Travaux diriges en electricite magnetisme

Travaux dirigés en electricite magnetisme

P r é s e n t a t i o n

Tous les exercices de magnétisme qui seront abordés en Travaux Dirigés cette année sont regroupés dans ce fascicule.

Ces exercices sont regroupés par thème. Chacun des thèmes est introduit par un personnage historique, dont les travaux ont contribué à l'avancement du thème considéré. Puis, les objectifs du thème sont énoncés.

On trouve ensuite un questionnaire, type QCM, comportant des questions de cours : il est nécessaire de le faire seul, chez soi, et avant de venir en TD. C'est un travail préparatoire, qui permet de s'assurer que les notions de base requises pour la résolution des exercices sont bien comprises. L'étudiant pourra alors s'évaluer selon le barème ci-dessous.

Chaque question est notée de 0 à 2 points :

• Pas de réponse : 0 point
• Aucune erreur : 2 points
• 1 erreur : 1 point
• 2 erreurs et plus : 0 point

Le niveau d’acquisition des connaissances est évalué en fonction du nombre de total de points

recueillis pour l'ensemble des questions :
Total (par exemple, avec 5 questions, donc un maximum de 10 points)
	Connaissances acquises	Supérieur à 7	☺
	Connaissances en voie d’acquisition	De 4 à 7	[1]
	Connaissances non acquises	Inférieur à 4

Il est demandé aux étudiants de préparer la séance de travaux dirigés, en cherchant les différents exercices du thème, en particulier ceux à faire avant le TD. Tous les exercices du thème ne seront pas traités en TD. Bien évidemment, les mêmes exercices seront traités dans tous les groupes.

Tout exercice préparé à l'avance pourra être rendu à l'enseignant, qui le corrigera, et le rendra la semaine suivante. De même, pour les exercices non traités en TD : aucune correction ne sera distribuée. Il est donc très vivement conseillé de faire ces exercices et de les rendre à l'enseignant de TD, à titre d'entraînement.

L'équipe enseignante

Thème 1 :

Courant, symétrie et orientation du champ magnétique

Hans Christian Ørsted (1777- 1851)

Physicien et chimiste danois. Il est à l'origine de la découverte de l'interaction entre électricité et magnétisme. En avril 1820, lors d'un cours sur l'électricité qu'il faisait à ses étudiants, il démontra qu'un fil transportant du courant était capable de faire bouger l'aiguille aimantée d'une boussole..

Il découvrit ainsi l'interaction entre les forces électriques et les forces magnétiques dans une expérience qui nous apparaît aujourd'hui comme très simple.

Expérience d'Oersted: lorsque qu'un courant traverse un fil situé à proximité d'une boussole, l'aiguille aimantée est déviée d'un angle lié à l'intensité du courant.

Questionnaire :

1. Si le plan (Oxy) est plan de symétrie d’une distribution de courants, alors :

---

 en un point M  quelconque de coordonnées cartésiennes (x, y, z) , le champ

magnétique est de la forme B(M ) = B_xex  + B_yey .

---

 en un point M quelconque de coordonnées cartésiennes (x, y, z) , le champ magnétique est de la forme B(M ) = B_zez.

---

  La composante B_z (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_z(x, y, z)= B_z(x, y,− z).

---

  La composante B_z (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_z(x, y, z)= −B_z(x, y,− z).

---

 La composante B_x (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_x(x, y, z)= B_x(x, y,− z).

---

 La composante B_x (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_x(x, y, z)= −B_x(x, y,− z).

---

 en un point M  quelconque du plan (Oxy), le champ magnétique est de la forme

B(M )= B_x e x  + B_y e y .

---

 en un point M  quelconque du plan (Oxy), le champ magnétique est de la forme

B(M )= B_z e z .

---

 Aucune réponse n’est correcte.

1. Si le plan (Oxy) est plan de d’antisymétrie d’une distribution de courants, alors :

---

 en un point M  quelconque de coordonnées cartésiennes (x, y, z) , le champ

magnétique est de la forme B(M ) = B_xex  + B_yey .

---

 en un point M quelconque de coordonnées cartésiennes (x, y, z) , le champ magnétique est de la forme B(M ) = B_zez.

