Manuel de statistique et probabilites

Manuel de base avec exemples et exercices en  statistique et probabilites

Chapitre 1 Le modèle probabiliste

1.1       Introduction

Les probabilités vont nous servir à modéliser une expérience aléatoire, c'est-à-dire un phénomène dont on ne peut pas prédire l'issue avec certitude, et pour lequel on décide que le dénouement sera le fait du hasard.

Exemples :

-  l'enfant à naître sera une fille,

-  l'équipe de l'OL va battre l'OM lors du prochain match qui les opposera,

-  le dé va faire un nombre pair.

La première tâche qui vous attend est de décrire les différentes issues possibles de cette expérience aléatoire. Puis on cherche à associer à chacune de ces eventualités un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'elles ont de se réaliser. Comment interpréter/fixer ce nombre, appelé probabilité ? Il existe plusieurs manières de voir.

- Proportion :

On lance un dé. Quelle est la probabilité de A="obtenir un chiffre pair"? Chaque face du dé a la m^eme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D'où, intuitivement,

P (A) =³₆= 1=2.- Fréquence :

Un enfant est attendu. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? On a observ¶ un grand nombre de naissances. Notons k_n le nombre de filles nées en observant n naissances. Alors

P (fille) =    lim     ^kn

n!+1 n

mais cette limite a-t-elle un sens ? - Opinion :

Quelle est la probabilité pour que l'équipe de Tunisie gagne la coupe d'Afrique des nations ? pour que l'OL soit championne de France ? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme match dans les m^emes conditions plusieurs fois. On peut considérer les qualités des joueurs, des entra³neurs, les résultats de la saison... Mais le choix de la probabilité est forcément subjectif.

CHAPITRE 1. LE MODELE PROBABILISTE

Attention aux valeurs des probabilités ! Elles sont choisies de manière arbitraire par le modélisateur et il faut les manipuler avec soin.

1.2        Espace des possibles, evénements

On étudie une expérience aléatoire. L'espace des possibles ou univers décrit tous les résultats possibles de l'expérience. Chacun de ces résultats est appel¶ evénement elémentaire. On note souvent l'espace des possibles - et un résultat elémentaire !. Un evénement est un sous-ensemble de -, ou une réunion d'événements elémentaires. On dit qu'un evénement est réalis¶ si un des evénements elémentaires qui le constitue est réalis¶. Les evénements sont des ensembles, représentés souvent par des lettres capitales.

Exemples :

- Match OL-OM : - = fOL gagne, OM gagne, match nulg. Donc - est composé de trois evénements elémentaires. On peut considérer par exemple l'événement qui correspond à \Lyon ne gagne pas".

-  On lance un dé : - = f1; 2; :::; 6g. On peut s'intéresser à l'événement A=\on obtient un chiffre pair", ie A = f2; 4; 6g.

-  On lance deux dés : - = f1; :::; 6g £ f1; :::; 6g = f(i; j) : 1 ·i· 6; 1 ·j· 6g. Ici, un

evénement elémentaire ! est un couple (i; j), où i représente le résultat du premier dé et j celui du second.

- On lance trois fois une pièce de monnaie. Les evénements elémentaires vont décrire le plus précisément possible le résultat de cette expérience. Donc un evénement elémentaire ! est un triplet (r₁; r₂; r₃) qui donne les résultats des trois lancers (dans l'ordre). L'événement B : \on obtient pile au deuxième lancer" est

B = f(f; p; f); (f; p; p); (p; p; f); (p; p; p)g

L'événement B est réalis¶ si on obtient l'un des evénements elémentaires listés ci-avant. Il n'est parfois pas nécessaire de conna^³tre tous ces détails. On pourra choisir : ! représente le nombre de \face" obtenus. Alors, - = f0; 1; 2; 3g. Le modèle est beaucoup plus simple, mais ne permet pas de décrire des evénements tels que B.

