Cours electricite : les transformateurs

Cours electricité : les transformateurs 

INTRODUCTION

Le transformateur est une machine statique à induction électromagnétique permettant de transformer un système de courant en un ou plusieurs autres systèmes alternatifs, de tentions et d’intensité généralement différents, mais de fréquence identiques, avec un excellent rendement. Ces différents systèmes de courant sont électriquement séparés.

S’il est vrai que les règles de l’électromagnétisme auxquelles répondent les transformateurs demeurent les mêmes, les perfectionnements apportés aux matériaux magnétiques, conducteurs et isolants, et aux moyens de leur mise en œuvre ont permis d’atteindre à ce jour, avec un taux de fiabilité accrue, des tensions de plus de 800 kV, et des performances unitaires supérieures à 1600 MVA, ceci malgré des contraintes de transport de masses indivisibles de plus en plus strictes.

C’est un appareil robuste qui est le plus souvent monophasé. Il est très utilisé en électrotechnique car c’est l’appareil de base pour le transport de l’énergie électrique

(fig. 1-1). Il joue un grand rôle en électronique, soit avec un circuit magnétique pour les alimentations à basse fréquence, soit sans circuit magnétique pour les circuits couplés en haute fréquence.

1.1. Définitions

Un tel appareil représente un quadripôle, c’est-à-dire un circuit muni de quatre bornes (ou pôles) (fig. 1-2) :

Fig. 1-2

• une première paire de bornes, E₁ et E₂, constitue l’entrée ;
• une seconde paire de bornes, S₁ et S₂, constitue la sortie.

Le transformateurreçoit de la puissance, entre ses bornes d’entrée, de la part du générateur qui l’alimente. C’est le côté primaire de l’appareil Ilrestitue presque intégralement cette puissance au récepteur (dit charge du transformateur) branchéentre ses bornes de sortie. C’est le côté secondaire. Autrement dit, son rendement est excellent.

Si I₁ et I₂ sont des valeurs efficaces des courants sinusoïdaux circulant, d’une part entre E₁ et E₂ et d’autre part entre S₁ et S₂, on a sensiblement :

U₁ . I₁ = U₂ . I₂

Si          U₁ > U₂⇒I₁ < I₂,               le transformateur est alors :

• élévateur de tension,
• abaisseur de courant.

Si          U₁ < U₂⇒I₁ > I₂,               le transformateur est alors :

• abaisseur de tension,
• élévateur de courant.

Comme tout appareil électrique, chaque transformateur est spécialement calculé pour fonctionner :

• sous une tension primaire U_1n,
• en absorbant un courant voisin d’une valeur I_1n.

Les valeurs U_1n                       sont appelées les valeurs nominales et leur produit

S_n = U_1n . I_1nest lapuissance apparente nominalede l’appareil.

La plaque signalétique, fixée sur le transformateur, indique, en particulier, les valeurs de S_n, U_1n et U_2n (la valeur de la tension secondaire nominale).

Transformateur monophasé

Transformateur triphasé

(Couplage triangle/étoile)

Transformateur de courant

Autotransformateur

Transformateur tore

Fig. 1-3

1.2. Symboles

Pour les schémas on utilise les représentations symboliques sur la fig. 1-3. Pour les transformateurs triphasés il est nécessaire d’indiquer le type de couplage au primaire et au secondaire.

1.3. Constitution

Un transformateur monophasé (fig. 1-4) est constitué de deux enroulements non liésélectriquement, mais enlaçant un même circuit magnétique, c’est-à-dire couplés magnétiquement entre eux.

Le circuit magnétique est un ensemble fermé comportant souvent deux noyaux (ou colonnes) et deux culasses (ou traverses) réunissant les noyaux.

Le circuit magnétique est le siège d’un champ magnétique sinusoïdal, ce qui entraîne des pertes magnétiques (exprimées en watts), par courant de Foucault et dues à l’hystérésis.

NOYAUX

CULASSES

Les enroulements sont repartis sur les noyaux : le primaire est relié aux bornes d’entrée et se comporte comme un récepteur ; le secondaire est relié aux bornes de sortie et se comporte comme un générateur.

