Cours mathematiques financieres interet composé

Cours mathématiques financières intérêt composé

SIGNIFICATION D’UN TAUX

Un taux peut correspondre à deux éléments différents:

• Une valeur donnée dans le contrat entre le prêteur et l’emprunteur qui permet de calculer les intérêts d’un financement ou d’un placement
• Une variable à calculer par le prêteur ou l’emprunteur qui permet de mesurer le coût réel d’un financement ou la  rémunération réelle d’un placement

FINANCEMENTS ET PLACEMENTS A COURT TERME

Le contrat d’un financement ou d’un placement à court terme doit préciser:

• Le montant nominal (utilisé pour calculer les intérêts)
• La date de paiement des intérêts
• Le mode de calcul des intérêts
• Le taux d’intérêt (utilisé pour calculer les intérêts)
• La période sur laquelle sont calculés et payés les intérêts

Dans le cas d’un financement ou d’un placement à court terme, le capital emprunté est toujours remboursé à l’échéance du financement ou  du placement.

FINANCEMENTS ET PLACEMENTS A MOYEN LONG TERME

Le contrat d’un financement ou d’un placement à moyen long terme doit aussi préciser le profil de remboursement (encore appelé d’amortissement) du capital emprunté.

TAUX PERIODE

Le taux période est le taux utilisé pour calculer les intérêts sur la période considérée.

On   parle   de   taux   journalier,   mensuel,   trimestriel,   semestriel  et annuel.

DATE DE PAIEMENT DES INTERETS

Les intérêts peuvent être payés par l'emprunteur ter me échu (à la fin de la période) ou ter me à échoir (au début de la période).

Exer cice: déter miner la séquence de flux pour un financement de 100 000 eur os au taux annuel de 10% , r embour sé au bout d’un an et avec paiement annuel des intér êts dans le cas d’un paiement ter me échu et dans le cas d’un paiement ter me à échoir . Calculer le coût r éel du financement dans les deux cas.

MODE DE CALCUL DES INTERETS: INTERETS SIMPLES OU PROPORTIONNELS

 DEFINITION

Les intérêts d’un financement ou d’un placement sont dits simples  ou pr opor tionnels lorsque le montant des intérêts est proportionnel à la durée de la période. Les intérêts de chaque sous période sont versés en une seule fois (terme échu ou terme à échoir), et calculés à partir du capital initial.

CALCUL

Considérons un placement de la date 0 à la date T. La période [0, T] est découpée en p sous périodes sur lesquelles sont calculés les intérêts. Les intérêts sont calculés chaque sous période mais versés à l’échéance du placement (à la date T).

Le capital investi dans le placement à la date initiale (date 0) est  noté

C0.

Sur  chacune des  p sous  périodes,  les  intérêts sont calculés avec un taux période noté Tp. Par définition, le montant des intérêts simples est égal à C0∙Tp  pour chacune des p sous périodes.

Les intérêts sont versés en une seule fois à l’échéance du placement (date T). Le montant global des intérêts est alors égal à p∙C0∙Tp.

Le capital du placement à l’échéance est noté CT. Il est égal à la somme du capital initial et des intérêts des p sous périodes, C0 + p∙C0∙Tp, soit C0∙(1+ p∙Tp).

Exer cice: calculer le montant des intér êts et la valeur finale d’un placement annuel de 100 000 eur os avec des intér êts simples calculés mensuellement avec un taux mensuel de 1% .

TAUX SIMPLE

Le taux simple est le taux annuel équivalent d’un placement dont  les intérêts sont  simples.  Le  taux simple  noté  Ta                         est  donc  défini  par CT =

C0∙(1+ Ta      ).

En égalisant les deux expressions de CT, le taux simple   Ta à partir du taux période Tp  par la relation:

s’obtient

Ta       = p∙Tp.

Exer cice:    calculer    le    taux   simple    d’un    placement    annuel    de

100.000 eur os avec des intér êts simples calculés mensuellement avec un taux mensuel de 1% .

