Livre sur l’electricite fresnel

Problème à signaler:


Télécharger Livre sur l’electricite fresnel



★★★★★★★★★★1 étoiles sur 5 basé sur 1 votes.
1 stars
1 votes

Votez ce document:

 


Guy CHATEIGNER

Michel BOËS

Jean-Paul CHOPIN

Daniel VERKINDÈRE

Électricité en 19 fiches

Régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

 

 

 

ISBN 978-2-10-053955-0

 

Table des matières

Partie 1 : Introduction

Fiche 1           Linéarité / non-linéarité – Régimes périodiques sinusoïdal

                         et non-sinusoïdal                                                                    4

Partie 2 : Régime sinusoïdal en monophasé

Fiche 2           Grandeur sinusoïdale : représentation temporelle

                         et caractéristiques                                                                 10

Fiche 3            Représentation de Fresnel                                                     18

Fiche 4            Notation complexe : loi d’Ohm                                             26

Fiche 5            Notation complexe : théorèmes                                             35

Fiche 6           Puissances – Facteur de puissance –

                         Théorème de Boucherot                                                        42

Fiche 7            Modèles série et parallèle d’un dipôle                                    52

Fiche 8            Adaptation d’impédance                                                       57

Fiche 9 Circuits magnétiques     61 Fiche 10 Fonction de transfert – Diagramme de Bode 68

Partie 3 : Régime périodique

Fiche 11        Valeurs moyenne et efficace – Facteurs de crête,

                         de forme, d’ondulation                                                          76

Fiche 12 Séries de Fourier – Analyse spectrale 86 Fiche 13 Calcul des coefficients de Fourier 105 Fiche 14 Puissances 114

Partie 4 : Régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal en triphasé

Fiche 15         Systèmes triphasés en régime sinusoïdal                              125

Fiche 16         Installations triphasées en régime sinusoïdal                         129

Fiche 17         Puissances en régime sinusoïdal triphasé                              140

Fiche 18         Champs tournants                                                               148

Fiche 19         Régime non-sinusoïdal triphasé – Puissances                       153

Table des matières


FICHE 1 Linéarité / non-linéarité –

Régimes périodiques sinusoïdal et

non-sinusoïdal

Objectifs : Distinguer un circuit linéaire d’un non-linaire.Choisir les outils mathématiques adaptés au fonctionnement du circuit :le régime périodique sinusoïdal ou le régime périodique non-sinusoïdal.

I     Linéarité / non-linéarité

•     Circuit linéaire

Dipôle linéaire – Charge linéaire

Un dipôle – ou une charge – est linéaire si, et seulement si, la fonction f ou g, de sa relation tension-courant u = f (i) ou i = g(u), est linéaire :

f (k1i1 + k2i2) = k1 f (i1) + k2 f (i2) ou  g(?1u1 + ?2u2) = ?1g(u1) + ?2g(u2)

k1, k2, ?1 et ?2 sont des constantes réelles.

Exemples : Résistances : u = Ri, condensateurs : i = Cdu/dt et bobines : u = Ldi/dt constituent des dipôles linéaires si R, L et C sont des constantes.

Si une source de tension sinusoïdale alimente une charge linéaire, alors le courant dans celle-ci est sinusoïdal.

Circuit électrique linéaire

Tous les dipôles qui le constituent sont linéaires. Les tensions et courants du circuit sont reliés par un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. Lorsqu’une « sortie » (tension ou courant), notée s = s(t), ne dépend que d’une seule « entrée » (tension ou courant), notée e = e(t), le système se réduit à une seule équation : dns d2s ds dme d2e de

an dtn                     2 dt         1 dt       0                m dt                    2 dt         1 dt     b0e              (m  n)

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Exemple : Circuit RLC (Fig. 1.1)

+ uC = uE

+ uR = RC

+ uL = LC

Principe de linéarité

s

k

tion », fiche 5.

Circuit non-linéaire

Dipôle non-linéaire – charge non-linéaire

Un dipôle – ou une charge – est non-linéaire si, et seulement si, la fonction f ou g de sa relation tension-courant u = f (i) ou i = g(u), n’est pas linéaire.

Exemples

En convention récepteur, la relation entre la tension et le courant s’écrit :

d?          d f (i) u = N            = N dt     dt

N est le nombre de spires du bobinage (voir fiche 9).

Figure 1.2  Caractéristique ? = f (i) d’une bobine à noyau ferromagnétique

Remarque : Dans le cas de la bobine, la tension est proportionnelle à la variation du flux, et la relation tension-flux est linéaire ; mais c’est la relation entre flux et courant, souvent non-linéaire, qui est alors cause de nonlinéarité globale.

Si une source de tension sinusoïdale alimente une charge non-linéaire, alors le courant dans celle-ci n’est pas sinusoïdal.

Circuit électrique non-linéaire

Au moins un des dipôles qui le constituent est non-linéaire. Les tensions et courants du circuit sont reliés par un système d’équations différentielles non-linéaires, qui nécessite une résolution numérique sophistiquée (ce que font les simulateurs).

II   Régimes périodiques sinusoïdal et non-sinusoïdal

•     Régime périodique sinusoïdal

(Fiches 2 à 10 pour le monophasé et fiches 15 à 18 pour le triphasé)

Régime sinusoïdal (voir fiche 2)

Un circuit électrique est en régime sinusoïdal permanent (ou régime harmonique) quand tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps de même fréquence. Le circuit électrique doit être linéaire et alimenté en permanence par une source d’énergie électrique sinusoïdale. Si plusieurs sources sont présentes dans un circuit, elles doivent être synchrones et de même fréquence. Le régime sinusoïdal permanent est un régime périodique particulier.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Notation complexe (voir fiches 4 et 5) et vecteurs de Fresnel (voir fiche 3)

Soit un circuit linéaire dont la sortie s = s(t) dépend de la seule entrée e = e(t). Si e(t) est sinusoïdale, alors s(t) est aussi sinusoïdale de même fréquence (régime sinusoïdal établi). Bien entendu, les calculs sur les valeurs instantanées restent possibles, mais ils deviennent vite longs et délicats (il faut remplacer les expressions de e(t) et s(t) dans l’équation différentielle à coefficients constants). Afin de faciliter les calculs, on utilise deux outils, qui font abstraction du temps : le formalisme complexe ou la construction vectorielle de Fresnel.

                      =              e =                              ???           =             s =

                 ??E = [E ;?e]                        ??             ????S = [S ;?s]

Passage de l’équation différentielle à coefficients constants à la notation complexe et réciproquement

En supposant valide la notation complexe, on passe de l’équation différentielle à la notation complexe en remplaçant e(t) par E, s(t) par S, d/dt par j? et plus généralement dk/dtk par (j?)k. L’opération inverse permet de passer de la notation complexe à l’équation différentielle. Le principe est le suivant :

Passage Passage

de l’équation + = dt  de la notation s K ?

différentielle complexe à la notationà l’équation complexedifférentielle

Remarque : Dans certains cas, il peut être plus simple d’utiliser la notation complexe pour la mise en équation puis d’en déduire l’équation différentielle.

Exemple

Soit le schéma (Fig. 1.3) où uE est une source de tension variable. En utilisant la notation complexe, on peut exprimer la fonction de transfert

US/UE .

Tout calcul fait, on obtient :

On écrit les termes en US à gauche et ceux en UE à droite :

(j2LC?2 + j(L/R)? + 1)US = UE

– Linéarité / non-linéarité – Régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Puis, en remplaçant US par uS, UE par uE, j? par d/dt et j2?2 par d /dt2, on obtient l’équation différentielle reliant uS à uE :

Figure 1.3  Circuit de l’exemple

•      Régime périodique non-sinusoïdal

(voir fiches 11 à 14 pour le monophasé et fiche 19 pour le triphasé)

Régime périodique (voir fiche 11)

Un circuit électrique est en régime périodique quand tensions et courants sont des fonctions périodiques du temps. Le régime périodique est un régime établi (permanent) obtenu quand tensions et courants sont devenus périodiques.

Signal périodique

Un signal périodique (tension ou courant en électricité) se reproduit à l’identique au cours du temps. Son diagramme temporel est une suite de motifs identiques. La période T d’un signal périodique est la plus petite durée entre deux instants où le signal se reproduit à l’identique :

                                                 ?t, s(t + kT) = s(t)          avec  k ? Z

Développement en série de Fourier (voir fiches 12 et 13)

Un signal réel s(t) périodique de période T, développable en série de Fourier, peut s’écrire :

                                                              s                                           avec

                                                     n=1                                                                                             T

Remarque : Ce développement permet une approche spectrale, chacune des composantes du signal étant analysée séparément sur le même circuit ; la composante continue donne lieu à une étude simplifiée en régime continu ; les autres composantes, toutes sinusoïdales, sont identifiées d’après leur fréquence n/T.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

 

 


Symbole

Nom

Unité

u = u(t)

valeur instantanée de la tension

volt (V)

U

valeur maximale de la tension

volt (V)

UMoy

valeur moyenne de la tension

volt (V)

UMax

UEff

valeur efficace de la tension

volt (V)

t

temps

seconde (s)

?t+ ?u

phase de u à l’instant t

radian (rad)

?u

phase initiale (à t = 0) de u

radian (rad)

T (avec ?T = 2?)

période

seconde (s)

1 f =

T

fréquence

hertz (Hz)

? = 2?f

pulsation

radian par seconde (rad/s)

Figure 2.2  Définitions pour une grandeur sinusoïdale

Remarque : Ceci reste valable pour toute grandeur sinusoïdale, par exemple l’intensité d’un courant s’écrit : i = i(t) = IMax cos(? t + ? ).

•     Déphasage

Le déphasage est la différence entre les phases initiales de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence.

Le déphasage entre une tension u et un courant i, u en avance de phase par rapport à i si ? positif, est :

? = ?u ? ?i

Figure 2.3  Représentation de Fresnel associée (voir fiche 3)

Remarques :

–  Les phases initiales et le déphasage sont écrits modulo 2?.

–  L’I.E.C. (International Electrotechnical Commission) recommandeque la valeur indiquée du déphasage soit supérieure à ?? rad et inférieure ou égale à ? rad, ce qui s’obtient par l’ajout éventuel d’un multiple de 2? rad à la différence ?u ? ?i.

–  Si ? > 0 alors on dit que la tension u est en avance de phase par rapport au courant i (ou que i est en retard de phase par rapport à u), et si ? < 0 alors on dit que u est en retard de phase par rapport à i (ou que i est en avance de phase par rapport à u).

II    Méthodes

En régime sinusoïdal permanent, les tensions et courants d’un circuit sont tous sinusoïdaux de même fréquence. Pour qu’il en soit ainsi, tous les éléments doivent être linéaires, et s’il y a plusieurs sources, toutes doivent être synchrones et de même fréquence.

Les lois des nœuds et des mailles restent valables à condition de les appliquer aux valeurs instantanées, aux représentants vectoriels (voir fiche 3) ou aux représentants complexes (voir fiche 4).

III Mesures

•    Voltmètre - Ampèremètre - Pince ampèremétrique

Mesures de la tension aux bornes d’une charge et de l’intensité la traversant.

–  Un voltmètre AC (Alternative Current) placé en parallèle ou dérivation (Fig. 2.4)permet de mesurer la valeur efficace de la tension.

–  Un ampèremètre AC placé en série (Fig. 2.4), permet de mesurer la valeur effi-cace de l’intensité d’un courant.

Montage aval dit aussi à courte dérivation ou Montage amont dit aussi à longue dérivation à tension « vraie ». Condition d’utilisation : ou à intensité « vraie ». Condition d’utilisation : iZVoltmètre        ZCharge ZAmpèremètre  ZCharge

u'

                                  i'+i                     i

                        A                                                                                                              i

A

AC

                                              i'                                                                        AC

 e                                     V          u                         e                    V            u'+u u

ACAC

Figure 2.4  Mesures deUEff et IEff ; e = EMax cos(?t)

Remarques :

–  Le montage aval est le plus couramment utilisé car les voltmètresmodernes possèdent toujours des impédances très grandes devant la plupart des charges, alors que les petites impédances des ampèremètres (fonction des calibres) peuvent parfois ne pas être négligeables devant certaines charges.

–  L’utilisation d’une pince ampèremétrique (capteur de courant sanscontact galvanique à transformateur de courant ou sonde à effet Hall) évite d’avoir à ouvrir le circuit (Exemple du montage amont :

Fig. 2.5). Dans la pratique, c’est la facilité de pose de la pince ampèremétrique et les conditions de sécurité qui imposent souvent le choix du montage amont ou aval.

 e  

Figure 2.5  Mesures de UEff et IEff avec pince ampèremétrique

Exemple du montage amont

•     Oscilloscope

Un oscilloscope permet de visualiser une tension en fonction du temps, de mesurer sa valeur maximale, de mesurer le déphasage entre deux tensions. De plus, les oscilloscopes numériques permettent généralement d’afficher directement les valeurs maximales, moyennes et efficaces, les déphasages, les périodes, les fréquences, etc.

–  L’utilisation d’entrées différentielles isolées (ou de sondes différentielles isolées)diminue les risques électriques et écarte les risques de court-circuit par la masse de l’oscilloscope, car la masse de l’appareil est reliée à la terre sauf en cas de double isolation.

–  La visualisation des courants est facilitée par l’utilisation de sondes de courant.

Exemple 1 : Mesure du déphasage entre tension et courant d’un dipôle d’impédance Z à l’aide d’un oscilloscope, entrées non isolées (Fig. 2.6). La voie A visualise la tension u1 = uA aux bornes du dipôle et la voie B

Figure 2.6  Schéma de mesure – La voie B est inversée

Exemple du montage aval

le courant qui le traverse par l’intermédiaire de la résistance R. Les entrées de l’oscilloscope n’étant pas isolées, la masse unique doit être connectée entre le dipôle et la résistance ; il faut donc inverser la voie B afin de retrouver la phase du courant : u2 = Ri = ?uB. Attention, la référence de la source « e » ne doit pas être à la terre !

Le principe de mesure avec un oscilloscope est basé sur la conversion du décalage temporel d’un signal par rapport à un autre en déphasage (Fig. 2.7) :

t2t2 ?t1t1 =22,86 ms,86 ms

T ==2020msms T

) ? =

Figure 2.7  Mesure à l’aide des curseurs,

 

Plusieurs méthodes de mesure du déphasage sont possibles :

–  Utilisation de fonctions spécifiques de l’oscilloscope (déphasage ?, décalage temporel t2 ? t1).

–  Mesure de temps à l’aide des curseurs, puis conversion (voir Fig. 2.7).On peut améliorer la précision en dilatant à l’écran l’écart t2 ? t1.

–  Mesure directe en décalibrant la base de temps afin d’obtenir uneéchelle en degrés par division. En pratique, on ajuste une demi-période, soit 180°, sur 9 divisions, ce qui donne une échelle de 20°/div. (Fig. 2.8). On peut aussi ajuster une demi-période sur 10 divisions, ce qui donne une échelle de 18°/div.

 

Figure 2.8  Mesure directe, ?(?) ? 2,6 × 20?/div. ? 52?

Remarque : Les mesures s’effectuent en mode AC et en ajustant précisément les positions du « zéro » pour supprimer tout décalage continu.

Exemple 2 : Mesure du déphasage entre tension et courant d’un dipôle d’impédance Z à l’aide d’un oscilloscope à entrées différentielles isolées (Fig. 2.9). La voie A visualise la tension u1 = uA aux bornes du dipôle et la voie B le courant qui le traverse par l’intermédiaire d’une sonde de courant : k × i = uB. Ce montage est toujours à préférer au précédent pour sa simplicité et son niveau de sécurité électrique (isolation), notamment dans le cas d’une mesure sur le réseau. Si l’oscilloscope ne possède pas d’entrée isolée, on intercalera, entre la charge et la voie A, une sonde de tension différentielle isolée.

Figure 2.9  Schéma de mesure avec sonde de courant et entrées isolées

Exemple du montage aval

 

2.       Valeurs maximales U1Max et IMax et valeurs efficaces U1Eff et IEff

U

                 U1Max = UAMax                                                                         ?                                230 V

2

                              UBMax                                                               IMax

                         IMax =                                                                    7 A

R

3.       Déphasage ? entre u1 et i. La tension u1 étant en avance par rapport au courant i, le dipôle est inductif.

, soit ? ? 1,26 rad

4.       Impédance Z du dipôle.

U1Eff                    229,8 Z

5.       Expressions de u1(t) et i(t). Par définition, on a :

u1(t) = U1Max cos(? t + ?u) = U1Max cos(? t + ?i + ?) i(t) = IMax cos(? t + ?i) = IMax cos(? t + ?u ? ?)

En prenant la tension u1(t) pour référence des phases (?u = 0), on obtient :

u1(t) = U1Max cos(2? f t) ? 325 × cos(100?t) i(t) = IMax cos(2? f t ? ?) ? 100 × cos(100?t ? 1,26)

En prenant le courant i(t) pour référence des phases (?i = 0), on obtient :

u1(t) = U1Max cos(2? f t + ?) ? 325 × cos(100?t + 1,26) i(t) = IMax cos(2? f t) ? 100 × cos(100?t)


 

                      Représentation de Fresnel :                                      Valeurs efficaces :

? = (??I ,??U ) = ?u ? ?i

U = ZI

Déphasage :

Figure 3.2  Loi d’Ohm transposée au calcul vectoriel • Dipôles linéaires élémentaires (Fig. 3.3)

 

 

Impédance ? Déphasage (rad)

Représentation de Fresnel

 

         iR                  R

uR

 

 

 

          iL                  L

uL

 rad

 

 

        C i

uC

        C = (                      ) =rad

2

 

Figure 3.3  Dipôles linéaires élémentaires

II    Méthodes

Attention, on ne doit pas ajouter les impédances Z1, Z2, ZN, exprimées en ohms, de dipôles mis en série, car un dipôle inductif ou capacitif déphase tension et courant entre eux. Similairement, on ne doit pas ajouter les admittances (inverses des impédances) de dipôles mis en parallèle.

•     Lois des nœuds et des mailles

Elles restent valables à condition de les transposer au calcul vectoriel. Les résultats s’obtiennent alors soit en mesurant modules et phases directement sur la représentation de Fresnel à l’échelle, soit par le calcul en utilisant les relations trigonométriques classiques.

– Représentation de Fresnel

Loi des nœuds (deux formulations)

1)      La somme des courants qui arrivent à un nœud estégale à la somme des courants qui en partent. Exemple (Fig. 3.4) :

??I1 +??I2 = ??I3

2)      La somme algébrique des courants aboutissant à un

nœud est nulle. Exemple (Fig. 3.4) :                                          Figure 3.4  Nœud N

 

Loi des mailles (deux formulations)

1)      La somme des tensions dans le sens de parcoursde la maille est égale à la somme des tensions en sens inverse. Exemple (Fig. 3.5) :

2)      La somme algébrique des tensions dans le sens deparcours d’une maille est nulle. Exemple (Fig. 3.5) :

                                                                                                          Figure 3.5  Maille M

•     Règle de Fresnel (Fig. 3.6)

La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même nature (tensions ou courants) et de même fréquence f est une grandeur sinusoïdale de fréquence f ; le module et la phase de cette somme sont donnés par la somme vectorielle associée.

Somme de deux grandeurs sinusoïdales

 

Somme vectorielle associée

u(t) = u1(t) + u2(t)

             ??U ?U?1 ?U?2

                                                                                 ??                           =         +

Figure 3.6  Règle de Fresnel • Projections, module et phase du vecteur somme (Fig. 3.7) Les projections s’ajoutent :

 

On en déduit :

U

x



•    Référence des phases

Il est commode d’attribuer une phase initiale nulle au signal pris pour référence des phases (souvent placée horizontalement dans la représentation de Fresnel). Il est alors souvent plus simple de prendre pour référence des phases : le courant dans le cas d’un circuit série, et la tension dans le cas d’un circuit parallèle.

•    Association d’un vecteur à un sinus

Toutes les grandeurs sinusoïdales doivent avoir la même origine des phases pour pouvoir être représentées sur un même diagramme de Fresnel. Dans le cas d’un sinus, on écrira :

u

 

S o l u t i o n

1. Représentation de Fresnel des tensions

– Sachant que V1 = V2 = V3 = V, on obtient la représentation de Fresnel (Fig. 3.10).

