Cours électronique de puissance

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GENIE ELECTRIQUE 
Conversion statique d’énergie 


Michel Piou
Puissance et harmoniques  
(monophasé et triphasé) 
Chapitre VI 
 Edition 
24/11/2010 
Extrait de la ressource en ligne PowerElecPro sur le site Internet 


Table des matières 
3 VALEUR EFFICACE  .. 5 
 SONT PERIODIQUES DE MEME PERIODE.  .. 5 
4.2 Facteur de puissance  6 
PERIODIQUE DE MEME PERIODE.   7 
périodique de même période. . 7 
 est alternatif sinusoïdal et 
(
i t ) périodique de même période . 7 
périodique de même 
période  9 
9 PROBLEMES  . 16 
Chap 6. Exercice 5 : 
Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges équilibrées non 
Chap 6. Exercice 7 :  Puissance instantanée et harmoniques en triphasé équilibré  .. 30 
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sur le site Internet IUT en ligne 

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Michel Piou, la référence à PowerElecPro et au site Internet IUT en ligne
Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes - FRANCE

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 1 - 
1  POURQUOI ET COMMENT ? 
Prérequis 
Le premier chapitre « introduction à l’électronique de puissance », le second chapitre « Conversion 
DC?DC (hacheurs). Convertisseurs à liaison directe et indirecte », le troisième chapitre 
« Conversion  DC?AC. Onduleurs », le quatrième chapitre « conversion AC?DC. Redressement 
monophasé » et le cinquième chapitre  « conversion AC?DC. Redressement triphasé ». 
Objectifs :
Dans le troisième chapitre, nous avons déjà parlé des séries de Fourier avec, comme application, la 
mise en œuvre de l’approximation au premier harmonique. 
Dans ce nouveau chapitre, l’objectif est de faire le lien entre la série de Fourier d’un courant ou 
d’une tension et les conséquences de cette « pollution harmonique » sur la qualité d'une 
transmission d'énergie électrique. 
Méthode de travail 
L’exposé « académique » sur les propriétés des séries de Fourier reprend ce qui a déjà été énoncé au 
chapitre 3. Ceci est complété par des considérations sur les relations séries de Fourier/puissance et 
séries de Fourier/triphasé équilibré. 
Il est important d’apprendre par cœur dès maintenant certains résultats car ces connaissances 
sont aujourd’hui fondamentales dans le métier d’électronicien de puissance.  
Travail en autonomie : 
Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont 
données en fin de document.  
On trouvera des compléments dans la ressource en ligne « PowerElecPro » 
Temps de travail estimé pour un apprentissage de ce chapitre en autonomie : 20h 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 2 - 
2  LA SERIE DE FOURIER D’UNE FONCTION PERIODIQUE 
En électricité, on sait assez bien étudier le régime continu et le régime alternatif sinusoïdal. 
Or une fonction périodique est égale à sa valeur moyenne plus une somme de fonctions alternatives 
sinusoïdales (Cette somme est appelée "série de Fourier" de la fonction 
• 
1
Toute fonction  f ( t )  périodique de période T (fréquence  =
) peut se mettre sous la forme: 
T
f ( t ) Fmoy + [A .cos
1
(? t.) + B .sin
1
(? t.)]+ [A .cos
2
(2.t.) + B .sin
2
(2.t.)]  
+ [A .cos
3
(3.t.) + B .sin
3
(3.t.)]+  + [A .cos
n
(n.t.) + B .sin
n
(n.t.)]+ 
2?
avec ? = 2. f =
T
2 to
2 to
et avec  n
A
f ( t ).cos(n.t.)
? +
=
T
dt
    et     Bn
f ( t ).sin(n.t.)
? +
=
T
dt

to
T
to
T
(to quelconque) 
•  Si  f ( t )  est une fonction paire ? f ( t ).sin(n.t.) est une fonction impaire. 
T
En choisissant  to = ?
 et sachant que l’aire sous la courbe d’une fonction impaire sur 
2
T
T
?
2
2
??
+ ?  est nulle ? =
n
f ( t ).sin(n.t.dt
?
?
 :   B
0
2
?
T
=
T2
T2
4
et  f ( t ).cos(n.t.) est une fonction paire   ? =
n
f ( t ).cos(n.t.)
?
dt

T 0
•  Si la composante alternative de f ( t )  est une fonction impaire  ? (f (t ) Fmoy ).cos(n.t.) est 
une fonction impaire 
T
T
T
2
2
? ?
((t) ? moy
F
).cos( .n?.t)
2
2
.dt =
(t).cos( .
?.t)
2
2
.dt ?
F
.cos
moy
( .n?.t).
?
?
dt
T
T
T
T
T
T
1 2
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3 1 2 4
4
4
4
2
4
4
4
4
3 1 2
4
4
4
4
2
4
4
4
4
3
0
A
0
n
?
A
0
=
(1) …sous réserve que la somme converge (ce qui sera généralement le cas en électricité). 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 3 - 
•  Si la composante alternative de  f ( t )  :  falt(t ) = (f (t ) moy
F
) présente une symétrie de 
glissement (c’est à dire si 
T
Exemple: 
f ( t +
=
f ( t )
alt
?
), alors tous les 
2
alt
termes de la série de Fourier de rang 
pair
 sont nuls
t
A2 = A4 = A6 = … = 0 
B2 = B4 = B6 = … = 0 
•  Autre écriture d’une série de Fourier : 
Le terme général [A .cos ? +
? ]
n
(n. t.B .sin
n
(n. t.) est la somme de deux fonctions alternatives 
sinusoïdales de même fréquence. Cette somme peut donc s’effectuer en utilisant les complexes ou 
les vecteurs de Fresnel. On obtient alors : 
+
Bn
n
A .cos(n.t.) + Bn .sin(n.t.)
2
2
=
n
A
Bn .cos(n.t. ? ?) avec ?arctg
n
A
La série de Fourier peut donc s’écrire : 
(t) = F
F
.cos
moy
1
(?.? 1
? ) + F
.cos
2
(2.?.? ?2)
max
max
F
.cos
3
(3.?.? ?3)+   + F
.cos
n
( .n?.? ?)+ 
max
max
La fonction  f
=
? ? ? )
1( t )
F
.cost.
 est appelée 1er harmonique 
max
1
(ou harmonique fondamental). 
La fonction  f
=
? ? ? )
n ( t )
F
.cos(n. t.
 est appelée harmonique de rang n. 
max
n
Les amplitudes Fmax des harmoniques sont indépendantes de l'origine choisie sur l'axe des 
abscisses, on aura donc intérêt à choisir celle-ci de façon à rendre la fonction étudiée paire ou 
impaire lorsque c'est possible. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 4 - 
On démontre que 
 et ?  sont tels que:  
max
1
F
1
to T
?
[f(t )?
moy
F
.cos(? t. ? ? )]2
1
dt
 est minimum.  
to
max
1
On peut dire que la fonction  f1( t ) F
.cos(? t. ? ?)est la sinusoïde qui suit "au plus près" la 
max
1
composante alternative de la fonction f(t)  
Ou que la fonction  f1( t ) F
.cos(? t. ? ?) + moy
F
suit "au plus près" la fonction  f ( t )  (2) 
max
1
Sur les deux exemples suivants, représenter une estimation de la valeur moyenne et de la somme 
« valeur moyenne + fondamental » de la fonction périodique. ( 
u
t
i
0
t
(2) Cette formulation n'est pas très "mathématique", mais elle peut nous aider à donner une 
dimension plus intuitive à la notion de série de Fourier, et à situer le fondamental d'une fonction 
périodique avant tout calcul. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 5 - 
3  VALEUR EFFICACE 
Par définition, la valeur efficace d’une fonction  f ( t )  est « la Racine carrée de la valeur Moyenne 
de la fonction  f ( t )  au Carré ». (En anglais : Racine se dit Root, Moyenne se dit Mean et Carré se 
dit Square) d’où le sigle « RMS » pour les appareils qui mesurent les valeurs efficaces. 
1
F
?to +
=
T
2
eff
f ( t ) dt