---

  La composante B_z (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_z(x, y, z)= B_z(x, y,− z).

---

  La composante B_z (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_z(x, y, z)= −B_z(x, y,− z).

---

 La composante B_x (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_x(x, y, z)= B_x(x, y,− z).

---

 La composante B_x (x, y, z) du champ magnétique en un point M  quelconque est telle que

B_x(x, y, z)= −B_x(x, y,− z).

---

 en un point M  quelconque du plan (Oxy), le champ magnétique est de la forme

B(M )= B_x e x  + B_y e y .

---

 en un point M  quelconque du plan (Oxy), le champ magnétique est de la forme

B(M )= B_z e z .

---

 Aucune réponse n’est correcte.

Exercice 1 : Résistance d’un fil cylindrique.

Un fil cylindrique homogène d’axe Ox, de section droite S, de longueur L et de conductivité σ, est soumis à la différence de potentiel (V₁-V₂). Le vecteur densité de courant J est dirigé vers les x positifs et constant en grandeur et direction.

1. Calculer en fonction de J et de S l’intensité du courant qui parcourt le conducteur.
2. Déterminer en fonction de la différence de potentiel le vecteur champ électrostatique dans le conducteur.
3. Déduire de la loi d’Ohm l’expression de la résistance du conducteur.

Dans les mêmes conditions, on étudie maintenant un fil cylindrique inhomogène de rayon a dont la conductivité varie en fonction de ρ (distance à l’axe du fil) selon la loi :σ(ρ) = α × ρ² où α est une constante positive.

1. Donner l’expression du vecteur densité de courant.
2. Calculer le courant I qui circule dans le conducteur.
3. En déduire l’expression de la résistance du conducteur.

Exercice 2 : Application des règles d’orientation du champ magnétostatique.

A partir des différents procédés techniques énoncés en cours (règles des trois doigts, du tire bouchon, du bonhomme d’Ampère et de la main droite), déterminer selon le cas l’orientation du champ magnétostatique total au point M ou du courant I pour le conducteur.

Exercice 3 : Fil de longueur finie.

On considère une distribution constituée par un fil rectiligne de longueur finie parcouru par un courant d’intensité I en coordonnées cylindriques.

1. Faire l’étude des invariances et en déduire les coordonnées dont dépend le champ magnétostatique.
2. Le point M appartient maintenant à l’axe Oy (y > 0), par des considérations de symétries, donner l’orientation du vecteur champ magnétostatique.

Exercice 4 : Ruban (A faire après le TD).

On considère une distribution constituée d’un ruban conducteur plan de largeur l et de longueur infinie parcouru par un courant d’intensité I (vers les y > 0) en coordonnées cartésiennes.

Fig. 2

1. Faire l’étude des invariances et en déduire les coordonnées dont dépend le champ magnétostatique.
2. Par des considérations de symétries, donner l’orientation du champ magnétostatique si M appartient à l’axe Oz (z > 0).

Exercice 5 : Spire (A faire après le TD).

On considère une distribution constituée par une spire de rayon R parcouru par un courant d’intensité I en coordonnées cylindriques.

Fig. 3

1. Faire l’étude des invariances et en déduire les coordonnées dont dépend le champ magnétostatique.
2. Le point M appartient maintenant à l’axe Oz, par des considérations de symétries, donner l’orientation du vecteur champ magnétostatique.

Thème 2 :

Champ magnétique d’une distribution de courant :

Calcul direct avec la loi de Biot et Savart

Jean-Baptiste BIOT (1774-1862)

Physiciens français. Avec Félix SAVART, il détermine en 1820, la valeur du champ magnétique engendré par un courant électrique et donne la loi qui régit le phénomène (loi de Biot et Savart).

Objectifs :

• Déterminer le sens et la direction du champ magnétostatique à l’aide des règles définies en cours
• Déterminer le champ magnétostatique à partir de la loi de Biot et Savart.

Lentille magnétique

Ce type de lentilles est utilisé dans un microscope électronique en transmission et sert à focaliser un faisceau d’électrons de grande énergie (plusieurs centaines de keV).

Questionnaire :

1.    Le champ magnétique dB ( M ) créé au point M  par un élément de courant I ⋅ dl  situé au point

1. est :

---

 un vecteur parallèle à PM .

