Support de cours sur la statistique 3eme

 Support de cours sur la statistique 3eme

...

III. Les limites de la méthode statistique :

Pour éviter des erreurs d’interprétation due à une mauvaise utilisation statistique, il faut savoir :

1. La statistique s’intéresse au grand nombre, elle ignore les cas particuliers.
2. La résultante d’un grand nombre d’informations peut être différente de la sommation de ces différentes informations. *comportement collectif # sommation des comportements individuels
3. Quand on étudie un phénomène on n’est jamais certain que l’on dispose de toues les informations le concernant.
4. Il ne faut pas oublier que la statistique n’est qu’un outil au service de l’économiste, ce qui nous oblige de ne jamais, oublier de faire une analyse économique des résultats.

• Les mêmes causes # les mêmes effets.
• Les corrélations mêmes très parfaites ne signifient pas toujours qu’il y a interdépendance entre les phénomènes étudiés.

1. Le vocabulaire utilisé en statistique :
2. Population statistique : Ensemble sur lequel porte l’étude

Ex : Age des étudiants de 1éreannée : l’ensemble étudié c’est l’âge.

2. Unité statistique :

Une population se compose d’éléments chaque élément est appelé unité statistique.

EX : la population d’étudiants : l’unité statistique est un étudiant.

3. Caractère statistique :

C’est le critère retenu pour étudier une population

Continu

Il peut être         quantitatif          discontinu, discret

Qualitatif

9             Un caractère est dit quantitatif lorsqu’il est mesurable

n             Continu : c’est un caractère qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle donné. EX : « âge »

n             Discontinu : c’est un caractère qui ne peut prendre que quelques valeurs dans un intervalle donné EX : « le nombre des frères, Ménage »

9             Un caractère est dit qualitatif lorsqu’il n’est pas mesurable

EX : la nationalité, les catégories sociales professionnelles.

4. Modalité statistique : K de caractère» :

On appelle une modalité les différentes situations possibles d’un caractère. EX : caractère « sexe » : modalités possibles : M/F

Caractère « état matrimonial » : 4 modalités possibles : célibataire/marié/divorcé/veuf.

5. Effectifs (fréquences absolues) :

C’est le nombre d’unités statistiques relatif à une modalité donnée :

45Age

Effectifs

17           -18         200

18           -19         350

19           -20         50

total      600

6. Fréquence relative : C’est la part des effectifs d’une modalité. EX : 200/600=33/100 est la fréquence relative de première modalité
7. Série statistique :

Distribution de fréquences, distribution de statistiques ou tableau statistique, c’est un tableau qui nous donne l’ensemble des valeurs mesurant le caractère. EX :

On appelle classe un groupement de valeurs du caractère selon des intervalles qui peuvent être égaux ou inégaux.

Pour chaque classe on peut définir :

             Une limite inférieure

             Une limite supérieure

             Intervalle de classe (amplitude)= limite (sup)- limite (inf)

             Centre de classe = [limite (sup) + limite (inf)]/2

NB : « [40-60[« signifie qu’on comptabilise les salariés qui gagnent entre 40 et 60DH, en incluant ceux qui gagnent 40 DH et excluant ceux qui gagnent 60Dh.

1. Quelque symboles mathématiques utilisés : 1. Les valeurs du caractère = x1, x2,..., xi,..., xn

Notes   Nbre d’étudiants

x1

x2

x3

x4           10 x1 25 x2 12 x3 4 x4

2. Les effectifs sont symbolisés par : x1, x2,..., xi,..., xn

x1, x2,..., xi,..., xn= N =effectif total

3. Fréquence relative :

Fi = effectif de la modalité i / effectif total

4. L’opérateur somme ( ∑ )

n             Notation : n variables

n

x1+ x2+...+ xi+....+ xn=∑=

i 1           xi

n             Propriétés :

n             n

∑ axi a xi

= ∑

i               = 1          i = 1

n             n

∑ a+xi=∑a∑xi=n.a+∑xi

i               i               =             1

5. L’opération de produit : ( ∏ )

n             Notation : le produit de x variable s’écrit :

n

X1.x2.x3....xn = ∏ xi

i = 1

n             Propriété :

n             n             n

CHAPITRE I : LA REPRESENTATION GRAPHIQUE

L’intérêt d’un graphique c’est de synthétiser des informations statistiques d’une maniéré imagée, c’est à dire globale.

