Cours management :le risque de marché

Ce chapitre devrait permettre à l’étudiant de bien comprendre le risque de marché auquel font face les institutions financières.  L’étudiant devrait être en mesure d’identifier les situations exposant la banque à un risque de taux d’intérêt, de taux de change ou d’équité.  L’étudiant pourra comprendre la méthode employée par la Banque des Règlements Internationaux pour le calcul du risque de marché à des fins de capitalisation.  En plus, l’étudiant saura utiliser la méthode de la valeur à risque, qui est de loin la méthode la plus utilisée par les institutions financières, afin de mesurer l’exposition au risque de marché. 

Il y a de cela une dizaine d’années, une série de pertes substantielles pour les institutions financières, dont la plus spectaculaire est sans contredit l’effondrement de la Barings (voir l’encadré Une page d’histoire suivant),  ont forcé les directeurs et gestionnaires de tels établissements à tenir compte d’un nouveau type de risque menaçant la stabilité financière des banques, soit le risque de marché.  Auparavant, les activités de négociation des banques ou autres institutions financières étaient négligeables mais au fil des années, elles ont dû se rendre à l’évidence qu’elles étaient aussi, sinon davantage, vulnérables que n’importe quel autre investisseur sur le marché.

Associée à cette nouvelle prise de conscience se trouve la réglementation modifiée du Bureau du surintendant des institutions financières (BSIF) qui requiert maintenant une réserve de capital servant à protéger l’organisation contre le risque de marché.  Ces nouvelles obligations servent bien sûr de coussin aux banques envers les mauvaises surprises du marché mais elles ont d’abord été instaurées afin de protéger les déposants contre le risque de perte des institutions financières.  En effet, l’ampleur des portefeuilles de négociation des banques qui ne cessent d’augmenter fait qu’un revirement inattendu du marché peut avoir des conséquences dévastatrices menant à une instabilité financière ou même à une faillite dans les cas extrêmes.  Il est facile d’imaginer l’effet négatif qu’une faillite pourrait avoir sur les épargnants et c’est pourquoi le secteur public doit tenter de réduire au maximum les probabilités d’un défaut.  Évidemment, en dernier recours, on a encore l’assurance dépôt mais, comme il en sera question plus en détail dans le chapitre 8 sur la capitalisation bancaire, cette mesure n’est pas parfaite et comporte de nombreux problèmes.

Le risque de marché est défini comme étant le risque de pertes provenant des variations de la valeur au marché des positions en actions et en obligations au compte de négociation ainsi que des positions en devises et en denrées.  Ces positions peuvent être au bilan ou hors bilan.  Évidemment, le risque comme tel ne survient que lorsque la fluctuation de la valeur marchande est dans la direction opposée à celle espérée ou souhaitée ce qui entraîne alors une perte.  En effet, si un investisseur possède une position longue dans une action ABC, le risque est alors que le cours de cette action baisse.

Cette définition, qui provient de la Banque de Règlements Internationaux (BRI) peut sembler limitée à première vue puisqu’elle affirme que seuls les actifs ou dérivés transigés activement offrent un risque de marché.  De plus, la BRI suppose de manière très arbitraire que tous les contrats de devises ou de denrées sont effectivement transigés activement.  Néanmoins, en étudiant attentivement le bilan d’une institution financière, on se rend compte que tous les actifs peuvent être vendus avant leur maturité et que, du moins en théorie, ils disposent tous d’une valeur marchande.  Étant donné que cette valeur au marché peut fluctuer, alors nous sommes bel et bien en présence de risque de marché.

Les marchés devenant de plus en plus complexes et liquides, les menaces à la solvabilité des institutions financières provenant des activités de négociation augmentent le besoin de détenir des méthodes de calcul et de contrôle efficaces du risque de marché.

On peut isoler deux causes principales à la volonté de gérer le risque de marché. D'abord, les innovations au niveau des titres et la globalisation des marchés financiers ont eu un impact direct sur les portefeuilles des institutions financières. En effet, elles doivent maintenant gérer des portefeuilles comprenant une grande variété d'actifs financiers traditionnels et dérivés, et ce avec des positions importantes dans plusieurs marchés internationaux.  La sensibilité des composantes du portefeuille aux divers facteurs de risque n'est pas la même car ces derniers diffèrent d'un instrument à l'autre. 

Ensuite, les gestionnaires des institutions financières recherchent une gestion optimale qui permettrait une allocation efficiente du capital; et puisque les méthodes traditionnelles relatives au risque de marché (duration, convexité, ratios de capital, etc.) étaient souvent approximatives et arbitraires, ils se sont vite rendu compte qu’elles étaient insuffisantes pour mesurer adéquatement l'exposition globale d'un portefeuille avec précision et exactitude. 

Il existe deux façons différentes de mesurer le risque de marché d’un portefeuille : i) à l’aide des normes de mesure de la banque de règlements internationaux (BRI), et ii) avec des modèles de valeur à risque.

Section retirée

Définir et mesurer le risque de marché n’est pas une tâche simple pour les institutions financières ni pour aucune entreprise de n’importe quelle industrie.  En premier lieu, une mesure du risque de marché pertinente doit être applicable non seulement pour un instrument financier en particulier, tel qu’une action ou un swap de taux d’intérêt, mais également aux portefeuilles de ces mêmes instruments ou d’instruments reliés ainsi qu’aux portefeuilles contenant une variété d’instruments différents avec leurs risques sous-jacents.   En second lieu, une mesure du risque de marché adéquate doit pouvoir tenir compte de tous les facteurs de risque possibles, par exemple une variation de prix, la convexité, la volatilité, la corrélation, la perte de valeur due au temps, le taux d’actualisation, etc.  Troisièmement, la mesure doit considérer ces facteurs de risque de manière cohérente et logique; ces facteurs doivent être réunis en un dénominateur commun qui mesure le risque de marché de chaque instrument ainsi que le risque agrégé du portefeuille total.  Finalement, la mesure du risque de marché doit être facilement compréhensible par les gestionnaires n’ayant pas de connaissances précises sur le sujet et doit aider à contrôler le risque de marché.  La VaR est une mesure qui semble satisfaire à ces critères.

Un modèle de valeur à risque est un modèle statistique qui assigne une probabilité, sur un horizon de temps donné, que le portefeuille subisse une perte supérieure à un certain montant.  Ces méthodes déterminent généralement l’exposition en dollars (en termes absolus) d’un portefeuille de négociation.

Il est très avantageux pour une banque de mesurer son risque de marché afin de connaître son exposition réelle et de rester compétitive.  Même si les agences de réglementation ne requéraient aucun calcul du risque de marché à des fins de capitalisation, il est fort à parier que les banques continueraient tout de même à investir des ressources afin de développer des modèles toujours meilleurs.  Néanmoins, à des fins purement réglementaires, les banques doivent mesurer leur risque de marché et celles qui décident d’avoir leur propre modèle de mesure du risque de marché (versus le modèle standard de la BRI vu précédemment) doivent se plier à certaines exigences et leur modèle doit répondre à plusieurs règles.