Il existe un vocabulaire propre aux evénements, différent du vocabulaire ensembliste.
…

1.3       Probabilité

On se limite dans ce cours à étudier les univers dénombrables. La probabilité d'un evénement est une valeur numérique qui représente la proportion de fois où l'événement va se réaliser, quand on répète l'expérience dans des conditions identiques. On peut dé-duire de cette définition qu'une probabilité doit ^etre entre 0 et 1 et que la probabilité d'un evénement est la somme des probabilités de chacun des evénements elémentaires qui le constituent. Enfin, la somme des probabilités de tous les eléments de - est 1.

Important : rappelons qu'un evénement n'est rien d'autre qu'une partie de -. Une proba-bilité associe à chaque evénement un nombre entre 0 et 1. Il s'agit donc d'une application de l'ensemble des parties de -, noté P(-), dans [0; 1].

Exemple : soit - = f0; 1; 2g. Construisons P(-).

P(-) =  ;; f0g; f1g; f2g; f0; 1g; f0; 2g; f1; 2g; -

Définition 1 telle que :

-  0 ·P (A) ·

X

-  P (A) =

Une probabilité est une application sur P(-), l'ensemble des parties de -,

1, pour tout evénementA½ - P (!), pour tout evénement A

!_X2A

- P (-) =            P (!) = 1

!2-

Que signifie \un evénement A a pour probabilité..."? 0.95 : A va très probablement se produire.

0.3    : A a très peu de chance d'^etre réalis¶.

4.0  : incorrect. -2 : incorrect.

0.4  : A va se produire dans un peu moins de la moitié des essais.

0.5 : une chance sur deux.

0 : aucune chance que A soit réalis¶.

_{P(!) =} card(A) card(-)

CHAPITRE 1. LE MODELE PROBABILISTE

De la définition, on peut facilement déduire la proposition suivante, fort utile pour faire quelques calculs :

Proposition 2 SoientAetBdeux evénements.

1. Si A et B sont incompatibles, P (A [ B) = P (A) + P (B).

1. P (A^c) = 1 ¡ P (A).
2. P (;) = 0.

5) P (A [ B) = P (A) + P (B) ¡ P (A \ B).

preuve : 1) immédiat d'après le second point de la définition d'une probabilité.

1. Comme A et A^c sont incompatibles, 1 = P (-) = P (A[A^c) = P (A) + P (A^c).
2. P (;) = 1 ¡ P (;^c) = 1 ¡ P (-) = 0.
3. La technique est très souvent la m^eme pour calculer la probabilité d'une réunion d'en-sembles : on écrit cette réunion comme une union d'ensembles incompatibles, puis on utilise

le 1). Ici, on écrit A[B = A[(B\A^c) et on obtient : P (A[B) = P (A) +P (A[(B\A^c)). Puis on écrit B = (B\A) [ (B\A^c) pour déduire P (B) = P (B\A) + P (B\A^c). En

rassemblant ces deux egalités, on obtient la proposition.

Signalons une définition plus générale de probabilité, valable pour des espaces des possibles non dénombrables.

Définition 3 Soit une expérience aléatoire et - l'espace des possibles associé. Une pro-babilité sur - est une application, définie sur l'ensemble des evénements, qui vérifie :

-  axiome 1 : 0 · P (A) · 1, pour tout evénement A

-  axiome 2 : pour toute suite d'événements (A_i)_i2N, deux à deux incompatibles,

³ [           ´        X

PA_i     =          P (A_i)

i2N                i2N

- axiome 3 : P (-) = 1

NB : les evénements (A_i)_i2N sont deux à deux incompatibles, si pour tous i6= j, A_i\A_j = ;.

