Cours maths financieres interet simple
Cours maths financières interet simple
On peut définir globalement les mathématiques financières « comme l’application des mathématiques aux opérations financières non instantanées (c’est-à-dire faisant intervenir le temps) » (cf. Le Borgne [2003]).
Traditionnellement, elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et d’emprunts dans un environnement certain (principalement bancaire).
Au cours de ces quarante dernières années toutefois, est apparu en matière de financement un glissement vers des systèmes d’économie des marchés financiers.
L’une des caractéristiques de ces marchés est la grande volatilité des cours boursiers et des taux d’intérêt, qu’il convient de prendre en compte. Une question apparaît alors : qu’est-ce qu’un cours boursier ? Qu’est-ce qu’un taux d’intérêt ?
Préambule : à propos des cours boursiers
Le cours d’une société cotée est sensé refléter sa « valeur fondamentale » (somme de ses revenus futurs actualisés), telle qu’elle peut ressortir d’une analyse économique de l’activité de l’entreprise et de ses perspectives.
Les écarts entre la valeur fondamentale et la capitalisation boursière d’une société sont en général interprétés comme la conséquence de comportements spéculatifs qui auraient pour conséquence de créer un décalage entre l’« économie réelle » et le monde de la finance.
En pratique, cette dichotomie entre une analyse économique objective d’une part et un comportement largement irrationnel des marchés boursiers d’autre part peut être dépassée au prix d’une réflexion sur la nature de l’aléa sous-jacent à la détermination de la valeur.
En effet, le cours de bourse est principalement déterminé par l’offre et la demande de financement d’une société, et celles-ci sont très sensibles aux anticipations de revenu, elles-mêmes très sensibles au modèle d’anticipation retenu sachant que l’horizon de vie d’une société est souvent indéterminé, voire infini.
Préambule : à propos des taux d’intérêt
Un taux d’intérêt peut s’interpréter comme le prix de l’argent, mais aussi comme un « taux de change » explicite entre le présent et le futur.
En notant r le taux d’intérêt pour la date 1, fixer un taux d’intérêt pertinent revient ainsi à fixer le niveau de richesse 1+r > 1 désiré en 1 (dans le futur) en échange d’une unité de richesse en 0 (dans le présent).
Le taux d’intérêt dépend ainsi de la capacité à « créer de la richesse » pour la génération future et de la « part de la richesse créée » transférée à la génération future.
En pratique, sauf à provoquer des arbitrages entre activité financière et activité réelle, on considère généralement que :
Taux d’intérêt réel à long terme = Taux de croissance réel à long terme
Parallèlement, à long terme, il est également considéré que :
Taux d’intérêt nominal = Taux d’intérêt réel + Taux d’inflation anticipé
Préambule : à propos des taux d’intérêt
Au-delà de la distinction classique taux nominaux / taux réels, il existe un clivage entre les taux courts et les taux longs, les taux d’intérêts étant différenciés par l’échéance du crédit.
La courbe des taux représente graphiquement la relation entre le niveau des taux d’intérêt et leur échéance (3 mois, 1 an, 2 ans, … , 10 ans). Elle peut être, selon les circonstances, croissante (les taux courts sont supérieurs aux taux longs), inversée (les taux courts sont inférieurs aux taux longs), en « cloche », etc.
La forme de la courbe dépend en particulier des anticipations des agents privés concernant l’évolution de l’inflation et de la politique monétaire (en effet, les taux d’intérêt relèvent de mécanismes de marché, la banque centrale ne contrôlant directement que les taux directeurs).
Enfin, le taux d’intérêt dépend également de la plus ou moins grande prime de risque exigée par les investisseurs lorsqu’ils consentent à placer leurs capitaux sur le long terme. Cette prime de risque compense la moindre liquidité des placements longs et le risque croissant avec l’échéance de perte en capital.
Intérêts et emprunts directs
1.1. Intérêts simples
L’opération se déroule sur T périodes, et nous analysons le point de vue de l’emprunteur (celui du prêteur est symétrique).
En cas d’un emprunt d’un capital C au taux d’intérêt r entre les dates t=0 et t=T, avec un remboursement du capital et des intérêts en une fois à la date finale t=T, les intérêts simples sont proportionnels au taux r et au nombre de périodes T :
I = CrT
Le flux terminal est donc F = - ( C + CrT ) = - C ( 1 + rT ).