D’où :                                                                

                                avec  U  V                                    car                           (triangle rectangle)

2. Représentation de Fresnel des courants

–        Équations et transposition vectorielle (la résistance interne de l’ampèremètre estsupposée nulle) :

u

iR

 

Figure 3.10  Représentation de Fresnel des tensions

du13 iC = C

                     dt                  dt

i

–        Sachant que C? = 1/R, on obtient la représentation de Fresnel (Fig. 3.11). D’où :

                                                                                 ?3 + 1       U                     U

avec  I

I

car             R                                    R                 (triangle rectangle)

        2                            2                           12

 

Figure 3.11  Représentation de Fresnel des courants Résistance et condensateur non permutés

et

3. Représentation de Fresnel des courants, résistance et condensateur étant permutés – Équations et transposition vectorielle :

iR

                           =      du12                ??

                    iC       C

dt

i

– Sachant que C? = 1/R, on obtient la représentation de Fresnel (Fig. 3.12). D’où :

                                                                                ?3      1

avec  I

        I1                                120? + 30?                     5?

car  (triangle rectangle)

et

 

Figure 3.12  Représentation de Fresnel des courants Résistance et condensateur permutés

4. Conclusion. Si l’ordre des phases est direct (par exemple, 1-2-3 respectivement reliés à Ampèremètre-Résistance-Condensateur) alors I1 ? 1,93 × U/R. Par contre, si l’ordre des phases est inverse (par exemple, 1-3-2 respectivement reliés à Ampèremètre-Résistance-Condensateur) alors I1 ? 0,52 × U/R. Ainsi, ce simple circuit permet de repérer l’ordre des phases d’une alimentation triphasée.


 

•     Loi d’Ohm généralisée (Fig. 4.2)

U = [U ;?u] est le nombre complexe associé à la tension sinusoïdale u, I = [I ;?i] le nombre complexe associé au courant sinusoïdal i, Z l’impédance complexe du dipôle et Y son admittance complexe.

                                  I  Z = 1/Y                                                                   U = Z × I

                                                                                                                     I = Y × U

U

Figure 4.2  Loi d’Ohm généralisée

–   L’impédance complexe peut s’écrire :

Z = [Z ;?] = Ze j? = R + jX = Z cos ? + jZ sin ?

Z = |Z| = U/I est l’impédance, Arg(Z) = ? = ?u ? ?i (modulo 2?) le déphasage entre u et i, u en avance de phase par rapport à i si ? positif, R = Re(Z) = Z cos ? la résistance, et X = Im(Z) = Z sin ? la réactance. Z, R et X s’expriment en ohms (?).

–   L’admittance complexe peut s’écrire :

 jY sin ?

Y = |Y| = 1/Z = 1/U est l’admittance, G = Re(Y) la conductance, et

la susceptance. Y, G et B s’expriment en siemens (S) ou ohms?1

Interprétation géométrique de la loi d’Ohm généralisée

                                                     (valeurs efficaces)                              ZI (valeurs efficaces)

Arg(U) = Arg(Z) + Arg(I)+?i (modulo 2?)

On retrouve la représentation de Fresnel (voir fiche 3).

–   Notation complexe : Loi d’Ohm

•    Dipôles linéaires élémentaires (Fig. 4.3)

 

 

 

Impédance complexe

Impédance (?) Déphasage (rad)

Résistance (?)

Réactance (?)

 

            iR          R

uR

ZR

= R

 

 

 

            iL           L

uL

 

 

 rad

 

 

       C iC

uC

ZC

C

 

e?j?/2

?

 rad 2

 

Figure  4.3  Dipôles linéaires élémentaires

•    Association d’impédances en série (Fig. 4.4)

Deux dipôles sont en série s’ils sont traversés par le même courant (Addition complexe, voir « Méthodes »).

                                              ZEqu I                                        avec    Z

                                              I Z1                                         Z2

 

Figure 4.4  Mise en série

•    Association d’impédances en parallèle (Fig. 4.5)

Deux dipôles sont en parallèle s’ils ont leurs bornes communes (Addition complexe, voir « Méthodes »).

= Z1 × Z2

ZEqu

Z1 + Z2

U

ITot = I1 + I2 = YEqu                                      avec  Y                              ou

                                                       ZEqu


                                                                 I2         Z2

U

Figure 4.5  Mise en parallèle

I1 + I2 = I3

=

Somme de deux grandeurs sinusoïdales

 

Somme complexe associée

u(t) = u1(t) + u2(t)

 

??

Figure 4.8 Règle de transposition d’une somme

Attention, les valeurs efficaces ne s’ajoutent pas en général : U .

•    Passage de l’équation différentielle à la notation complexe (voir fiche 1)

On passe de l’équation différentielle à la notation complexe en remplaçant u(t) par U , d/dt par j? et plus généralement dk/dtk par (j?)k.

•    Dérivation et intégration (Fig. 4.9)

Grandeur sinusoïdale

??

??

Nombre complexe associé

u

U = [U;?u] = Uej?u

du

dt

 

j ? U = ?Uej(?u+?/2)

                  U      U    j(?u??/2)

                       =     e

                  j?    ?

Figure 4.9  Dérivation et intégration

Remarque : On déduit facilement de ces résultats les impédances complexes des dipôles élémentaires.

Résistance : uR = RiR

duC

              Capacité : iC = C                ? IC = C × j?UC

dt diL

              Inductance : uL = L               ? UL = L × j?IL

dt

C i r c u i t R L

 

S o l u t i o n

1. Expression du courant  en notation complexe – Transposition complexe :

uU

i

–  Première solution : À partir de l’équation différentielle.di

u = uR + uL = Ri + L

dt

En remplaçant u par U , i par I et d/dt par j?, on obtient :

 

–  Deuxième solution (généralement plus simple) : Par les impédances complexes.

                        U = UR + UL = ZR × I + ZL × I                avec ZR = R et ZL = jL?

2.  Valeur efficace I et déphasage ?

U

II

R + jL?

31

 

 Arg(U) ? Arg(I) = Arg(R + jL?)

 

3.  Expression de i

i = I t

C i r c u i t d e r e p é r a g e d e l ’ o r d r e d e s p h a s e s

 


S o l u t i o n

1.       Expressions des tensions composées

v V

v v u u u

 

=                          ?/    ,          =              ?/    ,          =                ?/                            avec U  V

2.       Expressions des courants

           iR = u12                                     U12 = U e j?/

                      R                         R         R

du31

iC = ?C

dt

IC j?/2

= C?Ue j?/

                                        == U                                j?/6 + C?Ue j?/3

         i1                                                iRICe

R

Sachant que C? = 1/R, on obtient :

U I1 = R

                                                                                   ?3      1      U                     U

Soit : I1 = I1e j?/                                  avec I                           +

3.       Expressions des courants, résistance et condensateur étant permutés iR

du12 iC = C

dt

IC Ue j?/6 = C?Ue j2?/

                                       i1 = iRU                                j?/6 + C?Ue j2?/3

R

Sachant que C? = 1/R, on obtient :

U I1 =

R

?

                      =                       j?/avec I                           3     1

Soit :       I1          I1e

4.       Conclusion. Si l’ordre des phases est direct (par exemple, 1-2-3 respectivement sur Pince ampèremétrique-Résistance-Condensateur) alors I1 ? 1,93 × U/R. Par contre, si l’ordre des phases est inverse (par exemple, 1-3-2 respectivement sur Pince ampèremétrique-Résistance-Condensateur) alors I1 ? 0,52 × U/R. Ainsi, ce simple circuit permet de repérer l’ordre des phases d’une alimentation triphasée.

 


–  Rendre passive (ou éteindre) une source de tension ou de courant« réelle », c’est la remplacer par son impédance interne. Rendre passive une source de tension « idéale » c’est la remplacer par un courtcircuit, tandis que rendre passive une source de courant « idéale » c’est la remplacer par un circuit ouvert.

–  Le théorème de superposition découle du principe de linéarité (voir

fiche 1).

•    Diviseur de tension – Diviseur de courant (Fig. 5.2)

 

Schéma

Relations

Diviseur de tension

Z1

U

              =                × U0

Y1 + Y2

Diviseur de courant

 

Y1

I

×

Figure 5.2  Diviseurs de tension et de courant

Remarques :

–  Les formules données (Fig. 5.2) ne sont valables que si aucune char-ge extérieure ne vient modifier le montage.

–  Les formules du diviseur de tension se retrouvent très facilement enremarquant que les impédances Z et Z sont en

U0   U1 série : + =

                              Z1          Z2            Z1

–  Les formules du diviseur de courant se retrouvent très facilement en

Z1 × Z2

•    Théorèmes de Thévenin et de Norton

Tout dipôle actif linéaire AB, composé de résistances, de condensateurs, de bobines, de sources indépendantes et/ou commandées, peut être représenté (Fig. 5.3) par :

1)    un schéma équivalent série (modèle de Thévenin) comprenant une source de tension complexe E0 et une impédance complexe Z0, ou

 

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

2)    un schéma équivalent parallèle (modèle de Norton) comprenant une source de courant complexe I0 et une impédance complexe Z0 ; où

        E0 est la tension à vide du dipôle AB, soit E                            ,

 

I0 est le courant de court-circuit du dipôle AB, soit I0 = I à U = 0,

Z0 est l’impédance complexe vue entre les bornes A et B lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle AB ont été rendues passives.

 

•     Théorème de Millmann

D’après le théorème de Thévenin, les dipôles (Fig. 5.4) sont équivalents. Pour ce circuit type, le théorème de Millmann permet d’exprimer la tension à vide du dipôle AB, soit = = , par la formule :

avec  Yk

Zk

N

E0=1 k

N

Yk

                  k   1

= E1 × Y1 +Y1E+2 Y×2Y+2 + + Y+NEN × YN

=

                                        Circuit type                                                Schéma équivalent

                                                                             I                                               I

                                                                                      A                                                A

                                                                                         U ?                                        U

                                                                                      B                                               B

Figure 5.4  Application du théorème de Millmann

Remarques :

–  Ne pas oublier au dénominateur de la formule les branches sans sour-ce, c’est-à-dire les admittances complexes Yk pour lesquelles les tensions Ek sont nulles.

–  En toute généralité, l’impédance complexe Z0 est donnée par le théorème de Thévenin. Cependant, dans le cas particulier où les sources 1 à EN sont toutes indépendantes, alors l’impédance complexe

N

                                     est donnée simplement par : Y               Yk

k=1

A p p l i c a t i o n d u t h é o r è m e d e s u p e r p o s i t i o n

 

S o l u t i o n

–  Source 2 « passivée » ou éteinte (Fig. 5.6). Les impédances Z1 et Z2 se retrouvant en parallèle, on a :

Z1 × Z2

                                                          U                              I1

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal


–  Source 1 « passivée » ou éteinte (Fig. 5.6). Par application du diviseur de tension,on a :

Z1

                                                                        U                E2

–  En superposant les deux états (Fig. 5.6), on obtient :

Z1 × (Z × I1 + E2)

Figure 5.6  Circuit à deux sources – Superposition des états

Remarques :

–  Une autre solution est de transformer le dipôle constitué de la source detension E2 en série avec l’impédance Z2 en un dipôle constitué d’une

source de courant I2 = Z2/E2 en parallèle avec l’impédance  Z2 (équi-

valence Thévenin-Norton). Ensuite, il suffit d’exprimer la tension U :

                                            1 × Z2 ×          +            = Z1 × Z2 ×             + E2

=

–  En vertu du principe de linéarité, l’expression précédente de U reste exacte si une source est commandée mais elle ne donne plus directement la solution. C’est pourquoi le théorème de superposition stipule que seules les sources indépendantes doivent être rendues passives. Par exemple, si = ? ( > ), le théorème de superposition n’est plus applicable car une seule source indépendante demeure, mais l’expression précédente de U reste exacte (principe de linéarité). On a alors :

U

Z1 + Z2

                                                                                Z1 × Z2                    ×

             D’où, tout calcul fait :       U

                                                                     Z1              2                          1

39

 

1.       Tension à vide du dipôle AB, soit E0 = U à I = 0 (Fig. 5.8)

                                                                                                          ZC      E                 E

                                                                                              E0 =          +×        =      +

                                                                                                         ZC      ZR        1      jRC?

Figure 5.8  Circuit pseudo-intégrateur RC – Expression de E0

2.       Courant de court-circuit du dipôle AB, soit I0 = I à U = 0 (Fig. 5.9)

 EI0

R

Figure 5.9  Circuit pseudo-intégrateur RC – Expression de I0

3.       Impédance complexe Z0 vue entre A et B lorsque les sources indépendantes sont rendues passives (Fig. 5.10). La résistance et le condensateur sont en parallèle.

                                U                                                         ZR × ZC =        + R

                      Z =                                                          =          +

                                       Sources indépendantes éteintes       ZR       ZC        1      jRC?

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Figure 5.10  Circuit pseudo-intégrateur RC –

4.       Schémas équivalents (Fig. 5.11)

                        Modèle de Thévenin                              Modèle de Norton

                          Z = R                                               I

B

Figure 5.11  Circuit pseudo-intégrateur RC – Schémas équivalents

 

 


En régime sinusoïdal permanent, la puissance instantanée s’écrit : p

Tout calcul fait, on obtient :

p pFluc

                                           P                                 pFluc

Remarques :

–  La puissance instantanée est la somme de la puissance P dite puissance active (terme constant) et de la puissance pFluc dite puissance fluctuante (terme variable à valeur moyenne nulle et fréquence double de celle de la tension).

–  La puissance active P est la puissance moyenne PMoy (voir fiche 11).

T

PMoypdt = P T est la période.

–  Le relevé d’une puissance instantanée à l’aide d’un oscilloscope estprésenté au paragraphe « Mesures ».

•    Puissances – Facteur de puissance (Fig. 6.2)

 

Unité

Définition

Relations

Puissance apparente complexe

volt-ampère (VA)

 

S = P + jQ = Sej?

Puissance active ou moyenne

watt (W)

P = UI cos( )?

P = PMoy = Re(S)

Puissance réactive

volt-ampère-réactif (var)

Q = UI sin( )?

Q = P tan( )?

= Im(S)

Puissance apparente

volt-ampère (VA)

S = UI

S2 = P2 + Q2

 

Facteur de puissance

 

P fP =

S

fP = cos( )?

Notation : X est le complexe conjugué de X )

Figure 6.2  Puissances – Facteur de puissance (convention récepteur)

Remarques :

–  Le facteur de puissance fP = cos(?) est de même signe que la puissance active P ; il est positif lorsque le dipôle est globalement récepteur et négatif lorsque le dipôle est globalement générateur (convention récepteur).

–  La puissance réactive Q est du signe de sin(?) ; elle est positive lorsque la tension est en avance de phase par rapport au courant (cas d’un récepteur inductif) et négative lorsque la tension est en retard de phase par rapport au courant (cas d’un récepteur capacitif).

–  Si on avait pris la valeur maximale UMax (resp. IMax) au lieu de la valeur efficace U (resp. I) pour le module de U (resp. I ), alors la puissance apparente complexe aurait été définie par

(voir fiche 4). Dans tout cet ouvrage on a pris les valeurs efficaces pour modules et, en conséquence, .

–  Relation utile :

–  La puissance active apparaît comme le produit scalaire P = ??U ·??I des vecteurs ??U = [U ;?u] et ??I = [I ;?i] associés aux grandeurs u et i (Fig. 6.3).

Produit scalaire (P est un réel) :

P

)

= U I cos(?) avec I = |??I |, U = |??U |

                                                                                  et ? = ( )        ? ? ?i

Figure 6.3  Produit scalaire

•    Énergies

La puissance instantanée est la dérivée de l’énergie par rapport au temps :

t2

dw

p =

dt

                                                 1           2                      pdt       (Énergie absorbée de t1 à t2)

t1

En régime sinusoïdal permanent, l’énergie s’écrit :

wt pFlucdt

Sur un nombre entier de périodes PFluc Moy . En conséquence, sur un nombre entier de périodes, ou dès que la durée de « comptage » t2 ? t1 est grande devant la période, on peut écrire :

wt1??t2 = P(t2 ? t1)

(P étant constant)

•    Interprétations physiques

À la puissance active P correspond une énergie active WAct(t1??t2) = P(t2 ? t1) qui est absorbée et/ou transformée dans le récepteur en énergie thermique, mécanique, chimique, etc. L’énergie active s’exprime en wattheures (Wh) ou kilowattheures (kWh), plus rarement en joules (J), bien que le joule soit l’unité légale. On a :

1Wh = 3600J.

À la puissance réactive Q correspond une énergie réactive WRéact(t1??t2) = Q(t2 ? t1) qui va périodiquement de la source vers le récepteur puis du récepteur vers la source, et ainsi de suite sans jamais être absorbée par le récepteur. L’énergie réactive s’exprime en varheures (varh) ou kilovarheures (kvarh).

Les puissances active et réactive pouvant varier au cours du temps, on définit le facteur de puissance pendant une durée t2 ? t1 donnée :

WAct(t ??t ) fP                  1                      2

L’existence d’une puissance réactive conduit à une augmentation du courant dans le générateur et la ligne alimentant le récepteur. Cette augmentation engendre un surcroît de pertes et nécessite un surdimensionnement des moyens de transport. La puissance apparente est l’élément essentiel du dimensionnement de la ligne et du générateur. Pour une puissance active donnée, plus le facteur de puissance est faible et plus le courant est élevé. C’est pourquoi on impose un facteur de puissance élevé et pénalise financièrement les consommateurs d’énergie réactive.

Remarque : Pour les domaines de tension HTA, et BT avec une puissance souscrite supérieure à 36 kVA, l’énergie réactive soutirée est facturée pendant les mois de novembre à mars, de 6h00 à 22h00, les jours ouvrables, pour la partie qui dépasse 40 % de l’énergie active consommée pendant la même période. En conséquence, en régime sinusoïdal permanent, il faut que :

WRéact sur le mois

[tan(?)]Mensuel =  < 0,4

WAct sur le mois

Et donc que le facteur de puissance mensuel soit :

[cos(?)]Mensuel > 0,93

II    Méthodes

•      Utilisation de la puissance apparente complexe

Elle permet d’exprimer conjointement les puissances active et réactive et de calculer la puissance apparente d’un dipôle. Principe :

 I

Il suffit ensuite d’identifier avec S = P + jQ et de calculer S = |S|. On vérifiera les expressions données pour les dipôles linéaires élémentaires (Fig. 6.4).

 

 

Puissance active

Puissance réactive

Facteur de puissance

 

          iR          R

uR

U2

PR = RIR2 =               R R

0

fP(R) = 1

 

          iL           L

uL

0

U2

QL = L?IL2 =           L

L?

fP(L) = 0

 

         C iC

uC

0

QC

fP(C) = 0

Figure 6.4  Dipôles linéaires élémentaires

•      Théorème de Boucherot : première formulation

La puissance active (respectivement réactive) consommée par un ensemble de dipôles est égale à la somme des puissances actives (respectivement réactives) consommées par chaque dipôle. Ainsi, un ensemble de N dipôles, absorbe une puissance active PEns et une puissance réactive QEns avec :

                                                         N                                          N

PEnsPk et      QEns Qk k=1                   k=1

•      Théorème de Boucherot : deuxième formulation

La puissance apparente complexe consommée par un ensemble de dipôles est égale à la somme des puissances apparentes complexes consommées par chaque dipôle.

N

SEnsSk

k=1

Remarque : Attention, les puissances apparentes ne s’additionnent pas. La puissance apparente se calcule par :

SEns

•      Utilisation du théorème de Boucherot Le tableau suivant résume la situation.

 

Puissance active (W)

Puissance réactive (var)

Dipôle 1

 

P1

 

Q1

Dipôle 2

 

P2

 

Q2

Dipôle 3

 

P3

 

Q3

Ensemble (Théorème de Boucherot)

PEns

= P1 + P2 + P3

= UIcos( )?

QEns

= Q1 + Q2 + Q3

= UIsin( )?

On en déduit tan(?) et le facteur de puissance fP :

                                     QEns                                           PEns                         PEns

                          tan(?) =                                               et      fP

                                      PEns                                                             SEnsQ2Ens

On en déduit aussi l’intensité efficace :

                                                                      PEns                  SEns

                                                          I =                 =

                                                                  U cos(?)         U

•      Correction du facteur de puissance Voir les exercices proposés ci-dessous.

III Mesures

Les mêmes méthodes peuvent être utilisées pour mesurer des puissances ou des énergies (« compteurs électriques »).

•     Appareils élémentaires

–  La puissance active se mesure à l’aide d’un wattmètre (Fig. 6.5) qui indique la valeur moyenne de la puissance instantanée p = ui.

–  Un voltmètre et un ampèremètre permettent le calcul de la puissance apparente àpartir des mesures de la tension et de l’intensité efficaces (voir fiche 2, « Mesures »).


Montage aval si :

iZVoltmètre  ZCharge

 e

Montage amont si :

uZAmpèremètre  ZCharge

 


Figure 6.5  Mesure de la puissance active, e = EMaxcos(?t)

•    Puissancemètre numérique

Plus performants et plus simples d’usage (possibilité de mesure de l’intensité sans contact par pince ampèremétrique), les appareils numériques s’imposent pratiquement partout ; ils intègrent un grand nombre de fonctions : puissances active, réactive, et apparente, facteur de puissance, tension et courant efficaces, fréquence, etc. Il faut cependant bien connaître les limites et les principes de calcul décrits dans la notice technique d’un tel appareil pour éviter les erreurs d’interprétation. En général, les tensions et intensités instantanées sont mesurées et les grandeurs affichées sont calculées par :

2                       1              T

U    =               i dt          Puidt S = U I Q

                                                                                    T    0

•    Oscilloscope

Il permet de visualiser la tension et l’intensité (de préférence avec une sonde de courant) instantanées ainsi que la puissance instantanée en multipliant la tension par le courant, de mesurer les valeurs moyennes et efficaces, le déphasage, etc.

