant compte de journee´ de 8 heures pour les ouvriers des services centraux de la societ´ e´
BRUBOX,
• imaginant une organisation du travail de peinture (tacˆ hes 7.4 et 7.5) pour realiser´ ces deux tachesˆ en parallele.`
(b) Etablir´ un tableau recapitulatif´ des tachesˆ avec leur designation,´ la liste de leurs ancetres,ˆ leur duree,´ leur coutˆ et les observations quant a` leur programmation (recouvrement possible avec un ancetre,ˆ etc ). On remplira le tableau 1.3.
| Tacheˆ | Duree´ | Prealables´ | Remarques de | coutˆ (keur) et |
| programmation | date de debours´ | |||
| 1 - Demolition´ | 10 jours | - | 300 (jour 1) | |
| 2- Permis | ||||
| 3- Terrassement | ||||
| 4- Fondations | ||||
| 5.1- Gros-oeuvre | ||||
| 5.2- Gros-oeuvre | ||||
| 6 - Toitures | ||||
| 7.1 Placoplatreˆ | ||||
| 7.2 Electricite´ 1 | ||||
| 7.3 Electricite´ 2 | ||||
| 7.4 Peinture murs | ||||
| 7.5 Peinture sol | ||||
| 8 - Demontage´ | ||||
| 9 - Remontage | ||||
| 10.1 - Commande | ||||
| 10.2 - livraison | ||||
| 10.3 - Essais | ||||
| 11 - Inauguration |
Tableau 1.3: Cas de l’entreprise BURBOX
Chapitre 2
Lorsdetoutprojetdegrandeenvergure(constructiond’unbateau, d’unavion, d’un batiment, ),ˆ un probleme` crucial qui se pose est celui du calendrier d’execution´ des taches.ˆ Le probleme` est de determiner´ dans quel ordre doivent s’enchaˆ?ner les diverses tachesˆ de maniere` a` minimiser le temps total d’execution´ du projet.
Prenons un exemple. On veut construire un nouveau batimentˆ de maniere` a` pouvoir dem´ enager´ au plus tot.ˆ Certaines tachesˆ ne peuvent s’executer´ qu’apres` que d’autres soient terminees.´ Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondationssont terminees.´ D’autres tachesˆ peuvent s’executer´ simultanement.´ Par exemple, les travaux d’electricit´ e´ et de plomberie peuvent etreˆ menes´ de pair. Les donnees´ sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple.
| No | tacheˆ | duree´ (jours) | prealables´ |
| 1 | terrassement | 5 | - |
| 2 | fondations | 4 | 1 |
| 3 | colonnes porteuses | 2 | 2 |
| 4 | charpente toiture | 2 | 3 |
| 5 | couverture | 3 | 4 |
| 6 | maconnerie¸ | 5 | 3 |
| 7 | plomberie, electricit´ e´ | 3 | 2 |
| 8 | coulage dalle beton´ | 3 | 7 |
| 9 | chauffage | 4 | 8 et 6 |
| 10 | platreˆ | 10 | 9 et 5 |
| 11 | finitions | 5 | 10 |
Tableau 2.1: Construction d’un batimentˆ
On doit tenir compte, dans les problemes` d’ordonnancement, de divers types
21
de contraintes.
• Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’une tacheˆ dans le temps : une tacheˆ ne peut commencer avant une telle date, ou apres` une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques).
• Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d’ante-´ riorite´ entre les tachesˆ : une telle tacheˆ ne peut commencer avant la fin d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’est pas fini).
• Les contraintescumulatives imposentla prise en comptede la disponibilite´ deressourcesnonstockables,parexempledesheuresdetravailenpersonnel ou d’equipement´ dont on peut disposer au cours d’une periode´ et qui sont perdues si elles ne sont pas utilisees´ durant cette periode.´
• Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tachesˆ ne peuvent avoirlieuenmemeˆ tempssansquel’onpuissedirelaquelledoitetreˆ effectuee´ avant l’autre (par exemple, une memeˆ grue est utilisee´ sur deux chantiers).
Le probleme` d’ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appele´ probleme` central d’ordonnancement. Il s’agit donc de determiner´ le calendrier de deb´ ut de chacune des tachesˆ de maniere` a` terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles.
Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa resolution,´ ce probleme` utilise la notion de graphe. On peut, en effet, representer´ le probleme` sur ungrapheet,ensuite,resoudre´ leprobleme` graphiquement. Deplus,lapresentation´ du resultat´ de calcul (l’ordonnancement des taches)ˆ sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres.
Il existe deux methodes´ de resolution´ pour ce probleme,` a` savoir :
• la methode´ du potentiel dev´ eloppee´ en France dans les annees´ 60 et qui associe a` chaque tacheˆ un nœud du reseau,´ tandis que les relationsd’anteriorit´ e´ sont represent´ ees´ par des arcs entre les tachesˆ (voir figure 2.1);
• la methode´ PERT dev´ eloppee´ parallelement` aux Etats Unis d’Amerique´ et qui, elle, associe chaque tacheˆ a` un arc du reseau,´ et chaque relation d’anteriorit´ e´ a` un nœud (voir figure 2.2).
Algorithmiquement, les deux methodes´ de resolution´ sont equi´ valentes, mais la methode´ du potentiel permet d’ecrire´ le graphe de reseau´ de maniere` systematique´ (sans ajouter d’arc fictif).
tâche i tâche j
d i
”i avant j”
Figure 2.1: Graphe de la methode´ du potentiel.
”i avant j”
i,di j,dj
tâche i tâche j
Figure 2.2: Graphe de la methode´ PERT.
Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tachesˆ a` executer´ , indicees´ i = 1, n. Utilisons eg´ alement la notation di pour designer´ la duree´ d’execution´ de la tacheˆ i (qui est ici une donnee).´
Les variables du probleme` sont les suivantes : ti note le temps de deb´ ut d’execution´ de la tacheˆ i, et tf note le temps de fin de chantier.
L’objectif est de minimiser le temps de realisation´ du chantier :
minz = tf ? t0
ou` t0 note la date de deb´ ut de chantier que l’on fixe a` t0 = 0.
Les contraintes du probleme` sont de trois types :
• Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tacheˆ i ne peut commencer avant le deb´ ut de chantier :
ti ? t0, ?i = 1,2, n (2.1)
• Les contraintes de succession temporelle expriment que la tacheˆ j ne peut deb´ uter avant que toute tacheˆ i prealable´ a` j ne soit finie :
ti + di ? tj, ? tacheˆ i anterieure´ a` la tacheˆ j (2.2)
• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tacheˆ i doit etreˆ finie avant la fin de chantier :
ti + di ? tf, ?i = 1,2, n (2.3)
Remarquez que vu la presence´ des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d’ecrire´ (2.1) pour toute tacheˆ n’ayant pas de pred´ ecesseur´ et (2.3) pout toute tacheˆ n’ayant pas de successeur.
On associe donc au probleme` central d’ordonnancement un graphe dont les sommets representent´ les diverses tachesˆ du probleme` d’ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond a` la date de deb´ ut de chantier et un nœud f = n + 1 qui correspond a` la fin de chantier. Les arcs du reseau´ representent´ les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante
ti + di ? tj
On peut construire systematiquement´ le graphe associe´ au probleme` d’ordon-
1. On relie d’abord toutes les tachesˆ sans prealable´ (la tacheˆ 1 dans le cas de l’exemple) au nœud 0, deb´ ut de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu’il s’agit de la representation´ des contraintes (2.1).
2. Ensuite, on prend une tacheˆ dej´ a` dans le graphe et on examine si elle prec´ ede` d’autres. Par exemple, la tacheˆ 1 doit prec´ eder´ la tacheˆ 2. On doit donc avoir
t1 + d1 ? t2.
On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur d1. On fait de memeˆ pour representer´ toutes les contraintes de type (2.2).
3. Pour les seules tachesˆ sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier, avecunarcdelongueureg´ alea` laduree´ delatache.ˆ Ici, seulelatacheˆ finition est dans ce cas. Il s’agit ici de representer´ les contraintes du type (2.3).
Lorsdelaconstructiondugraphed’unprobleme` reel´ quipeutcomporterplusd’une centaine de taches,ˆ une methode´ plus systematique´ de construction du graphe doit etreˆ utilisee,´ methode´ faisant appel au classement des activites´ par niveaux (voir section 2.4).
2.3.2 Representation´ des autres types de contraintes
Disons un mot de la representation´ des trois autres types de contraintes :
1. Supposons d’abord que la tacheˆ 3 ne puisse commencer avant 10 :
t3 ? 10 ? t3 ? t0 + 10.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4).
2. Ensuite, supposons que la tacheˆ 5 doive etreˆ commencee´ avant 40 :
t5 ? 40 ? t0 ? t5 ? 40.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de “longueur” -40.
3. Enfin, supposons que la tacheˆ 9 doive commencer au plus tard 5 jours apres` le deb´ ut de la tacheˆ 8 :
t9 ? t8 + 5 ? t8 ? t9 ? 5.
Ceci se represente´ en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de “longueur” -5.
Figure 2.4: Trois autres types de contraintes.
Avant de voir l’algorithme qui permet de resoudre´ le probleme` d’ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probleme` est realisable.´ En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et etreˆ incompatibles entres elles.
Supposons que nous ayons la situation suivante. La tacheˆ 1, qui dure d1 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 2 ne commence. La tacheˆ 2, qui dure d2 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 3 ne commence. La tacheˆ 3, qui dure d3 jours, doit etreˆ terminee´ avant que la tacheˆ 1 ne commence.
| tacheˆ | duree´ | prealable´ |
| 1 | d1 | 3 |
| 2 | d2 | 1 |
| 3 | d3 | 2 |
Il est clair qu’un tel probleme` va conduire a` une impossibilite.´
Figure 2.5: Circuit de longueur positive.
Cette situation est represent´ ee´ a` la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient uncircuit(cycleavectouslesarcsdanslememeˆ sens)dontlasommedeslongueurs des arcs est positive. Ecri´ vons les contraintes correspondantes :
t1 + d1 ? t2 t2 + d2 ? t3 t3 + d3 ? t1
En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante :
d1 + d2 + d3 ? 0
On peut montrer le resultat´ suivant.
Lemme 2.1Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associe´ ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive.
Remarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs neg´ ative ne pose pas de probleme.` Par exemple, a` la figure 2.4, la tacheˆ 8 de longueur 3 doit etreˆ finie avant que ne commence la tacheˆ 9 et la tacheˆ 9 doit commencer endeans´ les 5 jours de deb´ ut de la tacheˆ 8 :
t8 + 3 ? t9t9 ? 5 ? t8
Ceci se represente,´ comme vu ci-dessus, par une fleche` de 8 vers 9 de longueur 3 et une fleche` retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probleme,` la somme des “longueurs” etant´ neg´ ative.
Definition´ 2.1Le niveaud’unetacˆ he correspondau plus grand nombre de tacˆ hes rencontrees´ sur un memeˆ itiner´ aire depuis le deb´ ut du projet, plus un.
Pour determiner´ le niveau des taches,ˆ on procede` comme suit. On place au premier niveau les tachesˆ qui n’ont aucun ancetreˆ et on raye ces tachesˆ de la liste des taches.ˆ On continue comme suit :
• Etape´ 1 : onraye, danslacolonnedesancetres,ˆ lestachesˆ quiviennentd’etreˆ affectees´ au dernier niveau analyse;´
• Etape´ 2 : les tachesˆ du nouveau niveau sont les tachesˆ non rayees´ de la colonne des tachesˆ qui n’ont plus d’ancetre;ˆ apres` affectation au nouveau niveau, ces tachesˆ sont rayees´ dans la colonne des taches;ˆ
• Etape´ 3: s’ilrestedestachesˆ nonrayees´ danslacolonnedestaches,ˆ onrepart a` l’etape´ 1. Sinon le processus est termine.´ Par ailleurs, cette etape´ permet de detecter´ des anteriorit´ es´ redondantes parce que ne portant pas sur des ancetrˆ es immediats.´ Cette etape´ permet eg´ alement de mettre en evidence´ des incoherences´ du type A a pour ancetreˆ B, B a pour ancetreˆ C, lequel a pour ancetreˆ A.
L’application de la methode´ a` l’exemple introductif est illustree´ au tableau 2.2 pour les trois premieres` iterations,´ au tableau 2.3 pour les trois suivantes et au tableau 2.4 pour l’iteration´ finale.
On peut alors construire le graphe de la methode´ des potentiels en visualisant chaqueniveauparunebandeverticaleetenplacant,¸ danschaqueniveau, lestachesˆ de ce niveau, puis en visualisant les contraintes d’anteriorit´ e´ par des fleches` dont Iteration´ 1
Etape´ 1 Etape´ 2
| Ancetresˆ | Tacheˆ | Niveau 1 | Ancetresˆ | Tacheˆ | Niveau 1 | |
| - 1 2 3 4 3 2 7 8,6 9,5 10 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | 1 | - 1 2 3 4 3 2 7 8,6 9,5 10 | 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | 1 |
Iteration´ 2
Etape´ 1 Etape´ 2
| Ancetresˆ | Tacheˆ | 1 | 2 | Ancetresˆ | Tacheˆ | 1 | 2 | |
| 6 1 2 3 4 3 2 7 8,6 9,5 10 | 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | 1 | 6 1 2 3 4 3 2 7 8,6 9,5 10 | 6 12 63 4 5 6 7 8 9 10 11 | 1 | 2 |
Iteration´ 3
Etape´ 1 Etape´ 2
| Ancetresˆ | Tacheˆ | 1 | 2 | 3 | Ancetresˆ | Tacheˆ | 1 | 2 | 3 | |
| - 6 12 63 4 3 672 8,6 9,5 10 | 6 12 63 4 5 6 7 8 9 10 11 | 1 | 2 | - 6 12 63 4 3 672 8,6 9,5 10 | 6 12 6 3 64 5 6 687 9 10 11 | 1 | 2 | 3 7 |
Tableau 2.2: Classement des tachesˆ par niveaux
Iteration´ 4
Etape´ 1 Etape´ 2
| pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | pi  | i | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| - 6 12 6 3 64 6 32 6 7 86 ,6 9,5 10 | 6 12 6 3 64 5 6 687 9 10 11 | 1 | 2 | 3 7 | - 6 12 6 3 64 6 32 6 7 86 ,6 9,5 10 | 6 12 6 3 6 4 65 6 67 6 8 69 10 11 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 |
Iteration´ 5
Etape´ 1 Etape´ 2
| pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 986 ,,656 6 10 | 6 12 6 3 6 4 65 6 67 6 8 69 10 11 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 986 ,,656 6 10 | 6 12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 106 11 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | 5 9 |
Iteration´ 6
Etape´ 1 Etape´ 2
| pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 98106,,6665 6 6 | 6 12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 106 11 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | 5 9 | - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 98106,,6665 6 6 | 6 12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 610 611 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | 5 9 | 10 |
Tableau 2.3: Classement des tachesˆ par niveaux (suite) Iteration´ 7
Etape´ 1 Etape´ 2
| pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | pi | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 98610,,6665 6 6 | 6 12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 610 611 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | 5 9 | 10 | - 6 12 6 3 6 4 6 3 6 2 6 7 98610,,6665 6 6 | 6 12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 610 6 11 | 1 | 2 | 3 7 | 4 6 8 | 5 9 | 10 | 11 |
6 6 6
Tableau 2.4: Classement des tachesˆ par niveaux (fin)
l’origine est a` gauche et l’extremit´ e´ a` droite. Le deb´ ut et la fin sont represent´ es´ par des traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des fleches` qui aboutissent aux tachesˆ de niveau 1 et des tachesˆ sans descendant (qu’elles appartiennent au dernier niveau ou non) partent des fleches` vers le trait de FIN (figure 2.6).
Niveaux 1 2 3 4 5 6 7
Figure 2.6: Classement par niveaux.
Outre la facilite´ de trace´ du graphe de la methode´ du potentiel, le classement par niveaux permet de reperer´ des relations inutiles. Par exemple, a` la figure 2.7, la relation ”A prec´ ede` C” est inutile et peut etreˆ omise sur le graphique.
Figure 2.7: Relation d’anteriorit´ e´ inutile.
2.5. Calcul de l’ordonnancement
Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l’ordonnancement au plus totˆ . L’ordonnancement au plus totˆ determine´ les dates de deb´ ut au plus totˆ des differentes´ taches,ˆ notees´ , en partant du nœud de deb´ ut de chantier.
Illustrons les choses sur l’exemple. La tacheˆ 1 peut commencer au plus totˆ en 0 puisqu’elle est reliee´ au au nœud 0, deb´ ut de chantier, par un arc de longueur nulle. La tacheˆ 2 peut commencer des` la fin de la tacheˆ 1, c’est-a-dire`
et ainsi de suite, on marque
Lorsqu’un sommet (comme le sommet 9) a plus d’un pred´ ecesseur´ (8 et 6), on determine´ la date au plus totˆ par un maximum :
t9 = max{t6 + d6,t8 + d8} = 16.
Il faut, en effet, que les deux tachesˆ prec´ edentes´ soient finies avant de pouvoir deb´ uter la tacheˆ 9. On arrive ainsi a` determiner´ la duree´ totale minimum qui est ici de 35 jours (voir figure 2.8 ou` le temps de deb´ ut au plus totˆ est indique´ au dessus des nœuds).
Figure 2.8: Ordonnancement au plus tot.ˆ
Certaines tachesˆ sont telles que si on retarde leur date de deb´ ut, cela aura des repercussions´ sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de deb´ ut de la tacheˆ 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de chantier. De meme,ˆ si on retarde la tacheˆ 10 (platre),ˆ cela va retarder la date de deb´ ut de la tacheˆ 11 (finition) qui elle-memeˆ retarde la date de fin de chantier.
Par contre, si on retarde le deb´ ut de la tacheˆ 5 (couverture), cela n’aura pas de repercussion,´ car ce n’est pas a` partir de ce nœud que son successeur (10) a et´ e´ marque´ mais bien a` partir du nœud 9. On voit donc que l’on peut retarder la date de deb´ ut de la tacheˆ 5 sans consequence´ sur la date de fin de chantier jusqu’a` un certain point. En effet,. Autrement dit, la date de deb´ ut de la tacheˆ 5 peut etreˆ retardee´ jusqu’a` la valeur :
? ?
sans retarder la date de deb´ ut de la tacheˆ 10. On dit que 17 est la date de deb´ ut au plus tard de la tacheˆ 5. C’est-a-dire` que la tacheˆ 5 peut etreˆ commencee´ a` cette date au plus tard sans allonger la duree´ totale minimale des travaux.
On notera une date de deb´ ut au plus tard par. On peut calculer l’ordonnancement au plus tard de la maniere` suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin, pour lequel la date de deb´ ut au plus tard co¨?ncide avec la date de deb´ ut au plus totˆ
t12 = t12 = 35,
on retranche a` la date au plus tard la duree´ de la derniere` tache.ˆ On determine´ ainsi la date de fin au plus tard de la tacheˆ 11 :
t11 = t12 ? d11 = 35 ? 5 = 30.
On marque ensuite a` rebours les nœuds 10, 5,
Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard.
Lorsqu’un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet que si tous ses successeurs directs sont marques´ . Prenons, a` titre d’illustration, le cas du nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum : t3 = min{t4 ? d3,t6 ? d3} = min{15 ? 2,11 ? 2} = 9,
sans quoi on retarderait la date de fin de chantier.
2.6. Chemin critique et calcul des marges
On voit directement que l’on a deux sortes de taches.ˆ
• Les tachesˆ critiques sont celles qui servent a` marquer de proche en proche le sommet n + 1 a` partir du sommet 0. Elles forment ce que l’on appelle le chemin critique qui donne l’ensemble des tachesˆ a` surveiller en premier si l’on veut respecter le delai´ minimum de realisation´ du projet. Le chemin critique, illustre´ en hachure´ a` la figure 2.9, peut etreˆ determin´ e´ de la maniere` suivante. Partant du nœud n + 1, on ne retient, en partant a` rebours, que les sommets correspondant a` des tachesˆ critiques jusqu’a joindre le nœud 1. Il s’agit, dans l’exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0.
Figure 2.10: Calcul des marges
Notez qu’il peut y avoir plusieurs chemins critiques.
• Pour toutes les autres taches,ˆ c’est-a-dire` les tachesˆ non critiques, on peut determiner´ la marge d’une tacheˆ comme la difference´ entre son temps de deb´ ut au plus tard et au plus totˆ :
(2.4)
et donc la marge mi est strictement positive pour les tachesˆ non critiques tandis qu’elle est nulle pour les tachesˆ critiques.
| i | 4 | 5 | 7 | 8 |
| mi | 4 | 4 | 1 | 1 |
Definition´ 2.2On appelle chemin critique tout chemin liant le nœud deb´ ut de projet au nœud fin de projet tel que l’en faisant la somme des durees´ des tacˆ hes le long de ce chemin critique on obtienne la duree´ minimale du projet.
Terminons par deux remarques.
• Il peut y avoir plusieurs chemins critiques.
• D’autre part, il ne suffit pas de prendre une suite de tacheˆ critiques liant le nœud deb´ ut du projet au nœud fin du projet pour avoir un chemin critique. Il faut, en plus que la date de fin au plus totˆ du projet correspondent a` la somme des durees´ de tachesˆ le long de ce chemin. On peut reperer´ , comme indique´ ci-dessus, ce type de chemin a` rebours en ne retenant que les tachesˆ qui ont permit de calculer la date de fin au plus totˆ du projet a` partir du nœud de depart´ (dates au plus tot).ˆ
Illustronscesdeuxphenom´ enes` surl’exempledelafigure2.11. Lestachesˆ critiques
Figure 2.11: Cas de plusieurs chemins critiques.
sont les tachesˆ : B, C, D, E et F. Les deux chemins critiques sont :
P1 = (B,D,E,F) P2 = (B,C,E,F)
Il est a` remarquer que le chemin suivant :
P3 = (B,C,F)
est constitue´ uniquement de tachesˆ critiques mais n’est pas critique.
2.6. Chemin critique et calcul des marges
Nous venons de definir´ la notion de marge totale d’une tacheˆ comme la difference´ entre sa date de deb´ ut au plus tard et sa date de deb´ ut au plus totˆ :
Remarquons cependant que la marge reellement´ disponible dependra´ de la programmation effective des pred´ ecesseur´ s de la tacˆ he. Prenons l’exemple de la tacheˆ 5 qui a une marge de 4. Si son pred´ ecesseur´ direct, la tacheˆ 4 est programmee´ au plus tard, c’est-a-dire` en 15, la date de deb´ ut au plus totˆ de la tacheˆ 5 devient 17 et donc la tacheˆ 5 voit sa marge s’annuler. Des` qu’on utilise la marge de la tacheˆ 4, elle reduit´ donc celle de 5.
Par contresi on utilisela marge de la tacheˆ 5 en la programmantau plus tard (en 17) cela ne reduit´ pas la marge des autres tachesˆ du projet. On peut donc utiliser librement cette marge de 4 unites´ de la tacheˆ 5
Definition´ 2.3On definit´ la marge libre comme la partie de la marge totale que l’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs.
