Introduction à Matlab
Ours Blanc des Carpathes ™
Lorsque vous ouvrez Matlab vous vous retrouvez face à un prompt (le plus souvent 2 guillemets) qui vous invite à entrer des commandes.
L'une des plus utiles est assurément help qui appelle pour vous la commande d'aide.
Utilisée seule et sans argument, la commande help affiche la liste des sujets pour lesquels l'aide est disponible, chaque sujet étant accompagné d'une brève description des fonctionnalités qu'il contient. Par exemple :
» help HELP topics:
toolbox\local - Local function library. toolbox\optim - Optimization Toolbox.
matlab\datafun - Data analysis and Fourier transform functions. matlab\elfun - Elementary math functions. matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. matlab\funfun - Function functions - nonlinear numerical methods. matlab\general - General purpose commands. matlab\color - Color control and lighting model functions. matlab\graphics - General purpose graphics functions.
matlab\iofun - Low-level file I/O functions. matlab\lang - Language constructs and debugging.
matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra. matlab\ops - Operators and special characters. matlab\plotxy - Two dimensional graphics. matlab\plotxyz - Three dimensional graphics.
matlab\polyfun - Polynomial and interpolation functions.
matlab\sounds - Sound processing functions. matlab\sparfun - Sparse matrix functions. matlab\specfun - Specialized math functions.
matlab\specmat - Specialized matrices.
matlab\strfun - Character string functions. matlab\dde - DDE Toolbox. matlab\demos - The MATLAB Expo and other demonstrations.
For more help on directory/topic, type "help topic".
Comme vous l'apprendrait la commande help help, cette dernière est utilisable avec deux types de paramètres : help sujet renvoie l'aide sur un sujet complet. Par exemple, help matfun affiche l'aide relative aux fonctions agissant sur des matrices.
help commande décrit une commande unique. Par exemple, help schur affiche l'aide relative à la commande schur qui permet de décomposer une matrice selon la forme de Schür.
Que ce soit relativement à un domaine ou a une commande unique, l’aide se décompose toujours en deux parties :
1) une courte description de quelques mots : l'entête de l'aide
2) quelques lignes décrivant plus en détails la méthode et que nous appelerons : le corps de l'aide
La commande lookfor mot permet de retrouver la liste de toutes les commandes dont l'entête d'aide contient "mot". Ces dernières sont affichées accompagnées de leur entête d’aide. Par exemple :
» lookfor decomposition
QR Orthogonal-triangular decomposition.
SCHUR Schur decomposition.
SVD Singular value decomposition.
DMPERM Dulmage-Mendelsohn decomposition of matrix A.
L'exécution de cette commande peut prendre un certain temps, car Matlab est obligé de rechercher dans tous les fichiers d'aide à sa disposition.
Précision de la plus haute importance : Matlab est sensible à la casse des commandes. Et, quand bien même l’aide de Matlab indique le nom des commandes en majuscule, il est impératif de taper en minuscules le nom de toutes les commandes prédéfinies de Matlab, qu’elles soient internes ou externes.
Matlab reconnaît deux types de commandes :
Les commandes internes(built-in commands) sont compilées à l'intérieur du noyau Matlab. Elle ne nécessitent donc pas de chargement de fichier supplémentaire.
Les commandes externes sont contenues dans des fichiers d’extension .m et de même nom que la commande. Par exemple, la commande spy est stockée dans le fichier spy.m.
De fait, lorsque vous tapez une commande au prompt de Matlab, 4 comportements différents sont possibles :
1) La commande correspond en fait à un nom de variable, auquel cas la valeur de celle-ci est immédiatement affichée.
2) La commande est interne ; elle est immédiatement reconnue par le noyau de Matlab et exécutée
3) La commande n'est pas reconnue comme étant interne ; Matlab va donc la considérer comme externe et rechercher dans les fichiers .m qui sont à sa disposition. Pour cela, il utilise une liste de répertoires que l'on peut obtenir en invoquant la commande path. Notons que si une commande externe a déjà été exécutée précédemment, il y a de grandes chances pour qu’elle soit encore chargée en mémoire. Ceci peut avoir une conséquence fâcheuse : dans certains cas, Matlab ne se rend pas compte que le source d’une fonction a changé et oublie de recharger le fichier source. Nous verrons qu’il est possible de palier à ce comportement à l’aide de la commande delete.
4) Matlab ne trouve aucun fichier correspondant au nom de la fonction invoquée et émet une erreur, par exemple :
» tklp???
Undefined function or variable tklp.
»
5) La commande path affiche le contenu de la variable d'environnement MATLABPATH, laquelle peut être définie, soit dans l'environnement du système d'exploitation sous-jacent, soit dans le fichier matlabrc.
Par exemple :
» path
MATLABPATH
h:\matlab\toolbox\local h:\matlab\toolbox\optim h:\matlab\toolbox\matlab\datafun h:\matlab\toolbox\matlab\elfun h:\matlab\toolbox\matlab\elmat h:\matlab\toolbox\matlab\funfun h:\matlab\toolbox\matlab\general h:\matlab\toolbox\matlab\color h:\matlab\toolbox\matlab\graphics h:\matlab\toolbox\matlab\iofun h:\matlab\toolbox\matlab\lang h:\matlab\toolbox\matlab\matfun h:\matlab\toolbox\matlab\ops h:\matlab\toolbox\matlab\plotxy h:\matlab\toolbox\matlab\plotxyz h:\matlab\toolbox\matlab\polyfun h:\matlab\toolbox\matlab\sounds h:\matlab\toolbox\matlab\sparfun h:\matlab\toolbox\matlab\specfun h:\matlab\toolbox\matlab\specmat h:\matlab\toolbox\matlab\strfun h:\matlab\toolbox\matlab\dde h:\matlab\toolbox\matlab\demos h:\matlab\obc
»
Dans le monde Matlab, on appelle toolbox un répertoire contenant des fichiers .m. Chaque toolbox vendue avec matlab correspond à un domaine d’aide particulier.
Celle-ci vous permet d'entrer vos commandes. Rappelons que Matlab est sensible à la casse. Les commandes d'édition sont simples :
Flêche haut vous permet de récupérer les commandes précédentes
Flêche bas vous permet de redescendre dans l'historique des commandes
Flêche gauche, Flêche droite, backspace et delete vous permettent de modifier la ligne de texte courante
Toute commande entrée sur la ligne de commande donne lieu à l'affichage de son résultat à moins qu'elle ne se termine par un point virgule, auquel cas l'affichage est supprimé.
Il est possible de saisir une commande sur plusieurs lignes, à condition d'utiliser 3 points (…) comme caractères de suite. Par exemple :
» 1/2 + 1/3 + 1/4
+ 1/5 + 1/6
ans =
1.4500
»
Lorsque vous tapez une expression simple sur la ligne de commande, le résultat de celle-ci est automatiquement affecté à la variable prédéfinie ans.
De manière générale, une ligne de commande Matlab est de la forme :
variable(s) = expression
où expression est une commande Matlab quelconque.
Par exemple :
| » x=0.5 x = 0.5000 » y=cos(1-x^2) y = 0.7317 | » v=[x y] v = 0.5000 0.7317 « |
Si les deux premiers cas se passent de commentaire, le troisième montre comment générer un 2-vecteur en concaténant les variables x et y à l'aide de l’opérateur [ ]. Notez que le caractère de séparation des éléments à l'intérieur d'un vecteur est l'espace. Nous reviendrons en détail sur les tableaux car ils constituent l'élément fondamental de Matlab.
Matlab met à disposition de l'utilisateur quelques variables et constantes prédéfinies.
Inf dénote ?. C'est le résultat produit par une opération du style 1 / 0. Par exemple :
« 1/0
Warning: Divide by zero ans =
Inf
«
NaN (Not a Number) est le résultat typiquement renvoyé par 0/0 ou ?/?. Par exemple :
« 0/0
Warning: Divide by zero ans =
NaN «
pi quotient du périmètre d'un cercle par son diamètre (qui l’eut cru ?) et dont la valeur vaut approximativement ?.
i et j bases de l'espace complexe. Au cas où, par inadvertance malheureuse, vous définiriez des variables de même nom, il est toujours possible d'accéder à celles ci en utilisant ii et jj.
La tolérance du « zéro machine », est fixée par la variable standard eps. C'est-à-dire que pour certaines opérations telles que la recherche des valeurs singulières d'une matrice, par exemple, les nombres x tels que :
-eps < x < eps
seront considérés comme nuls.
En modifiant cette borne, vous pouvez renforcer ou abaisser la sévérité des tests de nullité. La valeur standard vaut :
« eps eps =
2.2204e-016
«
La commande format permet d'influer sur le format d'affichage des nombres dans Matlab.
L'invocation de help format renvoie la liste des formats utilisables. Il est possible de spécifier l'utilisation de formats en virgule fixe, en notation scientifique, héxadécimale, ainsi qu'un format spécial destiné à représenter les matrices de façon très condensée une matrice. L'exemple suivant permettra de fixer les esprits :
| « a = [ -1 2 -1 ; 1 0 -1 ; … -1 -1 1] a = -1 2 -1 1 0 -1 -1 -1 1 | « format + « a a = -+- + - --+ « |
La matrice a est d'abord affichée en format normal avant que l'on utilise la commande format +. L'affichage utilise alors le formalisme suivant :
Un espace code une valeur nulle
Le caractère + code une valeur positive
Le caractère – code une valeur négative
Ce formalisme (qui doit ensuite être désactivé avec une autre commande format) est particulièrement intéressant lorsque l'on souhaite visionner l'allure d'une grande matrice de valeurs centrées, c'est-à-dire, principalement, en analyse de données.