MODE DE CALCUL DE INTERETS: INTERETS COMPOSES OU EXPONENTIELS

DEFINITION

Les intérêts sont dits composés ou exponentiels lorsque les intérêts de chaque sous­période sont versés à la fin de chaque sous­période et sont donc replacés sur la sous­période suivante.

Les intérêts d’une sous­période donnée sont calculés à partir du capital du début de la sous­période, qui est égal au capital obtenu au début de la sous­période précédente augmenté des intérêts de la sous­période précédente. Sur chaque sous­période, les intérêts des périodes précédentes portent eux­mêmes intérêts.

CALCUL

Considérons un placement de la date 0 à la date T. La période [0, T] est découpée en p sous­périodes sur lesquelles sont calculés les intérêts. Les intérêts sont calculés chaque sous­période mais versés à l’échéance du placement (à la date T).

Le capital investi dans le placement à la date initiale (date 0) est  noté C0.

Sur chacune des p sous­périodes, les intérêts sont calculés avec un taux période noté Tp. Par définition, le montant des intérêts composés sur  la première sous­période est égal à C0∙Tp. A la fin de la première sous­ période (date 1/p), ces intérêts sont versés et s’ajoutent au capital initial.  Le capital du placement noté C1/p est alors égal à C0 + C0∙Tp, soit C0∙(1+  Tp).

Au  début de la deuxième sous­période, le capital placé est égal à  C1/p. Par définition, le montant des intérêts composés sur la deuxième sous­période est égal à C1/p ∙Tp. A la fin de la deuxième sous­période (date 2/p), ces intérêts sont versés et s’ajoutent au capital calculé au début de la deuxième sous­période. Le capital du placement noté C2/p est alors égal à C1/p + C1/p∙Tp, soit C1/p∙(1+ Tp) ou encore C0∙(1+ Tp)2.

Le capital du placement à l’échéance est noté CT. Par récurrence, il est égal à C0∙(1+ Tp)p.

Exer cice: calculer le montant des intér êts et la valeur finale d’un placement annuel de 100 000 eur os avec des intér êts composés calculés mensuellement avec un taux mensuel de 1% .

TAUX COMPOSE

Le taux composé est le taux annuel équivalent d’un placement dont les intérêts sont composés. Le taux composé   noté Ta            est donc défini  par

CT = C0∙(1+ Ta     ).

En  égalisant  les  deux  expressions  de  CT,   le    taux  composé     Ta s’obtient à partir du taux période Tp  par la relation: c

Ta       = (1+Tp)p ­1.

Exer cice: calculer  le  taux  composé  d’un  placement  annuel  de 100 000 eur os avec des intér êts composés calculés mensuellement avec un taux mensuel de 1% .

CALCUL DES FLUX D' INTERET (PLUSIEURS FLUX) 

Le flux d'intérêt It pour la période [t­1, t[ est calculé d'après la formule:

It = Tp·Ct­1,

où Tp représente le taux période et Ct­1 le capital restant dû en début de période (à la date t­1) ou encore le capital restant dû en fin de période   (à la date t) avant amortissement du capital.

FREQUENCE DE PAIEMENT DES INTERETS

Les intérêts peuvent être payés sur une base quelconque: journalière, mensuelle, trimestrielle, semestrielle et annuelle. Pour les financements et placements à moyen et long terme, la fréquence de paiement est en général assez faible (le semestre ou l'année).

DETERMINATION DU TAUX PERIODE

Le taux d'intérêt défini dans le contrat est en général un taux annuel. Si les flux d'intérêts sont calculés sur une période différente de l'année, il faut alors calculer le taux période correspondant. Par exemple, les intérêts payés trimestriellement sont calculés à partir d'un taux trimestriel.

La conversion du taux annuel Ta en taux période Tp  peut  se faire selon deux conventions:

• Utilisation d'un taux simple:

s   = Ta /p.

• Utilisation d'un taux composé:

p    = (1+ Ta)1/p ­ 1.

PROFIL DE REMBOURSEMENT

L'échéance à la date t comprend le paiement des intérêts et le remboursement d’une partie du capital par l'emprunteur à la date t.

L'échéancier d'un emprunt donne les détails du paiement des intérêts et de l’amortissement du capital à chaque date d’échéance.

