Exercices sur la statistique a une variable

Exercices sur la statistique a une variable

Exercices 2

A.    On a relevé sur un parc automobile la couleur des véhicules et on a constitué le tableau ci-dessous

blanc	10
noir	5
rouge	2
jaune	1
bleu	20

Quel est le caractère étudié ?

Est-ce un caractère qualitatif ou quantitatif ?

Quel est l’effectif total de la série ?

B.     Indiquez si les valeurs suivantes sont continues ou discrètes
            Prix d’un menu
            Nombre de clients/soirée
            Nombre d’habitants
            Taille d’un poisson

10	7	25	8	3	10	20
10	9	8	20	10	7	9
14	30	21	10	8	20	17

C.     On a relevé dans une ville, le nombre de tables pour chacun des restaurants

            Le caractère est-il qualitatif ou quantitatif ?
            La variable est-elle continue ou discrète ?
            Composez le tableau 

Nombre de table	Effectif

Exercice supplémentaire

On a relevé la puissance en CV de chacun des véhicules d’une entreprise de location.

9	7	8	5	4	5	7	7	6	6	5	5
8	5	6	6	5	3	5	6	8	6	6	4
4	5	6	4	6	7	4	4	7	5	6	6
4	5	6	4	6	7	4	4	7	5	6	6
8	2	2	3		5	4	5	5	3	7	5
4	8	5	6	5	4	7	4	6	7	5	6

Quel est l’effectif total ?
Composer le tableau statistique de cette série.

Exercices 4

A.    On a relevé en fin de mois le montant des chèques reçus dans une agence de voyage en euros :

210,00	127,00	390,00	410,00	540,50	190,00	280,00
472,00	350,00	742,00	176,00	138,50	120,00	355,20
100,50	170,20	150,30	170,00	595,00	792,50	688,20
105,10	240,00	200,10	185,00	205,00	175,00	182,50

Composer le tableau suivant

Classes	Effectifs
[0-100[ [100-200[ [200-700[ [700-800[

B.     Compléter le tableau

Classes	Amplitude	Centre
[0-30[ [30-…….[ [……..-……..[ [90-……..[	……….. 30 ……….. ………..	……….. ……….. 75 105

Exercice supplémentaire

Voici les notes obtenues par les élèves à l’issue d’un contrôle. Présenter les distributions des effectifs dans les classes : [0-8[ ; [8-10[ ; [10-12[ ; [12-15[ ; [15-20[

1 5	1 0	1 7	1 4	1 6	8	1 2	7	7	1 5	5	1 9	6	1 0	5
8	7	1 2	9	2	1 3	1 0	1 7	1 4	8	3	1 0	1 1	1 8	3

Exercices 6

A.    Voici les résultats d’une enquête portant sur le nombre de kilomètres parcourus par les clients d’une agence de voyage

Kilomètres	Effectifs
[0-200[	8
[200-800[	32
[800-1500[	24
[1500-5000[	16

      Complétez ce tableau avec les fréquences de chaque

      classe en %.

D.    Voici la série statistique relative aux salaires mensuels des salariés d’un hôtel :

Salaires	Effectifs
[1000-1500[	12
[1500-2000[	25
[2000-2500[	36
[2500-3000[	22
[3000-4000[	15

-          Calculez le nombre total de salariés dans cet hôtel.

-          Composez les tableaux des effectifs cumulés croissants et décroissants.

-          Combien y a-t-il de salariés qui touchent moins de 2500 € ?

-          Combien y a-t-il de salariés qui touchent plus de 2500€ ?

E.     Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l'enquête sont notés dans le tableau ci dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) :

 

Age : [0 ; 10[
Centre de classe : 5
Effectif : 27

Age : [10 ; 20[
Centre de classe : 
Effectif : 45

Age : [20 ; 30[
Centre de classe : 
Effectif : 48

Age : [30 ; 40[
Centre de classe : 
Effectif : 39

Age : [40 ; 50[
Centre de classe : 
Effectif : 42

Age : [50 ; 60[
Centre de classe : 
Effectif : 36

Age : [60 ; 70[
Centre de classe : 
Effectif : 33

Age : [70 ; 80[
Centre de classe : 
Effectif : 24

Age : [80 ; 90[
Centre de classe : 
Effectif : 6

 

- Compléter ce tableau en indiquant le centre de classe d'âge.
- Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à  
   20 ans ?