La figure suivante montre le résultat de l'invocation de help format.
« help format
FORMAT Set output format.
All computations in MATLAB are done in double precision. FORMAT may be used to switch between different output display formats as follows:
FORMAT Default. Same as SHORT.
FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits. FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits.
FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits. FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits.
FORMAT HEX Hexadecimal format.
FORMAT + The symbols +, - and blank are printed for positive, negative and zero elements.
Imaginary parts are ignored.
FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents.
FORMAT COMPACT Suppress extra line-feeds.
FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in.
FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers. «
La notion d'espace de travail est fondamentale en Matlab. La fenêtre de commandes de Matlab est un exemple d'espace de travail. Celui-ci est déterminé par l'ensemble des variables et des fonctions présentes en mémoire. C’est une notion assimilable à celle d’espace de visibilité (scope) dans les langages de programmation modernes.
Lorsque vous demandez l'exécution d'un fichier .m, ce dernier invoque un nouvel espace de travail vierge (à l'exception des variables globales dont nous reparlerons plus tard) qu'il remplit avec ses variables propres. Lorsque son exécution se termine, son espace de travail meurt avec lui. Ainsi, chaque fichier .m contient son propre espace de nommage. Il n'y a donc aucun danger à utiliser des noms courants pour les variables locales.
Matlab fournit des primitives permettant de gérer la mémoire occupée par un utilisateur :
Affichage de la liste des variables en mémoire
Suppression de variables, fonctions, etc présentes en mémoire
La commande who permet de connaître à un instant donné la liste des variables utilisateur. Par exemple :
« who
Your variables are:
a v x y
«
Cette liste est utile lorsque l'on souhaite connaître la liste des identificateurs utilisés (par exemple, au moment de créer une nouvelle variable). Toutefois, les informations proposées sont trop limitées pour permettre de gérer la mémoire du système. Dans ce cas, on préférera la commande whos dont nous donnons immédiatement un exemple :
« whos
Name Size Elements Bytes Density Complex
a 3 by 3 9 72 Full No v 1 by 2 2 16 Full No x 1 by 1 1 8 Full No y 1 by 1 1 8 Full No
Grand total is 13 elements using 104 bytes
«
Pour chaque variable on obtient les informations suivantes :
L'identificateur
La dimension sous la forme Lignes by Colonnes. Un scalaire est donc de dimension 1 by 1.
Le nombre d'éléments. Cette information peut paraître redondante par rapport à la précédente car l'on s'attend à ce que le nombre d'éléments soit égal au nombre de lignes multiplié par le nombre de colonnes. En fait, cette information est utile lors de la gestion des matrices creuses où elle fait référence au nombre de cases réellement pleines.
Le nombre d'octets utilisés
La densité (exprimée en pourcentages pour les matrices creuses ou par l'identificateur Full) donne le rapport entre le nombre d'éléments utilisés et le nombre d'éléments théorique d'un tableau.
Finalement, la dernière colonne indique si l'identificateur fait référence à des données complexes ou réelles.
La commande clear permet de supprimer des objets de l'espace de travail. Utilisée seule, elle détruit l'ensemble des variables présentes en mémoire. Comme nous l'indique help clear, d'autres syntaxes sont disponibles :
CLEAR Clear various quantities from the workspace.
CLEAR removes all variables from the workspace.
CLEAR VARIABLES does the same thing.
CLEAR X removes variable or function X from the workspace.
CLEAR FUNCTIONS removes all compiled M-functions.
CLEAR MEX removes all links to MEX-files.
CLEAR ALL removes all variables, functions and MEX links.
If X is global, CLEAR X removes X from the current workspace, but leaves it accessible to any functions declaring it global.
CLEAR GLOBAL X completely removes the global variable X. CLEAR GLOBAL removes all global variables.
Les liens MEX permettent d'écrire des fonctions utilisables depuis Matlab vers des modules écrits avec d'autres langages de programmation.
Il est parfois très intéressant de « décharger » une fonction utilisateur. En effet, lorsque l’on met au point une fonction, l’on effectue souvent de fréquents aller-retours entre l’éditeur et l’environnement Matlab afin de vérifier le fonctionnement de la fonction. Et, régulièrement, Matlab ne se rend pas compte que le code a changé et relance une version non mise à jour de la fonction à partir de son cache, plongeant habituellement l’utilisateur dans la plus profonde perplexité. Afin de palier à cet inconvénient majeur et, ainsi, éviter les maux de tête en résultant, il est possible de supprimer du cache la (mau)dite fonction en utilisant clear.
Par défaut, les variables sont locales à un espace de travail. La commande global permet toutefois de définir des variables globales, c'est à dire dont la portée n'est pas limitée à un espace de travail (par exemple, à un fichier .m) mais à toute une session de travail. Si ce mécanisme permet de partager facilement des données, il doit être utilisé avec parcimonie (et Abonessian) et avec des identificateurs judicieusement choisis afin d'éviter tout risque de collision sur le nommage des variables.
Les commandes suivantes permettent d'influer sur les variables globales : global X Y Z définit les variables globales X, Y et Z isglobal(X) renvoie TRUE si et seulement si la variable X est globale
who global, whos global, clear global x, clear global agissent de la manière que who, whos et clear mais sur les variables globales.
Il est à noter que les variables globales apparaîssent sans distinction particulière lorsque l'on utilise who ou whos comme sur l'exemple suivant :
« a = [ 1 2 3 ] a =
1 2 3 « b = 3.4 b = 3.4000
« global c « c=1 c = 1
« whos
Name Size Elements Bytes Density Complex
a 1 by 3 3 24 Full No b 1 by 1 1 8 Full No c 1 by 1 1 8 Full No
Grand total is 5 elements using 40 bytes
« whosglobal
Name Size Elements Bytes Density Complex c 1 by 1 1 8 Full No
Grand total is 1 elements using 8 bytes
«
La commande save permet de sauvegarder tout (par défaut) ou partie de l'espace de travail. Ces options permettent de spécifier :
Le nom d'un fichier pour la sauvegarde des informations
La liste des variables à sauvegarder
Le format de sauvegarde. Par défaut Matlab sauvegarde l'état de l'espace de travail dans un fichier binaire. Toutefois, il est possible de lui spécifier de tout sauver sous format ASCII et même d'indiquer le nombre de chiffres significatifs à inclure.
Réciproquement la commande load permet de récupérer un espace de travail à condition que l'extension du fichier spécifié en paramètre soit .mat. Si l'extension est différente, par exemple un fichier , alors Matlab considère que le fichier contient une matrice sous forme ASCII à réintégrer dans l’expasce de travail sous le nom de variable abc.
Finalement, la commande diary permet de sauvegarder la quasiintégralité d'une session de travail sous Matlab, ce qui inclut la totalité des lignes de commande et la plus grande partie de leur résultat.
Matlab ne connaît qu'un seul type de données : les matrices de réels. Ainsi, un scalaire est une 1 × 1-matrice et un n-vecteur une 1 × n-matrice.
Matlab dispose du jeu complet d'opérations arithmétiques élémentaires sur les réels :
| + | Addition |
| - | Soustraction |
| * | Multiplication |
| / | Division |
| \ | Division inverse (a \ b = b / a ) inutile sur les réels seuls … mais diablement efficace avec des tableaux ! |
| ^ | Mise à la puissance |
… où les opérations sont données dans l'ordre croissant des priorités. Bien entendu, il est possible d'utiliser des expressions parenthésées pour modifier l'ordre d'évaluation.
Dans cette partie, nous entendons le mot matrice au sens large, c’est à dire qu’il pourra signifier indifféremment matrice ou vecteur en l’absence d’indications plus précises.
Matlab étant orienté matrices, il était tout naturel qu'il propose un nombre impressionnant de fonctionnalités les concernant. Commençons tout d'abord par les opérations de saisie :
La première manière de saisir un vecteur consiste tout simplement à énumérer ses composantes, séparées par des espaces et entre des crochets. Par exemple :
« v=[1 2.0 4.3] v =
1.0000 2.0000 4.3000
«
Il est également possible d'utiliser des expressions là où l'on trouvait des constantes :
« v = [1.0 sqrt(2.0) cos(1.0 - 2.0 * sin (pi/4))] v =
1.0000 1.4142 0.9154
«
Une des particularités les plus intéressantes concerne toutefois l'utilisation de l'opérateur :. Celui-ci permet de créer des énumérations de valeurs sous la forme de boucles implicites. Par exemple :
« v=1:5 v =
1 2 3 4 5
« v=1:0.2:2 v =
1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 «
La syntaxe générale est la suivante :
debut [ : pas] : fin
Bien entendu, il est possible de mixer différentes formes d'initialisation, comme le montre l'exemple suivant :
« v=[1 2 4:6 5:0.1:5.5] v =
Columns 1 through 7
1.0000 2.0000 4.0000 5.0000 6.0000 5.0000
5.1000
Columns 8 through 11
5.2000 5.3000 5.4000 5.5000
Il est également possible de créer des vecteurs uniformément répartis avec la fonction linspace ou avec des intervalles logarithmiques en utilisant logspace. Ces deux fonctions prennent en argument, le premier et le dernier élément de la répartition ainsi que le nombre d'éléments à générer. Par exemple :
« logspace(1,4,5) ans =
1.0e+04 *
0.0010 0.0056 0.0316 0.1778 1.0000
« linspace(1,2,5) ans =
1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
«
L'exemple précédent montre comment Matlab peut utiliser un facteur commun (en l'occurrence 10000) au moment d'afficher un vecteur.