Exemple important : probabilité uniforme

Soit - un ensemble fini. Il arrive, comme quand on lance un dé equilibré, que les evéne-ments elémentaires ont tous la m^eme probabilité. On parle alors d'événements elémentaires équiprobables. Notons p la probabilité de chaque evénement elémentaire. Alors X

1 = P (-) =            P (!) =            p = p £ card(-)

!2-!2-

D'où p = P (!) = _card(-), pour tout !. La probabilité ainsi définie sur l'ensemble - s'appelle probabilité uniforme. La probabilité d'un evénement A se calcule facilement : X

P (A) =

!2A

Attention ! Cette formule n'est valable que lorsque les evénements elémentaires sont bien équiprobables. Dans ce cas, il su±t de savoir calculer le cardinal des ensembles considérés pour calculer les probabilités.

1.4. INDEPENDANCE ET CONDITIONNEMENT

Un rappel des techniques de dénombrement est disponible à l'annexe A.

On est maintenant en mesure de modéliser des expériences aléatoires simples, c'est-à-dire :

-  choisir -,

-  choisir une probabilité sur - en justifiant ce choix.

Attention, pour décrire une probabilité, il faut donner P (A) pour tout A½ -. Ou alors, on peut plus simplement donner P (!) pour tout !2 -. Le lecteur déduira P (A) pour tout A d'après la définition d'une probabilité.

1.4       Indépendance et conditionnement

Exemple 4 Quelle est la probabilité d'avoir un cancer du poumon ?

Information supplémentaire : vous fumez une vingtaine de cigarettes par jour. Cette in-formation va changer la probabilité.

L'outil qui permet cette mise à jour est la probabilité conditionnelle.

Définition 5 Etant donnés deux evénementsAetB, avecP (A) > 0, on appelle pro-babilité de B conditionnellement à A, ou sachant A, la probabilité notée P (BjA) définie par

P (BjA) =^P(A\B)

P (A)

On peut écrire aussi P (A \ B) = P (BjA)P (A).

Utilisation 1 : quand P (A) et P (A\B) sont faciles à calculer, on peut en déduire P (BjA). Utilisation 2 : Quand P (BjA) et P (A) sont faciles à trouver, on peut obtenir P (A\B).

De plus, la probabilité conditionnelle sachant A, P (:jA), est une nouvelle probabilité et possède donc toutes les propriétés d'une probabilité.

Exemple 6 Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'uneaprès l'autre (sans remise). Quelle est la probabilité d'avoir deux boules rouges ? Choisissons - qui décrit les résultats de l'expérience précisément.

- = frouge;verteg £ frouge;verteg

Un evénement elémentaire est un couple (x; y) où x est la couleur de la première boule tirée et y la couleur de la seconde.

Soit A l'événement \la première boule est rouge" et B l'événement \la seconde boule est rouge".

…

Proposition 7 (Formule des probabilités totales) SoitAun evénement tel que 0 <P (A) < 1. Pour tout evénement B, on a

P (B) = P (BjA)P (A) + P (BjA^c)P (A^c)

CHAPITRE 1. LE MODELE PROBABILISTE

preuve : Comme A[A^c = -, P (B) = P (B\ (A[A^c)) = P ((B\A) [ (B\A^c)). Or B\A et B\A^c sont incompatibles. On en déduit

P (B) = P (B \ A) + P (B \ A^c)

La définition de la probabilité conditionnelle permet de conclure.                                                ¤

Exemple 6 (suite) : quelle est la probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge ? On garde le m^eme formalisme.

⁼       r + v

Définition 8 Soit (A_i)_i2Iune famille d'événements. On l'appelle partition de - si ellevérifie les deux conditions :

1. [_i2I A_i= -
2. les A_i sont deux à deux incompatibles : pour tous i 6= j, A_i \ A_j= ;.

Proposition 9 (Formule des probabilités totales généralisée) Soit (A_i)_i2Iune par-tition de -, telle que P (A_i) > 0, pour tout i 2 I. Alors, pour tout evénement B, X

P (B) =          P (BjA_i)P (A_i)

i2I

La formule des probabilités totales permet de suivre les étapes de l'expérience aléatoire dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule à remonter le temps...