La plupart des principales institutions financières au Canada ont investi des ressources afin de développer leur propre modèle de valeur à risque interne puisque la méthode de la BRI utilise des ratios arbitraires par catégories d’actifs en ignorant les corrélations entre les rendements de ces actifs, ce qui augmente évidemment le niveau de risque de la banque et par conséquent le capital requis pour le couvrir. La méthode interne permet aux banques bien diversifiées de réduire de 50% le montant de capital requis par la méthode standard de la BRI, ce qui est très significatif.

Les autorités ont spécifié un certain nombre de critères qualitatifs que les institutions financières doivent respecter avant de pouvoir utiliser leur modèle pour le calcul du capital et le degré de satisfaction de ces modèles aux différentes normes peut fortement influencer le facteur demultiplication qui leur est imposé.

La liste des différents critères énumérés ci-dessous n’est évidemment pas exhaustive et rien n’empêche les autorités de chaque pays membre de l’OCDE de rajouter certains items.

Le modèle doit être conçu et géré par un département de gestion des risques qui travaille indépendamment des négociants.  On peut facilement voir une possibilité de conflit d’intérêt si ceux qui pour leur travail doivent prendre des risques de marché sont les mêmes personnes qui doivent contrôler et mesurer ces risques!

Ceci ne semble toutefois pas causer de problèmes aux grandes banques canadiennes puisque la plupart ont déjà leur service de gestion des risques indépendant.  Par exemple,  dans le rapport annuel de la CIBC (Canadian Imperial Bank of Commerce), on peut lire : « Un groupe indépendant de gestion du risque surveille tous les risques de marché associés aux portefeuilles de négociation ainsi que les risques de marché de nature structurelle inhérents au bilan ».  De plus,  la CIBC a mis au point Frontier, un système exclusif d’information de gestion du risque qui saisit et regroupe les données produites par les systèmes de négociation de Toronto, de New York, d’Europe et d’Asie.  Le contrôle centralisé des mesures de risque et l’accès à de grands volumes de données de gestion du risque permettent de gérer le risque de marché à l’échelle mondiale.  La centralisation de la fonction de calcul officiel du risque et le fait que le personnel de gestion du risque ait plus rapidement accès aux données facilitent grandement l’intégration des applications de soutien à la gestion du risque et permettent de surveiller et de gérer le risque en temps opportun.

À la Banque Royale, la division de gestion des risques est également indépendante des autres unités d’activités et elle est directement reliée au président et chef de la direction, ce qui en fait une division des plus importantes.

Les agences de réglementation exigent que des tests rigoureux, comme le back-testing et le stresstesting soient faits régulièrement afin de vérifier la validité et la stabilité du modèle interne à travers diverses conditions et crises du marché.  Ces tests continus sont obligatoires car la VaR est une mesure statistique locale et surtout très volatile.

Le back-testing est un test qui compare la valeur générée par le modèle de VaR d’un jour à deux autres mesures :

• les profits et pertes d’une journée; si le modèle est efficace et le marché est stable, alors la valeur absolue du montant observé ne devrait pas être supérieure à la VaR plus de 2.5 fois sur 250 jours (ce qui correspond à un degré de confiance de 99%).
• Un montant théorique de profits et pertes qui aurait été obtenu réellement si toutes les positions étaient restées inchangées depuis la journée précédente (aucun ajustement); encore une fois, la valeur calculée ne peut dépasser la VaR plus de 2.5 fois sur 250 jours.

Le stress testing consiste à vérifier la robustesse et la stabilité des paramètres utilisés pour le calcul de la VaR.  Pour ce faire, on surveille comment la mesure varie suite à différents scénarios extrêmes comme ceux en cas de crise de marché ou de crise politique.

Ces tests doivent être effectués régulièrement (au moins trimestriellement pour le back-testing) et la banque doit rapporter au Bureau du surintendant des institutions financières le nombre de fois que les pertes réelles excèdent la VaR quotidienne calculée.  Si ce nombre dépasse  les limites permises, des pénalités peuvent être appliquées et le multiplicateur peut monter jusqu’à quatre.

Les agences de réglementation demandent à ce que les modèles ne soient pas uniquement utilisés pour le calcul du capital requis mais également à ce qu’ils soient complètement intégrés dans la gestion quotidienne de l’institution financière.  Les rapports préparés quotidiennement par le département de gestion des risques doivent être révisés par des gestionnaires capables d’appliquer des mesures disciplinaires ou restrictives en cas de nécessité, par exemple si la situation de la banque devient trop risquée.  De plus, des limites de négociation doivent être reliées aux mesures de valeur à risque calculées.

Par exemple, le département de gestion des risques de la Banque Royale a établit des politiques et des limites à l’intérieur desquelles le risque de marché peut être adéquatement surveillé et surtout contrôlé.

La valeur à risque doit être calculée quotidiennement mais l’horizon de la VaR doit être de 10 jours ouvrables ou de 2 semaines (durant la phase initiale, il est permis d’utiliser la VaR quotidienne et de la multiplier par 3.16 pour estimer la VaR sur 10 jours).  L’horizon est la période de temps utilisée pour l’échantillon des variables. 

Le degré de confiance utilisé dans les calculs doit être de 99%.  Ce niveau peut sembler élevé à première vue mais il est important de se rappeler que beaucoup d’hypothèses doivent être faites pour calculer la VaR, ce qui augmente l’incertitude. 

Les corrélations entre les différentes catégories de risque peuvent être utilisées mais elles doivent être estimées selon des données historiques avec une banque d’observations d’au moins 250 jours.

Les paramètres doivent être mis à jour trimestriellement ou plus fréquemment si les conditions du marché l’exigent.  L’agence de réglementation peut également exiger le calcul de la VaR sur une période de temps plus courte si la volatilité des prix le justifie.

Le capital requis pour le risque de marché est déterminé par la valeur la plus élevée entre la VaR de la journée précédente et la VaR moyenne des 60 derniers jours, chacune étant multipliée par un facteur de 3  au Canada.  Ce multiplicateur est une forme d’assurance contre les lacunes des modèles internes et peut être haussé jusqu’à 4 par l’agence de réglementation si le modèle ne répond pas aux exigences des tests.

Le modèle interne ne devrait pas uniquement traiter des risques linéaires, mieux connus sous le nom de risques delta, mais également des risques non-linéaires tels que le risque de convexité (gamma) et le risque de volatilité (vega) imbriqués dans les options.

Les agences de réglementation se réservent le droit en tout temps de refuser un système interne servant à des fins de capitalisation et peuvent insister à ce que les banques fassent passer une série de tests et une période de surveillance à leur modèle avant que celui-ci ne soit accepté.

La valeur à risque calcule, par exemple, le montant maximum qu’une entreprise peut perdre durant le prochain mois à un degré de confiance de 95%.

