Exercices corriges sur la finance mathematique

Exercices corrigés sur la finance mathématique

A - Définition

1°- Exemple

Nous plaçons 10 000 DH pendant 3 ans au taux annuel de 8% .

• l'intérêt produit chaque année est égale à :

 10 000 x   8/100 = 800 DH

• Au bout de 3 ans, le placement augmentera de :

800 DH x 3 = 2 400 DH

• A la fin des 3 années, le placement s'élèvera à :

10 000 + 2400 = 12 400 DH

2°- Remarque

En intérêt simple, les intérêts ne s'ajoutent pas en fin de période de capitalisation au capital pour produire intérêts.

3°- Définition

L'intérêt représente le loyer ou la rémunération de l'argent prêté . Cet argent s'appelle "capital ou placement"

Les intérêts simples s'appliquent généralement aux prêts ou placements à court terme (moins d'un an).

B - Formule de l'intérêt simple

C  :      Capital  placé

t    :     Taux d'intérêt pour 100 DH de capital

n :     Durée de placement

Va :     Valeur acquise

  I :     L'intérêt

I= C x  t /100 x n

Va = C + C x t/100 x n

" Si nous plaçons une somme d'argent aujourd'hui, combien recevrons-nous demain ?" Cela s'appelle capitaliser .

Vérification

I = 10 000+ 8/100 x 3 = 2 400 dh

                        Va = 10 000 +10 000 + 8/100 x 3   ou  10 000+ 2 400

                        Va = 12 400

C - Etude de chacun des éléments de la formule de l'intérêt simple

1 - Capital

Il s'agit du montant de la somme placée à une date déterminée

Exemple :

Un capital placé au taux annuel de 3% pendant 3 ans à rapporté 18 dh d'intérêt .

Déterminer le capital initialement placé .

Solution:

I = C x t/100 x n

                        I x 100 = C x t x n

                        C = I x 100 

                                 t x n

                        C= 18 x 100 = 200 dh

                                3 x 3

2 - Durée

La durée du prêt (ou placement) peut être exprimée en années, en mois ou en jours .

Exemple 1:   durée exprimée en années.

Soit un capital de 5 000 dh placé à intérêts simples à 11,5% pendant 2 ans

I = C x t/100 x n

                        I = 5 000 x 11,5/100 x 2 = 1 150 dh

Ex 2 : Durée exprimée en mois :

Soit en capital de 3 600 dh placé à intérêts simples pendant 9 mois à 6%

I = C x t/100 x n/12(mois)

                        I = C x t x n

                                1 200

                        I = 3 600 x 6 x 9 = 162 DH

                                1 200

Remarque

Au Maroc, l'année financière est de 360 jours.

Lorsque la durée de placement est comprise entre 2 dates, on compte les mois pour leur durée réelle, même si l'année est ramenée à 360 jours .

Pour le calcul du nombre de jours, on ne compte pas le jour de départ, mais le jour d'arrivée .

Ex :

Soit un capital de 4 800 DH placé au taux annuel de 4,75% du 12 mars au juillet .

Durée de placement est de :

Mars  - avril  - mai  - juin  - juillet

(31j-12) -  30j -  31j -  30j  -   17j

19j  +  30J   +  31J +  30J  + 17J  = 127 jours

I = 4800 x 4,75 x 127 = 80,43 DH

                                    36 000

3 - Taux d'intérêt

Il s'exprime en % (pourcentage) et indique la somme d'argent rapportée par 100 DH en une période déterminée (en principe une année)

Ex :

Un capital de 5200 DH à intérêt simple a produit 52 DH d'intérêts pendant 36 jours .

Déterminer le taux de placement

                        I = C x t x n

                                36000

                        t = I x 36000

                                C x n

                        T= 52 x 36000 = 10

                              52000 x 36

Vérification

                        I = 52000 x 10 x 36 = 52 DH

                                    36000

Remarque

Le taux utilisé doit correspondre à la période de placement choisie (année, semestre, trimestre et mois)

Ex :

A quel taux semestriel a été placé un capital de 5000 dh qui, en 102j, a rapporté 85 dh d'intérêts ?

