Cours de mathematiques financieres : methodes quantitatives

Cours de mathématiques financières : méthodes quantitatives

Chapitre 1 : INTÉRÊTS SIMPLES, PRECOMPTE, ESCOMPTE ET

COMPTE COURANT

I-Notion d’intérêt :

L’intérêt est le loyer de l’argent. Il peut être un e dépense ou un revenu.

-   Il s’agit d’une dépense pour l’emprunteur, l’intérêt correspond à la rémunération du capital prêté ;

-  Il s’agit d’un revenu pour le prêteur, l’intérêt est le revenu tiré du capital prêté.

L’intérêt est variable selon la loi de l’offre et de la demande, du montant du prêt, de la durée et du taux d’intérêt.

II-Intérêts simples :

1- Définition de l’intérêt simple :

Dans le cas de l’intérêt simple, le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt, l’emprunteur doit verser à la fin de chaque période l’intérêt dû.

2- Calcul de l’intérêt simple :

Soit : C : capital placé. t : taux d’intérêt.

n : période de placement en année. I : intérêt rapporté par le capital (C).

Alors l’intérêt est donné par :

_{I =} C ´ n ´ t  _.

100

Exemple :

Calculons l’intérêt produit par un capital de 35.850 dirhams placé pendant 3 ans à un taux égal

à 11%.

On sait que : C = 35.850 dirhams t = 11%

n = 3 ans I = ?

Donc : I = ^{35.850´3´11} = 11.830,5 dirhams. 100

Souvent l’intérêt est calculé en fonction du nombre du jour de placement. L’année est prise pour 360 jours et les mois sont comptés pour leur nombre de jours exact.

1- Quel est l’intérêt produit à intérêt simple par un placement d’une somme d’argent de 12.500 dirhams au taux de 10,5% pendant 96 jours.

2- Quel est l’intérêt produit par un placement de 15. 500 dirhams au taux de 9,5% pendant 7 mois.

3- Soit un capital de 30.000 dirhams placé à intérêt simple du 17 mars au 27 juillet de la même année au taux annuel de 12,5%. Calculer l’intérêt produit par ce placement.

Solution :

= 12.500 ´ 96 ´10,5 =

1-  I                                                   350      dirhams.

36.000

2- Si la durée s’exprime d’une date à une autre, alors on calcule le nombre de jours qu’on a réellement en compte le dernier jour et on néglige le premier.

= 15.500 ´ 7 ´ 9,5 =

I 858,96 dirhams.1.200

= 30.000 ´12,5 ´132 =

3-     I                                                    1.375      dirhams.

36.000

3- Valeur définitive ou valeur acquise :

La valeur acquise du capital après « n » périodes d e placement est la somme du capital et des intérêts gagnés. Si nous désignons par (Va) la valeur acquise alors :

Va = C + I.

⇒ Va = C + ^C´n´t .

Cette relation est juste si la durée est exprimée en années.

Exemple :

Calculer l’intérêt et la valeur acquise d’un placement à intérêt simple de 15.000 dirhams pendant 50 jours à un taux de 9% l’année.

Solution :

I = ^{15.000´9´50} = 187,5 dirhams 36.000

Va = 15.000 + 187,5 = 15.187,5 dirhams.

⇒ Va = 15.187,5 dirhams.

4- Taux moyen de plusieurs placements :

Soient trois capitaux C₁, C₂, C₃ placés à des taux respectifs t₁, t₂, t₃ pendant les durées j₁, j₂, j₃.

* L’intérêt global procuré par les trois placements est le suivant :

_IG=(C₁´ j₁´ t₁)+(C₂´ j₂´ t₂)+(C₃´ j₃´ t₃)

36.000

a-  Définition :

Le taux moyen de ces trois placements est un taux unique noté « t _m », qui appliqué à l’ensemble de ces trois placements donne le même in térêt global.

(C₁´ j₁´ t_m)+(C₂´ j₂´ t_m)+(C₃´ j₃´ t_m)₌(C₁´ j₁´ t₁)+(C₂´ j₂´ t₂)+(C₃´ j₃´ t₃)

36.000                                                                                     36.000

⇒ t_m(C₁´j₁ + C₂´j₂ + C₃´j₃) = (C₁´j₁´t₁) + (C₂´j₂´t₂) + (C₃´j₃´t₃).

k =1

Exemple :

Calculer le taux moyen des placements suivants :

*  2.000 dirhams placés pendant 30 jours à 7%.

*  7.000 dirhams placés pendant 60 jours à 10%.

*  10.000 dirhams placés pendant 50 jours à 9%.

