Support de cours sur les bases des mathematiques financieres
Support de cours sur les bases des mathématiques financières
Chapitre 1 : Les intérêts simples.
Toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les opérations financières à court terme (moins d’un an). Ces opérations affectent en majorité la trésorerie des entreprises, tel que la gestion des comptes courants, l’escompte commerciale, les emprunts à court terme…
A – Principes de calculs.
1. Définitions.
Un intérêt est dit simple lorsqu’il est directement proportionnel au taux, au temps et au montant monétaire.
| I | Intérêt |
| C | Capital |
| t | Taux pour 100 € par an |
| n | La durée (en jours) |
L’année bancaire est de 360 jours ( 36000 = 360×100 ).
I=C0 ×t×n
36000
Application A.1 : Un prêt obtenu le 14 avril est remboursé le 12 août. Quelle a été la durée de l’opération ?
| Avril | 16 |
| Mai | 31 |
| Juin | 30 |
| Juillet | 31 |
| Août | 12 |
| Somme | 120 jours |
On ne retient qu’une des deux dates extrêmes (ici le 12 août).
Application A.2 : Calculer l’intérêt généré par un placement de 30 000 €, à 5 %, du 25 juin au 22 novembre.
- = (30 − 25)+ 31+ 31+ 30 + 31+ 22 = 150
I=C0 ×t×n
36000
I= 30000 ×15 ×150 36000
= 625€
2. La notion de valeur acquise.
La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts qu’il a généré au terme de sa durée de placement.
Application A.3 : Calculer le capital qui, à 3 %, a acquis une valeur de 25 048 € au bout de 120 jours de placement.
Application A.4 : Déterminer le taux de placement d’un capital de 6 000 € qui a produit, du 13 septembre au 30 décembre, un intérêt de 81 €.
n =(30−13)+31+30+30
| = 108 | ||||
| I = | C0× t × n | 6000 × t ×108 | = 81 | |
| 36000 | 36000 | |||
| t | = 4,5% | |||
Application A.5 : Calculer le taux effectif de placement d’une opération qui consisterait à placer à intérêts précomptés, au taux de 6 %, un capital de 10 000 € pendant 8 mois.
Intérêts fournis par le placement :
| I = | C0× t × n | 10000 × 6 × 8 | = 400 | |
| 1200 | 1200 | |||
Capital effectivement placé : 10000 − 400 = 9600
I=C0 ×t×n
1200
3. Le taux moyen de placement.
On envisage différents capitaux : Placés à des durées différentes :
Et à des taux différents :
9600 × t × 8 =400
1200
t =6,25%
C1,C2,...,Ck n1, n2,..., nk t1,t2,...,tk
On appellera t le taux qui, appliqué à différents capitaux et à leur durée correspondante, produira le même intérêt global que celui à partir des taux initiaux respectifs.
Application A.6 : Deux capitaux de 10 000 € et 25 000 € sont placés respectivement à 4 % pendant 3 mois et 5.5 % pendant 9 mois. Calculer le taux moyen de placement.
Application 1 : Une entreprise a placé dans divers établissements bancaires, les sommessuivantes :
| 20 000 € | Au taux de 7.5 % | Du 22 mai au 19 juin |
| 45 000 € | Au taux de 10 % | Du 22 mai au 16 août |
| 70 000 € | Au taux de 8 % | Du 22 mai au 27 juillet |
1.Calculer le taux moyen résultant de l’ensemble des placements.
…
I1=137218,4−(20000+45000+70000)=2218,4
1200t [(20000× 28) + (45000×86) + (70000× 66)]= 2218,4 t ≈8,82%
- Une banque propose de placer 135 000 € au taux moyen pendant la durée moyenne de placement, l’entreprise doit elle accepter ?
| n =28 + 86 + 66 | = 60 jours | ||||||||
| I = | C0× t × n | I 2 | = | 135000 | × 8,82 × 60 | = 1984,5 | |||
| 36000 | 36000 | ||||||||
L’entreprise n’accepte pas car I2 < I1 .
- Pendant combien de temps faut il placer 135 000 € au taux moyen pour obtenir la même somme globale d’intérêts que précédemment ?
| I = | C0× t × n | 135000 × 8,82 × n | = 2218,4 | |
| 36000 | 36000 | |||
n =67,03⇒68 jours
B – L’escompte.