Etant donné que le transformateur est le siège de deux types de pertes : magnétiques dans les tôles du circuit magnétique et par effet Joule dans le cuivredes enroulements, cette puissance électrique consommée et non restituée à la charge apparaît sous forme de chaleur au sein du transformateur. Cette chaleur doit être entièrement évacuée vers l’extérieur pour empêcher la détérioration des isolants. Il faut prévoir un dispositif de refroidissement.

1.4. Théorie élémentaire

Il faut préciser d’abord que toutes les grandeurs relatives au primaire sont affectées de l’indice 1 (nombre de spires N₁, …) et au secondaire sont affectées de l’indice 2 (nombre de spire N₂, …).

•  Conventions de signes et hypothèses de travail

Primaire^B

Secondaire

Fig. 1-5

Afin de mettre en évidence les différents sens le transformateur est représenté (fig.

1-5) avec les enroulements primaire et secondaire disposés sur un seul noyau et séparés l’un de l’autre (ce qui ne correspond pas à la réalité technologique).

Le sens positif choisi pour exprimer le champ magnétique B dans les tôles est lorsque les lignes de champ, dans la colonne gauche, seront dirigées vers le haut.

A l’aide de la règle du tire-bouchon, on déduit du choix précédent les sens positifs des courants primaire i₁et secondaire i₂.

On adopte enfin les sens positifs des tensions primaire u₁ (fonctionne en récepteur) et u₂ (fonctionne en générateur).

On suppose que les résistances R₁ et R₂ du primaire et du secondaire sont suffisamment faibles pour avoir les chutes de tension i₁.R₁ et i₂.R₂ négligeables devant les tensions u₁ et u₂ (R₁ = R₂ = 0).

On suppose que le champ magnétique B, créé par les courants i₁ et i₂, est constitué de lignes de champ parfaitement canalisées par les tôles, c’est-à-dire traversant les N₁spires du primaire et les N₂spires du secondaire.

Si le flux unitaire est représenté par Ψ, on a le flux total à travers le primaire

Ψ₁ = N₁.Ψ et Ψ₂ = N₂. Ψ.

•  Constance du champ magnétique et équilibre des f.m.m.

La tension sinusoïdale appliquée entre les bornes du primaire est : u₁ = U₁ √2 sin ωt

Puisque la résistance est nulle, la loi d’Ohm s’écrit le long de l’enroulement primaire (fig. 1-6) :

u₁ = - e₁

D’où :

Ψ = U₁ / ω.N_1.√2 sin (ωt - π/2)

Si l’aire de la section du noyau est s, on a Ψ= b.s, d’où :

b = U₁ / ω.s.N_1.√2 sin (ωt - π/2)

Le champ magnétique dans les tôles est sinusoïdal avec la même pulsation ω que la tension primaire u₁ et le déphasage par rapport à la même de - π/2 (quadrature en arrière). Son amplitude a pour expression :

B_m= U₁ / ω.s.N_1.√2

Pour un transformateur donné (c’est-à-dire N₁ et s fixés) les trois caractéristiques du champ b ne dépendent que de la tension u₁ appliquée au primaire.

Si l’appareil est toujours alimenté par le même réseau, le champ magnétique

garde la même expression quelle que soit le récepteur branché au secondaire.C’est ce qu’on appelle la constance du champ magnétique.

Le champ magnétique b créé par le courant i₁ circulant dans les N₁ spires du primaire et le courant i₂ circulant dans les N₂ spires du secondaire (fig. 1-4), autrement dit par la force magnétomotrice (f.m.m.) totale

N₁.i₁ + N₂.i₂

Comme le champ b reste toujours le même quelque soit le courant i₂ débité, il en est de même de la grandeur qui le provoque. Pour une tension primaire u₁ donnée la force magnétomotrice totale N₁.i₁+ N₂.i₂ garde toujours la même expression.