Solution

Soit t, le taux annuel de placement

5000 x t x 102 = 85 dh

                                        360

t  = 0,06

d'où le taux semestriel de placement

t_s = t_a /2= 0,06 = 0,03   soit   3% .                          

                    2

Exercices d’applications

Application n°1 :

Soit un capital de 15.000 dh placé à intérêts simples au taux annuel de 10% pendant 90 jours.

1-      Calculer les intérêts produits

2-      Calculer la valeur acquise

Solution

                        I = 15.000 x 10 x 90  = 375dh

                                    36.000

                        Va = 15.000 + 375 =   15.375dh

Application n°2 :

Quel est le capital qui, placé au taux annuel de 8%, rapporte 120dh d’intérêts en 90 jours ?

Solution

                        I = c x t x n  = 120 = c x 8 x 90

                               36.000                

                        120 x 36.000  = C

                            8 x 90

                        C = 6.000dh

Application n°3 :

A quel taux annuel est placé un capital de 7.650dh qui acquiert en 120 jours une valeur acquise de 7.841,25dh ?

Solution

                        7.650 + ( 7.650 x t x 120 ) = 7.841,25

                                                         360

                                   t = 0,075  soit 7,50%

Application n°4 :

Au bout de combien de jours, un capital de 30.000dh, placé au taux annuel de 7,50%, rapporte-t-il 468,75dh d’intérêts ?

Solution

                        468,75 = 30.000 x 7,50 x    n

1. 360

468,75 = 300 x 7,50 x     n    

                                      360

d’où   n = 75 jours

Méthodes des nombres et des diviseurs fixes :

Il s’agit d’une méthode de calcul rapide des intérêts simples, qui trouve son utilité dans le calcul de l’intérêt produit par plusieurs capitaux, placés au même taux .

Principe :                    I = c x t x n                

                                         36.000

            Dans cette formule divisions le numérateur et le dénominateur par t

                                        C x t x n

                             I =           t             =  c x n

                                         36.000          36.000

                                             t                   t

                             Posons 36.000 = diviseur fixe = D

                                              t

                                         C x n = Nombre         = N

                             I = N

                            D

Exemple :  Calculer l’intérêt global produit par les 3 capitaux suivants placé à intérêts simples au taux  unique de 9%

                        C₁ = 16.000dh pendant 36j

                        C₂ = 20.000dh pendant 60j

                        C₃ = 30.000dh pendant 90j

Solution :

                       IG = I₁ + I₂ + I₃

                        D = 36.000 = 36.000 = 4.000

                                   t              9

                          I = N                         N = c x n

                                D

            IG = 16.000 x 36 + 20.000 x 60 + 30.000 x 90

                                   36.000 9

                        IG = 1.119dh

L'escompte Commercial

1-    Définition

L'escompte est l'opération par laquelle un banquier verse par avance au porteur d'un effet de commerce (lettre de change, billet à ordre) non échu (avant son échéance) le montant de celui-ci, sous déduction d'un intérêt.

2-    l'escompte commercial

l'escompte commercial est l'intérêt retenu par la banque sur la valeur nominale (somme inscrite sur l'effet) de l'effet pendant le temps qui s'écoule depuis le jour de la remise à l'escompte jusqu'au jour de l'échéance.

soient :

      Vn   :    la valeur nominale de l'effet

T  :   le taux de l'escompte

N  :   la durée de l'escompte 

           E  :  le montant de l'escompte commercial

Va :  la valeur actuelle de l'effet (la différence entrela Vn et l'escompte) ou encore        valeur escomptée

Remarque

La durée de l’escompte est égale au nombre de jours compris entre celui de la remise ( exclu ) et celui de l’échéance ( inclus ). La pratique bancaire conduit souvent à y ajouter un certain nombre de jours dits jours de banque

E = VN X T X N

       36 000

Exemple

Un commerçant négocie une traite de 8850 dh, payable dans 40 jours. Taux d'escompte 12°/°.

                              Date de négociation                                échéance

                                                                                                          Taux 12%

                                                              40 j

 E =  Vn x t x n 

         36 000

 E =  8850 X 12 X 40   =   118 dh

            36 000

  Va = Vn – E

  d'où

   Va = 8850 -118 = 8732

Application

Un fournisseurs négocie le 9 mai une traite d'un montant de15 000 dh dont l'échéance est le 15 août de la même année. La banque escompte la traite à un taux de 12 %.