Si l’on considere` que les ancetrˆ es et les descendants de la tacˆ he sont programmes´ au plus totˆ , on definit´ ainsi la marge libre comme la difference´ entre :
• la date de deb´ ut au plus totˆ du descendant (ou la plus precoce´ de ces dates si la tacheˆ a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus totˆ de la tacˆ he qui est calculee´ comme la date de deb´ ut au plus totˆ augmente´ de la duree´ de la tache.ˆ
L’application a` notre exemple donne les marges libres suivantes :
| i | 4 | 5 | 7 | 8 |
| marge totale | 4 | 4 | 1 | 1 |
| deb´ ut au totˆ du descendant | 13 | 20 | 12 | 16 |
| fin au plus totˆ de la tacheˆ | 11 + 2 | 13 + 3 | 9 + 3 | 12 + 3 |
| = 13 | = 16 | = 12 | = 15 | |
| marge libre | 0 | 4 | 0 | 1 |
L’utilisation de la marge libre d’une tacheˆ non critique n’affecte pas la marge totale des tacˆ hes non critiques dont elle est l’ancetrˆ e. Il n’en n’est cependant pas de memeˆ pour les tachesˆ non critiques dont elle est le descendant direct et indirect.
Si on programme d’abord la tacheˆ 5 en l’affectant au plus tot,ˆ c’est-a-dire` en 13, la date de deb´ ut au plus tard de 4 devient 11 et la tacheˆ 4 n’a plus de marge. On definit´ ainsi un second concept.
Definition´ 2.4On definit´ la marge independante´ comme la partie de la marge que l’on peut utiliser sans affecter la marge des pred´ ecesseur´ s et des successeurs.
Si l’on considere` que les ancetrˆ es de la tacˆ he sont programmes´ au plus tard (et non au plus tot)ˆ et ses descendants au plus totˆ , on definit´ la marge independante´ comme la difference´ entre :
• la date de deb´ ut au plus totˆ du descendant (ou la plus precoce´ de ces dates si la tacheˆ a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus tard de son ancetrˆ e (ou la plus tardive de ces dates, si la tacheˆ a plusieurs ancetres)ˆ augmentee´ de la duree´ de la tache.ˆ
L’application a` notre exemple donne les marges independantes´ suivantes :
| i | 4 | 5 | 7 | 8 |
| marge totale | 4 | 4 | 1 | 1 |
| deb´ ut au plus totˆ du descendant | 13 | 20 | 12 | 16 |
| fin + tard de l’ancetreˆ | (9 + 2) | (15 + 2) | (5 + 4) | (10 + 3) |
| + duree´ de la tacheˆ | +2 = 13 | +3 = 20 | +3 = 12 | +3 = 16 |
| marge independante´ | 0 | 0 | 0 | 0 |
La marge independante´ de la tacheˆ 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4. Cette marge independante´ est moins utilisee´ que la marge libre, dans la mesure ou` la programmation des tachesˆ s’effectue souvent par ordre croissant de niveau.
La methode´ PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s’est dev´ eloppee,´ parallelement` a` la methode´ du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la methode´ du potentiel par le fait que les tachesˆ ne sont plus associees´ aux nœuds mais bien aux arcs du reseau´ . L’algorithme de resolution´ est tres` semblable a` celui de la methode´ du potentiel. La difference´ majeure reside´ donc dans la
construction du graphe : le graphe de la methode´ PERT est souvent plus difficile a` construire que celui de la methode´ du potentiel car on peut etreˆ amene´ a` introduire des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tache.ˆ
Dansla methode´ PERT, chaquetacheˆ est doncassociee´ a` un arc du graphe. La longueur de l’arc correspondant a` la duree´ de la tacheˆ en question. Les sommets sont utilises´ pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tacheˆ j doit suivre la tacheˆ i, l’extremit´ e´ terminale de l’arc representant´ la tacheˆ i co¨?ncidera avec l’extremit´ e´ initiale de l’arc representant´ la tacheˆ j.
Ceci permet de tracer le graphe pour l’exemple dej´ a` consider´ e´ pour la methode´ du potentiel. Ceci est fait a` la figure 2.12 ou` l’on a note,´ a` cotˆ e´ de chaque arc, d’une part, le numero´ correspondant a` la tache,ˆ d’autre part, la duree´ de la tache.ˆ
Figure 2.12: Graphe associe´ pour la methode´ PERT.
Si, sur cet exemple, le graphe de la methode´ du potentiel et celui de la methode´ PERT sont tres` proches, il n’en va pas toujours de meme.ˆ La construction du graphe PERT pose divers problemes` qui amenent` a` ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tacheˆ .
Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tacheˆ 1 prec´ ede` les tachesˆ 2 et 3 et que la tacheˆ 4 prec´ ede` la tacheˆ 3.
| tacheˆ | pred´ ecesseur´ |
| 1 | ? |
| 2 | 1 |
| 3 | 1,4 |
| 4 |
?
On pourrait tracer le graphe de la figure 2.13. Mais ce graphe introduit une contraintesupplementaire´ quiditquelatacheˆ 4doitprec´ eder´ latacheˆ 2. Pourresoudre´ la difficulte,´ il fauta` nouveauajouterunarc fictifdelongueurnulleentrel’extremit´ e´ de la tacheˆ 1 et le deb´ ut de la tacheˆ 3. Ceci est illustre´ a` la figure 2.14.
Figure 2.13: Introduction d’un contrainte.
Figure 2.14: Arc fictif.
L’ordonnancement se calcule ainsi. D’abord, on determine´ les dates de deb´ ut au plus totˆ des nœuds, que nous noterons. Ceci est fait par marquagedes nœuds a` partir de l’origine comme dans la methode´ du potentiel. On additionne au temps du nœud prec´ edent´ le temps de la tache.ˆ En cas de plusieurs pred´ ecesseurs,´ on prend le maximum.
Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pas toujours aux dates au plus tard des tachesˆ situees´ apres` le nœud. Ainsi la date auplustard9estladateauplustarddelatacheˆ 3maispasdelatacheˆ 7, pourtantles deux tachesˆ sont situees´ a` droite du memeˆ nœud. Pour contourner cette difficulte´ de la methode´ PERT, il convient de proceder´ en deux temps.
D’abord,ondetermine´ lesdatesauplustarddesnœuds,notees´ t¯i, parmarquage a` partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tache.ˆ En cas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la marge de la tacheˆ (i,j) entre les nœuds i et j comme :
Autrement dit, la marge est calculee´ comme la differ´ ence entre la date de fin au plus tard de la tacˆ he et la date de fin au plus totˆ de la tacˆ he. On obtient alors les dates au plus tard des tachesˆ en additionnant a` la date au plus totˆ du nœud de
depart,´ la marge de la tache.ˆ Les resultats´ sont indiques´ au tableau ci-dessous.
| Tacheˆ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Date au plus totˆ | 0 | 5 | 9 | 11 | 13 | 11 | 9 | 12 | 16 | 20 | 30 |
| Marge | 0 | 0 | 0 | 4 | 4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Date au plus tard | 0 | 5 | 9 | 15 | 17 | 11 | 10 | 13 | 16 | 20 | 30 |
Unchemincritiquepeutalorsseconstruirea` partirdunœuddefinenneretenant que les arcs critiques. L’application a` l’exemple donne l’ordonnancement illustre´ a` la figure 2.15.
Figure 2.15: Ordonnancement par la methode´ PERT.
Si l’on veut reduire´ la duree´ du projet, deux principes sont d’application :
Principe 1. Il ne sert a` rien de reduire´ la duree´ de tacˆ hes non critiques.
Principe 2. Il faut reduire´ simultanement´ la duree´ de tous les chemins critiques.
En effet, si l’on reduit´ la duree´ d’une tacheˆ non critique, cela ne changera pas la duree´ du projet qui est determin´ ee´ par la longueur du chemin critique. Cela ne fera qu’accroˆ?tre la marge de la tache.ˆ
D’autrepart,sil’onreduit´ laduree´ d’unchemincritiqueetqu’ilenresteunautre chemin critique non reduit,´ c’est ce second chemin qui continuera a` determiner´ la duree´ du projet et sa duree´ sera inchangee.´
| No | tacheˆ | reduction´ max (jours) | surcoutˆ par jour |
| 5 | couverture | 1 | 120 |
| 6 | maconnerie¸ | 3 | 150 |
| 8 | coulage dalle beton´ | 1 | 180 |
| 9 | chauffage | 1 | 200 |
Tableau 2.5: Reduction´ de la duree´ du projet
Illustrons ceci sur un exemple. On a la possibilite´ de reduire´ la duree´ de certainestachesˆ moyennantun surcoutˆ parjourde reduction.´ Lestachesˆ sur lesquelles il est possible d’agir sont reprise au tableau 2.5.
On se pose la question suivante : comment reduir´ e la duree´ du projet de deux jours a` coutˆ total de reduction´ minimum ?
Examinons l’ordonnancement de la figure 2.10. Par application du principe 1, on en deduit´ que seules les tachesˆ 6 et 9 sont interessantes.´ Ce sont, en effet, les seules tachesˆ critiques parmi les quatre tachesˆ dont on peut reduire´ la duree.´
On reduit´ 6 de 1 jour car cela couteˆ moins cher. Le nouveau graphique est
Figure 2.16: Reduction´ d’un jour de la duree´ du projet
savoir :
P1 = (1,2,3,6,9,10,11)
P2 = (1,2,7,8,9,10,11)
Par application du principe 2, il faut maintenant reduir´ e simultanement´ les deux chemins critiques. On a le choix entre les deux strategies´ suivantes :
• reduir´ e 9 de 1 jour au coutˆ de 200;
• reduir´ e 8 et 6 de 1 jour au coutˆ total 150 + 180 = 330.
On decide´ donc de reduir´ e 9 d’un jour. Le nouveau graphique est illustre´ a` la figure 2.17
Figure 2.17: Reduction´ de la duree´ du projet de deux jours
On en conclut qu’a` chaque reduction´ de duree´ d’une ou plusieurs taches,ˆ il faut recalculer l’ordonnancement pour voir si de nouveaux chemins critiques n’apparaissent pas.
L’existence de tachesˆ non critiques implique qu’il existe de multiples solutions donnantle memeˆ tempstotalminimumde realisation´ du projet. La programmation definiti´ ve du projet s’effectuera en fonction des deux principes de prudence et d’economie´ :
• Le principe de prudence incite a` programmer au plus totˆ les tacˆ hes non critiques pour que la programmation conduise a` des marges totales les plus grandes possibles pour absorber d’ev´ entuels aleas´ dans l’execution´ des taches.ˆ Ce principe conduit parfois a` qualifie´ de tachesˆ subcritiques les tachesˆ de marge totale faible par rapport aux aleas´ susceptibles de se produire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe en calculant, pour chaque tache,ˆ la probabilite´ d’etreˆ critique. Ce qui peut conduire a` definir´ comme subscritique une tacheˆ qui a au moins 90 % de chances d’etreˆ critique.
• Le principe d’economie´ incite a` programmer au plus tard les tacˆ hes non critiques. Eneffet, l’execution´ destachesˆ necessite´ l’acquisitiondecertaines ressources. Ainsi,
– si on engage des ressources humaines qui seront conservees´ a` l’issue de l’execution´ de la tache,ˆ la programmation au plus totˆ gen´ ere` des depenses´ inutiles;
– si on achete` des ressources materielles´ , il peut y avoir un coutˆ d’opportunite´ lie´ a` un achat precoce´ (inter´ etsˆ bancaires, par exemple). La preoccupation´ d’economie´ incitera donc aussi a` programmer au plus tard les tachesˆ non critiques.
Lespointsdevuedeprudenceetd’economie´ sontdonclargementantinomiques et le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent le principe d’economie´ prev´ aut pour une tacheˆ non critique. Dans la pratique, on a inter´ etˆ a` mutualiser les risques et donc a` chercher a` partir d’estimation de durees´ plutotˆ optimistes puis a` :
• mettre un tampon entre la date de fin des tachesˆ sans descendant et la date de fin du projet. Ce tampon correspondant a` la mutualisation des risques sur les tachesˆ du chemin critique,
• a` considerer´ chaque chemin non critique en mettant un tampon entre le dernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui est une tacheˆ critique, ce tampon correspondant a` la mutualisation du risque du chemin non critique.
La figure 2.18 illustre les tampons dans le cas de l’exemple.
Figure 2.18: Graphe de la methode´ des potentiels
2.10. Présentation des résultats
Le graphe de la methode´ des potentiels est l’instrument privilegi´ e´ pour le calcul le d’ordonnancement des taches.ˆ Une fois l’ordonnancement decid´ e,´ il vaut mieux transmettre les decisions´ prises sous forme d’un graphique de Gantt. Le diagramme de Gantt est l’outil classiquement utilise´ en gestion de production pour visualiserl’utilisationdesmachines. Ainsia` lafigure2.19,onavisualise´ lepassage de cinq lot de pieces` sur deux machines successives.
Figure 2.19: Diagramme de Gantt-Ateliers
En gestion de projets, le diagramme de Gantt est eg´ alement caracteris´ e´ par une lignehorizontalepourle tempsmaischaquelignehorizontalecorrespondcettefois a` une tache.ˆ Les fleches` correspondent cette fois a` des relations d’anteriorit´ e.´ On obtient le diagramme a` barres de la figure 2.20.
On a indique´ a` la figure le nombre d’ouvriers necessaires´ a` l’execution´ de chaque tache.ˆ On peut en deduire´ l’utilisation de la ressource travail en faisant uneadditiona` chaquejourduprojetdunombred’ouvriersutilises´ parlesdifferentes´ taches.ˆ On obtient alors le diagramme de charge de la figure 2.21.
On parle de contraintes disjonctives lorsque deux tachesˆ ne peuvent avoir lieu en memeˆ temps sans que l’on puisse dire, a` priori, laquelle doit etreˆ effectuee´ avant l’autre. C’est le cas lorsque l’on partage une memeˆ ressource non divisible entre plusieurs taches.ˆ Considerons´ les tachesˆ i et j. On peut ecrire´ la relation d’exclusion sous la forme :
soitti + di ? tj si i est realis´ ee´ avant j (2.5) tj + dj ? ti si j est realis´ ee´ avant i
Figure 2.20: Diagramme de Gantt-Tachesˆ (projet)
Figure 2.21: Diagramme de charge
Si on n’a qu’une seule contrainte disjonctive, on peut evidemment´ resoudre´ deux problemes` d’ordonnancement : un ou` l’on impose que i soit realis´ ee´ avant j, l’autre ou` l’on impose que j soit realis´ ee´ avant i. Ensuite, on prend le temps d’execution´ lepluscourt. Maiscettemethode´ d’enum´ eration´ explicitedetoutesles possibilites´ devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croˆ?t. On peutalorsle resoudre´ le probleme` graceˆ au recoursa` la programmation en nombres entiers. Definissons´ la variable binaire yij, dont la valeur est 1 si la tache i est realis´ ee´ avant la tacheˆ j et 0 dans le cas contraire :
??? 1 si la tacheˆ i est effectuee´ avant j,
yij =
0 sinon
Onremplacealorslaconditiondedisjonction(2.5)parlescontraintessuivantes:
ti + di ? tj + M(1 ? yij)
??? tj + dj ?? t{i + M}yij (2.6)
yij 0,1
ou` M note une borne superieure´ sur la date de fin des travaux.
Demontrons´ l’equi´ valence. Deux cas sont possibles pour la variable binaire :
1. Cas ou`yij = 1 : dans ce cas, le systeme` (2.6) devient :
ti + di ? tj
tj + dj ? ti + M
Lapremiere` contrainteexprimedoncquelatacheˆ idoitetreˆ finieavantquene commence la tacheˆ j. La seconde contrainte est automatiquement satisfaite.
2. Casyij = 0 : dans ce cas, le systeme` (2.6) devient :
ti + di ? tj + M
tj + dj ? ti
Lapremiere` contrainteestautomatiquementsatisfaite. Lasecondecontrainte exprime que la tacheˆ j doit etreˆ finie avant que ne commence la tacheˆ i.
L’introductionde contraintescumulatives (et disjonctives) est a` peu pres` inevitable´ dans la resolution´ de problemes` reels´ de gestion de projets. On doit alors definir´ le critere` que l’on veut privilegier´ . Il en existe deux : le critere` de la minimisationde laduree´ d’achev` ementduprojetetlecritere` delissagedechargedesressources.
Si on cherche a` minimiser la date d’achev` ement du projet tout en respectant les contraintes d’anteriorit´ e´ et les contraintes cumulatives, on parle alors de probleme` de nivellement. La resolution´ de tels problemes` est gen´ eralement´ faite au moyen d’heuristiques. D’un logiciel a` l’autre, la manier` e de ger´ er la consommationd’une ressource peut etreˆ differente.´
Illustrons ceci sur l’exemple introductif. Supposons que la societ´ e´ ne dispose que de 4 ouvriers pour effectuer le gros œuvre, c’est a` dire les tachesˆ 6 (duree´ 5 jours) et 8 (duree´ 3 jours) qui requierent` respectivement la presence´ de 3 ouvriers pour 6 et de 2 ouvriers pour 8 (voir tableau 2.11).
| Tacheˆ | Duree´ | Ressource necessaire´ |
| 6 | 5 | 3 ouvriers |
| 8 | 3 | 2 ouvriers |
Tableau 2.6: Exemple de contrainte cumulative
Rappelons que la tacˆ he 6 est critique. Elle est programmee´ actuellement de 11 a` 16 tandis que la tacˆ he 8 n’est pas critique et sa programmation au plus totˆ va de 12 en 16. Sa date de deb´ ut au plus tard est de 13 puisqu’elle a une marge d’un jour.
Examinons briev` ement les solutions possibles :
1. La premier` e solution consiste a` relaxer la contrainte en mobilisant ponctuellement des ressources supplementaires´ en main d’œuvre. Ce cas est illustre´ a` la figure 2.22. Le projet reste effectue´ en 35 jours.
Figure 2.22: Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource
On n’a evidemment´ pas vraiment resolu´ le probleme.`
2. La deuxieme` solution consiste a` programmer prioritairement les tacˆ hes critiques en considerant´ que le nombre d’ouvriers est fixe.´ Dans ce cas, la tacheˆ non critique 8 est programmee´ aux jours 16 a` 18, elle devient critique et le projet prend 3 jours de retard. Ce cas est illustre´ a` la figure 2.23.
Figure 2.23: Solution 2 : priorite´ a` la tacheˆ critique
3. La troisieme` solution consiste a` partager de manier` e fixe les ressources entre les tacˆ hes, par exemple en affectant 3 ouvriers a` la tacheˆ 6 (75 % de la ressource) et un ouvrier a` la tacheˆ 8 (25 % de la ressource), ces valeurs etant´ choisies par l’utilisateur du logiciel. La programmation reste celle du premier cas, mais la tacheˆ 8 ne ben´ eficiant´ que d’un seul ouvrier prendra 6 jours a` la place de 3. Dans ce cas, la tacheˆ non critique 8 est programmee´ du 12 au 17eme` jour, elle devient critique et le projet prend 2 jours de retard. Ce cas est illustre´ a` la figure 2.24.
Figure 2.24: Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6.
4. Laquatrieme` solutionconsistea` consider´ erlaquantite´ detravailpartacˆ he. Par exemple, pour la tacheˆ 8, il faut 6 jours-ouvriers de travail. On affecte en priorite´ les ressources a` la tacheˆ critique et on regarde ce qui reste pour la tacheˆ non critique. Durantles jours12 a` 15, on disposed’unouvrier, ensuite, durant le jour 16, on utilise 2 ouvriers. Dans ce cas, la tacheˆ non critique 8 est programmee´ du 12 au 16eme` jour, elle devient critique et le projet prend 1 jour de retard. Ce cas est illustre´ a` la figure 2.25.
Figure 2.25: Solution 4 : definir´ une tacheˆ par sa quantite´ totale de travail.
Cet exemple n’est pas exhaustif mais est illustratif des techniques possibles pour resoudre´ les conflits. Il attire aussi l’attention sur le fait que si les logiciels annoncentqu’ilspermettentdegerer´ lesressources,onpeutdanslapratiqueaboutir a` des solutions tres` differentes´ en fonction de l’heuristique choisie dans le logiciel.
Un ordonnancement de projet respectant les contraintes cumulatives et une duree´ minimaledonnee´ n’estgen´ eralement´ pasunique. D’autresordonnancementsaboutissant a` la memeˆ duree´ minimale peuvent etreˆ trouves.´ Le lissage est un processus de recherche d’un ordonnancement conduisant a` une utilisation la plus reguli´ er` e possible des ressources. On cherche ainsi a` araser certains pics de consommation de la ressource. Ce qui permet de diminuer le niveau de la ressource utilisee.´ Diverses heuristiques ont et´ e´ concues¸ pour ce faire.
Nous verrons un exercice d’application (voir exercice 2.7) ou` l’on veut rester dans la limite de cinq ouvriers durant tous le chantier sauf dans une periode´ maximumdequatrejoursou` l’onautoriseundepassement´ (enengageantdestravailleurs interimaires´ durant cette courte periode).´ On determinera´ une solution respectant ces contraintes cumulatives de maniere` heuristique en jouant sur les marges des tachesˆ non critiques. Ainsi en ne programmant pas systematiquement´ les tachesˆ non critiques au plus tot,ˆ on peut agir sur le niveau d’utilisation de la ressource sans augmenter la duree´ minimale du projet.
2.1. Equipement´ d’un ensemble minier. L’equipement´ d’un ensemble minier comporte les tachesˆ suivantes dont la duree´ est exprimee´ en trimestres.
| No | tacheˆ | duree´ | prealables´ |
| 1 | Commande d’une piste | 6 | - |
| 2 | Construction d’un port provisoire | 3 | - |
| 3 | Commande de materiel´ portuaire | 2 | - |
| 4 | Pose d’une voie ferree´ | 4 | 2 |
| 5 | Construction d’une cite´ administrative | 7 | 2 |
| 6 | Construction du port definitif´ | 2 | 2 |
| 7 | Construction de l’installation miniere` | 4 | 1 et 4 |
| 8 | Equipement portuaire definitif´ | 3 | 3 et 6 |
(a) Construire le graphe relatif a` la methode´ du potentiel.
(b) Calculer les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ les dates de deb´ ut au plus tard. Determiner´ le chemin critique.
(c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tacheˆ 7 ne commence pas avant 8 trimestres ? Recalculez les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ les dates de deb´ ut au plus tard.
(d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tacheˆ 8 ne commence pas apres` 4 trimestres ? Dites si le probleme` reste soluble.