Les termes "remboursement" et "amortissement" sont synonymes. Plusieurs profils d’amortissement du capital sont envisageables:

• L’amortissement in fine
• L'amortissement par échéances constantes
• L'amortissement par séries égales

L' AMORTISSEMENT IN FINE

Les échéances intermédiaires sont uniquement composées du paiement des intérêts. Le capital emprunté est remboursé en une seule fois à maturité (in fine).

Le montant des intérêts est constant:

It = Tp  ·C0, pour t variant de 1 à T.

Du point de vue de l'emprunteur, la séquence de flux est:

F0 = +C0 F1 = ­ Tp·C0 F2 = ­ Tp·C0

...

FT = ­ Tp·C0 ­ C0

Exer cice: déter miner l' échéancier pour un empr unt r embour sé in fine, de capital initial de 100 000 eur os, au taux annuel de 10% , de matur ité 4 ans et avec des intér êts simples payés annuellement ter me échu.

L' AMORTISSEMENT PAR ECHEANCES CONSTANTES

Chaque échéance Et comprend le paiement des intérêts It sur la période et le remboursement d'une partie du capital emprunté 6Kt. Le montant du remboursement du capital est calculé de façon à ce que l’échéance est constante égale à E:

Et = It + 6Ct = E.

Le montant de l'échéance est calculé par la formule suivante:

C0 =E 1+ i +E (1+ i)2 + ... + E (1 + i) T

ce qui donne:

E = C ·        i

0     1­(1 + i)-T

Les  montants des intérêts I et du capital restant dû C décroissent  avec le temps:

I1  = Tp·C0

6C1 = E ­ I1 C1 = C0 ­ 6C1

I2  = Tp·C1

6C2 = E ­ I2 C2 = K1  ­ 6C2

...

IT = Tp·CT­1

6CT = E ­ IT

CT = CT­1 ­ 6CT = 0

Du point de vue de l'emprunteur, la séquence de flux est:

F0 = +C0 et Ft = ­E, pour tout t variant de 1 à T.

Exer cice: déter miner l' échéancier pour un empr unt r embour sé par annuités constantes, de capital initial de 100 000 eur os, au taux annuel de 10% , de matur ité 4 ans et avec des intér êts simples payés annuellement.

L' AMORTISSEMENT PAR SERIES EGALES

Chaque période, le même montant du capital est amorti. Comme les intérêts sont calculés sur un capital décroissant, les échéances sont donc dégressives.

Le montant des intérêts I et du capital restant dû C décroît avec le temps:

I1  = Tp·C0

6C1 = C0/T

C1 = C0 ­ 6C1 = C0 ­ C0/T

I2  = Tp·C1

6C2 = C0/T

C2  = C1  ­ 6C2  = C0  ­ 2·C0/T

...

IT = Tp·CT­1

6CT = C0/T

CT = CT­1  ­ 6CT = C0  ­ T·C0/T = 0

Du point de vue de l’emprunteur, la séquence de flux est:

F0  = +C0  et Ft = ­ Tp·Ct­1  ­ C0/T, pour tout t variant de 1 à T.

Exer cice: déter miner l' échéancier pour un empr unt r embour sé par sér ies égales, de capital initial de 100 000 eur os, au taux de 10% , de matur ité 4 ans et avec des intér êts payés annuellement ter me échu.

CAPITALISATION

Un euro aujourd’hui n’a pas la même valeur qu’un euro demain car l’argent peut être prêté, le prêteur recevant des intérêts de la part de l’emprunteur.

L’opération de capitalisation permet de calculer la valeur future  d’une somme d’argent présente.

Exemple: une entreprise dispose de 100 euros aujourd'hui. Quelle est la valeur de ces 100 euros dans un an sachant que l’entreprise peut les placer au taux de 10% l'an?

