Les circuits RLC support de cours electricite

Les circuits RLC support de cours électricité

§ 3 Lois de Kirchhoff

Ce troisième paragraphe est consacré aux applications. Les calculs de circuits RLC sont facilités par l'utilisation de nombres complexes.

Notre démarche sera la suivante:

-  nous partons de grandeurs physiques réelles;

-  nous les représentons sous forme complexe;

-  nous utilisons les lois de Kichhoff dans le corps des nombres complexes;

-  nous réinterprétons les grandeurs complexes qui résultent des calculs comme des grandeurs physiques réelles.

§ 3.1 Représentation complexe des grandeurs alternatives

ü Forme complexe de la tension

La forme réelle de la tension est une fonction de la forme

                   H L =^ˆ              Hω+ϕL

U :           , U     t         U cos      t        ₁

La forme vectorielle de cette même tension est une fonction

	→	ˆ	cos  ω t +ϕ1
U :    2	, U	HtL = U	Jsin Hω t +ϕ1LN

La forme complexe de cette tension est la fonction

U :    , —	H		L =	ˆ	i  ω t+ϕ1
		t		U e
U

ü Forme complexe de l'impédance

æ La forme vectorielle de l'impédance d'une résistance R est

^→ = J^RN

La forme vectorielle rassemble deux informations : l'impédance d'une résistance est Z = R et le déphasage j = 0

La forme complexe de l'impédance d'une résitance R est

Z_R= R

—

æ La forme vectorielle de l'impédance d'une bobine d'inductance L est

^→ = J⁰N

Zω Lp

La forme vectorielle rassemble deux informations : l'impédance d'une bobine est Z = w L et le déphasage est j = ÅÅÅÅ

Rappelons que le déphasage j représente le retard de phase du courant sur la tension ou, en d'autres termes, l'avance de phase de la tension sur le courant.

La forme complexe de l'impédance d'une bobine d'inductance L est

ZL= i ω L = ω L e	i
	2

æ La forme vectorielle de l'impédance d'un condensateur de capacité C est

Z =i		−	1	y
→	j		ω C	z
	k			{

La forme vectorielle rassemble deux informations : l'impédance d'un condensateur est Z = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ  et le déphasage est

La forme complexe de l'impédance d'un condensateur de capacité C est

−i

1

π

ü Loi d'Ohm sous forme complexe et forme complexe du courant pour un élément

A partir de la loi d'Ohm sous forme complexe U = Z ÿ I , on peut déduire le courant (sous forme complexe) qui traverse

—   — —

un élément lorsqu'il est soumis à une tension alternative (sous forme complexe).

æ Pour une résistance R, et le déphasage ainsi calculé j = j₁ - j₂ = 0 est conforme au déphasage observé dans les expériences.

ü Forme complexe du courant dans le cas général

Considérons un élément passif d'impédance Z (c'est-à-dire une portion de circuit dépourvue de générateur) aux bornes

—

duquel est appliquée une tension alternative U.

U = Z I

—— —

Cette relation, appelée loi d'Ohm généralisée, est aussi valable pour un circuit RLC dont les éléments sont montés en série. En effet, on a

—	— H	t	L	ˆ	Hla tensionest donnéeL
				ˆ
U =	U			=U ei Hωt+ϕ1L
I=I HtL =I ei Hωt+ϕ2L					Hle courantest de mêmepulsationque la tension

—   —

et on observeundéphasageconstantentrele courantet la tensionL

—	j		I			z
	iona posé		ˆ			y
Z = Z eiϕ		Z =	U	et	ϕ = ϕ1 − ϕ2
			ˆ

Vérifions maintenant la relation d'Ohm généralisée

Comme la phase initale des courants stationnaires ne joue généralement aucun rôle, un choix standard est le suivant

ϕ₁ = 0          

ϕ₂ = −

—	H L	ˆ
		=U ei Hω tL
U	t
—	H L	ˆ
		=I ei Hω t−ϕL
I  t

S'il y a plusieurs courants, on peut effectuer les choix suivants

…
mais, maintenant, les angles j₁, j₂, j₃ désignent, non plus les phases initiales, mais les déphasages du courant par rapport à la tension.