1. La notion d’escompte commercial.
L’entreprise cliente reçoit de sa banque le montant de l’effet diminué de l’agio. L’agio comprend l’intérêt (appelé escompte), des commissions diverses et de la TVA. L’escompte est calculé selon le principe de l’intérêt simple.
| V | Valeur nominale |
| t | Taux d’escompte |
| n | Durée en jours |
| e | Escompte |
a Valeur actuelle commerciale
e= V × t × n
36000 a = V − e
Le taux d’escompte varie selon la qualité du client. L’escompte n’est jamais soumis à la TVA.
2. La pratique de l’escompte.
Diverses commissions sont appliquées par les banques :
- Commission ENDOS (endossement), qui sert à rémunérer le service rendu par la banque. Cette commission est calculée prorata temporis (en fonction du temps), et elle n’est pas soumise à la TVA. Cette commission est systématique.
- Les commissions de service ou de manipulation : ces commissions sont variables selon les établissements financier et selon la nature de l’effet.
Ces commissions sont généralement forfaitaires et soumises à la TVA. Le coût réel de l’escompte sera représenté par l’agio hors taxe, puisque la TVA est récupérable.
La notion de taux réel de l’opération d’escompte : calculer ce taux consiste à rechercher le taux d’un emprunt qui aurait le même montant, la même durée et le même coût que le crédit d’escompte (pour calculer ce taux, on se base sur l’année de 365 jours). La durée réelle est obtenue par comparaison entre l’escompte et l’encaissement, en retenant les deux dates extrêmes.
Ce taux réel est très fréquemment bien supérieur au taux annoncé, du fait notamment des commissions forfaitaires qui pénalisent les opérations de faible montant, du fait également de conditions bancaires particulières, qui pénalisent les effets dit brûlants (ceux dont l’échéance est proche) en appliquant un nombre de jours minimum (souvent, ce nombre est de 10).
Application B.7 : Une société remet à l’escompte le 12 août, deux effets dont les caractéristiques sont les suivantes :
| Valeur nominale | Date d’échéance |
| 4 500 € | 31 août |
| 1 200 € | 30 septembre |
Le taux d’escompte obtenu auprès de la banque est de 9 %. Commission d’endos : 0.60 %. La commission de service est de 3 € par effet (soumise à la TVA au taux normal).
La banque applique un jour de banque aux effets remis à l’escompte.
Elle applique un jour de valeur aux effets remis à l’escompte, et trois jours de valeurs aux effets remis à l’encaissement.
1.Etablir le bordereau d’escompte.
Bordereau d’escompte (remise du 12/08)
…
2.Quel est le taux réel du crédit de l’opération d’escompte ?
Effet de 4 500 € : taux réel du crédit.
| Remise à l’escompte | Fonds disponibles | 13/08 | 22 jours de crédit | |
| Remise à l’encaissement | Fonds disponibles | 03/09 | ||
Agio HT : 27 €
C – L’équivalence a intérêts simples.
1) Définition.
Deux capitaux (effets) sont équivalents si à une date donnée, au même taux leur valeur actuelles commerciales sont identiques.
2) Applications.
Application C.8 : Déterminer la date d’équivalence de deux effets dont les caractéristiques sont les suivantes (taux d’escompte : 10 %) :
| Valeur nominale | Date d’échéance |
| 10 650 € | 10 novembre |
| 10 710 € | 30 novembre |
Il suffit de rechercher la valeur nominale moins l’escompte. A la date d’équivalence :
| V × t × n | 10650 ×10× n | 10710 ×10 × 20 | |||||
| e = | 10650−36000 | = 10710 | − | ||||
| 36000 | 36000 | ||||||
| a = V − e | n =30 | ||||||
Application C.9 : Rechercher le taux d’équivalence de deux effets dont les caractéristiques sont les suivantes (date d’équivalence le 22 octobre) :
…
Application C.10 : Soit un effet de valeur nominale 10 000 € à échéance du 31 décembre. Le 1er décembre, le client demande à son fournisseur, qui l’accepte, une prolongation d’échéance au 20 janvier. Taux retenu : 10 %.