Quel est le montant de l'escompte ?

Solution

date de négociation                                       date d'échéance

      9 mai                                                                15 août

                                               98 j

E = Vn x  Tx n   = 15000 x 98 x 12   =   490 dh

            36000              36000

Va = 15 000 - 490 = 14 510 dh

3-    Pratique de l’escompte

Dans la pratique, la remise d’un effet à l’escompte entraîne des frais financiers, en plus de l’escompte proprement dit.

Les frais comprennent plusieurs commissions (Exemple : commission d’acceptation et de courrier ).

L’ensemble de l’escompte et des commissions s’appelle « l’agio »

D’une manière générale, l’agio se compose de :

§  L’escompte

• Divers commissions
• T.V.A ( taxe sur la valeur ajoutée taux 7% )
• La T .V.A est appliquée directement sur l’ensemble de l’agio (H.T)

Exemple :

Soit un effet de commerce d’un montant de 25 000 DH, échéant le 24 juin 1997 et escompté

le 15 avril de la même année aux conditions suivantes :

Taux d’escompte 13%

Commissions de manipulation 2dh par effet

T.V.A 7%

Tenir compte d’un jour de banque

Nombre de jours : 70+1 =71jours

                     25 000 x 13 x 71

Escompte =                                 =  640,97

  36 000

Commissions de manipulation    = 2 dh

Total H.T                                     = 642,97 dh

T.V.A                                          = 45 dh

Agio T.T.C                = 687,97 dh

Valeur actuelle (V.a )   = 25 000 – 687,97 = 24 312,03 dh

EXERCICE S  D’APPLICATION

EX 1

Calculer la valeur nominale d’un effet qui, escompté au taux de 12% pendant 69 jours, a une valeur actuelle commerciale de 15 045,80 dh.

EX 2

Un effet de31200 aété escompté à 9 % et a donné une valeur actuelle commerciale de 30888 dh au 16 avril. Combien de jours l’effet avait- il à courir ? En déduire son échéance.

EX 3 :

Quel est le taux d’escompte d’un effet de 14960 dh, échéant le 28 juin et ayant donné une valeur actuelle, au 2 avril, de 14526,16 dh ?

EX 5 :

Deux effets, dont l’un est payable dans 120 jours, l’autre dans 90 jours, sont escomptés au taux de 12%.

Le total des montants des deux effets est de 34000 dh et le total des escomptes de 1200 dh .

Quelle est la valeur nominale de chaque effet sachant que le premier est supérieur au second ?

EX 6 :

Un commerçant est en relation avec  2 banques qui lui font les conditions d’escompte suivantes :

    B.M.C.I : escompte 12% ; commission 1%

    B.C.M    : escompte 10% ; commission 2%.

Sachant qu’il désire négocier un effet de 14400 dh, on demande à partir de quelle durée (nombre de jours restant à courir), il aura intérêt à s’adresser àla B.M.C.I.

CORRIGES

EX 1 :                                                                                                                                 ?

A – A  x  12   x   69   =     15045,80

1.   360

A –0,023 A    =  0,977 A  = 15045,80

A =  15045,80    = 15 400 dh

             0,977 

EX 2 :

…

Escompte :    31 200 – 30 888 =   312 dh

D’ où    31200   x     9     x     n    =      312                           n = 40 jours

1. 360

L’échéance de l’effet est le 26 mai

 EX 3 :

Du  2 avril au 28 juin87 jours ( 28 + 31 +28 )

         14526,16 dh14960 dh

87 jours                                                                      

Escompte : 14960 – 14 526, 16  =  433,84 dh

D'où     14 960  x      t     x   87    =  433,84 dh

                                     100       360

                 t = 12                         taux d’escompte   = 12%

EX 4 :

Soit X en DH  la valeur nominale de l’effet échéant dans 120 jours et ( 34 000 – x ) celle de l’effet échéant dans 90 jours .

