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Exercices corrigés sur les maths finance

TD Chapitre 1

Exercice 1 :

Soit un effet d’une valeur nominale de 30 000 venant à échéance le 1er juin. Il est escompté le 1er mars (date de valeur) au taux de 8%.

1°) Calculez le montant de l’intérêt payé sur cette opération, sachant que ce calcul s’effectue en nombre de jours exacts sur la base 360. On suppose qu’il n’y a pas de jours de banque.

2°) Quel aurait été ce même montant en adoptant un calcul en nombre de jours « en mois » / 360 ou en nombre de jours exacts / 365 ?

3°) Calculez l’écart en pourcentage.

Correction :

ì du 1 au 31 mars : 31 jours 1°) Nombre de jours exact : j = 92 car í du 1 au 30 avril : 30 jours

î du 1 au 31 mai : 31 jours

Exercice 2 :

La société MIXE remet à 30 jours de l’échéance un effet à l’escompte d’une valeur de 55 000. Le taux d’escompte est de 8% (intérêts précomptés, base 360)

1°) Calculez le montant des intérêts (on suppose qu’il n’y a pas de jours de banque). 2°) Quel serait le taux de l’opération équivalente si les intérêts étaient post-comptés ?

Correction :

1°) Les intérêts précomptés sont  I = 55 000 ´ 0,08 ´

30

 360

soit

I ≈ 366,67

à 0,01 près

2°)  Si  les  intérêts  sont  pré-comptés,  la  société  MIXE

percevra

lors  de  la  remise  à  l’escompte

55 000 – 366,67 = 54 633,33

Le taux postcompté est donc Tpost tel que :

I = 366,67 = 54 633,33 ´

30

´ Tpost

On trouve Tpost = 8,05 % .

  • Exercice 3 : Taux

Calculer les taux proportionnels annuels correspondant à un taux de 1% mensuel, 3% trimestriel, 6% semestriel et 12 % annuel.

Correction :

Taux périodique

Taux proportionnel annuel

1% mensuel

1 ´ 12% = 12%

3% trimestriel

3

´ 4% = 12%

6% semestriel

6

´ 2 %= 12%

12% annuel

1

´ 12% = 12%

TD Chapitre 2

  • Exercice 1 : Valeur future et diagramme des flux

Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est la valeur future de ce capital dans 5 ans ?

Correction :      Vf = 500 000 ´ 1,055 ≈ 638 140,78

  • Exercice 2 : Valeur future et diagramme des flux

Soit un capital de 500 000 placé au taux annuel actuariel de 5%. Quelle est la valeur future de ce capital dans 5 ans ? On présente ici le diagramme des flux.

-500 000

  • §    La première flèche se situe au temps t0 et correspond au versement par l’investisseur de la somme de 500 000 au titre du placement (flux négatif car il s’agit d’un décaissement). Elle représente la valeur actuelle.

 

  • §    Les traits verticaux correspondent aux différentes périodes de capitalisation (il y en a 5).
  • §    La seconde flèche est dirigée vers le haut (sens positif) car il s’agit pour l’investisseur

d’un encaissement. C’est la valeur future (au terme des 5 années)

Correction :      Vf = 500 000 ´ 1,055 ≈ 638 140,78

  • Exercice 3: Valeur future et calculs d’années

On place 10 000 pendant n années au taux actuariel annuel de 3.5%. La valeur future obtenue au bout des n années est de 15 110.69. Calculer n.

15 110.69 ln ( 10 000 )

On a l’équation : 15 110,69 = 10 000´(1 + 3,5%)n donc n =                       ln(1 + 3.5%)         =12

  • Exercice 4 : Valeur future et calculs de taux

On place 10 000 pendant 7 années au taux actuariel annuel de t%. La valeur future obtenue au bout des 7 années est de 20 000. Calculer t.

On a l’équation : 20 000 = 10 000´(1 + t%)7

donc (1 + t%)7 = 2 soit t% = 21/7 – 1 » 0,10409 d’où un taux de 10,409 % (t = 10,409)

  • Exercice 5 : Taux

Calculer les taux actuariels correspondant à un taux de 1% mensuel, 3% trimestriel, 6% semestriel et 12 % annuel.