Exercice supplémentaire

On réalise une enquête relative à l’âge de chacun des employés d’une entreprise.

31	25	40	19	35	24	60	24	25	48	35	40	47	29	60
38	29	61	20	40	44	35	25	40	35	41	26	24	21	41
30	33	35	18	36	25	31	34	33	55	23	31	33	34	41
55	37	25	57	32	30	41	20	57	31	49	37	33	53	60
33	22	40	49	21	38	48	8	30	40	60	20	40	18	34
39	31	60	31	32	49	36	26	50	33	56	27	58	50	38

-          Répartissez par âge l’effectif en personnel dans les classes : [18-25[ ; [25-35[ ; [35-45[ ; [45-50[ ; [50-60[.

-          Composez le tableau des effectifs cumulés croissants et décroissants.

-          Combien y a-t-il d’employés dont l’âge est compris entre 50 et 60 ans ?

-          Combien y a-t-il d’employés de moins de 45 ans ?

-          Combien y a-t-il d’employés de plus de 35 ans ?

Exercices 8

A.    La répartition du personnel d’une chaîne de restaurant est la suivante :
Hôtellerie : 220 ; Entretien : 23 ; Administration : 35 ; Autres : 42

-  Composez le tableau

Personnel de

Effectifs

Fréquences

Angles

-  Représentez cette répartition en % par un diagramme circulaire

B.     Une statistique sur la taille de élèves donne les résultats suivants :

Taille En cm	Nombre d’élèves
[140-150[ [150-160[ [160-170[ [170-180[ [180-190[	20 45 110 65 10
	250

      Construisez l’histogramme des effectifs
      (en abscisse : les cm et en ordonnée : le nombre d’élèves)

C.     Le nombre d’enfants de 78 familles est indiqué dans le tableau suivant :

Nombre d’enfants	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Nombre de familles	6	14	25	11	9	5	4	2	1	1

-          Le caractère est-il quantitatif ou qualitatif ?

-          Tracez un graphique de cette série.

 

Exercices récapitulatifs 9

1. Une association de consommateurs a relevé dans 80 magasins le prix de vente du même appareil éléctro-ménager.

Prix de vente (€)	Nombre de magasin
[300-310[	10
[310-320[	20
[320-330[	16
[330-340[	14
[340-350[	10

1) Quel est le caractère étudié ? 2) Quel est l’effectif total ? 3) Combien de magasins vend ce produit moins de 340 € ? 4) Calculez les fréquences pour chaque classe.

5) Quel est le pourcentage de magasin qui vend ce produit moins de 340 € ?
6) Construire 2 graphiques différents pour représenter ces données.
7) Donner l’amplitude et le centre de chaque classe.
8) Tirer une grande conclusion de ces données.

2. On fait des statistiques ce que l’on veut…
   Le graphique suivant est paru dans le New Yorker Post sous le titre « Ascension du Post, le quotidien préféré des New-Yorkais ».
   Le but de ce graphique est de convaincre le lecteur que la croissance du tirage du Post va bientôt l’amener en 1^ère position, devant le News.

Ces conclusions sont-elles correctes ? Pourquoi ?

Si ce n’est pas le cas, tracer le graphique correct.et tirer la bonne conclusion.

…

3. Lors d’un contrôle de vitesse sur une route nationale (limitées à 90 km/h), on a relevé les résultats suivants :

Vitesses (km/h)	Effectifs (nombre de véhicules)
[70-80[	28
[80-90[	95
[90-100[	77
[100-110[	38
[110-120[	12

1) Le caractère étudié est-il qualitatif, quantitatif discret ou continu ?
2) Quel est l’effectif total ?
3) Déterminer le nombre de véhicules et le % de véhicules dont la vitesse
            - est inférieure à 90 km/h
            - est inférieure à 100 km/h
            - est supérieure à 100 km/h
            - comprise entre 80 et 100 km/h
4) Tirer une conclusion de ces données.

4. Le diagramme suivant présente les ù obtenus par 4 partis politiques lors d’une élection. Sur base de ce graphique, indiquer lequel de ces 4 partis a obtenu

à le + de suffrages ?

à le – de suffrages ?

…

Sachant que le graphique présente les angles suivants : 48° pour le parti unitaire belge, 86° pour le parti de l’indépendance de la Flandre, 89° pour le parti de l’autonomie Francophone et 49°  pour le parti pour l’entente totale. Trace le vrai graphique et compare tes conclusions avec ce nouveau graphe. Que pensez des secteurs circulaires en perspective ?