ü Forme complexe de l'admittance

L'admittance est l'inverse de l'impédance

1

Y =

—       Z

—

En utilisant les propriétés des nombres complexes,

ü Une propriété fondamentale

L'efficacité des nombres complexes dans l'étude des circuits électriques est basée sur le fait suivant:

La représentation complexe de la somme de deux courants est la somme de leurs représentations. La représentation complexe de la somme de deux tensions est la somme de leurs représentations.

Démonstration

Considérons les grandeurs

H L =^ˆ               Hω+ ϕL

I₁    t         I₁ cos          t        ₁

H L =^ˆ                 Hω+ ϕL

I₂    t         I₂ cos          t        ₂

En représentation réelle, on a

I₁ HtL + I₂ HtL = I₁ cos Hω t +ϕ₁L + I₂ cos Hω t +ϕ₂L

donc

I₁ HtL + I₂ HtL = Re HI₁+ I₂L

Cette dernière relation montre qu'au lieu d'additionner des fonctions réelles, nous pouvons additionner des fonctions complexes, puis en prendre la partie réelle.

Pour les tensions, la règle est semblable.

§ 3.2 Lois de Kirchhoff

Si on décrit les grandeurs alternatives par des nombres complexes, les lois de Kirchhoff sont applicables aux circuits à courants alternatifs stationnaires.

ü Loi des noeuds

Dans ce cours, pour simplifier, nous nous limiterons au cas où le circuit est alimenté par un seul générateur. On choisit arbitrairement un sens positif pour le courant qui traverse le générateur. Le choix du sens de la tension est en relation avec la phase initiale. Plus précisément, le changement du signe de la tension correspond à une modification de la phase initiale de ≤ p

U cos Hω t +ϕ₁L = −U cos Hω t +ϕ₁+ πL = −U cos Hω t + ψ₁L avec ψ₁=ϕ₁+ π

Le choix du sens de la tension donne une orientation aux courants dans chaque arc du circuit. La loi des noeuds affirme que

en chaque noeud du circuit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.

ü Loi des boucles

Malgré qu'il soit possible d'orienter arbitrairement chaque boucle, dans ce cours, les boucles seront systématiquement orientées comme suit :

si la boucle contient le générateur, alors le sens de la boucle coïncide avec le sens positif du courant dans le générateur ;

si la boucle ne comporte aucun générateur, alors le sens de la boucle est donné par dans le sens direct en usage en trigonométrie.

La loi des boucles affirme que

pour chaque boucle, la tension du générateur est égale

à la somme algébrique des chutes de tension sur les éléments RLC.

Sur chaque élément RLC, la chute de tension est de la forme Z I .

— —

Chaque terme Z I est précédé d'un signe

— —

positif si le sens du courant et le sens de parcours de la boucle sont les mêmes, négatif si le sens du courant et le sens de parcours de la boucle sont opposés.

Naturellement, si la boucle ne comporte aucun générateur, la somme algébrique des chutes de tension sur les éléments RLC est nulle.

ü Utilisation des nombres complexes

La résolution des problèmes s'opère selon le schéma suivant:

1. Les données réelles sont converties en grandeurs complexes. La manière de procéder a été expliquée dans le § 3.1.
2. Les lois de la physique sont exprimées avec des grandeurs complexes et les calculs sont effectués dans le corps des nombres complexes.

La manière de calculer sera expliquée au moyen d'exemples dans les § 3.3 à 3.5.

1. Pour interpréter les résultats en termes physiques, on retrouve les valeurs réelles comme suit :

I HtL = Re I

—

H

LM

= …

—

…

I

t

LM

I

I

…

U HtL = Re I—

H

U = …

—

…  —

…

U

t

U

Z =

ϕ=ArgI—M

…

ü Courbe de résonance

L'impédance du circuit RLC série est une fonction de la fréquence du générateur

H L
	J		N
Z = Z  ω  =	R2+	1	2
		ω L − ω C

On voit que cette impédance est minimale (Z = R) lorsque

1	= 0
ω L −
ω C

On en déduit la valeur correspondante de la pulsation

1

ω L =ω C ω²L C = 1

1. ¹ω    =L C

La pulsation pour laquelle l'impédance est minimale est appelée pulsation propre ou pulsation de résonance du circuit

è!!!!!!!!¹

ω_r =L C

Observons, sur un exemple numérique, comment l'impédance dépend de la pulsation.