2.2. Constructiond’unbatiment.ˆ Considerons´ lesdifferentes´ tachesˆ a` effectuer pour construire un batiment.ˆ Elles sont reprises ci-dessous.
| No | tacheˆ | duree´ | prealables´ |
| 1 | fondations | 6 | - |
| 2 | murs | 10 | 1 |
| 3 | plomberie interieure´ | 5 | 2 |
| 4 | electricit´ e´ | 7 | 2 |
| 5 | toit | 6 | 2 |
| 6 | plomberie exterieure´ | 4 | 5 |
| 7 | menuiserie | 8 | 3 et 4 |
| 8 | sols | 4 | 7 |
| 9 | peinture interieure´ | 5 | 7 |
| 10 | finitions interieures´ | 6 | 8 et 9 |
| 11 | peinture exterieure´ | 9 | 6 |
| 12 | finitions exterieures´ | 2 | 11 |
(a) Tracez le graphe relatif a` la methode´ du potentiel.
(b) Calculez les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ les marges et determinez´ le(s) chemin(s) critique(s).
(c) Lestachesˆ 9(peintureinterieure)´ et11(peintureexterieure)´ doiventetreˆ disjointes car effectuees´ par les memesˆ ouvriers. Comment resoudre´ cette disjonction ? La date de fin des travaux est-elle affectee´ ?
2.3. Installation d’une cafet´ eria.´ Une societ´ e´ a decid´ e´ afin d’augmenter la motivation de son personnel de remplacer la cantine actuelle par une cafet´ eria´ beaucoup plus moderne. Le departement´ travaux a dresse´ la liste suivante des tachesˆ a` effectuer avec une estimation de leurs durees´ et de leur sequencement.´
| Code | Tacheˆ | Duree´ | Prealables´ | Personnel |
| (semaines) | requis | |||
| A | Achat des materiaux´ de construction | 12 | - | 3 |
| B | Achat des equipements´ de la cafet´ eria´ | 3 | - | 2 |
| C | Intervention de l’architecte d’interieur´ | 2 | - | 1 |
| D | Nettoyage du site | 3 | - | 3 |
| E | Finalisation des plans | 8 | C et D | 1 |
| F | Preparation´ du site pour la construction | 3 | E | 2 |
| G | Construction de la cafet´ eria´ | 2 | A et F | 5 |
| H | Installation des sanitaires | 4 | G | 2 |
| I | Installation des equipements´ de cuisine | 4 | B et H | 2 |
| J | Peinture | 2 | B et H | 2 |
| K | Constitution du stock de la cafet´ eria´ | 4 | I et J | 1 |
| L | Embauche du personnel de la cafet´ eria´ | 8 | - | 2 |
| M | Entraˆ?nement du personnel | 2 | I et L | 3 |
Tableau 2.7: Construction d’une cafetaria´
(a) Classer les tachesˆ par niveaux.
(b) Construirelegraphedelamethode´ PERTcorrespondanta` ceprobleme.`
(c) Determiner´ , sur le graphe de la sous-question 8b), le temps minimum (en semaines) necessaire´ a` la realisation´ du projet.
(d) Donner dans un tableau, pour chaque tache,ˆ sa date de deb´ ut au plus tot,ˆ sa marge totale et sa date de deb´ ut au plus tard.
(e) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.`
(f) Tracez le diagramme de Gantt correspondant au principe d’economie´ .
(g) Tracer le diagramme donnant la charge (exprimee´ en nombre de personnes).
(h) L’entreprise dispose au maximum de 6 personnes a` affecter a` ce projet. Le projet peut-il etreˆ realis´ e´ dans le delai´ minimum determin´ e´ en c) ? Si oui, indiquez comment on peut le faire.
(i) L’entreprise apprend la demission´ d’une des 6 personnes. Le projet peut-il etreˆ realis´ e´ dans le delai´ minimum determin´ e´ en c) en utilisant au maximum 5 personnes ? Justifier votre reponse´
2.4. Construction d’un hangar. Le maˆ?tre d’ouvrage d’une construction vient de faire l’inventaire, aupres` des artisans, des tachesˆ qui conduisent a` la realisation´ d’un hangar. Elle sont reprises dans le tableau ci-dessous avec la liste de leurs prealables.´
| Tacheˆ | Duree´ | Necessite´ la fin de |
| A | 4 | C,G,L |
| B | 4 | - |
| C | 5 | B,H |
| D | 4 | B |
| E | 16 | B,G,L |
| F | 7 | A,D |
| G | 2 | D |
| H | 3 | B |
| I | 3 | J |
| J | 3 | G,L |
| K | 3 | A,F,I |
| L | 2 | B,C,H |
On vous demande de concevoir la planification du projet de construction du hangar, l’objectif etant´ de construire le hangar le plus vite possible. Pour cela, on vous demande de realiser´ les operations´ suivantes :
(a) Classer les tachesˆ par niveaux.
(b) Utiliser le classement des tachesˆ par niveaux pour construire le graphe de la methode´ des potentiels representant´ la realisation´ de cet ouvrage.
(c) Sur ce graphe, de determiner´ les dates de deb´ uts au plus totˆ et au plus tard des differentes´ taches.ˆ
(d) Calculer, pour chaquetache,ˆ la marges totale, la marge libre et la marge independante.´
(e) Donner le chemin critique.
2.5. Lancement d’un nouveau produit. Une entreprise decide´ de commercialiser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaˆ?tre les tachesˆ reprises au tableau 2.8 avec leur duree´ (en semaines) et leurs prealables.´
(a) Tracer le graphe correspondant a` la methode´ PERT.
(b) Calculez les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ au plus tard, les marges et le chemin critique.
(c) L’entreprise voudrait reduire´ la duree´ totale d’execution´ des travaux. Pour cela, il est possible de reduire´ la duree´ des tachesˆ 5 et 11 de une ou deux semaines au prix d’un coutˆ supplementaire´ de 100 000 EURO par semaine de reduction´ pour la tacheˆ 5 et de 200 000 EURO par semaine pour la tacheˆ 11. De combien peut-on reduire´ la duree´ totale des travaux et a` quel coutˆ ?
| No | tacheˆ | duree´ | prealables´ |
| 1 | Selection´ des equipements´ | 1 | - |
| 2 | Choix de la methode´ de production | 2 | 1 |
| 3 | Procedures´ de controleˆ de qualite´ | 2 | 2 |
| 4 | Choix des matieres` premieres` | 2 | 1 |
| 5 | Reception´ des equipements´ | 7 | 1 |
| 6 | Commande des matieres` premieres` | 1 | 4 |
| 7 | Reception´ des matieres` premieres` | 3 | 6 |
| 8 | Essais de production | 2 | 5,3 et 7 |
| 9 | Premiere` fourniture aux magasins | 6 | 8 et 11 |
| 10 | Conception du conditionnement | 4 | 1 |
| 11 | Production du conditionnement | 5 | 10 |
| 12 | Reunion´ des vendeurs | 1 | 11 |
| 13 | Formation des vendeurs | 1 | 12 |
Tableau 2.8: Lancement d’un nouveau produit
2.6. Construction d’une maison. Une societ´ e´ de promotion immobiliere` souhaite realiser´ au plus vite la construction d’une maison individuelle. Les prealables´ et les durees´ des differentes´ taches,ˆ ev´ aluees´ en semaines, sont repris au tableau 2.9.
(a) Construirelegraphedelamethode´ PERTcorrespondanta` ceprobleme.`
(b) Determiner´ , sur le graphe de la question a), le temps minimum (en semaines) necessaire´ a` la realisation´ de la maison.
| Code | Tacheˆ | Anteriorit´ e´ | Duree´ |
| 1 | Excavation | - | 2 |
| 2 | Fondations | 1 | 4 |
| 3 | Murs porteurs | 2 | 10 |
| 4 | Couverture | 3 | 6 |
| 5 | Plomberie exterieure´ | 3 | 4 |
| 6 | Electricite´ | 3 | 7 |
| 7 | Lambris exterieur´ | 4 | 7 |
| 8 | Peinture exterieure´ | 5,7 | 9 |
| 9 | Plomberie interieure´ | 5 | 5 |
| 10 | Platreˆ  | 9,6 | 8 |
| 11 | Revetementˆ de sol | 10 | 4 |
| 12 | Peinture interieure´ | 10 | 5 |
| 13 | Finitions exterieures´ | 8 | 2 |
| 14 | Finitions interieures´ | 11,12 | 6 |
Tableau 2.9: Construction d’une maison
(c) Calculer, pour chaque tache,ˆ la date de deb´ ut au plus tot,ˆ la marge et la date de deb´ ut au plus tard.
(d) Determiner´ le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.`
(e) La direction de l’entreprise, inquiete` du delai´ de realisation´ de la maison, voudraitreduire´ celui-cide2semaines. Onpeutagirsurlestachesˆ reprises au tableau 2.10.
| Tacheˆ | Reduction´ de duree´ possible | Surcoutˆ par semaine |
| 4 | 1 ou 2 semaines | 300 |
| 5 | 1 ou 2 semaines | 800 |
| 11 | 1 ou 2 semaines | 500 |
| 12 | 1 ou 2 semaines | 400 |
Tableau 2.10: Reduction´ de la duree´ des tachesˆ
Que proposez-vous comme actions afin de reduire´ la duree´ du projet de deux semaines a` coutˆ minimum ?
2.7. Cas de contraintes cumulatives. On veut executer´ 7 tachesˆ soumises aux contraintes de succession indiquees´ dans le tableau 2.11.
| No | prealables´ | duree´ | Main d’oeuvre |
| 1 | - | 6 | 3 |
| 2 | - | 3 | 2 |
| 3 | - | 6 | 1 |
| 4 | 2 | 2 | 1 |
| 5 | 2 | 4 | 3 |
| 6 | 4 et 1 | 3 | 3 |
| 7 | 3, 5 et 6 | 1 | 2 |
Tableau 2.11: Cas de contraintes cumulatives.
(a) Calculer les dates de deb´ ut au plus totˆ et au plus tard et determiner´ le chemin critique par la methode´ des potentiels.
(b) Presenter´ les resultats´ prec´ edents´ en tracant¸ un diagramme a` barres. Tracer aussi la courbe de charge donnant l’ev´ olution de la demande en main d’œuvreen fonctiondu temps. L’effectif permanentde 5 ouvriers est-il suffisant ?
(c) On envisage l’embauche de travailleurs temporaires. Comment limiter a` 4 semaines l’embauche de la main d’œuvre supplementaire´ sans allonger la duree´ totale d’execution´ des travaux ?
(d) Si on renonce a` embaucher des travailleurs temporaires, de combien faut-ilallongerladuree´ destravauxpourrespecterlacontraintedemain d’œuvre ?
(e) Onreprendleprobleme` delapremiere` question. Enplusdescontraintes initiales, on veut que la tacheˆ 7 ne commence pas apres` 8 semaines. Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte ? Que pensez-vous de cette nouvelle exigence ?
2.8. Construction d’une piscine. Une societ´ e´ a recu¸ la maˆ?trise de la construction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Les durees´ des differentes´ taches,ˆ ev´ aluees´ en jours sont reprises au tableau 2.12. Les travaux deb´ utent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte 20 jours ouvrables.
(a) L’inauguration peut-elle avoir lieu comme prevu´ le 15 juin ?
| Code | Tacheˆ | Anteriorit´ e´ | Duree´ |
| A | Excavation | - | 5 |
| B | Fondations | A | 2 |
| C | Pose canalisations | B | 4 |
| D | Essai en pression | C,G | 8 |
| E | Etanch´ eit´ e´ | D | 9 |
| F | Mise en place de la station d’epuration´ | A | 6 |
| G | Mise en place du chauffage | F | 5 |
| H | Raccordement electricit´ e´ | G | 4 |
| I | Sonorisation sous-marine | H | 5 |
| J | Dallage | E,I | 6 |
| K | Construction vestiaires | J | 8 |
| L | Construction du solarium | J | 2 |
| M | Mise en eau | K, L | 3 |
Tableau 2.12: Construction d’une piscine.
(b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d’incidents techniques, cette operation´ durera 6 jours de plus que prevu.´ Sans recommencer le diagramme, determinez´ si cela influencera le delai´ final.
(c) La direction du campus, inquiete` quant au respect des delais,´ propose de se passer de la sonorisation sous-marine. Qu’en pensez-vous ?
2.9. Ordonnancementde projets. Un projet est constitue´ des tachesˆ 0, 1, 2, 3 et 4. La tacheˆ 0 n’a pas de pred´ ecesseur´ et dure 2 semaines. La tacheˆ 1 succede` directement a` la tacheˆ 0 et dure 5 semaines. La tacheˆ 2 succede` directement a` la tacheˆ 1 mais ne peut pas commencer avant la 10eme` semaine. Elle dure 5 semaines. La tacheˆ 3 succede` directement a` la tacheˆ 2 et dure 3 semaines. La tacheˆ 4 succede` directement aux tachesˆ 2 et 3 mais doit commencer au plus tard 7 semaines apres` le deb´ ut de la tacheˆ 2. Elle dure 2 semaines.
(a) Dessinez le graphique associant les tachesˆ aux sommets.
(b) Ce projet est-il realisable´ ? Justifiez briev` ement.
(c) Vous avez la possibilite´ d’allonger ou de reduire´ la duree´ des tachesˆ 1 et/ou 2 de une ou deux semaines, a` un coutˆ additionnel de 500 euro la semaine et par tache.ˆ Et aussi d’allonger ou de reduire´ la duree´ des tachesˆ 3 et/ou 4 de une ou deux semaines, a` un coutˆ additionnel de 1000 euro la semaine et par tache.ˆ Quelle solution proposez-vous afin de realiser´ le projet a` un coutˆ minimum ?
(d) Quelle est alors la duree´ totale du projet ?
(e) Quelle(s) activite(s)´ n’appartiennent pas au chemin critique ?
2.10. Installation d’un systeme` de depollution´ de l’air. Pour l’exercice 1.1,
(a) Classer ces tachesˆ par niveaux.
(b) Construire le graphe de la methode´ potentiel.
(c) Determiner´ sur ce graphe le temps minimum de realisation´ du projet.
(d) Calculer les date de deb´ ut au plus tot,ˆ au plus tard et les marges.
(e) Determiner´ le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probleme.`
(f) La direction de l’entreprise voudrait reduire´ celui-ci de 2 semaines a` coutˆ minimum. On peut agir sur les tachesˆ suivantes :
| Tacheˆ | Reduction´ de duree´ possible | Surcoutˆ par semaine |
| D | 1 ou 2 semaines | 300 |
| E | 1 ou 2 semaines | 400 |
| F | 1 ou 2 semaines | 500 |
| G | 1 ou 2 semaines | 800 |
Que proposez-vous comme actions ? Quel est le coutˆ correspondant ?
Quel(s) est (sont) maintenant le(s) chemin(s) critique(s) ?
Chapitre 3
L’analyse du projet porte sur la definition´ du projet et se traduit concretement` par une liste de tachesˆ avec leurs contraintes (anteriorit´ e,´ disjonctives, cumulatives).
La demarche´ souvent utilisee´ pour des projets de grande envergure consiste a` analyser le projet de manier` e hierar´ chique. Souvent, on definit´ eg´ alement, que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet. Nous verrons ensuite l’analyse du contenu precis´ des tachesˆ et de leur relations d’anteriorit´ e.´ Remarquez que ce travail de definition´ du projet peut representer´ la moitie´ du temps de travail des gestionnaires du projet.
L’analyse d’un projet de type non rep´ etitif´ d’une certaine envergure conduit a` adopter une approche hierar´ chique de definition´ des tachesˆ a` executer´ . On va progressivement decomposer´ les tachesˆ en des sous-tachesˆ pour atteindre un plus grand niveau de detail.´ Le resultat´ de cette analyse est un organigramme technique tel que celui illustre´ a` la figure 3.1.
Le principe est le suivant. A un niveau de detail´ k, on dispose de nk taches.ˆ Pour passer au niveau de detail´ inferieur´ k + 1, on examine chaque tacheˆ qui peut etreˆ decompos´ ee´ en un ensemble de sous-tachesˆ dont la reunion´ redonne la tacheˆ du niveau superieur´ . Ceci conduit a` un accroissement du nombre de tachesˆ avec le niveau, autrement dit :
nk+1 > nk
Remarquez qu’a` ce niveau, on ne donne aucune information sur les relations d’anteriorit´ e´ entre tacˆ hes. Ainsi dans l’organigramme de la figure 3.1, les fleches`
57
Figure 3.1: Organigramme technique : top-down.
representent´ des relations d’inclusion et non des relations d’anteriorit´ e.´
Le nombre de niveaux peut aller jusqu’a` 6 dans les tres` gros projets. Gen´ era-´ lement, on attribue un nom pour designer´ les tachesˆ d’un memeˆ niveau. Ainsi :
• le niveau 1 correspond au programme,
• le niveau 2 correspond au projet,
• le niveau 3 correspond a` la tacˆ he,
• le niveau 4 correspond a` la sous-tacˆ he,
• le niveau 5 correspond au lot de travaux,
• le niveau 6 correspond au travail el´ ementair´ e.
Quelques regles` de bonne pratique sont a` retenir dans l’etablissement´ de cet organigramme technique :
• Les tachesˆ du dernier niveau ne doivent pas etrˆ e trop nombreuses : on se limite gen´ eralement´ a` une centaine pour un projet. Le cabinet Arthur D. Little a ainsi pu montrer pour les programmes de la Defense´ aux Etats-Unis´ que l’exces` de detail´ est un facteur accroissant le risque d’echec.´
• Les tachesˆ ne doivent pas etreˆ d’importancetrop inegale´ que ce soit en terme du duree´ ou de consommation de ressources.
• Les tachesˆ doivent etreˆ suffisamment homogenes` pour les traiter comme un centre de coutˆ different´ : ainsi il doit y avoir unicite´ de responsabilite.´
La technique que nous venons de presenter´ est appelee,´ pour une raison evidente,´ demar´ che descendante (ou top-down). On peut imaginer la demarche´ inverse d’agreg´ ations successives qui est qualifiee´ de demar´ che ascendante (ou bottomup). Cette demarche´ est illustree´ par le second organigramme (voir figure 3.2) ou` l’on est parti des memesˆ tachesˆ de niveau 3 mais ou` les regroupements de niveau 2 et de niveau 1 sont differents.´
Figure 3.2: Organigramme technique : bottom-up.
On peut imaginer que dans la premiere` organisation (voir figure 3.1), on a privilegi´ e´ la dimension technique tandis que dans la deuxieme` organisation (voir figure 3.2), on a privilegi´ e´ la dimension organisationnelle (par exemple, la tacheˆ 1’ correspond a` un sous-traitant, la tacheˆ 2’ au maˆ?tre d’œuvre.
Les tachesˆ du projet, definies´ pour un niveau donne,´ se caracterisent´ par des relations d’anteriorit´ e´ qui conduisent a` un graphe Potentiel-Tacˆ hes pour ce niveau. Il y aura donc autant de graphes que de niveaux retenus par l’organigramme technique. On illustre a` la figure 3.3 l’effet de zoom que l’on a en passant d’un niveau au niveau superieur´ et montre que la transformationdes relations d’anteriorit´ e´ peut s’averer´ fort complexe en passant d’un niveau a` l’autre.
Remarquez que si l’approche hierarchique´ (ou desagr´ eg´ ative) des projets complexes est preconis´ ee´ pour des raisons d’efficacite,´ du point de vue de l’ordonnancement il n’y a pas equi´ valence entre les differents´ niveau. En effet, on peut montrer que
• si dans la definition´ du projet consider´ e´ comme un ensemble de sousprojets, on a une mauvaise definition´ des recouvrements possibles, l’approche hierarchis´ ee´ conduit a` un allongement de la duree´ d’execution´ du projet. La difficulte´ reside´ evidemment´ dans le fait qu’une bonne definition´ des recouvrements possibles necessite´ de repartir de la definition´ detaill´ ee´
(le niveau le plus bas que l’on cherche justement a` eviter).´
Niveau 2
• l’approche hierarchique´ conduit a` rendre inutilement critiques certaines tacˆ hes. Pour eviter´ cet effet pervers, il faut eg´ alement repartir de l’analyse du niveau de detail´ le plus fin.
Lesphasesduprojetcorrespondenta` desgroupeshomogenes` detachesˆ s’achevant parunjalonou` labonnefind’unensembledetachesˆ estattestee.´ Nousallonsdefinir´ les principales phases concernant :
• les cas de fabrication d’un equipement´ ou d’un ouvrage,
• le cas de la fabrication en serie´ ,
Nous dirons ensuite un mot de l’ingenierie´ concourante dont le but est de lutter contre les effets nef´ astes de la division du projet en phases ainsi que des problemes` specifiques´ lies´ a` la gestion simultanee´ de plusieurs projets.
Dansle casde la fabricationd’unequipement´ ou d’unouvrage, on distingue gen´ eralement´ les phases suivantes :
• L’avant-projet est une etude´ sommaire de l’ouvrage envisage´ permettant d’en definir´ les principales caracteristiques.´ Son but est de pouvoir prendre la decision´ de poursuivre ou abandonner le projet.
• La seconde phase est la reponse´ a` l’appel d’offre consiste a` elaborer´ de maniere` detaill´ ee´ l’offre que l’entreprise va faire. Les moyens consacres´ a` cette phase sont limites´ vu les risques gen´ eralement´ importants de ne pas obtenir le contrat.
• En cas de succes,` on passe alors a` la phase de lancement du projet ou` l’organisation est definie.´
• On passe alors a` l’etape´ suivi du projet afin de verifier´ que l’on respecte bien les objectifs de delai´ et de cout.ˆ
• Enfin vient la phase de fin des travaux qui passe gen´ eralement´ par trois receptions´ :
– L’etape´ d’acceptation mecanique´ constatant la fin des travaux a` l’exception de certaines finitions. On procede` alors a` la mise en route, phase durant laquelle on procede` aux essais des fluides (air, eau, ) qui prec´ ede` l’etape´ de declaration´ de l’ouvrage en ordre de marche.
– Lareception´ provisoireestunacteleg´ almaterialis´ e´ parunproces` verbal constatant de maniere` contradictoire avec le client que l’ouvrage peut etreˆ accepte´ par le client car repondant´ aux obligations contractuelles du maˆ?tre d’ouvrage. Deb´ ute alors le delai´ de garantie.
– La reception´ definitive´ a lieu au bout du delai´ de garantie et deg´ age definiti´ vement la responsabilite´ du fournisseur.
Dans le cas de la fabrication en serie´ , on distingue gen´ eralement´ les phases suivantes :
• La constructiond’unprototypequi est un produittechniquementidentique au produit en serie´ mais realis´ e´ seulement en quelques exemplaires avec des ressources (machines, operateurs)´ differentes´ de celles qui seront utilisees´ pour le produit en serie.´ L’objectif est de tester si les fonctionnalites´ du produit repondent´ bien a` l’utilisation envisagee.´ Ceci permet de remedier´ a` certaines imperfections du produit constatees´ a` cette etape.´
• La pres´ erie´ est un produit identique a` celui qui sera produit en serie,´ realis´ e´ en quelquesunites´ maiscettefois-cia` l’aidede ressourcesidentiquesa` celles qui seront utilisees´ en serie.´ Le but est cette fois-ci de tester le processus de production. Ce qui peut amener a` modifier le produit ou le processus de production si certains problemes` de fabrication sont constates´ a` cette etape.´
• Vient alors la phase d’industrialisation du produit qui consiste a` lancer la production en serie.´
• Elleest suivie par la phaseproductionproprementditequi consisteproduire le produit a` un haut niveau.