---

 un vecteur perpendiculaire à PM .

---

 un vecteur parallèle à I ⋅ dl .

---

 un vecteur perpendiculaire à I ⋅ dl .

un vecteur tel que I ⋅ dl	forment un trièdre direct.
uuuur	r  ur

---

 un vecteur tel que { PM ; I ⋅ dl ;dB} forment un trièdre direct.

un vecteur dont la norme est proportionnelle à 1				PM		.
								2
un vecteur dont la norme est proportionnelle à 1				PM
								.
un vecteur dont la norme est proportionnelle à 1				PM				3
								.

---

 un vecteur dont la norme est proportionnelle à I .

---

 un vecteur dont la norme est proportionnelle à 1 I .

---

 un vecteur dont la norme est proportionnelle à la perméabilité magnétique µ₀ .

1. La perméabilité magnétique du vide µ₀  peut être exprimée en fonction de grandeurs fondamentales du système international d’unités. Sa dimension est alors donnée par :

---

  [µ₀ ] = 1 (quantité sans dimension).

---

  [µ ₀]= I ²T ⁻² M ⁻¹ L .

---

  [µ ₀]= I ²T ² M ⁻¹ L⁻¹.

---

  [µ ₀]= I ⁻²T ⁻² ML .

---

 Aucune réponse n’est correcte.

3. On place un élément de courant I ⋅ dl1  au point P et un élément de courant I					2	⋅ dl 2	au point P .
	1	1					2
On se place dans le cas où I1 ⋅ dl1  et I2 ⋅ dl 2		sont perpendiculaires au vecteur P1P2  . Le champ
magnétique dB ( M )	au point M , milieu du segment [P1P2 ] , est :
parallèle à	P1 P2, dans tous les cas.
dirigé dans une direction perpendiculaire à P1P2			si I1 ⋅ dl 1	= I 2⋅dl2.
dirigé dans une direction perpendiculaire à P1P2			si I1 ⋅ dl 1	=− I 2⋅dl 2.
nul si I1 ⋅ dl 1 = − I2 ⋅ dl 2 .

---

 nul si I₁ ⋅ dl 1 = I₂ ⋅ dl2 .

1. Dans le Système International d’Unités, un champ magnétique s’exprime en Tesla. Cette unité signifie en fait :

---

 kg.s^-2A^-1

---

 kg^-1.s²A

---

 kg^-1.s^-2A

---

 Aucune réponse n’est correcte.

Exercice 1 : Application de la loi de Biot et Savart (A faire avant le TD).

L’espace est rapporté à un référentiel orthonormé direct (O, x, y, z). Nous travaillons dans la base B = (e_x, e_y, e_z). On considère l'élément de courant Idl (0, 0, Idl) placé au point S (0, 0, 0). Calculer dB(M) au pointM(0,a, 0) en utilisant la loi de Biot et Savart sachant queaetIsont constants.

Exercice 2 : Spire circulaire.

Soit une spire circulaire, centrée au point O d'un repère (O, e_x, e_y, e_z), d'axe Oz, de rayon R, et parcourue par un courant d'intensité I. On désire calculer le champ magnétostatique créé en un point M (0, 0, z) de l'axe de la spire.

Fig. 1

1. On considère un élément de courant Idl, pris en un point S de la spire. Expliciter, dans le système des coordonnées cylindriques associées au point S, toutes les composantes du champ magnétostatique élémentaire dB(M) créé au point M par cet élément de courant.
2. En déduire l'expression du champ magnétostatique total B(M).
3. Tracer les variations de la composante B_z(z). Commenter la propriété de parité de cette composante.
4. Exprimer B(M) en fonction de l’angle sous lequel on voit la spire depuis le point M .
5. Montrer que la direction du champ B(M) aurait pu être déduite à partir de considérations de symétrie.
6. On considère maintenant un point N, qui n’est pas situé sur l’axe de la spire, ainsi que le référentiel cylindrique associé à ce point. Utiliser des considérations de symétrie pour prédire les composantes non nulles du champ B(N) dans cette base.
7. Expliciter dans le système des coordonnées cartésiennes, le champ magnétostatique élémentaire dB(N) en fonction de R, ϕ et x.

