Cours et exercices d’introduction au statistique a deux variable


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Cours et exercices d’introduction au statistique a deux variable

Définition. Représentation :

ü  Une série statistique à deux caractères quantitatifs, xi et yi, est une série double dont les valeurs sont données par les couples (xiyi) .

ü  Cette série est représentée dans un repère orthogonal par les points de coordonnées (xiyi) qui forment un nuage de points.

L'ensemble de ces points forme un nuage de points. Ce nuage peut avoir une forme allongée, curviligne ou très dispersée.

Remarque :

Si les valeurs d'un des deux caractères sont les mesures du temps, on dit que la série est chronologique.

2.  Point moyen du nuage

On appelle point moyen G(xyle point dont les coordonnées sont les moyennes des valeurs xi et yi de la série.

xG = ;        yG =

3.  Ajustement affine

Un nuage de points de forme allongée, représentant une série double (xi ; yi) peut être ajusté par une droite appelée droite d'ajustement affine.

4.  Méthode d'ajustement affine (méthode de Mayer)

Dans le cas d'un nuage de points de forme allongée, et afin de faciliter l'étude de la série, il est possible de remplacer ce nuage par une droite appelée droite d'ajustement affine.

Pour tracer cette droite, on utilise la méthode de Mayer.

ü  Le nuage est partagé suivant les valeurs croissantes de xi en deux nuages d'égale importance :

-          on calcule les coordonnées des points moyens G1 et G2 de ces deux nuages;

-          on détermine l'équation de la droite (GlG2).

Cette droite est appelée droite de Mayer.

Elle passe par le point moyen G.

Exemple:

Un responsable de ventes de magasin analyse l'évolution de son chiffre d'affaires sur la dernière période. Il relève pour cela le montant des frais de publicité engagés sur la même période. Il dresse le tableau suivant (les montants sont exprimés en centaines d'euros)

Frais de publicité xi

10

6

6,5

11,5

11

8

7

6,5

11

9

Chiffre d'affaires yi

250

220

228

262

268

244

240

222

259

246

  1. Représenter cette série double dans le repère orthogonal ci-dessous, en plaçant les 10 points dont les coordonnées sont les couples (xi; yi).

Les méthodes possibles d’ajustement

  1. Le responsable va chercher un lien entre les montants du chiffre d'affaires et les frais de publicité:

la forme allongée du nuage de points de la figure ci-dessus indique une direction privilégiée.

Il est possible de tracer une droite ayant cette direction, sans qu'elle s'écarte beaucoup des points du nuage.

Le responsable va chercher un ajustement affine de ce nuage et pourra déterminer une estimation future du chiffre d'affaires.

  1. Pour ajuster une droite à l'ensemble de points, le responsable a le choix de la méthode :

-          il peut effectuer un ajustement au jugé ;

-          ou tracer une droite passant par le point moyen du nuage.

Calculer le point moyen de la série de l’exemple

G :

  1. Le responsable, pour ajuster la droite à l'ensemble de points, peut aussi utiliser une méthode plus précise qui est la suivante :

a.         Partager le nuage en deux groupes de points



-          le premier formé des 5 points d'abscisses les plus petites;

-          le deuxième groupe formé des 5 points d'abscisses les plus grandes.

Pour cela, compléter le tableau suivant

1er groupe

2e groupe

Frais de publicité xi

6

6,5

8

9

11

11.5

Chiffre d'affaires yi

220

262

  1. Calculer les coordonnées de Gl, point moyen du premier groupe.
  2. Calculer les coordonnées de G2, point moyen du deuxième groupe.
  3. Placer les points G, et G2 dans le repère et tracer la droite (GlG2).
  4. Déterminer l'équation de la droite (GlG2).
  5. Vérifier que le point moyen du nuage G(8,65; 243,9) appartient à la droite (G l G2).

Comment utiliser un ajustement affine ?