Par exemple, si l’horizon de temps désiré est de 1 jour et que le niveau de confiance est de 97.5%, alors une VaR égale à 1,000,000$ pour un portefeuille implique que la probabilité que ce portefeuille subisse une perte quotidienne supérieure à 1 million est moins de 2.5%.  En d’autres termes, le portefeuille n’a qu’une chance de subir une perte supérieure à $1 million  durant seulement 1 journée sur 40. 

La principale utilité de la VaR est de donner une information synthèse (1 chiffre) sur le risque d’une organisation, d’un portefeuille ou d’un titre.  Cette information est généralement divulguée aux hauts dirigeants de l’institution.  Certains gestionnaires veulent connaître la VaR de leur entreprise à 16H30 chaque après-midi, alors que d’autres désirent en prendre connaissance le vendredi avant la fermeture.  Finalement, certaines agences de réglementation, dont le Bureau du surintendant des institutions financières au Canada, demandent aux banques de leur transmettre leur calcul de la valeur à risque à toutes les deux semaines ou à chaque 10 jours ouvrables.

La VaR contient une mesure de risque comprise dans l’écart type (sigma) qui contient une dimension temporelle et tient compte de l’opinion du gestionnaire à travers un degré de confiance (alpha).  Plus cette opinion sera conservatrice, plus le degré de confiance sera élevé et plus la VaR sera élevée.  

Selon les problèmes auxquels font face les gestionnaires de la firme, la valeur à risque peut être calculée pour différents horizons de risque (ex : une journée, une semaine, un mois, un trimestre, etc.) et niveaux de tolérance (ex : 2.5%, 5%, 10% ou 15%).  Le choix de l’horizon de temps devrait normalement correspondre aux intervalles d’évaluation de la performance de l’entreprise ou aux périodes de décisions relatives à la gestion des risques.  Quant au niveau de tolérance, il devrait dépendre de plusieurs facteurs, comme le niveau d’aversion au risque des gestionnaires, la tolérance du conseil d’administration d’une institution face à une probabilité faible d’avoir des pertes extrêmes versus  une probabilité élevée de pertes modestes, la réserve en capital de la banque, le niveau d’expérience des gestionnaires et des employés et bien entendu la stratégie d’investissement de l’institution.

En général, si on utilise l’écart type ou la variance comme mesure du risque et si l’on veut que cette mesure de risque soit pertinente pour tous les décideurs, quelle que soit leur fonction d’utilité, seule la distribution normale permet de le faire puisque toute l’information sur tous les moments de la distribution est contenue dans la moyenne et dans la variance.  La distribution normale ne possède aucun moment d’ordre 3 (skewness), soit un coefficient d’asymétrie, et un moment d’ordre 4 (kurtosis), qui est le coefficient d’aplatissement de la courbe, égal à 3.

La distribution normale est donc très restrictive et il est facile de voir qu’elle ne satisfait pas à toutes les banques de données.  Par contre, en général, pour les risques de marché et pour les portefeuilles bien diversifiés, on peut vérifier que les rendements suivent une loi normale (à la limite on ne rejette pas la loi normale).  Cependant, comme nous le verrons plus loin, pour le risque de crédit, les distributions sont non symétriques avec des étalements beaucoup plus grands vers la gauche que vers la droite.  Nous verrons donc dans le prochain chapitre comment la VaR doit être ajustée.

Pour un horizon donné et pour un niveau de tolérance prédéterminé, le calcul de la VaR est relativement simple si on connaît la véritable distribution du taux de rendement de l’instrument ou du portefeuille en question.  Dans ce cas, si le niveau de tolérance choisi est x%, alors cela défini un taux de rendement critique pour lequel l’aire sous la queue gauche de la courbe de distribution est égale à x%.  Ce taux de rendement critique est le pire scénario possible suggéré par le niveau de tolérance et l’horizon choisis. 

Par conséquent, la VaR correspondant à ces paramètres est donnée par :

VaR(x%, h) = -r(x%, h)V₀

Où h est le nombre de périodes dans l’horizon et V₀ est la valeur initiale du portefeuille.

Afin de bien comprendre comment se calcule une valeur à risque, il est important de comprendre comment se détermine les probabilités dans les fonctions de distribution :

Soit R, les revenus, et f(R) la fonction de densité de la loi de distribution (des revenus).  On peut définir la probabilité que R soit inférieur à un R* donné, où R* est défini par le degré de confiance (1- c) choisi.  Cette probabilité est égale à :

Prob ( R < R* ) = ?^R*f(R)dR = c

Où c = probabilité que la perte soit inférieure à R*

Si on choisit un degré de confiance de 95%, alors il y a une probabilité de 5% d’avoir une perte plus grande que R* ou une probabilité de 95% d’avoir des revenus supérieurs à R*.  On peut également dire que la surface à gauche de R* correspond à 5% ; 5% des observations sont à gauche de R* et 95% des observations sont à droite de R*.

Graphique 3.1 – Distribution de données pour la VaR

                                     R*  

                            5%                    95%

Afin de calculer la VaR, il est indispensable de poser une hypothèse sur la distribution de R.  Si l’on suppose que R est distribué selon une loi normale N (?, ?), alors la table de la loi normale centrée réduite donne directement la valeur de la variable limite (Z*) associée à un degré de confiance donné.

Par exemple, si le degré de confiance est de 95% :

Z* = -1.65

Où

Prob ( Z < Z* ) = 0.05

Il est donc avantageux de transformer R pour obtenir Z où :

Z = R – ? / ?

Par conséquent :

Prob ( R < R* ) = Prob ( Z < Z* ) = 0.05

                         = Prob ( Z < R* - ? / ? ) = 0.05

                         = Prob ( Z < -1.65) = 0.05

Donc, par définition : R* - ? / ? = -1.65

VaR absolue = -R*

VaR relative = -R* + ?

Il est important de noter que le degré de confiance permet de fixer R*.  De plus, si on rejette la loi normale, c’est-à-dire que la distribution n’est pas symétrique, alors il faut prendre une autre paramétrisation et on ne peut pas utiliser ? ni ?.

Toutefois, comme il l’a été mentionné plus haut, la véritable distribution du taux de rendement est rarement, sinon jamais, connue.  Par conséquent, le calcul de la VaR doit dépendre d’une estimation de la distribution de probabilité pour laquelle il existe trois approches différentes : la simulation historique (ou méthode numérique), l’estimation de la moyenne et de la variance du portefeuille, et la simulation de Monte Carlo.

Cette méthode consiste à utiliser directement l’histogramme des revenus (ou d’une autre variable désirée) sur une période de temps.  Puisqu’il est alors possible d’observer une moyenne et une dispersion, on se retrouve donc avec une certaine distribution des taux de rendement passés.  On peut donc simuler la distribution des rendements futurs en faisant l’hypothèse que le passé est garant de l’avenir, c’est-à-dire que la tendance et le comportement des volatilités et des corrélations entre les rendements seront répétés dans l’avenir.  En d’autres termes, la distribution de l’échantillon passé est simplement prise comme une estimation de la distribution de probabilité

future.