Taux périodique

Taux actuariel

1% mensuel

Ta = (1 + 0,01)12 – 1 ≈ 12,68 %

3% trimestriel

Ta = (1 + 0,03)4

– 1 ≈ 12,55 %

6% semestriel

Ta = (1 + 0,06)2

– 1 ≈ 12,36 %

12% annuel

Ta = (1 + 0,12)1

– 1 = 12,00 %

  • Exercice 6 : Taux

Quel est le taux périodique trimestriel équivalent au taux annuel de 12 % ?

Correction :



C0 ´ (1 + Ttrimestre)4 = C0 ´ (1 + Tannuel)1                                                                           : donc Ttrimestre = 1,121/4 – 1 ≈ 0,02874 =                                                                              2,874 %

  • Exercice 7 : Valeur future

Soit un contrat de placement de 1 000 par mois durant 3 ans au taux actuariel annuel de 5%.

  • §    Signature du contrat le 01.01.n
  • §    Premier versement le 01.02.n
  • §    Fin du contrat et dernier versement le 01.01.n+3

Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux.

Correction :

?

36 flux de - 1 000

01.02.n

01.03.n

01.01.n+3

le 01.01.n

- 1 000

- 1 000

- 1 000

Il s’agit de versements à termes échus.

Donc Cu = 1 000 + 1 000 ´ (1 + Tm) + 1 000 ´ (1 + Tm)2 + …. + 1 000 ´ (1 + Tm)35 ì 1 000 correspond au dernier versement

í 1 000 ´ (1 + Tm)35 au premier versement 01.02.n î Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)

Soit après factorisation

Cu = 1 000 ´ [1 + (1+Tm) + … + (1+Tm)35 ]

´ 1 – ( 1 +Tm )36

Cu = 1 000                                               (somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )

1 – (1 + Tm) Il faut calculer Tm :

On a : (1 + Tm)12 = (1 + Ta)1     soit

Tm = 1,051/12 – 1 ≈ 0, 4074 %

Donc      Cu ≈ 38 689,22

  • Exercice 8 : Valeur future.

On reprend l’exercice précédent (exercice 8) avec cette fois.

  • §    Début du contrat le 01.01.n
  • §    Premier versement le 01.01.n
  • §    Dernier versement le 01.12.n+2
  • §    Fin du contrat le 01.01.n+3

Quelle est la valeur future de ce placement ? Présenter le diagramme des flux.

Correction :

36 flux de - 1 000

Il s’agit de versements à termes à échoir.

Donc Vf = 1 000 ´ (1 + Tm) + 1 000 ´ (1 + Tm)2 + …. + 1 000 ´ (1 + Tm)36 ì 1 000(1 + Tm) correspond au dernier versement í 1 000 ´ (1 + Tm)36 au premier versement 01.01.n î Tm est le taux mensuel équivalent (à calculer)

Soit après factorisation

Vf = 1 000

´ [(1+Tm) + … + (1+Tm)36 ] = Cu ´ (1 + Tm)

Vf = 1 000

´ (1 + Tm) ´

1 – ( 1 +Tm )36

1 – (1 + Tm)

(Somme des termes d’une suite géométrique de raison 1+Tm )

Donc      Vf ≈ 38 846,84

TD Chapitre 3

  • Exercice 1 : Valeur actuelle

Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 7 ans au taux annuel de 6%, calculer sa valeur actuelle.

C = 100 000 = 100 000 ´ 1,06  7 » 66 505,71. 0 1,067

·     Exercice 2 : Valeur actuelle et calcul d’années.

Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de n années au taux annuel de 5%, sa valeur actuelle

étant de 67 683,94. Calculer n.

100 000 ´ 1,05 n = 67 683,94 ou 67 683,94 ´ 1,05n = 100 000 donc 1,05n = 100 000

67 683,94

æ 100 000 ö

et n = lnè67 683,94ø » 8 années ln(1,05)

  • Exercice 3 : Valeur actuelle et calcul de taux.

Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 10 années au taux annuel de t%, sa valeur actuelle étant de 64 392,77. Calculer t.

100 000 = 64 392,77 ´ (1 + t%)10

soit

(1 + t%)10 =

100 000

64 392.77

et

t% =

æ 100 000

ö1/10

-1

» 0,04499

donc le taux est de 4,5 % (t = 4,5)

è64 392.77

ø

  • Exercice 4 : Valeur actuelle

Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu :

▪   le premier de 50 000 le 01.01.n+1

▪   le second de 10 000,

▪   les troisième et quatrième de 5 000

▪   le dernier de 15 000.