X   x    12     x   120    +  ( 34 000 – X  )    x   12   x   90      =   1200 

            100        360                                        100       360

0 ,04 X  +  1020  -  0 ,03 X  =  1200

X  =   18 000 DH

Nominal du premier effet :  18 000 DH

Nominal du second effet : 34 000 -  18 000 = 16 000 DH

EX 5 :

Soit  X le nombre de jours restant à courir . L’agio sera :

1. B.M.C.I.  =  14 400 x   12  x  X       +     14 400 x  1  =  4,8 X  + 144

                                    36 000                             100

1. B.C.M.     =   14 400 x   10  x  X       +     14 400 x  2  =   4X +   288

                                      36 000                             100

Le commerçant s’adressera àla  B.M.C.I si l’agio retenu par elle est inférieur à celui retenu parla B.C.M. , d’ où l’inéquation suivante :

4,8 X + 144     <     4 X + 288

4 ,8 x  -  4 X    <      288 – 144

            0,8 X    <         144

                   X    <        180

Il aura avantage à s’adresser àla  B.M.C.I. , si le nombre de jours restant à courir par l’effet est inférieur à  180 jours ( ou 6 mois ) .

 Equivalence de capitaux à intérêts simples

 Définition : Deux effets sont équivalents à une date donnée, lorsque, escomptés au même taux, ils ont la même valeur actuelle à une date déterminée dite date d’équivalence.

 Exemple :  le commerçant souhaite remplacer le 15 juin en effet de 15.000 dh arrivant à échéance le 24 juillet, par un autre échéant le 14 août.

Quel doit être le montant de cet effet, le taux d’escompte étant de 12% ?

39j                          15.000                                 V_n ?

                        Date d’équivalence                            60j

Va₁ = Va₂

                   15.000 – 15.000 x 12 x 35 = Vn – Vn x 12 x 60

                                               36.000                        36.000

                                                           Vn = 15.107,14

            La valeur nominale du nouvel effet sera de 15.107,14dh

N.B. : la date d’équivalence est antérieure à la date d’échéance des 2 effets, elle doit être postérieure à la   date de création des 2 effets.

Application n°1 : 

Le commerçant accepte de remplacer un effet de 8.532dh payable dans 80 jours par un effet échéant dans 180 j. Quel doit être le montant de cet effet, le taux d’escompte étant de 10%.

Solution :

                        8.532 – 8.532 x 10 x 80  = Vn – Vn x 10 x 180

                                         36.000                              36.000

Vn = 8.781,47

            La valeur nominale  du nouvel effet sera de  8.781,47dh

Application n°2 :

Le débiteur désire remplacer un effet de valeur nominale de 75.000dh qu’il doit payer dans 60 j par un autre effet de valeur nominale 74.600dh.

Quelle serait l’échéance de cette nouvelle dette ( taux d’escompte 13%)

Solution :

                        74.600 – 74.600 x 13 x n = 75.000 – 75.000 x 13 x 60

                                           36.000                                   36.000

                                               n = 36.000 x 1.225 = 46 j

                                                            74.600

Application n°3 :

A quelle date un effet de valeur nominale 20.000dh à échéance du 15 Avril est-il équivalent à un effet de 20.435,86dh  à échéance du 14 juin et la même année ? taux d’escompte 12,60%

Solution :

            20.000 – 20.000 x n x 12,6 = 20.435,86 – 20.435,86 (n+60) x 12,60

                                   36.000                                              36.000

                        20.000 – 7n             = 2.006,71 – 7,152551 n

            n = 44 jours avant le 15 avril soit le 2 mars de la même année.

Equivalence de plusieurs effets : l’échéance commune 

L’échéance commune est le cas de remplacement de plusieurs capitaux ( ou effets ) par un seul capital (effet).

L’échéance commune est l’échéance d’un effet unique qui, à la date d’équivalence, a une valeur actuelle égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacés.

Exemple :

Un débiteur a accepté 3 traites :

            5.400 h : échéance dans 14 jours

            5.100dh : échéance dans 60 jours

            6.300dh : échéance dans 75 jours

Il souhaite que son créancier les remplace par un effet unique de valeur nominale de 16.700dh.