A la date 0: C0  = 100 €    ­­­­­­­>   A la date 1: C1 = 100·(1+0,10) = 110 €

CAPITALISATION D' UN SEUL FLUX:

La valeur à la date T d'un capital F0 à la date 0 est donnée par: A la date 0: F0                   ­­­­­­­>   A la date T: F0·(1+r)T

CAPITALISATION D' UNE SEQUENCE DE FLUX:

La valeur à la date T d'une séquence de flux financiers F0, F1, ...,  FT est donnée par:

Aux différentes dates 0, 1, ..., T:  F0, F1, ..., FT

…

Remarque: l’opération de capitalisation suppose l’existence d’un placement pour chaque maturité (1, 2, …, T). De plus, le taux r du placement est supposé identique pour toutes les maturités (1, 2, …, T).

Exer cice: un capital de 200 eur os placés à un taux annuel de 15% . Calculer combien il r appor te au bout de 6 mois et au bout de 6 ans? On pr éciser a la convention choisie pour tr ansfor mer le taux annuel en taux pér iode.

VALEUR FUTURE

 DEFINITION

La  valeur future (VF)  d’une séquence de flux financiers F1, …,    FT est la somme capitalisée de ces flux au taux d’actualisation r:

VF ({Ft}t= 1,T, r ) =    F1·(1+r ) + F2·(1+r ) + ... + FT-1·(1+r )+FT.

Question: que r epr ésente la valeur futur e d’un placement ?

VALEUR NETTE FUTURE

DEFINITION

La valeur nette future est la valeur future de la séquence de flux nette du flux initial.

La valeur nette future (VNF) d’une séquence de flux financiers F0, F1, …, FT est la somme actualisée au taux d’actualisation r:

VF ({Ft}t= 1,T, r ) =    F0·(1+r ) +F1·(1+r ) + F2·(1+r ) + ... + FT-1·(1+r )+FT.

Question: que r epr ésente la valeur nette futur e d’un placement ?

ACTUALISATION

Un euro demain n’a pas la même valeur qu’un euro aujourd’hui car l’argent peut être emprunté, l’emprunteur versant des intérêts au prêteur.

L’opération d’actualisation permet de calculer la valeur présente d’une somme d’argent future.

L’opération d'actualisation est l’opération inverse de  la  capitalisation. Elle est fondée sur la même idée: l’argent placé rapporte intérêt.

Exemple: une entreprise disposera de 100 euros dans un an. Quelle est la valeur de ces 100 euros aujourd'hui sachant que l’entreprise peut emprunter cet argent au taux de 10% l'an?

A la date 1: C1  = 100 €    ­­­­­­­>   A la date 0: C0  = 100/(1+0,10) = 90,91

€

ACTUALISATION D' UN FLUX:

La valeur à la date 0 d'un flux d'argent F à la date T est donnée par:

   F t     

A la date t: Ft   ­­­­­­­>   A la date 0: (1+ r ) t

ACTUALISATION D' UNE SEQUENCE DE FLUX:

La valeur à la date 0 d'une séquence de flux d'argent F0, F1, ..., FT est donnée par:

Aux différentes dates 0, 1, ..., T: F0, F1, ..., FT

…

Exer cice: déter miner le montant qu’il faut placer à 5% pour obtenir 1 000 eur os au bout de 10 ans?

VALEUR PRESENTEDEFINITION

La valeur présente (VP) d’une séquence de flux financiers F1, …, FT est la somme actualisée des flux au taux d’actualisation r:
VP({Ft }t=1,T , r ) =F1     + 1+rF2 (1+ r )2 + ... + FT      . (1+ r )T

VALEUR NETTE PRESENTE

DEFINITION

La valeur nette présente est la valeur présente de la séquence de flux nette du flux initial.

La valeur nette présente (VNP) d’une séquence de flux financiers F0, F1, …, FT est la somme actualisée de tous les flux au taux d’actualisation r:

VNP({Ft }t= 0,T , r ) = F0 + F1     + 1+rF2 (1+r )2 + ... + FT       . (1+r )T

Question: quelles sont les hypothèses sous­jacentes au calcul de la VNP?

APPLICATION DE LA VALEUR PRESENTE

Le concept de valeur présente peut être utilisé pour évaluer le prix d’actifs financiers.

EVALUATION DU PRIX D’UNE  OBLIGATION

Une obligation est un titre financier émis par une entreprise. Elle donne droit à son détenteur à une séquence de flux de trésorerie composée de coupons (intérêts) et de remboursement en capital.