to
T
Si la série de Fourier de  f ( t )  est : 
f ( t ) F
F
.cos ? ? ? +
? ? ? + +
? ? ? )
moy
t.
)
F
.cos(2. t.
)
 F
.cos(n. t.

n
max
1
max
2
max
n
On peut montrer que  
F
=
eff
moy
F
)2 + (F
F
F
eff )2
1
+ ( 2 )2 +   + ( n
eff
eff )2 + 
F
avec  F
max
n
eff
n
=

2
Cette relation doit être connue par cœur. 
De la relation précédente, on déduit que  eff
F
moy
F
 et que l’écart entre 
 et 
eff
F
moy
F
 croit avec 
l’importance des harmoniques. 
4  PUISSANCE LORSQUE  (
v t )  ET  (
i t )  SONT PERIODIQUES DE MEME PERIODE. 
4.1  Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont périodiques de même 
période. 

i
Si la tension et le courant dans un dipôle sont périodiques de même période T, ils 
.
2?
v
peuvent être décrits par des séries de Fourier avec la même pulsation: ? =
T
(
v t ) V
V
.cos ? + ? +
? + ? + +
? + ? )
moy
t.
)
V
.cos.
2 t.
)
 V
.cos(n. t.

n
max
1
max
2
max
n
(
i t ) I
I
.cos
moy
(? t. + ?1)+ I
.cos.
2t. + ?) +  + I
.cos(n.t. + ? ) + 
n
max
1
max
2
max
n
1 to
En développant l’expression de la puissance active  P
? +
=
T (vt (i
). t dt
). , on obtient l’expression 
to
T
suivante: 
V
.I
V
.I
.cos ? + V
I
? + +
moy moy
Vn
In
?)
1
1
( 1)
.
.cos
2
2
( 2) 
.
.cos(

eff
eff
eff
eff
eff
eff

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 6 - 
V
i
avec V
max
n
I
max
n
eff
n
=

2
eff
n
=
2
et   ?= ?? ? (déphasage de l'harmonique n de la tension par rapport à l'harmonique n du 
courant). 
Cette relation s’ajoute à celles qui ont déjà été rencontrées dans les cours précédents. Elle doit être 
connue par cœur. 
Retrouver à partir de l'expression générale de P les cas particuliers 
 * 
v( t ) V
cons tante 
=
 * 
i( t ) I
cons tan te 
=
 * 
(
v t )  et  (
i t )  alternatifs sinusoïdaux de même période 
 * 
(
v t )  alternatif sinusoïdal et  (
i t ) périodique de même période 
 * 
(
i t )  alternatif sinusoïdal et  (
v t )  périodique de même période 
(Réponse 2:) 
4.2  Facteur de puissance 
On peut démontrer que dans le cas où la tension et le courant sont périodiques de même période, le 
P
P
facteur de puissance (3)=
=
du dipôle est toujours inférieur ou égal à 1 (ce 
S
eff
V
I.eff
résultat sera admis): 
(3 ) Sur certains appareils de mesure, le facteur de puissance est désigné par les lettres « pf » pour 
« power factor ». 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 7 - 
5  PUISSANCE LORSQUE  (
v t )  EST ALTERNATIF SINUSOÏDAL ET  (
i t ) PERIODIQUE DE 
MEME PERIODE. 
5.1  Puissance active lorsque  (
v t )  est alternatif sinusoïdal et  (
i t ) périodique de 
même période. 
i
(
v t ) V
.cos(? t. + ? )
v
max
 Le courant périodique peut se décomposer en une série de Fourier : 
(
i t ) I
I
.cos
moy
(? t. + ?1)+ I
.cos.
2t. + ?) +  + I
.cos(n.t. + ? ) + 
n
max
1
max
2
max
n
La série de Fourier de la tension se limite à son fondamental : . 
v t
( ) = V
.cos(? t. + ? ) = V
.cos
1
(? t. + ?). Sa valeur moyenne est nulle et tous les 
max
max
harmoniques autres que le fondamental sont nuls. 
 En développant l’expression de la puissance active : 
V
.I
V
.I
.cos ? + V
I
? + +
moy moy
Vn
In
?)
1
1
( 1)
.
.cos
2
2
( 2) 
.
.cos(
+  , 
eff
eff
eff
eff
eff
eff
tous les termes de cette somme sont nuls sauf  1
V
.I1 .cos( 1
? ) 
eff
eff
On obtient donc l’expression suivante:  V
I
.
.cos(?)  
eff
1
eff
V
I1
Avec 
max
V
max
eff =
,  I1
=
 et ? = ? ?
2
eff
2
1
?1
Dans ce cas, seul le premier harmonique du courant intervient dans la puissance active échangée. ( 
5.2  Puissance apparente et puissance déformante lorsque  (
v t )  est alternatif 
sinusoïdal et  (i t ) périodique de même période. 
Par définition, la puissance apparente dans le dipôle s’exprime par : V
.I
eff
eff  donc : 
V
. (Imoy )2 +(I eff )2
1
+(I2eff )2 
+ +(Ineff )2 
+  
eff
(4) Pour la mesure de P, on peut utiliser un wattmètre dont la bande passante est seulement 
supérieure à la fréquence de la tension. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 8 - 
Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où  I
= 0
moy
 : 
??
2
2
. ??
=
V
??
?
. (I1eff )2 ??
??
?
??
+
V
??
?
([I2eff )2+ +
 (In
eff
eff
eff )2 + ]?
?
 ?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
2
avec ?V
??
?
. (I
?
=
??
?
? +
?
eff )
2
2
1
V
. (I eff )2
1
. ( 2
cos ( )
2
1
sin ( 1))
eff ?
eff ?
2
?
V
??
?
. (I
?
?
1
? + ?
?
?
eff )2
2
. cos ( 1)
2
V
. (I1eff )2
2
. sin ( 1)
eff ?
eff
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3 1
?
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
2
2
P
1
Q
« P » : puissance active
« 
 » : puissance réactive portée par le fondamental.
1
Q
???
?2
2
2
??
Le terme  = ??V
? ([I2eff ) + +
 (In
 est appelé « puissance déformante »  
eff
eff ) + ]
 ?
??
?
?
?
?
La puissance déformante rend compte, de manière globale, de la présence des harmoniques ( 
En conclusion : 
2
2
2
+ 1
Q