Solution :

a-  Calcul d’escompte :

Soit « V » la valeur nominale de l’effet, valeur in scrite sur l’effet et payable à échéance.

Soit « N » la durée qui sépare la date de négociation (le jour de la remise de l’effet à l’escompte) et l’échéance de l’effet.

Soit « t » le taux d’escompte.

Donc, l’escompte commercial s’écrit comme suit :

_e= V ´ N ´ t _.

36.000

La valeur actuelle de l’effet « a » s’écrit comme s uit :

a = V – e.

Il s’agit de calculer aujourd’hui la contre partie d’une somme payable dans le future.

Exemple :

Combien le banquier remettra-t-il à son client s’il lui escompte en 29-11-2005 un effet de

100.000 dirhams payables au 20-02-2006, en sachant que le taux égal à 9%.

Solution :

⁼ V ´ N ´ t

On sait que :  e

36.000

V = 100.000

N = 9

Donc, a = V – e = 100.000 – 2.075 = 97.925 dirhams.

b-  Pratique d’escompte:

Dans la pratique, la remise d’un effet à l’escompte entraîne des frais financiers, en plus de l’escompte proprement dit. Ces frais comprennent plusieurs commissions.

L’ensemble de l’escompte et des commissions s’appele l’agio. D’une manière générale, l’agio se compose de : l’escompte, diverses commissions, la taxe sur la valeur ajoutée (TVA).

Au Maroc, la TVA est de 7%, elle est appliquée directement sur l’ensemble de l’agio hors taxe que se compose le plus souvent de : l’escompte, commissions d’acceptation et de courrier qui sont fixes et par bordereau d’escompte.

* Remarque : Il est à noter que la durée réelle de l’escompte est parfois majorée d’un ou de plusieurs jours (appelés couramment jours de banque).

Exemple :

Soit un effet de commerce de 35.500 dirhams échéant le 27 juillet 2005 et escompté le 10 avril de la même année, aux conditions suivantes :

-  Taux d’escompte : 13%

-  Commission de manipulation : 2 dirhams par effet ;

-  TVA : 7% ;

-  Tenir compte d’un jour de banque.

Calculer la valeur actuelle de l’effet.

Solution :

N = 108 + 1 jour de la banque = 109 jours.

V = 35.500 dirhams.

= 35.500 ´109 ´13 =

Donc ; e 1.397,32 dirhams. 36.000

+ 2 dirhams. (Commission de manipulation). 1.399,32 dirhams.

+ 97,96 dirhams.      (TVA. 7%)

Agio TTC =         1.497,28 dirhams.

La valeur nette est la somme effectivement mise à la disposition du vendeur de l’effet de commerce avant son échéance.

Valeur nette = Valeur nominale – Agios TTC.

Exemple :

Reprenons l’exemple de l’effet de l’opération précédente :

La valeur nette = 35.500 – 1.497,28 = 34.002,72 dirhams.

c-  Taux relatifs à l’opération d’escompte :

·     Taux réel d’escompte :

…

Exemple :

Reprenons les éléments de l’escompte précédent et alculons les différents taux :

_tr= 1.497,28 ´ 36.000 _=14,06%. 35.500 ´108

_Te= 1.497,28 ´ 36.000 _=14,68%. 34.002,72 ´108

d-  Équivalence de deux effets :

- Définition : deux effets sont équivalents à une date déterminée, si escomptés en même temps, ils ont la même valeur actuelle. Cette date est la date d’équivalence.

V₁, V₂ = valeurs nominales des deux effets. J₁, J₂ = Durée d’escompte en jour.

t = Taux d’escompte.

Donc ; V₁ – e₁ = V₂ – e₂.

Exemple 1 :

À quelle date un effet de valeur nominale de 20.000 dirhams à échéance du 15 avril est-il équivalent à un effet de 20.435,68 dirhams à échéance du 14 juin de la même année. Taux d’escompte est de 12,6%.

…

On trouve, j = 43,985 = 44 jours.

Et 44 jours avant le 15 avril = 2 mars de la même a nnée.

Exemple 2 :

On désir remplacer un effet d’une valeur nominale de 75.000 dirhams payable dans 60 jours par un autre effet de valeur nominale de 74.600 dirhams. Quelle sera l’échéance de cet effet ?

En sachant que le taux d’escompte est de 13%.

Donc, j₂ = 45,47 = 46 jours.

e-  Équivalence de plusieurs effets : échéance commune :

L’échéance commune est le cas de remplacement de plusieurs effets par un seul effet. L’échéance commune est l’échéance d’un effet uniquequi, à la date d’équivalence, a une valeur actuelle égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacés.

Exemple :

On souhaite remplacer le 15 juin les trois effets ci-dessous par un effet unique.