Le but de l’ingenierie´ concourante a pour but de lutter contre les effets nuisibles du decoupa´ ge enphasesduprojet. Eneffet, ledecoupage´ enphasesconduita` associer a` chaque phase un ensemble de tachesˆ n’appartenant qu’a` une seule phase. Ceci a pour effet de rendre autonomes les tachesˆ appartenant a` differentes´ phases et peut conduire a` :
• des travaux additionnels lies´ a` un manque de coordination technique,
• des durees´ d’execution´ inutilement longues.
Pour remedier´ a` cela, on utilise les techniques d’ingenierie´ concourante qui consiste a` une integr´ ation systematique´ des activites´ de conception des produits et de conception de leurs gammes de fabrication et de maintenance durant leur duree´ de vie. Ceci a pour effet, non seulement d’ameliorer´ la qualite´ des produits mais aussi de diminuer leur delai´ et leur cout.ˆ
Dans l’approche sequentielle´ classique (voir figure 3.4), les phases d’analyse des besoins, de definition´ du produit, de definition´ du processusde fabricationet de fabrication du prototype se succedent.` La solution optimale d’une phase devient une contrainte pour la phase suivante, ce qui conduit le plus souvent a` une solution globalement sous-optimale.
Analyse des Définition du Définition du processus Fabrication du besoins produit de fabrication prototype
Figure 3.4: Approche sequentielle´ classique.
Dans la realit´ e,´ on a tout inter´ etˆ a` accepter un recouvrement important de ces phases pour avoir une retroaction´ permanente de la phase aval pour discuter des repercutions´ sur la phase aval des decisions´ prises par la phase amont. Ce processus s’appelle overlapping problem solving et est illustre´ par la figure 3.5.
Dans la pratique, souvent les entreprises ont a` gerer´ simultanement´ plusieurs gros projets, par exemple, la construction simultanee´ de plusieurs navires dans un chantier naval. Le partage de certains equipements´ techniques conduit a` une certaine interdependance´ des projets. Trois approches sont utiles dans la pratique pour resoudr´ e les conflits ainsi gen´ er´ es´ :
Figure 3.5: Overlapping problem solving.
• La premier` e approche consiste a` classer les projets et a` programmer chaque projet dans cet ordre en tenant compte des ressources residuelles´ laissees´ par les projets anterieur´ ement programmes.´ C’est ce qui se passe dans la plupart des entreprises. Lors de l’arrivee´ de nouveaux projets, on considere` que les ressources affectees´ aux projets dej´ a` en cours ne peuvent pas etreˆ remises en cause.
• La deuxieme` approche consiste periodiquement,´ lors de l’introduction d’un nouveauprojet, a` proceder´ a` unereallocation´ desressourcesentrelesprojets. Onanalyseraainsil’inter´ etˆ detransfer´ erdesressourcesd’unprojeta` l’autre.
• La troisieme` approche consiste a` considerer´ le probleme` d’ordonnancement comme un probleme` global dont on cherche une solution tenant compte des contraintes cumulatives.
Il faut cependant veiller a` ne pas remettre en cause sans cesse l’allocation des ressources car cette instabilite´ peut perturber le fonctionnement des projets.
Afin de proceder´ a` l’ordonnancement vu au chapitre 2, il convient de donner une description precise´ de chaque tacheˆ et d’identifier les relations entre tachesˆ .
Nousavonsvuauchapitre2, quetroiscategories´ derelationentretachesˆ peuvent etreˆ rencontrees´ :
1. les contraintes d’anteriorit´ e´ qui disent qu’une tacheˆ ne peut commencer avant la fin d’une autre. Ces contraintes sont cependant a` nuancer dans le cas d’un recouvrement partiel possible entre tacˆ hes,
2. les contraintes de localisation temporelle qui disent qu’une tacheˆ ne peut commenceravant une date donnee´ ou ne peut deb´ uter apres` une date donnee.´ Ces contraintes se compliquent s’il s’agit d’interdire l’execution´ de la tacˆ he durant une periode´ donnee´ ,
3. les contraintes disjonctives qui disent que deux tachesˆ ne peuvent etreˆ exe-´ cutees´ en memeˆ temps car faisant appel a` la memeˆ ressource,
4. les contraintes cumulatives qui tiennent compte du partage d’une ressource entre plusieurs taches.ˆ
Nous allons maintenant dire un mot des contraintes genantesˆ non prises en compte dans les logiciels :
• La relation ”ou”. Jusqu’a` present,´ dans le cas de plusieurs ancetresˆ (par exemple A et B sont ancetresˆ de C), nous avons indique´ qu’il fallait que tous les ancetrˆ es soient finis avant de deb´ uter la tacheˆ suivante (C ne peut commencer que si A et B sont finies). Il arrive parfois qu’il suffise que A ou B soit terminee´ pour commencer C (si par exemple, C est une tacheˆ de controleˆ qui peut commencer des` qu’une des deux tachesˆ est finie). La solution simple a` appliquer dans ce cas est de dire que le descendant peut commencer au plus totˆ apres` la date maximum des deux suivantes :
– la date la plus tardive des dates de fin au plus totˆ des ancetresˆ avec lesquels le descendant est lie´ par une relation et (comme avant);
– la date la plus precoce´ de fin au plus totˆ des ancetresˆ avec lesquels le descendant est lie´ par une relation ou.
Le probleme` se complique fortement si l’on passe d’une contrainte du type achev` ement prealable´ d’un ancetreˆ a` achevement` prealable´ dek ancetrˆ es parmi une liste den ancetrˆ es avec bien surˆ k < n.
Il est a` remarquer que la prise en compte de relations du type ou n’etant´ pas prise en compte par les logiciels d’ordonnancement, cela oblige a` certaines acrobaties : il faut faire appel a` un recouvrement correctement calcule´ pour les tachesˆ a` neutraliser.
• Le probleme` des gammes alternatives est celui qui resulte´ du choix possibles entre deux methodes´ de production, ce qui conduit a` faire un ou exclusif non pas entre deux tachesˆ mais entre deux groupes de tachesˆ , ce qui conduit a` considerer´ deux chemins alternatifs dans le graphe comme le montre la figure 3.6 ou` l’on a le choix pour passer de l’activite´ A a` l’activite´
A
Figure 3.6: Gammes alternatives.
F a` passer par les activites´ B et D, soit par les activites´ C et E, le choix final s’effectuant sur base de la minimisation de la duree´ du projet.
A nouveau les logiciels ne permettent pas de tenir compte d’une telle contrainte et il convient de construire deux graphes reprenant separ´ ement´ les deux alternatives en conservant celle de temps minimum.
• Les contraintes de temporisation maximale entre deux tachesˆ indiquent que la tacheˆ qui suit ne peut commencer apres` un certain temps maximum apres` la fin de l’ancetre.ˆ C’est le cas, par exemple, si on doit lisser une dalle de beton´ avant qu’elle ne soit completement` seche.` Ce type de contrainte, facile a` integrer´ dans le calcul de l’ordonnancement au plus totˆ ou au plus tard, n’est eg´ alement pas pris en compte dans les logiciels.
Terminons en disant un mot des formulations alternatives des contraintes de recouvrement. Le chevauchement ou recouvrement entre deux tachesˆ i et j telles que i est l’ancetreˆ de j consiste a` pouvoir deb´ uter j avant que i ne soit achevee.´ Ce cas se rencontre lorsque l’analyse plus fine de la tacheˆ i conduit a` un des des cas de figures suivants :
• La tacheˆ i est composee´ de tacˆ hes el´ ementair´ es differ´ entes, les dernieres` n’etant´ pas requises pour que j puisse deb´ uter.
• La tacheˆ i et la tacheˆ j sont composees´ de tachesˆ el´ ementaires´ execut´ ees´ a` la suite les unes des autres qui ont et´ e´ regroupees´ en deux tachesˆ dans la logique de proceder´ par lot. La relation d’anteriorit´ e´ n’a vraiment de sens qu’entre une tacheˆ el´ ementaire´ de i et une tacheˆ el´ ementaire´ de j et, bien surˆ , le regroupement en deux lots a` pour effet d’augmenter artificiellement le temps du projet.
Vincent GIARD [2] remarque qu’il existe quatre possibilites´ de definir´ une relation d’anteriorit´ e´ entre deux tachesˆ et donc autant de facon¸ de definir´ le recouvrement. Nous reprenons ci-dessous uniquement la relation initiale qui est une relation entre le deb´ ut de l’ancetreˆ et le deb´ ut du descendant. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.7 ou` la tacheˆ i de duree´ 7 jours prec´ ede` la tacheˆ j de duree´ 5 jours. Il y a un recouvrement possible de 3 jours. Le parametre` d donne le decalage´ positif
entre la date de deb´ ut de l’ancetreˆ et celle de deb´ ut du successeur :
ti + 4 ? tj
Ce parametre` se calcule comme la duree´ de la tacˆ he prealable´ moins la duree´ du recouvrement possible.
Figure 3.8: Recouvrement : mise en œuvre
Pratiquement, on peut utiliser une des deux methodes´ suivantes pour tenir compte d’un recouvrement :
• Casdelamethode´ Potentiel. Soit,onindiquelarelationdeb´ ut-deb´ utrappelee´ ci-dessous :
ti + 4 ? tj
Dans ce cas, il ne faut pas oublier de terminer la tacheˆ i avant la fin du projet.
• Cas de la methode´ PERT. Soit on decoupe´ la tacheˆ prealable´ i en deux sous-tachesˆ i1 et i2. La premiere` correspondra a` la partie non commune des deux taches,ˆ soit 7 - 3 = 4 jours, tandis que la seconde correspondra a` la partie commune des deux tachesˆ soit 3 jours. On indiquera les relations d’anteriorit´ e´ : i1 avant i2 et avant j.
Chaque tacheˆ est identifiee´ par le roleˆ qu’elle a a` jouer dans la bonne fin du projet, parundeb´ utetunefinbienidentifiee,´ etparlefaitqu’elleconsommedesressources disponibles en quantite´ limitee´ .
Disons un mot des hypotheses` restrictives du modele` classique.
• Dans le modele` classique d’ordonnancement au chapitre 2, on suppose que la duree´ de la tacheˆ , definie´ comme l’intervalle de temps separant´ son deb´ ut d’execution´ de sa fin d’execution,´ comme invariante. Nous avons dej´ a` indique´ plus haut que cette hypothese` n’est pas toujours verifi´ ee.´ Si le temps total de realisation´ du projet est trop long, on peut raccourcir la duree´ de certaines tachesˆ critiques, moyennant un surcout.ˆ
Le nouveau probleme` pose´ est de trouver la combinaison d’actions a` entreprendre pour atteindre au moindre coutˆ , la diminution voulue de la duree´ du projet.
• Dans le modele` classique, la duree´ d’une tacheˆ et le niveau d’utilisation des ressources sont constants. Ce interdit donc de considerer´ les cas suivants :
– le cas de la cesur´ e d’une tacˆ he, c’est-a-dire` le fait de pouvoir interrompre et reprendre plus tard l’execution´ d’une tache,ˆ
– le cas de l’etir´ ementd’unetacˆ he, c’est-a-dire` le fait de pouvoir allonger la duree´ d’une tache.ˆ En effet, dans la plupart des cas, ce qui est important pour executer´ une tacheˆ ce n’est pas sa duree´ mais c’est le travail a` executer´ . La duree´ dependra´ alors de la quantite´ de ressource miseenœuvre(ainsiunetacheˆ demandant15journees´ detravailpourra etreˆ execut´ ee´ en 15 jours avec un ouvrier ou en 5 jours avec trois ouvriers).
– l’utilisation des ressources est constante dans le modele` classique ce qui exclut, par exemple, d’utiliser un ouvrier durant cinq jours puis deux ouvriers durant les cinq jours suivants.
• Enfin, dans le modele` classique, on considere` que la duree´ des tachesˆ est certaine. Le rejet de cette hypothese` conduit a` remplacer la duree´ certaine des tachesˆ par une duree´ aleatoire´ des taches.ˆ Nous reviendrons a` ce probleme` dans le chapitre 5 consacre´ a` la gestion du risque.
Tout projet gen´ ere` des depenses´ ainsi que, pour certains d’entre eux, des recettes. Pour des projets internes comme le lancement d’un nouveau produit, il importe de faire l’analyse de ces flux de tresorerie´ sur une periode´ assez longue, de pref´ erence´ sur une periode´ allant de la conception du produit a` son retrait du marche.´ Ceci va nous amener a` considerer´ la duree´ de vie des produits.
En marketing, on considere` classiquement une courbe de cycle de vie d’un produit commeunecourbedonnantenfonctiondutempsl’ev´ olutiondesventesduproduit. On distingue gen´ eralement´ quatre phases :
• le lancement du produit
• la phase de croissance rapide,
• la maturite´ du produit,
• le declin´ du produit.
Nous allons maintenant voir les consequences´ financieres` de la notion de cycle de vie du produit. Les coutsˆ du cycle de vie d’un produit correspondent a` l’ensemble des charges que devra supporter l’entreprise sur la duree´ de vie du produit :
• les coutsˆ de recherche et developpement´ lies´ au dev´ eloppement du nouveau produit,
• les coutsˆ d’acquisition de ressources de production telle que l’achat des machines, la formation du personnel, etc
• les coutsˆ de production lies´ a` la fabrication du produit
• les coutsˆ du service apres-vente` comme la gestion du stock de pieces` deta-´ ches,´ l’assistance, la documentation technique,
• les coutsˆ de retrait du produit comme la purge des stocks.
Il y aura un arbitrage a` faire entre ces differ´ ents coutsˆ . En effet, une diminution des coutsˆ de recherche et dev´ eloppement peut se traduire, par exemple, par un accroissement des coutsˆ de production ou des coutsˆ d’apres-v` ente.
Il est important de faire la distinction entre les coutsˆ engages´ et les coutsˆ decaiss´ es´ . Comme l’illustre la figure 3.9, avant memeˆ la phase de production plus de 80 % des coutsˆ du cycle de vie sont engages´ contre seulement 20 % des coutsˆ decaiss´ es.´ C’est donc essentiellement au cours de la phase de recherche et dev´ eloppement que des gains substantiels de coutsˆ peuvent etreˆ deg´ ages.´
Recherche et Industrialisation Production temps développement
Figure 3.9: Cycle des coutsˆ engages´ et decaiss´ es.´
Il convient donc de passer d’une logique purement comptable de controleˆ des coutsˆ decaiss´ es´ a` unelogiquedeconceptiona` coutˆ objectif,c’esta` direa` demander aux ingenieurs´ des bureaux d’etude´ de definir´ des produits et des processus de fabrication sur base non seulement des specifications´ fonctionnelles du produit mais aussi en ayant en vue les futurs coutsˆ de production du produit.
Comme on peut le remarquer a` la figure 3.10, les flux nets de tresorerie´ seront negatifs´ durant la phase de dev´ eloppement et d’industrialisation du produit pour devenir largement positifs lors de la phase de production. C’est le decalage´ classique entre le coutˆ d’investissement les ben´ efices´ futurs attendus de l’investissement.
Figure 3.10: Flux nets de tresorerie´
Le dossier d’investissement s’accompagne d’une etude´ economique´ chiffree´ de-´ crivant les consequences´ economiques´ du projet sous la forme d’un ech´ eancier´ des valeurs allant jusqu’a` la fin de l’horizon economique´ retenu. Cette etude´ est souvent qualifiee´ de bilan economique.´
La comparaison de plusieurs projets d’investissement conduit a` considerer´ un indicateur synthetique´ . A cet eg´ ard, il est important d’introduire un facteur d’actualisationpourramenera` unememeˆ periode´ (gen´ eralement´ laperiode´ initiale) l’ensembles des flux de tresorerie´ : on definit´ ainsi la VAN pour valeur actualisee´ nette.
Chacun des encaissements (correspondant a` des flux de tresorerie´ positifs) ou des decaissements´ (correspondant a` des flux de tresorerie´ neg´ atifs) sont dates.´ L’actualisation permet de ramener toutes ces valeurs a` une memeˆ date afin de pouvoir les comparer.
On peut plus facilement expliquer le principe de l’actualisation en considerant´ l’operation´ symetrique,´ a` savoirlacapitalisation. Lorsqueladuree´ d’unplacement excede` un an, il est d’usage que l’inter´ etˆ soit paye´ periodiquement´ (gen´ eralement,´ une fois l’an) et non en une seule fois. On peut alors replacer les inter´ etsˆ durant la duree´ restante du pret.ˆ
Illustrons les choses par l’exemple d’une somme initiale
x0 = 1.000
placee´ a` un taux d’inter´ etˆ de 5 % l’an. Apres` un an, la somme, capital et inter´ etsˆ s’el´ ev` e a` :
x1 = 1.000 + 0,05 × 1.000 = 1.050
Apres` deux ans, la somme s’el´ ev` e, capital et inter´ etsˆ compris a` :
x2 = 1.050 × (1 + 0,05)
= (1 + 0,05) × (1 + 0,05) × 1.000
En gen´ eral,´ si les inter´ etsˆ sont verses´ annuellement, une somme initiale de x0 placee´ durant un an a` un taux d’inter´ etˆ i rapporte ix0. La somme disponible au bout d’un an est donc :
x1 = x0 + ix0 = (1 + i)x0
Auboutdeladeuxieme` annee,´ lasommecapitalisee´ aveclesinter´ etsˆ deladeuxieme` annee´ est de :
x2 = x1 + ix1 = (1 + i)x1 = (1 + i)2x0
En utilisant le memeˆ raisonnement, il est facile d’etablir´ la relation entre la somme initiale x0 et la somme capitalisee´ au bout de t annees´ :
xt = x0(1 + i)t (3.1)
Lorsque les inter´ etsˆ sont aussitotˆ et integralement´ replaces,´ on parle de placement a` inter´ etsˆ composes.´ On appelle la valeur future xt la valeur acquise. L’operation´ qui consiste a` calculer xt a` partir du capital initial x0 s’appelle la capitalisation, tandis que le coefficient (1 + i)t est appele´ coefficient de capitalisation.
Il est a` remarquer que si l’on dispose de la somme initiale, de la somme capitalisee´ et du nombre de periodes,´ on peut calculer l’inter´ etˆ par periode´ en resolv´ ant (3.1) par rapport a` i. On obtient :
(3.2)
A titre d’illustration, la capitalisation d’un investissement de 100 au bout de 2 ans au taux annuel de 10 % rapporte :
10 × 1,12 = 121
Symetriquement,´ si l’on connaˆ?t la valeur future xt et que l’on veut determiner´ a` quel capital initial elle correspond, on parle alors d’actualisation. Et donc l’actualisation de xt donne le capital au temps t = 0 de :
(3.3)
Le coefficient (1 + i)?t qui, multiplie´ a` la valeur future xt, permet de retrouver la valeur actuelle x0 est appele´ coefficient d’actualisation. On remarquera que le coefficient d’actualisation est exactement l’inverse du coefficient de capitalisation. Remarquez que, en actualisation, on ne parle pas de taux d’inter´ etˆ i mais plutotˆ de taux d’actualisation?.
La figure 3.11 presente´ l’actualisation d’une somme future de 121 au bout de 2 ans au taux d’actualisation 10 % l’an. On dispose donc de x2 = 121 et on cherche x0. On suppose donc un taux de 10 % l’an. On peut calculer successivement :
On peut encore remarquer que :
justifiant la formule (3.3) ci-dessus.
Nous allons illustrer l’utilite´ de la VAN sur un exemple de choix d’une capacite´ sur l’exemple tire´ de Mac Clain [5] d’une boulangerie industrielle qui fournit les supermarches´ de sa region´ et qui s’attend a` une croissance de la demande.
Les donnees´ numeriques´ sont les suivantes :
1. Modelisation´ de la demande : il y a incertitude sur la demande future du produit. Si le succes` du produit est important, une capacite´ supplementaire´ de 5 000 unites´ par semaine sera necessaire´ pour un profit de 40 000 $ par semaine hors frais d’amortissement du capital. Si le succes` du produit est mitige,´ une capacite´ de 2 000 unites´ par semaine sera suffisante et la compagnie fera un profit de 16 000 $ par semaine. La demande est connue au bout d’un an. On suppose que les ben´ efices´ sont comptabilises´ en fin d’annee.´ Une annee´ comporte 52 semaines d’ouverture du magasin.
2. Donnees´ de coutˆ d’investissement. Une capacite´ de 2 000 unites´ par semaine peutetreˆ construitepour800000$. Unecapacite´ de5000unites´ parsemaine peut etreˆ construite pour 1,5 millions de $. Une capacite´ de 2 000 peut etreˆ etendue´ a` une capacite´ de 5 000 pour 1 million de $. Les surcapacites´ sont sans valeur.
3. La duree´ de vie des equipements´ est de 20 ans.
4. Le facteur d’actualisation, necessaire´ car les profits sont repartis´ dans le futur, est de 25 % l’an.
5. La probabilite´ de succes` du lancement du produit est estimee´ a` 20 % sur base d’experiences´ d’introduction d’autres produits.
Les differents´ choix possibles peuvent etreˆ utilement illustres´ sur un arbre de decision´ tel que celui de la figure 3.12. Un carre´ represente´ une decision.´ Un
Profit. 40,000
16,000
16,000
16,000
+24,000 16,000
0
Figure 3.12: Arbre de decision´
cercle represente´ un etat´ du monde.
Definition´ 3.1On appelle valeur nette presente´ , la somme actualisee´ des profits futurs moins l’investissement initial.
Considerons´ la construction initiale de 5 000 en cas de demande forte. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.13. La VAN se calcule donc comme suit :
FNt
Figure 3.13: Construction de 5 000 en cas de demande forte.
On peut demonter´ la formule suivante pour le calcul d’annuites´ :
(3.4)
Appliquons ceci a` notre exemple :
D’ou` la valeur nette au bout d’un an de :
V AN = 40 000 × 52 × 3,953883 ? 1 500 000 = 6 724 077.
Considerons´ maintenant la construction initiale de 5 000 en cas de demande faible. La VAN se calcule comme suit :
.
Considerons´ maintenant la construction de 2000 en cas de demande haute et sans investissement supplementair´ e. La VAN se calcule comme suit :
.
Considerons´ la construction initiale de 2 000 augmentee´ de 3 000, en cas de demande forte. L’investissement initial de 2 000 rapporte 16 000 $ durant 20 ans et l’investissement de deb´ ut de 2eme` annee´ rapporte un supplement´ de profit de
24 000 durant 19 ans. Ce cas est illustre´ a` la figure 3.14. La VAN au temps 1 de
FNt
Figure 3.14: Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte.
l’investissement supplementaire´ se calcule comme suit :
.