Noms, prénoms : 

Travail de groupe 

1. Reprendre tous les exercices vus précédemment  au cours et réaliser les graphiques correspondants.
2. A partir des graphiques suivants, retrouver les données de base qui ont permis de le réaliser.

….

3. Inventer un énoncé qui contient au minimum 10 données statistiques cohérentes. Traiter cet énoncé en calculant les différents paramètres vus en classe précédemment ; tracer le graphique et tirer les conclusions qui conviennent.
4. A partir du tableau et des graphiques suivants, tirer des conclusions pertinentes.

Insee Première n°1125 - mars 2007

L’hôtellerie et les campings en 2006 :

Tableau : Fréquentation des hôtels et campings en 2006
Nuitées 2006 (en milliers)	Hôtellerie de tourisme			Campings classés
	Total	Français	Étrangers	Total	Français	Étrangers
Alsace	5 553	3 337	2 217	886	415	471
Aquitaine	8 490	6 947	1 543	13 214	8 776	4 439
Auvergne	3 511	3 071	440	1 707	1 280	427
Basse-Normandie	4 564	3 402	1 162	2 724	1 652	1 071
Bourgogne	4 765	3 248	1 517	1 191	439	753
Bretagne	6 889	5 601	1 289	9 758	7 034	2 723
Centre	5 776	4 349	1 427	1 654	803	851
Champagne-Ardenne	2 620	1 768	852	668	276	392
Corse	2 760	1 973	787	3 627	2 048	1 580
Franche-Comté	1 954	1 646	307	1 141	452	689
Haute-Normandie	2 918	2 119	799	622	334	288
Île-de-France	62 066	28 513	33 553	1 125	239	885
Languedoc-Roussillon	7 682	6 067	1 614	15 981	10 496	5 485
Limousin	1 307	1 132	175	870	565	305
Lorraine	3 585	2 868	717	922	365	557
Midi-Pyrénées	9 546	6 383	3 163	4 312	2 894	1 418
Nord - Pas-de-Calais	5 976	4 134	1 843	927	562	365
Pays de la Loire	5 795	5 103	692	10 174	7 542	2 632
Picardie	2 492	1 785	708	1 046	411	635
Poitou-Charentes	4 487	3 951	536	6 609	5 452	1 157
Provence-Alpes-Côte d’Azur	21 113	12 577	8 536	13 318	7 484	5 834
Rhône-Alpes	18 134	13 079	5 055	7 586	4 227	3 359
France	191 983	123 054	68 929	100 062	63 748	36 314

Sources : enquête de fréquentation hôtelière, enquête de fréquentation dans les campings - Insee, direction du Tourisme, partenaires régionaux.

Taux d’occupation des hôtels de tourisme

…

Taux d’occupation des campings en août 2006

…

Évolution des nuitées hôtelières

…

Principales clientèles étrangères de l’hôtellerie de tourisme

…

Nuitées dans les hôtels en 2006

…

Nuitées dans les campings en 2006

…

Nombre de chambres au 1er janvier

…

A- Statistiques descriptives unidimensionnelles

Exercice 1 : Soit x une série statistique. Démontrer la formule de Koenig pour la variance : .

 Exercice 2 : Soit une série statistique de taille n, classée suivant la partition . On noterespectivement l’effectif, l’effectif cumulé et l’amplitude de la classe . Soit  la première classe contenant au moins 50% des effectifs cumulés. Démontrer que l’on peut approcher la médiane par interpolation linéaire :  . De façon analogue, trouver des formules approchées pour les premier et troisièmes quartiles.

Exercice 3 : Au poste de péage, on compte le nombre de voitures se présentant sur une période de 5mn. Sur 100 observations de 5mn, on obtient les résultats suivants :

Nombre de voitures	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nombre d’oservations	2	8	14	20	19	15	9	6	2	3	1	1

1. Construire la table des fréquences et le diagramme en bâtons en fréquences de la série du nombre de voitures.
2. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
3. Déterminer la médiane, les quartiles et tracer le box-plot.
4. Etudier la symétrie de la série.

Exercice 4 : On donne la série unidimensionnelle suivante, correspondant à la répartition des entreprises du secteur automobile en fonction de leur chiffre d’affaire en millions d’euros.