Quelle est l’échéance de l’effet de 21.200 dirhams remplaçant les effets E₁, E₂ et E₃ avec un taux d’escompte de 13%.

…

⇒ 21.200 – 7,6555 j = 3.956,67 + 4.880,83 + 11.579,67.

⇒ j = 102,257 = 103 jours.

L’échéance commune se situera le 15/06 + 103 soit el 26/09.

f-Cas particulier de l’échéance commune : l’échéance moyenne :

L’échéance moyenne de plusieurs effets est un cas particulier de l’échéance commune. On l’obtient lorsque le nominal de l’effet unique est égal à la somme des valeurs nominales des différents effets remplacés.

…

⇒ (V₁ + V₂ + V₃) ´ J = (V₁ ´ j₁) + (V₂ ´ j₂) + (V₃ ´ j₃).

Donc, l’échéance moyenne est indépendante du taux d’escompte.

(V₁ + V₂ + V₃)(D – D_équi) = V₁(D₁ – D_équi) + V₂(D₂ – D_équi) + V₃(D₃ – D_équi).

⇒ (V₁ + V₂ + V₃) D = (V₁ ´ D₁) + (V₂ ´ D₂) + (V₃ ´ D₃).

Donc, l’échéance moyenne est indépendante de la date d’équivalence.

Chapitre 2 : INTÉRÊTS COMPOSÉS

On dit qu’un capital est placé à intérêt composé lorsqu’à la fin de la première période, l’intérêt simple de la première période est ajouté au capital, on parle alors de capitalisation des intérêts.

La capitalisation des intérêts est généralement annuelle, mais elle peut être semestrielle, trimestrielle ou mensuelle.

I-Temps de placement est un nombre entier de périodes :

Donc, en générale la valeur acquise après n périodeest :

C_n = C₀(1 + i)ⁿ.

Exemple :

Calculer la valeur acquise d’un capital de 100.000 dirhams placé pendant 6 ans à 8% l’an

(capitalisation annuelle).

Solution :

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ.

=  100.000 (1 + 0,08)⁶.

=  158.687,43 dirhams.

En intérêt simple: V _a = C₀ + ^C0´n´t .

100

V_a = 100.000 (1 + ^6´8 ) = 148.000 dirhams.

100

II-Temps de placement est un nombre fractionnaire de périodes :

Le temps de placement est fractionnaire par exemple 5 ans et 7 mois. On distingue alors deux solutions : la solutions rationnelle et la solution commerciale.

1- Solution rationnelle :

Exemple :

Calculer la valeur acquise d’un capital de 100.000 dirhams placé pendant une période de 5 ans et 7 mois à 8%, capitalisation annuelle.

Solution :

…

Dans ce cas, on considère que la valeur acquise au bout de 5 ans reste placée à intérêt simple pendant 7 mois.

En général, on peut écrire la formule suivante :

2- Solution commerciale :

La formule est la suivante : C

k +^p q = C (1+ i)^k+p.

On généralise la formule des intérêts composés au cas où « n » n’est pas un nombre entier de périodes.

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent, mais avec la méthodecommerciale.

III-Taux proportionnels et taux équivalents :

1- Taux proportionnels :

Exemple :

On a les données suivantes : C₀ = 100.000 dirhams, placé pendant un an, à 9%.

V_a = 100.000 ´ (1 + 0,09)¹ = 109.000 dirhams.

V_a = 100.000 ´ (1 + 0,045)² = 109.202,5 dirhams.

V_a = 100.000 ´ (1 + 0,0225)⁴ = 109.308,33 dirhams.

2- Taux équivalents :

Deux taux sont équivalents lorsqu’à intérêt composé, ils aboutissent pour un même capital à la même valeur acquise pendant la même durée de placem ent. De manière générale, deux placements définis respectivement par leurs taux (i₁ et i₂) et par leurs périodes (P₁ et P₂). Les placements sont effectués à taux équivalent s’ils aboutissent pour un même capital à la même valeur acquise.

C'est-à-dire : C(1 + i₁ )^P1  = C(1 + i₂ )^P2

Exemple :

Quel est le taux semestriel équivalent au taux annuel de 9%.

Solution :

On sait que : C(1 + i_a )¹  = C(1 + i_s )²

⇒ 1 + i_a = (1 + i_s )² ⇒ 1 + i_s = 1 + i_a

⇒ i_s= i_a+1-1.= 0,09 +1 -1.

⇒ i_s = 0,0440307.

IV-Calculs sur la formule fondamentale des intérêts composés :

1- Calcul du taux :

Exemple :

On place 250.000 dirhams au bout de 5 ans, on se retrouve avec une valeur acquise de

340.000 dirhams. Trouver le taux de capitalisation annuelle.