Exemple

Allure de la puissance instantanée (Fig. 6.6) de l’exemple donné pour la mesure de déphasage (voir Mesures, fiche 2). Le produit des voies A et B : uuB) donne l’image de la puissance instantanée et s’exprime en V . La puissance instantanée possède une période de 10 ms, égale à la moitié de la période de uA et uB. Sur une période, elle est négative entre t1 et t2 (le dipôle est générateur) et positive en dehors (le dipôle est récepteur). Le calcul de la valeur moyenne de uA × (?uB) donnerait une image de la puissance active en V 2, t1 et t2 permettent de calculer le déphasage  (? ? 51,5?), etc.

?u ( )t ×uB( )t

                                                                          t            (2 ms/Div)

R e l è v e m e n t d u f a c t e u r d e p u i s s a n c e

Un atelier branché sur le réseau 230 V, 50 Hz comporte : deux moteurs de puissance utile 4 kW avec un facteur de puissance de 0,7 et un rendement de 0,85, un moteur de puissance utile 2 kW avec un facteur de puissance de 0,8 et un rendement de 0,8, et dix lampes de 100 W.

1.       Calculer les puissances active et réactive totales de l’atelier, son facteur de puissance, puis le courant efficace total nécessaire à son alimentation.

2.       Calculer la capacité des condensateurs à placer en parallèle pour relever le facteur de puissance à environ 0,93 (tan? = 0,4). En déduire le nouveau courant efficace total nécessaire à l’alimentation de l’atelier.

3.       L’atelier est alimenté par une ligne de résistance r = 0,1 ? et de réactance x = 0,1 ?. En utilisant le théorème de Boucherot, calculer la valeur efficace de la tension que devrait délivrer la source pour que la valeur efficace de la tension au niveau de l’atelier soit U = 230 V dans les deux cas précédent (sans et avec C).

S o l u t i o n

1.       Puissances active et réactive totales de l’atelier – Courant efficace total. Le tableau suivant dresse le bilan des puissances.

 

Puissance active

P = PU/?

Puissance réactive

Q = P tan?

Deux moteurs de Pu = 4 kW, cos?= 0, 7 et ?= 0, 85

 kW

9, 41 × 1, 02 ? 9, 60 kvar

Un moteur de Pu = 2 kW, cos?= 0, 8 et ?= 0, 8

 kW

2, 5 × 0, 75 ? 1, 88 kvar

Dix lampes de 100 W

10 × 0, 1 = 1 kW

0

Atelier

(théorème de Boucherot)

P1 ? 12, 91 kW

Q1 ? 11, 48 kvar

D’où le facteur de puissance de l’atelier :

                       tan?1                                                      0,889             P1           cos ?1          0,747

                                         P1            12,91

                                                                                        P1                      P1

                                            ou directement par fP = cos ?1 =            =

Il en résulte l’intensité efficace nécessaire à l’alimentation de l’atelier :

                                                                         I,                                    A

Remarques :

–  La puissance active, du signe du cos?, est positive pour un récepteur et négative pour un générateur.

–  La puissance réactive, du signe du sin?, est positive pour un récepteur inductif et négative pour un récepteur capacitif.

2.       Calcul de C (principe Fig. 6.7) – Nouveau courant efficace total.

 

Figure 6.7  Relèvement du facteur de puissance

Le tableau suivant résume la situation.

 

Puissance active

Puissance réactive

Atelier sans C

P1 = UI1 cos? 1

Q1 = UI1 sin? 1 = P1 tan? 1

Capacité C

PC = 0

QC = UIC sin(??/2) = ?C?U2

Atelier avec C

P2 = UI2cos?2

= P1 + PC = P1

Q2 = UI2sin?2 = P2tan?2

= Q1 + QC

On en déduit la puissance réactive que devra absorber le condensateur :

QC = Q2 ? Q1 = P1[tan?2 ? tan?1] ? 12,91 · 103 × [0,4 ? 0,889] ? ?6,31 kvar

Or QC = ?C?U2, d’où :

P1[tan?1 ? tan?2] ? 12,91×· 103×× [0,×889 ? 0,4] ?

                  C =                         2                                     2     ?      50     2302                      380 µF

2? f U

Il en résulte la nouvelle intensité efficace nécessaire à l’alimentation de l’atelier après relèvement du facteur de puissance :

P

                                                                   2            1                                    ,                              ,    A

               P2 = U I2 cos?2 = P1                                              cos?2                               0,928

Le relèvement du facteur de puissance diminue l’intensité efficace nécessaire.

Remarque : Attention, la loi des nœuds s’applique aux valeurs instantanées (i2 = i1 + iC) mais pas aux valeurs efficaces.

3.       Tension délivrée par la source. On applique le théorème de Boucherot. – Sans le condensateur C. On a :

                             PSource1 kW                                                    QSource1

SSource1  kVA

USource1 = SSource1/I1 ? 240,6 V – Avec le condensateur C. On a :

PSource2 kW    QSource2

SSource2  kVA

USource2 = SSource2/I2 ? 237,9 V

– Ainsi, la diminution de puissance réactive consommée par la charge conduit aussi à une diminution des chutes de tension en ligne.


 

fQ = |tan(?)|

•     Facteur de qualité

Un dipôle réactif globalement récepteur (P positif) est parfait s’il n’absorbe pas de puissance active. Pour chiffrer cette perfection, on définit le facteur de qualité fQ par :  (fQ est positif)

Remarques :

–  Le facteur de qualité dépend presque toujours de la fréquence.

–  Le facteur de qualité est souvent noté Q, mais attention alors à ne pas le confondre avec la puissance réactive.

–  En notant ? = ?u ? ?i le déphasage entre u et i, u en avance de phase par rapport à i si ? positif, on a (voir fiche 6) :

Q = P tan(?) ?

fQ = |Q|/P

II    Compléments

•    Tension active – Tension réactive (Fig. 7.1 et Fig. 7.3)

U2

                                                            Act             Réact

UAct UActI

URéactURéactI

(URéact est positif pour un dipôle inductif et négatif pour un dipôle capacitif)

Figure 7.3 Tensions active et réactive

Cas d’un dipôle inductif (? > 0)

•    Courant actif ou « watté » – Courant réactif ou « déwatté » (Fig. 7.2 et Fig. 7.4)

=

I = IAct + IRéact                                 Act                    IRéact2

IActU IAct

IRéact U IRéact

(IRéact est positif pour un dipôle inductif et négatif pour un dipôle capacitif)

Figure 7.4 Courants active et réactif

Cas d’un dipôle inductif (? > 0)

FICHE 7 – Modèles série et parallèle d’un dipôle

III Méthodes

•    Facteur de qualité d’un dipôle série (Fig. 7.1)

Le même courant traverse la résistance et la réactance. D’où :

= |Q| = |XS|I2 = |XS| fQ fQ P R I2 RS ou bien     ZS = U/I = RS + jXS RS

S

•    Facteur de qualité d’un dipôle parallèle (Fig. 7.2)

La résistance et la réactance ont leurs bornes communes. D’où :

= | | =              2/|XP| = |RP|        fQ                   = |RP| Q U

fQ               P           U2/RP                 XP                                          ou bien     YP                              fQ                  XP

•    Transformation modèle série  ? modèle parallèle

Pour établir les formules de passage entre l’un et l’autre des modèles, on écrit que l’admittance du dipôle parallèle (Fig. 7.2) est égale à l’admittance du dipôle série (Fig. 7.1) :

                      1                                                                                                jXS

RP  R

En identifiant les parties réelles d’une part et les parties imaginaires d’autre part, et tout calcul fait, on obtient :

                                                                                         et X = X

Si f alors  RP ? RS fQ2 et  XP ? XS

Attention, le facteur de qualité dépendant de la fréquence, les formules de passage cidessus en dépendent aussi. En conséquence, les modèles série et parallèle ne sont équivalents qu’à une fréquence particulière.

IV Mesures

En mesurant la puissance active P, le courant efficace I et la tension efficace U, on peut déterminer les éléments du modèle équivalent série (voir Fig. 7.1) et du modèle équivalent parallèle (voir Fig. 7.2). Principe :

–  On mesure P (voir fiche 6), I et U (voir fiche 2).

 

–  On calcule Q = ?S2 ? P2 .

–  On calcule RS = P/I2, XS = Q/I2, RP = U2/P et XP = U2/Q.

Un four à induction est équivalent à un circuit série composé d’une inductance pure

LS = 60 µH et d’une résistance rS = 10 m? (Fig. 7.5). La fréquence de fonctionnement de la tension d’alimentation du four est fixée à f = 600 Hz.

1.       Exprimer et calculer le facteur de qualité du dipôle à la fréquence f = 600 Hz.

2.       En déduire le modèle parallèle du dipôle à la fréquence f = 600 Hz.

3.       Le dipôle AB est alimenté par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace U1 = 1000 V. Exprimer et calculer les puissances active et réactive, les courants actif et réactif. En déduire l’intensité efficace du courant absorbé par la bobine.

4.       On ne dispose en réalité que d’un générateur de tension sinusoïdale de valeur efficace U2 = 90 V et de fréquence f = 600 Hz. Voulant obtenir pour le four le même point de fonctionnement (même intensité efficace) on ajoute en série avec celui-ci un condensateur de capacité C que l’on se propose de calculer.

4.1.     Calculer la puissance apparente du dipôle modifié.

4.2.     Montrer que la puissance réactive absorbée par ce dipôle a deux valeurs possibles. Calculer ces valeurs.

4.3.     Calculer le facteur de qualité du dipôle modifié dans les deux cas possibles.

4.4.     La solution technologique choisie (onduleur de tension à 4 thyristors en pont) est telle que le courant dans la charge doit être en avance par rapport à la tension. Calculer la valeur de C.

                                                                                 rP

                   ArS             LS           B

?

Figure 7.5  Modèle série – Modèle parallèle

F o u r à i n d u c t i o n

S o l u t i o n

1.  Facteur de qualité.

fQ1

                                                                  rS                  rS

2.  Éléments du modèle parallèle. On a :

jLS? (LS?)2

En identifiant les parties réelles, on obtient :

                           rP                                                        S                                     (LS?/rS)2)

rS

FICHE 7 – Modèles série et parallèle d’un dipôle

En identifiant les parties imaginaires, on obtient :

                                    LP = rS2 +L(SL?S2?)2 = LS(1 + (rS/LS?)2) = LS     f1Q12

Et aussi :

XP = XS

Q1 Puisque fQ12             1, on a :

rP = rS f µH et XP ? XS ? 226 m?

3.  Puissances active et réactive, courants actif et réactif.

P kW

Q

I1Act = P1/U1 = U1/rP ? 195 A

I1Réact = Q1/U1 = U1/XP ? 4412 A

I A

4.  Dipôle modifié

4.1.     Puissance apparente du dipôle modifié. On veut la même intensité I1, d’où :

S2 = U2I1 ? 397,5 kVA

4.2.     Puissance réactive du dipôle modifié. La puissance active est inchangée : P2 = P1. En conséquence, on a :

S

4.3.     Facteur de qualité du dipôle modifié.

fQ2

P1

4.4.     Valeur de C. Le courant dans la charge devant être en avance par rapport à la tension, la puissance réactive Q2 doit être choisie négative. D’où :

QC = Q2 ? Q1 ? ?4760 kvar

La puissance réactive absorbée par le condensateur est :

QC  µF



 

Lorsque les impédances sont adaptées, la puissance absorbée par le récepteur

PUMax = RUIMax2                 est égale à la puissance dissipée dans la résistance du générateur

RGIMax2   ; la puissance fournie par le générateur est alors égale à 2PUMax, soit un rendement de 1/2.

 

PUMax = 4RU

                                                          RG = RUPUMax                                                                             EG

XG = ?XU ?Max RU = 2RU et    I

•     Adaptateur d’impédance

Pour transférer le maximum de puissance d’un générateur à un récepteur non adaptés en impédance , on intercale un adaptateur d’impédance qui ne doit pas dissiper de puissance active.

A d a p t a t i o n d ’ i m p é d a n c e p a r T. P.

 

S o l u t i o n

Figure 8.3  Adaptation d’impédance – Modèle interne du T.P.

                                   I1 = mI2                  ?

                                                                                        1           U2/m

U

mI

U2 = ZU × I2 ?

1/

déterminée précédemment en série avec la source de tension EE = 0.

E

ZS déterminée précédemment en série avec la source de tension ES.

E

? ES = mEG

 

Figure 8.4  Modèles de Thévenin vus au primaire et au secondaire

Attention, il ne faut pas confondre le modèle interne du T.P. (Fig. 8.3), et les modèles vus au primaire et au secondaire (Fig. 8.4). Son modèle interne est indépendant du générateur et de la charge, ce qui n’est pas le cas des modèles de Thévenin vus au primaire et au secondaire.

4.  Condition d’adaptation d’impédance.

 

 

Au primaire : ZE                                                                                    mZU2       ZG                 ????       ??? mRUU2                   RG =

                                                ou bien                                 ??        X

                           Au secondaire : ZS = m2ZG = ZU ???               ?? m2 = ?XG

5.  Impédances purement résistives.

m

Remarques :

–  L’impédance de charge, placée au secondaire du T.P., est vue diviséepar m2 au primaire (ZE = ZU/m2).

–  L’impédance du générateur, placée au primaire du T.P., est vue multi-pliée par m2 au secondaire .

–  Le T.P. ne permet pas d’adapter indépendamment les parties réelles etles parties imaginaires des impédances, et il ne permet pas de modifier le signe entre les parties imaginaires.

–  Le T.P. permet facilement d’adapter les impédances de la charge et dugénérateur lorsqu’elles sont purement résistives ou se comportent comme telles dans une bande de fréquence donnée ; la condition d’adaptation est alors indépendante de la fréquence dans l’hypothèse du T.P.

–  Si les impédances de la charge et du générateur sont réactives, il fautmodifier la réactance au primaire ou au secondaire par ajout d’éléments réactifs.



 

où ? (en Wb) est le flux d’induction magnétique à travers une section du circuit magnétique (c’est le flux embrassé par spire), et ?Tot = N? (en Wb) est le flux total à travers la surface totale STot = NS (c’est-à-dire embrassé par la totalité du bobinage). La relation précédente montre que si la tension u est sinusoïdale, le flux ? l’est également. En notation complexe pour le régime sinusoïdal, la loi de Lenz-Faraday s’écrit :

 

U = j?N= j?Tot

U =

Arg(U)

U , et Tot sont les représentants complexes de u, ? et ?Tot.

Formule de Boucherot

L’induction magnétique B = B(t) (en teslas : T) est reliée au flux d’induction magnétique ? = ?(t) par ? = BS, soit en notation complexe pour le régime sinusoïdal :

 f NSBMax

U = j?NSB ??

On obtient alors la formule de Boucherot, valable en régime sinusoïdal, qui relie la valeur efficace de la tension à la valeur maximale de l’induction magnétique :

U                                                            ? 4,44 N f SBMax

Loi d’Hopkinson

Cette loi (écriture du théorème d’Ampère dans le cas d’un circuit magnétique parfait :

H = Ni) relie le flux d’induction magnétique ? = ?(t) au courant électrique i = i(t) par :

           1        

R = µ × S

                                            ? = Ni = R?         avec   

où ? = Ni s’appelle la force magnétomotrice (en A) et R la réluctance (en H?1). En notation complexe pour le régime sinusoïdal, la loi d’Hopkinson s’écrit :

?, I et sont les représentants complexes de ?, i et ?.

Remarque : µ étant constante, R est une constante et, en conséquence,

Inductance

En introduisant l’inductance L (en H), le flux total s’écrit :

N2

L =

R

                                            ?Tot = N? = Li         avec   

Finalement, en notation complexe pour le régime sinusoïdal, on obtient :

Tot = N= LI

 ?

U = j?N= j?Tot = jL?I

Avec ces hypothèses, résistivité nulle du conducteur électrique et circuit magnétique linéaire sans perte et sans fuite, la bobine est parfaite, d’inductance L. En régime sinusoïdal, la tension est en avance de ?/2 sur le flux et le courant (Fig. 9.2).

 

Figure  9.2 Représentation de Fresnel

•     Modèle linéaire d’une bobine à noyau de fer

Valable en régime sinusoïdal et hors saturation, il permet de prendre en compte les imperfections liées à la construction de la bobine ou à la nature des différents matériaux utilisés. Le schéma équivalent (Fig. 9.3) de ce modèle est composé des éléments ci-dessous :

–  La résistance r rend compte de la résistance du conducteur électrique ramenée en dehors du bobinage entraînant des pertes par effet Joule.

–  L’inductance magnétisante Lm rend compte du flux magnétisant ?m (en Wb) qui est le flux d’induction magnétique à travers une section du noyau ferromagnétique.

N?m = Lmim

–  L’inductance de fuite Lf rend compte du flux de fuite ?f (en Wb) qui est le flux en dehors ou sortant du noyau ferromagnétique.

N?f = Lfi

–  La résistance Rf rend compte des pertes magnétiques (pertes par courants de Foucault et pertes par hystérésis) appelées « pertes fer ». La modélisation par une résistance aux bornes de Lm est justifiée car ces pertes sont quasiment proportionnelles au carré de la tension induite par le flux magnétisant ?m (loi de LenzFaraday).

 

Figure  9.3 Schéma équivalent du modèle linéaire d’une bobine à noyau de fer

II    Compléments

La présence d’un milieu ferromagnétique permet d’obtenir des bobines de grande inductance, mais engendre des non-linéarités : le flux dans le circuit magnétique n’est pas une fonction linéaire du courant (la perméabilité magnétique, la réluctance et donc l’inductance ne sont pas constantes). Le flux est saturé à partir d’une certaine valeur du courant, et il diffère selon que le courant croît ou décroît (cycle d’hystérésis). La caractéristique ? = f (i) d’un circuit magnétique bobiné sans fuite de flux correspond à celle de B = f (H) du milieu magnétique aux facteurs d’échelle près. En effet, les relations : ? = BS (flux à travers la surface S) et H = Ni (théorème d’Ampère) permettent de passer de B à ? d’une part et de H à i d’autre part (Fig. 9.4).

 

Figure 9.4  Cycle d’hystérésis et saturation d’un circuit magnétique

Il est donc clair que, du fait de la saturation, l’inductance L = N?/i est une fonction nettement décroissante de i. En conséquence, si on impose une tension sinusoïdale u = UMax cos(?t) aux bornes de la bobine, alors :

–  le flux est sinusoïdal : Nd?/dt = u

–  l’induction magnétique est sinusoïdale : B = ?/S

–  l’excitation magnétique n’est pas sinusoïdale : H = f ?1(B)

–  le courant n’est pas sinusoïdal : i = H/N

Plus on s’éloigne de la zone presque linéaire (H faible) de la caractéristique

B = f (H), plus le courant présente des pointes et moins il est sinusoïdal (exemple Fig. 9.5). Attention, en cas de forte saturation, la bobine se comporte pratiquement comme un court-circuit !

Bien que la présence d’un noyau de fer rende l’inductance de la bobine non linéaire et donc le régime non-sinusoïdal en toute rigueur, on utilise tout de même le modèle linéaire d’une bobine à noyau de fer (Fig. 9.3) et on suppose le régime sinusoïdal ; les éléments du modèle doivent être déterminés au fonctionnement nominal (tension, courant) car ils en dépendent.

 

Figure 9.5  Allure du courant dans une bobine à noyau de fer

III Mesures

Pour le modèle linéaire d’une bobine à noyau de fer, on se contente souvent d’un modèle R-L parallèle que l’on détermine en mesurant la puissance active P, le courant efficace I et la tension efficace U (voir fiche 7).

B o b i n e e n r é g i m e s i n u s o ï d a l

1.      On désire réaliser une inductance en bobinant N spires sur un circuit magnétique (voir Fig. 9.1) de section du fer S = 26 cm2 et de longueur de la ligne de champ « moyenne »  = 50 cm. Le circuit magnétique est supposé non saturé, sans hystérésis et de perméabilité relative µR = 1000. La résistance du bobinage et les fuites de flux sont négligeables.

L’alimentation de la bobine s’effectue sous V = 230 V à f = 50 Hz. On désire obtenir une induction maximale BMax = 1,4 T dans le fer. On suppose toutes les grandeurs sinusoïdales.

1.1.    Calculer le nombre de spires N.

1.2.    Montrer que la loi d’Hopkinson peut aussi s’écrire ?Fer = HFer. En déduire l’amplitude (ou valeur maximale) de la force magnétomotrice dans le fer ?Fer Max. 2. La construction n’est pas parfaite et laisse apparaître des entrefers dont la somme

. Ceux-ci sont comptés pour une force magnétomotrice d’amplitude ?Air Max = 250 A.