1. Le diagramme en bâtons :

On s’en sert pour représenter des séries à caractère discret.

Nombre d’enfants         Nombre de ménage

0             25

1             42

2             38

3             15

4             6

5            

Total      128

1. Le tuyau d’orgue :

On se sert de ce graphique pour représenter des séries à caractère qualitatif

EX : La population à une station balnéaire est composée de :

Allemands : 45%

Français : 30%

Espagnoles : 15%

Autres : 10%

Allemands          Français               Espagnoles         Autres

III. Le diagramme :

Il permet de représenter des séries de caractères ou les observations sont regroupées en classe.

1. Cas ou les intervalles de classe sont égaux :

Allemands Français Espagnoles Autres

Remarque :

1)            Lorsque une des limites de classe n’est pas précisée dans un tableau il convient de prendre comme intervalle de classe le même que celui de la classe suivante ou précédente.

2)            La surface des rectangles est proportionnelle à leur effectif.

1. Cas ou les intervalles de classe ne sont pas égaux :

EX : Répartition de population selon leurs salaires.

Pour tracer l’histogramme, on commence par corriger les effectifs.

1. Le polygone des fréquences :

Il permet de donner une image plus lisse du phénomène que l’histogramme. On l’obtient en joignant les milieux des sommes des rectangles de l’histogramme.

0 10 20 30 40 50 60

Remarque :

1)            La surface sous le polygone = la surface de l’histogramme.

2)            Lorsqu’il y a un très grand nombre de classe, l’intervalle de classe devient de plus en plus petit et le polygone de fréquences se transforme en cours de fréquence.

Courbe de fréquences

1. La courbe de cumulation (courbe des f cumulés) :

Elle permet de connaître le nombre d’observations supérieures ou inférieures à une valeur donnée.

Les 2 types de courbes de cumulation :

n             Courbe cumulative croissante : permet de connaître le nombre d’observations inférieures à une valeur donnée.

n             Courbe cumulative décroissante : il permet de connaître le nombre d’observations supérieures à une valeur donnée.

1. a)            Cas d’une variable continue :

Salaire

xi            Xi cumulés          Xi cumulés

[10-20[ 9             9             65

[20-30[ 13           22           56

[30-40[ 22           44           43

[40-50[ 10           54           21

[50-60[ 7             61           11

[60-70[ 4             65           4

Total      65           Moins de la borne supérieure   Plus de la borne inférieure

Remarque :

On obtiendrait le même graphique si on remplace les fréquences absolues par les fréquences relatives (les pourcentages)

Courbe cumulée décroissante

Courbe cumulée croissante

70 60 50 40 30 20 10 0    

1             2             3             4             5             6             7

1. b) Cas d’une variable discrète (discontinue)

NB d’enfants (xi)             NB de ménage Xi cumulés          Xi cumulés

1             5             5             65

2             10           15           60

3             30           45           50

4             20           65           20

Total      65           <=xi       >=xi

1. Le diagramme polaire :

On l’utilise pour représenter des séries chronologiques c’est à dire des séries ou les observations seront à des temps réguliers.

1. a)            Les principes des coordonnées polaires : un point M dans l’espace est parfaitement repéré :

n             Si on connaît ses coordonnées cartésiennes (x, y).

n             Si on connaît ses coordonnées polaires (e, o).

1. b)           Le diagramme polaire :

Soit la série chronologique suivante : chiffre d’affaire mensuel

Année

1999      2000

Janvier 55           65

Février 53           75

Mars     65           72

Avril       50           40

Mai        43           42

Juin        41           38

Juillet    35           32

Août      30           34

Septembre        34           38

Octobre               40           40

Novembre         45           33

décembre          55           45

80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 10 . 20 . 30 .

