Support de cours sur la statistique ecart type

APPROFONDISSEMENT : Ecart-type

Objectifs :

-  Etudier la dispersion d'une série statistique autour de sa moyenne.

-  Calculer un écart-type.

-  Présenter certaines applications de cette notion statistique.

Contenu :

-  Explications concernant le calcul de l’écart - type.

-  Exercices d’application avec correction.

Pré-requis :

-  Savoir organiser des données brutes sous forme de tableau (dossier 1).

-  Savoir calculer une moyenne (dossier 3).

Matériel nécessaire :

-  Calculatrice.

Public concerné :

-  Toute personne désirant maîtriser le calcul de l’écart - type d'une série statistique.

STATISTIQUES DESCRIPTIVES

I - Introduction

Lorsque l’on possède une série de données brutes, on peut en effectuer unclassement ou une représentation graphique. On peut aussi calculer des valeurs numériques qui caractérisent la série : Mode, Médiane, Moyenne..;

Mais ces valeurs ne nous renseignent pas sur l’ETALEMENT des données.

Prenons par exemple l’étude des salaires des ouvriers et des employés représentée ci-contre par leur polygone des fréquences.

On remarque tout d’abord que les deux distributions sont décalées sur l’axe des abscisses (le salaire) ce qui permet de supposer que la moyenne des salaires mensuels des employés est supérieure à celle des ouvriers.

(On pourrait le vérifier par le calcul). 

Mais, on remarque aussi qu’il y a un ETALEMENT plus important des salaires des employés.

Il faudrait pouvoir mesurer cet étalement afin de quantifier la différence avec la distribution des salaires d’ouvriers.

Un outil statistique existe pour cela, il s’agit de l’ECART-TYPE.

Voyons comment il est calculé.

REPARTITION DES SALAIRES DES OUVRIERS ET EMPLOYES

ILLUSTRATION DE L’ÉCART TYPE : σ

II - Calcul de l’Ecart-type

Exemple et calcul :

Prenons pour exemple le tableau statistique correspondant à la répartition de poids de fromages (voir dossiers 1 et 2).

Effectif Total : N = 40 

La moyenne des poids des fromages que nous avons calculée dans un dossier précédent (3) est : x ₌ 310 g.

¯ Calcul des écarts à la moyenne

*  Dans la 1^ère classe, centrée sur x₁ = 265, on a n₁ = 1 fromage (effectif de la classe).

L’écart à la moyenne est : 265 - 310 = - 45

C’est-à-dire    x₁ -x = - 45.

On trouve une valeur négative, ce qui est normal car 265 g est plus petit que 310 g.

Dans cette classe, on a n₁ = 1

donc une seule fois cet écart : 1 × (- 45) = - 45  

*  Dans la deuxième classe : x₂ = 275 et n₂ = 1

L’écart à la moyenne est : x₂ - x = 275 - 310 = - 35 

Il n’y a aussi qu’un fromage : n₂ = 1

                                                   1 × (- 35) = - 35 

*  Dans la troisième classe : x₃ = 285 et n₃ = 4

L’écart à la moyenne est : x₃ - x = 285 - 310 = - 25 

Mais, il y a 4 fromages dans cette classe, on observe donc 4 fois cet écart :

                                                   4 × (- 25) = - 100

On a donc fait comme calcul :

                                              effectif × écart à la moyenne

                                          =     n₃         ×              (x₃ - x)

                                          =      4         ×          (285 - 310)

                                          =      4         ×               (- 25)

                                          = - 100

*  Pour la quatrième classe : n₄ = 3 et x₄ = 295

                                          =  - 45  

*  Pour la cinquième classe : n₅ = 8 et x₅ = 305 

             On calcule :               n₅          ×               (x₅ - x)

                                          =      8        ×           (305 - 310)

                                          =      8        ×                  (-5)

                                          =  - 40  

*  Pour la sixième classe : n₆ = 12 et x₆ = 315 

*  Pour la septième classe : n₇ = 7 et x₇ = 325 

             On calcule :               n₇          ×               (x₇ - x)