(5) On trouve maintenant à des prix abordables des appareils de mesure capable de mesurer chaque 
harmonique basse fréquence des courants et des tensions.  La notion de puissance déformante qui 
propose une description « globale » des harmoniques autres que le fondamental est donc moins 
pertinente. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 9 - 
5.3  Facteur de puissance lorsque  (
v t )  est alternatif sinusoïdal et  (
i t ) périodique 
de même période. 
P
Et par définition, le facteur de puissance s’exprime par :  =
 . C’est un critère de qualité d’une 
S
transmission de puissance électrique ( 
On en déduit : 
eff
V
I.1 .cos(?
eff
)
cos(?)
=
=
?
eff
V . (I
)2
moy
+(I1 )I
+ + I
+
eff
)2
eff
)2
eff
(
I
Imoy )
(
2
i
)2
eff
(
1
=
+
I1 )
i
2
I
eff
(21 )2
eff
cos(? )
 est appelé "facteur de déplacement". 
?
?(Iieff )2
i=2
THD f =
 est le « taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental». 
2
I1eff
cos( 1
? )
On en déduit que lorsque la tension est alternative sinusoïdale
= (
  le facteur de puissance est d'autant plus faible que la valeur 
Imoy )2
(
+ + THD
moyenne et les harmoniques de rang ? 2 sont importants et que le 
I
déphasage  ?  entre la tension et l'harmonique fondamental du 
eff )
2
1
2
f
1
1
courant est élevé. 
Si i(t) est alternatif et si THDf  est faible: cos(?1) ? k 
Notations : Dans les appareils de mesure, le facteur de puissance est souvent noté « PF »  (pour 
« power factor ») ; le facteur de déplacement est noté « cos(?) » ou « DPF » (pour « Displacement 
power factor ») et le taux de distorsion harmonique est noté « THD » (pour « Total Harmonic 
Distorsion » 
Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où  I
= 0
moy
 : 
DPF
PF =
2
THD f
(6) Voir le chapitre 10 de « baselecpro » : 
(Rechercher Baselecpro sur Internet avec un moteur de recherche) 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 10 - 
Exemples : 
Classer les exemples suivants par ordre de facteur de puissance décroissant. 
(Par hypothèse le 
fondamental du courant de la figure 3 est égal au courant de la figure 2) (Réponse 3:)

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 11 - 
6  SERIES DE FOURIER ET TRIPHASE EQUILIBRE 
Dans une ligne triphasée en régime 
iA
Phase A
périodique de période T, les courants sont 
équilibrés (7) s’ils sont identiques à un 
iB
Phase B
T
décalage près de  ±

i
3
C
Phase C
vA vB vC
Si le sens est « direct » : 
iN
Neutre
?
?
?
?
i ( t ) i
B
?
?  et i ( t ) i
C
+
? . 
?
?
?
?
.
2?
Si   i ( t ) = + 
I
.
A
1
[
cos ? + ?1] + 
t.
.
2
[
cos 2.? + ?] + 
t.
.
3
[
cos 3.t. + ?] +    avec ? =
T
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i ( t ) = + 
I
.cos ?.?? ? + ?
Iˆ .cos 2.?.
?
?
?? ? + ?
Iˆ .cos .
3?.
?
?
?? ? + ?

B
1
? ?
3
1
2
?
?
?
?
3
2
3
?
?
?
?
?
3
?
?
?
et 
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i ( t ) = + 
I
.cos ?.?+ ? + ?
Iˆ .cos .
2?.
?
?
?+ ? + ?
Iˆ .cos .
3?.
?
?
?+ ? + ?

C
1
? ?
3
1
2
?
?
?
?
3
2
3
?
?
?
?
?
3
?
?
?
.
2?
Si   i ( t ) = + 
I
.
A
1
[
cos ? + ?1] + 
t.
.
2
[
cos 2.? + ?] + 
t.
.
3
[
cos 3.t. + ?] +      avec ? =
T
?
2.?
?
?
4.?
?
?
6.?
?
i ( t ) = + 
I
.cos t. ?
+ ? + Iˆ .cos 2.t. ?
+ ?
Iˆ .cos 3.t. ?
+ ?

B
1
??
3
?
2
?
?
?
3
?
3
?
?
?
3
??
et 
?
2.?
?
?
4.?
?
?
6.?
?
i ( t ) = + 
I
.cos t. +
+ ? + Iˆ .cos 2.t. +
+ ?
Iˆ .cos 3.t. +
+ ?

C
1
??
3
?
2
?
?
?
3
?
3
?
?
?
3
??
On peut maintenant calculer le courant dans le neutre  i ( t ) i ( t ) i ( t ) i ( t )
N
A
B
C
On remarque que : 
2?
2?
Iˆ1.
[
cos ? + ?1]
?
?
?
?

t.
.cos t. ?
+ ? +
1
?
?
Iˆ1.cos?? t. +
+ ?1?  est la somme de trois fonctions 
?
3
?
?
3
?
alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées. Cette somme est donc nulle. 
(7 ) mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux équilibrés  

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 12 - 
De même : 
?
?
?
?
?
?
Iˆ .cos
2
.2? + ?2]
4
4

t.
.cos .
2t. ?
+ ?
Iˆ .cos .
2t. +
+ ?
0
2
?

?
3
?
2
?
?
?
3
??
Par contre : 
?
6?
?
?
6?
?
Iˆ3 .cos.
3? + ?] + 
t.
3 .cos
.
3t. ?
+ ?
?

?
3 .cos
.
3t. +
+ ?
?
=

.
3
?
3 .cos.
3t. + ?
?
3
?
?
3
?
On peut poursuivre la même démarche pour les harmoniques suivants  
On en conclut : 
i ( t ) I.