À partir de l'ajustement affine précédent, le responsable des ventes peut estimer le chiffre d'affaires qu'il espère réaliser s'il engage 1 300 euros de frais de publicité.

  1. Déterminer graphiquement le chiffre d'affaires espéré.
  2. Déterminer par le calcul ce chiffre d'affaires.

Remarques

On rencontre parfois l'expression « ajustement linéaire », improprement utilisée. En effet, la droite d'ajustement ne passe pas dans tous les cas par l'origine du repère;

Si le nuage contient un nombre impair de points, il existe deux fractionnements possibles.

  1. La représentation graphique ci-dessus est appelée nuage de points
  2. Les coordonnées de G, notées x et y, sont respectivement les moyennes des valeurs xi du premier caractère et des valeurs yi du deuxième caractère.
  3. Premier groupe : (6; 220) ; (6,5; 228) ; (6,5; 222) ; (7; 240) ; (8 ; 244)

Deuxième groupe: (9; 246) ; (10; 250) ; (11; 259); (11; 268); (11,5; 262)

  1. G1
  2. G2
  3. Voir graphique
  4. L'équation est de la forme: y = ax+ b

On a : Gl (6,8; 230,8) et G2(10,5; 257)

d'où : a =  =   7,08

et : b = yG1 – axG1 = 230,8 ‑ 7,08 × 6,8 =182,7

On peut également utiliser les coordonnées du point G2 pour le calcul de b.

L'équation de la droite (GlG2) est: y = 7,08 x+ 182,7

  1. Pour x = 8,65 , on a : y = 7,08 × 8,665 + 182,7 = 243,9

Les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite (GlG2). Le point G est un point de la droite (GlG2).

Comment utiliser un ajustement affine ?

  1. On lit sur le graphique l'ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse 13 (centaines d'euros).

On trouve un chiffre d'affaires de 27 500 euros.

  1. En utilisant l'équation de la droite,

on obtient y = 7,08 × 13 + 182,7 = 274,7

Le responsable peut espérer un chiffre d'affaires de l'ordre de 27 500 euros.

Cette valeur n'est qu'une estimation: une précision plus grande n'aurait pas de sens.

Exercice 1 :

Représenter dans le repère orthogonal le nuage de points de la série double suivante :

xi

1

2,5

3

3,5

4

4

5

5,5

5,5



6

8

9

yi

15

14

13

13,5

13

12,5

12

11,5

12

11,5

11

11

Exercice 2 :

Soit la série double suivante :

xi

1

2,5

3

3,5

4

4

5

5,5

5,5

6

8

9

yi

15

14

13

13,5

13

12,5

12

11,5

12

11,5

11

11

  1. Partager les points (xi; yi) en deux groupes : le premier avec les 6 points d'abscisses les plus petites, le second avec les 6 points d'abscisses les plus grandes.

Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2

  1. Déterminer l'équation de la droite (GlG2).

Exercice 3 :

Afin d'orienter ses investissements, une chaîne d'hôtels réalise des analyses sur le taux d'occupation des chambres.

Une analyse établit un lien entre le taux d'occupation, exprimé en %, et le montant des frais de publicité (en milliers d'euros).

Frais de publicité xi

30

27

32

25

35

22

24

35

Taux d'occupation yi

52

45

67

55

76

48

32

72

  1. Représenter le nuage de points M(xi; yi) dans le repère orthogonal ci-dessous.

  1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage, ces coordonnées seront arrondies à l'unité.

Placer ce point dans le repère précédent.

  1. On choisit comme droite d'ajustement de ce nuage de points, la droite passant par le point moyen G et par le point Pde coordonnées (35; 72).
  2. Placer le point P et tracer cette droite dans le repère précédent.
  3. Déterminer graphiquement le montant des frais de publicité laissant espérer un taux d'occupation de 80 %. Les traits de construction devront figurer sur le schéma.

(D'après un sujet de bac)



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