                                          =      7        ×           (325 - 310)

                                          =      7        ×                  (15)

                                           =  105  

*  Pour la huitième (et dernière) classe : n₈ = 4 et x₈ = 335 

On calcule :                 n₈           ×         (x₈ - x)            =          4    ×         (335 - 310)

                                          =      4        ×                  (25)

                                           =  100  

On regroupe en général ces valeurs dans un tableau présenté sous la forme suivante, ce qui permettra de faire la somme des écarts que l’on note :

                                                    ∑[ni (xi - x)]

∑ [n_i (x_i - x)] = (- 45) + (- 35) + (- 100) + (- 45) + (- 40) + (60) + (105) + (100) = 0

On trouve zéro !!

Cette méthode ne permet donc pas de caractériser les écarts à la moyenne.

Pour mesurer l’étalement des valeurs, il faut donc modifier le calcul en partant du principe qu’un écart de 15 (par exemple) avant la moyenne vaut un écart de 15 après la moyenne. 

Pourtant  15 avant la moyenne représente : - 15  et     15 après la moyenne représente :  + 15.

¯ Comment éliminer l’effet de signe ?

Il faut trouver un principe qui éliminera l’effet du signe négatif.

On a choisi de prendre : le CARRE de l’écart. 

Regardons ce qui se passe avec un exemple :

écart :  - 15 ¨ carré :     (- 15)  ×  (-15)  =  + 225 écart :  + 15 ¨ carré :  (+ 15)  ×  (+15)  =  + 225

Dans les deux cas on arrive à la même valeur, on a donc « éliminé » l’effet de signe. Un écart de 15 avant la moyenne correspond à un écart de 15 après la moyenne.

¯ Qu’est ce qui change dans le calcul ?

 Dans le tableau, on avait créé une colonne (x_i - x). Il faut en ajouter une supplémentaire : (x_i −x)²qui représente le carré de l’écart.

     On continue ensuite en multipliant le carré de cet écart par l’effectif de la classe.

¯ Exemples de calcul avec la 1^ère, la 3^èmeet la 8^èmeclasse :

*  1^ère classe : 

-  centre de classe :              x₁ = 265 

-  écart à la moyenne :         x_{1 -} x = 265 - 310 = - 45 

-  carré de l’écart :     (x₁ - x)² = (- 45)² = 2 025

-  effectif de la classe :         n₁ = 1

-  écart total :              n₁ (x₁ - x)² = 1 × 2 025 =2 025

*  3ème classe : 

-  centre de classe :              x₃ = 285 

-  écart à la moyenne :         x_{3 -} x = 285 - 310 = - 25

-  carré de l’écart :     (x₃ -x)² = (-25)² = 625

-  effectif de la classe :         n₃ = 4

-  écart total :              n₃ (x₃ - x)² = 4 × 625 = 2 500

*  8^ème classe : 

-  centre de classe :              x₈ = 335 

-  écart à la moyenne :         x_{8 -} x = 335 - 310 = + 25

-  carré de l’écart :     (x₈ -x)² = (+25)² = 625

-  effectif de la classe :         n₈ = 4

-  écart total :              n₈ (x₈ - x)² = 4 × 625 = 2 500

et de même pour toutes les classes

¯ Tableau récapitulatif

L’ensemble des valeurs est repris sous forme d’un tableau dont il faut connaître la construction, elle sera valable dans tous les autres cas.

                                                                                                            2                                      2

On effectue la somme des nombres de la dernière colonne  on la note : ∑ [n_i (x_i − x)²]

Elle représente la SOMME TOTALE DES ECARTS AU CARRE  ici ∑ [ni (xi − x)²] = 2025 + 1225 + 2500 + 675 + 200 + 300 + 1575 + 2500 = 11000

¯ Comment obtenir une moyenne des écarts ?

La valeur que l’on vient de trouver est valable pour les 40 fromages de l’échantillon. Si l’on veut la valeur moyenne pour 1 fromage, il suffit de diviser par l’effectif total noté N qui vaut ici : 40.