2.1.    En déduire l’amplitude de la force magnétomotrice totale ?Tot Max, puis les valeurs maximale et efficace du courant magnétisant im.

2.2.    Evaluer la somme des entrefers e.

3. Soit le schéma équivalent (Fig. 9.6) de la bobine en régime sinusoïdal. La puissance absorbée mesurée sous tension nominale est P = 47 W.

 

 

 

Figure 9.6  Schéma équivalent de la bobine

3.1. Repérer le courant magnétisant.

3.2. Exprimer et calculer la réactance puis l’inductance de la bobine.

3.3. Que modélise la résistance R ? Exprimer et calculer R.

3.4. Exprimer et calculer la valeur efficace I du courant appelé par la bobine.

3.5. Dans le cas d’une réalisation peu soignée, la somme des entrefers est doublée. Comment varie alors l’inductance de la bobine ? Justifier.

4. Parmi les 5 grandeurs suivantes : v, i, ?, B(t) et H(t) dites celles qui sont sinusoïdales et celles qui ne le sont pas dans la réalité. Justifier.

     

S o l u t i o n

1.1. Nombre de spires. Par application de la formule de Boucherot, on obtient :

V

N ?  ? 285

4,44 f SBMax

1.2. Immédiatement en appliquant le théorème d’Ampère , ou en remplaçant dans la loi d’Hopkinson R et ? par leur expression, on obtient :

 

?Fer = RFer? =  × µHFerS = HFer µS

D’où :                                                     /µ ? 557 A

2.1. Présence d’entrefers. Les forces magnétomotrices s’ajoutent :

                           ?Tot = ?Fer + ?Air = HFer                     (c’est toujours le théorème d’Ampère)

D’où :                                   ?Tot Max = ?Fer Max + ?Air Max ? 807 A

Les valeurs maximale et efficace du courant magnétisant sont données par la définition de la force magnétomotrice : ?Tot = Nim

                                     ?                                                                      Im Max

D’où :                                      Im MaxA et    Im = Im Eff =? 2 A

N

2.2. Le flux étant conservatif et en supposant la section S constante dans les entrefers ), on a :

 

e0,22 mm

                                                     HAir Max                   BMax

On constate qu’une très faible longueur d’entrefer est responsable d’environ 30 % de l’appel de courant.

3.1. Courant magnétisant. C’est le courant i1 qui traverse L. D’où :

I1 = Im ? 2 A

3.2. Réactance et inductance de la bobine. On a :

                                                 V                                       X

XmH

                                                 I1                                                         ?

On peut aussi calculer l’inductance par la relation :

N2

L =  ? 365 mH

RTot

avec RTot = RFer +RAir =  + e   ? 2 22 105 H 1 et N ? 285 µS

3.3. Résistance R. Elle modélise les « pertes fer ». C’est le seul élément du schéma équivalent qui absorbe la puissance active, d’où :

R = V 2/P ? 1,13 k?

3.4. Valeur efficace du courant appelé par la bobine. Les courants i1 et i2 sont en quadrature (i1 est la composante réactive de i et i2 sa composante active), d’où :

I  A   avec  I2 = V/R = P/V ? 0,2 A

3.5. Si la somme des entrefers e est doublée alors la force magnétomotrice due aux? entrefers est aussi doublée (?Air Max 500A), ce qui augmente la force magnétomotrice totale (?Tot Max ? 1057A), le courant magnétisant (I1 ? 2,63 A), et finalement diminue l’inductance (L ? 279 mH).

alors la réluctance due aux entrefers est aussi doublée (RAir ? 1,37 · 105 H?1), ce qui On peut aussi raisonner sur la réluctance : Si la somme des entrefers e est doublée,

augmente la réluctance totale (RTot ? 2,9 · 105 H?1), et finalement diminue l’inductance (L ? 279 mH).

4. Grandeurs sinusoïdales et non-sinusoïdales.

–  La tension v est sinusoïdale car imposée par le réseau.

–  Le flux ? est sinusoïdal car v = Nd?/dt, soit en complexe : .

–  L’induction magnétique B(t) est sinusoïdale car ? = BS.

–  L’excitation magnétique HFer(t) n’est pas sinusoïdale car B = f (HFer) n’est pas linéaire.

–  Le courant i n’est pas sinusoïdal car ?Tot = Ni1 = Hfere et HFer(t) n’est pas sinusoïdal.


 

avec

G = 20lg|T|

•      divisée par 2.

         (dB) G

GMax 

GMax - 3dB

0

1

(Fig. 10.3).

 

Figure 10.3  Octaves et décades (échelle log10)

•      Tracé du comportement en fréquence

On trace :

–  le module T (échelle linéaire) de la F.T. complexe en fonction de la fréquence ou de la pulsation (échelle linéaire), et

–  le déphasage ? (échelle linéaire) de la F.T. complexe en fonction de la fréquence ou de la pulsation (échelle linéaire).

•      Diagramme de Bode

On trace :

–  le gain G (échelle linéaire) de la F.T. complexe en fonction du logarithme décimal de la fréquence ou de la pulsation (échelle logarithmique), et

–  le déphasage ? (échelle linéaire) de la F.T. complexe en fonction du logarithme décimal de la fréquence ou de la pulsation (échelle logarithmique). • Pulsation réduite – Fréquence réduite

? = 2? f

                                                                            avec

•      F.T. d’ordre n

Toute F.T. complexe d’ordre n (degré du dénominateur) peut s’écrire comme le produit de F.T. élémentaires du 1er et/ou 2e ordre. La F.T. peut se déduire de l’équation différentielle (voir fiche 1).

= b0 + b1jx + b2(jx)2 + + bm(jx)m T a0 + a1jx + a2(jx)2 + + an(jx)n

Il est utile de connaître quelques écritures habituelles de F.T. élémentaires du 1er et du

2e ordre, et les diagrammes de Bode correspondants, afin d’identifier rapidement le type : passe-bas (LP : low-pass), passe-haut (HP : high-pass), passe-bande (BP : bandpass) ou coupe-bande (BC : band-cut), l’ordre (qui caractérise la raideur de la coupure) et la ou les fréquences de coupure.

 (dB) G

0

-3

(°) ?

-90

0

-3

45

Remarque : La F.T. du passe-haut peut s’écrire T D’où :

GHP1 = 20lg( f/f0) + GLP1          et ? car  |j f/f0| = f/f0 et  arg(j f/f0) = +90? Équation caractéristique :

1 + 2mx + x2 = 0 avec  x = f/f0

On distingue trois cas selon la valeur de l’amortissement m.

1) m > 1. L’équation caractéristique a deux racines réelles :

f et  f

1

         TLP2 =        +               ×       +

                      (1      j f/f1)       (1      j f/f2)

La F.T. peut être décomposée en un produit de deux F.T. passe-bas du 1er ordre.

2)      m = 1. L’équation caractéristique a une racine double : f0 = f1 = f2


Figure 10.6  Passe-bas du 2e ordre


T

3)      m < 1. L’équation caractéristique n’a pas de racine réelle, la F.T. ne peut pas être décomposée en un produit de deux F.T. passe-bas du 1er ordre. On distingue alors à nouveau trois cas :

3.1). Le gain ne présente pas de maximum et la courbe reste en dessous des asymptotes.

3.2). La courbe du gain est la plus plate possible.

 

gain présente un maximum :


F.T. passe-haut du 2e ordre :

Diagramme de Bode (Fig. 10.7) : Il se déduit de celui du passe-bas du 2e ordre :

–  pour le gain, en effectuant une symétrie parrapport à la droite d’équation f = f0, et

–  pour la phase, en effectuant une translationde +180?, car :

T


Figure 10.7  Passe-haut du 2e ordre

       F.T. passe-bande du 2e ordre :                    (dB) G

0

(°) ?

-90

TBP2 = 2mj f/f

G = 20lgT, G1 = 20lgT1 et G2 = 20lgT2

Impédance (module)

f ?? 0

f ???

Bobine : ZL = L?

ZL ?? 0 ?? court-circuit

ZL ???

?? circuit ouvert

Condensateur : ZC

C?

ZC ???

circuit ouvert

ZC ?? 0

court-circuit

                                                                         ??                                     ??

Figure 10.9  Impédances (modules) aux fréquences limites

III Mesures

Pour relever le comportement en fréquence d’un circuit :

–  On attaque le circuit par un signal (une tension le plus souvent) sinusoïdale à l’aide d’un générateur qui permet de régler la? valeur efficace E ou la valeur maximale E 2 et la fréquence f.

–  Pour chaque fréquence f souhaitée, d’une part on mesure la valeur efficace S ou la valeur maximale S de s pour en déduire le module T = S/E, et d’autre part on mesure le déphasage ? = ?S ? ?E.

Certains multimètres permettent d’effectuer une mesure en dB par rapport à une référence, généralement une tension de 0,775 V (l’unité est alors le dBu) ou de 1 V (l’unité est alors le dBV). On obtient ainsi directement le gain de la F.T. par une simple soustraction :

US

G = 20lg = 20lgUS ? 20lgUE = LUS/URéf ? LUE/URéf UE

LUS/URéf est le niveau (level) de la tension US en décibels par rapport à la tension de référence URéf, et LUE/URéf est le niveau (level) de la tension UE en décibels par rapport à la même tension de référence.

M i s e e n c a s c a d e d e d e u x f i l t r e s p a s s e - b a s

 

1.  Exprimer la F.T. complexe, son gain et son déphasage.

2.  Tracer les asymptotes de son diagramme de Bode pour R1C1 = 10 R2C2.

S o l u t i o n

1.       F.T. réalisée. Les deux étages sont indépendants. D’où :

                                                           S         S        S1

T2 × T1

                                                          E        E2           E

 

D’où :                                                                

                          avec   f               ,              f             et

2

G = G2 + G1 = ?10 log[1 + (?2?)2] ? 10 log[1 + (?1?)2] ? = ?2 + ?1 = ?arctan(?2?) ? arctan(?1?)

2.       Asymptotes du diagramme de Bode. Les gains et les phases s’ajoutent. En conséquence, on effectue la somme graphique des asymptotes des deux 1er ordre avec R1C1 = 10R2C2, soit f2 = 10 f1 (Fig. 10.11). Sur cette figure, les asymptotes des deux 1er ordre pris séparément (pointillés) sont volontairement décalées vers le haut pour mettre en évidence la construction.

 

Figure 10.11  Deux passe-bas du 1er ordre en cascade


 

Remarques :

–  La valeur moyenne d’une somme est égale à la somme des valeursmoyennes :

                                                 2Moy                                                          (linéarité de l’intégrale)

–  La valeur moyenne d’un courant périodique est égale à la valeur d’uncourant continu fictif qui transporterait la même quantité d’électricité (même charge déplacée) pendant une période.

TT

                                                       qDéplacéeidt  ? IMoy                                    idt

                                                                                             T               T    0

•    Valeur efficace

La valeur efficace SEff d’un signal périodique s(t) de période T est donnée par :

 

Remarques :

–  Attention, la valeur efficace d’une somme est, en général, différente dela somme des valeurs efficaces. On a :

2Eff

–  À la place du qualificatif « efficace », on utilise souvent l’abréviationanglo-saxonne « r.m.s. » qui signifie « root mean square » et qui se traduit littéralement par « racine de la moyenne du carré ».

–  La valeur efficace d’un courant périodique est égale à la valeur d’uncourant continu fictif qui produirait la même quantité de chaleur (même énergie apportée) dans une même résistance et pendant une période.

                                                   T                                                                                                        T

WApportéei2dt

                                                                                      WApportée                     2

 RIEff

T

•    Signal alternatif

Un signal périodique est dit alternatif si sa valeur moyenne est nulle.

– Valeurs moyenne et efficace – Facteurs de crête…

Décomposition d’un signal périodique

Tout signal périodique s(t) peut s’écrire comme la somme d’une composante continue égale à la valeur moyenne SMoy, plus une composante alternative périodique (à valeur moyenne nulle) sAlt(t) parfois appelée ondulation.

s(t) = SMoy + sAlt(t)

SEff2 = SMoy2 + SAltEff2

Remarque : Dans ce cas particulier, on a :

 ?

             Et si SAltEff2     SMoy2       alors SEff ? |SMoy| (cas d’un signal quasi-continu).

•    Inégalités entre valeurs moyenne, efficace et maximale

On a :                                                |SMoy|  SEff  |SMax|

II    Compléments

• Facteurs de crête, de forme, d’ondulation et d’ondulation crête à crête (Fig. 11.1) Ils caractérisent le signal.

Facteur de crête

 

FC

SEff

Facteur de forme

SEff

F

 

F 2 = 1+?2

Facteur ou taux d’ondulation

Alt Eff

Facteur d’ondulation crête à crête

?S

        ?         =

Ondulation crête à crête :

?S = SMax ? SMin = SAlt Max ? SAlt Min

Figure 11.1  Facteurs de crête, de forme et d’ondulation

Remarque : Si le signal est continu, F = 1, ? = 0 et ?CC = 0. En conséquence, plus F se rapproche de 1 (ou ? de 0) et plus le signal se rapproche d’un signal continu.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal


Dipôles linéaires élémentaires (Fig. 11.2)

 

 

Relations remarquables en régime périodique

 

         iR            R

uR

?t, uR(t + kT) = uR(t) avec k ? Z

?t, iR(t + kT) = iR(t) avec k ? Z

UR Moy = RIR Moy, UEff = RIEff

PR Moy  Eff/R, WR(t?t+kT)

= PRMoykT

 

          iL            L

uL

 avec k ? Z

UL Moy = 0

PL Moy = 0, WL(t?t+kT) = 0

 

 

         C iC

uC

IC Moy = 0

?t, uC(t + kT) = uC(t) avec k ? Z

PC Moy = 0, WC(t?t+kT) = 0

 

Figure 11.2  Dipôles linéaires élémentaires

III Méthodes

–  L’intervalle de temps pris pour le calcul de la valeur moyenne ou efficace doit êtreun nombre entier de périodes : [t1,t1 + kT] avec le plus souvent k = 1. Cependant, des raisons de symétrie peuvent amener à diviser cet intervalle par 2 ou davantage. Un choix judicieux de t1 permet souvent de simplifier le calcul.

–  Pour un calcul approché de la valeur moyenne ou pour des signaux simples (rectan-gulaires, triangles, etc.), on peut remplacer le calcul de l’intégrale par une somme algébrique d’aires comprises entre la courbe et l’axe des temps ; une aire étant comptée positivement si la courbe est au-dessus de l’axe et négativement si elle est en-dessous (Exemple : voir exercice ci-après).

–  De même, pour calculer la valeur efficace dans des cas simples, on peut remplacerle calcul de l’intégrale du carré du signal par une somme algébrique d’aires.

IV Mesures

•     Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une tension (resp. d’un courant) se mesure avec un voltmètre (resp. ampèremètre) du type « D.C. : Direct Current » qui signifie « en courant continu ».

–  Valeurs moyenne et efficace – Facteurs de crête…

Valeur efficace

La valeur efficace d’une tension (resp. d’un courant) se mesure avec un voltmètre (resp. ampèremètre) du type « A.C. : Alternative Current » qui signifie « en courant alternatif ».

–  Certains appareils mesurent la valeur efficace uniquement pour une tension ou uncourant sinusoïdaux.

–  D’autres appareils mesurent la valeur efficace de la seule composante alternativede la tension ou du courant. On les dénomme souvent un peu abusivement voltmètres ou ampèremètres « r.m.s. : root mean square ».

–  Enfin des appareils mesurent effectivement la valeur efficace de la tension ou ducourant. On les dénomme souvent voltmètres ou ampèremètres « efficaces vrais » ou « t.r.m.s. : true r.m.s. » pour les distinguer des précédents.

Avant toute mesure, il faut donc bien lire les notices des appareils utilisés.

Dans le cas d’appareils qui mesurent la valeur efficace de la seule composante alternative, par exemple d’une tension, on effectue la mesure en deux temps :

–  mesure de la valeur de la composante continue UDC = UMoy avec un appareil du type « D.C. »,

–  mesure de la valeur efficace de la composante alternative UACEff = UAltEff avec un appareil du type « A.C. ».

On calcule ensuite la valeur efficace par la relation (voir le paragraphe « À savoir ») :

                              UEff                  UACEff2                            car u(t) = UDC + uAC(t)

Remarque : La plupart des appareils utilisés sont des multimètres capables de mesurer différentes grandeurs : tension DC/AC, intensité DC/AC, résistance, fréquence, etc. Les caractéristiques et limites de l’appareil doivent être connues : précision en fonction du calibre, impédance (selon la fonction : voltmètre, ampèremètre, etc.), bande passante (une bande passante limitée par rapport au spectre du signal fausse la mesure de la valeur efficace), facteur de crête, etc.

G r a n d e u r s p é r i o d i q u e s

Soient les chronogrammes de grandeurs périodiques (Fig. 11.3). Pour chacune de ces grandeurs :

1.  Calculer sa valeur moyenne.

2.  Calculer sa valeur efficace.

3.  En déduire la valeur efficace de son ondulation (composante alternative).

4.  Déterminer son ondulation crête à crête.

5.  Calculer son facteur de forme, son taux d’ondulation et son facteur d’ondulation crête à crête.

 

S o l u t i o n

1.  Valeurs moyennes. A partir du graphique, on somme algébriquement les aires :

UMoyTUB) = ?UH + (1 ? ?)UB

18 V

IMax + IMin

                                                IMoy                                               5 A

2.  Valeurs efficaces. La grandeur u2 étant constante, on a :

                                      UEff2                             UEff = UH = 30 V

Equations du courant i :

i = 500t + 4 pour 0  t  4 ms et i = ?2000t + 14 pour 4 ms  t  5 ms

D’où :

T

IEff2i2dt

5 ms

(?2000t + 14)2dt

4 ms Tout calcul fait, on obtient :

IEff ? 5,03 A


3.  Valeurs efficaces des ondulations.

              UAltEff                               24 V et  IAltEff                                                           58 A

4.  Ondulations crête à crête.

?U = UH ? UB = 60 V    et    ?I = IMax ? IMin = 2 A

5.  Facteurs de forme, taux d’ondulation et facteurs d’ondulation crête à crête.

                   UEff                                                            UAltEff                                                                       U

            FU = |     | ? 1,67                  ?U = |      | ? 1,33                   ?CC,U = |      | ? 3,33

                  UMoy                                                            UMoy                                                                    UMoy

                  IEff                                                               IAltEff

                        FI                                   ? =          ? 0,12

 

 

 

S o l u t i o n

1.       Valeur moyenne de la tension uS. On travaille avec la variable ? = ?1t sur une période [??/2;?/2] :

?/2

USMoy?/2

                                             2USMax                                                           

D’où :                                                      USMoyUSMoy V

2.       Valeur efficace de la tension uS.

?/

U

?/2

?/2

                                   2                                         ?/2

                                 USMax                                               

D’où :                                  USEffUSEff V

Remarque : Les fonctions |cos?| et cos? ont même valeur efficace.

3.       Facteurs de forme F, d’ondulation ?, d’ondulation crête à crête ?CC et de crête FC de la tension uS.

           F      |           |          ?                                                                                            %

                                          2    2                                                             8

                                  CC                                                                            et FC

                        |USMoy|      2                                       USEff

4.       Valeur moyenne de la tension uR. La loi des mailles permet d’écrire :

                             uSUSMoy = UL Moy + UR Moy                                       (linéarité de l’intégrale)

Or, en régime périodique :

iL UL Moy = 0

D’où :                                      UR Moy = USMoy = 2USMax/? ? 21,6 V

5.       Valeur moyenne du courant iS. La loi d’Ohm permet d’écrire :

                                      = uR = uS ? uL                             = UR Moy = USMoy

iSISMoy

                                        R              R                                      R                R

2U

D’où :                                                     ISMoy =2,16 A

? R

6.       Courant IS0. L’inductance se comporte comme un court-circuit pour le continu, d’où :

                      US0           2U

                 IS0 =  =                             2,16 A     (IS0 est la composante continue de iS)

                        R            ? R

7.       IS1 en fonction de US1 et expression du courant iS1. La tension uS1 étant sinusoïdale de pulsation 2?1, on peut écrire en notation complexe :

 

iS

9. Taux d’ondulation et choix de L. Par définition, on a :

R

                                              ISMoy               ISMoy

                                                                                      1                                 1

R

iS = IS0 + iS1

                                          2USMax                                  2USMax?I?2

Avec : IS0 =  et  iS1 =  cos(2? + ?) ? R               ? R

Les exercices proposés sur les fiches suivantes peuvent également servir d’entraînement pour les points traités ici.


FICHE 12 Séries de Fourier – Analyse spectrale

La théorie des séries de Fourier et l’analyse spectrale qui en résulte sont utilisables lorsque le circuit électrique, linéaire ou pas, fonctionne en régime périodique (voir fiche 11). Les développements en séries de Fourier renseignent sur les allures temporelles et les spectres des tensions, courants et puissances.