Le plus souvent, cette approche s’applique avec un taux annuel et pour une durée T T en fonction dunombre de jours pour l’opération : convention « exact/exact », convention « exact/360 », etc.).
1.2. Intérêts composés
Le principe est le suivant : supposons un capital C placé à un taux d’intérêt r pendant T périodes situées entre t=0 et t=T et notées 0-1, 1-2, 2-3,…, (T-1)-T.
Les intérêts sont calculés à la fin de chaque période puis ajoutés au capital (on dit qu’ils sont capitalisés) et produisent à leur tour des intérêts au même taux r dans les périodes ultérieures.
En T, qui est la date terminale ou échéance du prêt, l’emprunteur rembourse C(1+r)T. Ce prêt aura donc généré la séquence : { -C, 0,…, +C(1+r)T}.
On remarque les intérêts sont égaux à : I = C[(1+r)T - 1].
Dans le cas des intérêts composés, r correspond au taux actuariel.
1.3. Comparaison entre intérêts simples et composés
Pour un taux r, un capital C et une durée T donnés, les intérêts simples (taux proportionnel) sont inférieurs aux intérêts composés (taux actuariel) si et seulement T>1 (si T=1, les intérêts simples sont égaux aux intérêts composés), du fait de la linéarité de f(T) = (1+ rT) et de la convexité de g(T) = (1+ r)T ≈ erT.
Pour que ces deux taux soient « équivalents », tant pour le prêteur que pour l’emprunteur, il faut que les flux qu’ils génèrent soient égaux, soit (avec rp le taux proportionnel et ract le taux actuariel) :
(1 + rpT) = (1+ ract)T
Cette relation peut être utilisée pour trouver le taux proportionnel équivalent au taux actuariel, et vice versa.
On remarque par ailleurs que deux taux ract et rp équivalent sur une durée T ne le sont pas sur une durée T’ différente de T.
1.4. Intérêts simples post-comptés et précomptés
Les intérêts peuvent être payés en fin de période (intérêts post-comptés ou à terme échu) ou en début de période (intérêts précomptés ou à terme à échoir).
Les intérêts post-comptés correspondent à ceux vus précédemment.
Les intérêts précomptés sont des intérêts versés au début de l’opération. Le flux initial F0 correspond ainsi au montant du capital, diminué des intérêts I. En fin de placement, le capital est ensuite versé par l’emprunteur.
Une première méthode classique pour les intérêts précomptés consiste à utiliser un taux d’escompte re, le flux initial est alors : F0 = C(1-reT).
Le paiement immédiat des intérêts est pénalisant pour l’emprunteur si l’on utilise le même taux que pour des intérêts post-comptés. La deuxième méthode consiste alors à ajuster le taux d’escompte à la baisse pour le rendre équivalent à un taux in fine, le flux initial est dans ce cas : F0 = C / (1+rT).
1.5. Valeur acquise et valeur actualisée
La valeur acquise est égale au montant final (capital et intérêts) récupéré par le prêteur à l’échéance de l’opération. Pour un capital placé C sur une durée T à un taux r, la valeur acquise est donnée par :
F = C(1+rpT) si le taux est proportionnel ;
F’ = C(1+ract)Tsi r le taux est actuariel.
Inversement, un flux F en T peut être obtenu moyennant un placement au taux r, en t=0, d’un montant égal à (avec C et C’ les valeurs actualisées en 0 du flux F disponible en T ) :
C = F / (1+rpT) si le taux est proportionnel ;
C’ = F / (1+ract)Tsi le taux est actuariel.
Dans un contexte d’investissement, lorsque F, C et T sont connus, le taux actuariel correspond au taux de rentabilité interne (TRI).
1.6. Séquence de flux : VAN et taux actuariel
Le principe d’actualisation peut facilement s’étendre au cas de séquences faisant intervenir plusieurs flux Fi (i allant de 0 à T). Dans ce cas on a la valeur actuelle nette (VAN) suivante, en considérant des intérêts composés uniquement :
VAN = F0 + F1(1+r)-1 + F2(1+r)-2 + …+ FT(1+r)-T
La VAN d’un investissement représente le flux de trésorerie en 0 par lequel on peut remplacer tous les flux de trésorerie de cet investissement (y compris mise de fonds initiale). Un investissement ne doit être retenu que si sa VAN est positive.