Proposition 10 (Formule de Bayes) SoitAetBdeux evénements tels que 0 < P (A) <

1 etP (B) > 0. Alors,

P (BjA)P (A)

^{P(AjB) =}_{P(BjA)P(A) +P(BjA}c_)P(Ac₎

preuve :

_{P(AjB) =} P (A \ B)₌ P (BjA)P (A)

P (B)                    P (B)

et on conclut en rempla»cant P (B) par son expression donnée par la formule des probabilités totales. ¤

Proposition 11 (Formule de Bayes généralisée) Soit (A_i)_i2Iune partition de -, telleque P (A_i) > 0, pour tout i 2 I. Soit un evénement B, tel que P (B) > 0. Alors, pour tout i 2 I,

_{P(AijB) =P} P (BjAi)P (Ai)_j2I P (BjAj)P (Aj)

1.5. REPETITIONS INDEPENDANTES

Exemple 12 Deux opérateurs de saisie, A et B, entrent respectivement 100 et 200 ta-bleaux sur informatique. Les tableaux de A comportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux de B dans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. Quelle est la probabilité pour que A se soit occupé de ce tableau ?

Soient les evénements :

T_A=\ le tableau est entr¶ par A",

T_B= (T_A)^c\ le tableau est entr¶ par B", F =\ le tableau comporte des fautes". D'après le théorème de Bayes,

…

Définition 13 Deux evénementsAetBsont dits indépendants si

P (A \ B) = P (A)P (B)

S'il sont de probabilité non nulle, alors

P (BjA) = P (B) () P (AjB) = P (A) () P (A \ B) = P (A)P (B)

remarque 1 : A et B sont donc indépendants si la connaissance de la réalisation de l'un n'in°uence pas la probabilité de l'autre.

remarque 2 : deux evénements incompatibles A et B, avec P (A) > 0 et P (B) > 0, ne sont jamais indépendants. En effet, A\B = ; entra^³ne P (A\B) = 0 6= P (A)P (B).

1.5       Répétitions indépendantes

Quand on étudie une expérience aléatoire qui peut se décomposer en plusieurs petites expériences aléatoires indépendantes, les calculs sont aisés. Et quand on a la probabilité uniforme pour chacune de ces petites expériences aléatoires, on a encore la probabilité uniforme sur l'expérience aléatoire totale.

Proposition 14 Soit - = E£FoùEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons quel'on choisisse avec la probabilité uniforme un elément de E, et, de manière indépendante, un elément de F toujours avec la probabilité uniforme. Alors chaque elément ! = (x; y) de - a la m^eme probabilité, qui vaut

…

Exemple 15 On lance une pièce de monnaie equilibrée et un dé equilibr¶.

- = fP; Fg £ f1; :::; 6g

CHAPITRE 1. LE MODELE PROBABILISTE

Comme on a la probabilité uniforme sur fP; F g et sur f1; :::; 6g, on a finalement la proba-bilité uniforme sur – et 1

Manuel de base avec exemples et exercices en  statistique et probabilites

8! 2 -;P (!) =_card(-)= 1=12

Proposition 16 On répèteNfois, de manière indépendante, la m^eme expérience aléa-toire modélisée par un univers - et par une probabilité P . Alors le nouvel univers est -^N = - £ ¢ ¢ ¢ -, et la probabilité associée est

³                          ´

P ^N(!₁; :::; !_N)  = P (!₁) ¢ ¢ ¢ P (!_N)

En particulier, si P est la probabilité uniforme sur -, alors P ^N est la probabilité uniforme sur -^N .

Le chevalier de Mér¶ :

le Chevalier de Mér¶ avait constaté qu'il obtenait plus souvent 11 que 12 avec trois dés. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors ?