Exercice 3 : Champ magnétostatique sur l’axe d’un solénoïde.

Un solénoïde est un enroulement serré de fils fins parcourus par un courant sur une surface cylindrique d’axe Oz, de centre O, de rayon a et de longueur L, correspondant à l’association de N spires (voir Fig. 2). Il comporte donc n spires par unité de longueur. Il est parcouru par un courant d’intensité I.

1. Afin de calculer le champ magnétostatique, le solénoïde sera décomposé en portions élémentaires de longueur dz_s (voir Fig. 3). Donner la contribution dB(M) en fonction de n, dz_set θ(z_s) en généralisant le résultat obtenu pour une spire.
2. Exprimer le vecteur champ magnétostatique B(M) en un point M de l’axe Oz en fonction des deux angles θ₁ et θ₂.
3. Calculer en fonction de L et a le vecteur champ magnétostatique B au point O. Envisager le cas où a >> L.
4. Déterminer l’expression du champ magnétostatique si le solénoïde devient infini.
5. En supposant que le champ est uniforme dans tout le solénoïde, donner l’allure des lignes de champ. Expliquer pourquoi une bobine traversée par un courant est assimilée à un aimant.
6. Retrouver, à partir des différents procédés techniques énoncés en cours (règles des trois doigts, du tire bouchon, du bonhomme d’Ampère et de la main droite), l’orientation du champ magnétostatique au point M de l’axe de la spire.
7. Application numérique. Calculer la valeur du champ à l’intérieur d’un solénoïde considéré comme infini (I = 1 A, a = 1 cm, n = 1000 spires/m).

Exercice 4 : Champ magnétostatique d’un circuit carré (A faire après le TD).

On connaît le champ magnétostatique créé par un segment de longueur 2h parcouru par un courant I en un point M situé à la distance ρ.

1. Faire un dessin représentant le segment et le vecteur champ magnétostatique dans le système de coordonnées cylindrique. Donner l’expression du champ.
2. Soit un circuit carré de coté 2h parcouru par un courant I.

Par des considérations de symétries, déterminer l’orientation du vecteur champ magnétostatique total au point M.

Fig. 4

1. Exprimer le vecteur champ magnétostatique créé au point M (0, 0, z) par un seul segment en fonction de l’angle α.
2. Calculer le vecteur champ magnétostatique B(M) total créé en M en fonction de l’angle α.
3. En déduire le champ magnétostatique au centre du circuit carré.
4. Par des considérations de symétries, vérifier l’orientation du champ magnétostatique.

Thème 3 :

Champ magnétique d’une distribution de courant :

Calcul direct avec le théorème d’Ampère

André-Marie AMPERE (1775-1836)

Physicien français, développe la théorie de l'électromagnétisme.

Il imagine le galvanomètre et invente l'électro-aimant.

Il invente le nom solénoïde pour désigner la bobine rectiligne (étymologiquement "en forme de tuyau").

Objectifs :

• Déterminer le sens et la direction du champ magnétostatique à l’aide des règles définies en cours
• Enoncer le théorème d’Ampère (texte, formule et figure)
• Connaître et savoir appliquer les règles d’orientation du courant

Stockage de l’information par enregistrement magnétique

Une tête de lecture détecte les variations de champ magnétiques entre deux « bits » d’information successifs. Les têtes de lecture les plus récentes utilisent l’effet GMR (magnétorésistance géante) qui a value le prix Nobel de physique 2007 à A. Fert.

Questionnaire :

1. Pour appliquer le théorème d’Ampère, il faut choisir au préalable :

---

 une surface d’Ampère fermée dont la normale n est orienté vers l’intérieur de cette surface.

---

 un contour d’Ampère fermé n’enlaçant aucun courant et tel que le produit scalaire B ⋅ dl soit nul en chaque point de ce contour.

---

 un contour d’Ampère fermé tel que le produit scalaire B ⋅ dlsoit uniforme (au moins par morceaux) sur ce contour.

---

 Aucune réponse n’est correcte.