Si l’on regarde le graphique 3.3, on voit la distribution discrète des rendements passés prise sur un horizon de h périodes.  La VaR de ce portefeuille déduite à partir de cet histogramme est simplement déterminée en trouvant le taux de rendement critique qui fait que x% des rendements de la distribution sont inférieurs à ce taux.  Par exemple,  au point R sur le graphique, on a calculé que l’aire à gauche du point R représente x% de la fréquence cumulative.  La VaR est alors estimée en multipliant la valeur absolue de ce taux de rendement par la valeur initiale du portefeuille.

Graphique 3.3 – Distribution discrète

                                   R

                  X%       

Une autre façon de mesurer la VaR en utilisation une simulation historique est de calculer la VaR dans le temps sans modification du portefeuille.  On prend, par exemple, le portefeuille d’investissement de l’année en cours et on l’applique aux données du marché de l’année précédente sans apporter aucun changement dans les poids investis dans chacun des titres ou dans la composition du portefeuille.  On observe alors ce qui serait arrivé à ce portefeuille dans différentes conditions de marché.

Une hypothèse qu’il est possible de poser afin de résoudre le problème du calcul de la valeur à risque est celle de la normalité des rendements.  En faisant cette supposition, on simplifie grandement la tâche de l’estimation des paramètres de la distribution puisque cette loi de probabilité est symétrique et par conséquent la moyenne et la variance sont suffisantes à l’explication complète de la distribution.

Il suffit ensuite de faire le raisonnement suivant : si les taux de rendement des différents titres ou instruments financiers formant le portefeuille de la banque sont normalement distribués, alors le taux de rendement du portefeuille sera lui-même distribué normalement.  Et si le rendement du portefeuille suit une distribution normale, alors la moyenne et la variance des rendements expliquent donc complètement la distribution.  Dans ce cas, l’estimation de ces deux paramètres (la moyenne et la variance) est suffisante au calcul de la VaR

Cette méthode est utilisée seulement s’il est possible d’estimer les paramètres de la distribution des revenus. Le modèle de VaR paramétrique le plus populaire actuellement sur le marché est celui de la firme J.P. Morgan intitulé RiskMetrics.

Si on choisit un degré de confiance de 95% pour calculer la valeur à risque, cela implique que celle-ci va couvrir 95% des valeurs potentielles de la distribution.  Plus simplement, la probabilité de dépasser la perte maximale calculée est de 5%, ou l’entreprise a 5 chances sur 100 (1 chance sur 20) d’excéder la perte maximale espérée durant les 100 prochains jours (si la distribution demeure stable).

La VaR absolue correspond à la perte maximale par rapport à zéro.  Si la perte voulue est la perte maximale par rapport à l’espérance mathématique des revenus, la VaR est égale à l’addition de la VaR absolue à l’espérance des revenus.

La VaR pour un actif ou un portefeuille d’actifs est déterminée en faisant le produit de trois facteurs :

• la valeur au marché de la position;
• la sensibilité du prix de l’actif au mouvement du marché;
• la taille du mouvement de marché défavorable.

La valeur au marché de la position est généralement facile à obtenir.  La sensibilité du prix d’un actif au mouvement du marché dépend de la nature de l’actif.  Par exemple, pour un titre de dette comme une obligation c’est sa durée modifiée, pour un portefeuille diversifié d’actions c’est son coefficient bêta, alors que pour une position en devises on utiliserait l’unité par rapport au taux de change.  Finalement, en ce qui concerne la taille d’un mouvement du marché défavorable, on suppose habituellement que les variations d’un indice boursier, du taux d’intérêt ou d’un taux de change sont normalement distribuées puis on identifie le plus grand niveau de risque que l’institution est prête à assumer et qui correspond au niveau de tolérance.  On utilise alors la distribution normale pour déterminer le nombre d’écart type nécessaire pour obtenir la probabilité en question en se référant à des tables statistiques.  Enfin, on calcule le mouvement adverse du marché comme étant l’écart type de la distribution des fluctuations quotidiennes multiplié par le nombre d’écart type nécessaire.

VaR = ???t

Où ? = poids associé au degré de confiance (voir table de distribution);

     ? = écart type de la distribution;

     T = facteur d’ajustement des données d’un horizon temporel à un autre.

Exemple 3.4

L’institution financière AFG possède une position de $1 million en obligations à coupon zéro ayant une maturité de 9 ans et une valeur de 2,039,949$.  Le taux de rendement actuel sur ces titres est de 9.145% par année.  Le gestionnaire de l’institution désire connaître l’exposition potentielle de la banque en cas d’un mouvement adverse du marché.

Exposition : $1 million

Le montant de la perte dépend de la volatilité de l’obligation au taux d’intérêt que nous pouvons déterminer à l’aide de la durée :

Volatilité quotidienne  = - durée modifiée * mouvement adverse des taux

Durée modifiée de l’obligation = D / (1+R) = 9 / 1.09145 = 8.2459

Si on veut la variation maximale du taux d’intérêt pour laquelle la probabilité d’avoir un changement supérieur est de 5%, on doit faire les calculs de manière à ce qu’il y ait une chance sur 20 que le changement de taux de la journée suivante excédera cette variation maximale.  Grâce aux statistiques, on sait que 90% de l’espace sous une distribution normale est située à plus ou moins 1.65 écart type de la moyenne (±1.65?).  Afin de mieux se représenter ce schéma, voir le graphique 3.4.  

Graphique 3.4 – Distribution normale

?          ?

?

                                                 90%

L’espace restant représente donc 10% de l’aire totale et puisque la distribution normale est symétrique, on peut affirmer qu’il reste 5% dans chaque queue ou de chaque côté de la moyenne (voir graphique 3.5).

Graphique 3.5 – Aire dans les queues de la distribution normale

                           5%                                        5%              

Si l’on suppose que durant la dernière année la variation moyenne des taux quotidiens sur les obligations zéro-coupon de 9 ans était de 0% alors que l’écart type était de 10 points de base (ce qui fait que 1.65*? = 16.5 points de base), on peut alors calculer la volatilité potentielle de l’obligation :

 Volatilité = -8.2459 * 0.00165

                  = -1.36%

Par conséquent, la VaR est :

VaR = 1,000,000 * 1.36%

         = 13,600$

Ce montant (13,600$) n’est pas la perte maximale que pourrait engendrer l’obligation à chaque jour mais bien le montant de perte qui ne sera pas excédé 19 fois sur 20 si les taux d’intérêt se comportent comme l’année précédente.

Exemple 3.5

Si une institution financière canadienne a une position de 1,000,000$ en titres de dette canadiens ayant une durée modifiée de 2.0 années, si l’écart type des variations du taux d’intérêt pour 2 ans est de 0.003, et si elle désire un niveau de risque de 0.5% (nombre d’écart type par rapport à la  moyenne = 2.5758), alors sa valeur à risque sera obtenue de la façon suivante :

VaR = 1000000$ * 2 * (2.5758 * 0.003) = 15 454.80$

La VaR incrémentale permet de connaître l’ajout ou la soustraction de risque qui survient lorsqu’on rajoute (enlève) un certain titre au portefeuille en place.