Oct.

VII. Les graphiques à secteurs :

On les utilise pour représenter une série exprimée en pourcentages. EX : Pourcentage de touristes.

CHAPITRE II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES

D’UN SERIE

INTRODUCTION

Avec la représentation graphique nous avons vu comment synthétiser une série avec image.

Dans ce chapitre nous allons voir comment synthétiser une série par quelques chiffres. Ces nombres sont appelés caractéristiques d’une série.

Soit les série suivantes :

Serie1 : 78-79-80-83

Série2 : 60-70-80-90-100 Série3 : 1-1-1-1-396

Les séries ont toutes la moyenne 80 même si elles sont très différentes les unes que les autres. Les valeurs de la 1ére série sont proches de la moyenne alors que celles de la 3éme sont éloignées de la moyenne.

Il y a donc nécessité, pour résumer une série de données de la présenter en 2 types de caractéristiques :

- les caractéristiques de valeurs centrales.

- les caractéristiques de dispersion.

SECTION 1 : Les Caractéristiques de Valeur Centrale :

1. LES MOYENNES

A- La moyenne arithmétique : A-1 Définition

Etant donnée n observations qu’on va appeler X1,X2 ,X3,          Xi,...Xn on appelle une moyenne arithmétique simple le nombre ×

Somme de toutes les observations

Χ =

Le nombre d’observations

x x         

+ +         + i +       + n

2             x             x

Χ =  1

n

: Une moyenne arithmétique simple

Lorsque les observations sont groupées c'est-à-dire que l’on observe

N1 fois X1

N2 fois X2

La moyenne arithmétique s’écrit :

Χ             x1           + x1       + ..... + x2            + +         x2                                                                         

n1           + n2       + + .... nn

Une moyenne arithmétique pondérée

A-2 Application

Exercice1 : soit la série de notes suivante : 2-6-12-10-12-10-10-6

Χ 2+6+12+10+12+10+10+

                8             8

Χ 8,5

Exercice2 : soit la série des notes de l’exercice qui peut être présentée de la manière suivante :

... ...

S’il veut mettre de l’engrais à son jardin, il a intérêt à se souvenir de la moyenne géométrique

X=9+449+4=6,5;G = 9* 4=6 moyenne arithmétique du périmètre =26 =6,5 * 4 # 6 * 4 moyenne géométrique : surface =36 =6*6 # 6,5 * 6,5

Généralités :

D’une manière générale, on retient la moyenne arithmétique quand les variables s’additionnent, et on utilise la moyenne géométrique lorsque les variables se multiplient.

Ex2 : Une voiture parcourt 100Km/h, puis 160Km/h à 80Km/h.

Vitessemoy       distoncetotale  100         +160      100         +160     

                tempstotal         100         160

La vitesse moyenne est égale à la moyenne harmonique des vitesses pondérées par les distances.

Ex3 : Une voiture roule pendant une heure à 50 Km/h puis 3hà 80Km/h.

Vitesse.moy      distoncetotal                    (1x 50)+ (3x 80)

                tempstotal                         1+3

E n xi iE

La vitesse moyenne est égale donc à la moyenne arithmétique des vitesses pondérées par le temps.

Ex 4 : Une grandeur S0 a augmenté sur 3 années, d’abord de 10% puis de 15% et 30% pour le 3éme année.

Quel est le taux moyenne de croissance ?

1ère année : S0 devient S1=S0 + (S0*10/100) + S1 =S0(1+0,10 ) = 1,10S0 2éme année S1 devient S2 = S1 +0,15S1 +S1*1,15+ (S1*(1+0,15)) 3éme année S2 devient S3 = S2 +0,3S2 = 1,3S2+ (S2*(1+0,3))

S3 = S01,1 x 1,15 x 1,3

Moyenne géométrique G= 3 1,1x 1,1 5 x 1,3 =1,1804 Remarque: le taux de croissance moyenne est 18,04%

Ex 5 : Un étudiant a obtenu les notes suivantes : 8-10-12 on veut calculer la moyenne des écarts entre les notes et la moyenne arithmétique.

