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Exercices en electricite loi des mailles

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 Exercices en electricite loi des mailles

... ...

2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES

2.1 Introduction

Les composants utilisés en électronique présentent des bornes électriques ou pôles permettant leur connexion dans un réseau. On distingue :

-              les dipôles ( 2 pôles) comme les résistances, les condensateurs, les bobines, les piles, les diodes, ...

- les quadripôles (4 pôles) comme par exemple les transformateurs, les filtres.

">2.2 Caractéristique d’un dipole

Soit un dipole traversé par un courant électrique I et dont la différence de potentiel entre ses bornes est U. La caractéristique de ce dipole est la courbe I=f(U). Suivant l’allure de cette courbe, on peut distinguer différentes familles de dipole.

Dipole linéaire : la caractéristique I=f(U) est une droite d’équation I=aU+b. Par exemple, les résistances et les générateurs de tension et de courant idéaux sont des dipoles linéaires. Si la caractéristique I=f(U) n’est pas une droite le dipole est non linéaire

Dipole passif : un dipôle est passif si son intensité de court-circuit est nulle et si la différence de potentiel à ses bornes est nulle en circuit ouvert. Dit autrement, pour un dipole passif, on a I=0 si U=0.Les trois circuits passifs principaux sont la résistance, la bobine d’induction et la capacité.

Dans les autres cas, on dit que le dipole est actif.

Exemple :

Le dipole 1 est linéaire et passif (il s’agit d’une résistance)

Le dipole 2 est non linéaire et passif (diode) Le dipole 3 est linéaire et actif (générateur de tension non parfait)

Le dipole 4 est linéaire et actif (générateur de tension parfait)

 2.3 Les dipôles passifs élémentaires

2.3.1 Résistance1

Une résistance est un dipôle constitué par un matériau conducteur et caractérisé par sa résistance R exprimée en

ohm (SZ )

La résistance s’obtient comme suit :

R =p       l s

Où p est la résistivité en SZm , l est la longueur et s est la section du conducteur.

Pratiquement p varie entre       8

10− et   SZm

10 −6     ( cuivre 1,5.        8

10− SZm )

Il existe également des résistances dont la résistance varie en fonction d’un paramètre comme la température (thermistance).

2.3.2 Bobine d’induction

La bobine d’induction est un dipôle constitué d’un conducteur métallique enroulé autour d’un support cylindrique. Lorsqu’un courant traverse celle-ci, elle produit un champ magnétique dans l’espace environnant

Le coefficient d’induction ou inductance qui s’exprime en henry (H) est le suivant :

N est le nombre de spires. s est la section du conducteur métallique en m2 et l est la longueur du support cylindrique. M en H/m est la perméabilité :

M = M0MR

M = ;7   est la perméabilité dans le vide et MR est la perméabilité relative milieu/vide.

0 4 10−7

Une bobine pure n’existe pas. En pratique, elle est toujours en série avec une petite résistance.

2.3.3 Condensateur

Un condensateur est formé de deux conducteurs dont l’un entoure complètement l’autre (condensateur cylindrique) ou de deux conducteurs plans séparées par un isolant (condensateur plan).

On démontre qu’il existe un coefficient positif C ne dépendant que de la géométrie du condensateur tel que la charge électrique totale Q d’un condensateur2 soit donnée par :

Q = CV en Coulomb

où V est la différence de potentiel entre les armatures du condensateur. La capacité C s’exprime en farad (F). Pour un condensateur plan, on a :

1 Certains auteurs utilisent la terminologie résistor pour bien distinguer le nom du dipôle. Dans ce document, nous utiliserons le mot résistance pour désigner le dipôle et sa valeur.

2 On rappelle que la charge élémentaire d’un électron est égale à         19

1,6. 1 0 − Coulomb

C =£       Se

S est la surface de l’armature du condensateur et e est la distance entre les deux armatures. £ est la permittivité en F/m :

£ = £0£R

£ =          est la permittivité du vide et £R est la permittivité relative milieu/vide.