Considérons les deux fonctionnements de l’appareil :

•  Transformateur à vide (i₂= 0)

Il absorbe au primaire un courant très faible (fig. 1-7a), appelé courant à vide, i₀. La f.m.m. donnant naissance au champ se réduit à N₁.i₀.

Fig. 1-7

•  Transformateur en charge

La f.m.m. donnant naissance au champ (fig. 1-7b) a l’expression N₁.i₁ + N₂.i₂. Comme ce champ est le même que dans le fonctionnement à vide, on a :

N₁.i₁ + N₂.i₂ = N₁.i₀.

N₁.i₁ = N₁.i₀.- N₂.i₂

D’où :

i₁ = i₀ + (- m.i₂),                          avec m = N₂/N₁

Lorsqu’on passe du fonctionnement à vide au fonctionnement en charge, le primaire appelle un courant supplémentaire(- m.i₂) :ce courant, dit courant de travail,circule dans les N₁ spires du primaire et crée aussi une f.m.m. qui annuleexactement la f.m.m. du secondaire.

N₁. (- m.i₂) + N₂.i₂ = 0,puisque m = N₂/N₁

Par la suite, seule la f.m.m. N₁.i₀ donne naissance au champ : c’est la raison pour laquelle le courant à vide i₀ est souvent appelé courant magnétisant.

En charge, le courant i₁ absorbé au primaire est la somme de deux composantes :

le courant magnétisant i₀ qui crée le champ magnétique dans les tôles ;

le courant de travail (- m.i₂) proportionnel au courant débité dans le récepteur.

une composante active i₀₀ (en phase avec u₁) due aux pertesmagnétiques dans les tôles et, parsuite, d’autant plus faible que ces tôles sont de meilleure qualité ; une composante réactive i_0b (en quadrature en arrière par rapport à u₁) qui correspond au champ b etqui est d’autant plus faible que les entrefers du circuit magnétique sont réduits.

Dans la plupart des transformateurs industriels le courant i₀ a une valeur efficace I₀ très inférieure à la valeur nominale I_1n du courant primaire ; en conséquence, sauf pour le fonctionnement à vide, on peut négliger i₀ devant i₁ et écrire :

i₁ = - m.i₂

Les f.m.m. du primaire et du secondaire s’équilibrent pratiquement.

1.5. Fonctionnement du transformateur parfait

Le transformateur parfait est un appareil idéal (c'est-à-dire qui n’existe pas en toute rigueur) pour lequel :

Les résistances R₁ et R₂ des deux enroulements sont nulles ;

Les lignes de champ enlacent toutes les spires des deux enroulements ;

Le courant à vide i₀ est nul.

1.5.1. Définitions et équations du transformateur parfait

Le fonctionnement d’un tel transformateur est régi par trois équations (fig. 1-9) :

Fig. 1-9

• La loi d’Ohm au primaire u₁ = N₁.dΨ/dt
• La loi d’Ohm au secondaire

Le champ magnétique b induit dans les N₂ spires du secondaire la f.é.m. e₂= -dΨ₂/dt ; mais la convention adoptée pour le secondaire étant générateur, la loid’Ohm s’écrit :

u₂ = e₂.

u₂ = N₂.dΨ/dt

•  La relation entre les courants

i₁ = - m.i₂

On déduit des équations ci-dessus le rapport de transformation m :

m = u₂/u₁ = N₂/N₁

Pour un transformateur parfait le rapport U₂/U₁ est une constante indépendante des courants : il est égal au rapport des nombres de spires.

Mais étant donné que la tension u₁ est sinusoïdale :

La tension secondaire étant égale à u₂= m.u₁, elle est aussi sinusoïdale. Si le récepteur est linéaire, le courant i₂ dû à la tension u₂ est sinusoïdal. Comme i₁= m.i₂, le courant primaire est aussi sinusoïdal.

Les quatre grandeurs u₁, i₁, u₂ et i₂ sont toutes sinusoïdales : on peut introduire leursvecteurs de Fresnel (fig. 1-10).