L'exemple (simpliste !) suivant montre comment saisir une matrice toute bête avec Matlab.
« A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
«
Basiquement, il s'agit de spécifier chaque ligne comme un vecteur. L'opérateur ; agissant alors comme un opérateur de concaténation ligne à ligne.
Bien entendu, on peut utiliser des boucles implicites :
« A = [1:3 ; 4:6 ; 7:9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
«
Il est également possible de construire une matrice à partir de vecteurs existants, que ce soit par ligne ou par colonne comme sur l’exemple suivant :
| « v1=[1 2 3] v1 = 1 2 3 « v2=[4 5 6] v2 = 4 5 6 « v3=[7 8 9] v3 = 7 8 9 | « a1=[v1 ; v2 ; v3] a1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 « a2=[v1' v2' v3'] a2 = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 « |
On voit bien ici que ; est un opérateur de concaténation par lignes alors que l’espace est un opérateur de concaténation par colonnes. A titre d’exercice, pouvez vous deviner ce que donneraient les commandes suivantes :
Deux commandes permettent de connaître la taille d’une matrice :
size renvoie un tableau dont le premier élément est le nombre de lignes et le second, le nombre de colonnes. Au cas où l’on applique size à un vecteur, cette commande renvoie un tableau dont l’unique élément indique la taille du vecteur.
length renvoie uniquement, sous forme scalaire, le nombre de colonnes d’une matrice ou le nombre d’éléments d’un vecteur.
Exemple d’utilisation de size et de length :
| « size(a1) ans = 3 3» | « length(a1) ans = 3» |
| eye(n) | Identité n × n |
| zeros(n,m) | Matrice nulle n × m |
| ones(n,m) | Matrice n × m dont tous les éléments valent 1 |
| rand(n,m) | Matrice n × m créée aléatoirement selon une loi uniforme entre 0 et 1 |
| randn(n,m) | Matrice n × m créée aléatoirement selon une loi gaussienne centrée et réduite |
Exemple : construction d’une matrice identité de même taille qu’une matrice existante.
« ida=eye(size(a1)) ida =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
«
Les opérations arithmétiques présentées précédemment sont utilisables sur les tableaux … à condition de respecter les dimensions.
+ et – les dimensions des tableaux doivent être identiques
* les dimensions internes des tableaux doivent être identiques. En particulier, on verra que pour multiplier une matrice à droite par un vecteur, il faut transposer ce dernier pour qu’il devienne une colonne.
Les opérateurs /\ servent à résoudre les systèmes les systèmes linéaires. L’exemple suivant illustre l’utilisation de * et \ avec des matrices.
« a = [ 3 0 1 ; 0 5 -2 ; 1 -2 7 ] a =
| Création d’une matrice et d’un vecteur reconnaissables |
3 0 1
0 5 -2
1 -2 7
« x = [ 1 2 3 ] x =
1 2 3
« b = a * x
| La multiplication d’une matrice par un vecteur exige que celui-ci soit sous forme d’une colonne transposition obligatoire |
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
« b = a * x' b =
6
4
18 « y = a \ b y =
| La résolution du système linéaire passe par l’utilisation des opérateurs \ et / selon que l’on souhaite mettre la matrice à gauche ou à droite. |
1.0000 2.0000
3.0000
« y = b / a
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree.
« y = b' / a
y =
1.0000 2.0000 3.0000
Matlab gère convenablement les opérations mettant aux prises un tableau avec scalaire. Si + - et * ne posent pas de problème particulier, il est interdit d’utiliser / et \ . Nous verrons qu’il faut pour cela utiliser les opérations élément par élément.
Ce sont des opérateurs qui agissent élément par élément sur une matrice.
Leur signe caractéristique est précédé d’un point
Si .+ et .- sont rigoureusement identiques à + et – (l’addition et la soustraction se font toujours membre à membre) il n’en est pas de même pour * et /. En effet la matrice c = a .* b a pour terme général cij=aij × bij et c = a./b a pour terme général cij=aij/bij.
Ces opérateurs sont particulièrement utiles pour calculer des valeurs tabulées de fonctions. Par exemple :
| L’utilisation directe de la division n’est pas possible entre un scalaire et un vecteur, il faut utiliser la division membre à membre |
« x = [0.5 : 0.1 : 1];
« y = 1.0 / (1+x.*x)
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree. « y = 1.0 ./ (1+x.*x) y =
0.8000 0.7353 0.6711 0.6098 0.5525 0.5000
Parfois, il peut être agréable de transformer une matrice en vecteur (pour effectuer certains calculs plus simplement par exemple). Dans ce cas, on utilise une version spéciale de l’opérateur d’indexation qui range dans un vecteur colonne les éléments d’une matrice colonne par colonne. En fait, cet opérateur ne fait rien de spécial sinon refléter l’organisation mémoire de Matlab, laquelle est fortement inspirée du FORTRAN. Si vous désirez stocker une matrice dans un vecteur mais ligne par ligne par colonne, alors, il faut transposer au préalable.
Exemple :
| « a = [ 1 2 ; 3 3 ] a = 1 2 3 4 « b = a' | « a(:) ans = 1 3 2 4 « b(:) |
| b = 1 3 2 4 | ans = 1 2 3 4 |
Il existe deux autres opérations de rangement sur les matrices qui sont fliplr et flipud qui permettent respectivement d’inverser l’ordre et celui des colonnes de la matrice. Notez au passage que fliplr permettra de retourner un vecteur. Exemple :
| « a a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | « fliplr(a) ans = 3 2 1 6 5 4 9 8 7 | « flipud(a) ans = 7 8 9 4 5 6 1 2 3 |
Suit la liste de quelques unes des opérations les plus courantes réalisées sur des matrices.
| inv | Inverse la matrice |
| rank | Rang de la matrice |
| cond | Nombre de conditionnement de la matrice |
| norm | Norme 2 de la matrice. Il est possible d’obtenir les autres normes en passant des paramètres supplémentaires. |
| mean | Moyenne de chaque colonne |
| std | Ecart type de chaque colonne |
| sum | Somme de chaque colonne |
| cumsum | Somme cumulée de chaque colonne |
| prod | Produit des éléments de chaque colonne |
| cumprod | Produit cumulé des éléments de chaque colonne |
| min, max, median | Minimum, maximum et médiane des éléments de chaque colonne |
Toutes ces opérations s’appliquent également à un vecteur. Si vous désirez effectuer ces opérations non pas sur les colonnes mais sur les lignes, vous avez toujours la possibilité de transposer la matrice au préalable. De même il est possible d’appliquer l’opérateur à l’ensemble des éléments de la matrice en utilisant l’opérateur de transformation en vecteur.
Il faut prendre garde à l’opération de mise à l’exponentielle d’une matrice. En effet, comme l’on peut s’y attendre exp(a) est la matrice des exponentielles de chacune de ses composantes. Pour prendre l’exponentielle d’une matrice, il faut utiliser l’une des fonctions expm, expm1, expm2 ou expm3. De même logm et sqrtm calculent respectivement le logarithme et la racine carrée matricielle.
Ils renvoient des valeurs booléennes où 0 signifie faux et 1 vrai.
| == | Egalité |
| < > <= >= | Inégalités |
| ~= | Différence |
On pourra comparer :
2 scalaires
2 tableaux de même taille
1 tableau et un scalaire
Tous ces opérateurs renvoient un tableau de même taille que l’argument principal, par exemple :
| v = [ 1 2 3 4 5 ] v = 1 2 3 4 5 » a = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 » v > 4 ans = 0 0 0 0 1 | » a == 2 ans = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 » a <= 3 ans = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 » a <= 5 ans = 1 1 1 1 1 0 0 0 0 |
Donnons maintenant un exemple certes surprenant mais néanmoins classique dans l’environnement Matlab de l’utilisation des opérateurs de comparaison pour résoudre un problème d’indétermination au dénominateur. La fonction sinus cardinal a pour expression sinc(x) =?????sin1x x xx =? 00
Il n’est pas possible de l’écrire sin(x)./x directement sur un intervalle contenant l’origine à cause de l’indétermination en 0, aussi il est possible de résoudre le problème en procédant en 2 étapes :
a) on élimine le 0 au dénominateur pour le remplacer par un 1, ce qui revient à remplacer x par x+(x==0). En effet, l’expression (x==0) vaudra 0 en tout autre point que 0 et 1 en 0. Ainsi, on ne modifie x qu’au point 0.
b) On effectue la division avec le dénominateur modifié, ainsi la fonction vaudra sin(0)/1 en 0, soit 0
c) on ajoute ensuite la valeur 1 au point 0, et pour ce faire, on réutilise une addition avec (x==0) Finalement on obtient :
sin(x)./(x+(x==0))+(x==0)
Cette manière de procéder peut paraître lourde mais elle est nettement plus efficace que l’utilisation d’une boucle sur les valeurs de x.
Ce sont des opérateurs booléens qui agissent sur des tableaux de 0 et de 1.