Appliquons la formule (3.4) a` la somme des facteurs d’actualisation :
On obtient donc une valeur nette au bout d’un an de l’investissement supplemen-´ taire :
Onenconclutquel’onainter´ etˆ a` fairel’investissementpuisquelaValeurActualisee´ Nette est positive : on aura un return positif de l’investissement. Pour obtenir la VAN de ce cas, il faut ajouter la VAN de l’investissement initial de 2 000 qui rapporte 16 000 durant 20 ans :
Enfin, le cas d’une demande faible avec un investissement initial de 2 000 est identique au cas de la construction intiale de 2 000 et d’une demande forte lorsque l’on reste a` 2 000. Il a dej´ a` et´ e´ calcule´ plus haut.
Les resultats´ dans les differents´ cas sont resum´ es´ au tableau 3.1. On peut alors
| Decision´ | demande | VAN |
| construire 5 000 | forte | 6 724 077 |
| construire 5 000 | faible | 1 789 631 |
| construire 2 000 + 3 000 | forte | 5 625 677 |
| construire 2 000 | faible | 2 489 631 |
| construire 0 | forte | 0 |
| construire 0 | faible | 0 |
Tableau 3.1: Calcul de la VAN
calculer les profits esper´ es´ dans chacun des trois cas :
• Construire 5 000 :
E(V AN) = 0,2 × 6724077 + 0,8 × 1789631 = 2776520 $.
• Construire 2 000 :
E(V AN) = 0,2 × 5625677 + 0,8 × 2489631 = 3116840 $.
• Ne rien construire :
E(V AN) = 0
En conclusion, il vaut mieux construire une petite capacite´ et etendre´ apres` un an si necessaire.´ Remarquons que le resultat´ depend´ crucialement de la probabilite´ de succes` du produit (voir exercice ci-dessous).
3.1. Lancement d’un nouveau produit. Une societ´ e´ met a` l’etude´ le lancement d’un nouveau produit. Ce lancement necessite´ la realisation´ de 10 tachesˆ reper´ ees´ par les lettres A a` J, et dont les caracteristiques´ sont donnees´ a` la table 3.2.
| tacheˆ | duree´ | ancetre(s)ˆ | observations |
| A | 7 | C,F | Recouvrement possible avec C de 3 semaines |
| B | 3 | D,H,G | |
| C | 6 | J | Ne peut commencer avant le deb´ ut de la 14eme` semaine. |
| D | 3 | - | |
| E | 2 | D | |
| F | 5 | J et I | |
| G | 4 | - | |
| H | 5 | - | |
| I | 7 | G et H | |
| J | 4 | E et B |
Tableau 3.2: Lancement d’un nouveau produit
(a) Etablir´ le graphique de la methode´ du potentiel.
(b) Verifier´ sur le graphique que le probleme` est soluble (expliquer succinctement pourquoi).
(c) Calculer les dates de deb´ ut au plus tot,ˆ au plus tard, les marges.
(d) Donner tous les chemins critiques.
| tacheˆ | coutˆ |
| C | 10.000 EURO |
| F | 15.000 EURO |
| B | 5.000 EURO |
| I | 6.000 EURO |
Tableau 3.3: Reduction´ possible de la duree´
(e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la duree´ d’execution´ du projet d’une semaine. Les tachesˆ sur lesquelles il est possible d’agir ainsi que le coutˆ correspondant a` leur diminution de duree´ d’une semaine sont donnes´ a` la table 3.3. Que suggerez-v´ ous ?
3.2. Planification d’un projet de tel´ ecommunications.´ La societ´ e´ PTV veut moderniser son reseau´ de tel´ edistrib´ ution de chaˆ?nes privees.´ Le projet s’articule selon les activites´ citees´ au tableau ci-dessous.
| Activite´ | Description | Duree´ (mois) | Antec´ edents´ |
| A | Etude de marche´ | 5 | - |
| B | Dev´ eloppement du materiel´ | 6 | A |
| C | Dev´ eloppement des logiciels | 5 | (*) |
| D | Accreditation´ du materiel´ | 3 | B |
| E | Mise en œuvre du nouveau reseau´ | 10 | C,D |
| F | Arretˆ de l’ancien reseau´ | 2 | (**) |
| G | Fin du support clientele` | 1 | E, F |
(*) : le dev´ eloppement des logiciels (C) peut commencer 3 mois apres` le deb´ ut du dev´ eloppement du materiel.´
(**) : L’arretˆ de l’ancien reseau´ peut avoir lieu 6 mois apres` le demarrage´ de la mise en œuvre du nouveau reseau.´
(a) Dessinez le graphique de la methode´ PERT.
(b) Quelle est la duree´ minimale du projet ?
(c) Quelles sont les activites´ critiques ?
(d) Quel est le retard d’execution´ que chaque activite´ peut prendre sans allonger la duree´ minimale du projet ?
(e) L’administrateurdesire´ reduire´ la duree´ du projet de 2 mois au moindre cout.ˆ Lestachesˆ suivantespeuventetreˆ reduites´ de2moisaumaximum, sachant que le coutˆ de reduction´ d’un mois est respectivement pour A : 350 euro ; C : 200 euro ; D : 100 euro ; F : 100 euro ; G : 400 euro. Que proposez-vous et quel est le coutˆ de votre solution ?
3.3. Capitalisationa` inter´ etˆ compose.´ On place une somme initialementdisponible de 20.000 euro a` un taux annuel de 9 % pour une periode´ de 12 ans.
Les inter´ etsˆ sont rein´ vestis dans le capital.
(a) Calculer le capital disponible au bout de 12 annees.´
(b) Representer´ graphiquement l’operation´ de capitalisation.
(c) Si l’on verse les inter´ etsˆ mensuellement, quel devrait etreˆ le taux mensuel pour obtenir 9 % au bout d’un an ?
3.4. Calcul des Flux Nets de Tresor´ erie Actualises.´ Calculer la VAN d’un investissement dont l’ech´ eancier´ est le suivant : -2.000 (investissement, et donc decaissement)´ realis´ e´ a` la date 0, et de +1.000 de flux net de tresorerie´ (=ben´ efice´ apres` impotˆ + amortissement) disponible a` la fin de l’annee´ 1, +900 a` la fin de l’annee´ 2, et +1.200 a` la fin de l’annee´ 3, le taux d’actualisation etant´ de 5 %.
3.5. Choixd’unecapacite.´ Pourlesdonnees´ d’investissementdelasection3.4.2 mais avec une probabilite´ de succes` du produit de 50 %,
(a) recalculer les esperances´ de valeurs actualisees´ nettes des deux investissements possibles;
(b) expliquer pourquoi la decision´ optimale change;
(c) determiner´ la probabilite´ pour laquelle la decision´ optimale change.
3.6. Ouverture d’un restaurant. Un independant´ envisage d’ouvrir un restaurant dans le centre de Bruxelles. Il doit decider´ s’il ouvre un restaurant
• de 250 personnes (coutˆ de l’investissement : 500 milliers d’euro),
• de 500 personnes (coutˆ de l’investissement : 1000 milliers d’euro),
Encasdesucces` (demandeforte)lerestaurantde500couvertsestpleinement utilise´ et rapporte un ben´ efice´ annuel de 200 (milliers d’euro). En cas de demande faible, une capacite´ de 250 couverts est suffisante et rapporte un ben´ efice´ annuel de 100 (milliers d’euro). Le succes` est connu au bout de la premiere` annee.´ Les ben´ efices´ annuels sont comptabilises´ en fin d’annee.´
• Auboutd’unan, sil’installationinitialecomporte500couverts, l’inde-´ pendantpeutreduire´ lacapacite´ enrevendantunepartiedesinstallations pour 200 milliers d’euro.
• Auboutd’unan, sil’installationinitialecomporte250couverts, l’inde-´ pendant peut agrandir son restaurant a` 500 couverts avec un coutˆ additionnel de 700 milliers d’euro.
L’independant´ compte exploiter le restaurant pendant 20 ans. On neglige´ la valeur des installations au bout de 20 ans. Le facteur d’actualisation est de 10% l’an.
(a) On demande de dessiner l’arbre de decision´ relatif a` ce probleme.` (b) On demande de calculer la VAN dans chaque cas possible.
(c) Sachant que la probabilite´ de succes` (demande forte) a et´ e´ estimee´ a`
55% sur base d’une etude´ marketing, on demande de calculer
• la VPN esper´ ee´ si la premiere` decision´ consiste a` ouvrir un restaurant de 500 couverts
• la VPN esper´ ee´ si la premiere` decision´ consiste a` ouvrir un restaurant de 250 couverts
(d) Etant´ donne´ les resultats´ ci-dessus, quelle decision´ initiale d’investissement prendra l’investisseur ?
3.7. Calcul des flux nets de tresor´ erie actualises.´ Une entreprise specialis´ ee´ en mecanique´ etudie´ les consequences´ economiques´ du lancement d’un nouveau produit en mars 2006 dont le cycle de vie est prevu´ sur quatre annees´ (2006 a` 2009). Afin de produire le nouvel article, des etudes´ et des investissements sont realis´ es´ en 2005. Ils sont budgetis´ e´ au 31/12/2005 pour un montant de 5.500.00 euro. Le coutˆ unitaire de fabrication est de 300 euro. On prev´ oit une decroissance´ de ce coutˆ par rapport a` l’annee´ prec´ edente´ telle que donnee´ en premiere` ligne du tableau 3.4. Le marche´ est suppose´
| Annee´ | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 |
| Coefficient de decroissance´ du coutˆ | 1 | 0,9 | 0,85 | 0,85 |
| Coefficient d’ev´ olution du marche´ | 1 | 1,25 | 0,70 | 0,50 |
| Ev´ olution du prix de vente | 500 | 500 | 450 | 400 |
Tableau 3.4: Donnees´ du probleme.`
croˆ?tre puis decro´ ˆ?tre. Le tableau 3.4 donne en deuxieme` ligne le coefficient de variation du marche´ par rapport a` l’annee´ prec´ edente´ en annee´ pleine. En annee´ pleine, le marche´ est de 10.000 articles en 2006. Le tableau 3.4 donneen troisieme` ligne l’ev´ olutiondu prix unitairede vente qui est suppose´ baisser d’annee´ en annee.´
(a) Calculer, annee´ par annee,´ les coutsˆ unitaires, les marges unitaires et le marche´ (sur base annuelle).
(b) Calculer, annee´ par annee,´ les flux nets de tresorerie´ en tenant compte du fait que le produit n’est introduit sur le marche´ que le 1er mars 2006 (pour simplifier, on considere` que les ventes se repartissent´ uniformement´ sur les 12 mois de l’annee).´
(c) Sur base d’un facteur d’actualisation de 5 % l’an, calculer la somme des flux nets actualises.´
(d) Si on retarde de 3 mois la commercialisation du produit, quelle est la consequence´ sur la somme des FNTA ?
3.8. Agrandissementd’une clinique. Une clinique privee,´ devant le manque de lits disponibles et l’etroitesse´ de son terrain actuel a decid´ e´ de construire une nouvelleimplantation. Leprojetdeconstructiondelanouvelleinfrastructure est ger´ e´ par projet. La direction a identifie´ 11 etapes´ pour mener a` bien le projet. Elle sont reprises au tableau ci-dessous avec une estimation de leurs durees´ et de leurs prealables.´
| Code | Tacheˆ | Duree´ (semaines) | Prealables´ |
| A | Selection´ du personnel medical´ et administratif | 12 | - |
| B | Selection´ du nouveau site | 9 | - |
| C | Selection´ des nouveaux equipements´ | 10 | A |
| D | Etablissement´ des plans finaux | 10 | B |
| E | Acheminement sur site des equipements´ | 24 | B |
| F | Interview du personnel pour son affectation | 10 | A |
| G | Achat des nouveaux equipements´ | 35 | C |
| H | Construction du nouveau batimentˆ | 40 | D |
| I | Dev´ eloppement du systeme` informatique | 15 | A |
| J | Installation des equipements´ | 4 | E,G,H |
| K | Entraˆ?nement du personnel | 6 | F,I,J |
(a) Classer les tachesˆ par niveaux.
(b) Construire le graphe de la methode´ potentielle correspondant.
(c) Determiner´ le temps minimum pour realiser´ le projet.
(d) Calculer, pourchaquetache,ˆ ladatededeb´ utauplustot,ˆ lamargetotale, la date de deb´ ut au plus tard, la marge libre et la marge independante.´
(e) Donner le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probleme.`
(f) On veut determiner´ la programmation des tachesˆ qui minimise le coutˆ total de realisation´ du projet. Les coutsˆ indirects du projet sont de 8.000 euro par semaine. En plus, une penalit´ e´ de 20.000 euro par semaine est due si la nouvelle clinique n’est pas construite en 65 semaines. Les coutsˆ directs de realisation´ des tachesˆ sont donnes´ cidessous. On vous demande de calculer le coutˆ de la reduction´ d’une semaine de la duree´ de chacune des taches.ˆ
(g) En partant de la programmation determin´ ee´ ci-dessus, determiner´ en reduisant´ progressivement la duree´ du projet, la duree´ des tachesˆ qui permetderealiser´ leprojeta` coutˆ minimum. Pourinformation,ilfaut proceder´ enquatreetapes.´ Achaqueetape,´ justifiezlechoixdela(des) activites´ dont on reduit´ la duree´ et donnez le nombre de semaines de reduction´ deladuree´ destacˆ hes, le(s)nouveau(x)chemin(s)critique(s) ainsi que les reductions´ de duree´ et de coutˆ du projet.
| Code  | Temps | Coutˆ | Temps | Coutˆ du | Reduction´ |
| normal | normal | min | tmin | maximum | |
| A | 12 | 12.000 | 11 | 13.000 | 1 |
| B | 9 | 50.000 | 7 | 64.000 | 2 |
| C | 10 | 4.000 | 5 | 7.000 | 5 |
| D | 10 | 16.000 | 8 | 20.000 | 2 |
| E | 24 | 120.000 | 14 | 200.000 | 10 |
| F | 10 | 10.000 | 6 | 16.000 | 4 |
| G | 35 | 500.000 | 25 | 530.000 | 10 |
| H | 40 | 1.200.000 | 35 | 1.260.000 | 5 |
| I | 15 | 40.000 | 10 | 52.500 | 5 |
| J | 4 | 10.000 | 1 | 13.000 | 3 |
| K | 6 | 30.000 | 5 | 34.000 | 1 |
| Total | 1.992.000 | 2.209.500 | |||
3.9. Choix d’investissement pour l’installation d’une cafet´ eria.´ La direction de l’entreprise, doit maintenant decider´ de son plan d’investissement dans les equipements´ de cuisine. Deux solutions s’offrent a` elle :
Solution 1 : achat. L’entreprise peut acheter l’equipement´ de cuisine pour un investissement initial de 45.000 euro. Ce coutˆ comprend un contrat de maintenance pour l’annee´ 1. A la fin de chaque annee,´ on souscrit alors un contrat de maintenance d’un montant de 2.500 euro qui prolonge la garantie d’un an. Au bout des 5 annees,´ l’equipement´ est obsolete` et sa valeur de revente est de 1.000 euro.
Solution 2 : leasing. Dans le cas d’un leasing du materiel´ sur cinq annees,´ l’entreprisepaie chaque annee,´ en deb´ ut d’annee´ une somme de 12.000 euro. La societ´ e´ de leasing recup´ ere` son materiel´ au bout des cinq annees.´
(a) Calculer, pour chacune des deux solutions, les flux nets de tresorerie´ par annee.´
(b) Sachant que le groupe utilise un taux d’actualisation de son capital de 10 % l’an, quelle solution conseillez-vous a` la societ´ e´ ? Donnez le detail´ de vos calculs.
Chapitre 4
Au chapitre 1, nous avions introduit les trois categories´ possibles d’objectif en gestion de projets. En cours d’execution´ du projet, il convient de suivre chacun de ces objectifs. Il faut donc proceder´ au :
• suivi des delais´ ,
• suivi budgetair´ e,
• suivi de la qualite´.
Nous allons nous concentrer dans ce chapitre sur les deux premiers points.
Pour un bon suivi des projets, la collecte des informations est un el´ ement´ crucial. Leur collecte a` intervalles reguliers´ (dependant´ de la longueur du projet) permet de detecter´ des derives´ et d’entamer des actions correctrices. Deux el´ ements´ importants sont donc a` considerer´ :
• la rapidite´ d’obtention de l’information,
• la qualite´ de l’information obtenue.
Une information trop tardive peut amener des actions correctrices plus couteusesˆ et une information erronee´ peut amener a` prendre de mauvaises decisions.´
Les logiciels commerciaux permettent tous un suivi detaill´ e´ de l’execution´ des taches.ˆ Acettefin, l’assistantducontroleurˆ deprojetsaisidemaniere` informatique
83
la date de deb´ ut reel´ et la date de fin observee´ de chaque tache.ˆ En cas d’ecart´ par rapport au previsionnel´ (retard ou avance dans le deb´ ut ou la fin d’une tache),ˆ le logiciel recalcule automatiquement l’ordonnancement des tacˆ hes non execut´ ees.´
Nous avions vu au chapitre 2, la maniere` de presenter´ les resultats´ de l’ordonnancement sous forme d’un diagramme de Gantt ou` chaque ligne horizontale correspond a` une tache.ˆ Le memeˆ graphique peut etreˆ utilise´ pour le suivi du projet. Pour chaque tacheˆ on reprend dans sa ligne, le previsionnel´ et le realis´ e´ en utilisant par exemple des couleurs differentes´ (voir figure 4.1). Les differences´ apparaissent alors facilement.
0 5 10 15 20 25 30 35 37
prévu réalisé f,22 =37
Figure 4.1: Le suivi d’execution´ des tachesˆ
Si le suivi detaill´ e´ des tachesˆ permet de detecter´ les retards et de prendre les actions correctrices (par exemple, en augmentant les moyens consacres´ a` une tache),ˆ la masse d’informations empecheˆ parfois un diagnostic global.
La solution pour un controleˆ global de l’execution´ du projet est de sommer des donnees´ appartenant a` des tachesˆ differentes.´ A cet eg´ ard, un bon indicateur est la valorisation des ressources consommees´ par un ensemble de tachesˆ que l’on comparera avec la valeur de ref´ erence´ pour voir si globalement le projet a pris du retard ou non.
Lesuividescoutsˆ impliquequelorsdel’analyseduprojet,onaitfaituneev´ aluation des coutsˆ des taches.ˆ On peut alors sur base de la constatation des ressources consommees´ et du coutˆ unitaire de ces ressources, proceder´ a` l’ev´ aluation des coutsˆ encourus.
Classiquement en controleˆ de gestion, on part des donnees´ de ref´ er´ ences pour analyser ce qui a et´ e´ execut´ e.´
Ainsi, on definit´ le budget initial comme celui defini´ a` la date de lancement du projet que nous noterons?d. On ajoute en gen´ eral´ aux charges initialementprevues´ pour l’execution´ des taches,ˆ une provision pour faire face aux imprevus.´ Il s’agit d’une assurance groupee´ qui est plus efficace qu’un saupoudrage des moyens a` chacune des tachesˆ (car gen´ eralement´ les reliquats ne sont pas restitues´ a` la fin d’execution´ d’une tache).ˆ
Definition´ 4.1On appelle budget a` date le budget initialement prevu´ du projet.
En plus de ce budget initial, on definit´ un ec´ heancier´ de la consommation de ce budget (voir figure 4.2). Comme une tacheˆ met un certain temps a` etreˆ realis´ ee,´ il se pose le probleme` de savoir comment repartir´ dans le temps la consommation de moyens financiers par la tacˆ he. On distingue trois solutions possibles :
• larepartition´ uniformeducoutˆ delatacheduranttoutesaduree´ d’execution´ ,
• la repartition´ de la depense´ durant son execution´ au prorata de la consommationdesressources(silaconsommationdesressourcesn’estpasconstante durant l’execution´ de la tache,ˆ cela donnera un resultat´ different),´
• l’imputationde la moitie´ du coutˆ au deb´ ut d’execution´ de la tacheˆ et du solde a` la fin.
La derniere` solution conduit evidemment´ a` une courbe plus heurtee.´
Considerons´ maintenant une date ulterieur´ et comprise entre les dates de deb´ ut du projet et la date de fin prevue´ initialement du projet :
?d ? t ? ?f,d
?
A cette date, un certain nombre d’ev´ enements´ se sont produits conduisanta` reviser´ officiellement certains objectifs de delai´ et de couts.ˆ Ainsi, on va modifier :
• la date finale du projet est revis´ ee´ de ?f,d, la date initialement prevue,´ en ?f,t qui est maintenant l’objectif de delai´ consider´ e´ comme realiste´ (voir figure 4.2 ou` est indique´ le retard previsionnel´ a` date t);
• le coutˆ previsionnel´ reestim´ e´ a` date t est gen´ eralement´ plus ele´ ve´ que le budget a` date car tenant compte des nouveaux el´ ements´ apparus depuis la derniere` revision´ du budget (voir figure 4.2 ou` est indique´ l’ecart´ final previsionnel´ a` date t sur le budget);
• l’ec´ heancier´ des consommations previsionnelles´ du budget est revis´ e.´
A la date t, un certain nombre de tachesˆ ont et´ e´ effectuees´ en totalite´ ou partiellement. Ce qui se traduit par un coutˆ encouru illustre´ a` la figure 4.3.
Definition´ 4.2Le coutˆ encouru est definit´ comme le coutˆ reel´ du travail effectue´ ou CRTE a` la datet.
Si l’on avait travaille´ en conformite´ avec le budget a` date, les travaux qui auraient duˆ etreˆ realis´ es´ a` la date t auraient depens´ e´ le budget encouru.
Definition´ 4.3On appelle budget encouru a` la datet le coutˆ budget´ e´ du travail prevu´ pour cette date ou encore CBTP.
La differ´ ence entre le budget encouru (ce qui est prevu)´ et le coutˆ encouru (le coutˆ realis´ e)´ a une double origine :
• un effet quantite´ duˆ aux ecarts´ de planning : le travail effectue´ est en avance ou en retard par rapport aux previsions;´
• un effet prix : la valeur des facteurs consommes´ est differente´ de la valeur prevue´ a` cause :
– d’une difference´ de quantite´ de facteurs utilises´ (amelioration´ ou plus gen´ eralement´ degradation´ de la productivite);´
– d’unedifference´ deprixunitaires(prixunitairessuperieurs´ ouinferieurs´ a` ceux des previsions).´
Pour mettre en evidence´ les differents´ effets, l’idee´ est de comparer ce qui est prevu´ (budget encouru) et ce qui est realis´ e´ (coutˆ encouru) a` une troisieme` grandeur la valeur theorique´ des travaux execut´ es´ qui doit etreˆ :
• comparable au coutˆ encouru, parce qu’adoptant la memeˆ hypothese` d’avancement de planning (memesˆ tachesˆ achevees´ ou en cours);
• comparable au budget encouru, parce qu’adoptant la memeˆ hypothese` de valeurs des ressources consommees´ (pas de deri´ ve de coutˆ des taches).ˆ
Definition´ 4.4Le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ (ou CBTE) s’obtient tout simplement en valorisant les tachesˆ effectuees´ aux coutsˆ prevus´ dans le budget a` date.