Fig. 1-10

Les tensions u₁ et u₂ sont en opposition de phase et ont des valeurs efficaces U₁ et U₂telles que U₂/U₁ = m.

Les courants i₁ et i₂ sont en opposition de phase et ont des valeurs efficaces I₁ et I₂ telles que I₂/I₁=1/m.

Si N₂  > N₁, c'est-à-dire si m > 1, on a U₂  > U₁  et I₂  < I₁, le transformateur est élévateur de tension et abaisseur de courant.

Si N₂ < N₁, c'est-à-dire si m < 1, on a U₂ < U₁ et I₂ > I₁, le transformateur est abaisseur de tension et élévateur de courant.

1.5.2. Diagramme de fonctionnement et bilan de puissances

Un transformateur parfait de rapport m est soumis à une tension sinusoïdale u₁connue et débite dans un récepteur connu. De la tension u₁on déduit la tensionsecondaire u₂ = m. u₁.

Le récepteur étant connu, on détermine à partir de u₂ le courant secondaire i₂. Du courant i₂ on déduit le courant primaire i₁ = m. i₂.

Il est possible de construire les vecteurs de Fresnel des quatre grandeurs u₁, i₁, u₂ et i₂. Le récepteur impose le déphasageϕ₂de u₂par rapport à i₂. On constate que ledéphasage ϕ₁ de u₁ par rapport à i₁ est égal à l’angle ϕ₂.

Le facteur de puissance cosϕ₁ entre les bornes du primaire est égal au facteur de puissance cosϕ₂ du récepteur alimenté par le secondaire.

Les puissances active et réactive absorbées au primaire sont :

P₁ = U₁ . I₁ . cosϕ₁              et                           Q₁ = U₁ . I₁ . sinϕ₁

Il est facile de transformer P₁ et Q₁ et d’introduire les puissances active et réactive, P₂et Q₂, fournies à la charge :

P₁ = (U₂/m) . m.I₂ . cosϕ₂ = U₂ . I₂ . cosϕ₂ = P₂

Q₁ = (U₂/m) . m.I₂ . sinϕ₂ = U₂ .I₂ . sinϕ₂ = Q₂

Les puissances active et réactive absorbées sont intégralement transmises au récepteur alimenté par le secondaire du transformateur.

Le transformateur parfait ne présente aucune perte : son rendement est égal à 100%.

1.6. Intérêt et limite de la théorie du transformateur parfait

Pour démontrer l’utilité de la théorie du transformateur parfait il faut comparer par des études expérimentales le fonctionnement d’un transformateur réel aux prévisions de l’appareil parfait.

1.6.1. Fonctionnement à vide

A l’aide d’un dispositif (par exemple, un autotransformateur) on fait varier la tension primaire (fig. 1-11) U₁ de 0 à U_n. Pour chaque valeur on détermine :

la puissance absorbée P₀ ; le courant primaire I₀ ;

…

Si on compare le fonctionnement d’un transformateur réel aux prévisions obtenues en supposant l’appareil parfait on peut conclure :

A vide un transformateur réel délivre la même tension secondaire que s’il était parfait, donc le rapport U₂₀/U₁= N₂/N₁= m.

A vide un transformateur réel absorbe un courant qui ne vaut que quelques pour cent du courant primaire nominal. Le courant de magnétisation I₀ est très faible par rapport au courant nominal I_1n.

A vide un transformateur réel consomme une puissance dont la valeur relative n’excède pas quelques pour cent. La puissance P₀ représente les pertes à vide.

1.6.2. Fonctionnement en charge

Le primaire étant soumis à une tension nominale le transformateur est chargé progressivement (par exemple, à l’aide d’un rhéostat) à fin d’obtenir différentes valeurs du courant secondaire I₂ et on mesure (fig. 1-12) :

le courant primaire I₁ ;

la tension secondaire U₂; la puissance primaire P₁.

I2

A

U2^V         Rh

Les résultats obtenus montrent :

En charge un transformateur réel délivre une tension secondaire qui décroît légèrement lorsque le courant secondaire augmente (la chute de tension au secondaire ; l’enroulement du transformateur est aussi un consommateur).