Χ             8+10+12              10

Ecart type à la moyenne              moyenne arithmétique des écarts = (-2+0+2)/3

8-10 = -2

10-10 =0

12-10 =2              moyenne arithmétique des écarts = 0

On retrouve ici une des propriétés des moyennes arithmétiques : ∑ ( xi − Χ ) = 0

…

Si on veut calculer la moyenne des écarts, il vaut mieux calculer la moyenne quadratique

1. La médiane (Me)

b-1-       Définition :

On appelle médiane d’une série classée par ordre croissant ou décroissant, la valeur du caractère qui partage en deux parties égales les effectifs.

C’est la valeur du caractère telle que la moitié des effectifs lui est supérieure et l’autre lui est inférieure.

b-2-       Calcul de ME :

Cas d’une variable discrète

Si la série a un nombre impair de terme

75 62 57 12 18    a             Me =57

Si la série a un nombre pair

12 25 32 44 52 69              a             Intervalle Médian [32-44]

On prend le centre de l’intervalle comme la médiane : Cas d’une série de classes :

Salaires Effectifs               Effectifs cumulés

10-15     9             9

15-20     25           34

20-25     32           66

25-30     16           82

Total      82          

Le calcul de la médiane se fait en 3 étapes :

1ére étape : on repère le rang de la médiane. Rang = 82/2 = 41

∑ni

Rang =2

2éme étape  : on repère la classe de Me :

Il s’agit de trouver la classe à laquelle appartient le 41éme individu, pour cela on classe les individus par ordre croissant des salaires, ce qui revient à construire la colonne des effectifs cumulés.

Me E [20-25], on peut calculer avec plus de précision Me en faisant une interpolation linéaire.

3éme étape : l’interpolation linéaire :

On connaît les salaires des 34 individus 20 On connaît les salaires des 66 individus 25

Le 41éme individus c’est le 7éme individus que je rencontre dans la classe 20 -25, son salaire sera obligatoirement égal à 20 + supplément que l’on calcule par interpolation.

En supposant que les 32 individus de la classe 20-25 sont répartis d’une manière uniforme dans la classe

20-25 puis sont séparés par la même quantité de salaire

On raisonne alors de la manière suivante :

Si pour 32 individus nous avons un écart de salaire de 5 DH

Pour 1 individu 5/32

Pour 7   individus             5/32 * 7 = 1.09 DH

Me=20+1.09 =21.09

La moitié des effectifs gagnent plus de 21,09 DH et l’autre moitié gagne (moins de 21,09 DH)

b-3- Détermination graphique de la médiane : Courbe cumulative

b-4-Remarque :

Salaire

Xi            Xi

10 – 15  9             9

15 - 20   25           34

20 - 25   32           66

25 - 30   16           82

Méthode rapide d’interpolation :

20                           41 34

−             q Me     7             x             5             ~             20           21

−             66 34

−             32

2. le 41 éme individu normalement la médiane devrait se situer entre le 41 éme et le 42 éme, mais on convient lorsque les effectifs sont nombreux de prendre (N / 2)

III. Le Mode :

C’est la valeur du caractère le plus fréquent. A- Calcul Mode :

1- Cas d’une variable discrète :

Xi            ni                            Xi            Ni

3             3                             2             4

14           18                           17           16

21           7                             33           15

42           4                             39           16                           51           8

Mo =14 Mo = 17

Série

Uni modal           Mo = 39

Série bimodale

Série plurimodale (série à plusieurs modes)

2-Cas d’une série de classe :

Salaires ni

10           – 15       9

15           – 20       25

20           – 25       32

25           - 30        16

Total      82

-Nous avons une classe modale : 20 – 25

- On peut prendre comme mode le centre de classe 22,5

- On peut chercher à obtenir le mode avec plus de précision :

1/ Par Méthode graphique : Elle consiste d’abord à construire l’histogramme

N.B : Ne pas oublier, lorsqu’ on construit l’histogramme de corriger les effectifs.