Soit : = 275

∑[n_i (x_i − x)²]

qui représente comme calcul :               N

et qu’on appelle : VARIANCE

Mais, cette variance est une moyenne des CARRES des écarts.

Pour avoir une moyenne des écarts, il suffit d’effectuer l’opération inverse du carré c’est à dire la RACINE CARREE et l’on obtient enfin : L’ECART - TYPE

Noté : σ              d’où           σ =                                 

ici  

Remarque : La VARIANCE est donc le carré de l’ECART-TYPE VARIANCE = σ²

III - Utilisation de l’écart-type

A)  Signification

L'écart-type (σ) est une CARACTERISTIQUE DE DISPERSION. Elle donne une notion de l'étalement autour de la moyenne qui peut être illustré par exemple, par le graphique ci-contre.

B)  Comparaison

1)  Exemple :

Pour deux élevages de veaux de même effectif, l'alimentation a été différente et on a constaté que la moyenne des poids à 5 mois était identique : 180 kg. Voir à la suite la représentation graphique des deux séries statistiques.

Le calcul de l'écart-type de chaque série confirme, en valeur chiffrée, ce qui apparaît sur le graphique : UN ETALEMENT SUPERIEUR POUR LA SERIE 2 PAR

RAPPORT A LA SERIE 1 ; c'est à dire :

avec pour notre exemple : σ₂ = 18 kg et σ₁ = 10 kg : 18 >10.

En conclusion, on peut penser dans un tel cas que le choix de l'alimentation pour les veaux de l'élevage 1 conduit à une plus grande homogénéité des poids.

2)  Autre exemple :

Supposons cette fois un même élevage à deux époques différentes : 5 mois et 15 mois.

à 5 mois :   x₁ = 180 kg

à 15 mois : x₂ = 470 kg

Dans ce cas, à quoi peut servir le calcul de l'écart-type ?

Envisageons les deux cas possibles :

*  les deux écarts type sont sensiblement égaux σ₁ ≈ σ₂,

*  les deux écarts type sont sensiblement différents σ₁ ≠ σ₂

a)   

Supposons σ₁ = 10 kg et σ₂ = 10,2 kg.

Les distributions seraient illustrées par le graphique n°1 ci-contre.

On pourrait alors conclure que tous les veaux ont grossi de la même façon.

b)   

Supposons cette fois : σ₁ = 10 kg et σ₂ = 26 kg.

pour les mêmes valeurs de moyennes que le a), les distributions seraient illustrées par le graphique n°2 ci-contre.

L'étalement n'est plus le même (10 ≠ 26) et l'évolution n'est donc plus la même pour tous les veaux.

Comment expliquer cela ?

Pendant que la moyenne des poids augmentait (entre 5 et 15 mois), l'écart-type n'aurait-il pas suivi la même évolution ?

Un calcul peut nous permettre de répondre : il s'agit du COEFFICIENT DE VARIATION noté Cυ avec :

σ Ecart− type

Cυ= = x moyenne

Calculons-les pour notre exemple :

Courbe 1 : Cυ₁ =  = 00556,     

Courbe 2 : Cυ₂ =  = 00553,      

Les deux coefficients sont égaux (ou presque) ; ils confirment que, proportionnellement, les deux grandeurs : moyenne et écart-type ont varié de façon identique.

Répartition des poids de veaux à 5 mois pour les deux élevages

RÉPARTITION DES POIDS DES VEAUX AVEC ÉCARTS TYPES

ÉGAUX

RÉPARTITION DES POIDS DES VEAUX AVEC ÉCARTS TYPES DIFFÉRENTS

Remarques :

*  Dans tous les cas d'évolution, le coefficient de variation ne sera pas toujours constant, il peut augmenter ou diminuer.

*  Un coefficient de variation peut aussi être exprimé en pourcentage.

exemple : Cυ₁ = 0,0556 = 5,56 %.

IV - Exercices d’application

A  - Les sapins

Dans une sapinière on a mesuré tous les sapins et on a obtenu, après regroupement, le tableau suivant :

La hauteur moyenne des sapins est : x = 5,32 m

Calculer l’écart-type.