0 8,84. 1 0 − 12

Comme 1 farad représente une très grande capacité, on utilise généralement les sous-multiples comme le

microfarad (1 IIF =          F), le nanofarad ( 1

10−6      nF =       F) et le picofarad( 1

10−9      pF =       F).

10− 12

2.4 Lois générales des dipôles passifs

Il existe deux choix pour l’orientation du courant i et de la différence de potentiel v

i               DIPOLE

i               DIPOLE  

Convention récepteur

Convention générateur

Nous allons maintenant rappeler les lois générales des 3 types de dipôles passifs élémentaires : résistance, bobine et condensateur :

remarques :

di

Dans une bobine, le courant ne peut pas subir une variation brutale :  = +∞

dt           impliquerait une différence de

potentiel v = +∞ .

De la même façon, la différence de potentiel aux bornes d’un condensateur ne peut pas varier brutalement Dv instantanément :            = +∞

dt           impliquerait un courant i = +∞ .

En continu, la bobine est un court-circuit et le condensateur est un circuit ouvert.

... ...

2.6 Régime sinusoïdal

Après avoir rappelé les lois générales, nous allons nous intéresser au régime sinusoïdal qui est le régime de fonctionnement le plus souvent utilisé en électronique.

Soit un courant variant en fonction du temps selon la loi sinusoïdale suivante :

i (t) = I0 sin(ù t + ϕ)

I0 est l’amplitude maximum du signal en ampère.

Soit Ö ( t) = ù t + ϕ la phase du courant fonction linéaire en fonction du temps en radian. ϕ est la phase à l’origine : ϕ = Φ (0)

En dérivant Ö par rapport au temps on obtient la pulsation ù :

dÖ ω = dt            en radian/seconde

La fréquence f est le nombre de périodes par seconde. f s’obtient en divisant la pulsation par 2ð

On a la relation suivante entre la fréquence f et la période T :

f1=T

Pour éviter des calculs fastidieux lors de l’étude des associations de dipoles en série et en parallèle on utilise deux méthodes pratiques:

- le diagramme de Fresnel

- la notation complexe

2.7 Diagrammes de Fresnel et lois des dipôles en régime sinusoïdal

D’une manière générale, un diagramme de Fresnel permet de représenter une fonction sinusoïdale

x(t) = X0 sin(ù t + ϕ) par un vecteur x~ = OM     .

Le vecteur x= OM           tourne autour du point d’origine 0 à la vitesse angulaire ù . Sa longueur est égale à X0 et

~

l’angle entre l’axe origine des phases et xest égal à ù t + ϕ .

En pratique, comme tous les vecteurs considérés tournent autour de 0 avec la même vitesse angulaire ù , on

simplifie la représentation en considérant les vecteurs à l’instant t = 0 . On notera le vecteur x~ [X0 ϕ]

~

Les diagrammes de Fresnel permettent de représenter graphiquement i et v par des vecteurs i [I0 ϕi ] et v~ [V0 ϕv ] dans une base orthonormée.

Reprenons l’expression du courant i(t) = I0 sin(ù t + è) . Supposons pour simplifier les notations que la phase à l’origine è = 0. On a donc i(t) = I0 sinù t

Nous allons appliquer les lois générales aux dipôles résistance, bobine et condensateur.

Cas de la résistance :

v=Ri

v = RI0 sinù t= V0 sinù t avec V0 =RI0

Les deux vecteurs i et v~ sont en phase

V0 = RI0               I0

Cas de la bobine :

div=L =dt             L              d dt        (I0 sin tω             )π

v LI = ω ω = 0 cos t V 0 sin( ù +t  ) avec V 0 = LI 0ù

G            G

Pour la bobine, le vecteur vest en avance de    sur le vecteur i.