.
3
.
N
3
[
cos .
3t. + ?] + Iˆ.
3
.
6
[
cos .
6t. + ?] + Iˆ.
3
.
9
[
cos .
9t. + ?] +   
 La somme de courants triphasés équilibrés ne comporte que la valeur moyenne et des 
harmoniques 3 et multiples de 3.
(Le courant  i ( t ) ne comporte que la valeur moyenne etdes harmoniques 3 et multiples de 3). 
N
S’il n’y a pas de neutre : 
0 Iˆ
,
0 Iˆ
,
0 Iˆ
,
0, 
3
6
9

Les courants triphasés équilibrés d’une ligne sans neutre ont une valeur moyenne nulle et ne 
comportent pas d’harmoniques 3 et multiples de 3. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 13 - 
7  PUISSANCE EN TRIPHASE EQUILIBRE 
La ligne triphasée ci-contre est soumise à 
iA
Phase A
des tensions  v ( t )
A
,  v ( t )
B
 et  v ( t ) , et 
C
iB
elle est parcourue par des courants  i ( t )
A

Phase B
i ( t )
B
,  i ( t )  et  i ( t  qu’elle délivre à 
C
)
N
iC
une charge quelconque. 
Phase C
vA vB vC
iN
Neutre
i
A
Phase A
i
B
Phase B
Il est toujours possible de simuler le 
comportement de cette charge par trois 
iC
Phase C
dipôles montés en étoile qui, pour les 
v
mêmes tensions, engendreront les mêmes 
A
vB vC
iN
courants. 
Neutre
La loi de conservation de l’énergie précise que la puissance active totale consommée par la charge 
est la somme des puissances actives consommées par chaque élément. 
Lorsque les signaux sont tous de même période T,
La puissance active (ou puissance moyenne) s’exprime par la relation : 
= (vA( t i
). A( t )
)
+ (v ( t i
). ( t )
v ( t i
). ( t )
moy
B
B
)
(
moy
C
C
)moy 
Si les tensions et les courants sont triphasés équilibrés : 
= (.
3 vA( t i
). A( t )
)
= (.
3 v ( t i
). ( t )
.
3 v ( t i
). ( t )
moy
B
B
)
(
moy
C
C
)moy
et V
V
V
=
 et de même  I
I
I
=
eff
C
eff
B
eff
A
Veff
eff
C
eff
B
eff
A
I eff
P
P
Le facteur de puissance s’exprime par :  =
=
S
3V
.
I.
eff
eff
Si les tensions sont triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées et les courants triphasés 
équilibrés de même période que les tensions (mais pas sinusoïdaux) 
= (.
3 vA( t i
). A( t )
)
V
.
3
I.
.cos ?
moy
eff
1
(
eff
) . 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 14 - 
 Le facteur de puissance est alors : 
eff
V
.
3
I.1 .cos(?
eff
)
cos(?)
=
=
?
eff
V
.
3
(I
)2
moy
+(I1 )I
+ + I
+
eff
)2
eff
)2
eff
(
I
Imoy )
(
2
i
)2
eff
(
1
=
+
I1 )
i
2
I
eff
(21 )2
eff
cos( 1
? )
cos(?) est appelé "facteur de déplacement". (DPF) 
=
2
(Imoy) +1+THD
?
(I eff )
2
2
f
1
?(Iieff )2
i=2
THD f =
 est le « 
taux de distorsion 
2
I1eff
harmonique par rapport au fondamental».  
Notations : Dans les appareils de mesure, le facteur de puissance est souvent noté « PF »  (pour 
« power factor ») ; le facteur de déplacement est noté « cos(?) » ou « DPF » (pour « Displacement 
power factor ») et le taux de distorsion harmonique est noté « THD » (pour « Total Harmonic 
Distorsion » 
Donc, comme en monophasé : Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où  I
= 0
moy
 : 
DPF
PF =
2
1 + THD

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 15 - 
8  CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE. 
La réponse aux questions suivantes permet de vérifier si les connaissances principales sont acquises. 
a)  Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction paire ? 
b)  Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante 
alternative est impaire ? 
c)  Qu’est-ce qu’une « symétrie de glissement » pour un signal périodique ? Quelle est la propriété 
remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante alternative présente une 
symétrie de glissement ? 
d)  Comment peut-on estimer graphiquement le fondamental d’une série de Fourier ? 
e)  Quelle est la relation qui lie la valeur efficace d’un signal et sa série de Fourier ? 
f)  Donner l’expression de la puissance active dans un dipôle en régime périodique, à partir des 
séries de Fourier de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse. Définir clairement les 
termes employés. 
g)  Comment se simplifie l’expression précédente si la tension est alternative sinusoïdale de même 
fréquence que le fondamental du courant ? 
h)  Exprimer le facteur de puissance d’une ligne monophasée en fonction de la puissance active et 
de la puissance apparente. 
i)  Exprimer le facteur de puissance d’une ligne monophasée soumise à une tension alternative 
sinusoïdale et parcourue par un courant périodique de même période que la tension. (Utiliser le 
terme « facteur de déplacement ») 
j)  Exprimer la relation entre « DPF », « THD » et « PF » pour une ligne monophasée soumise à 
une tension alternative sinusoïdale et parcourue par un courant alternatif périodique de même 
période que la tension. 
k)  Une ligne triphasée (avec neutre) est parcourue par des courants périodiques triphasés équilibrés 
(mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux). Que peut-on dire de la série de Fourier du courant 
dans le neutre par rapport à la série de Fourier des courants dans les phases ? 
l)  Une ligne triphasée (sans neutre) est parcourue par des courants périodiques triphasés équilibrés 
(mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux). Que peut-on dire de la série de Fourier de ces 
courants ? 
m)  Comment s’exprime la puissance active dans une ligne triphasée (pas nécessairement équilibrée 
avec des tensions et des courants pas nécessairement sinusoïdaux) dont tous les courants et 
toutes les tensions sont de même période?

n)  Comment s’exprime la puissance active dans une ligne triphasée dont les courants et les 
tensions, de même période,  sont équilibrés (mais pas sinusoïdaux)  ? Comment s’exprime alors 
le facteur de puissance ?

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 16 - 
9  PROBLEMES  
Chap 6. Exercice 1 :   Harmoniques basse fréquence sur le réseau 50 Hz 

Le courant périodique i(t) (de période T) absorbé 
Iˆ 
par un variateur de vitesse industriel est représenté 
ci-contre (en traits forts). 
1) La fonction i(t) a une valeur moyenne nulle, et 



elle présente deux autres particularités qui 
permettent de calculer plus facilement sa série de 
M  Fourier. (Il n'est pas demandé de calculer cette 
série de Fourier). 
Indiquer ces deux particularités et les simplifications qui en découlent. 
2) Représenter sur le graphe de i(t) une estimation de son fondamental (Il n'est pas demandé une 
très grande précision pour ce qui concerne son amplitude). 
3) Sachant que  Iˆ 120 A ,  le courant i(t) peut être approché par l'expression suivante: 
i(t) ? (100?t) +  (300?t) + 24,8.cos(500?t) + 9,9.cos(700?t) 
Les graphes ci-dessous représentent la reconstitution progressive du courant i(t) à partir de ses 
harmoniques, jusqu’à l’ordre 7. 
Harmoniques 1 
Harmoniques 1 et 3 
100 
100 