1. Le théorème d’Ampère est donné par :

---

 ∫ ^B⋅dl=Ienlacé

( C )

---

 ∫ ^B⋅dl=Ienlacé  ^µ0

( C )

---

 ∫ ^B⋅dl=µ0 ^Ienlacé

( C )

---

 ∫∫ ^B⋅ndS=Ienlacé  ^µ0

( S )

---

 ∫∫ ^B⋅ndS=Ienlacé

( S )

---

 ∫∫ ^B⋅ndS=µ0 ^Ienlacé

( S )

∫∫∫	ur
	B		dV=µ0 Ienlacé
V
(  )
∫∫∫	ur
	B		dV=Ienlacé
V
(  )
∫∫∫	ur
	B		dV=Ienlacé   µ0
(  )
V

Exercice 1 : Application du théorème d’ampère (A faire avant le TD).

1. Enoncer le théorème d’ampère.
2. Préciser dans chacun des cas suivants la somme algébrique des courants.

I

I2

I1

I

I

Auto-évaluation

Exercice 2 : Fil de longueur infinie.

Déterminer le champ magnétostatique créé à la distance ρ d’un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensité I.

Exercice 3 : Solénoïde de longueur infinie.

On considère un solénoïde mince d’axe z’Oz supposé de longueur infinie comportant n spires par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.

Fig. 1

A partir notamment de la connaissance du champ magnétostatique sur l’axe, démontrer que :

1. Hors de l’axe Oz, B(M) = B(ρ) e_z par des considérations de symétries et d’invariances,
2. Le champ magnétostatique est uniforme à l’intérieur en utilisant le théorème d’Ampère,
3. Le champ magnétostatique est nul à l’extérieur en utilisant le théorème d’Ampère.

Thème 4:

Force magnétique et force de Laplace

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)

Mathématicien, astronome et physicien français.

Laplace  est  l’un   des principaux  scientifiques  de   la période napoléonienne .Il  a  apporté  des  contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l’astronomie et de la théorie des probabilités, notamment en contribuant de façon décisive à l'émergence de l’astronomie mathématique. Il reprend et étend le travail de ses prédécesseurs dans son traité intitulé Mécanique

Balance électromagnétique utilisant la force de Laplace: un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique subit une force électromagnétique qui compense la force de pesanteur.

Exercice 1 : Effet Hall : principe d’une pince ampèremètrique.

Un semi conducteur parallélépipédique (ayant n électrons de conduction par m³) est utilisé comme sonde à effet Hall à l’intérieur d’une pince ampèremètrique. Une source de courant, intégrée dans la pince, alimente la sonde avec une densité de courant J. La pince entoure un fil parcourut par un courant I qui crée dans la pince un champ homogène B perpendiculaire à J.

1. Exprimez la vitesse de dérive moyenne v_d des électrons dans le semi-conducteur et représentez cette vitesse sur le schéma.
2. En déduire l’expression de la force magnétique moyenne qui s’applique sur les électrons du semi conducteur et représentez cette force sur le schéma.
3. Montrez qu’un champ électrique E_H apparaît perpendiculaire à J. Représentez ce champ et la force électrique qui en découle.
4. A l’état stationnaire, c’est à dire lorsque l’équilibre des forces est réalisé, exprimez E_H en fonction des données du problème. En déduire l’expression de la tension de Hall V_H.
5. Le matériau magnétique à l’intérieur de la pince concentre les lignes de champ magnétique engendrées par le courant I. Il en résulte que le champ B dans la pince peut être considéré homogène avec une valeur égale à celui créé par un fil infini à une distance moyenne égale au rayon a de la pince (il faut cependant remplacer µ_0, la perméabilité magnétique du vide, par µ = µ_rµ₀ la perméabilité magnétique du matériau).
6. Calculez le champ magnétique dans la pince lorsque I = 1 A, a = 1 cm et µ_r = 1000.

b. En déduire la tension de Hall V_H mesurée à l’aide de la pince sachant que n = 10¹⁵cm^-3, J = 50 x 10³Am^-2et l = 2mm.

Exercice 2 : Principe du canon magnétique.

Deux rails rectilignes, conducteurs, parallèles et distants de l sont disposés dans un plan horizontal. Une barre rigide MN, conductrice de résistance R, assujettie à rester perpendiculaire aux deux rails, peut se déplacer sans frottement sur ces derniers. Entre les extrémités A et A’ des deux rails, on dispose un générateur de force électromotrice E. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique B extérieur uniforme et vertical.

