La finance mathematique cours et exercices


Télécharger La finance mathematique cours et exercices

★★★★★★★★★★3.5 étoiles sur 5 basé sur 1 votes.
Votez ce document:

Télécharger aussi :


La finance mathématique cours et exercices

CHAPITRE I : Les intérêts Se reporter au poly. du cours.

Exemple A : Valeur acquise :

On place, le 9/10/00, un capital de 12500 F au taux annuel de 5% durant 3 mois.

Valeur acquise ?

Vo (capital) = 12500

Vn (valeur acquise) = Vo + I (intérêts)

Soit    Vn = 12500 + ((12500 x 5%) x 3/12)) on applique un prorata temporis, puisqu’il s’agit d’un taux annuel.

                   Vn = 12500 + 156.25 = 12656.25

Exercices : se reporter au poly. pour l’énoncé.

N° 1 Vo = 2000             I= 4.5% l’an

Calculer la valeur acquise Vn et les intérêts :

         a/  I = Vn x taux (1 an)

         2000 x 4.5% = 90 d’intérêt

         2000 + 90 = 2090 valeur acquise

         b/ I = Vn x taux x n (temps) 3 mois

         (2000 x  4.5%) x 3/12 = 22.5 d’intérêt

         2000 + 22.5 = 2022.5 valeur acquise

         c/ Placement du 1/06 au 20/08

         I = (2000 x 4.5%) x ((30-1)+31+20) / 360 = 20

         Vn = 2000 + 20 = 2020

Pour l’année on prend 360 jrs, mais on prend les mois avec le nombre réel de jours.

N° 2  Vo = 7645 taux annuel 8% du 17/03 au 05/09

         I = (7645 x 8%) x ((31-17)+30+31+30+31+31+5)/360

         I = 611.6 x (172/360) = 292.21

N° 3 intérêt calculé par quinzaine

         Vo = 9800 depot le 18/08          Vn au 27/12 ?

Les intérêt cours à partir du 1 septembre jusqu’au 15 décembre

Soit 7 quinzaines

Vn = 9800 + (9800 x 3.5% x(7/24))

Vn = 9800 +  100.04 = 9900.04

N° 4 Diverses opérations réalisées sur un Codevi.

(taux calculé à la quinzaine, cf n° 3)     

Calculer les intérêt acquis au 1 septembre.

 Méthodes possibles :

Par les soldes :

01/01/01 – 15/03/01       I = 10000 x 3.5% x (5/24) =     72.92 dépot 10000

16/03/01 – 15/05/01       I = 11000 x 3.5% x (4/24) =     64.17 depot   1000

16/05/01 – 30/06/01       I = 12000 x 3.5% x (3/24) =     52.50           dépot   1000

01/07/01 – 15/08/01       I = 11500 x 3.5% x (3/24) =     50.31 retrait    500

16/0801 – 31/08/01         I = 10700 x 3.5% x (1/24) =     15.60 retrait     800

                                                                                   ______

                                                                  total            255.50

Par les flux :

+ I1   = 10000 x 3.5% x 16/24  =       233.33

+ I2   = 1000 x 3.5% x 11/24    =       16.04

+ I3   = 1000 x 3.5% x 7/24     =       10.20

- I4    = 500 x 3.5% x 4/24       =       - 2.91         

- I5    = 800 x 3.5% x 1/24       =       - 1.16          Soit au total 255.5

N° 5 Jour de valeur

         a/ Valeur acquise au 27/11 d’un placement de 4832 F à 4.75% depuis le 3/06

         ((30-(3+2))+31+31+30+31+(27-1)) soit 174 jours

         Vn  = 4832 + (4832 x 4.75%) x 174/360 = 4832 +110.93 = 4942.93

         b/ Valeur nette sur le compte rémunéré

I1 = 4000 x 5% x ((31-(5+2)+28+31+30+31+30+31+31+(10-1))/360= 136.11

-I2 = 1000 x 5% x ((30-(20-1))+31+31+9)/360 = - 11.38

+I3 = 400 x 5% x (30-(8+2)+31+(27-1))/360 = 4.27

Total intérêt 136.11-11.38+4.27  = 129 soit une valeur nette sur le compte de 3529