Ces differents´ valeurs sont illustrees´ a` la figure 4.3 ou` le cas decrit´ est particulierement` def´ avorable puisque :
• le budget encouru (ou coutˆ budget´ e´ du travail prevu)´ est superieur´ a` la valeur budgetaire´ du realis´ e;´
• le budget encouru est inferieur´ au coutˆ encouru (ou coutˆ reel´ du travail effectue).´
Ce coutˆ budget´ e´ du travail realis´ e´ est compare´ au budget encouru pour deter-´ miner l’ecart´ de planning et au coutˆ encouru pour determiner´ l’ecart´ de cout.ˆ
On comparedonc ici le coutˆ budget´ e´ du travail realis´ e´ et le budgetencouru, c’esta-dire` lecoutˆ budget´ e´ dutravailinitialementprevu´ . Ilssontvalorises´ aumemeˆ coutˆ d’utilisation des ressources. La difference´ des ces deux valeurs correspond donc uniquement a` une differ´ ence de planning. Ainsi, on definit´ l’ecart´ de planning comme la differ´ ence entre le coutˆ budget´ e´ du travail realis´ e´ et le budget encouru :
EP = CBTE - CBTP
L’analyse de cet ecart´ conduit a` dire que :
• Si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est superieur´ au budget encouru (ecart´ positif), les realisations´ du projet sont en avance par rapport aux previsions;´
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est inferieur´ au budget encouru (ecart´ neg´ atif), les realisations´ du projet sont en retard par rapport aux previsions.´
?
Figure 4.3: Les ecarts´ de coutˆ
On peut definir´ l’ecart´ de planning relatif comme l’ecart´ de planning divise´ par le budget encouru :
CBTE - CBTP
EPR = CBTP
Une autre approche possible pour l’ecart´ de planning consiste a` determiner´ sur la courbe previsionnelle´ du budget encouru, la date ? qui est celle a` laquelle on avait prevu´ d’atteindre la consommation budgetair´ e correspondant a` la valeur du coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ a` la datet. L’analyse est eg´ alement simple :
• une difference´ (t ? ?) positive correspond a` un retard dans le planning,
• une difference´ (t ? ?) neg´ ative correspond a` une avance dans le planning.
On compare donc ici le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ et le coutˆ encouru, c’esta-dire` le coutˆ reel´ du travail effectue´. Ils ont donc en commun la memeˆ hypothese` d’avancement des travaux. La differ´ ence des ces deux valeurs correspond donc uniquement a` une difference´ de coutˆ (entre le coutˆ reel´ et le coutˆ prevu).´ Ainsi, on definit´ l’ecart´ de coutˆ comme la differ´ ence entre le coutˆ budget´ e´ du travail realis´ e´ et le coutˆ encouru :
EC = CBTE - CRTE
Cette difference´ qui a donc pour origine uniquement des variations de coutˆ de realisation´ des tacˆ hes peut s’expliquer par :
• des variations de consommations de ressources utilises;´
• des variations de coutˆ unitaire de ces ressources.
L’analyse de cet ecart´ conduit a` dire que :
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est inferieur´ au coutˆ encouru (ecart´ de coutˆ neg´ atif), les realisations´ du projet ont coutˆ e´ plus cher que prevu;´ on est en presence´ d’un risque de depassement´ budgetair´ e si l’on ne peut pas compenser par des economies´ ulterieures;´
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est superieur´ au coutˆ encouru (ecart´ de coutˆ positif), les realisations´ du projet ont coutˆ e´ moins cher que prevu;´ on a donc plus de chance de tenir l’enveloppe budgetaire´ initiale.
4.4. Exercices
4.1. Cas de l’entreprise BURBOX. Pour le projet de l’entreprise BURBOX introduit au chapitre 1 (voir exercice 1.2), on demande :
(a) Etablir´ le classement des tachesˆ par niveaux.
(b) De construire le graphe du potentiel, d’y calculer les dates au plus tot,ˆ plus tard et les marges totales.
(c) D’indiquer la date d’inauguration au plus tot.ˆ
(d) De proposer une programmation effective repondant´ (sauf indication contraire de l’enonc´ e)´ au principe de prudence, en tenant compte du fait que la semaine comporte 5 jours de travail et que les 14 juillet, premier et 11 novembre sont feri´ es´ (voir tableau 4.1).
(e) D’etablir´ l’ev´ olution de la consommation previsionnelle´ du budget du projet.
(f) Le projet a commence´ conformement´ aux previsions.´ Au premier septembre, les informations disponibles sur le bon deroulement´ du projet sont les suivantes :
• la tacheˆ de demolition´ a et´ e´ effectuee´ en 11 jours du 15 au 29 juin;
• les formalites´ administratives ont pu etreˆ bouclees´ en 20 jours du 15 juin au 10 juillet;
• le terrassement a porte´ sur 5.500 m3 et a et´ e´ effectue´ du 13 au 17 juillet;
• les fondations ont coutˆ e´ 420.000 euro et ont et´ e´ execut´ ees´ du 20 juillet au 7 aoutˆ (15 jours):
• suite a` un retard d’execution,´ le deuxieme` acompte du gros œuvre a et´ e´ verse´ le 26 aout,ˆ ces 2 jours de retardne peuvent etreˆ rattrapes´ et se repercutent´ sur le deb´ ut de la seconde tranche du gros œuvre et celle de la toiture.
Sachant que la seconde tranche de gros œuvre deb´ ute le premier septembre, il vous est demande´ d’etablir´ la consommation budgetaire´ effective a` cette date (ou le coutˆ encouru).
(g) Pour eliminer´ l’incidence des ecarts´ de planning et ev´ aluer correctement la deri´ ve de coutˆ du projet, calculer la consommation budgetaire´ theorique´ si les coutsˆ avaient et´ e´ ceux initialement prevus´ (valeur budgetair´ e du realis´ e´). En deduire´ la deri´ ve de coutˆ au premier septembre.
| N? | Lundi | N? | Mardi | N? | Mercredi | N? | Jeudi | N? | Vendredi |
| 1 | 15-juin | 2 | 16-juin | 3 | 17-juin | 4 | 18-juin | 5 | 19-juin |
| 6 | 22-juin | 7 | 23-juin | 8 | 24-juin | 9 | 25-juin | 10 | 26-juin |
| 11 | 29-juin | 12 | 30-juin | 13 | 1-juil | 14 | 2-juil | 15 | 3-juil |
| 16 | 6-juil | 17 | 7-juil | 18 | 8-juil | 19 | 9-juil | 20 | 10-juil |
| 21 | 13-juil | - | 14-juil | 22 | 15-juil | 23 | 16-juil | 24 | 17-juil |
| 25 | 20-juil | 26 | 21-juil | 27 | 22-juil | 28 | 23-juil | 29 | 24-juil |
| 30 | 27-juil | 31 | 28-juil | 32 | 29-juil | 33 | 30-juil | 34 | 31-juil |
| 35 | 3-aouˆ | 36 | 4-aouˆ | 37 | 5-aouˆ | 38 | 6-aouˆ | 39 | 7-aouˆ |
| 40 | 10-aouˆ | 41 | 11-aouˆ | 42 | 12-aouˆ | 43 | 13-aouˆ | 44 | 14-aouˆ |
| 45 | 17-aouˆ | 46 | 18-aouˆ | 47 | 19-aouˆ | 48 | 20-aouˆ | 49 | 21-aouˆ |
| 50 | 24-aouˆ | 51 | 25-aouˆ | 52 | 26-aouˆ | 53 | 27-aouˆ | 54 | 28-aouˆ |
| 55 | 31-aouˆ | 56 | 1-sep | 57 | 2-sep | 58 | 3-sep | 59 | 4-sep |
| 60 | 7-sep | 61 | 8-sep | 62 | 9-sep | 63 | 10-sep | 64 | 11-sep |
| 65 | 14-sep | 66 | 15-sep | 67 | 16-sep | 68 | 17-sep | 69 | 18-sep |
| 70 | 21-sep | 71 | 22-sep | 72 | 23-sep | 73 | 24-sep | 74 | 25-sep |
| 75 | 28-sep | 76 | 29-sep | 77 | 30-sep | 78 | 1-oct | 79 | 2-oct |
| 80 | 5-oct | 81 | 6-oct | 82 | 7-oct | 83 | 8-oct | 84 | 9-oct |
| 85 | 12-oct | 86 | 13-oct | 87 | 14-oct | 88 | 15-oct | 89 | 16-oct |
| 90 | 19-oct | 91 | 20-oct | 92 | 21-oct | 93 | 22-oct | 94 | 23-oct |
| 95 | 26-oct | 96 | 27-oct | 97 | 28-oct | 98 | 29-oct | 99 | 30-oct |
| 100 | 2-nov | 101 | 3-nov | 102 | 4-nov | 103 | 5-nov | 104 | 6-nov |
| 105 | 9-nov | 106 | 10-nov | - | 11-nov | 107 | 12-nov | 108 | 13-nov |
| 109 | 16-nov | 110 | 17-nov | 111 | 18-nov | 112 | 19-nov | 113 | 20-nov |
| 114 | 23-nov | 115 | 24-nov | 116 | 25-nov | 117 | 26-nov | 118 | 27-nov |
Tableau 4.1: Calendrier
4.2. Budgetdelancementd’unnouveauproduit. Unesociet´ e´ prepare´ lebudget dulancementd’unnouveauproduitsurlemarche.´ Letableausuivantindique les tachesˆ du projet avec leurs durees´ (donnees´ en jours) et leurs prealables.´
| Code | Tacheˆ | Duree´ | Prealables´ |
| A | Estimation du volume des ventes | 5 | - |
| B | Etude´ complete` du marche´ | 6 | - |
| C | Design du produit | 3 | A |
| D | Planification de la production | 8 | A |
| E | Estimation du coutˆ du produit | 2 | B et C |
| F | Determination´ du prix de vente | 11 | B et C |
| G | Lancement de la publicite´ | 1 | D |
| H | Preparation´ du budget | 12 | D et E |
Tableau 4.2: Budget de lancement d’un nouveau produit
(a) Construirelegraphedelamethode´ PERTcorrespondanta` ceprobleme.`
(b) Determiner´ , sur le graphe de la question a), le temps minimum (en jours) necessaire´ a` la realisation´ du projet.
(c) Calculer, pour chaque tache,ˆ sa date de deb´ ut au plus tot,ˆ sa marge totale, sa date de deb´ ut au plus tard et sa marge libre.
(d) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probleme.`
(e) Tracez le diagramme de Gantt correspondant a` la programmation des differentes´ tachesˆ du projet respectant le principe de precaution´ .
| Code | di | Coutˆ | Impute´ |
| A | 5 | 500 | 50 % au deb´ ut, 50 % a` la fin |
| B | 6 | 700 | a` la fin |
| C | 3 | 300 | a` la fin |
| D | 8 | 1 200 | a` la fin |
| E | 2 | 250 | au deb´ ut |
| F | 11 | 1500 | 50 % au deb´ ut, 50 % a` la fin |
| G | 1 | 100 | a` la fin |
| H | 12 | 800 | le eme` jour |
Tableau 4.3: Etablissement´ du budget
(f) Coutˆ budget´ e´ dutravailprevu.´ Nousallonsmaintenantetablir´ lebudget previsionnel´ pourceprojet. Letableau4.3reprendlecoutˆ derealisation´ de chacune des tachesˆ du projet et le moment ou` ce coutˆ est impute´ au budget. On vous demande d’etablir´ le budget previsionnel´ du projet ainsi que l’ech´ eancier´ des depenses´ prevues´ en remplissant un tableau du type suivant :
| Coutˆ budget´ e´ du travail prevu´ | |||
| Jour | Tacheˆ et moment | Montant | Cumul |
(g) Coutˆ reel´ du travail effectue.´ Le projet a deb´ ute.´ La tacheˆ A a et´ e´ realis´ ee´ en 5 jours au coutˆ de 600. La tacheˆ B a et´ e´ realis´ ee´ en un jour demoinsqueprevu´ aucoutˆ prevu.´ Latacheˆ Cadure´ unjourdeplusque prevu´ et a coutˆ e´ 300. La tache D a dure´ 10 jours et a eu un depassement´ budgetaire´ de 200. La tache E a et´ e´ effectuee´ en deux jours au coutˆ de 250. La tacheˆ F vient de deb´ uter. On vous demande d’etablir´ le coutˆ reel´ du travail effectue´ le 10eme` jour au soir en remplissant un tableau du memeˆ type que ci-dessus. En cas de depassement´ budgetaire,´ c’est a` la fin de la tacheˆ que l’on impute le surcout.ˆ
(h) Coutˆ budget´ e´ du travail effectue.´ Afin de separer´ l’ecart´ de coutˆ de l’ecart´ deplanning,calculerlecoutˆ budget´ e´ dutravaileffectue´ le10eme` jour au soir en remplissant un tableau du memeˆ type que ci-dessus.
(i) Calculer l’ecart´ absolu de cout.ˆ Comment interpretez-v´ ous son signe?
(j) Calculer l’ecart´ absolu de planning. Comment interpretez-v´ ous son signe ?
Chapitre 5
On definit´ le risque comme etant´ la possibilite´ que le projet ne s’execute´ pas conformement´ aux previsions´ de date d’achevement,` de coutˆ ou de qualite,´ ces ecarts´ par rapport aux previsions´ etant´ consider´ es´ comme inacceptables.
Le traitement des risques est lie´ a` chaque categorique´ d’objectif :
• L’analyse du risque de depassement´ du coutˆ du projet s’effectue en cours d’execution´ du projet en utilisant les techniques de controlesˆ de gestion present´ ees´ au chapitre 4. Mais cette analyse du risque peut eg´ alement etreˆ faite lors de la phase de definition´ du projet. Nous verrons deux types d’approches pour l’analyse de ce risque : l’approche quantitative du risque et l’approche qualitative du risque.
• L’analyse du risque de non respect des delais´ est classiquement abordee´ en cours d’execution´ du projet en utilisant les techniques de suivi de planning present´ ees´ au chapitre4. Nouscompleterons´ ces methodes´ par une approche quantitative du risque.
• L’analyse du risque de non respect des performances relev` e des sciences de l’ingenieur´ et ne sera pas consider´ ee´ ici.
Nous verrons deux familles d’approches utilisees´ pour maˆ?triser les risques :
• l’approche quantitative, qui repose sur une vision stochastique du proble-` me, vise a` quantifier la dispersion de la realisation´ des objectifs de coutˆ et de duree,´
• l’approche qualitative, qui repose sur l’intuition et la connaissance de l’entreprise, vise a` permettre des diagnostics rapides au moyen de listes de controleˆ .
95
Les deux risques fondamentaux auxquels il faut faire face dans la gestion d’un projet sont :
• le risque de ne pas tenir les delais´ ,
• le risque de depassement´ budgetair´ e.
Dans l’approche quantitative classique du risque delai´ , on remplace la duree´ d’execution´ des tachesˆ par une variable aleatoire.´ Le responsable de l’execution´ d’une tacheˆ est bien surˆ incapable de donner la loi de probabilite´ de cette variable ainsi que la valeur de ses parametres.`
Il existe deux methodes´ pour obtenir cette distribution :
• Dans l’approche empirique, on pose au responsable de l’execution´ de la tache,ˆ des questions du type : ”Quelle est la probabilite´ pour que la tacˆ he mette plus dex jours ?” en prenant des valeurs croissantes de x. On obtient alors directement une fonction de repartition´ de la duree´ d’execution´ de la tache.ˆ
• Dans l’approche theorique´ , on privilegie´ une distribution statistique donnee´ . Le cas le plus simple est celui de la distribution uniforme. Trois autresdistributionsstatistiquessontsouventutilisees´ : ladistributionBetaˆ ,la distributionnormaleetladistributiontriangulaire. Cecin’evite´ evidemment´ pas l’ecueil´ de devoir recueillir aupres` des operationnels´ les parametr` es de la distribution par un jeu de questions simples.
La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la valeur minimale A et la valeur maximale B sont equipr´ obables. Si l’on note X la variable aleatoire,´ il est facile de voir (voir figure 5.1) que :
• sa fonction de densite´ de probabilite´f(x) est donnee´ par (cas continu) :
(5.1)
• sa fonction de repartition´ F(X < x) est donnee´ par (cas continu) :
(5.2)
avec bien surˆ
Fonction de densite de probabilite
A B x
Fonction de repartition
Figure 5.1: Distribution uniforme de probabilite´ La distribution Betaˆ (voir figure 5.2) est une distribution unimodale qui :
• a une fonction de repartition´ telle que F(X < A) = 0 et F(X > B) = 1, • a une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
(5.3)
• a une esper´ ance mathematique´ E(X) donnee´ par :
(5.4)
• a une varianceV (X) donnee´ par :
(5.5)
• et a un modeM0 donne´ par :
(5.6)
Figure 5.2: Distribution Betaˆ de probabilite´
LaconnaissancedeA, B, ?et? specifie´ totalementlaloi. S’ilestfaciled’identifier A et B, il est impossible de recueillir directement aupres` des operationnels´ les valeurs de ? et ?.
OnpeutremarquerquelaconnaissancedeA,B,E(X)etM0 specifie´ eg´ alement totalement la loi. En effet, les relations permettant de calculer E(X) et M0 definissent´ un systeme` de deux equations´ en deux inconnues (? et ?).
Cependant, il est difficile pour un praticien d’identifier la difference´ entre le mode et la moyenne.
La distribution Normale (voir figure 5.3) est une distribution unimodale qui : • a une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
(5.7) • a une fonction de repartition´ donnant P(X < x?) donnee´ par :
(5.8)
Figure 5.3: Distribution normale de probabilite´
Leprobleme` decettedistributionestqu’elleportesurunevariablecontinuepouvant aller de moins l’infini a` plus l’infini. Si l’on restreint le domaine de X aux seules valeurs positives, on obtient une distribution tronquee´ de la loi normale :
La difficulte´ est ici l’estimation des parametr` esµ et ? de la distribution a` partir d’un echantillon´ d’observations.
La distribution triangulaire (voir figure 5.4) constitue une alternative a` la loi Beta.ˆ En effet, elle ne necessite´ que de connaˆ?tre les trois parametr` esA,B etM0, autrement dit les deux valeurs extremesˆ et le mode de la distribution. Cette distribution est d’un grand inter´ etˆ pratique vu la facilite´ de collecte de ses parametr` es. Elle a :
• une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
si A ? x ? M0
• une fonction de repartition´ donnant P(X < x) donnee´ par :
• une esper´ ance mathematique´ E(X) donnee´ par :
• une varianceV (X) donnee´ par :
V(X) =A(A ? M0) + B(B ? A) + M0(M0 ? B)
18
minimum maximum
Figure 5.4: Distribution triangulaire de probabilite´
L’approche classique est basee´ sur les principes suivants :
• la duree´di de chaquetacˆ he du projetestconsider´ ee´ commealeatoir´ e de distribution Betaˆ . Les parametr` es de la distribution Betaˆ sont calcules´ moyennant une hypothese` de calcul assez fortea` partir des trois parametres` Ai, Bi et M0i. Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :
– Quelle est la duree´ minimum de realisation´ de la tacheˆ ?
– Quelle est la duree´ maximale de realisation´ de la tacheˆ ?
– Quelle est la duree´ la plus probable ?
pour obtenir respectivement les parametres` A, B et M0 qui permettent de calculer la moyenne et la variance, a` partir des formules suivantes :
(5.10)
(5.11)
• on determine´ le chemin critique du projet en se placant¸ dans l’univers certain enmettantladuree´ dechaquetacheˆ eg´ alea` samoyennedonnee´ parlaformule (5.10). On determine´ ainsi un ou plusieurs chemins critiques.
• On se place en univers incertain et on fait l’hypothese` que la duree´ du projet est la somme des durees´ des tachesˆ du chemin critique, ce qui bien surˆ est une forte hypothese` simplificatrice.
• Onutiliseletheor´ eme` centrallimitepourapproximerD, laloidedistribution de probabilite´ d’execution´ du projet. Ainsi, l’esperance´ et la variance de la duree´ du projet se calculent comme la somme des esperances´ et des variances des tachesˆ du chemin critique :
E(D) = E?X di! = X E(di)
i?CC i?CC
V (D) = V X di! = X V (di)
i?CC i?CC
ou` CC note l’ensemble des tachesˆ du chemin critique.
• La connaissance de la loi de la duree´ du projet permet alors de calculer des intervalles de confiance sur la duree´ du projet.
Illustronscesprincipessurunexemplenumerique´ . Letableau5.1, fournit,pour les 10 tachesˆ critiques du projet, les valeurs extremesˆ et le mode qui permettent de calculer la moyenne et la variance de la duree´ de chaque tacheˆ critique par les formules (5.10) et (5.11).
| Tacheˆ (i) | Ai | M0i | Bi | E(di) | V (di) |
| 1 | 3 | 5 | 7 | 5 | 16/36 |
| 2 | 2 | 4 | 5 | 3,83 | 9/36 |
| 3 | 2 | 5 | 7 | 4,83 | 25/36 |
| 5 | 3 | 8 | 10 | 7,5 | 49/36 |
| 7 | 1 | 2 | 5 | 2,33 | 16/36 |
| 8 | 3 | 6 | 8 | 5,83 | 25/36 |
| 9 | 3 | 5 | 6 | 4,83 | 9/36 |
| 11 | 4 | 7 | 9 | 6,83 | 25/36 |
| 13 | 1 | 3 | 7 | 3,33 | 36/36 |
| 15 | 2 | 5 | 9 | 5,17 | 49/36 |
| ? | - | - | - | 49,5 | 7,19 |
Tableau 5.1: Methode´ classique
On en deduit´ que la distribution de probabilite´ de D, la duree´ minimale d’execution´ du projet est une loi normale de parametres` connus :
On peut donc en deduire´ des intervalles de confiance sur la duree´ du projet. Par exemple, si l’on veut determiner´ un intervalle a` 95 % sur la duree´ du projet, on peut utiliser la symetrie´ de la courbe de la normale (voir figure 5.5). On cherche donc les valeurs extremesˆ de l’intervalle [x1,x2] tel que la probabilite´ que la duree´ soit entre ces deux bornes est 95 % :
P[x1 ? D ? x2] = 95%
Vu la symetrie´ de la courbe de la Normale, cela signifie qu’il y aura 2,5 % a` chaque extremit´ e´ du graphe (voir figure 5.5). Il suffit de determiner´ x2 et x1 sera calcule´ par symetrie´ par rapporta` µ = 49,5. L’annexe C fournit, pour la loi normalecentree´ reduite,´ Z ? N(0,1), la probabilite´ P(Z > z). On cherche donc x2 tel que :
Figure 5.5: Intervalle a` 95 % sur la duree´ du projet
P(D > x2) = 2,5%
Pour faire la lecture dans la table, il faut centrer et reduire´ des deux cotˆ es´ de l’ineg´ alite´ ci-dessus. On obtient :
5%
Dans la table de la loi Normale N(0,1), on lit que :
P(Z > 1,96) = 2,5%
On en deduit´ que
Autrement dit que :
x2 = 1,96 × 2,68 + 49,5 = 54,75.