La notion de VaR incrémentale ou IvaR (incremental VaR) est particulièrement pertinente puisqu’elle permet de :

• Identifier les sources de risque auxquelles l’investisseur fait face; ce qui permet d’avoir plus d’information pour gérer les positions prises sur chaque actif ;
• Avoir davantage d’information afin d’ajuster le rendement par rapport au risque encouru ;
• Déterminer l’impact d’une décision d’achat ou de vente d’actif sur la VaR du portefeuille.

La VaR incrémentale d’un actif X est égale à la VaR du portefeuille calculée avec la position considérée dans l’actif X moins la VaR du portefeuille calculée sans la position considérée dans l’actif X.

Par exemple, si le gestionnaire envisage d’acheter l’actif X, alors :

IvaR = (VaR du portefeuille comprenant l’actif X) – (VaR du portefeuille sans l’actif X)

Cela nous donne la VaR incrémentale de l’actif X ou, en d’autres mots, l’impact de l’ajout du titre X sur le portefeuille.

Si, par contre, le gestionnaire envisage de vendre l’actif X, alors :

IvaR = (VaR du portefeuille sans l’actif X) – (VaR du portefeuille comprenant l’actif X)

En résumé, pour trouver la VaR incrémentale, on soustrait la VaR du portefeuille initial de la VaR du portefeuille avec le changement considéré :

IvaR = VaR du portefeuille avec changement – VaR du portefeuille initial

Généralement, la VaR incrémentale entraîne des calculs relativement longs si le nombre d’actifs est élevé.  Afin de remédier à ce problème, on peut avoir recours à une approximation pour le calcul de la VaR incrémentale.

IvaR de l’actif X = x * ?_X, _P * VaR du portefeuille initial

Où x est la position de l’actif X par rapport au portefeuille initial, et ?_X,_P est le bêta de X tel que donné par le CAPM (Capital Asset Pricing Model).

Il est important de noter que, contrairement à la VaR absolue ou à la VaR relative, la VaR incrémentale peut être négative, ce qui signifie que le titre contribue négativement au risque du portefeuille initial ; il s’agit donc plutôt d’une couverture.

Exemple 3.6

Un gestionnaire possède un portefeuille d’une valeur de 110,000$ et dont la VaR est de 74,000$.  Il considère l’achat du titre ABC qui offre un rendement de 11% en lui allouant une somme de 20,000$.  Le rendement du marché est de 10% et le rendement d’un titre sans risque est de 6%.  Calculez la VaR incrémentale du titre ABC.

On commence d’abord par calculer le bêta du titre ABC :

E(R_i) = r_f + ?_i * (E(Rm) – r_f)

11% = 6% + ?_i * 4%

?_i = (0.11 – 0.06) / 0.04

?_i = 1.25

IvaR de ABC = (20,000 / 110,000) * 1.25 * 74,000

IvaR de ABC = 0.1818 * 1.25 * 74,000

IvaR de ABC = 16,818.18$

Si le gestionnaire décidait d’investir 20,000$ dans le titre ABC, il devrait s’attendre à une hausse de la VaR de son portefeuille de 16,818.18$. 

Exemple 3.7

En reprenant les données initiales de l’exemple 3.6, supposons maintenant que le gestionnaire décide d’investir dans un actif sans risque ayant un rendement de 6%.  Calculez la IvaR associée à cet actif si nous supposons un investissement de 10,000$ dans l’actif sans risque.

0.06 = 0.06 + ?_i * 0.04

?_i = (0.06 – 0.06) / 0.04

?_i = 0

Le bêta de cet actif est de zéro car c’est un actif sans risque ; il ne varie pas avec le marché.  Par conséquent, la IvaR de cet actif est égale à :

IvaR = (10,000 / 110,000) * 0 * 74,000

IvaR = 0

L’investissement dans l’actif sans risque n’a aucun effet sur la VaR du portefeuille.  Ce résultat est tout à fait prévisible puisque l’actif sans risque a une variance nulle.

Le problème quand on dispose de plusieurs portefeuilles, comme dans le cas d’une grande banque, est d’agréger les mesures.  Malheureusement, une VaR agrégée n’est pas la moyenne pondérée ni la somme de toutes les VaR des différents portefeuilles.

Pour obtenir la valeur à risque d’un portefeuille comprenant divers types d’actifs, on doit tenir compte des corrélations entre les mouvements des différents marchés.  La VaR est calculée en prenant la racine carrée de la somme des VaR au carré en additionnant tous les termes mixtes de la forme 2r_ijVaR_iVaR_j, où r_ij est la corrélation entre les marchés i et j et VaR_k est la VaR dans le marché k. 

Afin de bien voir l’effet des corrélations, voici deux exemples reliés :

Exemple 3.8

Supposons une entreprise américaine qui détient une position de $140 millions de dollars canadiens (CAD).  Quelle est la VaR sur 1 jour si l’on veut une probabilité de 5% d’obtenir une perte supérieure à la VaR?  On suppose un écart type quotidien du taux de change de 0.389%.

Exposition :  l’exposition correspond à la valeur marchande dans la devise de la firme.  Donc, si le taux de change est de 1.40 CAD/USD, alors la valeur marchande de la position est de 140,000,000 * 1/1.4 = 100,000,000 USD (dollars américains).

Risque :  1.65 * 0.389% = 0.642% ; ce qui veut dire que le taux de change ne devrait pas varier de plus de 0.642% dans 95% des cas.

Donc, VaR = 100,000,000$ * 0.642% = 641,850$

Exemple 3.9

Supposons qu’une entreprise américaine ait une position longue de $140 millions dans une obligation d’une durée modifiée de 2 ans du gouvernement canadien.  Quelle est la VaR sur une période de 1 jour si l’on veut une probabilité de 5% de sous-estimer la perte ?  On suppose un écart type de variation du taux de change de 0.389% et un écart type pour les variations du taux d’intérêt de 0.556%

Exposition :  la différence avec l’exemple précédent est que l’entreprise est maintenant en présence de deux types de risque de marché, soit le risque que la valeur de l’obligation varie en fonction du taux d’intérêt en cours en plus du taux de change en vigueur entre les États-Unis et le Canada.  L’exposition est de $100 millions quand même, mais tient maintenant compte de deux facteurs de risque.

Risque :  Risque de taux d’intérêt = 100,000,000$ * 2 * 1.65 * 0.556% = 1,834,800$

               Risque de taux de change = 100,000,000$ * 1.65 * 0.389% = 641,850$

Cependant, la VaR totale de l’obligation n’est pas simplement la somme des deux VaR à cause de la corrélation existante entre les deux marchés.  Si on estime que la corrélation entre le taux de change et la valeur de l’obligation est de –0.27, alors la VaR agrégée est :

VaR = racine ((1.8348)² + (0.64185)² + (2 * -0.27 * 1.8348 * 0.64185))

        = 1,772,700 USD

Si l’on connaît le processus stochastique que suit le rendement d’un instrument financier ou d’un portefeuille de titres, alors la distribution des rendements futurs peut être estimée à l’aide d’une simulation de Monte Carlo.