Solution :

On sait que : C_n  = C₀ ´ (1 + i)ⁿ

⇒ 340.000 = 270.000 ´ (1 + i)⁵.

^⇒ ( + )⁵ = 340.000 1 i 250.000

^{+ =} 340.000 5 ⇒ 1 i .

250.000

250.000

⇒ i = 0,063427 (taux = 6,34% l’an).

2- Calcul du temps :

Exemple :

Au bout de combien de temps, une somme double-t-elle par capitalisation semestrielle, avec un taux de 3% le semestre.

Solution :

On sait que : C_n  = C₀ ´ (1 + i)ⁿ

Et puisque : C_n = 2 ´ C₀.

Donc, 2 ´ C₀  = C₀ ´ (1 + i)ⁿ

⇒  (1 + i)ⁿ  = 2.

⇒  log(1 + i)ⁿ  = log .2

⇒  n ´log.(1+ i)=log .2

⇒ n =               (                 ) = 23,44977225   semestres .

log 1 + 0,08

⇒  n = 11 ans et 6mois + 0,44977225 semestres.

⇒  n = 11 ans et 6 mois + (0,44977225 ´ 180) jours.

⇒  n = 11 ans et 8 mois et 21 jours.

V-Valeur actuelle à intérêts composés :

La valeur actuelle est la somme qu’il faut placer maintenant à intérêt composé pour obtenir « C _n » après « n » période de placement. C’est le proce ssus inverse de la capitalisation qui

s’appelle actualisation. C₀ = C_n (1 + i)^-n.

Exemple :

Quelle somme faut-il placer maintenant à intérêt co mposé au taux annuel de 7% pour obtenir dans 4 ans une valeur définitive de 75.000 dirhams.

Solution :

On sait que : C₀ = C_n (1 + i)^-n.

Donc ; C₀ = 75.000 ´ (1 + 0,07)^-4.

⇒ C₀ = 57.217,14 dirhams.

I-Définition :

On appelle annuité, des sommes payables à intervalle de temps régulier. Dans le cas des annuités, les sommes sont versées chaque année à même date, la période retenue est l’année. On peut cependant effectuer des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels, dans ces cas on parle de semestrialité, trimestrialité ou mensualité. Le versement d’annuité a pour objet soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital (Exemple d’un capital retraite ou d’un capital éducation …).

II-Annuités constantes en fin de période :

« a » étant le montant de l’annuité constante ;

« i » étant le taux d’intérêt ;

« n » étant le nombre d’annuité ou de versement ;

« A _n » étant la valeur acquise au moment de versement de la dernière annuité.

Applications :

1- Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement par une suite de 10 annuités constantes de fin de période de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% l’an. Ainsi que l’intérêt produit.

2- Calculer la valeur de cette même suite sept mois a près le dernier versement.

3- Calculer la valeur de cette même suite un an et ne uf mois après le dernier versement.

4- Quelle somme constante faut-il verser chaque année à la même date pour constituer en 12 versements deux ans après le dernier versement un capital de 500.000 dirhams chacune. Taux est de 7% l’an.

5- Calculer un mois après le dernier versement la valeur acquise par une suite de 72 mensualités de 2.500 dirhams chacune. Taux est de 7% l’an.

Solution :

1- on sais que : A_n = a^(1+i)n-1 . i

Mathématiques Financières

Le capital versé est : 17.500 ´ 10 = 175.000 dirhams.

Intérêt = A _n – capital versé. = 253.514,84 – 175.000 = 78.514,84 dirhams.

2- Solution rationnelle :

₌

265.345,53 dirhams. 12

_{5-on a ;A72=a}⁽¹⁺ⁱm ^)72-1_. i_m

Et on a ; i_a = 0,07.

Il faut donc calculer « i _m ».

-          Taux proportionnel

i_m=^ia=^0,07=0,00583333.12 12

-      Taux équivalent :

(1 + i_m )¹²  = (1 + i_m )¹

⇒ (1 + i_m )¹²  = 1,07 1

⇒ 1 + i_m  = 1,07¹² 1

⇒ i_m=1,07¹²-1=0,0056414538.

Donc, on sait que ; C_n  = C₀ (1 + i)ⁿ

⇒ A = A₇₂(1+ i_m)¹.

-          Cas du taux proportionnel :

-          Cas du taux équivalent :

Remarque :

Les organismes de capitalisation utilisent les taux équivalents pour remettre le moins possible d’argent.

III-Valeur actuelle d’une suite d’annuité constante de fin de période :