N° 6 Compte épargne rémunéré à la quinzaine Taux 4.5%

         1/ intérêts par soldes

Dte Opé

Dte Int

Montant

Période

Calcul

INTERET

01/06

01/06

10000

01/06-15/06

10000*4.5%*1/24

18.75

13/06

16/06

12000

16/06-30/06

12000*4.5%*1/24

22.50

16/06

16/16

29/06

16/06

05/07

01/07

10500

01/07-15/07

10500*4.5%*1/24

19.69

15/07

16/07

14500

A partir du 16/07

Total

60.94

Solde à retirer le 17/07 14500 + 60.97 = 14560.94

         2/ avec jours de banque (+3/-3)

Dte Valeur

Dte Int

Solde

Calcul

INTERET

04/06

16/06-30/06

9000

9000*4.5%*1/24

16.87

16/06

16/06

10500

10500*4.5%*1/24

19.69

19/06

01/07-15/07

26/06

16/06

02/07

01/07

18/07

01/08

Total

36.56

Solde à retirer le 17/07 10500 + 36.56 = 10536.56

Exemple B : L’escompte

10/10                                       20/11                                                   10/01

Vente                                       escompte                                           Vn 15780

Escompte     15780 x 9% x ((30-20)+31+10)/360 = 201.20

Commission d’endos    15780 x 1.5% x 51/360   = 33.53

Commission service          8 x 1.196             = 9.57

                                      Total AGIOS           244.30

Net Perçu = Vn – Agios              15780 – 244.30 = 15535.70

Valeur actuelle = Vn – escompte = 15780 – 201.20 = 15578.80

Taux Réel d’Escompte (t)

Agios = Vn x t x n           244.30 = 15780 x t x 51/360 = 10.93%

Taux de Revient

Agios = Net Perçu x t x n

244.30 = 15535.70 x t x 51/360 = 11.10%

N° 7 Effet escompté

         a/ Calculer la valeur actuelle

15/03                                       20/06                                                   09/10

Escompte = 2399 x 10% x ((30-20)+31+31+30+9)/360 = 73.97

         Valeur actuelle = Vn – escompte

         Valeur actuelle = 2399 + 73.97 = 2325.03

         b/ Calculer le montant reçu, le tx d’escompte réel et le tx de revient

         Escompte               = 2399 x 10% x ((30-20)+31+31+30+9)/360 = 73.97

         Commission service          10 F

                            TVA             1.96

         Total Agios                      85.93

         Net perçu               2399 – 85.93 = 2313.07

         Taux réel               85.93 = 2399 x t x 111/360 = 11.61%

Taux de revient      85.93 = 2313.07 x t x 111/360 = 12.05%

N° 8 Escompte

1/ calcul des agios de la banque A

Escompte     48450 x  7.5% x 48/360  =       484.50

Endos          48450 x 0.5% x 48/360   =       32.30

Service         8 x 1.196                        =       9.57

                                      Total AGIOS =       526.37

Net Perçu     48450 – 526.37 = 47923.63

Taux de revient      526.37 = 48450 x t x 48/360     = 8.15 %

Taux réel               526.37 = 47923.63 x t x 48/360          = 8.23 %

2/ Le taux réel de la banque A est de 8.15 %

c’est cette banque qui présente le taux le plus bas

3/ Le taux de revient est de 8.23 %

L’entreprise a tout intérêt à réaliser un emprunt, en effet le taux proposé est de 8.10%.

Ce qui nous donne des agios de : 47923.63 * 8.10% * 48/360 = 517.57

Exemple C : Equivalence d’effet ou capital :

30/09                    N1                                  20/10                    23/12         31/01

                                                                                     Vn = 30000+20000

Vn ? Valeur actuelle du nouvel effet = Valeur Actuelle 1er + Valeur actuelle du 2e

Valeurs actuelle des anciens effets = (Vn1 – escpte 1) + (Vn2 – escpte 2)

                            = (30000 – (30000 * 8% * ((31+30+20)/360)) +

                                (20000 – (20000 * 8% * ((31+30+31+31)/360))