Par exemple, en ce qui concerne les prix des actions, les chercheurs ont pu démontrer qu’ils suivent généralement un mouvement Brownien géométrique.  Si on a une estimation des  mouvements, des volatilités ainsi que des corrélations pour un échantillon d’actions, la distribution du taux de rendement du portefeuille composé de ces actions peut être trouvé grâce à la technique de Monte Carlo. 

Les changements de prix des actions sur une période prédéfinie sont générés aléatoirement selon le mouvement stochastique choisi et selon les paramètres (volatilité, corrélations, etc.) estimés.  Chaque simulation génère un certain chiffre et il suffit alors de faire plusieurs simulations (par exemple 10 000) afin d’obtenir la distribution des rendements du portefeuille.  Avec la fonction de probabilité trouvée, il suffit donc de suivre le même procédé que pour la méthode numérique ci-dessus, c’est-à-dire définir un rendement critique pour lequel x% de la distribution est inférieure.

Pour calculer des VaR d’une période avec des données d’une autre période, il est nécessaire d’ajuster les données. 

Afin de modifier les données, on utilise habituellement le terme racine delta t.  Il y a cependant deux hypothèses peu réalistes à faire si on veut utiliser cette méthode :

1. On doit faire l’hypothèse que les observations ne sont pas corrélées entre les périodes ou que la variable aléatoire est identiquement distribuée dans le temps.  Cela implique que si les données sont sur 2 périodes de 6 mois, par exemple, il est possible de calculer la moyenne annuelle comme étant égale à E(x) = E(x₁) + E(x₂) et la variance comme étant Var(x) = var(x₁) + var(x₂) + 2cov(x₁, x₂), où cov(x₁, x₂) = 0 par hypothèse et où x = x₁ + x₂.

2. On doit faire l’hypothèse que les x_i ont la même distribution d’une période à une autre et qu’ils ont tous les mêmes paramètres.  Cela implique que l’espérance mathématique sur chaque semestre est égale.  Il est alors possible d’écrire Var(x) = 2var(x_i) et E(x) = 2E(x_i).

Par conséquent :

?(x) = ?t*?(x_i) = ?2*?(x_i)

et inversement :

?(x_i) = ?(x)*?1/2

Exemple 3.10

Si les données disponibles sont mensuelles et que l’entreprise désire une VaR annuelle, l’équation est :

VaR = ? * ? * ?12

Exemple 3.11

Sachant qu’un investisseur possède une richesse initiale de 10,000$, calculez la VaR absolue et la VaR par rapport à la moyenne pour ce portefeuille pour un degré de confiance de 95% et 99%.  L’espérance de rendement du portefeuille est de 12.871% et la variance est de 9.237%.  Interprétez vos résultats.

VaR absolue : -W * R_p*

Où R_p* = E(R_p) + ?*?_p  et W = richesse initiale

Où ? est le coefficient relatif au niveau de confiance retenu.

VaR relative : -R_p* * W + E(R_p) * W = - ?*?_p* W

Donc, pour un intervalle de confiance de 95% :

R_p* = 12.871% - 1.65 * ? 9.273% = -0.3729

VaR absolue = -10000 * -0.3729 = 3728.90$

VaR relative = 3728.9 + 12.871% * 10000 = 5016$

Dans ce cas, l’investisseur serait susceptible d’accuser une perte inférieure à 37283.90$ dans 95% des cas.  Cette valeur correspond au revenu qui permet de délimiter la partie extrême gauche de la distribution des rendements, c’est-à-dire le centile des revenus les moins élevés.

La valeur de 5016$ de la VaR relative indique que le montant que l’investisseur serait susceptible de perdre par rapport à la valeur en fin de période de son portefeuille compte tenu du rendement de ce dernier serait de 5016$.

Et, de la même manière pour un intervalle de confiance de 99%  (dans ce cas, alpha devient

–2.33) :

R_p* = -0.5796

VaR absolue = 5796.1$

VaR relative = 7083.2$

Il est important de remarquer que pour un niveau de confiance de 99%, les valeurs de la VaR absolue et relative sont plus élevées car, avec un tel seuil de confiance, il existe 1% de probabilité que la perte de l’investisseur soit supérieure à 5796.14$ par rapport à une probabilité de 5% que la perte soit supérieure à 3728.9$ si le seuil est de 95%.  Par conséquent, plus le seuil de confiance est élevé, moins on a de chances de se tromper et donc plus la VaR est élevée (plus la valeur est élevée, moins il y  de chance qu’un chiffre soit supérieur).

Si la variance du portefeuille venait à changer, on remarquera alors une augmentation de la VaR (absolue et relative).

La mesure de la valeur à risque a plusieurs utilités :

• Elle sert de moyen de communication entre le département de gestion des risques et les hauts dirigeants qui n’ont souvent pas de connaissance en la matière.  Puisque la VaR est constituée d’un seul chiffre facile à expliquer et à comprendre, il est beaucoup plus aisé d’en faire part à la direction.
• La VaR peut servir à instaurer des limites aux positions prises par les négociants et aider aux décisions d’allocation du capital.    En effet, un des principaux avantages de la VaR est qu’elle fournit un dénominateur commun afin de comparer des activités d’investissement risquées dans différents marchés ; les gestionnaires sont alors en mesure d’identifier celles étant les plus avantageuses et qui encourent le moins de risque.  De plus, à l’aide de la VaR incrémentale (voir exemple ), il est possible d’observer la contribution de différents titres ou projets à la VaR totale de la compagnie et vérifier si l’addition ou la soustraction d’un certain niveau de risque est souhaité.
• La VaR sert également à évaluer la performance des gestionnaires en tenant compte du risque.  Cette application de la VaR est particulièrement importante chez les négociants qui ont tendance à accroître leur niveau de risque afin d’obtenir un rendement plus élevé et donc un meilleur bonus.  Grâce à la VaR, on peut vérifier quels négociants ont obtenu le meilleur rendement sans augmenter inutilement le risque encouru.
• La VaR aide grandement les agences de réglementation à surveiller le niveau de risque des institutions financières.  La VaR fournit une mesure plus adéquate du risque encouru que la méthode standard de la BRI et est donc plus appropriée pour émettre des exigences en capital requis.
• La VaR est indispensable pour les institutions financières qui ont un portefeuille particulièrement risqué et qui utilisent abondamment les produits dérivés afin de se couvrir ou spéculer.  Sans une mesure leur indiquant leur niveau véritable de risque, la probabilité de faillite ou de pertes énormes est relativement élevée.