En charge un transformateur réel est parcouru, comme un transformateur parfait, par des courants I₁ et I₂, tel que I₁ = m.I₂ (sauf aux faibles charges).

Contrairement au cas du transformateur parfait les pertes existent et croissent avec le courant I₂. Le rendement du transformateur η= P₂/ P₁ reste bon, mais inférieur à 100% (noter que P₂= U₂. I₂, charge résistive).

1.7. Exercices

Le chapitre d’exercices d’application contient un exemple avec solution et des exemples à résoudre.

• Exercice 1 : La plaque signalétique d’un transformateur monophasé parfait porteles indications suivantes :

U_1n= 220 V ; U₂= 24 V ; f = 50 Hz ; S_n= 60 VA

La section utile du circuit magnétique est 2 cm x 3 cm. Sachant que le champ magnétique a une amplitude de 1,6 T, calculer :

-       Le nombre de spires de chacun des enroulements (la tension secondaire correspondante à U_1n étant de 24 V) ;

-       La valeur nominale du courant primaire et le courant secondaire correspondant ;

-       Les puissances active et réactive absorbées par le primaire lorsque le secondaire débite dans un récepteur inductif dont le courant I₂ = 2 A et le facteur de puissance est cos ϕ = 0,8.

N₂= 1032 . 24 / 220 = 113 spires

N₂= 113 spires

La plaque signalétique indique les valeurs nominales U_1n et S_n de la tension primaire et de la puissance apparente. On en déduit la valeur nominale du courant primaire :

Le transformateur étant parfait, la puissance active absorbée par le primaire est

égale à celle délivrée par le secondaire, soit

• Exercice 2 : Le primaire d’un transformateur comporte 780 spires. Quand on luiapplique une tension de 220 V, le secondaire délivre une tension de 12 V.

Calculer :

-       le rapport de transformation de l’appareil ;

-       le nombre de spires au secondaire ;

-       la tension qu’il faut appliquer au primaire pour obtenir 6,3 V au secondaire.

• Exercice 3 : On applique au primaire d’un transformateur la tension sinusoïdaleu₁ = 220.√2. sin 100π.t.

1. Déterminer les expressions des grandeurs instantanées :

-       de la f.é.m. e₁ induite dans les 900 spires du primaire ;

-       du flux magnétique Ψ à travers la section de 8 cm² du circuit magnétique ;

-       du champ magnétique b dans les tôles ;

-       de la f.é.m. e₂ induite dans les 98 spires du secondaire ;

-       de la tension u₂ aux bornes du secondaire.

1. Représenter les vecteurs de Fresnel des cinq fonctions précédentes.

•     Exercice 4 : Un transformateur monophasé possède les caractéristiquessuivantes :

U_1n= 10 kV ; f = 50 Hz ; S_n= 280 kVA ; N₁= 8500 spires

La section utile du circuit magnétique est 5,5 cm x 6 cm. Calculer :

1. l’amplitude du champ magnétique dans les tôles :

1. le nombre de spires du secondaire sachant que la tension secondaire correspondante à U_1n est de 700 V ;

1. la valeur nominale du courant primaire et le courant secondaire correspondant ;
2. les puissances active et réactive absorbées par le primaire lorsque :

-       le secondaire débite un courant I₂ = 350 A ;

-       le facteur de puissance du circuit récepteur inductif est cos ϕ₂ = 0,6.

1.8.  Transformateur réel

 1.8.1.   Modèle du transformateur réel

• Prise en compte du courant magnétisant I₀:

Dans un transformateur réel pour le courant primaire on a l’expression:

i₁ = i₀ + (- m.i₂),

a) Fonctionnement à vide :

Le courant secondaire étant nul i₂= 0, le courant primaire prend la forme : i₁= i₀. Le transformateur est équivalent à une bobine à noyau ferromagnétique qui a pour modèle un dipôle constitué d’une résistance R_m en parallèle avec une réactance X_m

(fig. 1-13).