Harmoniques 1, 3 et 5 
Harmoniques 1, 3, 5 et 7 
100 
100 

M

ic
3.1) Calculer approximativement la valeur efficace de i(t) à partir des premiers termes de sa série de 
Fourier. Vérifier ce résultat en comparant la valeur efficace de i(t) (en gras ci-dessus) avec la valeur 
efficace de la fonction alternative sinusoïdale (en pointillé ci-dessus). 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 17 - 
3.2) Le courant i(t) est prélevé sur une ligne monophasée alimentée en 220V/50Hz.  La ligne 
présente une impédance que nous assimilerons à une inductance de 1 mH. Le variateur de vitesse, 
vu de son entrée, est équivalent à des générateurs de courant absorbant le même courant i (voir 
ci-dessous) 
1 mH 

e(t) = 220.?2.cos(100?t + 0,25) 



3f 
5f 
7f 
i1(t) = (100?t) 
i3(t) = (300?t) 
e(t) 
u(t) 
i5(t) = 24,8.cos(500?t) 
i1 
i3 
i5 
i7 
i7(t) = 9,9.cos(700?t) 
M
i
charge
Calculer la série de Fourier de u(t) jusqu'à 
  l'ordre 3 (pour simplifier le calcul, les ordres 
5 et 7 ne sont pas demandés). 
3.3) Pour relever le facteur de puissance d'une installation précédente, un condensateur C de 400 µF 
avait été placé (et demeure encore) sur la ligne. (Le courant i(t) consommé par la charge que 
constitue le variateur de vitesse demeure le même que précédemment
1 mH 

Pour déterminer u(t),  on a calculé 


3f 
5f 
7f
ses premiers harmoniques en 
appliquant le théorème de 
e(t) 
u(t) 

superposition au schéma électrique 
i1
i3 
i5 
i7
ci-dessus. Les résultats des calculs 
M
sont donnés ci-dessous, sauf une 
i
charge
case que l'on complètera. 
fréquence 
50 Hz 
150 Hz 
250 Hz 
350 Hz 
1
?
1
?
jC n
. .
??
? +
0,327j 
1,467j 
120,5j 
– 2,35j 
?
jL n
. . ??
? ?
Harmoniques  
(100?t+0,25)
?
?
de u(t) 

58,5.cos(300?t – 2 )
+ 23,3.cos(700?t + 2 ) 
?
16,(100?t – 2 )

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 18 - 
Chap 6. Exercice 2 :   Echange d’énergie électrique et filtrage.
vLo(t)
Lo 
ie(t)  15.9mH 
VAMPL =
L1
IAMPL =
325 V 
IAMPL =  I1 IAMPL =  I2
I3 
47.7mH
2.5 A 
5 A 
e(t) 
4 A 
v(t)
FREQ =
FREQ =
FREQ =
FREQ =
50 Hz 
C1 
50 Hz 
150 Hz 
250 Hz 
23.58µF 
Source de tension 

d’alimentation en 
Charge 
énergie électrique 
consommatrice 
d’énergie électrique

Une source de tension  e t
( ) =
.
230 2.cos(
?
.
100 t.) 
alimente une charge qui consomme un courant 
10
périodique impulsionnel comme le montre le graphe 
ci-contre. 
La liaison entre la source de tension et la charge se fait 
M

t
au moyen d’une ligne inductive (modélisée par 
ic
l’inductance Lo sur le schéma ci-dessus.) 
On admettra que ce courant peut être reconstitué par la 
série de Fourier : 
i t
( ) = 5.cos(100.? t.) + 4.cos(300.? t.) + 5
,
2 .cos(500.? t.) (700.? t.) 
Ce courant non sinusoïdal est source de perturbations dans la ligne d’alimentation en énergie 
électrique. Il engendre également des perturbations de la tension d’alimentation de la charge. 
Pour réduire ces perturbations, on équipe le montage d’un « filtre » (L1.C1) 
De façon à simplifier l’étude, on négligera le terme 1.cos(700.? t.) par rapport aux autres termes de 
la somme ci-dessus. 
a)  Afin de déterminer  v(t)  et  (t) , représenter les 4 schémas illustrant la mise en œuvre du 
e
théorème de superposition. 
  ?  100?.   300?.   500?.   b) Connaissant les valeurs ci-contre, déterminer les expressions 
?
5
  15 ?   25 ?   numériques de ie(t) et v(t)
.
o
L
?
?
.
1
L
  15 ?   45 ?   75 ?  
1
135 ? 45
  27 ?  
?
.  
?
1
C

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 19 - 
Chap 6. Exercice 3 :   Redresseur  à modulation de largeur d’impulsion 
A - CHARGE RESISTIVE ET MODULATION A RAPPORT CYCLIQUE CONSTANT 
Le convertisseur suivant met en relation une source de tension alternative sinusoïdale 50 Hz et une 
charge non réversible en courant ayant un comportement équivalent à une résistance ohmique.
v t
( ) = V
i
e
;sin
max
( .2? t.
50
.

ch
i
e
L’interrupteur k a un fonctionnement périodique de fréquence 
ve

vch 25 kHz. 

? temps de fermeture ?
Son rapport cyclique  ??
??  est noté « a » 
?
période
?
a) Les 4 diodes et l’interrupteur « k » sont considérés idéaux : ils ne consomment et n’accumulent 
aucune énergie (Le convertisseur est donc « à liaison directe »). 
Exprimer la relation 
Vmax / R 
ich
entre la puissance 
instantanée 
(t).(t)  
e
e
reçue par ce 
convertisseur et la 
puissance instantanée 
(t).(t)  fournie 
ch
ch
par le convertisseur à 
la résistance « R ». 
b) Sur les graphes ci-
T

t  contre, les zones 
vch = ve si k est fermé 
vch =-  ve si k est fermé
grises verticales 
marquent les 
ie 
intervalles de 
ve / R 
fermeture de 
l’interrupteur 
« k ».  
(Pour simplifier la 
construction 
graphique, on a limité 
la fréquence de « k » à 
24x50 Hz, alors qu’en 
réalité, elle est de 
25 kHz.) 
T

t   Afin de représenter ci-
contre l’allure de 
(t)  et de  ( pour 
ch
)
e
un rapport cyclique 
« ?  
» d’environ ½, 
colorier simplement 
l’aire sous ces 
  courbes. 
Pour ce faire, on procédera à l’aide d’un surligneur en s’aidant des zones grisées. 