                            = 48913.33

Valeur actuelle du nouvel effet escompté = Vn – Vn * 8% * n/360 = 48913.33

48913.33 = Vn – Vn * 8% * (31+30+23)/360

Vn (1 – 8% (31+30+23)/360  = 48913.33

         Vn = (48913.33 /(1 – (8% *(84/360)))) = 49843.75

2e Solution   Vn = 30000 + 20000 = 50000

50000 – 50000 * 8% * N/360 = 48913.33

N = ( 50000 – 48913.33) * 360 /(50000 * 8%) = 97.8 +/- 98 jours

Date d’échéeance = 30/09/00 + 98 jrs = 06/01/01

N° 9 Decompte valeurs remise à l’escompte

Taux à retenir Taux de base bancaire (TBB) 9.5% + tx escompte 1.4 = 10.90%

Nbres de jours mini 10 : Escompte mini 10

Effets

Nb Jrs

réels

Nb jrs

retenus

Escompte



Escompte retenu

8412

6

10

8412*10.90* 10/360 = 25.47

25.47

2560

9

10

2560*10.90* 10/360 = 7.75

10

1140

17

17

1140*10.90* 17/360 = 5.86

10

7934

38

38

7934*10.90* 38/360 = 91.28

91.28

Total des effets (8412+2560+1140+7934) = 20046

Total des escomptes (25.47+10+10+91.28)= 136.76

Net perçu 20000 – 136.76 – (4*11*1.196) = 19856.62

N°10 Règlement d’escomptes

Taux 0.75% mois ou 9%

Taux endos 0.75% an

Service 11F

                                                         42285                                             36987

                            6/09                        10/11                    8/01                  20/03

(42285-(42285*9%*(65/360)) + (36987-(36987*9%*(195/360))

 Somme des Vo des anciens effets

 Vn = (42285 – 687.13) + (36987 – 1803.12) = 76781.75

1/ calculer la valeur nominale du nouvel effet

Vo nouvelle au 8/01 Vn – escompte

 76781.75 = Vn – Vn *9% * 124/360

Vn = 79238.13

2/ calculer l’échéance moyenne

Vn = Somme des anciens effets = 79272

Vo nouvel effet = 79272 –79272 * 9% * n/360 = 76781.13

ð  (79272 –76781.75) / (79272 *(9%/360)) = +/- 126 jrs = 10/01

N° 11

Somme Vo anciens effets = (30000 – 30000 * 9% * ((1+30)/360) +

                                      (20000 – 20000 * 9% * ((1+30+31)/360)) = 49457.50

1/ Vn ?

Vo nouvelle = Vn – Vn *9% * ((1+30+30)/360)) = somme Vo anciens = 49457.50

Vn = 50223.41

2/ Vn = 50000 (30000+20000)

50000 – 50000 * 9% * n/360 = 49457.50

=> +/- 44 jours     13 octobre

N° 12

Achat au comptant 4000 * 95 % = 3800

Remise de 5% pour paiement comptant

Achat à crédit

1600 + ((2400/24) * 1.2) ( 1- i * 1/12) + 120(1 – i * 2/12) …+120 (1-i *24/12)

1600 + 120 * 24 – 120 (i/12) ( 1+2+...+24)

3800 = 1600 + 120*24 –120*(i/12) * (24*25)/2 = 22.67% = i

                                      INTERETS COMPOSES

Exemple A

Soit 15720 f placé pendant 3 à 5%, puis pendant 3ans et 5 mois.

Vn = Vo * (1 + i)n

1/ Vn = 15720 * (1 + 0.05)3 = 18197.86

2/ Vn = 15720 * (1 +0.05) (41/12)  = 18571.60

On prend ici le nombre de mois soit 3 * 12 + 5 que l’on divise par 12 pour ramener à l’année.

Exemple B

Vo = Vn * ( 1+ i ) -n

18629.40 = Vn * (1 + 0.03) –2  = 18629.40 / 1.0609 = 17560

Exemple C Convertion de taux

Taux mensuel 12% / 12 = 1%    Tx propor mens (1+ 0.12) 1/12 – 1 = 0.949%

Tx Trimest 12% / 4 = 3%          Tx propor trim (1+0.12) ¼ - 1 = 2.87 %

Exemple D

Somme Vo anciens effets = 30000 * (1.05) –(1+3/12) + 20000 * (1.05) –3 = 45501.79

ð  Vn ?