Quelle serait l’échéance de cet effet ? taux d’escompte : 12%

Solution :

0                14                  n ?                       60                    75                       jours

date        5400             16700               5100                   6300            valeurs nominales d’équivalence

16.700 – 16.700 x 12 x n    =                5.400 – 5.400 x 12 x 14      +    5.100 – 5.100 x 12 x 60           36 000                                                   36 000                                      36 000

     +     6.300 – 6.300 x 12 x 75

                             36.000

                        n = 184,70 x 360 = 34 jours

                               16.700x0,12

N.B. : Il peut arriver que la valeur nominale de l’effet unique soit égale à la somme des valeurs nominales  des divers effets remplacés :

 L’échéance commune est dans ce cas particulier, appelée échéance moyenne

Exercices d'application

 EX:1

Une personne place à court terme un capital de 18000 DH du 16 avril au 24 août de la même année, au taux annuel de 8%.

 Que va lui rapporter son capital ?

EX:2

- Quel est le capital qui a produit un intérêt de 280 DH sachant qu’il a été placé pendant 54 jours à 12 % ?

-          Quelle est la durée de placement d’un capital de 74600 Dh placé à 10% et rapportant un intérêt de 1119 DH ?

EX:3

Une personne dispose d’un capital .Elle en place :

-          ¼  à  7% pendant 18 mois

-          5/6  du reste à 9% pendant 16 mois

-          Le reste soit 5000 à 8% pendant un certain temps

Ces différents placements ont rapporté un intérêt total de 4150 DH

Calculer le capital total et la durée de placement des 5000 DH

EX:4

En remboursement d’un emprunt, on a réglé 5300 DH. Ce versement comprend :

-          l’intérêt au taux de 6% sur la totalité du capital

-          1/10 de la somme empruntée

Quel est le montant emprunté ?

EX:5

Calculer l’escompte commercial d’un effet de valeur nominale de 8 300 DH à 40 jours au taux de 10.75 %.

EX:6

Un effet de 6210 DH est négocié le 12 juillet au taux de 9.5 % l’an, par un commerçant qui reçoit en contrepartie une somme de 6151 DH.

Quelle est la date d’échéance de cet effet ?

EX:7

On remplace un effet de 13000 DH au 31 janvier par un effet au 02 avril.

Date d’équivalence : 1^er janvier (février compte 28 jours).Taux d’escompte 10.50 % .

Quelle est la valeur nominale du nouvel effet ?

EX:8

Un artisan doit payer les 4 effets suivants :

-          12 000 le 15 mai

-          25 000 le 31 mai

-          18 000 le 05 juin

-          32 400 le 10 juillet

En accord avec son fournisseur, il remplace les deux premiers effets par un effet unique ayant une valeur nominale de 37 000 DH.

Quelle est doit être l’échéance de cet effet unique ?

De même ,il remplace les deux derniers effets par un seul effet au 30 juin.

Quelle sera la valeur nominale de cet effet ?

(date d’équivalence :30 juin )

Taux : 11.25 %

EX:9

Un client devait vous régler le 31 mai une facture de 6 574,80 DH. Il endosse à votre profit 5 effets non échus et il s’engage

 à verser en espèces le solde le 31 mai .

Calculer le montant à percevoir le 31 mai. Taux 9%

Détail des effets :

            308 au 10 mai

            160 au 15 mai

            200 au 17 mai

            500 au 5 juin

            5205 au 30 juin

CORRIGES DES EXERCICES d'APPLICATION

 EX:1

-          Calcul de la durée :

Du 16 avril au 30 avril (30-16)                14

Mai                                                          31

Juin                                                          30

Juillet                                                       31

24 août                                                     24

          130 jours

-          Calcul de l’intérêt :

I = 18 000 x 8 x  130/36 00 = 520

EX:2

-          Formule exprimée en fonction de n = nombre de jours

    C = I x 36 000/tn

    C = 280 x 36 000 /54 x 12 = 10 080 000/648  = 15 555.56

-          Formule exprimée en fonction de n = nombre d’années

n = I x 100 / Ct

n= 1119 x 100/74 600 x 10  = 111 900/746 000 = 0.15 année soit en jours : 0.15 x 360 = 54 jours

EX:3

 I1 = ¼ C x 7 x 18 / 1200 = ¼ C x 0.105

Reste en capital : 4/4C – 1/4C = 3/4C

I2=(5/6) (3/4)C x 9 x 16/1200 = 15/24C x 0.