Cas du condensateur :

1             1

v = ∫ = ∫ sin ù

idt          I              tdt

0

C C

Pour le condensateur, le vecteur v est en retard de 2 sur le vecteur

Pour les unités, R , Lù et

1             sont homogènes à des ohms (Ù).

Lorsque ù → 0, Lù → 0 , la bobine se comporte comme un court-circuit. et        → ∞

Cù condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Lorsque ù → ∞ , Lù → ∞ , la bobine se comporte comme un circuit ouvert et  0

1 → , le Cù condensateur se comporte comme un court circuit.

Nous allons maintenant nous interesser à l’association de dipoles de nature différentes.

... .. ...

2.8 Notation complexe et impédance complexe

Dans le cas du régime sinusoïdal, on utilise les nombres complexes pour simplifier les calculs des dipôles de nature différente.

Une grandeur sinusoïdale (courant ou différence de potentiel) est caractérisé par deux nombres : l’amplitude et la

phase instantanée Ö (t) = ù t + è .

Il est donc naturel de représenter une grandeur sinusoidale par un nombre complexe lorsque le circuit est linéaire et que les opérations à effectuer sont aussi linéaires.

Définition : un circuit est linéaire si :

soumis à un courant i1 (t) = I0 cos ù t , la différence de potentiel est v1 (t) = V0 cos(ù t + ϕ)

soumis à un courant i2 (t) = I0 sin ù t, la différence de potentiel est v2 (t) = V0 sin(ù t + ϕ) alors soumis à la combinaison linéaire ëi1 (t) + ìi2 (t) , la différence de potentiel est de la forme ëv1(t) + ìv2 (t)

Posons ë = 1 et ì = j. La différence de potentiel associée à la combinaison linéaire

i(t) = i1 (t) + ji2 (t) =I0 (cosù t + j sinù t) =I0 exp(jù t) est la suivante :

v(t) = v1 (t) + jv2 (t) = V0 (cos(ù t + ϕ) + j sin(ù t + ϕ)) = V0 exp(jù t + jϕ)

Dans le reste de ce document, on se limitera à l’étude des circuits linéaires avec des opérateurs linéaires (addition, multiplication par constante, dérivation, intégration).

Si le courant est de la forme i1 (t) = I0 cos ù t = ℜ (i(t)) partie réelle de i(t) , la différence de potentiel

v t = V   ù t + ϕ = ℜ v t partie réelle de v(t) .

1 ( )        0 (cos    )              ( ( ))

De même la différence de potentiel v2 (t) associé au courant i2 (t) = I0 sinù t = ℑ(i(t)) est

v t = V   ù t + ϕ = ℑ v t

2 ( )        0 (sin     )              ( ( ))

On définit l’impédance complexe Z d’un dipôle comme suit :

Le module de l’impédance complexe Z est égal à :

et l’argument de l’impédance complexe Z est égal à :

arg(Z) = ϕ

On a donc :

Z=           V0 jϕ exp(

I 0           )

Cas de la résistance : Nous avons vu que

v=Ri

On a :

v= RI0 exp(jù t  )

L’impédance complexe de la résistance est donc : Z = R

On retrouve les résultats obtenus en utilisant le diagramme de Fresnel. Cas de la bobine :

v =L        di

… …

0  cos( ) sin( ) ù t j ù

                +             t = j ù    j ù

intégrer revient donc à diviser par jù

...

4.2 Méthode des courants des mailles

Cette méthode est basée sur la loi des mailles.

1 – on recherche le nombre de mailles indépendantes. On a la relation suivante :

M = B−(N−1) avec M le nombre de mailles indépendantes, B le nombre de branches et N le nombre de nœuds du réseau.