Finalement, l’avantage primaire de la VaR est probablement le fait qu’elle impose une méthodologie structurée pour tenir compte du risque.  Toutes les entreprises, financières ou non, qui ont un processus de calcul de la VaR sont contraintes à considérer leur niveau de risque.  Sans un certain chiffre leur indiquant quelle est leur exposition, plusieurs institutions fermeraient les yeux ou ne se rendraient pas compte de leur véritable niveau de risque.  De plus, le calcul en lui-même de la VaR oblige les compagnies à avoir une division distincte entièrement consacrée à la gestion des risques, ce qui comporte plusieurs bénéfices.  Plusieurs théoriciens et praticiens affirment même que le processus pour obtenir la VaR est plus important que le chiffre comme tel.

Malgré le fait que le calcul d’une valeur à risque semble faire l’unanimité au sein des institutions financières, du moins pour l’instant, il faut être conscient de certaines lacunes que comporte cette mesure.

Premièrement, cette mesure est concentrée sur la minimisation de la variance, ce qui est contradictoire avec les objectifs de minimisation des risques de pertes ou downside risk, qui est la partie gauche de la distribution.   En effet, le risque ne survient que si le marché va à l’encontre des prédictions de l’investisseur.  On ne peut donc pas dire que les variations dans les deux sens apportent du risque au gestionnaire ; seulement celles dans la direction opposée à sa stratégie.

De plus, puisque habituellement on utilise une estimation de la variance, le chiffre est très approximatif, ce qui donne par conséquent une VaR approximative. Cette situation devient pire pour chaque paramètre qui est estimé. Ensuite, puisqu’on fait habituellement l’hypothèse que la variance est identique à gauche et à droite de la distribution, celle-ci peut être complètement erronée s’il y a asymétrie dans la distribution. 

Finalement, ce qui est primordial de se rappeler est que bien que la VaR soit une mesure qui comporte bien des avantages par rapport aux mesures concurrentes, aucune mesure à elle seule ne peut rendre compte de tous les risques financiers ni remplacer le jugement professionnel dans la gestion de ces risques.  En effet, la VaR, telle qu’utilisée, impose une contrainte (quelque peu arbitraire car elle dépend des hypothèses de distribution et du niveau de confiance) sans indiquer une stratégie de gestion de portefeuille ; elle ne consiste donc pas en une solution complète de gestion.

Une autre critique de la valeur à risque est qu’il est primordial de distinguer son emploi pour les institutions financières des autres types d’entreprises.  En effet, la période de temps qui intéresse les gestionnaires dans les deux cas est très différente.  Pour le secteur manufacturier par exemple, ce qui préoccupe les dirigeants est la probabilité de faillite à long terme alors que pour les institutions financières, la réglementation exige le calcul d’une valeur à risque à très court terme et à intervalles réguliers. 

À cause des divers paramètres entrant dans le calcul de la valeur à risque, on constate que cette mesure est beaucoup plus appropriée pour calculer des valeurs quotidiennes ou hebdomadaires car il y a des problèmes statistiques importants si on essaie de transformer une valeur quotidienne en valeur annuelle.  En effet, la fiabilité statistique d’une telle procédure est assez faible et, de plus, les conditions économiques ont amplement le temps de varier durant une période de un an, ce qui réduit considérablement l’efficacité de la VaR.  Et pour ceux qui croient que l’entreprise n’a qu’à prendre des données déjà annualisées (au lieu de transformer des données mensuelles ou hebdomadaires), il ne s’agit alors que de trouver une firme ayant au moins 200 années de données!  Techniquement, la plupart des entreprises n’ont évidemment pas assez d’observations annuelles pour avoir de bonnes approximations statistiques de leurs distributions de rendements.

Finalement, une faiblesse importante de la VaR, si on utilise une méthode paramétrique, est le fait que sa performance repose sur une hypothèse de normalité des rendements ; une hypothèse très restrictive pour plusieurs portefeuilles.  En général, les queues des distributions sont plus épaisses que celles d’une distribution normale.  Ceci suggère donc une approche par sensibilité en utilisant des simulations de Monte Carlo qui sont plus complexes.

Une fois que le gestionnaire de l’institution financière dispose d’une certaine mesure du risque de marché dont doit faire face l’entreprise, il peut alors l’utiliser à la gestion de ce risque.

En effet, la mesure offre au gestionnaire de l’information sur l’exposition au risque prise par les négociants et leur permet de comparer cette exposition aux ressources en capital de l’institution financière. 

Le gestionnaire peut ensuite instaurer des limites ou barrières de négociation qui minimisent soit le risque, soit la valeur des positions pour une région géographique ou une industrie par exemple. 

La mesure de risque de marché permet également au gestionnaire d’allouer les ressourcesfinancières (en particulier le capital) ou physiques disponibles de manière optimale.  En comparant le rendement et le risque de différents secteurs d’investissement, il est possible d’identifier ceux ayant le potentiel de rendement le plus élevé par unité de risque et davantage de capital leur sera consacré.  

Par la suite, la mesure sert à évaluer la performance des gestionnaires de portefeuille et peut permettre un système de bonification plus réaliste.  Par exemple, sans tenir compte du risque de chaque portefeuille, le rendement comme tel ne veut pas dire beaucoup et pourrait être extrêmement élevé si le gestionnaire a pris de gros risques.  En considérant également le risque du portefeuille, il est possible de déterminer les gestionnaires qui ont été capable d’avoir des rendements intéressant sans augmenter leur risque.  

Finalement, la mesure de risque de marché aide à se conformer à la réglementation.  Depuis le 1^er janvier 1998, le Bureau du surintendant des institutions financières exige que les banques sous sa juridiction implantent l’amendement de la BRI à l’accord de Basle qui incorpore les risques de marché.  Le montant de capital que chaque banque est tenu de garder en réserve doit être déterminé avec un modèle de mesure du risque de marché.  Une dernière raison non officielle de la nécessité de mesurer le risque de marché pour une banque est afin de rester compétitive vis-à-vis ses concurrentes. 

La gestion des risques doit être plus générale que la simple minimisation de la variance telle que suggérée par la VaR.  Le but ultime doit être l’élimination des risques de faillite ou de défaut et une santé financière qui permettra de réaliser à des coûts raisonnables les projets d’investissements planifiés.

Exemple 1

Calculez la valeur à risque pour un horizon de 1 jour à un niveau de confiance de 5% d’un investissement de 500,000$ dans une action.L’écart type des rendements quotidiens de cette action est de 1%/jour, son coefficient bêta est de 1.3 par rapport à l’indice du TSE 300 et l’écart type de cet indice est de 0.5% par jour.

La valeur critique associée à un niveau de confiance de 5% est 1.65.

Méthode directe

VaR = 500,000$ * 1% * 1.65 = 8,250$

Méthode indirecte

VaR = 500,000$ * 1.3 * 0.5% * 1.65 = 5,362.50$

Exemple 2

On peut calculer la valeur à risque d’un investissement en utilisant la méthode directe ou la méthode indirecte.Quand est-il plus approprié d’utiliser une méthode plutôt que l’autre pour calculer la valeur à risque?