En pratique, le taux actuariel (le TRI dans le cas d’un investissement) est le taux d’actualisation qui annule la VAN de la séquence de flux.
Le critère de TRI peut au final se formuler ainsi : un investissement doit être accepté si et seulement si le TRI de la séquence de flux qu’il génère est supérieur au taux de rendement minimal r souhaité par l’investisseur.
1.7. Annuités et rentes : cas des annuités constantes
Une rente est une suite d’annuités, mais nous considérons ici rentes et annuités comme synonymes. Par ailleurs, on considère ici également des intérêts composés uniquement.
En considérant T+1 dates (0 étant la date de début et T la date de fin) et T périodes, la valeur acquise d’une suite d’annuités a de fin de période s’écrit :
a(1+r)T-1 + a(1+r)T-2 + …+ a = a [ ((1+r)T-1) / r ]
La valeur actuelle s’écrit :
a(1+r)-1 + a(1+r)-2 + …+ a(1+r)-T = a [ (1-(1+r)-T) / r ]
Dans le cas des annuités en début de période, il convient de multiplier les valeurs acquises et actuelles ci-dessus par (1+r).
Intérêts et emprunts directs
1.8. Emprunts indivis
Un emprunt indivis est un emprunt accordé par un seul prêteur à un unique emprunteur. On en présente trois types ici :
- l’emprunt avec remboursement in fine ;
- l’emprunt avec amortissement constant du capital ;
- l’emprunt par annuités constantes.
Les emprunts donnent lieu à des échéanciers appelés aussi tableaux d’amortissement du capital, dans lequel figurent les périodes, le capital restant dû, les intérêts, l’amortissement du capital et les annuités.
Dans les exemples ci-après, on considère un emprunt de C = 1 000 000 €, sur une durée T = 5 ans et au taux r = 5 %. Les exemples ci-après sont par ailleurs donnés pour des échéances annuelles.
1.8. Emprunts indivis
Dans le cas du remboursement in fine, un 1ermode de remboursement correspond à un remboursement du principal et des intérêts en une seule fois à l’échéance. Soit C la somme empruntée, le débiteur paiera à l’échéance T pour un taux r : C(1+r)T. L’annuité payée à la dernière période est donc 1 276 281,56 €.
Dans le 2ème mode de remboursement, le capital est remboursé à l’échéance et le paiement des intérêts s’observe en fin de chaque période. Le tableau d’amortissement du capital est dans ce cas :
| Période | Capital dû en début de période | Intérêts | Amortissements | Annuités | |
| 1 | 1 000 000 | 50 000 | 50 000 | ||
| 2 | 1 000 000 | 50 000 | 50 000 | ||
| 3 | 1 000 000 | 50 000 | 50 000 | ||
| 4  | 1 000 000 | 50 000 | 50 000 | ||
| 5 | 1 000 000 | 50 000 | 1 000 | 000 | 1 050 000 |
| Total | s.o. | 250 000 | 1 000 | 000 | 1 250 000 |
- Intérêts et emprunts directs
1.8. Emprunts indivis
Dans le cas du remboursement avec amortissement constant du capital, le remboursement du capital est de C/T à chaque période et le calcul des intérêts porte sur le capital restant dû. Les annuités, qui comprennent le remboursement partiel du principal et les intérêts, sont payées en fin de période.