Sont disponibles :
| & | Et logique |
| | | Ou logique |
| xor | Ou exclusif |
| ~ | Non logique |
Les fonctions is… et apparentées renvoient un tableau booléen de même taille que leur argument en fonction des valeurs qu’il contient
| isinf | 1 si valeur = -inf ou +inf |
| finite | Vrai pour toute valeur numérique différente de l’infini ou de not a number |
| isnan | Vrai si la valeur vaut not a number |
| find | Vrai si la valeur est non nulle |
Deux autres opérateurs sont un peu différents car ils renvoient une valeur scalaire unique
| isempty | Vrai si le tableau est non vide |
| isreal | Vrai si le tableau contient des réels, c’est à dire qu’il ne contient pas de complexes |
Find est un autre opérateur particulier qui renvoie les coordonnées des éléments non nuls. Il faut se méfier des valeurs renvoyées par find lorsqu’il travaille sur une matrice. En effet, find renvoie toujours un vecteur. Ainsi, pour une matrice 3x3, find renverra un vecteur à neuf éléments. Les indices renvoyés correspondent à un rangement par colonnes des valeurs. Il est possible d’obtenir un rangement par lignes en demandant explicitement deux arguments de retour. Par exemple, en réutilisant la matrice a de l’exemple précédent :
| » a(:) ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9
» find (a <= 5) ans = 1 2 4 5 7 » | » [lig,col]=find(a<=5) lig =
1 2 1 2 1 col = 1 1 2 2 3 » |
Maintenant que nous disposons de find, il est possible d’écrire la fonction sinus cardinal d’une nouvelle manière :
1) nous construisons un vecteur de 1 de même taille que x :y=ones(size(x))
2) nous recherchons les éléments non nuls de x indices=find(x)
3) puis, nous calculons sin(x)/x pour tous les éléments non nuls trouvés par find.
Nous obtenons finalement :
y(indices)=sin(x(indices))./(x(indices))
Deux autres opérateurs booléens très pratiques sont spécifiques à Matlab
all(a) renvoie vrai si tous les éléments du vecteur a sont non nuls. Appliqué à une matrice, il renvoie un vecteur effectuant la même opération pour chaque colonne de la matrice
any(a) renvoie vrai s’il existe un élément non nul dans le vecteur. Il fonctionne de la même manière que all sur une matrice.
Exemple : test d’égalité sur deux matrices : all(all(a==b)) doit être égal à 1
Exercice : test de symétrie d’une matrice
Loin d’être exhaustif, ce chapitre propose une revue de quelques fonctions de Matlab régulièrement utilisées et permettant de se familiariser
Rien ne saurait remplacer la lecture help matfun pour une documentation complète sur les opérations disponibles sur les matrices. Nous ne donnons ici, à titre d’exemple que quelques unes des opérations de décomposition.
[L,U]=lu(A) où Uest triangulaire supérieure, L quasiment triangulaire inférieure à une permutation sur A près et A=L*U. Pour avoir réellement une matrice inférieure, il faut demander le troisième argument de retour de Matlab
[L,U,P]=lu(A) Ici U est triangulaire supérieure, L triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et l’on a : L*U=P*A
Exercice : inverser une matrice A en utilisant sa décomposition LU sous la deuxième forme
[Q,R]=qr(A) où Q est une matrice orthonormale et R une matrice triangulaire supérieure telles que Q*R = A.
Bien que très stable numériquement, il est possible d’améliorer encore les performances de cette méthode en demandant le 3ème paramètre de retour :
[Q,R,P]=qr(A) où Q est une matrice orthonormale, R une matrice triangulaire supérieure et P une matrice de permutation telles que Q*R=A*P. La principale amélioration tient au fait que les valeurs diagonales de R sont rangées par ordre décroissant en valeur absolue, phénomène connu pour améliorer la performance des opérations utilisant les matrices triangulaires supérieures, en particulier la résolution de systèmes linéaires (plus l’on divise par une valeur grande, moins l’on commet d’erreurs).
Matlab dispose d’une fonction particulièrement efficace permettant de trouver la liste des valeurs propres, éventuellement accompagnées de leurs vecteurs propres correspondants. L’extraction des valeurs propres se fait par la méthode QR accélérée. Une étude menée par l’auteur montre que l’algorithme employé est très efficace hormis pour les matrices tri diagonale où la méthode spécifique à ce type de matrice l’emporte. L’exemple suivant illustre cette fonction nommée eig d’après le mot eigenvalue, valeur propre en Anglais. La syntaxe de eig peut paraître spéciale.
eig(a) renvoie un vecteur colonne des valeurs propres de la matrice
[vecteurs, valeurs]=eig(a) renvoie une base de vecteurs propres et une matrice carrée dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres correspondants.
| « a = [1 2 -1 4 ; 2 3 1 0 ;… -1 1 -2 3 ; 4 0 3 -5] a = 1 2 -1 4 2 3 1 0 -1 1 -2 3 4 0 3 -5 | « [vecteurs,valeurs]=eig(a) vecteurs = 0.2508 0.6247 0.6226 0.3990 0.1077 -0.6854 0.7123 -0.1061 -0.8863 -0.0622 0.1393 0.4372 -0.3740 0.3689 0.2925 -0.7990 valeurs = -0.5726 0 0 0 0 1.2677 0 0 0 0 4.9436 0 0 0 0 -8.6386 |
Un polynôme est représenté sous la forme du vecteur de ses composantes par ordre décroissant de degré i.e. le membre de degré le plus haut est à gauche.
Par exemple 4x3 –x+5 s’écrit [4 0 -1 5]
L’Evaluation des polynômes s’effectue bien évidemment par l’algorithme de Horner. La fonction à utiliser diffère selon que l’on souhaite évaluer le polynôme sur des valeurs scalaires ou sur une matrice.
polyval(p,x) évalue le polynôme p en chaque point du tableau x
polyvalm(p,a) ici l’on n’évalue pas sur chaque élément de la matrice a mais c’est la matrice qui devient la variable du polynôme.
| » p = [3 0 -1 5] p = 3 0 -1 5 » x=[-1 0 1 ; 0 0 1 ; 2 1 -2] x = -1 0 1 0 0 1 2 1 -2 | » polyval(p,x) ans = 3 5 7 5 5 7 27 7 -17 » polyvalm(p,x) ans = -21 -9 29 -18 -1 20 58 20 -59 » |
La multiplication classique de polynômes s’effectue par convolution des tableaux de coefficients, soit avec la fonction conv
R = p x q s’écrit donc r=conv(p,q)
La division euclidienne de polynômes (puissances décroissantes) s’effectue par déconvolution des tableaux de coefficients soit donc avec la fonction deconv.
Par exemple, examinons le cas des polynômes x2 + 3x ?1 et x ? 4 dont le produit vaut x3 ? x2 ?13x ? 4 . La traduction en Matlab est la suivante :
| « p1=[ 1 3 -1 ] p1 = 1 3 -1 « p2 = [ 1 -4] p2 = 1 -4 « p3 = conv(p1,p2) p3 = | deconv(p3,p1) ans = 1 -4 « deconv(p3,p2) ans = 1 3 -1 « |
| 1 -1 -13 4 |
Après création des polynômes p1 et p2, on calcule le produit dans p3. Par chance, la division de p3 par p1 redonne p2 et réciproquement.
Matlab offre la fonction residue dont le but est de calculer la réduction en éléments simples de première espèce d’une fraction rationnelle. La syntaxe générale de ma fonction residue est la suivante :
[residues,poles,direct]=residue(numerateur,denominateur)
où :
direct est le polynôme de l’élément le plus simple poles est la liste des pôles de degré 1 de la division residus le vecteur des numérateurs associés aux pôles.
Il n’est pas possible d’obtenir la réduction d’une fraction rationnelle en éléments de deuxième espèce.
x3 ? 6 x2 + 2 x
Considérons par exemple la fraction rationnelle : 2 dont la x + x ? 2
3 4 décomposition s’écrit : (x + 5) + ? . Traduisons en Matlab cette x + 2 x ?1
opération :
| > numerateur=[1 6 2 0] numerateur = 1 6 2 0 « denominateur=[1 1 -2] denominateur = 1 1 -2 | « [residus,poles,direct]= residue(numerateur,denominateur) residus = -4 3 poles = -2 1 direct = 1 5 |
Le résultat contenu dans direct est donc le polynôme de degré 1 sans dénominateur, poles fournit la liste des opposés des monômes de degré 0 des dénominateur et residus les numérateurs associés.
La fonction roots donne les racines réelles ou complexes du polynôme. Elle utilise la méthode de Müller puis affine les racines trouvées par la méthode de Bairstow.
La fonction poly permet d’extraire le polynôme caractéristique d’une matrice. L’exemple suivant illustre cette fonctionnalité, qui, couplée à roots, permet d’obtenir les valeurs propres d’une matrice. Toutefois, la qualité des solutions obtenue est très inférieure à celle obtenue par la méthode directe utilisant la fonction eig. Nous reprenons l’exemple précédent sur les valeurs propres.
» a = [1 2 -1 4 ; 2 3 1 0 ; -1 1 -2 3 ; 4 0 3 -5];
» p=poly(a) p =
1.0000 3.0000 -46.0000 27.0000 31.0000 » roots(p) ans =
-8.6386
4.9436 1.2677 -0.5726
»
On retrouve bien les valeurs propres observés précédemment ! (Ouf -)
Matlab propose des fonctions d’interpolation polynomiale au sens de Lagrange ou au sens des moindres carrés.