Déterminer la valeur actualisée au taux de 3% annuel au 01.01.n. (Rép. : 79 926,92), puis cette même valeur si les flux sont début de période (Rép : 82 324,73).

Correction :

1°) Va = 50 000 ´ 1,03  1 + 10 000 ´ 1,03  2 + 5 000 ´ 1,03  3 +5 000 ´ 1,03  4 + 15 000 ´ 1,03  5 Va ≈ 79 926,92



2°) Va = 50 000 + 10 000 ´ 1,03  1 + 5 000 ´ 1,03  2 +5 000 ´ 1,03  3 + 15 000 ´ 1,03  4

Va ≈ 82 324,73

  • Exercice 5 : Projet (VAN,IP)

Calculer la VAN et l’Ip du projet d’investissement suivant (coût du capital = 10%)

VAN » 11,56et

IP » 1,1156

  • Exercice 6 : Projet (VAN,IP)

Soit un investissement financé à raison de 100 à la date 0, 200 six mois plus tard, et 100 douze mois plus tard. Durée de vie 5 ans. Valeur résiduelle nulle. Cash-flows : 80,120, 130, 100, 90 (aux dates 2,3,4,5 et 6).

Coût du capital : 10%

Calculer La VAN et l’IP.

Remarque : Il faut déjà évaluer, à l’époque 0, le capital investi.

Correction.

·      Evaluation, à l’époque 0, du capital investi.

100 + 200´(1,1)-0.5 + 100´(1,1)-1 » 382

·      VAN = 80´(1,1)  2  + 120´(1,1)  3  + 130´(1,1)  4  +100´(1,1)  5  + 90´(1,1)  6         - 382

VAN = 358 – 382 = -24

·  IP =

VAN

-24

+ 1 =

+ 1

soit

IP » 0,937

I

382

TD Chapitre 4

  • Exercice 1

Données :

La société « Chat » a pour projet d'investir dans la société « Ronron » afin de développer un partenariat dans le secteur de la complémentaire santé. L'investissement global de « Chat », entièrement fourni au 31/12/2013, sera de 12 M€. En contrepartie, "Ronron" s'engage à verser

à  « Chat» :

  • Option 1 : tous ses bénéfices sur l'exercice 2014
  • Option 2 : la moitié de ses bénéfices sur les exercices 2014 et 2015

Le  choix de l'option étant laissé à la compagnie « Chat ».

Afin de prendre une décision, des prévisionnels ont été réalisés :

Exercice

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

Résultat net "Ronron" en M€

13

14

17

20

21

22

24

Questions :

1/ Calculez le TRI de l'investissement dans le cas où "Chat" choisirait l'option 1. 2/ Calculez le TRI de l'investissement dans le cas où "Chat" choisirait l'option 2.

Correction

1/

i

0

1

Fi

-12

+13

Donc, le TRI est de 8.12%, l'autre valeur n'étant pas possible.

TD Chapitre 5

Exercice 1 : Etude de contradiction

On considère deux investissements. I1 : Investissement de 100 (date 0) et flux de 90, 20 et 20 aux dates 1, 2 et 3.

I2 : Investissement de 100 (date 0) et flux de 10, 20 et 130 aux dates 1, 2 et 3. 1°) Calculez les TRI et les VAN à 8%.

2°) Déterminez le taux d’indifférence qui est le taux pour lequel la VAN de I1 est égale à celle de I2.

3°) Comment comparer ces projets ? Correction.

1°)

VAN1 = 16,36 et TRI1 » 20%

VAN2 = 29,61 et TRI2 » 19%

2°) Cela revient après calculs à résoudre l’équation 80(1 + t)  1 – 110(1 + t)  3 = 0 soit 80 – 110(1+t)  2 = 0 on trouve t » 17,26%

3°) Il y a discordance dans les critères, on doit donc utiliser un critère global ou choisir un des critères calculés (VAN ou TRI). On peut donc calculer le TRIG par exemple

Exercice 2 : TRIG

Un projet d’investissement est caractérisé par les données suivantes : o Capital investi : 380 HT

o Cash-flows annuels en progression de 20 % o Durée de vie : 5ans

o     Valeur résiduelle nulle

  1. Indice de profitabilité à 6% : 1,130812.
  2. Déterminez la série des cash-flows.
  3. Le taux d’actualisation étant variable, résolvez l’équation : Ip = 1 et interprétez le résultat obtenu.
  4. Sachant que les cash-flows sont réinvestis au taux de 14%, calculez le taux de rentabilité interne global.