Quelle sera la nouvelle valeur nominale ?
…
Problème d’échéance commune : il s’agit de rechercher les conditions, la valeur nominale d’un paiement unique remplaçant plusieurs autres, soit de déterminer sa date d’échéance.
Application C.11 : Un débiteur a accepté les trois traites suivantes :
| 11 200 € | 31 octobre |
| 16 800 € | 30 novembre |
| 32 000 € | 30 décembre |
Le 1er octobre, il désire les remplacer par un effet unique au 20 novembre. Taux : 6 %.
Quelle sera la valeur de ce nouvel effet ?
| V ×6×50 | 11200 × 6 × 30 | 16800 × 6 × 60 | 32000 × 6 × 90 | ||||||||||||
| V − | = 11200 | − | + 16800 | − | + 32000 | − | |||||||||
| 36000 | 36000 | 36000 | 36000 | ||||||||||||
V =59794,28
Problème d’échéance moyenne : cas particulier d’une d’échéance commune ou la valeur nominale de l’effet unique est égal à somme des valeurs nominales des effets initiaux.
Application C.12 : Le 1er octobre on remplace deux effets : l’un de 7 500 € à échéance du 11 octobre, l’autre de 5 000 € à échéance du 5 novembre, par un effet unique de 12 500 €.
Taux : 10 %.
Quelle sera l’échéance de ce nouvel effet ?
| 12500 ×10 | × n | 7500 ×10 ×10 | 5000 ×10 × 35 | |||||||
| 12500 − | = 7500 − n= 20 | + 5000 | − | |||||||
| 36000 | 36000 | 36000 | ||||||||
(Soit le 21/10).
Reprenons cet exemple en considérant que le taux d’intérêt et la date d’équivalence ne sont pas connus.
Soit x la période entre la date d’équivalence et la date d’échéance.
Soit n la période entre la première échéances et la date d’équivalence.
| 12500 × t × N | 7500 × t × n | 5000 × t × (n + 25) | ||||||||
| 12500 − | = 7500 − | + 5000 − | ||||||||
| 36000 | 36000 | 36000 | ||||||||
N = n +10
(Soit le 21/10).
On remarque que la date d’échéance moyenne est indépendante du taux d’escompte retenu, ainsi que la date d’équivalence.
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Lorsqu’il s’agit d’un compte bancaire, ce qui importe n’est pas la date d’opération mais la date de valeur (négociée avec votre banquier). Il faut savoir comment fonctionnent les comptes bancaires notamment les cas de découverts. Deux sortes de commissions sont appliquées en cas de découvert :
- La commission de risque (Commission de Plus Fort Découvert : CPFD), 0,05% du plus fort découvert du mois (il n’y a pas de TVA sur cette commission).
- Les commissions de services qui correspondent aux commissions de comptes ou de mouvements. Le taux de cette commission est en général de 0.025% calculé sur les mouvements débiteurs.
Application D.13 : Calculer le montant total des agios à payer (le ticket d’agios) par une entreprise ayant réalisé les opérations suivantes au cours du 3ème trimestre :
| Date de valeur | Mouvements | Soldes | Nombres | |||
| Débit | Crédit | Débit | Crédit | Débit | Crédit | |
| 1er juillet | 25 000 | 6 | ||||
| 7 juillet | 130 000 | 18 000 | 87 000 | 11  | 957 000 | |
| 18 juillet | 45 000 | 105 000 | 27 000 | 9 | 243 000 | |
| 27 juillet | 96 000 | 15 000 | 108 000 | 14 | 1 512 000 | |
| 10 août | 25 000 | 17 000 | 116 000 | 11 | 1 276 000 | |
| 21 août | 250 000 | 166 000 | 200 000 | 7 | 1 400 000 |
| 28 août | 119 000 | 255 000 | 64 000 | 1 | 64 000 |
| 29 août | 34 000 | 77 000 | 21 000 | 15 | 315 000 |
| 13 sept | 3 000 | 81 000 | 57 000 | 3 | - |
| 16 sept | 368 000 | 173 000 | 138 000 | 9 | 1 242 000 |
| 25 sept | 56 000 | 185 000 | 9 000 | 5 | 45 000 |
| 30 sept | 27 000 | 79 000 | 43 000 | - | |
| 1 153 000 | 7 054 000 |
Le taux d’intérêt débiteur est de 8 %. D’autre part, la banque applique les conditions bancaires suivantes : Commission de plus fort découvert : 0.05 % ; Commission de compte (sur les mouvements débiteurs) : 0.025 %.