Soient deux séries x et y telle que y = f (x)+? où ? est un bruit de caractéristiques inconnues. Soit un entier n. La fonction polyfit(x,y,n) renvoie un polynôme de degré n approchant au mieux f au sens des moindres carrés. L’exemple graphique suivant expose cette fonctionnalité.
-10 0 10 -10 0 10
-10 0 10 -10 0 10
Code Matlab correspondant :
» x=[-2*pi:0.1:2*pi];
» y=sinc(x);
» bruite=y+randn(size(x))/4; » p3=polyfit(x,bruite,3)
p3 =
-0.0007 -0.0272 0.0137 0.6010
» p5=polyfit(x,bruite,5);
» p7=polyfit(x,bruite,7);
» subplot(2,2,1), plot(x,y,':',x,bruite,'-'), … title('Signal et signal bruité');
» subplot(2,2,2), plot(x,y,':',x,polyval(p3,x),'-'),… title('Interpolation de degré 3');
» subplot(2,2,3), plot(x,y,':',x,polyval(p5,x),'-'),… title('Interpolation de degré 5');
» subplot(2,2,4), plot(x,y,':',x,polyval(p7,x),'-'),… title('Interpolation de degré 7');
La fonction interp1(x,y,z) établit un polynôme d’interpolation des séries x et y et renvoie l’image de tous les points de z par ce polynôme. La
fonction interp2(x,y,z,u,v) réalise le même travail mais en trois dimensions. Il est conseillé de consulter l’aide de Matlab pour la définition des options de ces fonctions.
Ecrire (en très peu de lignes) une fonction calculant la primitive qui s’annule en 0 d’un polynôme.
Matlab propose en standard des fonctionnalités avancées de programmation.
Afin de pouvoir appeler un sous-programme de votre facture depuis la ligne de commande Matlab, il est important de le stocker dans un fichier portant le même nom. Attention donc aux environnements où la taille du nom d’un fichier est limitée.
La structure générale d’un sous programme Matlab est la suivante :
L’une des particularités les plus étonnantes de Matlab réside dans le fait que les fonctions peuvent avoir plusieurs résultats. Si vous ne précisez pas de variable à laquelle affecter le résultat d’une fonction, seul le premier résultat est fourni. La fonction lu permettant de calculer la factorisation LU d’une matrice fournit un exemple typique, son utilisation est exposée en détails au chapitre ….
De même, les paramètres en entrée sont tous optionnels, il appartient donc au programmeur de vérifier qu’ils sont présents.
Les variables nargin et nargout contiennent respectivement le nombre d’arguments passés en entrée à l’appel de la fonction et le nombre de résultats demandés.
Il faut également se souvenir que toutes les variables que vous déclarez et utilisez à l’intérieur d’un sous-programme y sont locales. Si vous voulez renvoyer un résultat dans une variable il faut la rendre globale à l’aide de l’ordre global ; auquel cas, il faut faire attention aux éventuelles collisions de nommage.
Afin d’éviter que les résultats d’évaluation des différentes instructions d’un sous programme n’apparaissent dans la fenêtre Matlab, il est important de terminer chaque ligne par un point virgule. Toutefois, il est parfois utile, lorsque l’on débogue un programme de ne pas mettre ce dernier afin d’avoir une trace d’exécution sur les lignes les plus critiques.
Matlab propose les structures de contrôle les plus courantes : exécution conditionnelle et répétitive
La structure générale d’une structure d’exécution conditionnelle (accompagnée d’un petit exemple) est la suivante :
| if condition … instructions … elseif condition … instructions … else … instructions end | if (i<j) a=a+b(i,j) else a=a+b(j,i) end |
Un point important mérite d’être signalé : l’expression condition se doit d’être scalaire et booléenne.
Matlab dispose des deux structures de boucle les plus courantes : les boucles avec compteur (for) et les boucles conditionnelles (while).
Quel que soit le type de boucle choisi, il est possible d’utiliser l’instruction break pour sortir inconditionnellement de la boucle courante.
| while condition … instructions … end | Exemple : while (e < eps) e = … résultat d’un calcul end |
La boucle while est très intéressante, par exemple, pour atteindre la convergence d’un processus.
for variable = debut [:pas]:fin
… instructions … end
Notons que le pas par défaut est de 1 et que la construction de la liste des valeurs possibles de la variable de contrôle se fait toujours de façon croissante. Pour parcourir des valeurs décroissants, il est nécessaire d’utiliser un pas négatif.
Cette boucle est très appréciée des débutants en Matlab car elle permet de transposer aisément un programme écrit dans un langage structuré classique. Toutefois, son emploi sur les tableaux doit être limité à son minimum avec Matlab. En effet, dans la plupart des cas, il est possible de remplacer une boucle for par des instructions directes sur les vecteurs ou sur les matrices.
Par exemple, considérons un sous programme qui calcule la somme des éléments sous diagonaux d’une matrice
La première méthode consiste à utiliser 2 boucles for imbriquées alors que la seconde utilise les fonctions étendues de Matlab sur les tableaux.
| a = [1 2 3 ;… 4 5 6 ;… 7 8 9] a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | for i=1:length(a) for j=1:i-1 s=s+a(i,j) end end s = 19 | for i=1:length(a) s=s+sum(a(i,1:i-1)) end s = 19 |
Sur une matrice de cette taille, la différence est minime. En revanche, sur des matrices plus conséquentes, la seconde méthode est bien plus rapide car elle tire partie des fonctionnalités du noyau de Matlab.
L’aide concernant la manipulation des chaînes de caractères s’obtient par help strfun.
Dans Matlab, une chaîne de caractères est une séquence de caractères encadrée par des apostrophes, par exemple ‘F4’. Pour insérer une apostrophe dans une chaîne, il suffit de la doubler.
En fait, elle est stockée sous la forme d’un tableau de caractères, aussi la plupart des opérations de base disponibles sur les vecteurs seront utilisables sur les chaînes. Par exemple, la longueur d’une chaîne s’obtient avec length. Toutefois, Matlab garde en mémoire un indicateur spécial indiquant si un tableau d’entier est en fait une chaîne de caractères. La fonction isstr renvoie 1 si son argument est une chaîne de caractères. Matlab propose de passer de la représentation chaîne de caractère à la représentation tableau de code ASCII et réciproquement à l’aide des fonctions abs et setstr.
L’exemple de code suivant résume les commandes de base sur les chaînes de caractères.
Exercices sur les chaînes de caractères : ressortir le partiel de l’an dernier.
Les fonctions suivantes permettent de convertir une chaîne de caractères vers une valeur numérique.
num2str convertit une valeur numérique quelconque vers une chaîne. Typiquement prévue pour être utilisée sur un scalaire, le résultat obtenu à partir d’un vecteur mérite le détour !
int2str convertit un entier en chaîne ; si la chaîne représente en fait un nombre réel, int2str tronque sa partie décimale.
dec2hex transcrit un nombre entier vers une chaîne contenant sa représentation en base 16
mat2str renvoie une matrice sous la forme [ valeurs ; valeurs ; … ] c’est à dire la forme sous laquelle elle serait saisie sur la ligne de commande de Matlab. Cette fonction prend un second argument indiquant le nombre de décimales désirées.
str2num conversion d’une chaîne en nombre scalaire. Si la chaîne contient une opération, celle-ci est effectuée avant que son résultat ne soit renvoyé. Si la chaîne contient des crochets (et, éventuellement, des point virgules), le résultat sera sous forme d’un vecteur (matrice).
hex2num et hex2dec transforment respectivement une chaîne de caractères hexadécimaux vers un nombre flottant ou entier.
L’exemple suivant illustre ces fonctionnalités, souvent utiles lorsque l’on récupère des données en provenance d’un fichier texte.
Elle permet d’évaluer une commande placée dans une chaîne de caractères. Contrairement à strnum qui ne pouvait réaliser que les opérations de base, eval peut appeler des sous programmes. Il est possible de passer à eval une seconde chaîne de caractères en second paramètre : elle sera évaluée en cas d’échec sur le premier paramètre.
isletter(s) renvoie 1 pour chaque caractère alphabétique isspace(s) renvoie 1 pour chaque caractère blanc
upper(s) transforme une chaîne en passant tous les caractères en majuscule
lower(s) transforme une chaîne en passant tous les caractères en minuscule blanks(n) génération d’une chaîne de n espaces
strcmp(s1,s2) effectue une comparaison lexicographique des chaînes de caractères. Deux valeurs de retour sont possibles : 0 si les chaînes sont différentes et 1 si elle sont identiques. Si vous voulez effectuer une comparaison des valeurs des chaînes, utilisez préalablement eval
strrep(cible, source, remplacement) remplace dans cible toutes les occurrences de source par remplacement
strtok(s) renvoie le premier token de la chaîne. Si vous demandez un second résultat, celui-ci contiendra le reste de la chaîne ; ce qui s’avère très utile pour réaliser des appels successifs
findstr(source, recherche) recherche les positions de la chaîne recherche dans la chaîne source et renvoie le vecteur des positions trouvées.