2/ Par la méthode algébrique :

Mo = L1 + [d1. I / (d1 + d2)]

Mo = 20 +           ( 3 2 − 25 ) * 5

(32-25) + (32 - 16)

L1 : Limite Inférieure de classe modale

d1 : La différence entre les effectifs de la classe modale et les effectifs de classe précédente

d2 :        La différence entre les effectifs de classe modale et les effectifs de classe suivante

i : L’intervalle de la classe modale

1. VI- Le choix d’une caractéristique de tendance centrale :

A : Les conditions de Yule :

1 ér conditions : Une modalité caractéristique doit être : définie de façon objective. (2 personnes différentes doivent trouver le même résultat)

2 éme conditions : Tenir compte de toutes les observations

3 éme conditions : être facile à comprendre

4 éme conditions : être facile à calculer

5 éme conditions : Doit se prêter au calcul algébrique

B : Comparaison des différentes caractéristiques de tendance centrale : 1-La moyenne :

Elle répond parfaitement aux conditions de Yule ; c’est pour cela qu’elle est la caractéristique la plus utilisée, mais il y a des cas ou il faut lui préférer la médiane quand elle risque d’être influencé des valeurs extrêmes.

EX:

 Notes

Xi            Ni * Xi

1             1             1

16           2             32

17           5             85

18           2             36

                10           154

2-La médiane :

Elle ne satisfait pas les conditions de yule.

En effet, la valeur de la médiane ne change pas quand on augmente la valeur d’une observation qui lui est inférieure

15 22 34  41 60   122 34 41 110

1 2 34 41 60

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

3-Le mode :

Ne remplit pas les conditions de Yule, mais il y a des cas ou il est utile, en particulier quand on cherche la valeur la plus typique d’une série : Ex : un vendeur de chaussures ne va pas stocker des chaussures de pointure moyenne, mais va stocker les chaussures les plus vendues.

SECTION 2 : Les Caractéristiques de Dispersion: Partons de 3 séries                                      _                            

Série 1 :               9             11           X             =             10

                                               _                            

Série 2 :               5             15           X             =             10

                                               _                            

Série 3 :               1             19           X             =             10

Les 3 séries ont la même moyenne : 10 et portant ils sont différents l’unes des autres.

Dans la 1ère série ; les valeurs du caractère sont proches de la moyenne. La moyenne est représentative.

Dans la 3 éme Série les valeurs du caractère sont éloignées de la moyenne. Il faut donc lorsqu’on résume une série, indiquer par un nombre si les valeurs sont proches ou éloignées de la valeur centrale.

Ce nombre est appelé caractéristiques de dispersion.

1. L’intervalle de variation ou l’étendue :

C’est la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite. L’intervalle de variation = Val MAX – Val MIN

∆= 2 Série 1        ∆= 1 0 série 2     ∆= 1 8 Série 3

Etendu ou intervalle de variation n’est pas un indicateur toujours fiable, car il dépend des valeurs extrêmes qui prouvent être fausses ou aberrantes.

EX :

17           18           20           60           Age

1000 étudiants

∆= 3

∆=60−17=43

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

1. L’intervalle inter quartile :

A-           Définition des quartiles :

On appelle 1ér quartile Q1 la valeur du caractère tel que : 25%  des observations lui sont inférieurs et 75% lui sont supérieurs. 25% < ; 75%>  2éme quartile Q2= Me 50% < 50%>

3émé quartile Q3=         75%< 25%>

B-           Définition inter quartile :

On appelle inter quartile : Q3 – Q1 différence entre 1ér quartile et 3éme quartile.