Les annuités et les intérêts sont en progression arithmétique de raison –rC/T et la somme des intérêts versés est de rC(T+1)/2. Le tableau d’amortissement du capital est dans ce cas :
| Période | Capital dû en début de période | Intérêts | Amortissements | Annuités | |
| 1 | 1 000 000 | 50 000 | 200 000 | 250 000 | |
| 2 | 800 000 | 40 000 | 200 000 | 240 000 | |
| 3 | 600 000 | 30 000 | 200 000 | 230 000 | |
| 4 | 400 000 | 20 000 | 200 000 | 220 000 | |
| 5 | 200 000 | 10 000 | 200 000 | 210 000 | |
| Total | s.o. | 150 000 | 1 000 000 | 1 150 000 | |
1.8. Emprunts indivis
Dans le cas du remboursement par annuités constantes, pour déterminer l’annuité a, on considère comme équivalent la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes et la valeur acquise du montant du prêt C, capitalisé au taux r sur T périodes, soit :
a [ ((1+r)T-1) / r ] = C (1+r)T d’où a = C [ (1-(1+r)-T) / r ]-1
Le tableau d’amortissement du capital est dans ce cas :
| Période | Capital dû en début de période | Intérêts | Annuités | Amortissements |
| 1 | 1 000 000 | 50 000 | 230 975 | 180 975 |
| 2 | 819 025 | 40 951 | 230 975 | 190 024 |
| 3 | 629 002 | 31 450 | 230 975 | 199 525 |
| 4 | 429 477 | 21 474 | 230 975 | 209 501 |
| 5 | 219 976 | 10 999 | 230 975 | 219 976 |
| Total | s.o. | 154 874 | 1 154 874 | 1 000 000 |
Intérêts et emprunts directs
1.8. Emprunts indivis
On peut par ailleurs obtenir quelques formules utiles, en notant :
- Cp le capital dû au début de la pième période (date p) ;
- Ap l’amortissement du capital de la période p ;
- ap l’annuité de la pième période (payée en p).
On a alors :
Ap = Cp – Cp+1
ap = rCp + Ap
Dans le cas du remboursement par annuités constantes, les annuités étant constantes on en déduit que les amortissements sont en progression géométrique de raison 1+r, soit :
Ap = A1(1+r)p-1
2.1. Présentation du marché monétaire
Des emprunts sur les marchés monétaire (pour le court et moyen terme) et obligataire (pour le long terme) peuvent être émis par les entreprises, les banques, les Etats et les collectivités locales.
Les emprunts émis sur les marchés sont matérialisés par des titres négociables, appelés « obligations » sur le marché obligataire, et « titres de créance négociables » (TCN) sur le marché monétaire.
Les TCN se distinguent des financements bancaires par :
- une meilleure liquidité due à leur capacité d’être cédés sur le marché secondaire ;
- le fait d’être évalué en valeur de marché et non sur la base du capital restant dû ;
- l’absence d’intermédiaire entre les agents économiques qui ont des capacités de placements et ceux qui ont des besoins de financement.
Un TCN à court terme (moinsd’unan àl’émission)est :
- un Bon du Trésor à taux fixe (BTF) quand il est émis par l’Etat ;
- un certificat de dépôt négociable (CDN) quand il est émis par une banque ou une institution financière ;
- un billet de trésorerie (BT) quand il est émis par une entreprise industrielle et commerciale.
Un TCN à moyen terme (durée àl’émissionsupérieure à un an) est :
- un Bon du Trésor à intérêts annuels (BTAN) quand il est émis par l’Etat ;
- un Bon à moyen terme négociable (BMTN) quand il est émis par des agents autre que l’Etat.
2.2. Présentation du marché obligataire
À l’instar du marché monétaire, le marché obligataire est un marché de taux. Quelques différences distinguent ces deux marchés :
- la durée à l’émission : inf. à 2 ans pour le monétaire et sup. à 7 ans pour l’obligataire, sachant qu’entre 2 et 7 ans cela dépend des conventions ;
- la cotation et la négociation : taux de rendement sur le monétaire, prix sur l’obligataire.
L’obligation classique est une forme particulière de titre à long terme dans laquelle le taux facial (ie coupons ou intérêts servis à chaque échéance) et le prix de remboursement sont fixes. Une 2ème catégorie est constituée de titres obligataires pour lesquels le coupon et (ou) la valeur de remboursement sont indexés sur une référence (taux d’intérêt, résultats entreprise, etc.). Une 3ème catégorie comprend des titres obligataires à clauses optionnelles (obligations convertibles, etc.).
2.2. Présentation du marché obligataire
Sur le plan financier, un emprunt obligataire classique est principalement caractérisé à l’émission par : la date d’émission, le taux d’intérêt nominal (ou facial), la valeur nominale, la valeur initiale (ou valeur d’émission payée par les souscripteurs), la valeur de remboursement (payé par l’émetteur à la date de remboursement), le profil de remboursement, etc.
Lorsque la valeur nominale, la valeur d’émission et la valeur de remboursement sont égales, on dit que l’emprunt est émis et remboursé au pair (généralement toutefois, la valeur nominale est égale à la valeur de remboursement mais diffère de
la valeur d’émission).