Deux cas particuliers sont fréquemment rencontrés :

–  Le circuit électrique est linéaire. Le principe de linéarité permet d’étudier le cir-cuit pour chacune des composantes sinusoïdales pour, au final, en déduire la grandeur recherchée (voir le paragraphe « Méthodes »).

–  La charge est non-linéaire et alimentée à partir du réseau électrique. On peutalors souvent considérer la tension comme sinusoïdale (voir notamment fiches 14 et 19).

Objectifs : Utiliser le développement en série de Fourier d’un signal réel (tension ou courant en électricité), le régime étant périodique (permanent). Interpréter les représentations d’un signal réel sous différentes formes : temporelle, spectrale et mathématique. Le calcul des coefficients de Fourier et leurs relations sont traités dans la fiche suivante.

I      À savoir

•        Théorème fondamental

Un signal périodique s de période T, fonction à valeurs réelles du temps satisfaisant les conditions dites de Dirichlet, est développable en une série de Fourier trigonométrique ou complexe. En particulier, en tout point t s est continu, s(t) peut s’écrire :

?

s

                              n=1                                                                                                                                avec a0,an,b ,?? nR? R

                                                                                        cne jn?t                       cn ?

                              n=1                                                               n=??

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Cela signifie qu’un signal périodique s(t) développable en série de Fourier est la somme :

–  d’une composante « continue » (valeur constante) égale à sa valeur moyenne : S0 = a0, et

–  d’une infinité de composantes sinusoïdales, appelées « harmoniques », de fréquences 1/T, 2/T, …, n/T, … : sn(t) = An cos(n?t + ?n) où An est l’amplitude et ?n la phase initiale.

La composante de rang n : sn(t) est appelée « harmonique de rang n ». La composante de même fréquence f = 1/T que le signal est appelée « fondamental » de préférence à « harmonique 1 ». L’harmonique 2 a une fréquence deux fois plus grande, et l’harmonique n (de rang n) est une composante sinusoïdale de fréquence n fois plus élevée que celle du signal.

? = 2? f

                                Unités : 1 rad/s = 1 rad × 1 Hz                                  Unités : 1 Hz = 1 s?1

Remarques :

–  Les fréquences négatives : ?1/T, ?2/T, …, ?n/T, … apparaissent en plus dans l’écriture en exponentielle complexe.

–  Les conditions de Dirichlet, non détaillées ici, portent sur la continui-té et la dérivation du signal (fonction réelle) et de sa dérivée. En pratique, ces conditions sont satisfaites pour les signaux rencontrés en électricité.

•    Changement de variable

Pour simplifier les expressions, on effectue souvent le changement de variable :

?T       2?

                                          ? = ?t ?               =                    et d? = ?dt

•    Représentations graphiques d’un signal périodique – spectres

On illustre le propos avec l’exemple d’une tension rectangulaire u(t) de période T = 1 ms, de rapport cyclique ? = 1/5, de niveaux 0 et 5 V (Fig. 12.1).

1)      Représentation temporelle. Le chronogramme, ou diagramme temporel, renseigne sur la valeur instantanée du signal (exemple : voir Fig. 12.1).

Le chronogramme d’un signal périodique, de période T, est constitué d’une suite de motifs identiques de durée T.

2)      Représentations fréquentielles. Le spectre d’amplitude et le spectre de phase renseignent sur la répartition du signal en fonction de la fréquence.

– Séries de Fourier – Analyse spectrale

 

Figure 12.1 Tension rectangulaire de niveaux 0 et 5 V, de rapport cyclique ? = 1/5 et son spectre de raies

Le spectre d’amplitude et le spectre de phase d’un signal périodique, de période T, sont constitués de raies aux fréquences multiples de 1/T.

Spectre d’amplitude unilatéral

Le spectre d’amplitude unilatéral d’un signal réel périodique est la représentation graphique des raies d’amplitudes A0 de la composante continue (valeur moyenne), et An des composantes sinusoïdales aux fréquences nf avec n ? N? (exemple : voir

Fig. 12.1).

                           A0 = |a0| = |c0|                                        An

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal


Remarque : Attention, à la place du spectre d’amplitude, on rencontre aussi le spectre des valeurs efficaces, toutes les raies étant divisées par à l’exception de celle de la composante continue. On représente alors :

                                  A0 = |a0| = |c0|                            An Eff

Spectre d’amplitude bilatéral

Le spectre d’amplitude bilatéral d’un signal réel périodique est la représentation graphique des raies d’amplitudes |cn| aux fréquences nf avec n ? Z (exemple : voir Fig. 12.1).

                                                                          A                         

Attention, le spectre d’amplitude bilatéral d’un signal réel étant pair, on se contente souvent de représenter la partie relative aux fréquences positives. Il ne faut pas alors le confondre avec le spectre d’amplitude unilatéral.

Spectre de phase

La représentation fréquentielle du signal serait incomplète si les phases initiales de ses composantes n’étaient pas précisées : c’est le rôle de ce diagramme. Le spectre de phase d’un signal réel périodique est la représentation graphique des raies des phases initiales ?n des composantes sinusoïdales aux fréquences nf avec n ? N? pour un spectre unilatéral ou n ? Z pour un spectre bilatéral (exemple : voir Fig. 12.1).

an/An

              ?n = ???n = arg(cn) = ?arg(c?n)            ou            sin?n = ?bn/An        (n ? N?)

•    Valeur efficace

Pour un signal s(t) développable en série de Fourier, la formule de Bessel-Parseval donne le carré de la valeur efficace du signal (voir aussi fiche 11) :

SEff2

Ainsi, le carré de la valeur efficace du signal s(t) est la somme du carré de sa valeur moyenne et des carrés des valeurs efficaces de tous ses harmoniques. Ce qui s’écrit :

An

                                                                      où A0 = |a0|             et    An Eff

II    Compléments

•    Facteurs de forme et d’ondulation (voir aussi fiche 11)

On note : A0 = |a0|

Facteur de forme

Facteur ou taux d’ondulation

Relation

+?

Eff

        |SMoy|                  A0

Eff

F 2 = 1+?2

•    Taux de distorsion harmonique

Noté THD (total harmonic distortion), il sert à chiffrer la déformation d’un signal qui devrait être sinusoïdal. Compris entre 0 et l’infini, c’est le rapport de la valeur efficace du signal privé de sa composante continue (valeur moyenne) et de son fondamental sur la valeur efficace du fondamental.

 

Ainsi défini, si le signal est sinusoïdal, le THD est nul. On définit aussi le taux de distorsion de l’harmonique n par :

An Eff

dn =  ?? THD

A1 Eff

•    Remarques sur les représentations fréquentielles

–  Le signal temporel étant une fonction réelle, le signal fréquentiel correspondantpossède une partie réelle et un module pairs, une partie imaginaire et une phase impaires. On a alors :

c?n

–  On peut aussi représenter un signal par sa partie réelle et sa partie imaginaire enfonction de la fréquence, mais cette représentation est moins facile à interpréter.

–  Un signal est complètement caractérisé par son spectre d’amplitude et sonspectre de phase.

–  Le spectre d’amplitude est indépendant de l’origine des temps choisie contraire-ment au spectre de phase.

III Méthodes

•     Circuit électrique linéaire excité par une grandeur périodique

Dans le cas d’un circuit électrique linéaire, si une grandeur (tension ou courant) désignée comme signal de « sortie » noté s = s(t), dépend d’une seule autre grandeur (tension ou courant) désignée comme signal d’« entrée » noté e = e(t), alors s = s(t) et e = e(t) sont reliés par une équation différentielle à coefficients constants (voir fiche 1).

Une fois le régime périodique établi pour un signal d’entrée e(t) périodique défini par morceaux, le signal de sortie s(t) est composé d’une succession de régimes transitoires déterminés chacun par l’équation différentielle linéaire à coefficients constants pour un morceau donné de e(t).

–  Une première méthode consiste bien sûr à résoudre cette équation pour chacundes morceaux de e(t) en reliant les solutions les unes aux autres compte tenu du caractère périodique des signaux.

–  Une deuxième méthode consiste à utiliser d’une part le principe de linéarité (voirfiche 1) et d’autre part les possibilités offertes par le calcul sur les nombres complexes en régime sinusoïdal. Cette méthode présente l’avantage de fournir en plus les spectres des signaux, mais elle nécessite souvent la prise en compte de nombreux harmoniques et, en conséquence, le recours à un calculateur.

Résumé de la méthode (Fig. 12.2). Pour un nombre d’harmoniques M suffisant à une bonne approximation des signaux :

1) Déterminer le développement en série de Fourier du signal d’entrée, somme de sa composante continue et de ses composantes sinusoïdales.

M een(t)         où    en(t) = En Max cos(n?t + ?n) n=1

2)  Étudier la réponse du circuit à chacune des composantes du signald’entrée.

circuit

Eet    en(t) ??? sn(t) = Sn Max cos(n?t + ?n)

Pratiquement, on détermine la transmittance complexe T = Te j? entre l’entrée et la sortie, puis, pour chacune des composantes, on calcule :

                                                           Sn = T(n?) × En                         Sn = Sn Max/?2

                                  Sn                                                       avec

?n

En = [En ;?n] = Ene j?n est le nombre complexe associé à en(t),

Sn = [Sn ;?n] = Sne j?n est le nombre complexe associé à sn(t).

3)  Ajouter les réponses trouvées au point précédent.

M

s

n=1

 

Figure 12.2  Circuit linéaire excité par un signal d’entrée périodique

Exemples

–  Redressement monophasé double alternance en pont avec lissage ducourant de sortie (voir fiche 11, exercice « Pont de Graetz monophasé »). On remarquera que le développement en série de Fourier a été limité au premier harmonique, ce qui est suffisant pour déterminer l’inductance de lissage.

–  Filtre passe bas du 1er ordre (voir exercice ci-dessous).

–  Redresseur non-commandé (voir exercice ci-dessous).

Figure 12.3  Batterie de filtres

Figure 12.4  Balayage du spectre

Figure 12.5  Déplacement du spectre

•     Unités

Les analyseurs de spectres expriment les amplitudes (ou les valeurs efficaces) avec différentes unités en fonction du type de mesure, et offrent parfois le choix à l’utilisateur. Les unités les plus fréquemment rencontrées sont le volt, le dBV, le dBu et le dBm.

–  Le niveau de la tension u = u(t), exprimé en décibels par rapport à une tension de référence de 1 V (dBV), est défini par :

                                                                                                        (Unité : dBV)

–  Le niveau de la tension u = u(t), exprimé en décibels par rapport à une tension de référence de  V (dBu), est défini par :

                                    u(V)                        u(V)

Lu/         6V = 20lg?|            | ? 20lg |             |

                                    0,6(V)                 0,775(V)

(Unité : dBu)

Remarque : En téléphonie, l’impédance de référence a été historiquement définie comme étant une résistance pure de 600 ? en Europe (900 ? aux USA), qui correspond grossièrement à l’impédance moyenne d’une ligne d’abonné dans la bande de fréquence allant de 300 Hz à 3 400Hz. Pour une puissance de référence de 1 mW, on obtient alors une tension efficace de référence de 775V ; d’où la définition du dBu.

–  Le niveau de la puissance p = p(t), exprimé en décibels par rapport à une puissance de référence de 1 mW (dBm), est défini par :

                Lp/                                                                                p(mW)|       (Unité : dBm)

Remarque : Attention, l’analyseur mesurant une tension, l’affichage en dBm sous-entend qu’il s’agit de la puissance en entrée de l’analyseur compte tenu de sa résistance d’entrée (50 ?, 75 ?, 600 ?, etc.). Cela n’a de signification que pour un domaine particulier : hautes fréquences, téléphonie, etc. où l’impédance de référence est normalisée ; autrement il faut convertir (exemples Fig. 12.6).

Figure 12.6  Exemples de correspondances entre unités

–  Relation entre dBm et dBV. Soit u la tension aux bornes d’une résistance R0, la puissance dissipée est p = u2/R0. D’où :

?

R

R

–  Relation entre dBm et dBu. Soit u la tension aux bornes d’une résistance R0, la puissance dissipée est p = u2/R0. D’où :

? L

          R                                                             6V

R

– Relation entre dBu et dBV.

•     Analyseur de spectre numérique

Dans le domaine des basses et très basses fréquences, la plupart des analyseurs de spectre sont des oscilloscopes numériques ou systèmes d’acquisition munis d’un algorithme de calcul, la transformation de Fourier rapide, en anglais FFT (Fast Fourier Transform).

Mais attention, l’image du spectre présentée par l’analyseur FFT peut être fausse si la fréquence d’échantillonnage est incorrectement choisie. En effet, l’échantillonnage à la fréquence fE = 1/TE d’un signal s(t) « périodise » le spectre du signal échantillonné par l’analyseur. Ainsi, le spectre calculé par l’analyseur est le spectre du signal s(t) (y compris les fréquences négatives) auquel s’ajoutent des répliques de ce dernier décalées de kfE avec k ? Z (Cas 1 – Fig. 12.7). Bien sûr l’analyseur est conçu pour ne montrer que la partie correspondant au spectre du signal s(t) d’origine (fenêtre de visualisation), à condition que la fréquence d’échantillonnage soit correctement choisie. Si la fréquence maximale fMax 1 du signal est inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage fE/2 alors le spectre visualisé est le bon (Cas 1 – Fig. 12.7), mais si fMax 2 est supérieur à fE/2 alors le spectre visualisé n’est plus le bon. Sur l’exemple présenté (Cas 2 – Fig. 12.7), les raies du signal (repère 0+ pour 0 fE + fMin à 0 fE + fMax) sont en dehors de la fenêtre de visualisation ; par contre, on y trouve la réplique (1?) sans information pertinente sur les fréquences. Pire, les spectres du signal et d’une réplique peuvent se mélanger (imaginer un cas intermédiaire entre les deux proposés) et brouiller totalement le spectre résultant.

 

Figure 12.7  Choix de la fréquence d’échantillonnage

Pour éviter des mesures et interprétations incorrectes, il faut respecter le théorème de Shannon suivant.

Théorème de Shannon : Un signal s(t) à spectre borné par fMax (fréquence maximale) peut être reconstruit à partir de son signal échantillonné s?(t) avec un pas TE = 1/ fE, si la fréquence d’échantillonnage est supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal : fE > 2 fMax

Remarque : Cette condition théorique suppose une durée infinie d’observation du signal. La durée d’observation pratique étant finie, on choisira un rapport fE/fMax sensiblement supérieur à 2 pour augmenter le nombre d’échantillons.

Paramètres essentiels :

–  Nombre d’échantillons du signal (taille de l’échantillonnage) : N. Il peut être réglable afin de privilégier soit la résolution fréquentielle, soit le temps de calcul.

–  Période d’échantillonnage (c’est la résolution temporelle) : TE = 1/fE. La période d’échantillonnage dépend automatiquement du calibre de la base de temps ; il faut donc surveiller l’affichage de la fréquence d’échantillonnage.

–  Durée d’observation du signal échantillonné : D = NTE

–  Étendue du spectre calculé et affiché (Shannon) : fE/2

–  Résolution fréquentielle (c’est le plus petit écart de fréquence discernable) :fE/N = 1/D. La résolution fréquentielle est proportionnelle à la fréquence d’échantillonnage et inversement proportionnelle aux nombres d’échantillons. Elle est égale à l’inverse de la durée d’observation.

Conclusion : Bien souvent, seul un nombre important d’échantillons permet de visualiser à la fois toute l’étendue et les détails du spectre ; mais le temps de calcul de la FFT augmente avec le nombre d’échantillons.

Remarques :

–  Seule la partie du spectre relative aux fréquences positives est affichée(fenêtre de visualisation) car le spectre d’un signal réel possède une symétrie « hermitique », c’est-à-dire un module pair et une phase impaire (voir le paragraphe « Compléments »).

–  Un analyseur de spectre numérique permet aussi de calculer la phasedu spectre, ses parties réelle et imaginaire, le spectre de puissance du signal, etc.

O n d u l e u r d e s e c o u r s d ’ u n a v i o n

Un onduleur de secours d’un avion permet de reconstituer un réseau alternatif 115 V/400 Hz monophasé à partir d’une batterie délivrant une tension continue UB (principe d’un onduleur autonome en pont, Fig. 12.8).

 

 

 

S o l u t i o n

1.1. Valeur efficace. On voit sur le graphique que :

uABUAB = UB

1.2. Fondamental. Il s’écrit (p = 0) :

                                           4UB                                                        4UB

uUB

1.3. Valeur de UB pour obtenir U1 = 115 V.

UB ? U1/0,9 ? 127,8 V

1.4. Taux de distorsion harmonique de uAB.

         THD =                                              =                    =            2 ? 1                  car 

                             U1                                              U1                                            U1

D’où :                                                             THD

2.1. Valeur efficace. À partir du graphique, on peut écrire :

             UAB2                                                                   i étant en degrés)

D’où :                                                           UABUB

2.2. Fondamental. Il s’écrit :

4UB

uUB

2.3. Taux de distorsion harmonique de uAB. Conclusion.

THD

Les THD des commandes « onde pleine » et « M.L.I. – Onde 3 niveaux » sont quasiment égaux. Par contre, la commande « M.L.I. – Onde 3 niveaux » repousse les composantes qui distordent le fondamental sur des harmoniques de rangs plus élevés ce qui facilite (dimensionnement et coût) considérablement le filtrage de ceux-ci, l’objectif étant d’obtenir un courant quasi-sinusoïdal.

F i l t r e p a s s e b a s d u 1 er o r d r e

 

S o l u t i o n

1.       Tension en sortie du circuit. On est dans le cas d’un circuit électrique linéaire excité par une grandeur périodique (voir le paragraphe « Méthodes »). La fonction de transfert complexe du circuit est :

            S               1                        e j?                                   

( f/fC)2                                                                                                                                                                                                    2? RC

En Max

                                               sn                                             avec ?n = ?arctan(nf1/fC)

Et finalement :

s

Remarque : Le filtre passe-bas modifie l’amplitude et la phase de chaque composante sinusoïdale (fondamental et harmoniques). En conséquence, le signal s(t) est déformé par rapport à e(t). Il subit une distorsion d’amplitude et une distorsion de phase.

2.       Spectres d’amplitude unilatéraux (Fig. 12.12). Tout calcul fait on obtient :

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

An de e(t)

1

1,87

1,51

1,01

0,47

0

0,31

0,43

0,38

0,21

0

0,17

0,25

0,23

0,13

0

An de s(t)

1

1,67

1,07

0,56

0,21

0

0,10

0,12

0,09

0,05

0

0,03

0,04

0,03

0,02

0

2

1

Figure 12.12  Spectres d’amplitude unilatéraux de e(t)et s(t)

R e d r e s s e u r n o n - c o m m a n d é

 

S o l u t i o n

1.       Tension moyenne.

                                      p       ?/p                            pUMax                    ?/p           p                 ?

UMoy                                             U             sin ?/pp

2.       Indice de pulsation de 2, 3 et 6. On remarque que plus l’indice de pulsation est élevé, moins il y a d’harmoniques, et plus le signal se rapproche du continu.

p

pf1 (Hz)

Type

 

 

u(?)/UMoy

 

2

100

P2, PD2

u( )?

2

2

2

3

150

P3

 

 

 

 

6

300

P6, PD3, S3

u( )?

2                                         2                                                  2

3.       Taux d’ondulation. En se limitant au premier harmonique (n = 1), la tension u s’écrit :

                                 u(?) ? UMoy(1 + K1 cos(p?))                    avec K

Le principe de linéarité permet de traiter séparément le régime continu d’une part et le régime alternatif (sinusoïdal) d’autre part, le courant résultant i étant la somme

i = IMoy + i1 (Fig. 12.15).

                          Régime continu                                 Régime alternatif (sinusoïdal)

                      IMoy         R                                                        i1        L            R

 

 

 

                                    E                                                                       

Figure 12.15  Principe de linéarité

–  Régime continu :              IMoy = (UMoy ? E)/R

–  Régime sinusoïdal : I1 = U1/Z avec               =              (pL? ) et U1 = K1UMoy/

D’où le taux d’ondulation :

U

                                 ?I                       ?                               2 ? 1        ZIMoy

                                            IMoy                 2       ZIMoy            p

Si R alors Z ? pL?1 et par suite :

 

                                                   ?I         (p2 ? 1)p         L?1IMoy

4. Inductance. Elle se déduit de l’expression de ?I :

UMoy

(p2 ? 1)?I?1IMoy ??2(p2 ? 1)p          ?I f1IMoy L             

Application numérique. L’ondulation crête à crête du courant ?I ? 2 A correspond au taux d’ondulation :

                                            I                I                            ?I

                               ?I                        ? ×                       ? ×                  3,5 %

                                          IMoy                 2      IMoy           2    2     IMoy

D’où :

p

2

3

6

L (mH)

212

53

6,1

On remarque que plus l’indice de pulsation est élevé et plus l’inductance nécessaire au lissage est petite.