1.6       Exercices

Exercice 1 { Proposer un univers - pour les expériences aléatoires suivantes et dénombrer les résultats possibles :

1. On lance un dé.
2. On lance 2 dés.
3. On tire trois cartes dans un jeu .
4. On place les 5 lettres qui forment \proba" au hasard sur une réglette de Scrabble.
5. On place les 6 lettres qui forment \erreur" au hasard sur une réglette de Scrabble.

Exercice 2 { Soit P une probabilité sur un ensemble - et deux evénements A et B. On suppose que

P (A [ B) = 7=8;P (A \ B) = 1=4;P (A) = 3=8:

Calculer P (B), P (A\B^c), P (B\A^c).

Exercice 3 { Supposons que les faces d'un dé sont truquées de telle manière que les numé-ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande que pour chacun des numéros pairs. On jette le dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ?

Exercice 4 { Un parking contient douze places alignées. Huit voitures s'y sont garées au hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant ?

1.6. EXERCICES

Exercice 5 | La probabilité qu'un objet fabriqué à la cha^³ne ait un défaut est de 0; 01. Trouver la probabilité que, dans un lot de 100 objets, il y ait au moins un objet défectueux. Quelle est la probabilité qu'il y ait, dans un tel lot, exactement un objet défectueux ?

Exercice 6 { Soient M₁, M₂, M₃ trois personnes. La première M₁ dispose d'une infor-mation codée sous forme + ou ¡. Elle la transmet à la deuxième personne M₂. Puis M₂ la transmet à M₃. Malheureusement, à chaque fois que l'information est transmise, il y a une probabilité p que l'information soit changée en son contraire. En tenant compte du fait que deux changements rétablissent la vérité, quelle est la probabilité pour que M₃ ait le bon message ?

Et si M₃ transmet l'information dont il dispose à une quatrième personne M₄, quelle est la probabilité pour que M₄ ait la bonne information ?

Lorsque p = 0:2, quelle est la valeur numérique de cette probabilité ?

Exercice 7 | Un nouveau vaccin a et¶ test¶ sur 12500 personnes ; 75 d'entre elles, dont 35 femmes enceintes, ont eu des réactions secondaires nécessitant une hospitalisation. Parmi les 12500 personnes testées, 680 personnes sont des femmes enceintes.

1. Quelle est la probabilité pour une femme enceinte, d'avoir une réaction secondaire si elle re»coit un vaccin ?
2. Quelle est la probabilité pour une personne non enceinte, d'avoir une réaction secon-daire ?

Exercice 8 | Dans une usine, la machine A fabrique 60% des pièces, dont 2% sont défectueuses.

La machine B fabrique 30% des pièces, dont 3% sont défectueuses. La machine C fabrique 10% des pièces, dont 4% sont défectueuses.

1. On tire une pièce au hasard dans la fabrication. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?
2. On tire une pièce au hasard dans la fabrication. Elle est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle ait et¶ fabriquée par la machine A ? par la machine B ? par la machine C ?

Exercice 9 | Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 à 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 à 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 à 2 ans, n'ont ni °eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre à la fois jaunes et roses.

On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.

1. Quelle est la probabilité qu'elle ait moins d'un an et des °eurs roses ?
2. Quelle est la probabilité qu'elle ait des °eurs roses, sachant qu'elle a plus de 2 ans ?
3. Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de deux ans et des °eurs jaunes ?

CHAPITRE 1. LE MODELE PROBABILISTE

Exercice 10 | Deux chauffeurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grève, le premier a 60% de chances de faire grève et le second 80%. Pendant la prochaine grève, quelle est la probabilité pour qu'un seul des deux chauffeurs fasse grève ?

Exercice 11 | Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants. Combien doit-on acheter de billets pour que la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant soit supérieure ou égale à 0.5 ?

Exercice 12 | 1. Dans une classe de 36 élèves, quelle est la probabilité pour que deux élèves au moins soient nés le m^eme jour ? (on considèrera que l'année compte 365 jours, et que toutes les dates d'anniversaires sont indépendantes et équiprobables).