Quand le prix de remboursement est fixé au dessus du pair et/ou que la valeur d’émission est fixée en dessous du pair, le taux actuariel brut à l’émission est supérieur au taux d’intérêt nominal (le taux actuariel brut à l’émission étant le coût actuariel du financement, avant impôts et hors frais d’émission pour l’émetteur).
2.2. Présentation du marché obligataire
Le taux de rentabilité d’un investissement en une obligation donné, exigé par le marché à un instant quelconque, dépend du niveau des taux obligataires prévalant sur le marché à cet instant, ainsi que de l’appréciation par ce même marché du risque de signature de l’émetteur.
En effet, d’une part la valeur boursière d’une obligation est sensible aux taux en vigueur sur le marché, pour les obligations de même risque et de même durée.
D’autre part, l’investisseur doit apprécier le risque de crédit que lui fait subir l’émetteur. Ce risque comprend le risque de défaut (si l’investisseur détient le titre jusqu’à son terme) et le risque de signature (si l’investisseur ne détient pas le titre jusqu’à son terme).
La notation (ou rating) permet à l’investisseur d’apprécier, au vu d’une « simple note », la qualité de la signature de l’émetteur.
2.2. Présentation du marché obligataire
Les obligations à taux variable ou révisable ont un coupon qui varie en fonction
du niveau des taux prévalant sur le marché. L’objectif de cette indexation est de limiter l’influence des fluctuations des taux de marché sur la valeur des titres.
En général, le taux nominal it qui sert de base au calcul du coupon versé en t est (où les références retenues relèvent du marché monétaire ou du marché obligataire, et où la marge, fixée à l’émission, dépend du rating de l’émetteur et de la référence) : it= référence(t) + marge.
Ainsi, le coupon est révisé en fonction des conditions de marché et la valeur de l’obligation est ainsi soumise à des fluctuations bien inférieures à celles d’une obligation à taux fixe.
Pour l’investisseur, le choix entre le taux fixe et le taux variable est fondé sur ses anticipations de taux d’une part, et sur l’exposition au risque de taux qu’il est prêt à accepter d’autre part.
2.2. Présentation du marché obligataire
Les obligations indexées ont un coupon qui varie en fonction du niveaud’unevariable économique. Il peut s’agir : d’un indice boursier, de la valeur de l’action d’un émetteur, de la valeur d’un panier d’action, d’un indice de prix, etc.
Les TIPS américains et les OATi émises par le Trésor français constituent un exemple notable : leur valeur nominale est indexée sur l’IPC ; coupon et capital suivent donc l’évolution de l’IPC ; les flux engendrés sont donc fixés en termes réels (en € constants) et le taux de coupon affiché est un taux réel et non un taux nominal comme dans les autres emprunts.
Les obligations convertibles permettent àl’émetteurde payer un coupon plusfaible que celui des obligations classiques. Elle peut être convertie en actions par son détenteur :
- en tant qu’obligation il donne droit à un coupon et à un remboursement de capital ;
- en tant que titre convertible il donne, à tout moment ou pendant une période, une possibilité de conversion contre un nombre d’actions déterminé dans le contrat.
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de taux
Considérons un titre générant une séquence de flux fixes Ft1, …, Ftn. La valeur du titre est déterminée par :
| F | F | F | tn | F | ||||||||
| V (r )= | t 1 | + | t 2 | + ... + | tn | tn =å | q | q | ||||
| 1 + r | t 1 | 1 + r | t 2 | 1 + r | 1+ r | |||||||
| ( | ) | ( | ) | ( | ) | q =t1 | ( | ) | ||||
Dans ce contexte d’évaluation, r s’interprète sur le marché à l’instant courant qui est égal, comme le « taux d’intérêt » en vigueur à l’équilibre, au taux actuariel du titre.
Une variation infinitésimale dr du taux d’intérêt sur le marché se traduit par une variation dV de la valeur du titre obtenue par dérivation de l’équation ci-dessus :
| dV | -t1´ F | -t 2´ F | -tn ´ F | -1 | tn | q ´ F | ||||||||||||||
| (r )= | t 1 | + | t 2 | + ... + | tn | = | ) | ´ å | q | |||||||||||
| dr | t 1+1 | t 2+1 | tn+1 | 1+ r | q | |||||||||||||||
| (  | + r | ) | ( | + r | ) | ( | + r | ) | ( | q =t1 | ( | + r | ) | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||
dV / dr représente alors la « variation » du titre.