 

Remarque : Les coefficients de Fourier de certains signaux ne tendent pas vers zéro lorsque n tend vers l’infini. Par exemple, les coefficients d’un « peigne de Dirac » sont tous égaux à une même constante. De tels signaux ne sont pas des fonctions au sens usuel mais des distributions qui sortent du cadre de cet ouvrage.

On obtient un « peigne de Dirac » à partir de la tension rectangulaire u(t) (voir Fig. 13.4 dans l’exercice ci-après) en faisant tendre le rapport cyclique vers zéro et l’amplitude vers l’infini tout en gardant l’aire de l’impulsion constante.

II    Méthodes

•    Passage d’une écriture du développement en série de Fourier à une autre

Il s’effectue à partir des relations qui existent entre les différents coefficients de Fourier (Fig. 13.1). Ces relations ne sont pas à retenir mais à établir au cas par cas, si elles ne sont pas données, car des variantes de ces écritures sont aussi utilisées. Pour établir ces relations, il suffit d’écrire l’égalité des écritures pour l’harmonique de rang n, et se souvenir des formules d’Euler et de Moivre.

e jx ? e ?jx

sin x =

2j

e jx + e ?jx

cos x =

2

e jx = cos x + jsin x

,,

(an, bn) ?? (An,?n)

(an, bn) ?? (cn, c?n)

(cn, c?n) ?? (An,?n)

An cos?n = an/An sin?n = ?bn/An

cn

c?n = cn

An = 2|cn| = 2?cnc?n

?n = arg(cn) = ?arg(c?n)

(An,?n) ?? (an,bn)

(cn, c?n) ?? (an, bn)

(An,?n) ?? (cn,c?n)

an = Ancos?n bn =                Ansin?n

an = cn + c?n bn = j(cn ? c?n)

2cn = Anej?n 2c                n = Ane?j ?n

           ?                                                                                              ?

Figure 13.1  Relations entre les coefficients de Fourier

Exemple : Voir exercice ci-après.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

•    Choix de l’intervalle

Le calcul des coefficients est indépendant de l’intervalle [t1,t1 + T] ou [?1,?1 + 2?] choisi. En conséquence, un choix judicieux de t1 ou ?1 permet souvent de simplifier les calculs.

•    Signal périodique pair (Exemple Fig. 13.2)

Si s, développable en série de Fourier, est pair alors s est développable en série de cosinus.

 

en tout point t s est continu. Les coefficients peuvent alors être calculés sur une demi-période (attention aux bornes d’intégration : t1 = 0) :

                                 T/2                                                           4      T/2

             a                         s(t)dt           et      an =                 s(t)cos(n?t)dt       (n ? N?)

                        T    0                                                                   T    0

•    Signal périodique impair (Exemple Fig. 13.2)

Si s, développable en série de Fourier, est impair alors s est développable en série de sinus.

 et an

n=1

en tout point t s est continu. Les coefficients peuvent alors être calculés sur une demi-période (attention aux bornes d’intégration : t1 = 0) :

T/2

                                                   bns(t)sin(n?t)dt                    (n ? N?)

Signal pair :

?t, s(t) = s(?t)

Signal impair :

?t, s(t) = ?s(?t)

 

                           0                T               2T

Figure 13.2  Exemple d’un signal périodique pair, et d’un impair

– Calcul des coefficients de Fourier


•    Symétrie de « glissement »

Si s possède une symétrie de « glissement » alors le terme constant et les termes de rang pair sont nuls.

t0+T/2

          a0 = 0                                                      0                     s(t)cos[(2p + 1)?t]dt

?a                                   = 0              et            0                      (p ? N) t

t +T/2

s(t)sin[(2p + 1)?t]dt

Graphiquement, en faisant « glisser » (Exemple Fig. 13.3) d’une demi-période la partie du signal compris entre t0 et t0 + T/2, on observe une symétrie par rapport à l’axe des temps.

 

Figure 13.3  Exemple d’une symétrie de « glissement »

•    Signal décalé temporellement

Si le signal s(t) est développable en série de Fourier, alors le développement en série de Fourier du signal décalé s(t ? ?) s’obtient en décalant chacun des termes de s(t).

s cne jn?t ? n=1          n=??

s(t

n?/T)

Ou bien :                                                                         s(t  cne jn cne jn?te ?j2?n?/T n=??

En conséquence, le spectre d’amplitude est indépendant de l’origine des temps choisie contrairement au spectre de phase qui en dépend. Cette remarque peut être mise à profit pour :

1)      Déduire le spectre de phase du signal décalé s(t ? ?) à partir de celui de s(t) en ajoutant ?2?n?/T à ?n pour chaque terme.

2)      Simplifier le calcul des coefficients en suivant la procédure suivante :

–  Décaler arbitrairement le signal s(t) de ? pour faire apparaître une symétrie afin de simplifier les calculs.

–  Déterminer le développement en série de Fourier du signal décalé s(t ? ?).

–  En déduire le développement en série de Fourier du signal s(t) à partir de celui de s(t ? ?) sachant que s(t) et s(t ? ?) ont même spectre d’amplitude et que le spectre de phase de s(t) s’obtient en ajoutant +2?n?/T à chaque terme de phase de s(t ? ?).

Remarque : Si on ne s’intéresse qu’au spectre d’amplitude, il suffit de décaler arbitrairement le signal s(t) de ? pour faire apparaître une symétrie, puis de déterminer le développement en série de Fourier du signal décalé s(t ? ?).

•    Dérivation

Si le signal s et sa dérivée s sont développables en série de Fourier, alors le développement en série de Fourier de s s’obtient en dérivant terme à terme celui de s.

s cne jn?t  jn? × cne jn?t n=??          dt n=??

•    Intégration

Si le signal s est développable en série de Fourier et que sa valeur moyenne est nulle

(SMoy = 0 ? a0 = c0 = 0), alors le développement en série de Fourier de dt

s’obtient en intégrant terme à terme celui de s et en ajoutant la valeur moyenne de

.

s

avec c

R e l a t i o n s e n t r e c o e f f i c i e n t s

Établir les relations permettant de passer de l’écriture trigonométrique avec un seul cosinus à l’écriture complexe.

S o l u t i o n

On établit immédiatement que c0 = a0 et on écrit l’égalité pour le rang n :

An cos(n?t + ?n) = cne jn?t + c?ne ?jn?t

En remplaçant le cosinus par des exponentielles complexes, on obtient :

 cne jn?t + c?ne ?jn?t

t = 0

D’où l’on déduit :

                                   An                                     A

                              cne j?n                  et      c?n       n e ?j?n                                         

A2n

Puis :                           cn                 ,      arg(cn) = ?n         et    arg(c?n) = ??n

S i g n a l r e c t a n g u l a i r e

Soit la tension rectangulaire u(t) de période T = 1 ms, de rapport cyclique ? = 1/5, de niveaux 0 et UMax = 5 V (Fig. 13.4).

 

Figure 13.4 Tension rectangulaire de niveaux 0 et 5 V et ? = 1/5

1.       Déterminer la forme trigonométrique du développement en série de Fourier de la tension rectangulaire u(t).

2.       Déterminer la forme complexe du développement en série de Fourier de u(t).

3.       Vérifier les spectres de u(t) donnés en exemple fig. 12.1, fiche 12 précédente.

4.       En déduire la forme trigonométrique du développement en série de Fourier de u(t ? ? T/2) ainsi que ses spectres.

S o l u t i o n

1.       Forme trigonométrique. Étant paire, la tension u(t) est développable en série de cosinus (bn = 0).

T/2

a0 = ?UMax T t1 T 0 T

 V

                            an                                                                                               dt

                                 T    0                                                                      T        0

                                     T                    

4

n          sin( ??) n?T          n?

                       u(t)                      +? sin(n??)

D’où :                    ?              2              cos( ? ) UMax             n=1                n?

                       u(t)                             sin(??)                          sin(2??)

Soit :                           ?       2                          cos(? )                           cos(2? )      

                     UMax                                                ?                                   2?

2.       Forme complexe.

c UMoy = c0 = 1V

2 cn

                                                             T                                              n

 

UMax  sin(n??)       (cn = an/2 car bn = 0)

n?

                  u(t)         1                    +?t

D’où :                                                        e

                UMax             ? n=??           n

3.       Spectres. Le spectre d’amplitude unilatéral est la représentation graphique des raies A0 = |a | = |c0| et An = |an| = 2 ×|cn| car bn = 0. Le spectre d’amplitude bilatéral est la représentation graphique des raies |c0| et |cn|. Le spectre de phase est la représentation graphique des raies des phases initiales ?n définies par :

cos?n = an/|an| ou    ?n = ???n = arg(cn)

Par suite, pour n > 0, ?n = 0? si cos?n = +1, c’est-à-dire si :

sin(n?/5) > 0 ?? 0 + 2k? < n?/5 < ? + 2k? ?? 0 + 10k < n < 5 + 10k

Et ?n = 180 si cos?n = ?1, c’est-à-dire si : 5 + 10k < n < 10 + 10k Pour n = 5 + 10k, sin(n?/5) = 0 et ?n ne peut être défini ; on fixe ?n = 0?. Tout calcul fait on obtient (An et |cn| en volts, ?n en degrés) :

4.       Tension décalée u(t ? ? T/2). On a :

avec  n?? = n?/5

n??)

Les spectres d’amplitude sont inchangés par décalage. Le spectre de phase du signal décalé u(t ? ? T/2) est obtenu à partir de celui de u(t) en ajoutant ?n?/5 rad, soit n pour chaque terme (voir le tableau de la question précédente et Fig.

Figure 13.5 Spectre de phase de la tension décalée u(t??T/2) avec ? = 1/5

S i g n a l t r i a n g u l a i r e

Soit le signal triangulaire pair (voir Fig. 13.2) de période T1. Son développement en série de Fourier est :

               s(t) = 1 ? +?   sin(n?/2)2                                                     = 1 ? 4 +? cos[(2p++ 1)?1t]

      SMax           2      n=1                n?/2            cos(n?1t)        2       ?2 p=0                (2p      1)2

1.  Tracer le signal s             , dérivée de s(t).

2.  Déduire le développement en série de Fourier de    de celui de s(t).

S o l u t i o n

1.       Chronogrammes (Fig. 13.6).

 

Figure 13.6 Signaux s

2.       Développement en série de Fourier. s

n Ou bien :

                   ?2 p=0                                                                ?      p=0


 

?n ==?Un ? In est le déphasage entre + un et in(t) In 2cos(n?t ?In) ; un est en avance de phase par rapport à in si ?n est positif.

U = UEff  et  I

•    Puissances et facteur de puissance dans le cas où la tension et le courant sont périodiques alternatifs

Les définitions et relations du cas général ci-dessus restent valables. La particularité de l’alternatif se traduit par : U0 = 0 et I0 = 0.

•    Puissances et facteur de puissance dans le cas où la tension est sinusoïdale et le courant périodique alternatif (Fig. 14.2)

La tension u = u(t) est sinusoïdale et le courant i = i(t) périodique alternatif (I0 = 0) et développable en série de Fourier. Notations particulières : u où  U = UEff i où  In = InEff

n=1

?1 = ?U ? ?I1 est le déphasage entre u(t) et le fondamental i1(t)

 

Unité

 

Définition et relations

Puissance active ou moyenne

watt (W)

P =

PMoy

Puissance apparente

volt-ampère (VA)

 

S

=1

Puissance réactive

volt-ampère-réactif (var)

Q

= UI1sin ? 1 = P tan ? 1

Puissance

déformante

volt-ampère

-déformant (vad)

D

 

Facteur de puissance

 

 

P I1cos?1 fP = =

           S           I

Facteur de déphasage

 

 

P

 = cos ? 1

UI1

Figure 14.2 Puissances – Facteur de puissance (convention récepteur)

Tension u = u(t) sinusoïdale  et courant i = i(t) périodique alternatif 115

–  Puissances

S2           P2          Q2          D2

Remarques (tension sinusoïdale et courant alternatif) :

–  La puissance active est transportée uniquement par le fondamental ducourant.

–  La définition de la puissance réactive conduit à la relation :

–  La définition de la puissance déformante correspond simplement à laclôture de : = + +

–  Dans le cas où c’est le courant qui est sinusoïdal et la tension pério-dique alternative, il suffit d’intervertir les rôles de u et de i dans les formules.

–  L’unité de D n’est pas consensuelle. Selon les auteurs, on rencontre VA, vad ou pas d’unité. Le choix ici adopté consiste à insister sur le caractère particulier de cette « puissance ».

II    Compléments

•    Puissance active

Seule la puissance active, moyenne de la puissance instantanée, correspond à une véritable puissance, transformée en puissance mécanique, thermique, chimique, etc.

•    Puissance apparente

C’est l’élément essentiel du dimensionnement de la ligne et du générateur car un circuit nécessite un courant efficace (sous une tension donnée) pour son alimentation, alors que seule la puissance active est transformée sous une autre forme d’énergie. Plus la puissance apparente est grande par rapport à la puissance active, plus les pertes en ligne seront importantes et plus le générateur devra être surdimensionné.

•    Puissance non-active

–  En régime sinusoïdal (tensions et courants sont tous sinusoïdaux), la puissanceréactive caractérise les échanges d’énergie entre le générateur et le récepteur dus à la présence d’éléments réactifs (bobines et condensateurs) stockant et restituant de l’énergie sous forme électromagnétique ou électrostatique.

–  En régime périodique non-sinusoïdal, l’interprétation de la puissance réactive etla frontière entre puissances réactive et déformante ne font pas consensus dans la communauté scientifique. On a choisi d’introduire ici, dans le seul cas particulier d’une tension sinusoïdale et d’un courant périodique alternatif (charge nonlinéaire sur un réseau délivrant une tension alternative sinusoïdale), la définition la plus rencontrée (Q et D) afin que le lecteur en soit averti ; malgré l’impossi-


bilité de donner des significations physiques claires à Q et D (voir l’exercice ciaprès, « Gradateur sur charge résistive »). Il ne faut cependant pas ignorer qu’il existe aujourd’hui plusieurs définitions de la puissance réactive pour le régime périodique.

III Mesures

Les appareils doivent être capables de mesurer les valeurs efficaces de grandeurs périodiques contenant des harmoniques. En conséquence, leur bande passante doit être suffisante. Par exemple, la mesure du taux de distorsion harmonique (THD) nécessite la prise en compte des harmoniques jusqu’au rang 40 pour être conforme aux normes.

•    Analyseur de réseau électrique

Ils permettent les mesures des puissances active, réactive, et apparente, du facteur de puissance, des tension et courant efficaces, des harmoniques, du THD, etc. Il faut cependant bien connaître les limites et les principes de calcul décrits dans la notice technique d’un tel appareil pour éviter les erreurs d’interprétation. Enfin, il ne faut pas oublier qu’il existe plusieurs définitions de la puissance réactive en régime périodique (voir le paragraphe « Compléments »).

•    Appareils élémentaires

–  La puissance active se mesure à l’aide d’un wattmètre qui indique la valeurmoyenne de la puissance instantanée p = ui (Fig. 14.3 ; voir aussi fiche 6, paragraphe « Mesures ») ;

–  La puissance apparente se calcule à partir des valeurs efficaces de la tension etdu courant mesurées par un voltmètre et un ampèremètre (voir fiche 2, paragraphe « Mesures ») : S = U I.

–  La puissance non-active se calcule alors par : N

–  La mesure de la puissance réactive définie par Q(cas où la tension est sinusoïdale et le courant périodique alternatif) s’effectue avec un wattmètre monté en varmètre, c’est-à-dire dont le circuit tension est branché sur une tension en quadrature avec u car Q = U I1 sin?1 = U I1 cos(?1 ? ?/2).

–  Enfin, la puissance déformante se déduit des mesures précédentes par :

D.

Exemple

Soit à mesurer les puissances actives et réactives d’une charge alimentée par une tension simple, les autres phases étant accessibles et le système de tensions étant triphasé équilibré et direct.

– Puissances

V1I1 cos?1 = P

Figure 14.3 Mesure      Figure 14.4 Mesure de la puissance active de la puissance réactive

R e d r e s s e u r à p o n t t o u s t h y r i s t o r s

Soit le schéma de principe (Fig. 14.5) d’un redresseur à pont tous thyristors. Le pont est alimenté par le réseau qui fournit une tension sinusoïdale de valeur efficace U = 400 V et de fréquence f = 50 Hz. Les thyristors sont considérés comme parfaits : T1 et T3 d’une part, T2 et T4 d’autre part, sont commandés de manière complémentaire avec un angle d’amorçage noté ?. L’inductance est de valeur suffisante pour qu’on puisse admettre que le courant iS est parfaitement continu : iS = IS. On obtient alors les allures (Fig. 14.6) de uS et i, et le développement en série de Fourier du courant d’entrée de l’installation i :

i

1.  Exprimer la valeur moyenne de la tension à la sortie du pont uS.

2.  En déduire la valeur moyenne de la tension aux bornes du moteur uM.

3.  Exprimer la puissance moyenne absorbée par le moteur.

4.  Exprimer la puissance active absorbée par l’installation.

 

 


S o l u t i o n

1.       Valeur moyenne de uS. Par définition :

USMoy

D’où :                        USMoy

2.       Valeur moyenne de uM. Loi des mailles :

uSUSMoy = UL Moy + UMMoy

D’où :                        UMMoy = USMoy             car  UL Moy = 0

3.       Puissance moyenne absorbée par le moteur. En considérant le courant iS = IS constant, on a :

PMMoy USMoyIS

 IS D’où :           PMMoy

4.       Puissance active absorbée par l’installation. Plusieurs raisonnements sont possibles.

–  On remarque que la puissance absorbée par l’installation est égale à la puissan-ce moyenne absorbée par le moteur car tous les autres éléments sont supposés parfaits. D’où : P = PMMoy

–  On applique la définition : P = PMoy . Comme i = +IS pour ? < ? < ? + ?, P s’écrit :

                            IS          ?+?

                         P                                                USMoyIS                   D’où : P = PMMoy

5.       Par définition, le fondamental i1 du courant i s’écrit : i1(?) = I1Max sin(? ? ?1). C’est une grandeur sinusoïdale de fréquence 50 Hz (celle du réseau). Les symétries de i(?) conduisent à la représentation (Fig. 14.7) de son fondamental. On en déduit que ?1 = ?

 

Figure 14.7  Allure du fondamental i1

On applique alors la formule obtenue lorsque la tension est sinusoïdale et le courant périodique alternatif (voir Fig. 14.2) :

 IS

P = U I1 cos?1 = U I1 cos? =  cos?

?

                                                                      IS                                                      4IS

et    I

?

Le fondamental du courant s’écrit :

                                       i                         ce qui vérifie bien l’expression donnée.

6.       Puissance apparente absorbée par l’installation. Par définition :

                                           S = U I = U IS                            car I IS

7.       Facteur de puissance de l’installation. Par définition :

                                                                   P          

fP

8.       Puissance réactive, déformante et non-active. Par application des définitions :

 IS

Q

DU IS

N

9.       Application numérique : ? = ?/3 rad, puis ? = 2?/3 rad, et IS = 50 A.

? (°)

UMoy (V)

P (W)

S (VA)

fP

I1(A)

Q (var)

D (vad)

N (VA)

60

180

9000

20 000

0,45

45

15 590

8700

17 860

120

– 180

– 9000

20 000

– 0,45

45

15 590

8700

17 860

Un facteur de puissance négatif correspond à une puissance active négative reçue par le pont. Pour ? > 90°, le redresseur fonctionne en onduleur assisté, la MCC est génératrice et fournit de l’énergie électrique au réseau. La forme du courant i1 ne dépend pas de l’angle ? ; ceci explique que I1, D et S soient constants (voir fiche 13, « Méthodes », paragraphe « Signal décalé temporellement »).

G r a d a t e u r s u r c h a r g e r é s i s t i v e

Soit le schéma de principe (Fig. 14.8) d’un gradateur à commande de découpage des phases. Il est alimenté par le réseau qui fournit une tension sinusoïdale u = UMax sin(?t) avec UEff = 230 V. L’interrupteur électronique, supposé parfait, est fermé à un instant fixé par l’angle d’amorçage ? et ouvert lorsque le courant i s’annule. Pour une charge résistive R = 26,5 ?, on obtient les chronogrammes (Fig. 14.9), et le développement en série de Fourier du courant d’entrée de l’installation i :

i

p=1

                          UMax                                                                                 UMax

Avec :    a                       1      cos 2?         et    b1 =               (2(???) + sin(2?))

                          2?                                            2?R

1.    Exprimer la valeur efficace de la tension uS aux bornes de la charge. En déduire la valeur efficace du courant i dans la charge.

2.    Exprimer la puissance active absorbée par l’installation.

3.    Exprimer la puissance apparente de la source.

4.    Exprimer le facteur de puissance de l’installation.

5.    Calculer US = USEff, I = IEff, P, S et fP pour ? = 0?, puis ? = 90?. Commenter.

6.    Ecrire l’expression du fondai1 du courant i absorbé par T1G1 électronique AC Interrupteur

mental

l’installation. Puis exprimer la                               i 

A valeur efficace I1 du fondamental.