L’exemple suivant illustre le fonctionnement de certaines de ces fonctionnalités.
| » chaine='Isima F4'; » isletter(chaine) ans = 1 1 1 1 1 0 1 0 » isspace(chaine) ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 » upper(chaine) ans = ISIMA F4 » lower(chaine) ans = isima f4 | » strcmp('ABCDE','ABEDC') ans = 0 » strcmp('ABCDE','ABCDE') ans = 1 » geographie='de l''est à l''ouest' geographie = de l'est à l'ouest » strrep(geographie,'est','ours') ans = de l'ours à l'ouours » findstr(geographie,'est') ans = 6 16 |
Exemple d’utilisation de strtok sur une chaîne pour extraire tous les tokens.
| function tokenize(chaine) suite=chaine; z=[]; while (~isempty(suite)) [premier,suite]=strtok(suite); premier end end | » tokenize('les trois éléments') premier = les premier = trois premier = éléments » |
Commençons par une précision importante. A l’heure où ce torchon prend vie, l’Ours Blanc des Carpathes ne dispose pas des dernières versions de Matlab. Il faut donc entendre que toutes les indications données ci-dessous s’entendent pour la version 4.2 de Matlab.
Matlab offre d’intéressantes possibilités de rendu graphique de données numériques, que cela soit en 2D ou en 3D. Notons immédiatement que les textes sont toujours affichés dans la même police et qu’il n’est pas possible d’en changer. En outre, nous ne donnerons ici qu’un bref aperçu des fonctions graphiques les plus fondamentales de Matlab.
Par défaut, tout ordre d’affichage de données efface la fenêtre d’affichage pour faire place nette à ces données. Il est possible de modifier ce comportement grâce à la commande hold(‘on’) qui active le mode « rétention des données ». Une fois dans ce mode, tout ordre d’affichage superpose les nouvelles données à l’état actuel de la fenêtre. Les axes sont éventuellement mis à jour de manière à ce que toutes les données soient affichées. Ce fonctionnement persiste jusqu’à la prochaine commande hold(‘off’).
La commande hold utilisée sans paramètre agit comme bascule entre les deux modes.
Il est possible de spécifier le format d’un tracé dans une chaîne de caractères. Celle-ci est composée de caractères spécifiant le style de tracé et la couleur. Voici la liste des codes correspondants :
| Style de tracé | Couleur | ||
| Code | Signification | Code | Signification |
| Dessin continu | y | Jaune | |
| - | Trait plein | g | Vert |
| : | Pointillés | w | Blanc |
| _ _ | Gros pointillés | m | Rose |
| _ . | Gros et petits pointillés en alternance | b | Bleu |
| Dessin discret | k | Noir | |
| O | Petits ronds | c | Cyan |
| * | Etoiles | r | Rouge |
| + | Signes + | ||
| . | Simples points | ||
Par exemple, la chaîne ‘ow’ place le graphique en mode dessin discret et place des petits ronds blancs aux divers points de données.
Par défaut, Matlab affiche des axes permettant de se repérer facilement sur la figure. Ceux-ci sont gradués régulièrement.
Matlab offre la possibilité de modifier, dans une certaine mesure, les axes du graphique à l’aide de la commande axis. Celle-ci peut être utilisée sous un nombre impressionnant de formes différentes. Nous ne retiendrons ici que les principales.
axis([xmin xmax ymin ymax]) spécifie l’étendue des axes des abscisses et des ordonnées.
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) spécifie l’étendue des axes des abscisses, des ordonnées et des côtes pour un dessin en 3 dimensions.
axis(‘auto’) permet de revenir aux étendues par défaut des axes, très pratique après des expérimentations peu concluantes axis(‘off’) retire les graduations et les étiquettes des axes axis(‘on’) affiche les graduations et les étiquettes des axes
axis(‘AXIS’) verrouille les axes dans leur position actuelle. S’emploie en mode hold(on). On commence par afficher la série de valeurs de référence, puis on bloque les axes pour les prochaines. Cela permet de spécifier certains paramètres de centrage sur la série de référence.
Les commandes xlabel et ylabel et zlabel que nous présentons cidessous permettent d’associer des légendes aux axes. Il est possible d’afficher une grille avec la commande grid.
title(‘chaine’) permet de donner un titre à un graphique. Il est toujours placé au dessus du graphique et centré.
xlabel(‘chaine’) place une légende sous l’axe horizontal
ylabel(‘chaine’) place une légende à gauche de l’axe vertical. Le texte est écrit verticalement
zlabel(‘chaine’) place une légende sur l’axe des côtes dans un graphique à trois dimensions.
Il n’existe pas de commande permettant de créer automatiquement une légende, comme, par exemple, avec Excel. Il est toutefois possible de placer un texte quelconque, soit directement sur la figure à l’aide de la souris par la commande gtext(‘chaine’), soit en utilisant ces coordonnées avec text(x,y,’chaine’) où x et y sont les coordonnées du point le plus en bas à gauche du texte dans le système de coordonnées défini par les données du dessin.
Il s’agit de la commodité que nous avons déjà utilisée lors de la présentation de l’interpolation polynomiale. Le but était de créer une mosaïque de graphiques. Ceci est réalisé de façon très simple grâce à la commande subplot(n,m,position). Celle-ci créée une n × m matrice dont les cellules sont numérotées de 1 à n × m depuis le coin supérieur gauche et dans le sens habituel de la lecture. Le paramètre nommé position sélectionne la cellule à laquelle vont s’appliquer tous les prochains ordres graphiques comme s’il s’agissait d’un graphique isolé.
La commande subplot(1,1,1) permet de revenir à une configuration à dessin unique.
La commande plot est à la base de tout graphique en deux dimensions. La syntaxe est la suivante : plot(abscisses, ordonnees [, format]{, abscisses, ordonnees [,format]}n)
Par exemple, la suite des commandes :
>> x=[-pi:0.1:pi]; >> y=sin(x);
>> plot(x,y,'w:');
>> donne le résultat graphique suivant :
Il n’est pas possible d’afficher des données présentées sous forme symbolique : il faut toujours fournir des données tabulées sous la forme de deux séries : les abscisses et les ordonnées correspondantes.
En plus de la commande plot qui permet d’afficher un tracé continu ou discret de données présentées sous la forme d’un tableau, Matlab propose toute une panoplie de commandes destinées à présenter les données discrètes sous des formats spécialisés.
Les commandes stem, bar et stairs permettent respectivement de créer des diagrammes à bâtons, en barres (similaires à un histogramme) et en escalier.
Les paramètres sont similaires :
{stem | bar | stairs}(y) crée un diagramme régulièrement espacé des données de y.
{stem | bar | stairs}(x,y) crée un diagramme où les x déterminent la position en abscisse du motif et y son ordonnée.
Il est possible de passer à ces commandes un argument de format sous la forme habituelle d’une chaîne de caractères.
En outre, pour les commandes bar et stairs, il est possible de demander des résultats de sortie sous la forme [xx,yy]={bar, stairs}(x,y). Auquel cas, aucun graphe n’est tracé, mais ce dernier pourra être obtenu par la commande plot(xx,yy). Cette possibilité peut être utilisée pour afficher conjointement une courbe et un diagramme avec une mise en page spéciale.
Notez également que bar et stairs nécessitent que les abscisses x soient fournies en ordre croissant.
La figure suivante montre l’utilisation de ces différentes techniques sur un graphique contenant 4 sous graphiques, le code Matlab est le suivant :
x=[-2:0.1:2]; y=exp((-x.^2)/2); subplot(2,2,1), plot(x,y), title('Courbe continue'); subplot(2,2,2), stem(x,y), title('Diagramme à bâtons'); subplot(2,2,3), bar(x,y), title('Diagramme à barres'); subplot(2,2,4), stairs(x,y), title('Diagramme en escalier'); subplot(1,1,1);
La commande hist travaille différemment car elle crée des classes dans les valeurs dans qui lui sont fournies puis renvoie un graphique montrant la cardinalité de chaque classe.
Sous la forme hist(y), la fonction crée exactement 10 classes de même taille. Il est possible de spécifier manuellement que l’on souhaite utiliser n classes par la commande hist(y,n). Finalement, l’utilisateur peut choisir lui même ses classes. Dans ce cas, elles sont passées en second argument : hist(y,x).
| Génération aléatoire des notes |
Le code suivant crée des notes réparties sur une gaussienne centrée en 14 et d’écart type 5. Les notes sont arrondies à l’entier immédiatement supérieur grâce à la fonction ceil. Dans un second temps, on seuille toutes les notes inférieures à 0 et celles supérieures à 20. On souhaite étudier graphiquement la répartition des notes, pour cela, on spécifie que chaque classe correspond à une note. Notez que la spécification manuelle des classes impose que celles ci correspondent exactement à un entier. notes=ceil(randn(1,100)*5+12);
| Seuillage des notes ? à 0 |
indices=find(notes < 0); notes(indices)=zeros(length(indices));
| Seuillage des notes > à 20 |
indices=find(notes > 20); notes(indices)=ones(size(indices)).*20;
Génération des classes
classes=(0:1:20); hist(notes,classes);
Elargissement des axes et addition d’enrichissements au graphique
axis([min(notes)-1 max(notes)+1 0 length(find(notes==13))+1]); xlabel('Notes'); ylabel('Contingences'); title('Répartition des notes');
Le principe revient à exprimer les abscisses et les ordonnées en fonction du paramètre puis à les afficher avec la commande plot. Par exemple, visualisons la
courbe ????xy == 12+2tt3t44 Le code Matlab peut ressembler à :
? 1+t
» t=-1000:0.1:1000;
» x=(2.*t)./(1+t.^4);
» y=(2.*t.^3)./(1+t.^4);
» plot(x,y);
» title('Tracé d''une courbe paramétrique');
Il est possible d’afficher des courbes polaires à l’aide de la commande polar(theta, rho, format) où format fonctionne sur le même principe que celui de plot.