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de taux
Calculons maintenant l’expression de :
S = - dV / Vdr = - dln(V(r)) / dr
qui s’interprète comme la variation en pourcentage de V induite par une variation absolue de 1% de r.
S s’appellela « sensibilité » du titre. S est une mesure du risque de taux quientache un titre à revenus fixes.
La variation V / V induite par une variation r non infinitésimale du taux est alors appréciée à l’aide de la relation approximative :
V / V = -S r
Marchés de base
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de taux
Posons maintenant :
| t1´ F | t 2´ F | tn ´ F | tn | q F | |||||||||||
| D = V | t 1 | + | t 2 | + ... + V | tn | tn =å | q | ||||||||
| 1 + r | t 1 | V | 1 + r | ) | t 2 | 1 + r | V | 1+ r | q | ||||||
| ( | ) | ( | ( | ) | q =t1 | ( | ) | ||||||||
D est appelé la « duration » du titre, ets’interprètecomme une durée moyennepondérée des durées t1, t2, …, tn, correspondant aux différentes échéances (on vérifie facilement que la somme des coefficients est égal à 1).
Il apparaît que la duration est liée à la sensibilité par la relation : D = S(1+r).
On vérifie facilement que la duration d’un zéro coupon est égal à sa durée T.
De même, on peut montrer que la sensibilité d’une rente perpétuelle versant le flux x chaque année est égale à l’inverse de son taux de rentabilité, soit : S = 1 / r . Sa duration, est donc D = (1+r) / r .
Marchés de base
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de taux
La sensibilité définie précédemment ne donne des résultats acceptables que pour de faibles variations de taux, puisqu’on apprécie par
| V (r + Dr )-V (r ) | º | DV | |||
| V | V | ||||
| DV | = - S D r = | 1 dV | Dr | ||
| V | V | dr | |||
Afin d’obtenir une précision accrue, on peut toutefois calculer ∆V à l’aide d’un développement d’ordre deux, approximé par :
…
C est appelé la convexité du titre, et est positif puisque la fonction V(r) est convexe.
Marchés de base
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de crédit
Soit un investisseur qui achète un titre dans l’intention de le garder jusqu’au terme. Le risque de défaut confère au taux de rentabilité actuariel un caractère aléatoire. Le taux promis rmax est le taux maximum que l’investisseur peut espérer (dans les circonstances les plus favorables). Il se décompose en un taux de marché sans risque et un spread :
rmax = r + s
En présence d’un risque de défaut, le taux de rentabilité ř est aléatoire et tel que
E(ř) < rmax raison d’être du spread est ainsi de compenser l’investisseur pour cette baisse de l’espérance de rentabilité induite par le risque de défaut.
Le marché est caractérisé par une aversion au risque, et exige donc une prime de risque (π = E(ř) – r). Dans ce cas, on a : s = [ rmax-E(ř)] +π
Par ailleurs, une prime de liquidité, notée l, peut également apparaître pour compenser la faible liquidité du titre. On a alors : s = [ rmax-E(ř)] +π+ l
- Marchés de base
2.3. Marché monétaire et obligataire : risque de crédit
Pour modéliser le spread, on peut considérer un titre risqué, valant 1 € en 0 et promettant rmax. Le flux terminal est aléatoire, avec une probabilité de défaut p > 0. On considère par ailleurs un taux de recouvrement α(0≤ α< 1).
Le titre génère un flux X et une rentabilité r* aléatoires, et on a donc :
E(X) = E(1 + r*) = ( 1 + rmax ) [ αp + (1 - p) ] = ( 1 + rmax ) [ 1 - p(1 -α) ]
Par ailleurs, sachant que rmax= r + s, on a : E(1 + r*) = (1 + r + s) [ 1 - p(1 -α) ].
Au final, pour compenser le risque de défaut et une insuffisance de liquidité, il faut : (1 + r + s) [ 1 - p(1 -α) ] = 1 + r +π+ l
En négligeant les termes d’ordre 2 (en rp et sp), on a : s =π+ l + p(1 -α).
En négligeant (à tord) π et l, on écrit souvent : s≈p(1 -α).