A l’instant t = 0, la barre MN est à l’origine de repère (Oxyz) et sa vitesse est nulle.

A t = 0, il apparaît un courant I dans le circuit. Exprimez I en fonction de E et R.

1. Donnez la direction, le sens et la norme de la force de Laplace F_L qui agit sur le barreau.
2. Calculez l’expression de la vitesse v(t) du barreau.
3. En déduire la position x(t) du barreau à chaque instant t.
4. En supposant que les extrémités libres des deux rails sont repérées par l’abscisse x = h, calculez le temps nécessaire à la barre MN pour quitter les deux rails.
5. Quelle est l’énergie gagnée par la barre à cet instant ?

Exercice 3 : (A faire après le TD).

Les vecteurs seront explicités dans la B.O.N.D. cartésienne (e_x, e_y, e_z). Un circuit rectangulaire

r

indéformable D₁ = MNPQ avec MN = PQ = 2b (côtés parallèles à ez ) et NP = QM = 2a (côtés parallèles à e_x est parcouru par un courant d’intensité I_1. On place, dans son plan et parallèlement à MN, un fil rectiligneD₂de longueur infinie parcouru par un courant d’intensité I₂constante. Lecentre de symétrie de D₁ est à la distance x₀ > a de D_2.

1. Déterminer la résultante F des forces de Laplace qui s’exerce sur le cadre.
2. Si D₁ peut évoluer librement, expliquer l’action de F sur le cadre.

Thème 5:

Phénomènes d’induction

Michael Faraday (1749-1827)

Physicien et chimiste britannique, surtout connu pour ses découvertes de l'induction électromagnétique et des lois de l'électrolyse.

C'est dans le domaine de la chimie que Faraday fait ses toutes premières recherches. Il découvre le benzène et réalise des analyses approfondies sur de nombreuses variétés de verre optique. Dans une série d'expériences, il réussit à liquéfier de nombreux gaz courants.

Les recherches menées par Faraday concernent surtout les domaines de l'électricité et du magnétisme. Il constate qu'un aimant agit sur un conducteur parcouru par un courant. Il utilise ce phénomène pour faire tourner un circuit en présence d'un aimant, donnant ainsi le principe du moteur électrique. En 1831, il découvre l'induction électromagnétique qui permet de transformer le travail (énergie mécanique) en courant (énergie électrique), phénomène à la base du développement de la dynamo.

Il étudie également les phénomènes d'électrolyse et met en évidence entre autres la relation existant entre la quantité d'électricité passant à travers l'électrolyte et la masse du produit décomposé. Il étudie ensuite les phénomènes électrostatiques, vérifie expérimentalement la conservation de l'électricité, développe une théorie de l'électrisation par influence, et démontre avec la cage de Faraday que les actions électrostatiques ne se font pas sentir à l'intérieur d'un conducteur creux.

Principe du chauffage par induction.

Exercice 1 : Phénomènes d'induction (A faire avant le TD).

A l'aide de la loi de Lenz puis de la loi de Faraday trouvez le sens du courant induit dans les deux cas proposés ci-dessous (l'orientation du contour de la spire vous est imposée):

B(t)	B(t + dt)	r	r
		B(t)	B(t + dt)

C	C
Spire de courant rigide	Spire de courant rigide

Exercice 2 : Circuit fixe dans un champ magnétique non uniforme (A faire avant le TD).

Les vecteurs seront explicités dans la B.O.N.D cartésienne (e_x, e_y, e_z). Soit un circuit rectangulaire filiforme (D) = PQRS avec PQ = RS = 2b (côtés parallèles à e_z et QR = SP = 2a (côtés parallèles à e_x. On place dans son plan et parallèlement àPQ, un fil rectiligne (D’)de longueur infinie parcourupar un courant d’intensité variable i’(t) ; le centre O du cadre est situé à la distance x_o> a de (D’).

Calculer la f.e.m induite e_i dans le circuit D en utilisant la loi de Faraday.

Exercice 3 : Principe du frein à induction.