2. Généraliser ce résultat pour une classe de n élèves. Tracer le résultat obtenu.

Chapitre 2 Variables aléatoires discrètes

Le travail sur les evénements devient vite fastidieux, ainsi nous allons maintenant nous restreindre à étudier des grandeurs numériques obtenues pendant l'expérience aléatoire.

2.1       Définitions

Définition 17 Une variable aléatoire (v.a.)Xest une fonction définie sur l'espace fon-damental -, qui associe une valeur numérique aµ chaque résultat de l'expérience aléatoire etudiée. Ainsi, à chaque evénement elémentaire !, on associe un nombre X(!).

Exemple 18 On lance trois fois une pièce et on s'intéresse au nombreXde fois ou PILEappara^³t. Il y a deux manières de formaliser cette phrase. Tout d'abord, à chaque evénement elémentaire !, on associe X(!). Ainsi,

Ensuite, comme on observe que plusieurs evénements elémentaires donnent la m^eme valeur, on peut les regrouper et obtenir des evénements (événement = réunion d'événe-ments elémentaires) qui correspondent à des valeurs distinctes de X :

On peut d'emblée observer que les evénements (X = 0), (X = 1), (X = 2) et (X = 3) sont deux à deux disjoints. De plus, la réunion de ces evénements est -.

Il est aisé de voir que pour toute v.a., les evénements correspondant à des valeurs distinctes de X sont incompatibles. Autrement dit, dès que i =6j, les evénements (X = i) et (X = j) sont incompatibles : (X = i) \ (X = j) = ;. De plus, la réunion de ces evénements forme l'espace - tout entier :

[(X = k) = - k

CHAPITRE 2. VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

Une variable qui ne prend qu'un nombre dénombrable de valeurs est dite discrète, sinon, elle est dite continue (exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture roulant à 100 km/h). Les v.a. continues seront etudiées plus tard.

Définition 19 La loi d'une variable aléatoire discrèteXest la liste de toutes les valeursdifférentes que peut prendre X avec les probabilités qui leur sont associées. On utilisera souvent une formule, plut^ot qu'une liste.

Exemple 18 : nous avons déjà la liste de tous les evénements elémentaires et ils sont équiprobables, de probabilité 1/8. D'après la composition des evénements [X = k], pour k = 0; :::; 3, on peut déduire facilement la loi de X.

Un autre outil permet de caractériser la loi d'une v.a. : il s'agit de la fonction de répartition empirique.

Définition 20 SoitXune v.a.. On appelle fonction de répartition deXla fonction de R dans [0; 1], définie pour tout x 2 R par

F (x) = P [X · x]

Exemple : X est le nombre de Face quand on lance trois fois une pièce. On a vu que la loi de X est

…

Remarque : deux v.a. ayant m^eme loi ont m^eme fonction de répartition.

Proposition 21 SoitFune fonction de répartition. Alors

Pour une v.a. discrète, la fonction de répartition est une fonction en escalier, avec un saut en chaque valeur k de X(-) et la hauteur de ces sauts est la probabilité P (X = k).

Une fois la loi d'une v.a. établie, on peut calculer, comme pour une série statistique, un indicateur de position (l'espérance) et un indicateur de dispersion (la variance).

2.1. DEFINITIONS

Définition 22 L'espérance ou moyenne d'une v.a. discrèteXest le réel

X E[X] =           kP [X = k]

Koù on somme sur toutes les valeurs k que peut prendre X.

Un résultat remarquable permet de calculer facilement l'espérance d'une fonction de X connaissant la loi de X : c'est le théorème du transfert.

…

Var(X) = E (X¡E[X])²  =                 (k¡E[X])²P [X = k] = E[X²] ¡E[X]²

Ket l'écart-type de X est la racine carrée de sa variance.