On determine´ x1 comme etant´ le point symetrique´ de x2 par rapport a` la moyenne µ = 49,5 :
x1 = 49,5 ? (x2 ? 49,5) = 44,25
On en deduit´ finalement l’intervalle suivant.
P(44,25 < D < 54,75) = 95%
Ilesta` remarquercependantquel’utilisationdutheor´ eme` centrallimitesuppose d’avoir au moins une trentaine de tacˆ hes dans le chemin critique. Hors dans notre exemple, on dispose a` peine de 10 taches.ˆ On est a` la limite des conditions d’utilisation du theor´ eme` !
D’autre part, la methode´ privilegie´ un chemin critique. En situation aleatoire,´ d’autre chemins peuvent devenir critiques dans certains cas. Pour l’analyse des effets combines´ de ces chemins critiques et sous critiques, il vaut mieux recourir a` l’approche simulatoire.
Le principe de l’approche simulatoire est de faire une simulation sur base d’un scenario´ privilegi´ e´ pour chacune des taches.ˆ En utilisant la methode´ de MonteCarlo, onpeutgen´ erer´ differents´ scenarios´ pourlestachesˆ duprojet. Cequipermet de calculer, par exemple, la probabilite´ d’une tacheˆ d’etreˆ critique.
Nous introduisons d’abord la methode´ de Monte-Carlo. Supposons que l’on s’interesse´ a` la grandeurX (qui ici represente´ la duree´ d’une tache).ˆ Il faut d’abord identifier la fonction de repartition´ de la variableX. Ceci est fait, par exemple, en posant une serie´ de questions du type : ”Quelle est la probabilite´ que la variableX prenne une valeur inferieur´ e a`x ?”
Le tableau 5.2 presente´ les resultats´ obtenus a` cette serie´ de questions.
| x | P(X < x) |
| 3 900 | 0 % |
| 4 100 | 20 % |
| 4 400 | 40 % |
| 4 800 | 60 % |
| 4 950 | 70 % |
| 5 100 | 80 % |
| 5 200 | 100% |
Tableau 5.2: Methode´ de Monte-Carlo
On peut alors construire la fonction de repartition´ par interpolation lineair´ e comme c’est fait a` la figure 5.6. On obtient la table 5.3.
Par ailleurs, il faut disposer d’un gen´ erateur´ de nombres aleatoir´ es. Le tableau 5.4 reprend un extrait d’une table de nombres gen´ er´ es´ au hasard.
Cette table permet de simuler des valeurs equipr´ obables de probabilites´ cumulees.´ Il suffit de consider´ er les sequences´ de 2 chiffres consecutifs´ dans cette table comme fait au tableau 5.5. On obtient ainsi autant de valeurs equiprobables´ de probabilites´ cumulees´ : 43 %, 64 %, 58 %, 92 %, 32 %, 0 %, 38 %, 41 %, 8 %, 58 %. Au moyen de la table 5.3, on peut retrouver les valeurs correspondantes deX. On obtient ainsi des valeurs equipr´ obables deX reprises au tableau 5.6. C’est la` le principe de la methode´ de Monte-Carlo.
Une fois connues les distributions de probabilites´ des durees´ des taches,ˆ on utilise la methode´ de Monte-Carlo pour obtenir par simulation des durees´ des differentes´ taches.ˆ On procede` alors a` un grand nombre de simulations qui
| Fi | xi | Fi | xi | Fi | xi | Fi | xi |
| 1 | 3910 | 26 | 4190 | 51 | 4620 | 76 | 5040 |
| 2 | 3920 | 27 | 4205 | 52 | 4640 | 77 | 5055 |
| 3 | 3930 | 28 | 4220 | 53 | 4660 | 78 | 5070 |
| 4 | 3940 | 29 | 4235 | 54 | 4680 | 79 | 5085 |
| 5 | 3950 | 30 | 4250 | 55 | 4700 | 80 | 5100 |
| 6 | 3960 | 31 | 4265 | 56 | 4720 | 81 | 5105 |
| 7 | 3970 | 32 | 4280 | 57 | 4740 | 82 | 5110 |
| 8 | 3980 | 33 | 4295 | 58 | 4760 | 83 | 5115 |
| 9 | 3990 | 34 | 4310 | 59 | 4780 | 84 | 5120 |
| 10 | 4000 | 35 | 4325 | 60 | 4800 | 85 | 5125 |
| 11 | 4010 | 36 | 4340 | 61 | 4815 | 86 | 5130 |
| 12 | 4020 | 37 | 4355 | 62 | 4830 | 87 | 5135 |
| 13 | 4030 | 38 | 4370 | 63 | 4845 | 88 | 5140 |
| 14 | 4040 | 39 | 4385 | 64 | 4860 | 89 | 5145 |
| 15 | 4050 | 40 | 4400 | 65 | 4875 | 90 | 5150 |
| 16 | 4060 | 41 | 4420 | 66 | 4890 | 91 | 5155 |
| 17 | 4070 | 42 | 4440 | 67 | 4905 | 92 | 5160 |
| 18 | 4080 | 43 | 4460 | 68 | 4920 | 93 | 5165 |
| 19 | 4090 | 44 | 4480 | 69 | 4935 | 94 | 5170  |
| 20 | 4100 | 45 | 4500 | 70 | 4950 | 95 | 5175 |
| 21 | 4115 | 46 | 4520 | 71 | 4965 | 96 | 5180 |
| 22 | 4130 | 47 | 4540 | 72 | 4980 | 97 | 5185 |
| 23 | 4145 | 48 | 4560 | 73 | 4995 | 98 | 5190 |
| 24 | 4160 | 49 | 4580 | 74 | 5010 | 99 | 5195 |
| 25 | 4175 | 50 | 4600 | 75 | 5025 | 100 | 5200 |
Tableau 5.3: Construction de la fonction de repartition´
43645 89232 00384 10858 21789
14093 06268 46460 97660 23490
61618 19275 40744 22482 12424
98601 19089 53166 41836 28205
Tableau 5.4: Table de nombres au hasard (extraits)
Fi(%)
Figure 5.6: Construction de la fonction de repartition´
|
|
21789
14093 06268 46460 97660 23490
61618 19275 40744 22482 12424
98601 19089 53166 41836 28205
Tableau 5.5: Table de nombres au hasard (selectionn´ es´ par 2)
| i | Fi | xi |
| 1 | 43 % | 4460 |
| 2 | 64 % | 4860 |
| 3 | 58 % | 4760 |
| 4 | 92 % | 5160 |
| 5 | 32 % | 4280 |
| 6 | 0 % | 3900 |
| 7 | 38 % | 4370 |
| 8 | 41 % | 4420 |
| 9 | 8 % | 3980 |
| 10 | 58 % | 4760 |
Tableau 5.6: Methode´ de Monte-Carlo : gen´ erations´ de xi permettent de tirer des enseignements impossibles a` obtenir de manier` e analytique.
La methode´ repose donc sur les principes suivants :
• On suppose connue la fonction de repartition´P(Xi < xi) de la duree´ Xi de la tacheˆ i du projet qui comporte n taches.ˆ
• On procede` a`K jeux de simulations (voir tableau 5.7) du probleme` d’ordonnancement. On note di,k la duree´ de la tacheˆ i dans la simulation numero´ k.
| Tacheˆ | jeu de simulation | % critique | |||||
| i | 1 | 2 | k | K | |||
| 1 | d1,1 | d1,2 | d1,k | d1,K | c1/K | ||
| 2 | d2,1 | d2,2 | d2,k | d1,K | c2/K | ||
| i | di,1 | di,2 | di,k | di,K | ci/K | ||
| n | dn,1 | dn,2 | dn,k | dn,K | cn/K | ||
| Duree´ du projet | D1 | D2 | Dk | DK | |||
Tableau 5.7: Methode´ de Monte-Carlo : ordonnancements
• La simulation d’une duree´di,k d’une tacheˆ i pour le jeu de donnees´ k s’obtient par l’utilisation d’un nombre gen´ er´ e´ aleatoirement.´ Ce nombre a` deux chiffres correspond a` une probabilite´ exprimee´ en % d’une valeur de la fonction de repartition´ de la duree´ de la tacˆ he.
• La table de la fonction de repartition´ de la duree´ de la tacheˆ i permet de passer de la valeur tiree´ aleatoirement´ de la probabilite´ cumulee´ a` la valeur de la duree,´ notee´ di,k.
• Pour chaque jeu de donnees´ k, on resout´ le probleme` d’ordonnancement en universcertain. Onobtientladuree´ minimaled’execution´ duprojetnotee´ Dk pour le jeu de donnees´ numero´ k. On repere` eg´ alement les tacˆ hes critiques pour le jeu de donnees.´
• l’analyse statistique des K jeux de donnees´ permet d’obtenir les trois informations suivantes :
1. pour le projet : une estimation de l’esperance´ mathematique´ de la duree´ d’execution´ du projet. Il suffit de faire la moyenne des Dk,
2. pour chaque tacˆ he : une estimation de la probabilite´ que cette tacheˆ soit critique. Il suffit, en effet, dans chaque ligne, de compter de nombredefoisquelatacheˆ aet´ e´ critique,soitci etlafrequence´ ci/K est un indicateur de la probabilite´ que la tacheˆ soit critique. Cet indicateur porte le nom d’indice de criticite´ de la tache.ˆ
Giard [2] presente´ un exemple de simulation portant sur 1 000 jeux de donnees´ pour l’exemple introductif du chapitre 2 en retenant comme mode la duree´ de l’univers certain et en utilisant des distributions triangulaires. De ces simulations plusieurs enseignements peuvent etreˆ tires´ :
• Certaines tachesˆ qui etaient´ critiques dans l’univers certain n’ont plus qu’une chance sur deux d’etreˆ critiques en univers aleatoire.´ A l’inverse, certaines tachesˆ non critiques dans l’univers certain ont une chance sur 5 d’etreˆ critique en univers aleatoire.´ Ceci traduit l’apparition de nouveaux chemins critiques en univers aleatoire.´
• La duree´ d’achevement` moyenne du projet est superieure´ : elle est de 37 jours contre 35 jours dans le cas certain. En effet, on peut montrer en gen´ eral´ que l’apparition de nouveaux chemins critiques se traduit par une augmentation de l’esperance´ du temps d’execution´ du projet.
L’approche quantitative, que ce soit sous la forme classique ou via des simulations de Monte-Carlo, presente´ des limites :
• En focalisant l’attention sur l’objectif de delai´ , on pourrait perdre de vue les autres objectifs que sont le respect des coutsˆ et le respect des performances.
• Du point de vue de l’action, l’absence d’analyse causale fait que le gestionnaire ne dispose d’aucun guide d’action.
L’avantage principal de la methode´ de simulation est de d’affiner la notion de tacheˆ critique.
5.3. L’analyse qualitative du risque
Leslimitesdel’approchequantitativesoulignee´ ci-dessusconduisea` uneapproche plus qualitative dont le but est de comprendre les causes possibles de der´ apage des delais.´
5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’elaboration´ du projet Ces risques peuvent etreˆ classes´ en quatre categories´ :
• Les imprecisions´ des tachesˆ : lors de l’etude´ preliminaire´ du projet, la liste des taches,ˆ leur durees´ associees,´ la consommation de ressources peuvent etreˆ definies´ avec une relative imprecision.´ Ces imprecisions´ peuvent avoir plusieurs causes :
– un manque de temps dans la phase preliminaire´ pour recherche l’information;
– une meconnaissance´ du travail precis´ a` executer´ liee´ a` une absence d’experience´ anterieure;´
– l’existence de plusieurs scenarios´ techniques possibles entre lesquels on hesite´ a` trancher;
– des imprecisions´ quant aux objectifs du projet.
• Les incoher´ ences du cahier des charges du projet : dans le cahier de charges, on specifie´ les objectifs principaux et les moyens qui seront alloues´ au projet. Rien ne garantit la coher´ ence entre les objectifs et les moyens. Ces incoherences´ peuvent avoir plusieurs causes :
– le budget affecte´ au projet est insuffisant;
– la date d’achevement` du projet est intenable;
– les ambitions en matier` e de qualite´ du produit sont trop ele´ vees´ ;
– les performances des ressources utilisees´ ont et´ e´ surestimees.´
• Les risques techniques et d’industrialisation: les risques techniques peuvent etreˆ definis´ comme la possibilite´ de ne pas pouvoir fabriquer le produit en utilisant une certaine technologie tandis que les risques d’industrialisation sont definis´ comme le risque ne pas pouvoir passer du prototype a` la serie´ sans modification importante des ressources disponibles. Ces risques techniques et d’industrialisation peuvent avoir plusieurs causes :
– la sous-estimation de la complexite´ du produit, en particulier pour un produit innovant, peut conduire a` une sous-estimation des difficultes´ qui seront rencontrees´ dans sa mise en fabrication,
– le choix d’un nouveau proced´ e´ peut demander de mobiliser d’avantage de ressources;
– l’apparition d’un nouveau proced´ e´ de fabrication en cours de projet peutconduirea` l’abandondelasolutiontechniqueinitialementretenue;
– la combinaison de plusieurs solutions epr´ ouvees´ peut conduire a` des problemes` imprevisibles´ (la fabrication d’un prototype automobile au moyen de composants connus peut conduire a` problemes` de bruit decouv´ erts au moment du prototype).
• Les manques de maˆ?trise du suivi des projets : la detection´ tardive de deri´ ves (que ce soit de coutˆ ou de delai)´ entraˆ?nent des actions correctrices prises dans l’urgence. Ces manques de maˆ?trise ont plusieurs causes :
– l’absence de procedur´ es formelles de detection´ des derives´ ;
– un manque de mise a` jour des informations transmises par les opera-´ tionnels a` la direction de projet;
– une absence de procedur´ e de resolution´ en cas de conflits entre les differents´ services impliques´ dans le projet;
– les impasses sur la validation technique du produit qui transferent` les risques sur le produit final.
Lors du lancement d’un nouveau produit, il importe d’anticiper la demande du nouveau produit. Il y a deux categories´ de risques majeurs :
• L’obsolescence commerciale : la demande du produit n’est pas en conformite´ avec les attentes. Cette obsolescence commerciale a plusieurs causes possibles :
– une erreur d’appreciation´ des attentes du marche´ : les caracteristiques´ retenues pour le produit n’interessent´ pas le client au prix retenu (echec´ du tel´ ephone´ satellitaire au prix demande);´
– une erreur d’appreciation´ sur les volumes demandes´ : peut conduire a` des invendus ou a` des ruptures de stock (l’exemple d’Apple qui vend toujoursmieuxseshautsdegammesalorsquelafirmeproduitenmasse ses bas de gamme);
– l’introductionparla concurrencede produitsplusattractifs(l’introduction du GSM a elimin´ e´ du marche´ les autres tel´ ephones´ portables);
– la modification rapide de certains facteurs consider´ es´ comme stables : par exemple, le regime´ politique, le cours des matieres` premieres.`
• les risques reglementair´ es : les normes que doivent respecter les produits peuvent changer. Ces risques sont lies´ le plus souvent soit :
– a` unedateincertainedemiseenœuvred’unnouveaureglement` dansun pays debouch´ e´ : par exemple, une nouvelle reglementation´ en matiere` d’emission´ de gaz polluants dont la date est incertaine;
– a` la meconnaissance´ du contenu exact du nouveau reglement` : par exemple, quel sera le niveau de bruit accepte´ pour les avions de nuit.
La solution est evidemment´ de retenir la solution qui repond´ aux normes les plus strictes mais elle risque d’etreˆ la plus couteuse.ˆ
Il y a deux grandes categories´ de risques lies´ a` la prevision´ d’utilisation des ressources requises par le projet :
• Les risques relatifs a` la definition´ des ressources requises : les ressources necessaires´ ont et´ e´ mal definies.´ Les causes possibles de ces imprecisions´ dans la definition´ des ressources requises sont multiples.
– En ce qui concerne le personnel, un changement de l’environnement reglementair´ epeutmodifierladisponibilite´ dupersonnel(parexemple, l’introduction de la loi sur les 35 heures).
– En ce qui concerne les equipements´ , un changement de normes de securit´ e´ (impliquant le remplacement d’outils vetustes)´ ou de normes enmatier` ed’impactssurl’environnement(parexemple,unediminution des normes de rejet atmospherique´ de dioxine).
– Dans le cahier de charge, il peut y avoir une meconnaissance´ des ressources precises´ , qu’elles soient humaines ou materielles´ qui seront a` mobiliser pour executer´ le projet.
– Il peut y avoir incoher´ ence entre les ressources choisies : par exemple, l’introduction d’une nouvelle machine a` commande numerique´ neces-´ site le recyclage de l’operateur´ .
Lesrisquesrelatifsa` ladisponibilite´ desressourcesrequises: souventlors de l’ordonnancement initial du projet on fait l’hypothese` de capacite´ infinie pour les ressources. C’est evidemment´ prendre le risque de se trouver face a` des goulets d’etranglement´ en matiere` de disponibilite´ des facteurs. Les causes possibles de la mauvaise definition´ du potentiel des ressources sont :
– une meconnaissance´ de la performance de nouveaux equipements´ ;
– une sous-estimation de la duree´ de l’apprentissage de nouveaux equi-´ pements;
– une mauvaise coordination entre l’utilisation de ressources sur plusieurs projets.
Il importe que les conflits entre projets sur l’utilisation des ressources disponibles soit ger´ es´ a` un niveau hier´ archique ele´ ve´. Il est a` remarquer que memeˆ si des procedur´ es de reservation´ des ressources sont mises en œuvre, un retard sur un projet peut liberer´ en retard la ressourcepour un autre projet.
En cours d’execution´ du projet, des ev´ enements´ imprevus´ peuvent compromettre les objectifs du projet. Les risques encourus en phase d’execution´ du projet sont de trois ordres :
• Les risques lies´ a` une detection´ tardive du probleme` : pour pouvoir faire undiagnostic,ilfaut,d’unepart,disposerdesbonnesinformationset,d’autre part, les traiter a` temps. Les causes principales de detection´ tardive d’un probleme` sont lies´ a` :
– En ce qui concerne l’informationexterne, une attitude passive vis-a-vis` de la collecte d’information (il faut etreˆ pro-actif, c’est-a-dire` chercher les signes avant coureurs, par exemple d’un changement du marche´ plutotˆ que d’attendre et de constater l’effondrement du marche);´
– en ce qui concerne l’information interne, elle peut etreˆ disponible mais rarement sous sa bonne forme et au bon endroit;
– en ce qui concerne le traitement de l’information : l’absence d’indicateurs calcules´ automatiquement peut faire qu’une information, memeˆ disponible, n’est pas traitee´ en temps utile;
– en ce qui concerne le traitement de l’information : a` l’inverse, une absence de filtrage de l’information peut conduire a` une inondation d’informations qui a le memeˆ effet que de ne pas transmettre l’information.
Les risques lies´ a` un diagnostic errone´ : il peut y avoir une erreur de diagnostic liee´ a` une mauvaise interpretation´ des faits. En effet,
– plusieurs causes peuvent avoir le memeˆ effet et la cause retenue n’est pas la bonne;
– on peut s’attacher a` une cause apparente sans chercher la cause profonde;
– l’hypothese` de relation causale peut etrˆ e tout simplement erronee´ .
• Les risques de reponse´ inappropriee´ : memeˆ si le diagnostic formule´ est correct, la reponse´ apportee´ peut etrˆ e inappropriee´ . A cet eg´ ard, comme source de reponses´ inappropriees,´ on peut citer :
– le report de la faute sur autrui qui est souvent une reponse´ d’un service prestataire (c’est pas moi, c’est lui);
– la logique de temporisation qui privilegie´ la solution de court terme en repoussant la solution du probleme` profond a` plus tard;
– la creation´ de nouvelles regles` qui visent a` prev´ enir le probleme` rencontre´ mais asphyxie le systeme` (par exemple, par un exces` de proce-´ dures de controle).ˆ
Nous allons, pour terminer, donner quelques strategies´ possibles pour la diminution des risques encourus, que ce soit en phase d’elaboration´ ou en phase d’execution´ du projet.
Fondamentalement, durant la phase d’elaboration´ du projet deux strategies´ de limitation du risque peuvent etreˆ consider´ ees´ :
• L’amelioration´ du niveau de l’information : il s’agit ici d’amelior´ er le nombre, la qualite´ et la pertinence des informations relatives aux tacˆ hes. Cette amelioration´ peut prendre plusieurs formes :
– decoupage´ de tachesˆ en des tachesˆ plus el´ ementaires;´
– consultation a` un niveau hierarchique´ plus bas; – comptes-rendus ecrits´ des reunions´ de travail.
L’externalisation des risques : on peut vouloir transfer´ er des risques chez un fournisseur ou un sous-traitant. Ainsi l’execution´ de certaines tachesˆ peut etreˆ confiees´ a` des tiers sur base d’un cahier de charges precis.´ Il faut evidemment´ que le sous-traitant respecte les clauses du contrat sinon le risque n’est pas traite´ mais simplement deplac´ e.´
Enphased’execution´ duprojet,lorsquedesderives´ sontconstatees´ ,troisstrategies´ visant a` reagir´ a` la nouvelle situation peuvent etreˆ mises en œuvre :
• La reacti´ vite´ par revision´ des objectifs : on peut reagir´ aux imprevus´ en reajustant´ les objectifs afin que les nouveaux objectifs restent realistes´ et acceptes´ de tous. Parmi les mesures de reaction´ aux deri´ ves constatees,´ on peut citer les suivantes :
– retarder les dates butoirs de certains jalons du projet, ce qui va le plus souvent se traduire par une nouvelle date de fin du projet;
– diminuer le niveau de qualite´ requis par rapport au niveau prevu´ initialement dans le cahier de charges, dans la mesure evidemment´ ou` ce niveau reste acceptable pour le client; –reviser´ a` la hausse le coutˆ du projet.
Mais la reactivit´ e´ par revision´ des objectifs est souvent un constat d’echec.´
• La reacti´ vite´ par revision´ des tachesˆ : il s’agit ici de modifier la liste des tacˆ hes, leurs liens ou leur contenu. Les solutions envisageables sont :
– le chevauchement de plusieurs tachesˆ critiques (mais ceci suppose que la tacheˆ aval puisse deb´ uter plus tot,ˆ par exemple, graceˆ a` des moyens additionnels);
– la suppression de certaines tachesˆ jugees´ accessoires (par exemple un controleˆ intermediaire);´
– la modification du contenu d’une tacˆ he (par exemple, l’abandon d’un nouveau proced´ e´ au profit d’une technologie mieux maˆ?trisee).´
• La mobilisation momentanee´ de ressources additionnelles pour respecter les delais.´ On distingue :
– l’appel a` des ressources internes : heures supplementaires,´ travail un jour feri´ e,´ appel a` du personnel d’autres services;
– l’appel a` des ressources externes : interim,´ sous-traitance.