N.B : Intervalle Inter quartile contient 50% des observations

C-           Application :

N= 82

Rang : 82/4 =20 ,5 Classe : [15-20]

Interpolation : 15+∆

Salaires

Effectifs

10           -15         9

15           -20         25

20           -25         32

25           -30         16

Total      82

Ecart I. Inter quartile

Q3 – Q1

=24,3 - 17,3 = 7DH

Interprétation : Si 25 individus  Augmentation de 5 DH

Si 01 Individu     Augmentation 5/25 DH

(20,5 - 9) = 11,5 5/25 * 11,5

Donc Q1 = 15 + 5/25 *11,5 = 17,3 DH 2éme Méthode :

 Calcul de Q3

Rang : 82*3/4 =61,5 Classe = [20-25]

Interpolation : si 32 individus     augmentation de 5 DH

01 Individu         Augmentation de 5/32

(61,5 – 34) = 27,5 individus          Augmentation 5/32 *27,5

Donc Q3 = 20+ [(5/32) *27,5]

Signification : 24,3dh c’est le salaire tel que 75% gagnent plus de 24,3 et 25% gagnent moins de 24,3 DH.

Inter. Inter quartile : 7 DH = Q3-Q1

Signification : pour 50% des effectifs l’écart Maximum de salaire est de 7 DH

D – Remarque :

1-            Les déciles : valeur du caractère que 10 % des observations ont une valeur qui est inférieure à D1 et 90% des observations ont une valeur qui est supérieure à D1.

On appelle 9 éme décile de 9 la valeur du caractère tel que 90% des observations lui sont inférieures, et 10% des observations lui sont supérieures. L’intervalle inter décile D9 - D1 contient 80% des observations

2-            Les percentiles :

On appelle percentiles P1 la valeur du caractère telle que un pourcent (1%) des observations ont une valeur inférieure à P1 et 98% ont une valeur supérieure à P1.

Pour le statisticien KELLY pour supprimer les valeurs aberrantes il suffit de calculer l’intervalle inter percentile P93 –P07 qui contient 86% des observations.

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

L’écart absolu moyen :

A-           Définition : On appelle écart absolu moyen que l’on désigne par la moyenne arithmétique des écarts absolus entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.

B-           Application : soit le tableau suivant :

Poids     ni            xi            ni * xi    _

xi − x     ni            _

xi − x    

55-60     12           57,5       690         10,25     123

60-65     17           62,5       1062,50 5,25       89,25

65-70     36           67,5       2430      0,25       9

70-75     24           72,5       1740      4,75       114

75-80     11           77,5       852,50   9,75       107,25

                100                        6775                      442,5

Ca= 442.5 / 100 = 4.42 Kg             × = 67.75 Kg

Signification : Ca = 4.42 Kg signifie qu’en moyenne, chaque individu s’éloigne de la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.

Remarque : Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparer deux séries entre elles, on se sert de l’indice de dispersion relatif = Ca / X *100 Exemple :

Poids de filles    Poids des garçons

Χ =52 Kg              × =68 Kg

Ca= 2 Kg              Ca = 17 Kg

2/52 *100= 3.8%              17/68 * 100 = 25%

Dispersion Faible             dispersion plus importante

IV- La variance et l’écart type :

A- Définition :

On appelle une variance la moyenne arithmétique des carrés des écarts entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.

σ 2 =∑ ni(xi − x) 2 / ∑ ni

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

On appelle écart-type (ou écart quadratique moyen) la racine carré de 62

B-           Application :

Le même tableau précédent

Signification : En moyenne chaque individu s’écarte du poids moyen (67.5 kg) de 5.76 kg.

C-           Remarque :

Si on veut savoir la valeur de dispersion on utilise le cœfficient de variation = σ/ ×

Ex :

Χ =67.75 Kg σ/ × =(5.76/67.75) *100= 8.5%

Ex 2 :

Soient 2 modèles d’ampoules électrique dont on a relevé les durées de vie.