(On appliquera le principe de la conservation de la puissance électrique instantanée) 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 20 - 
c) On remarque que le courant  (t)  est le produit d’une sinusoïde par un signal carré 
e
d’amplitude 1. 
? 2 . sin(i a.?. )
Ce signal carré peut s’exprimer par la série de Fourier  + ?
. cos(?
t
'. + ?). 
?
.
= 1
La fréquence de découpage de « k » étant de 25 kHz, en déduire l’amplitude et la fréquence des 5 
premiers harmoniques non-nuls de  (t)  en fonction de V
, « R » et « a ». 
e
max
En déduire la puissance active « P », le facteur de déplacement « DPF » (8), la valeur efficace du 
courant «  I
 » (9
e
), le taux de distorsion harmonique « THD » et le facteur de puissance « PF » de 
eff
la ligne qui alimente ce convertisseur en fonction de V
, « R » et « a ». 
max
B - MISE EN ŒUVRE D’UN FILTRE SUR LA LIGNE D’ALIMENTATION 
Pour améliorer le facteur de puissance de la ligne, on ajoute au montage précédent un filtre « LC » : 
ich
i’e
ie
v’e
ve

vch

a) Pourquoi souhaite-t-on améliorer le facteur de puissance de la ligne ? 
b) Le convertisseur et sa charge consomment un courant (t)  périodique (en régime permanent) 
e
qui peut être exprimé par une série de Fourier. 
Vis à vis du filtre LC, l’ensemble constitué par le convertisseur et sa charge est équivalent à n 
sources de courant en parallèle (une pour chaque harmonique) : 
vL
i
i
i
i
i’e
i
e
e
e
e
50 Hz
24950 Hz
25050 Hz
49950 Hz  
e

v’e
ve

50 Hz
50 Hz
24950 Hz 25050 Hz 49950 Hz 50050 Hz 
Convertisseur + charge R 
Les valeurs de L et C sont telles que la fréquence propre du filtre est de 500 Hz et que 
L
?
.
100
.
<< 
(8) A partir de l’observation du graphe de  ie (t) . 
(9) L’utilisation de la conservation de la puissance active permet d’obtenir une expression plus 
simple que l’utilisation de la formule de Parseval : 
Feff = (F
)2
moy
+ ()+
+ +
+   
eff
1
(F eff2 )2   (F effn )

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 21 - 
Etablir le schéma équivalent permettant le calcul de l’harmonique fondamental (à 50 Hz) de ve 
et i’e. 
c) Exprimer la valeur complexe de l’harmonique fondamental (à 50 Hz)   e
V
 en fonction de 
50 Hz
' et de  Ie
. Vérifier que l’harmonique fondamental   v
(tv' (t)  quelque soit la 
50 Hz
50
e
e
Hz
valeur du rapport cyclique « a » de l’interrupteur « k ». 
d)  Montrer qualitativement que  (tv' (t)
e
e
  (en prenant en compte tous les harmoniques du 
courant). 
Et montrer que dans ces conditions : i' (ti
(t)
e
e
 (en considérant la composante du courant 
50 Hz
i' (t)  engendrée par la source  ( seule négligeable par rapport à i
(
e
)
e
)
e50 Hz
Quel est, dans ces conditions, la valeur du facteur de puissance de la source  v' (t)  ? 
e
e) La ligne présente en réalité une résistance interne « r ». La valeur de « r » est telle que la chute de 
tension dans celle-ci est négligeable par rapport à la tension  (t) . (L’étude précédente n’est donc 
e
pas remise en cause). 
Que peut-on dire des pertes joule en ligne en présence du filtre par rapport aux pertes joule en ligne 
en l’absence du filtre ? 
C - CHARGE TRES INDUCTIVE ET MODULATION EN SINUS 
Le convertisseur suivant met en relation une source de tension alternative sinusoïdale 50 Hz et une 
charge inductive non réversible en courant ayant un comportement équivalent à une source de 
courant  constant.
ch
La commande de l’interrupteur k est obtenue par une 
Ich
« modulation  sinusoïdale » :  Lorsque le signal triangulaire 
ie
modulant est inférieur à l’image de ve redressé : k est fermé. Il 
est ouvert dans le cas contraire. 
ve
(Pour simplifier la construction graphique, on a limité ci 

dessous la fréquence du signal modulant à 30x50 Hz, alors 
qu’en réalité, elle est de 25 kHz.) 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 22 - 
ve



Signal triangulaire modulant
image de ve redressé 
Amplitude 1
Amplitude ? 
1




vch = ve si k est fermé 
vch =-  ve si k est fermé
is
Ich

ie
Ich

a) Représenter l’allure de  (t) . 
s
En appliquant le principe de la conservation de la puissance électrique instantanée, en déduire le 
graphe de  (t) . 
e
b)(t)  présente deux particularités qui permettent de simplifier le calcul de sa série de Fourier. 
e
Quelles sont ces deux particularités, et quelles en sont les conséquences ? 
c) On peut démontrer que, outre son fondamental,   ? I
.
.cos
max
(? t.)   à 50 Hz, la série de Fourier de 
(t)  ne comporte pas d’harmoniques de rangs faibles. 
e
Conclure sur l’intérêt d’ajouter au montage un filtre LC du type utilisé dans la question B. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 23 - 
Chap 6. Exercice 4 :   Pont redresseur triphasé à diodes débitant sur une charge 
capacitive  
i
 Voici 
l’allure 
s
du courant dans 
D1
D2
D3
i
une phase de la 
A
Ich
750µF
ligne triphasée 
10uH 
5 A
vch équilibrée en 
C
10uH 
vA
entrée du pont 
vB
10uH 
de diodes: 
vC
D’1
D’2
D’3



30A  iA
20A 
10A 
0A 
-10A 
-20A 
-30A 
Dans la série de Fourier de (t)
A
, certains harmoniques sont absents, lesquels ? (Justifier en 
quelques mots)

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 24 - 
Chap 6. Exercice 5 :   Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges 
équilibrées non linéaires 
A) Une ligne monophasée alimente un variateur de vitesse absorbant un courant non sinusoïdal. 
L’étage d’entrée du variateur est constitué d’un pont redresseur à diodes avec un filtrage capacitif.  
Pour cet étage d’entrée, le reste du convertisseur est équivalent à une source de courant continu 
absorbant un courant de 2,3 A. 
Une source de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 235 V et de fréquence 
50 Hz alimente le montage. La ligne d’alimentation présente une résistance interne de 3 ? et une 
inductance équivalente de 5 mH: 
D1 
D2
VA 
L1 5mH 
R1 
iA
La tension  (t)
A
 et le 
DC = 2.3 A
I1
3 ? 
courant 
(t)
330 V / 50 Hz 
C1
A
 sont 
 700µF
représentés ci-dessous ainsi 
que le spectre d’amplitude de 
D3 
D4
la série de Fourier de  (t)
A

  400V
VA
0V
 -400V0ms
10ms
20ms
30ms
40ms
  10A 
iA 
0A 
  -10A 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms
 5.0A 
 2.5A 
  0A 
0Hz  50Hz  100Hz 150Hz 
250Hz
350Hz
450Hz 
550Hz