Le tableau présentant l’ensemble des résultats peut prendre la forme suivante :

A vous !  

B  - Les chocolats 

Une ensacheuse peut-être réglée sur deux consignes différentes :

* sachets de 100 grammes, * sachets de 500 grammes.

Dans le cas du 1er réglage, l'écart-type a été contrôlé, sa valeur est de 7 grammes.

Pour contrôler l'évolution des variables lorsque l'on passe au deuxième réglage on a prélevé un échantillon ; les résultats sont les suivants :

1)  Quelle est la moyenne ? Respecte t-elle la consigne ?

2)  Que peut-on conclure du calcul de l'écart-type et de la comparaison avec l'autre consigne ?

Réponses

A  - Sapins

VARIANCE =  = 2,2414

                                        ECART-TYPE = 22414,  = 1,497 m

B  - Chocolats

1)  La moyenne est respectée lorsque la consigne est sur 500 grammes.

2)  Calculons les coefficients de variation :

                 100 grammes → Cυ₁ =  = 007,    = 7 %

                                          500 grammes → C  ,              ,     %

On peut conclure que l'écart-type a augmenté très légèrement mais que cette augmentation n'a pas été proportionnelle à celle de la moyenne puisque les coefficients de variation ne sont pas égaux. Le lot est donc relativement plus homogène pour la consigne de 500 grammes.

Partie II

Exercices

Exercice sur la variance et l’écart-type

Exercice 1

On considère les résultats de l’amphi à un examen

1)  Calculez la moyenne de l’amphi m=11,83

2)  Déterminez la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série médiane=12

(50eme note), Q1=11, Q3=13

3)  Calculez la variance et l’écart-type de la série V=2,64 et σ=1,62

4)  Répondez aux questions 1 à 3 en supposant que le professeur augmente chaque note de 1 point. m=12,83, médiane=13, Q1=12, Q3=14, V=2,64 et σ=1,62

5)  Répondez aux questions 1 à 3 en supposant que le professeur augmente chaque note de 10%. CM=1,1 donc m=1.1x11.83=13,013, médiane=13,2, Q1=12,1, Q3=13,4, V=3,19 (1,1²x2,64) et σ=1,1x1,62=1,78

Exercice 2

On considère la taille d’un échantillon d’insectes

1)  Calculez la taille moyenne de l’échantillon m=21mm  

2)  Déterminez la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série 

Médiane=21mm, Q1=19mm et Q3=23mm  

3)  Calculez la variance et l’écart-type de la série V=1,68 et σ=1,30  4) Répondez aux questions 1 à 3 en prenant la taille en cm et non en mm  

m=2,1cm, médiane=2,1cm, Q1=1,9cm et Q3=2,3cm, V=0,0168 et σ=0,130

Exercice 3

On considère la taille des élèves de CP et de CM2

Calculez la taille moyenne de chaque classe et la taille moyenne de l’ensemble 

Moyenne CP=133,5 Moyenne CM2=143,75 Moyenne globale=138,625  

2)  Calculez la variance et l’écart-type de chaque classe. VCP= 14  et σCP=3.74 ; VCM2=22,19 et σCM2=4,71  

3)  D’après vous, quelle classe est la plus homogène en termes de taille ? Les CP

(σCP/moyenneCP=0,028 < σCM2/moyenneCM2=0,033)  

4)  Calculez la variance totale et la variance des moyennes des 2 classes par rapport à la moyenne globale. A votre avis, la dispersion totale s’explique-t-elle d’abord par la dispersion au sein des 2 classes, ou par la dispersion entre les 2 classes ? 

Vintra=(VCP+VCM2)/2=18.10

Vinter=[(133,5-138,625)²+(143,75-138,625)²]/2=26,26  

Vtotale=Vintra+Vinter=44,36

Vinter/Vtotale=0,70 donc 70% de la dispersion est expliquée par la différence de taille entre CP et CM2.

chapitre 4bis STATISTIQUES 2

Exercice 1

Marc est dans une classe de BEP Secrétariat. Voici les notes obtenues au dernier devoir :  06 – 14 – 12 – 15 – 05 – 08 – 06 – 06 – 15 – 18 – 17 – 15 – 12

1.    Ranger ces notes dans un tableau contenant trois colonnes. 

2.    À l'aide du tableau, calculer la moyenne de cette classe. 