…

ü Association d'impédances en parallèle

En généralisant le raisonnement tenu ci-dessus, on établit que, pour des impédances Z₁, Z₂, Z₃ assemblées en parallèle,

—   —    —

l'impédance équivalente Z est

ou, en d'autres termes, les admittances complexes d'éléments associés en parallèle s'additionnent

Y = Y₁+ Y₂+ Y₃

^—       —         —        —

ü Courant dans chaque élément

Le courant à travers la résistance est

I1= U YR	ˆ 1		i ω t
	= U	e
——  —		R

^{= ˆ} i ω t I₁ e

où le courant de crête à travers la résistance est

ˆ ˆ UI₁= U Y_R=

R

et le déphasage de I₁ est nul. La forme réelle de I₁ est

H L =^ˆ               Hω  L

I₁    t         I₁ cos          t

La forme réelle du courant est

	H		L =	ˆ			π	M
I		t		I	t	−
2				2 cos Iω			2

Le courant à travers le condensateur est

		ˆ	i ω t		π	ˆ		π
				ω C e	i		ω C e	i  ω t+
I3= U YC= U e					2	= U		2

où le courant de crête à travers le condensateur est

ˆ	ˆ	ˆ	ω C
I3	= U YC = U

L ^{= ˆ}     i Hω t−  L

I₂ e             ²

ˆ	ω t− 3
= I ei

ü Courbe d'antirésonance

L'admittance du circuit RLC parallèle est une fonction de la fréquence du générateur

On voit que cette admittance est minimale (Y = ÅÅÅÅÅ ) lorsque

R1^ωC−   = 0

ω L

On en déduit la valeur correspondante de la pulsation

ω C =ω L ω²L C = 1

1. ¹ω   = L C

La pulsation pour laquelle l'admittance est minimale est appelée pulsation propre ou pulsation d'antirésonance du circuit

Lorsque la fréquence du générateur est proche de la fréquence d'antirésonance du circuit, l'admittance du circuit est minimale, l'impédance est maximale et le courant est minimal.

Voir exercice 3-1.

§ 3.5 Filtre passe-bas

Un filtre est un circuit destiné à atténuer certaines fréquences. A titre d'exemple, étudions le filtre suivant:

…

U_eHtL, appelé tension d'entrée, désigne un générateur de tension.

U_sHtL, appelé tension de sortie, désigne la tension mesurée aux bornes du condensateur.

La tension aux bornes de U_s dépend du courant qui traverse U_s.

Nous supposons que le courant de sortie est négligeable.

On peut alors simplifier le circuit en éliminant la tension de sortie

…

Limites

Limit@a@ωD, ω→ 0D

Limit@a@ωD, ω→∞D

Extremum

Reduce@a'@ωD== 0 , ω, RealsD

ω  −250   14 »» ω  250     14

ωr = N@Reduce@a'@ωD == 0 fl ω > 0, ω, RealsDD

ω  935.414

Apply@Rule, ωrD

ω→935.414

a@ωD ê. Apply@Rule, ωrD

2.06559

Pulsation pour laquelle l'atténuation est supérieure à la moitié de la tension d'entrée est

0. < ω < 1677.95

Le filtre laisse bien passer les basses fréquences mais s'oppose au passage des hautes fréquences.

Déterminons maintenant le déphasage de la tension de sortie y par rapport à la tension d'entrée. Il s'agit de comparer

…

On peut maintenant écrire la tension de sortie sous la forme

U s= a Ue= a  −ψ	ˆ	ˆ		où	ˆ	ˆ
	Ue ωt= Us ωt− ψ				Us= a Ue

Attention : le déphasage de la tension de sortie ne doit pas être confondu avec le déphasage du courant

	U		ˆ	ˆ	Hω t−ϕL
I =		e	Ue ωt			où	j = Arg IZ
	−		=  = I
−	Z		Z  ϕ					− M

−

Voir exercices 3-2 et suivants.