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 25 - 
Pourquoi le courant (t)
A
 ne présente-t-il pas d’harmoniques aux fréquences 100 Hz, 200 Hz, 
300 Hz… ?  Calculer  la  valeur efficace de  (t)
A
et son taux de distorsion harmonique (THDf). 
Estimer le facteur de déplacement (cos(?1) ou DPF) et le facteur de puissance de la ligne (au niveau 
de  (t)
A
). Calculer la puissance active fournie par la source  (t)
A
. Vérifier ce dernier résultat à 
partir d’une estimation de V
C1moy
Calculer les pertes joule dans la ligne d’alimentation. 
B) Sur une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée en tensions, on ajoute un second 
variateur de vitesse de même type (On suppose que les deux variateurs fonctionnent dans les mêmes 
conditions). 
D1
D2
VA 
L1 5mH 
R1  iA
DC = 2.3 A  I1 
3 ? 
330 V / 50 Hz
C1
 700µF
D3
D4
VB 
D5
D6
L2 5mH 
R2  iB
DC = 2.3 A 
3 ? 
I2 
C2
330 V / 50 Hz
 700µF
iN 
D7
D8
  400V 
VA 
VB 
0V 
 -400V 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms
  10A 
iA 
iB 
0A 
  -10A 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 26 - 
10A 
iN
0A 
-10A 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms
Sachant que  (t) = (t) + (t) , déterminer le spectre harmonique du courant  i
N
A
B
(t) . En déduire 
I

Neff
C) Sur une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée en tensions, on ajoute un troisième 
variateur de vitesse de même type (On suppose que les trois variateurs fonctionnent dans les mêmes 
conditions). 
D1
D2
VA 
L1 5mH 
R1  iA
DC = 2.3 A  I1 
3 ? 
330 V / 50 Hz
C1
 700µF
D3
D4
VB 
D5
D6
L2 5mH 
R2  iB
DC = 2.3 A  I2 
3 ? 
C2
330 V / 50 Hz
 700µF
D7
D8
VC 
D9
D10
L3 5mH 
R3  iC
DC = 2.3 A 
I3 
3 ? 
C3
330 V / 50 Hz
 700µF
iN 
D11
D12
Représenter N
(t)  sur le graphe ci-après. 
Déterminer le spectre harmonique du courant  iN (t) . En déduire  I

Neff
Déterminer le facteur de puissance de la ligne (au niveau de  (t)
A
,  (t)  et  (). 
B
)
C

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 27 - 
  400V 
VA 
VB 
VC
0V 
 -400V 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms
  10A 
iA 
iB 
iC
0A
  -10A 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms
  10A 
iA 
iB 
iC
0A 
  -10A 
0ms 
10ms 
20ms
30ms 
40ms

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 28 - 
Chap 6. Exercice 6 :    Onduleur de courant triphasé 
L'onduleur de courant ci-contre 
ie ? Io = constante 
est alimenté par une source de 
courant 
ie(t) > 0 
dont 
on 
T1 
T2
T3 
négligera l'ondulation. 
vT1 
v1
i1 
(t) ? Io = constante
e
). 
v2
u12
i2 
Les interrupteurs électroniques 
ve 
u31
v
sont supposés parfaits: courant 
3
u23
i3 
nul à l'état bloqué, tension nulle 
à l'état passant et commutation 
T’
instantanée. 

T’2  T’3 
L'onduleur débite dans une source de tensions alternatives sinusoïdales d’amplitude Vˆ , triphasées 
équilibrées parfaites (c'est à dire sans impédance interne). 
a) On donne les intervalles de conduction des interrupteurs sur la page suivante. Représenter sur 
cette même page, le graphe des courants  ( ) ,  ( )  et  ( )  . 
t
t
t
b) Sur le graphe de  ( ) , représenter le graphe de son harmonique fondamental  i
( ) . (sachant 
t
1
t
f
Io
.
2 . 3
que l'amplitude de ce fondamental est    Iˆ
=
Io
.
1
,
1
1
=
 ).  
f
?
Quel est le déphasage ?  de  ( )  par rapport au fondamental  i
( ) de  ( ) ? 
t
1
t
f
t
Sans faire aucun calcul, on sait que dans les séries de Fourier des courants ( ) ,  ( )  et  ( )  
t
t
t
certains harmoniques sont nuls. Préciser le rang des harmoniques nuls en le justifiant en quelques 
mots. 
Après avoir rappelé la relation entre la valeur efficace d’un signal et la valeur efficace de ses 
harmoniques, montrer, sans faire aucun calcul, que  la valeur efficace  I
de  (  est telle que 
eff
1
)
t
.
2 .
Io 3
3
2.Io
I
>
=
.
1
eff
2.?
?
3
Calculer maintenant la valeur efficace  I
de  ( . 
eff
1
)
t
c)  Calculer la puissance active   reçue par la source v1 en fonction de V
1
P
ˆ  et  Io (On pourra 
procéder à partir de la définition de la puissance active (sous forme d’une intégrale), ou utiliser le 
résultat d’un des cas particuliers vus dans le cours)
.

d) Connaissant les intervalles de conduction des interrupteurs et les tensions v1(t),  v2(t) et v3(t)
représenter le graphe de ve(t) sur la feuille de réponse. Déterminer 
 en fonction de V
e
V
ˆ 
moy

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 29 - 
v1 
v2 
v3 


T3 fermé 
T1 fermé
T2 fermé
T3 fermé 
T’1 fermé 
T’2 fermé 
T’3 fermé
T’1 fermé
T’2 fermé
u32 
u12 
u13 
u23
u21
u31
u32 
u12 
Uˆ

i1 
Io 

- Io 
i2 
Io 

- Io 
i3 
Io 

- Io 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 30 - 
Chap 6. Exercice 7 :   Puissance instantanée et harmoniques en triphasé équilibré  
Spectre des courants d'entrée d'une structure triphasée équilibrée: transformateur triphasé + pont 
redresseur triphasé débitant sur une charge très inductive. 

ic ? Io = cte
ia
a
v
ib
Pont
a
L
b
redresseur
uc
transformateur
v
triphasé
b
ic
c
triphasé
vc
Neutre
* Les tensions  v ( t ),   v ( t  et  v ( t  sont alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées de sens 
a
)
b
)
c
2?
direct, de période T et de pulsation ? = 2. f =
 tels que  v ( t 
)
.sin( t. ) 
T
a
?
* Les courants  i ( t ) ,   i ( t  et  i ( t  forment un système triphasé équilibré (10) de sens direct. 
a
)
b
)
c
Le neutre n’est pas relié. 
ia
I$
? ? ? + $
2? ? ?
+
+ $
( )
.sin.t
I .sin.t
 I .sin(n?.t
t
n
?
1
1
2
2
) +   
?
2?
?
? ?
2? ?
?
? ?
2? ?
?
ib
I.sin ?.t ?
? ?
I.sin 2. .t
?
I.sin n. .t
( t )
?
? + + n
?
?
n
??
3
?? +
?
??
?? ?
? +
1
1
2
2
?
?
??
?? ?
?
?
?
4?
?
? ?
4? ?
?
? ?
4? ?
?
ic
I.sin ?.t ?
? ?
I.sin 2. .t
?
I.sin n. .t
( t )
?
? +
n
?
?
n
??
3
?? +
?
??
?? ?
? +
1
1
2
2
?
?
??
?? ?
?
?
a)  Pourquoi la valeur moyenne des courants est-elle nulle ? 