Vo = Vn (1.05) –2 = Vo anciens effets = 45501.79

ð  Vn = 50165.72 (45501.79 * (1.05) –2)

Vn = 30000 + 20000 = 50000 Date échéance ?

Vo nouvelle = 50000 (1.05) –n = Vo anciens effets = 45501.79

ð  (1.05) –n = 45501.79/50000 => -n ln (1.05) =>

ð  ln ( 45501.79/50000) = 1.93 ans

ð  soit 1 an et 11 mois vers le 28/02

ln (45501.79/50000) / ln (1.05) = 1.93

Exercice N°1

Capital 240000  Tx = 7.6% pendant 7 ans et 9 mois

         24000 * (1.076) 93/12 = 42340.53

Exercice N° 2

Capital 7600 à taux variable

7600  *        (1.045)14/12               = 8000.48

8000.48 *    (1.06) 17/12              = 8688.92

8688.92 *    (1.055)6/12              = 8924.67

8924.67 *    (1.065)11/12             = 9455.02

Exercice N° 3

Valeur actuelle d’un effet de 25000f payable dans 3 ans….

Vn = 25000           tx = 10%              n = 3

Vo = Vn * (1 + tx) n

 

Vo = 25000 * (1 + 0.10) 3  = 18782.87

Exercice N° 4

Quel est le taux semestriel, mensuel équivalent au taux annuel de 6% ?

Rappel formule       (1 + tx annuel) 1 = (1 + tx semestr ) 2

Soit un tx semestriel de (1.06) ½ - 1 = 2.96 %

Soit un taux mensuel de (1.06) 1/12 – 1 = 0.49 %

Exercice n° 7

Voir poly pour l’énoncé     Vo =280000 tx semest = 3.25%

a/ Valeur acquise au 28/02/2004

         nombres de semestres = 8

         Vn = 280000 * (1+ 0.0325) 8

         Vn = 361641.71

b/ Montant si capitalisation annuelle ? tx annuel 6.5%

Vo =280000          tx = 6.5%

Vn = 280000 * ( 1 + 0.065) 4

Vn = 360210.58

c/ le calcul est fait avec deux types de taux différents, un proportionnel et un équivalent

Exercice n° 8

Règlement par anticipation d’une dette

Vo = 460000                   tx = 8%

Vo = 460000 * ( 1 + 0.08) –4   (l’exposant est ici négatif puisque l’on règle avec anticipation, on remonte le temps)

Vo = 338113.73

Exercice n° 9

Règlement de plusieurs dettes en un seul règlement.

a/

12000                             16000                               20000

01/06/00      01/09/00      01/11/00                          01/03/01

On remarque ici que deux des effets seront réglés par anticipation (16000 et  20000)

Il faut calculer la nouvelle valeur de chacun des effets.

Vo1 = 12000 * ( 1 + 0.065) 3/12 = 12190.42

Vo2 = 16000 * ( 1 + 0.065) –2/12 = 15832.95

Vo3 = 20000 * ( 1 + 0.065) –6/12 = 19380.06

Règlement total par anticipation = 12190.42 + 15832.95 + 19380.06 = 47403.43

b/ Echéance moyenne ?

Vo anciens effets = 48000 * (1 + 0.065) –4

47403.43 = 48000 * ( 1+ 0.065 ) –n

n = -log (47403.43/48000) /log (1.065) = +/- 0.198

soit 12 * 0.198 = 2. 37 soit 0.37 * 30 = +/- 11 donc 2 mois et 11 jours (11/11/00)

ANNUITES

 

Exemple E

Annuités constantes         a = 1000

           15/09/00    15/09/01      15/09/02      15/09/03      04

a               a              a                a              a

a/ Vn au 15/09/2003 ?