Exemple: une obligation remboursée in fine de nominal 1 000 €, de taux d’intérêt nominal de 10% et de maturité 5 ans.

Les flux perçus par le détenteur de cette obligation sont:

F1=+100, F2= +100, F3=+100, F4=+100 et F5=+100+1.000=+1.100.

Le prix de cette obligation est égal à la valeur présente de ses flux:

  100   +     100     +     100     +      100     +100 +1.000 = 1.000 E

1+0,10    (1+0,10)2    (1+0,10)3    (1+0,10)4      (1+0,10)5

APPLICATIONS DE LA VALEUR NETTE PRESENTE

Le concept de VNP peut être utilisé pour évaluer l’aspect financier d’un investissement.

Il peut s’agir d’un investissement financier (placement bancaire par exemple) ou d’un investissement physique (achat d’une machine par exemple).

EVALUATION D’UN INVESTISSEMENT  FINANCIER

Un banquier propose un placement bancaire défini par les flux suivants: un investissement initial de 1 000 € (F0=­1 000) et des revenus annuels perçus en fin d’année de 500 € sur 6 ans (F1=F2=F3=F4=F5=F6=+500). Il est par ailleurs possible de faire un placement sur le marché au taux annuel de 10% (r=0,10). Que faire?

Pour répondre à cette question, il faut calculer la VNP du placement en utilisant comme taux d’actualisation le taux du marché.

-1.000+   500

+    500    +     500   +     500    +     500    +     500    =1.177,63 E .

1+0,10

(1+0,10)2           (1+0,10)3          (1+0,10)4           (1+0,10)5          (1+0,10)6

La VNP s’interprète comme le gain financier du produit bancaire par rapport au placement sur le marché. Il s’agit d’un gain actualisé (au taux  du marché). Ce gain est exprimé en euros d’aujourd’hui (date 0).

En investissant  dans  le  produit  bancaire,  l’investisseur  va  gagner 1 177,63 € de plus qu’en investissant sur le marché (montant actualisé).

EVALUATION D’UN INVESTISSEMENT  PHYSIQUE

Un entrepreneur individuel envisage d’investir dans une  machine pour accroître la production de son entreprise. La durée d’utilisation de la machine est de 4 ans (la machine est ensuite revendue). D’après ses prévisions, les flux de trésorerie associés à ce projet sont:

F0=­50 000 (flux de trésorerie lié à l’achat de la machine)

F1=F2=F3=+10 000 (flux de trésorerie nets d’impôt générés par l’exploitation de la machine)

F4=+30 000 (flux de trésorerie nets d’impôt généré par l’exploitation de la machine et par la cession de la machine)

- 50.000 + 10.000 +   10.000    +   10.000    +   30.000    =   ­4.641,08 E .

1+0,10    (1+0,10)2      (1+0,10)3      (1+0,10)4

La VNP s’interprète ici comme la perte financière du projet par rapport à un placement sur le marché. Il s’agit d’une perte actualisée (au taux du marché). La perte est exprimée en euros d’aujourd’hui (date 0).

En investissant dans le projet, l’entrepreneur gagnerait 4 641,08 € de moins qu’en investissant sur le marché (montant actualisé).

ELEMENTS DE MATHEMATIQUES

Pour le calcul de VP ou VNP de certains flux, il est utile de connaître quelques éléments de mathématique: suite géométrique et série géométrique.

SUITE GEOMETRIQUE

Une suite géométrique notée (Gn)n=1,+œ  est définie par le terme  initial de la suite noté G1  et la raison de la suite notée q.

Le nème élément de la suite noté Gn est obtenu par récurrence. Il est égal au n­1ème élément de la suite noté Gn­1 multiplié par la raison q de la suite:

Gn = q∙Gn­1.

Le nème élément de la suite Gn peut aussi s’exprimer en fonction du terme initial G1  et de la raison q de la suite:

Gn = qn­1∙G1.

Exer cice: calculer les cinq pr emier s éléments d’une suite géométr ique de ter me initial 1 et de r aison ½.