… 

1. Calculer le chiffre d’affaire moyen et l’écart-type de la série.
2. Construire l’histogramme des fréquences
3. Construire les deux polygones des fréquences cumulées
4. Calculer la médiane et la proportion d’entreprises dont le chiffre d’affaire est supérieur à 3 millions d’euros.

 Exercice 5 : La distribution des demandeurs d’emploi selon le sexe et la classe d’âge dans une localité est la suivante :

a) Tracer les deux courbes de fréquences cumulées croissantes.

b) Déterminer les quartiles de la variable X associant à chaque demandeur d’emploi masculin son âge. Même question pour les demandeurs d’emploi de sexe féminin.

c) Conclusions.

B- Statistiques descriptives bidimensionnelles 

Exercice 6 : On cherche à étudier la relation entre le nombre d’enfants d’un couple et son salaire. On dispose de la série bidimensionnelle suivantes : 

Salaire en euros (Y)	Nombre d’enfants (X)
510	4
590	3
900	2
1420	1
2000	0
600	5
850	6
1300	7
2200	8

1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux variables statistiques. Conclusion ?
2. Un expert en démographie affirme que les deux caractéristiques sont indépendantes. Qu’en pensez-vous ?

Exercice 7 : L’indice moyen d’un salaire a évolué de la façon suivante :

1. Représenter cette série statistique par un nuage de points.

b) En utilisant la méthode des moindres carrées, calculer l’équation de la droite représentant l’indice en fonction de l’année.

c) Comment pourrait-on prévoir l’indice à l’année 9 ?

Exercice 8 : Soit X une variable statistique qualitative à k modalités et Y une variable statistique quantitative. Chaque modalité de X définit une sous-population : celle des individus ayant cette modalité. On note  l’effectif correspondant à la modalité j de X, (resp. ) la moyenne (resp. la variance) des valeurs de la variable Y pour les individus de la modalité j. Montrer que  où . On les appelle respectivement variances inter et intra-catégories.

 Exercice 9 : On observe le nombre d’enfants Y sur un ensemble de 12 individus répartis entre les sexes (variable X) :

F	3	4	5	4	2	5
H	10	7	6	3	4	2

1. Représenter graphiquement cette série.
2. Calculer les moyennes arithmétiques dans chaque classe
3. Calculer les variances inter et intra-catégories.
4. Calculer et interpréter le rapport de corrélation entre X et Y. Conclusion ?

Exercice 10 : Soient x et y deux séries statistiques de taille n. On note rx et ry les séries des rangs correspondantes.

1. Montrer que  .
2. Montrer que .
3. En posant , montrer que.
4. En déduire l’expression du coefficient linéaire entre ces deux séries, appelé coefficient de corrélation des rangs de Spearman :  .

Exercice 11 : Dix échantillons de cidre ont été classés par ordre de préférence par deux gastronomes. On obtient les classements suivants :

A	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	3	1	4	2	6	5	9	8	10	7

1. Calculer le coefficient de corrélation des rangs de Spearman. Conclusion ?
2. Une autre façon d’évaluer le lien entre les rangs de deux séries consiste à utiliser le coefficient de corrélation des rangs de Kendall. Ce coefficient est défini par : , où  est obtenue de la façon suivante : on considère tous les couples d’individus de la série. On note 1 si les individus i et j sont dans le même ordre pour les deux variables considérées (ici et ). On note -1 si les deux classements discordent (ici et ).  est la somme les valeurs obtenues pour les couples distincts. Montrer que  est compris entre -1 et 1 et qu’il est d’autant plus proche de 1 que les classements sont semblables. Calculer  pour les données dont on dispose.

Exercice 12 : On considère un échantillon de 797 étudiants d’une université ayant obtenu le DEUG. On étudie le lien entre l’age d’obtention du Bac (variable Y), à 4 modalités (moins de 18 ans, 18 ans, 19 ans, plus de 19 ans), et la durée d’obtention du DEUG (variable X), à 3 modalités (2 ans, 3 ans, 4 ans). On a la table de contingence ci-dessous :

X                 Y	Moins de 18 ans	18 ans	19 ans	Plus de 19 ans
2 ans	84	224	73	19
3 ans	35	137	75	27
4 ans	14	59	34	16

1. Déterminer le tableau des profils colonnes en pourcentage
2. Représenter graphiquement le diagramme en barre de ces profils
3. Déterminer le tableau des effectifs théoriques
4. Calculer l’indice du Chi2 et les contributions de chaque case. Conclusion ?