L'espérance d'une v.a. est la moyenne des valeurs que peut prendre X, pondérée par les probabilités de ces valeurs. On appelle souvent l'espérance tout simplement moyenne de X : elle correspond à une valeur moyenne autour de laquelle sont réparties les valeurs quepeut prendre X. L'écart-type (ou la variance) mesure la dispersion de la v.a. X autour de sa valeur moyenne E[X].

L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'à travers sa loi : deux variables qui ont m^eme loi ont m^eme espérance, m^eme variance.

Exemple 18 : nous avons la loi du nombre X de PILE quand on lance trois fois une pièce.

…

CHAPITRE 2. VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

Fréquences empiriques VERSUS loi de probabilité

Il ne faut pas confondre les fréquences observées sur un échantillon et la loi de probabi-lité. Reprenons l'exemple 18. J'ai fait l'expérience de lancer 10 fois trois pièces de monnaie en relevant à chaque fois le nombre de PILE obtenus. Voici les fréquences observées :

Quand le nombre d'essais augmente, les fréquences observées sont de plus en plus proches des valeurs théoriques données par la loi de probabilité (preuve plus tard). C'est pourquoi, quand on ne peut pas déterminer la loi d'une v.a. aussi facilement que dans cet exemple, on considère que les fréquences empiriques (c'est-aµ-dire mesurées sur un échantillon) sont des valeurs approchées des probabilités. Il n'en reste pas moins qu'il ne faut pas assimiler ces deux objets, et bien comprendre la différence entre la moyenne théorique, calculée à partir de la loi de probabilité, et la moyenne empirique, calculée à partir de quelques observations.

2.2       Indépendance et conditionnement

Définition 25 Deux v.a.XetYsont dites indépendantes si, pour tousietj, les evéne-ments fX = ig et fY = jg sont indépendants, ie

P [X = i; Y = j] = P [X = i]P [Y = j]

Attention ! Si X et Y ne sont pas indépendantes, conna^³tre la loi de X et celle de Y ne su±t pas pour conna^³tre la loi de (X; Y ), qui est la donnée, pour tous i et j, de

P [(X; Y ) = (i; j)] = P [X = i; Y = j].

Proposition 26 (La formule des probabilités totales) SoientXetYdeux v.a.. Pourtout i 2 X(-),

preuve : on peut appliquer la formule des probabilités totales 9 car les evénements Y = j forment une partition de -. ¤

Exemple 27 On lance deux dés equilibrés et on noteXetYles deux chiffres obtenus.Soit Z = X + Y . Quelle est la loi de Z ?

2.2. INDEPENDANCE ET CONDITIONNEMENT

Méthode 1 : bien s^ur, dans ce cas fini, on peut faire un tableau à double entrée avec la valeur que prend X, la valeur que prend Y et la valeur de Z.

Les deux dés ne se téléphonent pas avant de décider sur quelle face ils vont tomber : leurs résultats sont indépendants. Donc

pour tous 1 ·i; j· 6;P [X = i; Y = j] = P [X = i]P [Y = j] = 1=36

Autrement dit, chaque case du tableau a la m^eme probabilité 1=36. On en déduit : P [Z = 2] = P [Z = 12] = 1=36, P [Z = 3] = P [Z = 11] = 2=36, P [Z = 4] = P [Z = 10] = 3=36, P [Z = 5] = P [Z = 9] = 4=36, P [Z = 6] = P [Z = 8] = 5=36, P [Z = 7] = 6=36. On vérifieimmédiatement que la somme de ces probabilité fait 1.

Méthode 2 : on utilise la formule des probabilités totales. Précisément, on conditionne par les evénements (X = i) (1 ·i· 6), qui forment une partition de -, car quand on conna^³t la valeur que prend X, on peut facilement calculer la probabilité pour avoir Z = j. Soit 1 ·j· 12.

La dernière egalité vient du fait que X et Y sont indépendants. Il su±t maintenant de se rappeler que P [Y = k] = 1=6 seulement si k est dans f1; :::; 6g.

Manuel de base avec exemples et exercices en  statistique et probabil