Exercices du § 3

ü Formulaire

Impédance complexe Z d'une résistance ohmique R

Z = R

Impédance complexe Z d'une bobine d'inductance L

Z =  ω L

Impédance complexe Z d'un condensateur de capacité C

…

1. On demande de calculer (calcul littéral à la plume)

* l'amplitude et le déphasage du courant à travers le générateur; * l'amplitude et le déphasage du courant à travers la résistance;

* l'amplitude et le déphasage de la tension aux bornes de la bobine.

1. Avec Mathematica, pour les valeurs numériques R = 5 W, L = 0.01 H, C = 100 mF, dessinez la courbe d'antirésonance (c'est-à-dire l'admittance en fonction de w) et calculez la fréquence d'antirésonance du circuit.

Montrez qu'il s'agit d'un filtre passe-haut. Plus précisément,

a)	Us	et le déphasage de UsHtL par rapport à UeHtL (calcul littéral à la plume);
	calculez l'atténuation

1. Avec Mathematica, pour les valeurs numériques R = 5 W, L = 0.01 H, C = 100 mF, dessinez la courbe d'atténuation et déterminez les intervalles respectifs pour lesquels l'atténuation est  inférieure à 0.5, plus grande que 1.

Dessinez aussi la courbe du déphasage de U_sHtL par rapport à U_eHtL.

ü Exercice 3-3

On considère le filtre suivant

 …

a)	Us	et le déphasage de UsHtL par rapport à UeHtL (calcul littéral à la plume).
	Calculez l'atténuation

1. Pour les valeurs numériques R₁ = R₂ = 5 W, L₁ = L₂ = 0.01 H, C₁ = C₂ = 100 mF, dessinez la courbe d'atténuation et déterminez l'intervalle pour lequel l'atténuation est inférieure à 0.5 (avec Mathematica).

Dans le cas où L₁ C₁ = L₂ C₂, on peut montrer qu'il s'agit d'un filtre destiné à atténuer les fréquences dans un intervalle déterminé @w₁, w₂D.

ü Exercice 3-4

Considérons le circuit suivant dans lequel les deux résistances ohmiques R sont égales et la résistance r, barrée d'une flèche, représente un rhéostat (c'est-à-dire une résistance ohmique variable).

Montrez que ce circuit est un déphaseur, c'est-à-dire vérifiez les deux affirmations suivantes.

1°       L'atténuation ÅÅÅÅÅÅÅÅ`^s est une constante qui ne dépend ni de r, ni de w.

U_e

2°       Le déphasage de la tension de sortie peut être réglé au moyen du rhéostat. Pour le montrer, choisissez des valeurs de R, C et w et dessinez la courbe du déphasage en fonction de r.

ü Exercice 3- R 1

Exercice de révision tiré de l'examen de maturité du Collège du Sud de juin 2002.

Une bobine variable est une bobine dont la résistance ohmique est R et l'inductance est L; elle est munie d'un curseur qui permet de ne mettre en circuit qu'une fraction k de la bobine où 0 < k § 1; ainsi, sa résistance est k R et son inductance est k L.

fl

Aux bornes d'un générateur qui délivre une tension alternative UHtL = U cosHw tL, on branche en parallèle une bobine variable et un condensateur de capacité C. Le circuit est à l'état stationnaire.

Á ^∼_U Á

k R  k L

1. [Sans ordinateur] Calculez le courant de crête qui traverse la bobine variable (expression littérale).
2. [Sans ordinateur] Calculez l'admittance et l'impédance de l'assemblage en parallèle (calcul littéral des expressions complexes et réelles).
3. [Avec Mathematica] On donne

ω = 20 000s⁻¹;          C = 10⁻⁵ F;            R = 5 ;          L = 10⁻³ H.

Représentez graphiquement l'impédance de l'assemblage en parallèle en fonction de k.

Déterminez la valeur de k pour laquelle l'impédance est maximale (calcul numérique).