 = 11,75. La moyenne de cette classe est de 11,75/20.

Exercice 2

Dans un lycée, on a relevé la taille des 500 élèves. Le tableau suivant recense les informations

recueillies. 

1.    Compléter la colonne "nombre d'élèves". 

2.    Que faut-il calculer dans la troisième colonne ? Les calculer et compléter la colonne. 

Il faut calculer les centres de classe. 

3.    Que doit-on calculer dans la dernière colonne ? Compléter cette colonne.  Il faut calculer les produits x_ixn_i

4.    Calculer la taille moyenne des élèves du lycée.  = 169,08. La taille moyenne est de 169 cm.

Exercice 3

 Un directeur de supermarché chronomètre le temps d'attente en caisse. Les résultats sont

consignés dans le tableau suivant. 

Calculer le temps d'attente moyen dans ce supermarché.  = 13,65. 

Le temps moyen d'attente en caisse est de 13,65 minutes (soit 13 minutes et 39 secondes). 

Exercice 4

Dans une équipe de football, l'âge des joueurs est (en années) : 

23 – 25 – 18 – 19 – 24 – 24 – 25 – 21 – 21 – 25 – 23 – 19 – 20 – 21 - 22

1.    Quel est l'âge moyen ? 

Après calculs, on trouve que l'âge moyen est de 20,6 ans (soit 20 ans et 7 mois).

2.    Quel est l'âge médian ?

Rangeons les âges dans l'ordre croissant : 

18 – 19 – 19 – 20 – 21 – 21 – 21 – 22 – 23 – 23 – 24 – 24 – 25 – 25 - 25      22 est l'âge du "milieu" : 22 est l'âge médian. 

Exercice 5

Le nombre d'enfants de 50 familles d'un lotissement est donné par le tableau suivant : 

1.    Compléter la deuxième colonne du tableau. 

2.    Dans les deux dernières colonnes du tableau, calculer les fréquences et les FCC. 

3.    Déterminer le nombre médian d'enfants par famille. 

Le nombre médian est de 3 enfants (nombre d'enfants correspondant à une FCC égale à 0,5).

Exercice 6

Le temps d'écoute quotidien de la télévision de 40 lycéens est le suivant : 

Déterminer le temps médian d'écoute de la télévision par ces lycéens.

Il faut construire le polygone des fréquences cumulées croissantes.

Fréquences cumulées croissantes

                                                                                                                          (en min)

40           80            120          160         200

                                                        85

Le temps médian est d'environ 85 minutes, soit 1 heure et 25 minutes.

Exercice 7

On recense, sur une journée, le nombre d'enfants de la clientèle d'une grande surface. Les

résultats sont donnés dans le tableau ci-après. 

                                                                               1                       2                       3

1.    Compléter la colonne 1 de ce tableau. 

2.    En déduire la moyenne de cette série statistique.  = 2. La moyenne de cette série est 2.

3.    Compléter les colonnes 2 et 3 de ce tableau. 

4.    En déduire la variance, puis l'écart-type de cette série statistique. 

V =  = 0,75. La variance de cette série statistique vaut 0,75.

σ = V = 0,75 ≈ 0,866. L'écart-type de cette série vaut environ 0,866.

Exercice 8

L'âge des pères de 30 élèves de BEP est le suivant : 

1.    Compléter la colonne "x_i" en calculant les centres de classe. 

2.    Compléter le tableau, puis déterminer : 

a.    La moyenne de cette série statistique 

1 292,5

 ≈ 43,1. La moyenne de cette série statistique vaut 43,1. 30

b.    La variance. V =  La variance de cette série vaut environ 27,8.

c.    L'écart-type. σ = V= 27,8 ≈ 5,3. L'écart-type de cette série vaut environ 5,3.