Un barreau conducteur MN, placé perpendiculairement à deux longs rails conducteurs, parallèles et distants de L, peut glisser sans frottements sur ceux-ci. L’ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire B = B₀e_z (B₀> 0), perpendiculaire au plan des rails (voir Fig. 1). Les extrémités O et P des rails sont connectées à un galvanomètre G de résistance R.

On négligera la résistance des rails et du barreau devant R.

A l’instant t = 0, on communique au barreau occupant la position initiale x(0) = 0 une vitesse initiale v(0) = v₀e_z (v₀> 0).

1. Calculer la f.e.m e(t) induite à l’instant t dans le circuit fermé comprenant le barreau mobile.
2. Proposer un schéma électrique équivalent au circuit. En déduire l’expression de l’intensité i(t) du courant induit dans le circuit, comptée algébriquement selon le sens indiqué sur lafigure. Montrer que le sens de circulation du courant est conforme à la loi de Lenz.
3. Calculer la force de Laplace agissant sur le barreau et montrer qu’elle agit sur ce dernier comme un frein électromagnétique.

On étudie le mouvement du barreau de masse m après lui avoir communiqué la vitesse v(0) = v₀e_z.

1. Montrer que le barreau finira par s’arrêter sans qu’il soit besoin de prendre en compte le frottement sur les rails. On introduira la constante de temps τ= mR/B₀²L².
2. Quelle distance aura-t-il parcouru ?
3. Calculer l’énergie U_J dissipée par effet Joule dans la résistance R en fonction de m et v₀, lors du mouvement du barreau. Conclusion ?

Exercice 4 : Principe de l'alternateur (A faire après le TD).

Dans la Fig. 2, une spire de cuivre de surface S tourne autour d'un axe dans un champ magnétique B uniforme. Les contactsc₁etc₂de la spire tournent dans deux bagues isolées l’une de l’autre et quisont connectées à un voltmètre. La vitesse de rotation ω de l'axe est constante et conduit à θ(t) =ω t. A l'instant initial, la spire se trouve dans le plan vertical représenté sur la Fig. 2. La spire estorientée dans le sens de la flèche.

1. Montrez que f.e.m induite s'exprime par la relation e (t) = +B Sωcos(ωt). En déduire le sens du courant dans la spire.
2. Retrouvez ce résultat à l’aide de la Loi de Lenz.
3. Représentez e (t) sur la Fig. 3 pour une vitesse de rotation ω et 2ω.
4. Pour une valeur fixée de ω, quelle serait la valeur maximum de e (t) s’il y avait deux spires entre les contacts c₁et c₂ ? Représentez e (t) dans ce cas.

Exercice 5 : Courants de Foucault dans un barreau cylindrique (A faire après le TD).

A l’intérieur d’un solénoïde supposé infini, d’axe z’z, de rayon a comportant n spires jointives par unité de longueur et parcourues par un courant d’intensité i = I_m cos ωt, on dispose un barreau cylindrique conducteur, d’axe z’z, de rayon b < a, de longueur l et de conductivité γ . On se place en régime lentement variable. Tous les vecteurs seront explicités dans la base cylindrique (e_ρ, e_ϕ, e_z).

1.

1. Déterminer le champ électromoteur E_m (M, t) induit dans le barreau en un point M situé à la distance ρ (ρ < b) de z’z.
2. En déduire le courant volumique J_m (M, t)

2.

1. Calculer la puissance moyenne totale < P_j > dissipée par effet Joule dans tout le barreau en utilisant la loi de Joule sous forme locale.
2. Existe-t-il une autre méthode pour effectuer ce calcul ? Commenter.

Thème 6:

Inductances propres et mutuelles et énergie magnétostatique

Joseph Henry (1797-1878)

Physcien américain qui découvrit l'auto-induction et le principe de l'induction électromagnétique des courants induits.

En 1832, il créa l'unité de mesure d'inductance électrique qui fut nommée le henry en son honneur. Henry expérimenta et améliora l'électroaimant, inventé en 1823 par l'Anglais William Sturgeon.. Il fabriqua le premier télégraphe électromagnétique opérationnel en 1831. Henry conçut et construisit également l'un des premiers moteurs électriques…

En 1847, alors qu'il était secrétaire de l'