Fig. 1-13

-       R_mcorrespond à la composante activeI_0a

R_m = U₁ / I_0a = U₁² / P₀

Où : P₀= U₁I_0a= U₁I₀cosϕ₀ = puissance active consommée à vide. Cette puissance est égale aux pertes magnétiques car la résistance R₁ du primaire est toujours négligée jusqu’ici.

-       X_mcorrespond à la composante réactiveI_0r

X_m = U₁ / I_0r = U₁² / Q₀

Ou: Q₀= U₁I_0r= U₁I₀sinϕ₀ = puissance réactive consommée à vide.

b) Fonctionnement en charge :

Au courant i₀ s’ajoute désormais le courant de travail (- m.i₂), or ce courant peut être considéré comme absorbé au primaire d’un transformateur parfait de rapport m dont le secondaire débite le courant i₂. On en déduit le modèle suivant (fig. 1-14) :

Fig. 1-14

En ce qui concerne les tensions, rien n’est modifié par rapport au transformateur parfait : on a toujours u₂/ u₁= - m.

Tenir compte du courant i₀ revient à brancher entre les bornes du primaire d’un transformateur parfait l’impédance R_m // X_m, dite « impédance magnétique ».

• Prise en compte des résistances et de la topographie réelle du champ

1. Fuites magnétiques du transformateur

Pendant les essais on observe que la tension secondaire U₂ diminue lorsque le courant I₂ augmente. Cette chute de tension est due aux résistances R₁ et R₂ des enroulements et à un phénomène négligé jusqu’ici, appelé fuites magnétiques. En effet on a :

-      flux  total  embrassé  par  les  N₁  spires  du  primaire  est :

Φ₁ = N₁ Φ + L₁ i₁

-       Le flux total embrassé par les N₂  spires du secondaire est :

Φ₂ = N₂ Φ + L₂ i₂

b) Modèle complet du transformateur réel

En tenant comptes des flux de fuite et des résistances, la loi d’Ohm au primaire devient (avec u’₁ = N₁ dΦ/dt) :

u₁ = R₁i₁ + dΦ₁ / dt = R₁i₁ + d (N₁Φ+ L₁i₁) / dt = R₁i₁ + L₁di₁ /dt + N₁dΦ/dt

u₁ = R₁i₁ + L₁.di₁ / dt + u’₁

L’expression de u₁ montre que le primaire du transformateur réel se comporte comme

-          le primaire d’un transformateur parfait de N₁ spires soumis à la tension u’₁

-          en série avec la résistance R₁ et l’inductance L₁ parcourues par i₁

Si on exprime la loi d’Ohm au secondaire de la même manière qu’au primaire, le modèle complet du transformateur réel est le suivant (fig. 1-15) :

Fig. 1-15

1.8.2.   Approximation de Kapp

1. Simplification du modèle complet

L’approximation de Kapp consiste à négliger le couranti₀devanti₁sauf auxfaibles charges, donc désormais on écrit :

i₁ = - m.i₂

Ne pas tenir compte de i₀ revient, dans le modèle complet, à débrancherl’impédance magnétisante R_m// X_m, donc le schéma devient (fig. 1-16) :

Fig. 1-16

b) Schéma équivalent du transformateur ramené au secondaire

Il est possible de faire passer l’impédance R₁+ jL₁ω du primaire au secondaire (on multiplie par m²). Le secondaire comporte alors (fig. 1-17) :

-          La résistance R_s= m²R₁+ R₂, dite résistance totale ramenée au secondaire ;

-          La réactance X_S= (m² L₁+ L₂)ω, dite réactance totale ramenée au secondaire.

Au primaire du transformateur parfait, il n’y a plus aucune impédance : U1 est appliquée directement sur l’enroulement du primaire, si bien qu’au secondaire de ce transformateur apparaît la tension – m U1 .