Vn = a * (1 + i) n – 1                n = nombre de placement

                   i

Vn = 1000 * (1.05)4 –1 = 4310.13

                       0.05

Vn au 15/09/2004

Vn (15/09/03) * (1 + i )

Vn = 4310.13 * 1.05 = 4525.64

b/ Versements en progression géométrique de raison 1.2

               00             01             02             03             04

              a               aq            aq2             aq3          aq4

Vn = a * (1 + i) n - qn                n = nombre de placement

              (1 + i) – q                  q = la raison

Vn au 15/09/03

Vn = 1000 * (1 + 0.05)4 –1.24 = 5720.63

                   (1 + 0.05) – 1.2

Vn au 15/09/04

5720.63 * (1.05) = 6006.66

c/ Versements en progression arithmétique

Vn = (1 + i) n – 1  * (a + r)  - (n * r)             r la raison             

                   i              i             i

               00             01             02             03             04

a               a+r           a+2r           a+3r        a+4r

n nombre d’annuités = 4

r raison = 200

a = 1ere annuités = 1000

Vn = (1.05) 4 – 1 * (1000 + 200) – (4 * 200) = 5550.63

             0.05              0.05                0.05

Exercice n° 11

                      15/10/00           15/10/01                  15/10/02                         15/10/03       

         2350            2350            2350            2350

a/ Vn = 2350 * (1 + 0.075)4 - 1 = 105011.37    Vn au 15/10/2003  

                            0.075

b/ Vo au 15/10/99

Vn = (1+ i) –4 = 10511.37 (1.075) –4 = 7870.92

Exercice supplémentaire

On veut K au 17/09/05 de 25000 F

En faisant des placements semestriels constants tout les 17/10 et 17/04

Semestrialisation avec un taux annuel de 6.5%

 

                      17/10/00           17/04/00                  17/10/01                        

Nombre de semestrialités n ? = 10 (5ans * 2)

Tx semestriel équivalent ?

(1 + 0.065)1 = (1 + tx semes)2

tx semest = (1 +0.065) ½ - 1 = 3.20 %

Semestrialités (S)

Vn = S * (1 + i) n – 1

                   I

Avec Vn = 25000

         I = tx semest = 3.20%

         N = nb de semest = 10

S = Vn        i           = 25000 *     0.032      = 2160.75

          (1 + i)n – 1                   (1.032)10 – 1


CHAPITRE II : EMPRUNTS INDIVIS I EXEMPLE Cas général

Tableau de remboursement

K emprunté = Vo = 20000 F

Durée emprunt = n = 4 ans

Taux annuel = i = 3.5%

Tableau de remboursement (ou amortissement) de l’emprunt.

Année

K dû début

Intérêt



Amortissement

Annuité

K dû fin

1

2

3

4

Vo 20000

Vo 17700

Vo 13319.50

Vo 8785.68

700

619.5

466.18

307.5

2300

4380.50

4533.82

8785.68

3000

5000

5000

9093.18

17700

13319.5

8785.68

0

I1 = 20000 * 3.5% = 700

M1 (1er amortissement) = a1 – I1 = 3000 – 700 = 2300

K1 de fin                      = 20000 – 2300

Relation :

1/ K emprunté Vo

è Vo = å amortissements

20000 = 2300 + 4380.50 + 4533.82 + 8785.68

è Vo = valeur actuelle de la suite d’annuités

20000 = 3000 * (1.035) –1 + 5000 * (1.035) –2 + 5000 * (1.035) –3 +

             9093.18 * (1.035) –4

2/ Dernière annuités an

an           = (Intérêt de n) + (Amortissement de n)

         = In + Mn = (Mn * i) + Mn = Mn * (1 + i)

Le dernier amortissement = K restant du.

3/ Capital restant du après paiement de la x0 annuité : Dx

K du après paiement de la 2e Annuité : D2

ð  D2 = å amortissement restant = 4533.82 + 8785.68

ð  D2 = Vo - å amortissement déjà payés = 20000 – (2300 + 4380.50)

ð  D2 = å Valeurs actuelles des annuités restantes

= 5000 * (1.035) –1 + 9093.18 * (1.035) -2

ð  D2 = Valeurs en fin de 2e année de Vo - å  valeurs en fin de 2e année des annuités payées.