 Solution :

 1°) Donc on a le diagramme des flux

Indice de profitabilité

2°) L’équation IP = 1 permet de trouver le taux de rentabilité interne (TRI).

Il faut résoudre l’équation :

3801 [70  (1+t)  1 + (70  1,2)  (1+t)  2 + …..+ (70  1,24 )               (1+t)  5 ]= 1

Soit

70  (1+t)  1 + 84                                                    (1+t)  2 + …..+ 145,152   (1+t)  5 = 380

On trouve

t = 10,14 %

3°) Calculons la valeur acquise par les cash-flows.

Vacquise = 70                       1,144 + 84       1,143 + 100,8   1,142 + 120,96               1,141 + 145,152 = 656,723

Donc le TRIG vérifie :

380 = 656,723  (1 + TRIG) - 5

Soit

1 + TRIG = æ

656,723



1/5

380

ö

è

ø

Donc

TRIG = 11,56%

TD Chapitre 6

Exercice 1 : Emprunt immobilier

Monsieur DECEF gagne 18 000 euros par mois et n’anticipe pas de modification de ses revenus dans l’avenir. Il veut effectuer un emprunt immobilier sur 15 ans.

Sachant que le banquier accepte un ratio mensualité/revenu de 30% et qu’il lui propose un financement à 7%, quel est le montant peut-il emprunter ?

Solution :

Il faut calculer la capacité de remboursement du client : R = 18 000 10030 = 5 400. Puis calculons le montant du prêt possible.

Exercice 2 : Emprunt immobilier

1°) Tracez le diagramme des flux.

2°) Déduisez-en l’équation vérifiée par C. Simplifiez cette équation et calculez C.

Exercice 3 : Emprunt à annuités constantes

1°) Soit a le montant de l’annuité. Calculez a en détaillant votre calcul.

2°) Dressez le tableau d’amortissement de l’emprunt puis remplissez-le.

Exercice 4 : Tableaux d’amortissement

On considère un emprunt indivis de montant 200 000 le 01.01.2006, remboursable en 5 ans au taux d’intérêt de 7% (assurance comprise). 1er remboursement le 01.01.2007 (remboursements par annuités)

Présenter le tableau d’amortissement correspondant à chacune des trois modalités possibles de remboursement, les annuités étant perçus tous les 1er janvier. Calculer la somme des intérêts versés.

Solution :

Par annuités constantes :