Par exemple, écrivons une fonction qui affiche une rosace à l’écran. Celle-ci est définie par deux paramètres, la longueur des limbes a, et le nombre de limbes n.
function rosace(a,n,style) if (nargin < 2) error('Pas assez de paramètres : rosace(longueur, nombre [, format])'); end; theta=-pi:0.05:pi; rho=a.*sin(n.*theta); if (nargin < 3) polar(theta,rho); else polar(theta,rho,style); end; end;
Notez l’utilisation de nargin pour vérifier la présence des deux paramètres obligatoires et du troisième paramètre facultatif : le format d’affichage. Sur la figure résultant de rosace(12,6) notez les deux types de graduation :
Les angles theta en degrés
Les amplitudes rho en unités arbitraires
Nous terminons cette brève introduction au graphisme en 2D de Matlab par l’étude des fonctions permettant de traiter des données avec des échelles logarithmiques. Ces fonctions sont similaires à plot : les arguments sont rigoureusement identiques.
semilogx trace le graphique en utilisant une échelle logarithmique sur l’axe des x et une échelle linéaire sur l’axe des y
semilogy trace le graphique en utilisant une échelle linéaire sur l’axe des x et une échelle logarithmique sur l’axe des y
loglog applique une transformation logarithmique sur les deux axes
Avouez que nous étiez nombreux à l’attendre cette section ! Et bien, vous serez mal récompensés de vos efforts car, comme je suis miro 15ème dan je suis bien mal placé pour vous placer du graphisme 3D … Si toutefois, vous êtes directement arrivés ici sans passer par la case 2D, je vous conseille d’y jeter un petit œil.
Plot3 est au graphisme 3D ce que plot était au graphisme 2D : la fonction de base permettant d’afficher des courbes.
Etudions son comportement sur une fonction paramétrique :
» t=-3*pi:pi/10:3*pi;
» x=4*sin(t);
» y=4*cos(t);
» z=2*t;
» plot3(x,y,z), xlabel('Axe des abscisses'), … ylabel('Axe des ordonnées'), zlabel('Axe des côtes');
La distinction entre abscisses et ordonnées ne m’ayant jamais parue claire dans ce genre de graphiques, j’ai préféré les étiqueter
L’affichage de surfaces passe par la réalisation d’un maillage du plan xy puis le calcul de la surface pour chacun des points le constituant.
La constitution du maillage passe par l’utilisation de la fonction meshgrid. Donnons d’abord un exemple de son utilisation :
» x=[-2:2];
» y=[3:4];
» [X,Y]=meshgrid(x,y)
X =
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
Y =
-3 3 3 3 3
-4 4 4 4 4
Voici quelques explications :
La fonction meshgrid a créé deux matrices X et Y de même taille et représentant le maillage. Chaque ligne de X correspond au vecteur x et X comporte length(y) lignes ; réciproquement, chaque colonne de Y correspond au vecteur y et Y comporte length(x) colonnes.
Une fois établies ces matrices de maillage, on peut calculer la valeur de la côte en chaque point. Par exemple, pour calculer une surface de parabole sur un carré de 4 unités de côté :
» x=[-2:0.05:2];
» y=[-2:0.05:2];
» [X,Y]=meshgrid(x,y);
» Z=X.^2 + Y.^2;
» mesh(X,Y,Z);
La famille des fonctions mesh trace un graphique en fils de fer. Elles prennent toutes 3 paramètres, dans l’ordre : les matrices de maillage X et Y ainsi que la matrice des côtes sur le maillage Z. Les autres possibilités de tracé sont les suivantes :
meshz ajoute des lignes de projection sur les côtes contour trace les contours projetés de Z sur le plan xy meshc combine mesh et contour sur le même graphique surf colore les espaces entre les fils
surfc combine surf et contour
surfl ajoute une source de lumière virtuelle.
Il existe bien d’autres options, permettant, par exemple, de régler la palette de couleurs ou bien le point de vue par rapport auquel on regarde la courbe. L’étude de toutes ses possibilités, bien au delà du contexte de cette introduction, est laissée au soin du lecteur.
La figure suivante illustre néanmoins certaines des fonctions nommées cidessus.
Il est possible de calculer les performances d’un calcul aussi bien en nombre d’opérations flottantes (les fameux flops) qu’en temps de calcul. Le premier élément est souvent plus intéressant car il sera le même quelle que soit la charge de la machine.
La commande permettant d’évaluer le nombre d’opérations est intitulée flops et renvoie le nombre d’opérations en virgule flottante effectués depuis la dernière remise à zéro du compteur, liée à la commande flops(0).
Le temps de calcul se mesure grâce aux fonctions tic et toc. Tic lance un chronomètre, toc l’arrête et renvoie le temps écoulé dans une unité qui dépend de la plate forme matérielle.
Ce petit bout de code montre l’utilisation des commandes de mesure de performance et de nargout. Si un seul résultat est demandé, cette fonction renvoie la moyenne du tableau passé en paramètre. Les deuxième et troisième résultats correspondent respectivement au nombre d’opérations et au temps de calcul.
function [moy,ops,temps]=moyenne(v)
if ((nargin == 0) | (nargin > 1) | (nargout > 3)) error('Attention aux arguments : [moy,ops,temps]=moyenne(v)'); end
if (nargout > 1) flops(0); if (nargout > 2) tic; end; end; moy=mean(v);
if (nargout > 1) ops=flops; if (nargout > 2) temps=toc; end; end; end;
La librairie d’optimisation permet d’effectuer un certain nombre d’opérations d’optimisation. Nous n’étudierons pas ici l’intégralité de ces nombreuses fonctionnalités
La fonction LP permet de calculer la solution d’un programme linéaire de taille relativement modeste.
Sa syntaxe la plus générale, est la suivante :
[x, lambda]=LP(c,A,b,inf,sup,init,N,-1) Avec :
| x | Vecteur solution |
| lambda | Vecteur des multiplicateurs de Lagrange à l’optimum. Permet de savoir quelles contraintes sont actives |
| c | Vecteur objectif, on cherche à minimiser la quantité < x c> |
| A | Matrice des contraintes |
| b | Second membre |
| inf | Vecteur des bornes inférieures sur les variables, peut être défini sur les |inf| premières variables seulement |
| sup | Vecteur des bornes supérieures sur les variables, peut être définir sur les |sup| premières variables seulement |
| init | Solution initiale à partir de laquelle on souhaite itérer |
| N | Permet de spécifier, si nécessaire, que les n premières contraintes sont de type égalité |
| -1 | Si vous passez –1 en dernier paramètre, les messages d’avertissement de Matlab seront passés sous silence. |
Seuls les paramètres c, A et b sont réellement nécessaires.
Exemple :
Soit un problème à 4 variables et 6 contraintes
Matlab permet de résoudre des problèmes quadratiques sous un
formalisme très voisin de celui de la programmation linéaire. En effet, voici la syntaxe la plus générale :
[x, lambda]=LP(H,c,A,b,inf,sup,init,N,-1)
La seule différence concerne la fonction à minimiser qui est ici Hx, x + cx
A partir de maintenant, toutes les procédures d’optimisation utilisent un vecteur d’options. La taille de ce vecteur est de 18 réels. La plupart des cases sont en entrée, mais certaines sont en sortie.
C’est un vecteur très général et seules certaines de ces cases sont utilisées par l’ensemble dans algorithmes. Le tableau suivant récapitule les informations rassemblées dans ce vecteur (la première colonne indique l’indice de l’options, la seconde s’il s’agit d’un paramètre en entrée ou en sortie, la troisième donne une brève description de l’option):
| 1 | E | Détermine le niveau de renseignements fournis par l’algorithme : 0 muet 1 bavard |
| 2, 3, 4 | E | Tolérance sur le critère de terminaison. Avant de terminer un algorithme d’optimisation, trois critères sont vérifiés : (2) différences relatives sur les valeurs consécutives des variables (3) différence relative sur les valeurs consécutives de l’objectif (4) violation des contraintes Vous avez ici la possibilité de fixer ces tolérances. Les valeurs par défaut sont les suivantes : (2) 10-4 (3) 10-4 (4) 10-6 |
| 5 | E | Stratégie d’optimisation : utilisée pour l’optimisation multi critère |
| 6 | E | Méthode d’optimisation sans contrainte : 0 Quasi Newton type BFGS (par défaut) 1 Gradient conjugué type DFP 2 Méthode du gradient (à proscrire) |
| 7 | E | Stratégie de recherche linéaire |
| 0 Stratégie mixte cubic fit/quadratic fit (par défaut et à conserver !) 1 Cubic fit seul | ||
| 8 | S | Valeur de la fonction objectif à l’optimum |
| 9 | E | Doit être fixée à 1 si l’utilisateur fournit des fonctions pour calculer le gradient, et à 0 sinon (calcul du gradient par différences finies) |
| 10 | S | Nombre d’évaluations de la fonction objectif |
| 11 | S | Nombre d’évaluations du gradient |
| 12 | S | Nombre d’évaluations de contraintes |
| 13 | E | Nombre de contraintes de type égalité pour la procédure constr |
| 14 | E | Nombre maximal d’itérations, fixé par défaut à 100 fois le nombre de variables |
| 15 | E | Utilisé par l’optimisation multi critère |
| 16, 17 | E | Utilisés dans le cas du calcul du gradient par différences finies : respectivement égal aux changements minimal et maximal de valeur des variables lors du calcul du gradient en différences finies |
| 18 | E | Pas d’optimisation. Ne pas changer sous peine de catastrophe ! |
Tableau 9.2 Liste des options des fonctions d’optimisation
Le problème à résoudre est ici min f(x) sur l’intervalle [a, b] où f est une fonction numérique (le résultat est un scalaire) à une seule variable.