SERIE  GEOMETRIQUE

La   série  géométrique  (SGn)n=1,+œ    associée  à  la  suite géométrique (Gn)n=1,+œ est définie comme la somme des termes de la suite géométrique.

Le  nème  élément  de  la  série  noté  SGn   est  égal  à  la  somme  des n premiers éléments de la suite géométrique G:

SGn  = G1 + G2 + … + Gn,

soit SGn  = G1∙(1 + q + q2 + … + qn­1).

La somme (1+ q + q2  + … + qn­1) est égale à

1 - qn 1 - q .

Le nème terme SGn  de la série géométrique est donc égale à:

…

Exer cice: calculer les cinq pr emier s éléments de la sér ie géométr ique associée à la suite géométr ique de ter me initial 1 et de r aison ½.

La somme de la série géométrique notée SG est définie comme la limite de la série géométrique (lorsqu’elle existe):

SG  =   lim

nc+œ

SGn .

La somme d’une série géométrique existe lorsque la valeur absolue de la raison q de la suite géométrique est strictement inférieure à 1.

Exer cice: calculer la somme d’une sér ie géométr ique lor squ’elle existe.

 Exer cice: calculer la somme de la sér ie géométr ique associée à la suite géométr ique de ter me initial 1 et de r aison ½.

CALCUL DE LA VNP

DE SEQUENCES DE FLUX PARTICULIERES

 RENTE

Les flux d’une rente de coupon C sont définis par:

Ft = C, pour t variant de 1 à T.

Exer cice: déter miner une for mule simple pour la valeur pr ésente de la séquence de flux r eçue par le détenteur d’une r ente.

• RENTE PERPETUELLE

Les flux d’une rente perpétuelle de coupon C sont définis par:

Ft = C, pour t variant de 1 à +œ.

Exer cice: déter miner une for mule simple pour la valeur pr ésente de la séquence de flux r eçue par le détenteur d’une r ente per pétuelle.

• PRODUIT INDEXE

Les flux d’un produit indexé sont définis par:

Ft = (1+g)∙Ft­1, pour t variant de 1 à T

Exer cice:   déter miner   une  for mule   pour   la   valeur   pr ésente   de   la séquence de flux r eçue par le détenteur d’un pr oduit indexé.

 PROJ ET STANDARD

Les flux d’un projet standard sont définis par:

F0  < 0 et Ft > 0 pour t variant de 1 à T

Exer cice: étudier la valeur nette pr ésente d’une séquence de flux d’un pr ojet standar d en fonction du taux d' actualisation r.

CALCUL PRATIQUE DE LA VNP

Il existe plusieurs moyens de calcul de la VNP en pratique:

1. Une simple calculatrice
2. Les tables financières
3. Les calculatrices financières
4. Les tableurs

MOYEN DE CALCUL 1: UNE SIMPLE CALCULATRICE

La VNP est calculée en effectuant tous les calculs (actualisation de chaque flux et somme des flux actualisés).

Exer cice: calculer avec une simple calculatr ice la VNP de la séquence de flux           suivante:   F 0=­1.000,   F 1=+500,   F 2=+500,   F 3=+500,   F 4=+500,

F 5=+500 et F 6=+500. La valeur du taux d’actualisation est de 10% .

MOYEN DE CALCUL 2: LES TABLES FINANCIERES

Il existe deux types de tables financières:

• Les tables donnant la valeur présente du flux d’un placement versant 1 euro dans n années actualisé au taux r

Les tables donnant la valeur présente de la séquence de flux d’un placement versant 1 euro pendant dans n années actualisé au taux  r

Exer cice: calculer à l’aide des tables financièr es la VNP de la séquence de flux suivante:          F 0=­1.000, F 1=+500, F 2=+500, F 3=+500, F 4=+500,

F 5=+500 et F 6=+500. La valeur du taux d’actualisation est de 10%

Table financièr e donnant la valeur pr ésente du flux d’un placement ver sant 1 eur o dans n années actualisé au taux r.

Table financièr e donnant la valeur pr ésente de la séquence de flux d’un placement ver sant 1 eur o pendant n années actualisé au taux r.