Modèle 1 : Durée de vie moyenne 1400 H. Modèle 1 : Durée écart-type =100 H Modèle 2 : Durée de vie moyenne 1800 H. Modèle 2 : Durée écart-type = 250 H

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

Modèle I             Modèle II

6/x=100/1400 = 7%         250/1800 *100 = 14%

Le modèle I est plus faible que le modèle II

Formule développée :

Donc 6 = Eni xi2 x 2

Eni

Poids     ni            xi            xi2          ni * xi2

55-60     12           57,5       330625  39675

60-65     17           62,5       390625  66406,25

65-70     36           67,5       455625  164025

70-75     24           72,5       525625  126150

75-80     11           77,5       600625  66068,75

                100                                        462325

6             = 462325 - (67.75)2 33.19 100

6 = 3 3. 1 9 =5.76

SECTION III  : Les Caractéristiques de Concentration

La concentration ne s’applique qu’à des séries statistiques ou la concentration de la variable a un sens

EX : on peut parler de la concentration de revenus, concentration foncière Autres EX : on ne peut pas parler de concentration d’âge

On peut déterminer la concentration soit algébriquement soit graphiquement

1. La détermination algébrique de la concentration

Cette détermination nécessite la connaissance de la « médiale » Notion de la médiale (Ml)

A- La médiale

Si dans une série on désigne par xi la valeur du caractère, par ni les effectifs, la médiale est la valeur du caractère qui partage en deux parties égales le produit cumulé de ni xi.

Si xi désigne un salaire

Ni désigne le nombre de salariés

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

Le produit cumulé des ni xi représente la totalité des salaires Versés E nixi

C’est-à-dire la masse salariale.

La médiale, c’est le salaire tel que la moitié de la masse salariale a servi à payer une partie qui touche moins de cette Médiale et l’autre moitié de la masse s a servi à payer les gens qui touchent plus de cette Médiale.

B-           Mesure de la concentration

∆M sert à mesurer la différence entre ML et ME :

∆M=ML– ME

* Si∆M = 0 cela veut dire que ML =ME

C'est-à-dire l’individu qui est au milieu l’effectif est en même temps celui qui est placé tel que la moitié de la masse salariale a été versée à des gens qui touchent moins que lui, et l’autre moitié à des gens qui reçoivent plus que lui, on a donc une distribution égalitaire concentration est nulle

* Si ∆m # 0 cela indique qu’il y a une concentration

* Si ∆m est faible par rapport à l’intervalle de variation la concentration est faible

* Si         ∆m         est important, la concentration est forte

Inter variation

C-           application

salaire   ni            xi            nixi         nixi

10-15     8             12.5       112.5     112.5

15-20     25           17.5       437.5     550

20-25     32           22.5       720         1270

25-30     16           27.5       440         1710

total      82                           1710     

∆M= ML – ME

Calcule de la ML :

Rang = 1710/2=855

Classe [20.25]

Interpolation linéaire

720→5dh

1dh→ 5/720dh

(855-550) =3055→ 5/720*305dh

Donc ML= 20+5/720*350

ML = 22.12dh    }              ∆M = ML - ME

= 22 ,12 - 21,09~1dh

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

∆M/inter varia = 1/20=5% concentration faible L’intervalle de variation

«Étant égale à : (30-10)=20 Signification ML = 22.12 dh

C’est le salaire tel que la moitié de la masse salariale a servi à payer des gens qui gagnent moins que 22.12 dh et l’autre moitié de la masse salariale a servi à payer les gens qui gagnent plus que 22.12 dh

1. La détermination graphique de la concentration la courbe de Lorentz GINI

A- la graphique de GINI

GINI propose de mesurer la concentration en mettant en abssices les fréquences cumulées en%, et en ordonnées ni xi cumulés en %

salaire   ni            Fi%         Fi% *n  xi            nixi         Nixi%    Nixi%cum

10-15     9             11           11           12.5       112.5     6.6          6.6

15-20     25           30.5       41.5       17.5       437.5     25.6       32.2

20-25     32           39           80.5       22.5       720         24.1       74.3

25-30     16           13.5       100         27.5       440         25.7       100

total      82           100                                        1710                     

1)            si 10% de la population touchent 10% du revenu, 20% de la population touchent 20% du revenu. Dans le cas d’une répartition égalitaire du salaire, l’aire de concentration serait confondue avec diagonal.

2)            Dans le cas d’une repartions illégalitaire parfaite des salaires, (comme dans le cas théorique ou 0.1% de la population toucherait 99.99% de la masse salariale : la courbe

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

B)-Le coefficient de Gini :