La fonction utilisée est fmin. Cette fonction n’appartient pas au paquetage optimisation mais au noyau central de Matlab. Sa syntaxe générale est très simple :
[Z,OPTIONS]=fmin(‘Fonction’, a, b, OPTIONS, p1,p2,…,p10)
Avec :
| ‘Fonction’ | Chaîne de caractères indiquant l’expression de la fonction à minimiser. Utiliser une chaîne de caractères permet d’éviter la création d’un fichier .m. Il est toutefois possible de donner le nom d’un fichier .m |
| a,b | Bornes de l’intervalle de minimisation Ici se terminent les arguments obligatoires |
| OPTIONS | Vecteur d’options tel que présenté à la section précédente. Seules les options 1, 2 et 14 sont utilisées. Si Options n’est pas présent, les valeurs par défaut sont utilisées : Algorithme muet Tolérance sur les variables de 10-4 500 itérations au maximum Il est possible de récupérer les OPTIONS en sortie pour connaître la valeur de l’objectif, le nombre d’appels réalisés, etc. (voir le tableau des options pour plus d’éclaircissements) |
| p1 à p10 | Arguments passés à la fonction à minimiser. C’est utile si la fonction prend plusieurs arguments mais la minimisation ne porte que sur le premier. Par exemple si la fonction s’écrit y=f(x,z) alors, la minimisation portera sur x et vous pourrez passez une constante pour z dans p1 |
Tableau 9.3 liste des arguments de la fonction fmin
Seules les paramètres ‘Fonction’, a et b sont nécessaires.
Il s’agit ici d’appliquer des algorithmes classiques comme le gradient conjugué ou les méthodes de quasi newton.
Tout ceci est effectué via la fonction fminu dont la syntaxe est :
[x,options]=fminu('Fonction’,initial,options,'gradient')
Avec :
| ‘Fonction’ | Chaîne donnant l’expression de la fonction à minimiser. Il est également possible de donner le nom d’un fichier .m |
| initial | Valeur de départ pour le vecteur solution |
| options | Vecteur des options, les options « utiles » sont les suivantes : 1,2,3,14 ainsi que 6 qui permet de choisir l’algorithme d’optimisation et 7 qui spécifie l’algorithme de recherche linéaire. Voir le tableau spécifique aux options pour connaître les valeurs par défaut. |
| gradient | Chaîne de vecteur indiquant la dérivée partielle de Fonction par rapport à chaque variable. Il est également possible de passer un fichier .m |
Tableau 9.4 Liste des options de la fonction fminu
Seuls les arguments ‘Fonction’ et Initial sont obligatoires. Si Gradient est omis, alors les dérivées sont calculées par différences finies.
Dans certains cas, l’information sur les dérivées, même du premier ordre, n’est pas disponible. Il est alors possible de recourir à l’optimisation « simplex » de Brent (fmins) basée uniquement sur des considérations géométriques. Les arguments sont similaires à ceux de fmin :
fmins('f',x0,options,[],p1,p2, )
… il est toutefois nécessaire de fournir une solution initiale (x0), et un vecteur vide juste après les options !
Nous allons utiliser fminu pour calculer le minimum d’une fonction tristement célèbre : la banane de Rosenbrock dont la valeur est :
banane(x, y) =100 (y ? x2) +(1? x)2
Le gradient est :
??banane 3
?? ?x = 400(x ? xy) + 2x ? 2
? ?banane 2
?= 200(y ? x )
?? ?y
Si nous décidons d’écrire ces fonctions dans des fichiers, nous obtenons :
%fichier banane.m : la fonction !
function z=banane(x)
z = 100.0 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; end;
Le plus déroutant est ici de repasser du formalisme vecteur à celui des scalaires ! En effet, il faut se souvenir que x et y sont passés sous forme d’un vecteur à 2 éléments.
%fichier gradban.m : le gradient !
function z=gradban(x)
z = [ 400*(x(1)^3-x(2)*x(1))+2*x(1)-2;…
200*(x(2)-x(1)^2)]; end;
L’on ressort le gradient sous la forme d’un vecteur à deux composantes : les dérivées partielles respectivement à x et y.
Il est alors possible d’obtenir la minimisation par l’appel :
[x,options]=fminu('banane',[-3 2],[],'gradban')
Vous obtenez alors :
Dans x le résultat de l’optimisation
Dans options(8) la valeur de banane à l’optimum
Dans options (10) le nombre d’évaluations de la fonction
Dans options (11) le nombre d’évaluations du gradient
Eussiez vous voulu utiliser le formalisme par chaînes de caractères plutôt que des fichiers .m que vous auriez pu taper :
Banane=’ 100.0 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2’
GradBanane=’[400*(x(1)^3-x(2)*x(1))+2*x(1)-2 ;200*(x(2)-x(1)^2)]’
[x,options]=fminu(Banane,[-3 2],[],GradBanane)
Il faut désormais non seulement passer la fonction à minimiser mais également les contraintes !
La syntaxe générale est la suivante :
constr(‘Fonction + contraintes’, initial, options, inf, sup, ‘gradient’).
Avec :
| ‘F+C’ | Chaîne indiquant l’expression de la fonction et des contraintes ou bien un fichier les calculant |
| initial | Valeur initiale de x permettant de démarrer l’algorithme |
| options | Options d’optimisation. Si ‘F+C’ contient des contraintes égalités, ce sont les options(13) premières contraintes. |
| inf et sup | Vecteurs indiquant respectivement les bornes inférieures et supérieures des variables. Ces vecteurs peuvent avoir des dimensions inférieures à celles de x et même être vides |
| gradient | Chaîne indiquant l’expression du gradient de la fonction et le jacobien des contraintes ou bien un fichier permettant de les calculer |
Tableau 9.5 Liste des arguments de la fonction constr
A mon avis, à partir du moment où l’on travaille avec des contraintes, utiliser des chaînes de caractères directement devient trop pénible et il faut s’en remettre aux fichiers. En outre, cela permet de présenter de bien meilleur façon les problèmes.
Supposons que l’on veuille minimiser la fonction :
ex(4x2 + 2y2 + 4xy + 2y +1)
sous les contraintes :
?c
?
? c2 : y ? x ?10
Il est possible de traiter ce problème grâce aux fichiers consf.m et consg.m fournissant respectivement :
La fonction objectif et les contraintes sous la forme d’une fonction qui renvoie 2 arguments :
% fichier consf.m function [f,g]=consf(x) f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); g=[ 1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2), -x(1)*x(2)-10]; end
La valeur de la fonction est retournée sous forme d’un scalaire dans le premier argument de retour
Les contraintes sont positionnées sur la même ligne d’une matrice
Le gradient de la fonction objectif et la matrice jacobienne des contraintes sous la forme suivante :
% fichier consg.m function [gf,gg]=consg(x) t= exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); gf=[t+4*exp(x(1))*(2*x(1)+x(2)) ; 4*exp(x(1))*(x(1)+x(2)+0.5)]; gg = [ x(2)-1,-x(2);x(1)-1,-x(1)];
Le premier terme de retour correspond au gradient de la fonction objectif exprimé sous forme d’un vecteur colonne (les point virgules séparant les différentes lignes sont clairement visibles dans l’exemple ci-dessus). En règle générale, et si la fonction f est à n variables, ce vecteur est sous la forme :
??f ?f ?f ?
???x1 ; ?x2 ; ; ?xn ??
Le second argument est associé à la matrice jacobienne des contraintes.
Une ligne est associée à une variable, une colonne à une contrainte !, en règle générale, si nous avons m contraintes pour n variables, la matrice est sous la forme :
??g1 ?g2 ?gm ?
??x1 ?x1 ?x1 ;?
? ?
??g1 ?g2 ?gm ;?
??x2 ?x2 ?x2 ?
? ?
??g1 ?g2 ?gm ?
? ?
??xn ?xn ?xn ?
Vous pouvez voir ici un avantage de l’utilisation des fichiers : il est possible d’effectuer des calculs intermédiaires !
Au travers de cette (courte) introduction, j’espère vous avoir montré l’intérêt de Matlab, outil qui m’a considérablement aidé au cours de mon travail de recherche. Les aspects que j’ai présentés ne sont toutefois que les plus basiques, la richesse de Matlab rendant toute synthèse de moins de 300 pages impossible. Les personnes intéressées sont donc invitées à poursuivre leur étude par la lecture d’ouvrages plus complets, et surtout l’expérimentation personnelle.
Ce poly est dédié aux étudiants de la première promotion de F4 qui ont eu à subir ce cours et m’ont considérablement aidé à l’améliorer. J’ai nommé (sans aucune intention de classement) : Caroline, Hanane, Julie, Julien A., Julien P., Rocco, Omer, Junior, Tchoum, Sony, Christian, Stéphane, Nitro, Loïc, Yannick, Marco, Pookie, Guillaume, Buz, Antoine, Dany, FX et Philippe avec une mention toute particulière pour le ranger numénoréen qui se reconnaîtra.
F4 For Ever