Fig. 1-17

Donc vu des bornes du secondaire, le transformateur réel (dans l’approximation de Kapp) est équivalent à un générateur de Thévenin (fig. 1-18) ayant pour :

-          f.é.m. : - m U1

-          impédance : Z S  = R S + j X S

Fig. 1-18

c) Diagramme de fonctionnement

Sur la figure 1-19a on lit :

−mU 1  = U 2  + RSI2 + j XSI₂

Fig. 1-19

De cette relation complexe on déduit le diagramme de fonctionnement du transformateur (fig. 1-19b).

1.8.3. Chute de tension en charge

a) Définition :

Lorsque le courant secondaire I2 = 0, la tension secondaire U₂, notée U₂₀, a pour l’expression :

U₂ = U₂₀ = m.U₁

Lorsque le courant secondaire I₂ ≠ 0, la tension U₂ est en général différente de U₂₀.

Par définition la chute de tension est :

∆U₂ = U₂₀ – U₂ = m.U₁ – U₂

Cette chute de tension dépend du courant I₂ et du facteur de puissance cosϕ₂ de la charge (fig. 1-20) : en général, on considère la valeur ∆U₂ pour le courant nominal

I_2net un facteur de puissance cosϕ₂précisé.

La chute de tension ∆U₂, exprimée en volts, n’a guère de signification en elle-même. Par exemple, une chute de tension de 4 V prend une importance très différente selon que le transformateur présente une valeur U_2n égale à 220 V ou à 20 kV. Ainsi, on introduit le plus souvent, exprimée en pourcentage, la chute de tension relative :

ε% = (m.U₁ – U₂) / U_2n . 100% = ∆U₂ / U_2n . 100%

Fig. 1-20

b) Expression de la chute de tension∆U2 :

Pour faire apparaître la chute de tension on prend la construction de Fresnel ( Fig. 1-21)

m.U1

XS..I2

RS I2

Fig. 1-21

∆U₂ = U₂₀ – U₂ = m.U₁ – U₂  = OC - BC

Construisons l’arc du cercle de centre C et de rayon BC, cet arc coupe OC en H tel que :

OH = OC – BC = m.U₁ – U₂  = ∆U₂

D’après l’approximation de Kapp le triangle OAB est de très petites dimensions devant OC et BC : autrement dit C est très éloigné de OAB.

Il en résulte que

• OBH est assimilable à un triangle rectangle en H
• Les vecteurs OC et  BC sont presque parallèles si bien que OC faitpratiquementϕ₂ avecI₂

On en déduit que :

∆U₂ = projection sur OCdu vecteur OB ( OA+AB )

= projection sur OC ( OA ) + projection sur OC ( AB )

Donc d’après ces approximations et d’après la figure suivante : ( Fig. 1-22) Il vient :

∆U₂ = R_sI₂cosϕ₂ + X_s I₂ sinϕ₂

Dans ce cas la tension au secondaire est:

U₂ = m.U₁ - ∆U₂ = m.U₁ – (R_sI₂cosϕ₂ + X_s I₂ sinϕ₂)

Fig. 1-22

1.8.4. Pertes du transformateur

Les pertes dans un transformateur sont de deux types : les pertes magnétiques P_mag dans les tôles ;

les pertes par effet Joule P_J dans les enroulements.

Les pertes, qui sont exprimées en watts, n’ont de signification que par rapport à la puissance apparente nominale S_n de l’appareil. En effet, des pertes de 200 W, par exemple, n’ont pas la même importance selon que le transformateur présente une valeur de S_n égale à 5 kVA ou à 100 kVA. Ainsi, comme pour la chute de tension, on introduit les valeurs relatives :

p_mag% = (P_mag / S_n) . 100%p_J% = (P_j / S_n) . 100%

•  Pertes magnétiques

Fig. 1-23

Elles sont dues aux deux causes : à l’hystérésis et aux courants de Foucault.

Lorsqu’un matériau ferromagnétique est soumis à une tension variable le cycle d’hystérésis se répète proportionnellement à la fréquence de cette tension. Et encore, selon la constitution des matériaux (alliages, présence de carbone) et les traitements thermiques (trempe, écrouissage), la forme du cycle d’hystérésis est variable (fig. 1-23).