| Intérêts débiteurs | 7054000 × 8 | = 1567.56€ | |
| 36000 | |||
| CPFD | 0,05%(108000 + 200000 + 138000) = 233€ | ||
| Commission de mouvements | 0,025% ×1153000 = 288.25€ | ||
| TVA | 19,6% × 288,25 = 56,5€ | ||
| Montant TTC du ticket d’agio | 2135,31€ | ||
Application 2 : En début d’année, un particulier décide d’acheter une piscine d’une valeur de12 000 € à la fin de l’année. Pour disposer de cette somme le moment venu, il décide de placer une somme constante à chaque début de mois.
Le taux d’intérêt qu’il peut obtenir est de 4.5 %.
1.Quel doit être le montant de chaque mensualité ?
| m1= m2= m | ||||||
| 12000 = 12m + I | ||||||
| I = | m ×4,5×12 | + | m ×4,5×11 | + ...+ | m ×4,5×1 | |
| 1200 | 1200 | 1200 | ||||
Suite arithmétique : 1+ 2 + ... + n = n(n+1) 2
= + m ×4,5×7812000 12m
1200
12000 = 4917400mm =976,20
2.Quelle serait la somme constante à verser chaque semaine ?
= + s ×4,5×137812000 52s
5200
12000 = 21577400ss =225,59
- Le 1er juillet le taux d’intérêt passe à 6 %, quelle est la nouvelle valeur acquise en fin d’année ?
NB : On supposera que les intérêts des 6 premiers mois seront replacés avec le capital pour les 6 derniers mois.
| 6 premières périodes à 4,5 % | (6 × 976,20)+ 1200 | 976,20× 4,5× 21 | = 5934,07 | |||||
| 6 dernières périodes à 6 % | 1200 | 5934,07 × 6 × 6 | = 178,02 | |||||
| Σ = 6112,09 | ||||||||
| 6 dernières périodes à 6 % | (6 × 976,20)+ 1200 | 976,20× 6× 21 | = 5959,70 | |||||
Σ = 12071,79
- En apprenant l’augmentation du taux d’intérêt (le 1er juillet), cette personne décide de réduire ses versements de façon à obtenir une valeur acquise de 12 000 €.
Quel est le montant de la nouvelle mensualité ?
12000 − 6112,09 = 5887,91
6m'+ 21200m' = 5887.91 m'=964,44
Application 3 :Déterminer la date d’échéance d’un effet de 7 850 € qui se substituerait le 7décembre à un effet de 7 882 € payable le 31 décembre.
Le taux d’escompte est de 9 %.
| 7850 | × 9 | × n | 7882 × 9 × 24 | ||||||
| 7850 | − | = 7882 | − | ||||||
| 36000 | |||||||||
| 36000 | |||||||||
| n | ≈ 7,79 | ||||||||
| n | = 7 | ||||||||
On compte 7 jours après le 7/12 donc le 14/12.
Application 4 : Le 13 septembre, deux effets sont présentés à l’escompte. Le premier est de12 870 € ; son échéance est le 18 décembre.
Le second de 12 620 € ; son échéance est le 1er octobre.
Calculer le taux d’escompte sachant que le banquier a versé la même somme d’argent pour les deux effets.
| 12620 × t ×18 | 12870 × t × 96 | ||
| 12620 − | = 12870 − | ||
| 36000 | 36000 | ||
| t ≈ 8,93% | |||
Application 5 : Pour financer l’acquisition d’une moto d’une valeur de 6 912 €, un particulierconvient avec son garagiste de lui verser la moitié de la somme au comptant et le solde en 15 mensualités identiques, la première payable dans un mois.
Le taux proposé par le vendeur est de 14 %.