Il est plus approprié d’utiliser la méthode indirecte lorsqu’on doit calculer la valeur à risque d’un portefeuille bien diversifié.  En effet, le risque d’un tel portefeuille s’apparente davantage à celui du marché qu’à celui d’un titre individuel.

Exemple 3

Vous investissez $1 million de dollars dans chacun des trois titres suivants :

a)Calculez la valeur à risque d’un investissement individuel dans chacun des trois titres si le facteur de risque est 2.32634193.

Titre 1 : 1,000,000 * 2.32634193 * 0.02201964 = 51,225$

Titre 2 : 1,000,000 * 2.32634193 * 0.01606801 = 37,380$

Titre 3 : 1,000,000 * 2.32634193 * 0.01458392 = 33,927$

b)Calculez la valeur à risque pour un portefeuille contenant les trois titresen utilisant les corrélations suivantes entre les titres:

VaR du portefeuille :  (51,225² + 37,380² + 33,927² + 2*51,225*37380*0.17735938 +     

                                    2*51,225*33,927*0.13457646 + 2*37,380*33,927*-0.02736725)^0.5

VaR du portefeuille = 79,056$

c)Calculez la valeur à risque du portefeuille pour un horizon de 10 jours

VaR(10 jours) = 79,056*10^0.5

VaR(10 jours) = 249,998$

Exemple 4

a)Calculez la valeur à risque au seuil de 5% (facteur de 1.6449) pour un horizon de 9 jours d’un investissement de 1,000,000$ dans des actions ayant un coefficient de risque systématique de 0.75 par rapport à un indice de marché dont l’écart type des variations de valeurs quotidiennes est de 0.05.

VaR _{1 jour} = 1,000,000$ * 0.75 * 1.6449 * 0.05

VaR _{1 jour} = 61,683.75$

VaR _{9 jours} = 61,683.75 * ?9

VaR _{9 jours} = 185,051.25$

b)Identifiez deux hypothèses du calcul fait en a) qui peuvent être inexactes en pratique.

1.  La distribution des variations de prix doit être normale.

2.  Les variations quotidiennes ne doivent pas être corrélées.

c)Comment peut-on comparer la valeur à risque de deux banques différentes?Quels problèmes peut-on rencontrer?

Afin de comparer la valeur à risque de deux banques différentes, il serait bon de diviser la valeur obtenue par le capital de l’institution afin de tenir compte de sa taille.

Des problèmes de comparaison peuvent survenir si les deux banques utilisent des méthodologies différentes pour le calcul de leur VaR.

Une institution financière possède un inventaire de 40 MM de couronne danoise (DK) dont le taux de change actuel est de 5.00 DK/$.

a)Si l’institution financière désire limiter la valeur à risque à un niveau inférieur à 100,000$, quel doit être l’écart type quotidien maximal que l’institution financière peut supporter selon un intervalle de confiance de 99% (2.33 écart types)?

VaR = 100,000 = 40,000,000 * (1/5) * 2.33 * écart type

En isolant l’écart type, on trouve :

Écart type = 0.0054

b)Une autre institution possède des obligations à coupons détachés échéant dans 3 ans dont la valeur nominale est de 15,000,000$ et la valeur marchande est de 12,000,000$.Quelle est la durée modifiée de ces obligations?Si l’écart type quotidien de ces obligations est de 10 points de base, quelle est la valeur à risque de ces obligations selon un intervalle de confiance de 99% (2.33 écart types)?

Durée modifiée :

12,000,000 * (1+i)³ = 15,000,000

En isolant i on trouve :

i = 7.72%

Durée modifiée = 3 / (1.0772)

Durée modifiée = 2.7850

Valeur à risque :

VaR = 12,000,000 * 2.7850 * 0.001 * 2.33

VaR = 77,868.60

c)Si les deux institutions financières se fusionnaient, quelle serait la VaR globale de ces deux positions assumant une corrélation de 0.2 entre ces deux placements?(Supposez que la valeur à risque des devises est de 100,000$, soit le maximum toléré par la première institution financière).

VaR _A+B = (100,000² + 77,868.60² + 2*0.2*100,000*77,868.60)^1/2

VaR _A+B = 138,485.60

d)Quel est le bénéfice de diversification de la valeur à risque suite à cette fusion?

La VaR globale lorsque les deux institutions sont fusionnées est inférieure à la somme des valeurs à risque individuelles des banques.

VaR _A+B < VaR _A + VaR _B

Si la distribution des rendements est moins aplatie que la distribution normale, qu’arrive-t-il au calcul de la valeur à risque?

La valeur à risque calculée sur-estimera les pertes potentielles.

Quelles sont les deux principales faiblesses de la méthode de la Banque des Règlements Internationaux (BRI) dans l’évaluation du risque de marché?

1.  La méthode utilise des ratios arbitraires par catégorie d’actif

2.  La méthode ignore les corrélations entre les rendements des divers actifs constituant le portefeuille.

Basle Committe on Banking Supervision. 1996, Amendment to the Capital Accord to incoporate market risks, janvier 1996, modifié en septembre 1997, 56p.

DOWD, Kevin. 1998, Beyond Value At Risk; The New Science of Risk Management, John Wiley & Sons, 274p.

DUFFIE, Darrell, et Jun PAN.  1997, An Overview of Value At Risk, The Journal of Derivatives, printemps 1997, p. 7-49.

JORDAN, James V. et Robert J. MACKAY. 1997, Assessing Value at Risk for Equity Portfolios: Implementing Alternative Techniques, Derivatives Handbook, New York 1997, p. 265-309.

JORION, Philippe. 1997, Value at Risk; The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.  332p.

KHOURY, Nabil, et Pierre LAROCHE. 1996, Options et contrats à terme, Deuxième édition, Les Presses de l’Université Laval.

MARTEL, Jean-M. et Raymond Nadeau. 1988, Statistique en gestion et en économie, Édition revue et corrigée, gaëtan morin éditeur, 621p.

SAUNDERS, Anthony, et Hugh THOMAS. 1997, Financial Institutions Management, First Canadian Edition, The McGraw-Hill Companies, Inc. 711p.

Rapport annuel 1998, Banque Scotia, 102p.

Rapport annuel 1998, Groupe financier Banque Toronto-Dominion, 77p.

Rapport annuel 1998, Banque Nationale du Canada, 92p.

Rapport annuel 1998, Banque Canadienne Impériale de Commerce, 110p.

Rapport annuel 1998, Groupe financier banque Royale, 100p.

Rapport annuel 1998, Banque de Montréal,

Pendant anglais de la Banque du Canada.

3.16 = racine 10 (voir section suivante pour explications supplémentaires)

Il y a approximativement 250 jours ouvrables dans une année.

Ce facteur peut cependant augmenter si les pertes observées dépassent trop souvent celles prédites par le modèle.

Traduction libre du texte explicatif de la méthode RiskMetrics.

La durée d’une obligation zéro-coupon est égale à son échéance.

Si les actifs sont du même type, habituellement les corrélations ont été prises en compte lors de la détermination du portefeuille optimal.

Par rapport à la dispersion dans les deux queues.