5.5. Exercices
5.1. Approche classique du risque. Considerons´ l’exemple introductif du chapitre 2 de construction d’un batimentˆ donne´ au tableau 2.1 mais avec une duree´ de chaque tacˆ he du projet consider´ ee´ comme aleatoir´ e de distribution Betaˆ . On note respectivement par :
• Ai, la duree´ minimum,
• M0i, sa duree´ la plus probable,
• Bi, sa duree´ maximum.
Ces donnees´ sont reprises au tableau 5.8 avec les prealables´ de chaque tache.ˆ
| No | tacheˆ | Ai | M0i | Bi | prealables´ |
| 1 | terrassement | 3 | 5 | 7 | - |
| 2 | fondations | 2 | 4 | 5 | 1 |
| 3 | colonnes porteuses | 1 | 2 | 3 | 2 |
| 4 | charpente toiture | 1 | 2 | 5 | 3 |
| 5 | couverture | 2 | 3 | 5 | 4 |
| 6 | maconnerie¸ | 2 | 5 | 7 | 3 |
| 7 | plomberie, electricit´ e´ | 1 | 3 | 7 | 2 |
| 8 | coulage dalle beton´ | 2 | 3 | 4 | 7 |
| 9 | chauffage | 2 | 4 | 6 | 8 et 6 |
| 10 | platreˆ | 8 | 10 | 13 | 9 et 5 |
| 11 | finitions | 3 | 5 | 8 | 10 |
Tableau 5.8: Construction d’un batimentˆ : duree´ aleatoire´ des taches.ˆ
(a) Sur base des formules de l’approche classique, calculez la moyenne et la variance de la duree´ d’execution´ de chaque tache.ˆ
(b) Faire un ordonnancement base´ sur les durees´ moyennes des taches.ˆ
(c) En deduire´ la duree´ moyenne du projet ainsi que la variance de la duree´ du projet.
(d) En deduire´ un intervalle de confiance a` 95 % sur la duree´ du projet.
5.2. Approche simulatoire du risque. On considere` le memeˆ exemple mais avec cette fois-ci des distributions uniformes entre A et B. aleatoir´ e de distribution Betaˆ . On note respectivement par :
• Ai la duree´ minimum d’execution´ de la tacheˆ i;
• Bi, la duree´ maximum d’execution´ de la tacheˆ i.
Ces valeurs sont donnees´ a` la table 5.9.
| No | tacheˆ | Ai | Bi | prealables´ |
| 1 | terrassement | 3 | 7 | - |
| 2 | fondations | 2 | 5 | 1 |
| 3 | colonnes porteuses | 1 | 3 | 2 |
| 4 | charpente toiture | 1 | 5 | 3 |
| 5 | couverture | 2 | 5 | 4 |
| 6 | maconnerie¸ | 2  | 7 | 3 |
| 7 | plomberie, electricit´ e´ | 1 | 7 | 2 |
| 8 | coulage dalle beton´ | 2 | 4 | 7 |
| 9 | chauffage | 2 | 6 | 8 et 6 |
| 10 | platreˆ | 8 | 13 | 9 et 5 |
| 11 | finitions | 3 | 8 | 10 |
Tableau 5.9: Construction d’un batimentˆ : distribution uniforme.
(a) Donner la formule de calcul des valeurs des probabilites´ cumulees´ des durees´ des tachesˆ du projet.
(b) En deduire´ la formule permettant de deduire´ la duree´ x en fonction de la probabilite´ cumulee´ P(X < x).
(c) En utilisant la table de nombres aleatoires,´ faire 4 simulations successives pour les durees´ des taches.ˆ
(d) En deduire´ la duree´ moyenne du projet.
(e) En deduire´ la criticite´ des taches.ˆ
5.3. Agrandissement d’une clinique (suite). Pour le projet d’agrandissement d’une clinique (voir exercice 3.8), on veut tenir compte de l’incertitude sur la duree´ d’execution´ des tacˆ hes. On a determin´ e,´ pour chaque tacheˆ :
• ai, sa duree´ optimiste,
• mi, sa duree´ la plus probable,
• bi, sa duree´ pessimiste.
Le tableau 5.10 donne ces valeurs pour chacune des taches.ˆ
| Tacheˆ | ai | mi | bi |
| A | 11 | 12 | 13 |
| B | 7 | 8 | 15 |
| C | 5 | 10 | 15 |
| D | 8 | 9 | 16 |
| E | 14 | 25 | 30 |
| F | 6 | 9 | 18 |
| G | 25 | 36 | 41 |
| H | 35 | 40 | 45 |
| I | 10 | 13 | 28 |
| J | 1 | 2 | 15 |
| K | 5 | 6 | 7 |
Tableau 5.10: Agrandissement d’une clinique
(a) Calculez l’esperance´ et la variance de la duree´ de chaque tacheˆ via les formules de la methode´ PERT.
(b) Determinez´ lesparametres` µX et?X2 delavariablealeatoire´ X representant´ la duree´ du projet.
(c) Calculez la probabilite´ que le projet ne dure pas plus de 72 semaines.
5.4. Budgetdelancementd’unnouveauproduit(suite). Pourl’exercice4.2, la direction de l’entreprise, inquiete` du delai´ de realisation´ du projet, voudrait prev´ oir une intervalle de confiance a` 99 % sur la duree´ du projet. Pour cela, elle a collecte´ les informations suivantes sur les tachesˆ :
• ai, la duree´ plus faible jamais observee´ pour la tacheˆ i;
• bi, la duree´ plus ele´ vee´ jamais observee´ pour la tacheˆ i;
• mi, la duree´ le plus souvent observee´ pour la tacheˆ i.
Le tableau 5.11 reprend ces informations.
| Tacheˆ | ai | mi | bi |
| A | 3 | 5 | 7 |
| B | 4 | 6 | 8 |
| C | 1 | 3 | 5 |
| D | 5 | 8 | 11 |
| E | 1 | 2 | 3 |
| F | 9 | 11 | 13 |
| G | 1 | 1 | 1 |
| H | 10 | 12 | 14 |
Tableau 5.11: Budget de lancement (suite)
(a) Determiner´ les parametres` µX et ?X2 de la variable X donnant la duree´ du projet.
(b) Determiner´ un intervalle de confiance a` 99 % pour X.
Annexe A
Definition´ A.1On definit´ la marge libre comme la partie de la marge totale que l’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs.
Si l’on considere` que les ancetrˆ es et les descendants de la tacˆ he sont programmes´ au plus totˆ , on definit´ ainsi la marge libre comme la difference´ entre :
• La date de deb´ ut au plus totˆ du descendant (ou la plus precoce´ de ces dates si la tacheˆ a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus totˆ de la tache.ˆ
Definition´ A.2On definit´ la marge independante´ comme la partie de la marge que l’on peut utiliser sans affecter la marge des pred´ ecesseur´ s et des successeurs.
Si l’on considere` que les ancetrˆ es de la tacˆ he sont programmes´ au plus tard et ses descendants au plus totˆ , la marge independante´ est la difference´ entre :
• la date de deb´ ut au plus totˆ du descendant (ou la plus precoce´ de ces dates si la tacheˆ a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus tard de son ancetreˆ (ou la plus tardive de ces dates, si la tacheˆ a plusieurs ancetres)ˆ augmentee´ de la duree´ de la tache.ˆ
avec n = nombre d’annees,´ i = taux d’actualisation annuel.
119
Definition´ A.3On definit´ l’ecart´ de planning comme la differ´ ence entre le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ et le budget encouru, c’est-a-dir` e le coutˆ budget´ e´ du travail initialement prevu´ :
Ecart de planning = CBTE - CBTP
L’analyse de cet ecart´ conduit a` dire que :
• Si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est superieur´ au budget encouru (ecart´ positif), les realisations´ du projet sont en avance par rapport aux previsions;´
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est inferieur´ au budget encouru (ecart´ neg´ atif), les realisations´ du projet sont en retard par rapport aux previsions.´
Definition´ A.4On definit´ l’ecart´ de planning relatif comme l’ecart´ de planning divise´ par le budget encouru :
CBTE - CBTP
Ecart de planning relatif =
CBTP
Definition´ A.5Ondefinit´ l’ecart´ decoutˆ commeladiffer´ enceentrelecoutˆ budget´ e´ du travail effectue´ et le coutˆ encouru, c’est-a-dir` e le coutˆ reel´ du travail effectue´ :
Ecart de coutˆ = CBTE - CRTE
L’analyse de cet ecart´ conduit a` dire que :
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est inferieur´ au coutˆ encouru (ecart´ de coutˆ neg´ atif), les realisations´ du projet ont coutˆ e´ plus cher que prevu;´ on est en presence´ d’un risque de depassement´ budgetair´ e si l’on ne peut pas compenser par des economies´ ulterieures;´
• si le coutˆ budget´ e´ du travail effectue´ est superieur´ au coutˆ encouru (ecart´ de coutˆ positif), les realisations´ du projet ont coutˆ e´ moins cher que prevu;´ on a donc plus de chance de tenir l’enveloppe budgetaire´ initiale.
Section A.5. Distribution de probabilité 121
(voir figure A.1)
• La distribution uniforme postule que toutes les valeurs comprises entre la
Figure A.1: Distribution uniforme de probabilite´ valeur minimale A et la valeur maximale B sont equipr´ obables.
– sa fonction de densite´ de probabilite´f(x) est donnee´ par :
(A.1)
– sa fonction de repartition´ F(X < x) est donnee´ par :
(A.2)
avec
Figure A.2: Distribution Betaˆ de probabilite´
• La distribution Betaˆ (voir figure A.2) est une distribution unimodale qui :
– a une fonction de repartition´ t. q. F(X < A) = 0 et F(X > B) = 1,
– a une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
(A.3)
– a une esper´ ance mathematique´E(X) donnee´ par :
(A.4)
– a une varianceV (X) donnee´ par :
(A.5)
– et a un modeM0 donne´ par :
(A.6)
• La distribution Normale (voir figure A.3) est une distribution unimodale qui :
– a une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
(A.7)
Figure A.3: Distribution normale de probabilite´
– a une fonction de repartition´ donnant P(X < x?) donnee´ par :
(A.8)
• La distribution triangulaire (voir figure A.4) ne necessite´ que de connaˆ?tre les trois parametr` esA,B etM0, autrement dit les deux valeurs extremesˆ et le mode de la distribution. Cette distribution a :
– une fonction de densite´ de probabilite´ donnee´ par :
– une fonction de repartition´ donnant P(X < x) donnee´ par :
– une esper´ ance mathematique´ E(X) donnee´ par :
– une varianceV (X) donnee´ par :
V(X) =A(A ? M0) + B(B ? A) + M0(M0 ? B)
18
minimum maximum
Figure A.4: Distribution triangulaire de probabilite´
• la duree´t de chaque tacˆ he du projet est consider´ ee´ comme aleatoir´ e de distribution Betaˆ . Les parametr` es de la distribution Betaˆ sont calcules´ moyennant une hypothese` de calcul assez forte (on suppose et quea` partir des trois parametres` A, B et M0. Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :
– Quelle est la duree´ minimum de realisation´ de la tacheˆ ?
– Quelle est la duree´ maximale de realisation´ de la tacheˆ ?
– Quelle est la duree´ la plus probable ?
pour obtenir respectivement les parametres` A, B et M0.
• Ces trois parametres` permettent de calculer la moyenne et la variance, a` partir des formules suivantes :
(A.9)
(A.10)
Annexe B
Annexe B. Table de nombres au hasard
| 43 | 64 | 58 | 92 | 32 | 00 | 38 | 41 | 08 | 58 | 21 | 78 | 91 | 40 | 93 |
| 06 | 26 | 84 | 64 | 60 | 97 | 66 | 02 | 34 | 90 | 61 | 61 | 81 | 92 | 75 |
| 40 | 74 | 42 | 24 | 82 | 12 | 42 | 49 | 86 | 01 | 19 | 08 | 95 | 31 | 66 |
| 41 | 83 | 62 | 82 | 05 | ||||||||||
| 39 | 65 | 76 | 45 | 45 | 19 | 90 | 69 | 64 | 61 | 20 | 26 | 36 | 31 | 62 |
| 58 | 24 | 97 | 14 | 97 | 95 | 06 | 70 | 99 | 00 | 73 | 71 | 23 | 70 | 90 |
| 65 | 97 | 60 | 12 | 11 | 31 | 56 | 34 | 19 | 19 | 47 | 83 | 75 | 51 | 33 |
| 30 | 62 | 38 | 20 | 46 | 72 | 20 | 47 | 33 | 84 | 51 | 67 | 47 | 97 | 19 |
| 98 | 40 | 07 | 17 | 66 | 23 | 05 | 09 | 51 | 80 | 59 | 78 | 11 | 52 | 49 |
| 75 | 17 | 25 | 69 | 17 | 17 | 95 | 21 | 78 | 58 | 24 | 33 | 45 | 77 | 48 |
| 69 | 81 | 84 | 09 | 29 | 93 | 22 | 70 | 45 | 80 | 37 | 48 | 79 | 88 | 74 |
| 63 | 52 | 06 | 34 | 30 | 01 | 31 | 60 | 10 | 27 | 35 | 07 | 79 | 71 | 53 |
| 28 | 99 | 52 | 01 | 41 | 02 | 89 | 08 | 16 | 94 | 85 | 53 | 83 | 29 | 95 |
| 56 | 27 | 09 | 24 | 43 | 21 | 78 | 55 | 09 | 82 | 72 | 61 | 88 | 73 | 61 |
| 87 | 18 | 15 | 70 | 07 | 37 | 79 | 49 | 12 | 38 | 48 | 13 | 93 | 55 | 96 |
| 41 | 92 | 45 | 71 | 51 | 09 | 18 | 25 | 58 | 94 | 98 | 83 | 71 | 70 | 15 |
| 89 | 09 | 39 | 59 | 24 | 00 | 06 | 41 | 41 | 20 | 14 | 36 | 59 | 25 | 47 |
| 54 | 45 | 17 | 24 | 89 | 10 | 08 | 58 | 07 | 04 | 76 | 62 | 16 | 48 | 68 |
| 58 | 76 | 17 | 14 | 86 | 59 | 53 | 11 | 52 | 21 | 66 | 04 | 18 | 72 | 87 |
Tableau B.1: Table de nombres au hasard
Annexe C
Annexe C. Table de la loi normale centrée réduite
| P | zj | |||||||||
| zi | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,0 | 0,5000 | 0,4960 | 0,4920 | 0,4880 | 0,4840 | 0,4801 | 0,4761 | 0,4721 | 0,4681 | 0,4641 |
| 0,1 | 0,4602 | 0,4562 | 0,4522 | 0,4483 | 0,4443 | 0,4404 | 0,4364 | 0,4325 | 0,4286 | 0,4247 |
| 0,2 | 0,4207 | 0,4168 | 0,4129 | 0,4090 | 0,4052 | 0,4013 | 0,3974 | 0,3936 | 0,3897 | 0,3859 |
| 0,3 | 0,3821 | 0,3783 | 0,3745 | 0,3707 | 0,3669 | 0,3632 | 0,3594 | 0,3557 | 0,3520 | 0,3483 |
| 0,4 | 0,3446 | 0,3409 | 0,3372 | 0,3336 | 0,3300 | 0,3264 | 0,3228 | 0,3192 | 0,3156 | 0,3121 |
| 0,5 | 0,3085 | 0,3050 | 0,3015 | 0,2981 | 0,2946 | 0,2912 | 0,2877 | 0,2843 | 0,2810 | 0,2776  |
| 0,6 | 0,2743 | 0,2709 | 0,2676 | 0,2643 | 0,2611 | 0,2578 | 0,2546 | 0,2514 | 0,2483 | 0,2451 |
| 0,7 | 0,2420 | 0,2389 | 0,2358 | 0,2327 | 0,2296 | 0,2266 | 0,2236 | 0,2206 | 0,2177 | 0,2148 |
| 0,8 | 0,2119 | 0,2090 | 0,2061 | 0,2033 | 0,2005 | 0,1977 | 0,1949 | 0,1922 | 0,1894 | 0,1867 |
| 0,9 | 0,1841 | 0,1814 | 0,1788 | 0,1762 | 0,1736 | 0,1711 | 0,1685 | 0,1660 | 0,1635 | 0,1611 |
| 1,0 | 0,1587 | 0,1562 | 0,1539 | 0,1515 | 0,1492 | 0,1469 | 0,1446 | 0,1423 | 0,1401 | 0,1379 |
| 1,1 | 0,1357 | 0,1335 | 0,1314 | 0,1292 | 0,1271 | 0,1251 | 0,1230 | 0,1210 | 0,1190 | 0,1170 |
| 1,2 | 0,1151 | 0,1131 | 0,1112 | 0,1093 | 0,1075 | 0,1056 | 0,1038 | 0,1020 | 0,1003 | 0,0985 |
| 1,3 | 0,0968 | 0,0951 | 0,0934 | 0,0918 | 0,0901 | 0,0885 | 0,0869 | 0,0853 | 0,0838 | 0,0823 |
| 1,4 | 0,0808 | 0,0793 | 0,0778 | 0,0764 | 0,0749 | 0,0735 | 0,0721 | 0,0708 | 0,0694 | 0,0681 |
| 1,5 | 0,0668 | 0,0655 | 0,0643 | 0,0630 | 0,0618 | 0,0606 | 0,0594 | 0,0582 | 0,0571 | 0,0559 |
| 1,6 | 0,0548 | 0,0537 | 0,0526 | 0,0516 | 0,0505 | 0,0495 | 0,0485 | 0,0475 | 0,0465 | 0,0455 |
| 1,7 | 0,0446 | 0,0436 | 0,0427 | 0,0418 | 0,0409 | 0,0401 | 0,0392 | 0,0384 | 0,0375 | 0,0367 |
| 1,8 | 0,0359 | 0,0351 | 0,0344 | 0,0336 | 0,0329 | 0,0322 | 0,0314 | 0,0307 | 0,0301 | 0,0294 |
| 1,9 | 0,0287 | 0,0281 | 0,0274 | 0,0268 | 0,0262 | 0,0256 | 0,0250 | 0,0244 | 0,0239 | 0,0233 |
| 2,0 | 0,0228 | 0,0222 | 0,0217 | 0,0212 | 0,0207 | 0,0202 | 0,0197 | 0,0192 | 0,0188 | 0,0183 |
| 2,1 | 0,0179 | 0,0174 | 0,0170 | 0,0166 | 0,0162 | 0,0158 | 0,0154 | 0,0150 | 0,0146 | 0,0143 |
| 2,2 | 0,0139 | 0,0136 | 0,0132 | 0,0129 | 0,0125 | 0,0122 | 0,0119 | 0,0116 | 0,0113 | 0,0110 |
| 2,3 | 0,0107 | 0,0104 | 0,0102 | 0,0099 | 0,0096 | 0,0094 | 0,0091 | 0,0089 | 0,0087 | 0,0084 |
| 2,4 | 0,0082 | 0,0080 | 0,0078 | 0,0075 | 0,0073 | 0,0071 | 0,0069 | 0,0068 | 0,0066 | 0,0064 |
| 2,5 | 0,0062 | 0,0060 | 0,0059 | 0,0057 | 0,0055 | 0,0054 | 0,0052 | 0,0051 | 0,0049 | 0,0048 |
| 2,6 | 0,0047 | 0,0045 | 0,0044 | 0,0043 | 0,0041 | 0,0040 | 0,0039 | 0,0038 | 0,0037 | 0,0036 |
| 2,7 | 0,0035 | 0,0034 | 0,0033 | 0,0032 | 0,0031 | 0,0030 | 0,0029 | 0,0028 | 0,0027 | 0,0026 |
| 2,8 | 0,0026 | 0,0025 | 0,0024 | 0,0023 | 0,0023 | 0,0022 | 0,0021 | 0,0021 | 0,0020 | 0,0019 |
| 2,9 | 0,0019 | 0,0018 | 0,0018 | 0,0017 | 0,0016 | 0,0016 | 0,0015 | 0,0015 | 0,0014 | 0,0014 |
| 3,0 | 0,0013 | 0,0013 | 0,0013 | 0,0012 | 0,0012 | 0,0011 | 0,0011 | 0,0011 | 0,0010 | 0,0010 |
Donne la probabilite´ P(Z > zi + zj)
[1] Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR,
Paris, 2000.
[2] Vincent GIARD, Gestion de Projets, Economica, Paris, 1991.
[3] GIARD Vincent, Gestion de la production et des flux, 3eme` Edition, Economica, Paris, 2003.
[4] Robert HOUDAYER, Evaluation financiere` des projets, Economica, Paris, 1999.
[5] J.O. MAC CLAIN, L.J. THOMAS et J.B. MAZZOLA, Operations Management: Production of Goods and Services, Prentice Hall, 1992.
[6] Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques, AFNOR, Paris, 1996.
[7] J.R. MEREDITH,et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley, 2003.
Annexe D
Il s’agit ici de dev´ elopper un logiciel de transmission pour la communication avec les camions, de maniere` a` transmettre en temps reel´ aux camions les enlev` ements a` realiser´ et a` permettre le suivi en temps reel´ de la flotte et des colis.
L’enonc´ e´ de cette etude´ de cas ainsi que des el´ ements´ de solutions peuvent etreˆ trouve´ dans Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques, AFNOR, Paris, 1996 [6, pages 185 a` 216].
La direction d’une societ´ e´ decide´ d’informatiser sa gestion. On comparera, sur le plan financier, les trois solutions envisagees´ : achat de materiel´ informatique, location de ce materiel,´ sous-traitance des services informatiques.
Pour les donnees´ precises´ de cette etude´ de cas et des el´ ements´ de solution, on se ref´ erera´ a` l’ouvrage de Robert HOUDAYER, Evaluation´ financier` e des projets, Economica, Paris, 1999 [4, pages 257 a` 273].
Un organisme de formation continue decide,´ pour faire connaˆ?tre son offre de formation, de se lancer dans la conception d’un site Internet. Il s’agit de definir´ le cahier de charge fonctionnel du site Internet et de planifier le dev´ eloppement, la mise en service et la mise a` jour du site Internet.
Pour les donnees´ de cette etude´ de cas, on se ref´ erera´ a` l’ouvrage de Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, AFNOR, Paris, 2000 [1, 132 Annexe D. Etudes´ de cas
pages 184 a` 213].
La mairie d’une grande ville choisie pour les jeux olympiques doit planifier la construction du stade en tenant compte de l’incertitude sur la duree´ des tachesˆ (risqueslies´ auxintemperies,´ risquedegrev` es,retardspossiblesdansleslivraisons).
Pour les donnees´ de cette etude´ de cas, on se ref´ erera´ a` l’ouvrage de J.R. MEREDITH et S.J. MANTEL, Project Management, John Wiley, 2003 [7, pages 441-442].
Il est a` remarquer que si le resultat´ obtenu est negatif´ , la marge independante´ est consider´ ee´ comme nulle, une marge ne pouvant jamais etreˆ neg´ ative.
On suppose que et que