7.    Exprimer les puissances réactive,

déformante et non-active absorbées u                   2 T2           uS        Charge : R G

par l’installation. Les calculer pour

? = 0?, puis ? = 90?. Commenter.                                                                           B

Figure 14.8  Interrupteur électronique AC

                                   ?          ?+?  ?+ 2? 

                   +UMax                                                                                                                                                       uS

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                u

0 ? ?= t

?UMax

                                  0           ?          2?         3?         4? 

Figure 14.9  Commande de découpage des phases – Charge résistive

S o l u t i o n

1.       Valeur efficace de la tension aux bornes de la charge. Par définition :

U

2

D’où :                                                               US = USEff

Valeur efficace du courant dans la charge. La loi d’Ohm permet d’écrire :

                                US           U

I

2.       Puissance active absorbée par l’installation. Elle est égale à la puissance moyenne absorbée par la résistance car l’interrupteur électronique est supposé parfait. D’où :

                         P = US2 =          2 = U2        1         ? + sin(2?)

RI R            R

3.       Puissance apparente de la source. Par définition :

                                            U2                    ?         sin(2?)

                         S = U I =             1           +

R

4.       Facteur de puissance de l’installation. Par définition :

P

fP

5.       Application numérique. Pour ? = 0?, l’interrupteur électronique est constamment fermé ; la puissance active est maximale et le facteur de puissance vaut 1. Pour ? = 90?, l’interrupteur électronique est fermé la moitié du temps de chaque période ; la puissance active est divisée par 2 tandis que la valeur efficace du courant est divisée par  ; le facteur de puissance vaut  ; cela résulte du fait que le courant n’est pas sinusoïdal.

? (°)

US (V)

I (A)

P (W)

S (VA)

fP

0

230

8,68

2000

2000

1

90

163

6,14

1000

1414

0,707

6.       Fondamental du courant absorbé par l’installation. Il s’écrit :

                          i1(?) = a1 cos? + b1 sin?         avec a1 et b1 définis ci-dessus.

Valeur efficace du fondamental. On a :

I

7.       Puissances réactive, déformante et non-active absorbées par l’installation. La tension étant sinusoïdale et le courant périodique alternatif, on a :

U

Tout calcul fait on obtient :

U2                    1 ? cos(2?)            U2                 sin 2(?) Q

Par suite :

                                                       D                                   et N

Application numérique.

? (°)

I1 (A)

Q (var)

D (vad)

N (VA)

0

8,68

0

0

0

90

5,16

637

771

1000

Remarque : Ici, il n’est pas facile de donner une interprétation physique à Q dite puissance réactive ; aucune énergie n’est stockée dans une inductance ou une capacité puisqu’il n’y en a pas dans le schéma étudié. Q ne correspond donc pas à un échange d’énergie, mais représente le saut de la puissance instantanée à la fermeture de l’interrupteur électronique (? = ?). En effet :

p(?) = u2(?) = 2U2 sin 2?

                                                                      R             R

(lorsque l’interrupteur électronique est fermé)

                                                        Q                            et p(??) = 0


 

                                                                         -T/3               T/3          2T/3

Figure 15.1  Représentation temporelle d’un système triphasé équilibré direct

 Sens trigonométrique

Figure 15.2 Représentation vectorielle d’un système triphasé équilibré direct

•     Propriété

La somme des trois composantes d’un système triphasé équilibré (g1,g2,g3) est nulle à tout instant.

 

II    Compléments

Pour simplifier écritures et calculs, on note a l’opérateur de rotation de +120°. On a les propriétés suivantes :

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

D’où :

1


2. Exprimer la sortie S pour p = 1, q = 2 et r = 3. 3. Exprimer la sortie S pour p = 1, q = 3 et r = 2.

4. Récapituler dans un tableau les 6 cas possibles en fonction p, q et r. Conclure.

S o l u t i o n

1.       Sortie S en fonction de Gp, Gq et Gr .

 

 

2.       Sortie S pour p = 1, q = 2 et r = 3.

 

= G(1 ? e ?j? ? e +j?) = 3G

3.       Sortie S pour p = 1, q = 3 et r = 2.

 

4.       Le tableau (Fig. 15.4) récapitule les 6 cas possibles, les cas non encore traités pouvant se déduire des deux traités précédemment. En conclusion, si S = 3G alors le système est direct, et si S = 0 alors le système est inverse.

p

q

r

Sortie S

Système

1

2

3

S = 3G

Direct

3

1

2

S = 3Gej 23?

Direct

2

3

1

S

Direct

1

3

2

S = 0

Inverse

2

1

3

S = 0

Inverse

3

2

1

S = 0

Inverse

Figure 15.4  Les 6 cas possibles.


 

Pour l’écriture des expressions des tensions composées : voir les exercices des fiches 3 et 4.

 

Expressions temporelles

Expressions complexes

Système direct

 

?

? v1 = VMaxcos(?t)  v

 

= V

V

= aV

(V1, V2, V3) = (V, a2V, aV)

 

u

???

u

j

Ue

Ue

U12

(U12, U23, U31) =

(U12, a2U12, aU12)

           

Figure 16.2  Systèmes de tensions triphasés équilibrés directs

•    Représentation vectorielle des tensions simples et composées pour des systèmes triphasés équilibrés directs (Fig. 16.3)

Les tensions composées u12, u23 et u31 sont respectivement en avance de 30° sur les tensions simples v1, v2 et v3.

                                                                                                          U12 = ?V1 V2

                                                                                                           U = ?V2    V3

                                                                                                          U31 = ?V3 V1

Figure 16.3 Tensions simples et composées – Systèmes triphasés équilibrés directs


Dans la suite du chapitre, les systèmes des tensions (v1, v2, v3) et (u12, u23, u31) sont supposés équilibrés et directs.

•    Système triphasé de courants

Les courants de ligne i1, i2 et i3 (voir Fig. 16.1) constituent le système triphasé (i1,i2,i3) qui peut être équilibré ou pas en fonction de l’installation.

•    Installation triphasée équilibrée / déséquilibrée

Alimentée par un système de tensions triphasé équilibré direct, une installation triphasée (ensemble de récepteurs triphasés et monophasés) est dite équilibrée si les courants de ligne constituent un système triphasé équilibré direct ; sinon, elle est dite déséquilibrée.

•    Courant dans le neutre

Si les courants de ligne constituent un système triphasé équilibré alors le courant dans le neutre est nul (iN = 0). En conséquence, la présence d’un courant dans le neutre indique un déséquilibre de l’installation. Mais attention, en présence de plusieurs récepteurs couplés en étoile pour certains et en triangle pour les autres sur une même ligne triphasée, l’absence de courant dans le neutre ne garantit pas que l’installation soit équilibrée car le neutre n’est pas utilisé dans le cas d’un couplage en triangle d’un récepteur triphasé (voir paragraphe « Méthodes »).

II    Méthodes

En régime sinusoïdal permanent triphasé, un récepteur triphasé peut être vu comme l’association de trois dipôles monophasés.

•    Couplage étoile d’un récepteur triphasé sur le réseau (Fig. 16.4)

Chaque dipôle est relié entre une phase et le neutre. Soumis à une tension simple, il est traversé par un courant de ligne. La loi des nœuds permet d’écrire :

iN = i1 + i2 + i3

•    Récepteur triphasé représenté par trois impédances en étoile

Chaque dipôle Dk est constitué d’une impédance Zk . On a :

                                                                                 V1                            V2                             V3

                                                            avec I1 =                                 et I

                                                                                 Z1                            Z2                             Z3

 

Figure 16.4  Couplage étoile d’un récepteur triphasé

Dans le cas où Z1 = Z2 = Z3, on a :

                                         V1                           a2V                                  aV1

                                    I1 =         , I2 =                        I1 et  I

                                         Z1                              Z2                                                      Z3

En conséquence, le système triphasé de courants (i1,i2,i3) est équilibré direct, et on dit qu’un tel récepteur est équilibré. Le courant dans le neutre est bien sûr nul :

 

•    Récepteur triphasé représenté par trois modèles de Thévenin en étoile

Chaque dipôle Dk est constitué d’une impédance Zk et d’une source de tension Ek en série. On a :

V1 ? E1           V2 ? E2     V3 ? E avec   I       et I

 

En conséquence, le système triphasé de courants (i1,i2,i3) est équilibré direct, et on dit aussi qu’un tel récepteur est équilibré. Le courant dans le neutre est bien sûr nul :

 

•    Couplage triangle d’un récepteur triphasé sur le réseau (Fig. 16.5)

Chaque dipôle est relié entre deux phases du réseau. Les tensions appliquées aux bornes des dipôles sont les tensions composées du réseau, et les courants de ligne sont différents des courants de branche (ou de phase) dans les récepteurs. La loi des nœuds permet d’écrire :

i1 = j1 ? j3 j1 et     i1 + i2 + i3 = 0 (car il n’y a pas de fil de neutre).

? j2

 

Figure 16.5  Couplage triangle d’un récepteur triphasé • Récepteur triphasé représenté par trois impédances en triangle

Chaque dipôle Dk est constitué d’une impédance Zk . On a :

U12 U23 U31 J1 =et J

                                                       Z1                               Z2                                 Z3

Dans le cas où Z1 = Z2 = Z3, on a :

                                     U12                            a2U12                                                  aU

                                 J1 =                  , J2 =  = a2 J1 et  J                       12

                                       Z1                                  Z2                                                          Z3

Le système triphasé de courants (j1,j2,j3) est donc équilibré direct. D’où :

                                                                            I qui s’écrit aussi  I

caces sont reliées par :

avec 

E = aE , le récepteur est équilibré.

Figure 16.6  Diagrammes de Fresnel – Charge triphasée équilibrée

Schéma monophasé équivalent

tuant l’installation.

Remarques :

– Avec le schéma monophasé équivalent, les schémas sont plus simples. Les grandeurs V et I sont toujours accessibles et mesurables (voir fiche 17, « neutre artificiel »). Attention à ne pas oublier les multiplications par 3 pour les puissances.

 

Figure 16.7  Schémas équivalents pour une installation triphasée linéaire équilibrée en tensions et en courants

R é c e p t e u r t r i p h a s é

On alimente par le réseau triphasé équilibré 230/400 V, 50 Hz, neutre sorti, un récepteur triphasé constitué de trois dipôles couplés en étoile (voir Fig. 16.4).

1.  Les trois dipôles sont des résistances égales à R = 150 ?.

1.1.  Calculer les valeurs efficaces des courants de ligne I1, I2, I3 et celle du courant dans le neutre IN.

1.2.  En supposant le neutre coupé, recalculer les valeurs efficaces des courants I1, I2,

I3 et IN.

2.  Les dipôles D1 et D2 sont des résistances égales à R = 150 ? et le dipôle D3 est un condensateur C tel que ZC= R à 50 Hz.

2.1.  Calculer les valeurs efficaces des courants de ligne I1, I2, I3 et celle du courant dans le neutre IN.

2.2.  En supposant le neutre coupé, recalculer les valeurs efficaces des courants I1, I2, I3 et IN, ainsi que les tensions aux bornes des dipôles. Conclure.

S o l u t i o n

1.       Les trois dipôles sont des résistances égales à R = 150 ?.

1.1.     Le système triphasé de tensions (v1,v2,v3) étant équilibré direct, le système triphasé de courants (i1,i2,i3) est aussi équilibré direct car les trois résistances sont égales (voir paragraphe « Méthodes »). En conséquence, les courants de ligne ont même valeur efficace et le courant dans le neutre est nul.

V

I1 = I2 = I3 = I =  ? 1,53 A   et    IN = 0 A

R

1.2.     Puisque IN = 0 A, que le neutre soit coupé ou non ne change en rien les valeurs efficaces des courants de ligne.

2.       Les dipôles D1 et D2 sont des résistances égales à R = 150 ? et le dipôle D3 est un condensateur C tel que ZC = R à 50 Hz (Fig. 16.8).

 

Figure 16.8  Schéma avec neutre relié

2.1.     Les courants de ligne ont la même valeur efficace puisque les éléments ont la même impédance ZC = R = 150 ? et sont soumis à la même tension efficace V = 230 V. D’où :

V

I1 = I2 = I3 = I =  ? 1,53 A

R

En prenant la tension v1(t) pour origine des phases et en appliquant la loi d’Ohm aux bornes de chaque élément, on a :

            V1            V                      V         a2V                               V3                    aV1                        V

I, 2 I et I jaI R R R R ZC ZCe R

En appliquant la loi des nœuds en N, on peut écrire :

INI

La Fig. 16.9 montre la représentation de Fresnel. Une mesure sur ce diagramme ou l’utilisation de la calculette donnent : IN ? 2,17 A et Arg.

Calcul littéral. Comme 1 + a + a2 = 0, IN peut aussi s’écrire :

INI

 I Soit finalement :

,17 A

IN

?

 

Figure 16.9  Diagramme de Fresnel

2.2. Si le neutre est coupé, la loi des nœuds s’écrit :

I1 + I2 + I3 = 0

VON

avec  I =                                                                          et Ioù  ZC = ?jR

D’où :

V

Comme V2 = a2V1 et V3 = aV1 , on obtient :

V

Et finalement :

                                                                  =        1 + a2 + ja

                                                         VON         V1

2 + j

L’utilisation de la calculette donne : VON ? 145,5 V et Arg Calcul littéral. VON peut aussi s’écrire :

,5 V

La tension entre O et N n’est donc pas nulle ! On en déduit alors les courants de ligne :

                                            ??                              0,12j) A = [2,06 A;?3,08 rad]

Tensions aux bornes des dipôles :

 

En conclusion, les dipôles dans chaque phase ne fonctionnent plus sous leur tension nominale.

S y s t è m e d é s é q u i l i b r é p a r u n i n c i d e n t

On alimente par le réseau triphasé équilibré 230/400 V, 50 Hz, avec neutre, trois dipôles identiques couplés en étoile (voir Fig. 16.4), chaque dipôle étant constitué d’une résistance R = 33 ? en série avec une inductance L = 200 mH.

1.  Exprimer et calculer le courant complexe I1de ligne.

2.  Exprimer et calculer le courant complexe INdans le neutre si, à la suite d’un incident, l’inductance d’un des dipôles est court-circuitée.

S o l u t i o n

On prend la tension simple V1 comme référence des phases.

1.       Courant complexe I1

Z = R + jL? = Ze j

09 rad ? 62,3?

Soit :

Z ? (33 + 62,83j)? ? [71? ;1,09 rad]

D’où :

                                 1                                   V             V

I

2.       Si une inductance est court-circuitée, le récepteur est déséquilibré et le courant dans le neutre n’est plus nul. On suppose l’inductance du dipôle branché entre la phase 1 et le neutre court-circuitée. Loi d’Ohm :

                                  V         V                V               V                      V              V

I , 2 a j? et  I3 Z a Ze j? R R Z Ze

Loi des nœuds :

                                                                                V                      V       V       V j?

Tout calcul fait, on obtient :

IN ? (5,46 + 2,87j) A ? [6,17 A;0,48 rad]


FICHE 17           Puissances

en régime sinusoïdal triphasé

Objectifs : Calculer et mesurer la puissance absorbée par un circuit électrique linéaire en régime sinusoïdal permanent triphasé.

On se reportera à la fiche 6 pour la définition des puissances et le théorème de Boucherot, et aux fiches 15 et 16 pour les principes des systèmes triphasés et les schémas des couplages étoile et triangle d’un récepteur.

I      À savoir

Le théorème de Boucherot est applicable. En conséquence, les puissances actives d’une part, et réactives d’autre part, consommées par les dipôles s’ajoutent ou, dit autrement, les puissances apparentes complexes consommées par les dipôles s’ajoutent.

II     Méthodes

•    Si le récepteur triphasé n’est pas équilibré ou n’est pas alimenté sous un système de tensions équilibré, seules les formules générales sont applicables (Cas général Fig. 17.1). On note respectivement :

?1 = ?v1 ? ?i1, ?2 = ?v2 ? ?i2, ?3 = ?v3 ? ?i3 les déphasages entre les tensions simples v1, v2, v3 et les courants de ligne i1, i2, i3 ;

 les déphasages entre les tensions composées u12, u23, u31 et les courants de phase j1, j2, j3.

•    Si le récepteur triphasé est équilibré et alimenté sous un système de tensions équilibré (? système de courants équilibré) alors les formules se simplifient (Cas équilibré Fig. 17.1). On a :

V = V1 = V2 = V3

U = U12 = U23 = U31

I = I1 = I2 = I3

J = J1 = J2 = J3

            ? = ?1 = ?2 = ?3                                                                                                                                  

                   U                                                                 J

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

 

Cas

Récepteur couplé en étoile

Récepteur couplé en triangle

Puissance apparente complexe S

en volt-ampères (VA)

général

 

S = S1 + S2 + S

3 = P + j Q

avec

 

S1

S2

S3

 

 

S1

S2

S3

 

équilibré

S

= 3VIej?

S = 3Ujej

Puissance active ou moyenne P en watts (W)

général

P

= PMoy = P1 + P2

+ P3 = Re(S) avec

 

P1

P2

P3

= V1I1cos?1

= V2I2cos?2

= V3I3cos?3

 

P1

P2

P3

= U12J1cos1

= U23J2cos2

= U31J3cos3

équilibré

P = 3VIcos?

 

P = 3UJcos

 

Puissance réactive Q en volt-ampère-réactifs

(var)

général

Q = Q1 + Q2 +

Q3 = Im(S) avec

 

 

équilibré

Q = 3VIsin?

 

Q = 3UJsin

 

Puissance apparente S en volt-ampères (VA)

général

S

(Attention ! S =/

 

S1 + S2 + S3)

équilibré

S = 3VI

UI

S = 3UJ

UI

Facteur de puissance

général

fP =

P

 

S

équilibré

fP = cos?

fP = cos

               

Figure 17.1  Puissances en régime sinusoïdal triphasé (convention récepteur)

III Compléments

Si le système est équilibré en tension et en courant, la puissance instantanée pour un couplage étoile p = v1i1 + v2i2 + v3i3 est égale à p = 3V I cos? qui est la puissance

– Puissances en régime sinusoïdal triphasé

active. De même, p = u12 j1 + u23 j2 + u31 j3 est égale à p = 3U J cos pour un couplage triangle. Autrement dit, la puissance fluctuante (voir fiche 6) est nulle ce qui constitue un avantage important pour les machines triphasées : ces dernières fourniront ou absorberont un couple constant (pas de couple fluctuant alternativement freinant puis entraînant), d’où pas de vibrations ou résonances mécaniques.

IV Mesures

•    Création d’un neutre artificiel

Si on dispose d’une ligne à trois fils (sans neutre), on peut toujours créer un point neutre artificiel en connectant en étoile trois résistances égales de grande valeur – typiquement 100 k? – (Fig. 17.2). Ainsi, le point neutre d’une installation triphasée est toujours accessible à la mesure. Certains wattmètres intègrent ce montage.

 

Figure 17.2  Création d’un neutre artificiel

•    Utilisation d’appareils triphasés

Puissancemètre numérique triphasé

Ce type d’appareil intègre un grand nombre de fonctions : puissances active, réactive, et apparente, facteur de puissance, tension et courant efficaces, fréquence, etc. (voir fiche 6). Selon l’appareil, la mesure peut se faire sur un système équilibré ou pas.

    •     Utilisation de wattmètres monophasés

On montre que la puissance apparente complexe évaluée sur la ligne d’alimentation s’écrit :

SLigne = SCharge

    D’où :            PLigne = PCharge = V1I1 cos?1 + V2I2 cos?2 + V3I3 cos?3

QLigne = QCharge = V1I1 sin?1 + V2I2 sin?2 + V3I3 sin?3

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal


En conséquence, on mesure les puissances absorbées par l’installation sur la ligne d’alimentation.

Mesure de la puissance active (Fig. 17.3)

P1, P2 et P3 sont respectivement les valeurs indiquées par les wattmètres W1, W2 et W3. On suppose le système des tensions (v1,v2,v3) équilibré direct.

 

Schéma

Puissance active

Conditions de validité

Montage à trois

wattmètres

 

P = P1 + P2 + P3

Charge

équilibrée (*) ou pas.

Ligne à 4 fils.

Montage à deux wattmètres

2

P = P1 + P2

Charge

équilibrée (*) ou pas.

Ligne à 3 fils ou courant nul dans le neutre.

Montage à un wattmètres

 

P = 3P1

Charge

équilibrée (*)

seulement.

Ligne à

3 ou 4 fils.

(*) Charge équilibrée signifie que le système de courants est équilibré,le système de tensions étant supposé équilibré.

Figure 17.3  Mesure de la puissance active

Mesure de la puissance réactive (Fig. 17.4)

P1, P2 et P3 sont respectivement les valeurs indiquées par les wattmètres W1, W2 et W3. On suppose le système des tensions (v1,v2,v3) équilibré direct.

Mesure du facteur de puissance

Si on ne dispose pas d’une pince multi-métrique, on détermine le facteur de puissance à partir des mesures des puissances par : fP = P/S = P/ Q .