1.Calculer la valeur nominale de chaque mensualité.
| 3456 | m ×14 | ×1 | m ×14×2 | m ×14×15 | ||||||
| = 15m − | 1200 | + | 1200 | + ... + | 1200 | |||||
| 3456 | = 15m − 1200 | m ×14×120 | ||||||||
3456 = 685mm =254,12€
2.Déterminer l’échéance moyenne des quinze versements.
V =∑VL
V =15×254,12= 3811,80
| 3811,80 ×14 × n | ||
| 3456 = 3811,80 − | ||
| 1200 | ||
n =8
Soit 8 mois après l’acquisition.
Chapitre 2 : Les intérêts composés.
Les intérêts composés concernent les opérations financières à moyen et long terme, celle dont l’échéance est supérieure à 12 mois.
A – Principe de calcul.
1. Définition.
Les intérêts sont dits composés lorsqu’en fin de période, appelée période de capitalisation, il s’ajoute au capital de sorte que l’ensemble ainsi formé génère à son tour des intérêts au cours de la période suivante.
2. Valeur acquise par un capital.
| C0 | Le capital placé | ||||||
| Cn | La valeur acquise | ||||||
| i | L’intérêt pour 1 € pour une période | ||||||
| n | Le nombre de période | ||||||
| K placé | I | Valeur acquise | |||||
| 1 | C0 | C0.i | C1= C0+ C0.i | ||||
| = C0 (1 + i) | |||||||
| 2 | C0(1+ i) | C0(1+ i).i | C2= C0(1+ i)2 | ||||
| 3 | … | … | … | ||||
| n −1 | C0(1+ i)n−2 | C0(1+ i)n−2.i | Cn−1= C0(1+ i)n−2(1+ i) | ||||
| = C0 (1 + i )n−1 | |||||||
| n | C0(1+ i)n−1 | C0(1+ i)n−1.i | Cn= C0(1+ i)n | ||||
Application A.1. : A quel taux annuel, un capital de 300 000 €, placé à intérêt composé pendant cinq ans, procure t il un intérêt global de 387 464,37 € ?
300000(1 + i)5 = 387464,37 (1 + i)5 = 1,2915
i =5,25%
Application A.2. : Un capital de 10 000 € acquiert une valeur de 21 435,89 €, au taux de 10%. Quelle a été la durée du placement ?
10000(1 + 0,10)n = 21435,89
(1,1)n = 2,143 n =8
3. Valeur actuelle d’un capital.
L’actualisation est le processus inverse de la capitalisation.
C0= Cn(1+ i)−n
Application A.3. : Quelle somme doit on placer le 1er janvier 2005, à intérêts composés, au taux de 7 %, pour disposer de 100 000 € le 1er janvier 2007 ?
| C0 | = Cn(1+ i)−n |
| C0 | = 100000(1,07)−2 |
| C0 | = 87343,83 |
Application A.4. : Au taux annuel de 5 %, la perspective aujourd’hui d’un encaissement de 200 000 € dans trois ans est elle plus intéressante que celle de 185 000 € dans deux ans ?
| C0 | = Cn(1+ i)−n | C0 | = Cn(1+ i)−n |
| C0 | = 200000(1,05)−3 | C0 | = 185000(1,05)−2 |
| C0 | = 172767,52 | C0 | = 167800,45 |
Donc la solution la plus intéressante est C0 = 172767 car elle correspond à la plus forte valeur actuelle.
Application A.5. : Une créance de valeur nominale 40 000 € échéant le 31 décembre 2006 est négociée le 31 décembre 2004. Taux d’escompte retenu : 11%. Calculer la valeur actuelle de cette créance ainsi que son escompte, à intérêts composés.
C0= Cn(1+ i)−n
C0=40000(1,11)−2
C0=32464,90
- = 40000 − 32464,90 = 7535,10
B – Taux proportionnels et taux équivalents.
1. Définition.
a. Taux proportionnel.
Un taux est dit proportionnels lorsqu’il varie de façon linéaire par rapport au temps.
b. Taux équivalents.
Deux taux sont dits équivalents si par application à un capital il génère la même valeur acquise ou actuelle.
Intérêt simple :
Calculer la valeur acquise de deux façons différentes (5% annuel, taux trimestriel proportionnel à 5%) :
C =100000 n =2
t =5%
a. Taux annuel de 5%.