= 20000 * (1.035) 2 – (3000 * (1.035) 1 + 5000 * (1.035) 0)

II CAS PARTICULIERS : Le capital est remboursé in fine (en fin)

Exemple :

1/

Vo = 100000

Durée n = 5 ans

Taux i = 9%

Année

K dû début

Intérêt

Amortissement

Annuité

K dû fin

1

2

3

4

5

100000

100000

100000

100000

100000

9000

9000

9000

9000

9000

0

0

0

0

100000

9000

9000

9000

9000

109000

100000

100000

100000

100000

0

Peu d’intérêt de faire un tableau

Différentes annuités :  1er à 4e         a = I = Vo i = 9000

                                 5e                a = I + M = (Vo I) + Vo = 9000 + 100000

2/ Différentes annuités : 1er à 4e      a =  0

                                 5e                a = I + Vo = Vn = Vo (1 +i) n=

100000 * (1.09) 5 = 153862.39

Année

K dû début

Intérêt

Amortissement

Annuité

K dû fin

1

2

3

4

5

100000

109000

118810

129510.9

141158.16

0

0

0

0

53862.40

0

0

0

0

100000

0

0

0

0

153862.40

109000

118810

129502.9

141158.16

0

III CAS CLASSIQUE

A/ Amortissement constant

Vo = å amortissement = nM

ak = Ik + M = (Dk– 1 * i) + M

ak+ 1 = Ik+ 1 + M = (Dk * i) + M = (Dk– 1 – M) i + M

                                               = Dk-1 I – Mi + M = ak – Mi

B/ Anuités constantes

ak = a = Dk– 1 * i + Mk

ak+ 1 = a = Dk * i + Mk+1 = (Dk– 1 – Mk) i + Mk+1

Dk-1 i + Mk = Dk– 1 * i - Mki + Mk+1

Mk (1 + i) = Mk+1

EXERCICE : Cas Classique :

Vo = 300000 € Date emprunt 01/05/99 date 1er semestre = 01/11/1999 (à corriger sur le poly)

i= 9.5% annuel

n = 6 semestres

A/ Remboursement Amortissement constant

     K restant du après la 4e semestrialité

ð  calcul du Taux semestriel équivalent

(1 + i)1 = (1 + 0.095)2 = (1 + 0.095) ½ -1 = 4.64%

300000 / 6 = 50000 € soit M

1/ K restant du après la 4e semestrialité

D4 = å amortissement restant = 2 x M = 100000 €

2/

Année

K dû début

Intérêt

Amortissement

Annuité

K dû fin

1

2

3

4

5

6

300000

250000

200000

150000

100000

50000

13920

11600

9280

6960

4640

2320

50000

50000

50000

50000

50000

50000

63920

61600

59280

56960

54640

52320

250000

200000

150000

100000

50000

0

B/ Remboursement par Semestrialité constantes

ð  calcul du Taux semestriel équivalent

(1 + i)1 = (1 + 0.095)2 = (1 + 0.095) ½ -1 = 4.64%

1/ Quel est le capital restant du après la 4eme semestrialité

     a = Vo        t____

                1 – (1+t)-n

a= 300000 *   4.64%___ = 58426.52 semestrialité constante

                  1-(1.0464)-6

D4 = valeur actuelle (après 4émé semestrialité) des semestrialités restantes

D4 =  a * (1+t)-1 + a * (1+t) -2 

Da = 58426.52 * (1.0464) –1 + 58426.52 * (1.0464) –2 = 109195.59

2/

Année

K dû début

Intérêt

Amortissement

Annuité

K dû fin

1/5/00

1/11/00

1/5/01

1/11/01

1/5/02

1/11/02

300000

255493.48

208921.86

160189.31

109195.57

55835.72

13920

11854.90

9693.97

7432.78

5066.67

2590.78

46571.62

46571.62

48732.55

50993.74

53359.85

55837.72

58426.52

58426.52

58426.52

58426.52

58426.52

58426.52

255493.48

208921.86

160189.31

109195.57

55835.72

0

EXERCICE A

Vo = 78600      n = 4           taux = 5%

  1. remboursement par annuités constantes

a = 78600 * (0.05 / (1-(1.05) -4)) = 22166.13

Année

K dû début

Intérêt

Amortissement

Annuité

K dû fin

1

2

3

4

78600

60363.87

41215.93

21113.6

3930

3018.19

2060.80

1055.68

18236.13

19147.94

20102.33

21113.60



303