 

S o l u t i o n

1.       On applique le théorème de Boucherot :

P = P1 + P2 + P3 = 3RI2 et Q = Q1 + Q2 + Q3 = 3L?I2

Si I ? 3,24 A (voir fiche 16, solution du deuxième exercice), on a :

P ? 1040 W et Q ? 1980 var.

Remarque : Si on donnait la résistance r entre deux phases (et celle-ci est toujours mesurable en pratique), la puissance active serait donnée par :

P rI . Cette formule est valable quel que soit le couplage du récep2

teur triphasé équilibré.

2.       Les puissances actives mesurées avec la méthode des deux wattmètres sont :

P  (voir Fig. 17.3)

avec : U et

 

D’où : P1 ? 1091 W et P2 ? ?51 W.

La puissance active P2 est négative car le facteur de puissance de la charge inductive est inférieur à 0,5.

Autre solution utilisant les relations de la méthode des deux wattmètres. On a :

1091 W

51 W

3.       Si une inductance est court-circuitée, le récepteur est déséquilibré. On suppose l’inductance du dipôle branché entre la phase 1 et le neutre court-circuitée. On applique le théorème de Boucherot :

P et Q = Q2 + Q3 = 2L?I2

                   V                                                            V

avec I1 =  courant dans la phase 1, et I =  courant dans les phases 2 et 3.

                    R                                                            Z

Si I1 ? 6,97 A et I ? 3,24 A (voir fiche 16, solution du deuxième exercice), on a :

P ? 2296 W et Q ? 1319 var.

4.       On ne peut utiliser la méthode des 2 wattmètres, ni pour mesurer la puissance active car le courant dans le neutre n’est pas nul, ni pour mesurer la puissance réactive car la charge n’est pas équilibrée.

5.       Le facteur de puissance du récepteur est fP = P/S. On applique le théorème de Boucherot :

P + PC avec PC = 0, Q = P tan? et  QC = ?3C?U2 Q + QC

10?

D’où : C = P                 ? 2                    ?           5F soit C ? 10 µF

3?U

I n s t a l l a t i o n d é s é q u i l i b r é e é l é m e n t a i r e

 

S o l u t i o n

            =       =        = U ?                                 =           =         2 ? 1110 W

1. I1             I2                        I2,78 A  et  PR1                        PR2          RI

R

Puissance totale dissipée dans la charge : P = 2PR1 ? 2220 W

I

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

 

 

Figure 17.6  Diagramme de Fresnel

3. Puissances actives.

P1 = V I cos?1 avec ?1 = ?/6 rad soit P1 ? 555 W

P2 = V I cos?2 avec ?2 = ??/6 rad soit P2 ? 555 W

P3 = V I3 cos?3 avec ?3 = 0 soit P3 ? 1110 W

Au total, P1 + P2 + P3 = 2220 W = P

Puissances réactives. Le wattmètre W2 mesure le produit scalaire :

 

On a :        Q1 = V I sin?1 = 332 var

Q2 = V I sin?2 = ?332 var

Q3 = V I3 sin?3 = 0 var

Au total, Q1 + Q2 + Q3 = 0 var

 


On montre alors que le champ résultant , de module

constant 3HMax/2, tourne à la vitesse angulaire dite vitesse de synchronisme ?S = ? dans le sens inverse.

Figure 18.1  Bobinage triphasé

Généralisation : Dans le cas d’un bobinage triphasé multipolaire (p paires de pôles) alimenté par un système triphasé sinusoïdal équilibré, le champ tourne à la vitesse de synchronisme ?S = ?/p.

Remarques :

–  En permutant deux phases, par exemple les phases 2 et 3, on inversele sens de rotation du champ.

–  En pratique, le bobinage, réparti autour du stator, permet d’obtenirune répartition sinusoïdale du champ dans l’entrefer. Ce champ est radial et prépondérant sur le champ dans les parties ferromagnétiques

.

•    Fém induite

Un champ 2p-polaire tournant à la vitesse ? devant un bobinage fixe monophasé y induit une force électromotrice e(t) (loi de Lenz-Faraday) alternative sinusoïdale de pulsation ? = p? (ou de fréquence f = ?/2?). La valeur efficace de cette tension est : E = K N f                Max N est le nombre de conducteurs actifs du bobinage, f la fréquence (en Hz), Max le flux maximal sous un pôle (en Wb), et K un coefficient voisin de 2 qui dépend de la machine. Pour un ensemble de 3 bobines identiques (on passe de l’une à l’autre par rotation successive de 2?/3p), c’est un système de trois tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées qui est induit.

FICHE 18 – Champs tournants

•    Transfert d’énergie dans l’entrefer de la machine

On considère un champ tournant HR, 2p-polaire, à répartition sinusoïdale tournant à la vitesse ?, et un bobinage triphasé, tel que défini ci-dessus, alimenté par un système triphasé équilibré de courants (i1,i2,i3) de pulsation ?.

Cet enroulement crée un champ tournant HB à la vitesse ?/p ; il est le siège d’un système triphasé équilibré de fém (e1,e2,e3) induites par le champ tournant HR, et donc d’une puissance électromagnétique instantanée p(t) = e1i1 + e2i2 + e3i3.

La valeur moyenne de cette puissance (et donc du couple électromagnétique correspondant) est non-nulle à condition que ? = ?/p ; pour qu’il y ait transfert de puissance électromagnétique entre le champ tournant et le bobinage, il faut que les deux champs tournants HR et HB soient synchrones.

II     Compléments : principes des machines alternatives

Les machines synchrones ou asynchrones assurent une transformation réversible entre énergie mécanique et énergie électrique.

•    Machine synchrone triphasée

L’inducteur, situé généralement au rotor, est un aimant (petites machines), ou un bobinage alimenté en courant continu : il crée un champ tournant 2p polaire.

–  Fonctionnement en générateur : la roue polaire, entraînée à la vitesse ? (turbine, moteur thermique), induit des fém dans le bobinage triphasé statorique. Celui-ci étant fermé sur une impédance triphasée, des courants induits de pulsation ? = p? circulent et créent (Ferraris) un champ tournant statorique à la pulsation ?S = ?/p = ? : les deux champs sont bien synchrones. La puissance mécanique d’entraînement est transférée au stator sous forme électrique ; le couple électromagnétique est résistant et s’oppose à l’emballement du dispositif d’entraînement.

–  Fonctionnement en moteur : le stator, alimenté par un système triphasé équilibréde tensions à la pulsation ?, crée un champ tournant à la vitesse ?S = ?/p. Si le rotor tourne à la vitesse ? = ?S, alors il y a échange d’énergie. La puissance électrique reçue du réseau d’alimentation est transférée au système mécanique entraîné par le rotor. Le moteur est dit synchrone car sa vitesse est constante et ne dépend pas du couple résistant opposé par le système entraîné. Le couple électromagnétique est moteur. Le transfert de puissance ne pouvant se faire qu’à la vitesse de synchronisme, ce moteur ne peut démarrer spontanément. Il faut donc, par exemple, lui adjoindre un variateur de fréquence qui permettra aussi de faire varier sa vitesse.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Calculer les 5 premières vitesses de synchronisme en tr/s et en tr/min pour une fréquence de 50 Hz.

p

1

2

3

4

5

nS (en tr/s)

50

25

16,7

12,5

10

nS (en tr/min)

3 000

1 500

1 000

750

600

•    Machine asynchrone triphasée

Le stator (inducteur), constitué d’un bobinage triphasé est alimenté par un système triphasé équilibré de tensions à la pulsation ? et crée (Ferraris) un champ tournant au synchronisme ?S = ?/p. Le rotor, bobinage triphasé en court-circuit (rotor bobiné), est donc le siège de courants induits qui s’opposent à la cause qui leur donne naissance : la variation de flux du champ statorique au travers des bobinages rotoriques. Un couple est ainsi engendré et le rotor tourne dans le sens du champ tournant (pour minimiser la variation de flux) à une vitesse ? (par rapport au stator) inférieure à ?S. Le glissement, défini ci-dessous, ne peut pas être nul pour qu’il y ait échange d’énergie entre le stator et le rotor.

g

?S

Le rotor voit défiler le champ statorique à la vitesse relative (par rapport à lui-même)

?Re1 = ?S ? ? = g?S. Des courants de pulsation ?Re1 = p?Re1 = gp?S = g?, y sont induits. Un champ tournant à la vitesse ?Re1 = ?Re1/p par rapport au rotor est créé (Ferraris). Par rapport au stator, ce champ glisse donc à la vitesse (composition des vitesses) :

?Re1 + ? = (?S ? ?) + ? = ?S

Les champs statorique et rotorique sont bien synchrones : il peut donc bien y avoir transfert d’énergie dans l’entrefer. Le couple électromagnétique est moteur.

Le moteur à cage se comporte comme le moteur à rotor bobiné. Il est le plus répandu car il est robuste, peu coûteux et démarre spontanément. Sa vitesse se règle avec un variateur de fréquence.

En génératrice, cette machine est de plus en plus utilisée (éoliennes) mais elle a besoin d’énergie réactive pour fonctionner.

Principales vitesses de synchronisme

S o l u t i o n ?f

?S =  en rad/s    en tr/s  pp

FICHE 18 – Champs tournants

M a c h i n e s s y n c h r o n e e t a s y n c h r o n e

1.     Soit une machine synchrone utilisée en alternateur. On veut f = 50 Hz. Calculer la vitesse de rotation de la turbine pour p = 1 ou p = 2 (turbo alternateur de centrale thermique conventionnel ou nucléaire) ou p = 28 (groupe hydraulique).

2.     Pour un moteur asynchrone, on a mesuré n = 720 tr/min au fonctionnement nominal à f = 50 Hz.

2.1.  Calculer le nombre de paires de pôles et le glissement.

2.2.  Dans le cas d’un pilotage scalaire (U/f = cste), le glissement ne dépend que du couple résistant. Calculer la vitesse de rotation pour f = 20 Hz, 40 Hz, 60 Hz au couple nominal.

S o l u t i o n

1. On applique nS = f/p en tr/s

p

1

2

28

nS (en tr/s)

50

25

1,78

nS (en tr/min)

3 000

1 500

107

2.1. D’après l’exercice 1, la vitesse de synchronisme immédiatement supérieure à n = 720 tr/min pour f = 50 Hz est nS = 750 tr/min, ce qui correspond à p = 4. Le

glissement est égal à g soit 4 %.

nS

2.2. On a n = nS(1 ? g) avec g = 0,04 au couple nominal.

f (en Hz)

20

40

60

nS (en tr/min)

300

600

900

n (en tr/min)

288

576

864

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal



 

                                             I n                        (courant périodique alternatif)

IH1 est la valeur efficace du fondamental (harmonique 1) de i1, i2, i3 ?H1 = ?V1 ? ?I1H1 est le déphasage entre v1 (resp. v2, v3) et le fondamental de i1

(resp. i2, i3)

 

Unité

Définition et relations

 

Puissance active ou moyenne

watt (W)

P = 3VIH1cos(? H1)

Puissance apparente

volt-ampère (VA)

S = 3VI

Facteur de puissance

 

P fP =

S

Puissance réactive

volt-ampère-réactif (var)

Q = 3VIH1sin(? H1)

Puissance

déformante

volt-ampère

-déformant (vad)

D = ?S2 ? (P2 + Q2)

Facteur de déphasage

 

P

cos(? H1) =

3VIH1

Figure 19.2 Cas où les tensions sont sinusoïdales et les courants alternatifs

Remarque : La puissance active est transportée uniquement par le fondamental du courant.

II    Compléments

•    Origines des problèmes

Les harmoniques des courants sont générés par la multiplication des appareils de faibles puissances tels que les ordinateurs, l’éclairage (lampes à décharges, tubes fluorescents), les gradateurs de lumière, les téléviseurs, etc., mais aussi les variateurs de vitesse des machines à courant continu ou alternatif, les alimentations à découpage, les fours à arc, etc…

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

•    Conséquences des harmoniques des courants

–  Ils provoquent un échauffement des transformateurs, des machines tournantes,des batteries de condensateurs. Le phénomène peut être aggravé, voire destructeur, si certains harmoniques coïncident avec des fréquences de résonance du circuit.

–  Ils perturbent le fonctionnement des circuits de contrôle-commande (courantsfaibles). La cohabitation des câbles « courants forts » et « courants faibles » doit être particulièrement étudiée.

–  Ils engendrent des vibrations dans les matériaux (machines tournantes, transfor-mateurs), les usant plus rapidement.

–  Ils créent un échauffement supplémentaire des câbles. Le conducteur neutre peutégalement être le siège d’un courant élevé (voir l’exercice ci-dessous) et peut se révéler sous-dimensionné, surtout si des charges absorbent des courants contenant l’harmonique 3.

•    Solutions

Les solutions dépendent évidemment de la nature des problèmes, mais globalement les courants harmoniques peuvent être atténués par filtrage, sachant que celui-ci est d’autant plus délicat que le rang des harmoniques est faible. Or beaucoup de charges génèrent l’harmonique 3, qui est source de nombreux problèmes. Comme solutions, on peut citer :

–   Commande des convertisseurs favorisant les harmoniques de rang élevé (commepar exemple la commande MLI des onduleurs) pour un filtrage plus aisé.

–   Couplage adéquat des transformateurs permettant de supprimer les harmoniques3 car pas de neutre côté réseau : triangle / étoile ou triangle / zig-zag.

–   Filtrage passif des harmoniques.

–   Augmentation du diamètre du fil de neutre : sa section doit être adaptée. Parexemple, si TDHI3 > 33 % (rangs 3 et multiples de 3) alors sa section doit être supérieure à 1,45 fois la section d’un fil de phase ; cas fréquent d’une charge redresseur-condensateur (alimentation à découpage, variateur de vitesse, etc.).

–   Utilisation d’un fil de neutre pour chaque phase.

–   Filtrage actif : On intercale sur le réseau au plus près de l’équipement pollueurun équipement « compensateur d’harmoniques ».

–   Conception de l’équipement : L’équipement est conçu pour ne plus polluer leréseau. Par exemple, un redresseur à absorption sinusoïdale (le courant réseau est sinusoïdal et en phase avec la tension).

–   D’une manière générale, à partir de 10 kVA, on préfère utiliser un réseau tripha-sé à un réseau monophasé car, en régime équilibré, les harmoniques 3 des courants triphasés sont en phase : il n’y a donc pas de courant contenant l’harmonique 3 qui circule entre deux phases. Mais attention à la section du neutre car les harmoniques 3 des courants s’ajoutent dans le neutre.

–   Régime non-sinusoïdal triphasé – Puissances

III Mesures

Les méthodes de mesures vues dans la fiche 17 restent applicables à condition que les appareils puissent mesurer les valeurs efficaces des grandeurs non sinusoïdales, donc contenant des harmoniques. Leur bande passante doit être suffisamment élevée.

•     Cas où la charge est équilibrée, le système de tensions sinusoïdales étant équilibré direct et les courants périodiques alternatifs (Fig. 19.3)

On calcule la puissance apparente S à partir de la mesure du courant en ligne I faite avec un ampèremètre TRMS et la mesure de la tension simple V faite avec un voltmètre. La puissance active P se calcule à partir de la mesure faite avec un wattmètre W1. La puissance réactive Q se calcule à partir de la mesure faite avec un wattmètre W2 monté en varmètre. On en déduit alors la puissance déformante D (voir fiche 14).

1

S = 3V I

P = 3W1                                                                               2

Q

D                                                                3

N

Figure  19.3 Montage de mesure – Charge équilibrée

C h a r g e t r i p h a s é e n o n l i n é a i r e

Une charge triphasée équilibrée non linéaire, type salle informatique, est alimentée par un système de tensions équilibré (Fig. 19.4). On donne une approximation du chronogramme du courant i1(t) sur la phase 1 de valeur maximale I = 24,5 A, et celui de la tension simple v1(t) de valeur efficace V1 = 230 V (Fig. 19.5). La série de Fourier du courant i1(t) est :

i

1.       Calculer la valeur efficace I1 du courant dans la phase 1.

2.       Déterminer le chronogramme du courant iN dans le neutre. Déterminer sa fréquence et sa valeur efficace IN. En déduire le rapport des valeurs efficaces IN/I1. Conclure.

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

 

– Régime non-sinusoïdal triphasé – Puissances

S o l u t i o n

1.       Valeur efficace du courant dans la phase 1 :

I

         I                                                                                                                     A

2.       Les chronogrammes des courants sur les phases 2 et 3 ont la même allure que celui de i1(t), mais ils sont décalés respectivement de ?2?/3 = ?120° et de ?4?/3 = ?240° par rapport à i1(t). Le courant dans le neutre est : iN = i1 + i2 + i3 d’où le graphique (Fig. 19.6).

 

Figure 19.6  Chronogramme du courant dans le neutre

On voit que la période TN = T/3, d’où : fN = 3 f = 150 Hz. La valeur efficace est :

IN A

Le rapport des valeurs efficaces est :               ?

                                                                   I1                 2

Alors que les systèmes de tensions et de courants sont équilibrés, le courant dans le neutre n’est pas nul, il est même plus élevé que le courant en ligne ! D’où un risque de fusion du neutre et d’incendie, si le neutre n’est pas dimensionné en conséquence.

3.       Fondamental et valeur efficace de i1H1.

4

iet I                                                                                              =            sin                ? 5,7 A

4.       Taux de distorsion harmonique du courant i1.

THD soit  144 %

Électricité en 19 fiches : régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

5.       On a :

i1H1 = I1H1 cos(?t), i2H1 = I2H1 cos(?t ? 2?/3) et i3H1 = I3H1 cos(?t + 2?/3) avec I1H1 = I2H1 = I3H1. D’où :

                                                               iNH1                                    INH1 = 0

6.       Puissances et facteur de puissance pour la phase 1. Le développement en série de

Fourier du courant iH1 montre que : , d’où :

P1 = V1I1H1 cos(?1H1) = V1I1H1 ? 1311 W                      Q1 = V1I1H1 sin(?1H1) = 0 var

S1 = V1I1 ? 2300 VA                                                                            D vad

P1

fP =  ? 0,57

S1

7. Pour l’installation, on a :

 

P = 3P1 ? 3933 W

Q = 0 var

S = 3S1 ? 6900 VA                                                                    D vad

          P        P1

fP = = ? 0,57 S        S1

8.       Le montage de mesure proposé (Fig. 19.3) convient car la charge est équilibrée. Attention cependant, de nombreuses pinces multifonctions ne donnent pas D et calcu-

 

lent Q par ?S2 ? P2 ce qui est inexact si le courant n’est pas sinusoïdal. Valeurs lues sur les appareils : V = 230 V, I = 10 A, W1 = 1311 W, W2 = 0.

9.       Harmoniques de rang 3.

i

i

i

D’où :                                                              iNH3

4

                 INH3                                                             A

– Régime non-sinusoïdal triphasé – Puissances


Les harmoniques de rang 3 (à 150 Hz) s’ajoutent en phase dans le neutre, ce qui explique l’importance du courant efficace dans le neutre (IN ? 17,3 A).

10.      Harmoniques de rang 5.

i

i

i

D’où :           iNH5 = i1H5 + i2H5 + i3H5 = 0. Les harmoniques de rang 5 s’annulent.

11.      Généralisation : les rangs des harmoniques du courant iN sont impairs et multiples de 3, soit les rangs : 3, 9, 15, 21, etc. La décroissance est assez rapide (en 1/n), et l’harmonique 3 est prépondérant. La (Fig. 19.7) montre le spectre du courant de phase qui alimente la charge et du courant dans le neutre absorbé.

 

Figure 19.7  Spectres du courant de phase et du courant de neutre absorbé


EXPRESS SCIENCES

Guy CHATEIGNER

Michel BOËS

Jean-Paul CHOPIN Daniel VERKINDÈRE Électricité 

en 19 fiches

Régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal

Des principes aux applications

Comment aller à l’essentiel, comprendre les méthodes et les démarches avant de les mettre en application ?

Guy Chateigner est agrégé de génie électrique. Il est

Inspecteur d’Académie

– Inspecteur

Pédagogique Régional.

Michel Boës est professeur de physique appliquée.

Jean-Paul Chopin est professeur agrégé de sciences physiques, physique appliquée.

Daniel Verkindère est professeur agrégé de sciences physiques, physique appliquée.

 

BTS des filières techniques industrielles (Électrotechnique, Systèmes électroniques, IRIST, CIRA, TPIL,

MAI, MI, ATI,

Domotique)

Conçue pour faciliter aussi bien l’apprentissage que les révisions, la collection « EXPRESS » vous propose une présentation simple et concise de l’Électricité en 19 fiches pédagogiques. Chaque fiche comporte :

•   les idées clés à connaître,

•   la méthode à mettre en œuvre,

•   des applications sous forme d’exercices corrigés.

Contenu :

Régime sinusoïdal en monophasé

Régime périodique

Régimes sinusoïdal et non-sinusoïdal en triphasé

ISBN 978-2-10-053955-0                                                                              



506