b)  
Exprimer la puissance instantanée transportée par la ligne triphasée sous la forme: 
3Vˆ
. Iˆ
.
p ( t )
1
=
.cos
e
(?13Vˆ. Iˆ.2
?
.cos( .. ? ?3Vˆ
. Iˆ
. 4
+
.cos( .. ? ?)
2
2
2
3Vˆ
. Iˆ
. 5
?
.cos( .. ? ?3Vˆ
. Iˆ
. 7
+
.cos( .. ? ?3Vˆ
. Iˆ
. 8
?
.cos( .. ? ?) + 
2
2
2
c)  Montrer que si le neutre n'est pas relié au transformateur triphasé, les harmoniques des courants 
i ( t ) ,   i ( t  et  i ( t  de fréquence 3f et multiples de 3f sont nuls. 
a
)
b
)
c
(On peut donc en déduire que dans ce cas, l'expression de pe(t) prend en compte tous les 
harmoniques des courants) 
(10 ) Mais pas alternatif sinusoïdal  

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 31 - 
d)  La charge  du pont redresseur reçoit une puissance instantanée  p ( t ) u ( t i
). ( t ) u ( t Io
).
c
c
c
c

•  Si la tension u ( t ) est de période T/3 (par exemple avec un montage P3)
c
? ?
?
?
?
p ( t ) IoUc
.
+
c
Io ?
.
.sin( 3kt. + ?
?
3k
3k )?  
?k=1
?
? Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa 
valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 3?, 6?, 9?, 12?, etc 
•  Si la tension u ( t ) est de période T/6 (par exemple avec un montage PD3 à 6 thyristors)
c
? ?
?
?
?
p ( t ) IoUc
.
+
c
Io ?
.
.sin( 6kt. + ?
?
6 k
6 k )?  
k=1
?
? Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa 
valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 6?, 12?, 18?, 24?, etc 
•  On suppose le transformateur triphasé idéal (résistances des bobinages négligeables, pertes fer 
négligeables, fuites négligeables, inductances principales infinies). On suppose également que le 
transformateur est couplé sans neutre au primaire  (11) et le pont redresseur idéal (pertes nulles). 
Sachant que la puissance instantanée est conservative, en déduire par identification de  p ( t )  et 
e
p ( t ) que: 
c
-- Si  u ( t ) est de période T/3, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 
c
1 ; 2 et/ou 4 ; 5 et/ou 7 ; 8 et/ou 10 … etc 
-- Si  u ( t ) est de période T/6, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 
c
1 ; 5 et/ou 7 ; 11 et/ou 13 ; 17 et/ou 19 … etc 
-- Si  u ( t ) est de période T/12, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 
c
1 … etc  (Préciser…) 
? Plus la période de la tension de sortie du pont redresseur sera faible par rapport à la période de la 
tension d'alimentation de la ligne triphasée (plus l'ordre du redressement sera élevé), et plus les 
harmoniques présents dans les courants de ligne seront d'ordre élevé, et donc plus leur filtrage sera 
facile. 
(11) Si le primaire comporte un fil neutre, et que les courants secondaires présentent des 
harmoniques homopolaires (harmoniques 3 et multiples de 3) (cela suppose un neutre au 
secondaire), les courants primaires peuvent présenter des harmoniques homopolaires sans influence 
sur la puissance instantanée. Ces harmoniques homopolaires peuvent être étudiés séparément par la 
méthode des composantes symétriques et le théorème de superposition. 

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 32 - 
10  REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS 
Réponse 1:  

Valeur moyenne 

 i 
0  

Réponse 2:  
 * 
(
v t ) V
cons tante  : 
=
o
V I
. moy +  + +  = o
V I
. moy 
 * 
(
i t ) I
cons tan te  : 
=
Vmoy I.o +  + +  = Vmoy I.o 
 * 
(
v t )  et  (
i t )  alternatifs sinusoïdaux de même période ; 
V
I.
.cos(?1) + +  +  V
I
.
.cos
eff eff
(?)
eff
1
eff
1
=
 * 
(
v t )  alternatif sinusoïdal et  (
i t ) périodique de même période : 
V
I.
.cos(?1) + +  + +  = eff
V
I.
.cos(?1)
eff
1
eff
1
eff
1
 * 
(
i t )  alternatif sinusoïdal et  (
v t )  périodique de même période : 
V
I.
.cos(?1) + +  + +  = V
I.eff .cos(?1)
eff
1
eff
1
eff
1

PowerElecPro  Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 33 - 
Réponse 3:  
Fig1 : le régime est alternatif sinusoïdal 
: le facteur de puissance est donc 

= cos
1
(?) = cos(0) =1 
Fig2 : le régime est alternatif sinusoïdal 
: le facteur de puissance est donc 

? ? ?
= cos
2
(?)
1
= cos?? ? =  
? 3 ? 2
?
Fig3 : L’harmonique fondamental du courant est déphasé de  ?
 par rapport à la tension. De 
3
plus, le courant présente des harmoniques autres que le fondamental. Mais sa valeur moyenne est 
cos( 1
? )
? ? ?
1
nulle. Donc :  =
< cos
3
( 1
? ) ? < cos
3
?? ? ? <
2
? 3
3
?
2
1 + THD f
?
Fig4 : L’harmonique fondamental du courant est déphasé de  ?
 par rapport à la tension. De 
3
plus, le courant présente des harmoniques autres que le fondamental, et sa valeur moyenne est 
cos( 1
? )
1
non-nulle. Donc :  k4 = (
Imoy )
k3 <
2
2
(
f
I eff ) + 1
2
THD
2
1

Document Outline

  • Pourquoi et comment ?
  • La série de Fourier d’une fonction périodique
  • Valeur efficace
  • Puissance lorsque  et  sont périodiques de même période.
    • Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont pé
    • Facteur de puissance
  • Puissance lorsque  est alternatif sinusoïdal et périodique d
    • Puissance active lorsque  est alternatif sinusoïdal et pério
    • Puissance apparente et puissance déformante lorsque  est alt
    • Facteur de puissance lorsque  est alternatif sinusoïdal et p
  • Séries de Fourier et triphasé équilibré
  • Puissance en triphasé équilibré
  • Ce que j’ai retenu de ce chapitre.
  • Problèmes 
  • Réponses aux questions du cours





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