0,07 

R = C0 ´

(i + a) 1 – [1 + (i + a)]  n

Soit : R = 200 000

≈ 48 778.14

1 – 1.07  5

Date

Montant du remboursement R

Intérêt In = Cn   i

Créance amortie Kn = R-In-An

Assurance An=Cn   a

Capital restant dû Cn=Cn-1 - Kn

01/01/2006

200 000.00

01/01/2007

48 778.14

14 000.00

34 778.14

0.00

165 221.86

01/01/2008

48 778.14

11 565.53

37 212.61

0.00

128 009.25

01/01/2009

48 778.14

8 960.65

39 817.49

0.00

88 191.76

01/01/2010

48 778.14

6 173.42

42 604.72

0.00

45 587.05

01/01/2011

48 778.14

3 191.09

45 587.05

0.00

0.00

total

243 890.69

43 890.69

200 000.00

0.00

  • Par amortissements constants

Date

Montant du remboursement R=I+K

Intérêt In = Cn   i

Créance amortie K = C0/n

Assurance An=Cn   a

Capital restant dû Cn=Cn-1 - Kn

01/01/2006

200 000.00

01/01/2007

54 000.00

14 000.00

40 000.00

0.00

160 000.00

01/01/2008

51 200.00

11 200.00

40 000.00

0.00

120 000.00

01/01/2009



48 400.00

8 400.00

40 000.00

0.00

80 000.00

01/01/2010

45 600.00

5 600.00

40 000.00

0.00

40 000.00

01/01/2011

42 800.00

2 800.00

40 000.00

0.00

0.00

total

242 000.00

42 000.00

200 000.00

0.00

In fine

Date

Montant du remboursement R=I+K

Intérêt In = Cn   i

Créance amortie K = C0/n

Assurance An=Cn   a

Capital restant dû Cn=Cn-1 - Kn

01/01/2006

200 000.00

01/01/2007

14 000.00

14 000.00

0.00

0.00

200 000.00

01/01/2008

14 000.00

14 000.00

0.00

0.00

200 000.00

01/01/2009

14 000.00

14 000.00

0.00

0.00

200 000.00

01/01/2010

14 000.00

14 000.00

0.00

0.00

200 000.00

01/01/2011

214 000.00

14 000.00

200 000.00

0.00

0.00

total

270 000.00

70 000.00

200 000.00

0.00

TD Chapitre 7

1°) Soit une obligation de nominal 500 euros, au taux de 5%, émise le 25.10.N, remboursable le 25.10.N+5. Quel était le coupon couru à la date du mardi 12.12.N+3 (date de négociation) ?

Solution :

Nombre de jours du 25.10.N+3 au 22.12.N+3 : (31-25)+30+22 = 58 jours

▪ Coupon couru (en valeur) :

500  0,05  58

≈ 3,97 euros

365

▪ Coupon couru (en % du nominal) : 5  58

» 0,79452   ou

3,97

≈ 0,00794 = 0,794 %

365

500

2°) Soit une obligation de nominal 1 000 euros, cote du jour 65, coupon couru (en %) : 7,396. Calculez la valeur totale.

Solution :

Valeur totale = (65 + 7,396) 1000 = 723,96 euros 100

3°) Supposons que vous investissiez à l'émission dans une obligation de nominal 1 000€ à un prix d'émission de 995€ avec un taux nominal de 5% pendant 4 ans. Calculer le taux actuariel.

Solution :

995 = 50  (1+t) - 1 + 50   (1+t) - 2

+ 50   (1+t) - 3 + 50   (1+t)  4 +1000   (1+t) -4

Donc t est la solution de l’équation : 995 = 50   (1+t)

– 1

1 – (1+t)- 4

+ 1000  (1+t)

-4

1-(1+t)  1

1 – (1+t)- 4

-4

+ 1000  (1+t)

On trouve t » 5,1415 %

Soit 995 = 50

t

Remarque : La différence entre le taux d'intérêt actuariel de 5,1415% et le taux d'intérêt nominal de



5% s'explique par le montant de la prime d'émission qui est positive (5€).

4°) Soit un emprunt de 6 00 obligations émis le 1.7.N, de nominal 1 000 euros, prix de remboursement : 1 010 euros ; taux nominal de 4% ; remboursement : in fine, dans 5 ans. a) Calculer le taux actuariel brut à l’émission t.

Solution : On peut raisonner sur 1 obligation

t solution de : 1000 = 40 1  (1+1)  5+ 1010 (1+t)  5 , on trouve t » 4,1842 % t

b) Calculer la valeur de l’obligation au 5.4.N+3, sachant que le taux pratiqué sur le marché est de 6 % pour ce type d’obligation. Retrouver alors la valeur cotée.

Solution : On peut raisonner sur 1 obligation

Calcul du nombre de jours du 5.4.N+3 au 1.7.N+3 : (30-5)+31+30+1 = 87 jours

Valeur =  40   (1,06)  87/365 + 40                                                (1,06)  (87+365)/365 + 1050 (1,06)  (87 + 2  365)/365

Valeur ≈ 998,27 euros  La valeur trouvée est la valeur à payer pour acquérir l’obligation le

5.4.N+3.

On peut aussi retrouver la valeur cotée en déduisant les intérêts courus de ce montant.

Intérêts courus : 40 365  (87 + 3) ≈ 30,137 365

Valeur cotée théorique = 998,27 – 30,137 ≈   968,13

Sommaire

Sommaire.................................. 2

Bibliographie............................. 3

TD Chapitre 1 ............................ 5

TD Chapitre 2 ............................ 7

TD Chapitre 3 .......................... 10

TD Chapitre 4 .......................... 12

TD Chapitre 5 .......................... 14

TD Chapitre 6 .......................... 16

TD Chapitre 7 .......................... 20



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