2 – on attribue à chaque maille un courant de maille et un sens de parcours

3 – on écrit pour chaque maille l’équation de maille dont les inconnus sont les courants en utilisant la loi des mailles

4 – on résout le système d’équations

5 – on calcule les courants circulant dans chaque branche à partir des courants de maille

6 – on en déduit la différence de potentiel entre deux nœuds en utilisant les lois des dipôles exemple : soit le réseau suivant :

1 – nœuds A, B, C . N=3

branches (e1,z1), (z2), (z3), (z4), (e2,z5) B=5 d’ou M=B-(N-1)=5-(3-1)=3 mailles indépendantes :

maille m1 : composée de e1,z1 et z3 maille m2 : composée de z2,z4 et z3 maille m3 : composée de e2,z4 et z5

2 – on attribue à chaque maille un courant de maille et un sens de parcours

im1 = i1

im2 = i2

im3 = i5

Ainsi, chaque courant peut s’exprimer à partir des 3 courants de maille :

i1 = im1

i2 = im2

i3 = i1 - i2 = im1 -im2

i4 = i2 - i5 = im2 -im3

i5 = im3

3 –équations des mailles :

e1 - z1 i1- z3 i3 = 0 -z2 i2-z4 i4+ z3 i3 = 0 -e2 + z4 i4- z5 i5 = 0

On remplace les courants i par les courants de mailles im. On obtient finalement les équations suivantes :

e1 –( z1 + z3 ) im1+ z3 im2 = 0

z3 im1 – (z2 + z3 + z4 )im2 +z4 im3 = 0

-e2 + z4 im2- (z4 + z5 )im3 = 0

Il faut noter qu’un signe moins signifie que le courant circule en sens inverse de celui de la figure. Comme nous avons un système à trois équations et trois inconnus, il est possible de le résoudre en utilisant la méthode de substitution ou la règle de Kramer (approche matricielle).

Cette technique présente l’avantage de déterminer tous les courants dans l’ensemble des branches. Les calculs pour un réseau compliqué sont cependant lourds.

4.3 Théorème de Millman

Le théorème s’énonce comme suit : le potentiel en un nœud quelconque d’un réseau est égal au rapport des deux termes suivants :

- au numérateur, la somme des produits des potentiels des nœuds adjacents par les inductances reliant ces nœuds au nœud considéré

- au dénominateur, la somme de toutes les admittances connectées au nœud considéré.

Si un générateur de courant est connecté sur le nœud, il doit bien entendu être pris en compte : ∑ v Y

Exemple :

4.4 Théorème de superposition

Ce théorème résulte des propriétés des circuits linéaires vus précédemment.

Théorème : si un circuit est soumis à plusieurs sources d’excitation, la réponse de ce circuit est égale à la somme algébrique des réponses à chacune des sources d’excitation prise séparément.

Exemple : soit le réseau suivant

Nous allons décomposer ce réseau en autant de sous-réseau qu’il y a de générateurs. Dans cet exemple il y a deux générateurs. Pour chaque sous-réseau, on ne garde qu’un seul générateur ; les autres générateurs sont remplacés par des court-circuits si ce sont des générateurs de tension ou par des circuits ouverts si ce sont des générateurs de courant.

En appliquant le théorème de superposition on obtient :

Application numérique : e1=10V, e2=-20V, R=5 Ù , R1=4 Ù , R2=6 Ù .

i1 = 0. 8 1A , i1 = −1.08A i=i1+i2=−0.27A remarque : dans ce cas simple, l’utilisation du théorème de Millman aurait fourni directement ce résultat.

Les théorèmes de Thévenin et de Norton sont des conséquences directes du théorème de superposition

4.5 Théorème de Thévenin et de Norton 4.5.1 Grandeurs caractéristiques d’un dipôle

Un dipôle est caractérisé par trois grandeurs caractéristiques :

- différence de potentiel à vide : eT lorsque i = 0 - courant de court circuit : iN lorsque v = 0

- impédance de sortie ZT ou l’admittance de sortie YT

4.5.2 Théorème de Thévenin

L’ensemble du circuit se trouvant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de tension idéal de force électromotrice eT en série avec une impédance interne ZT.

ZT

La force électromotrice eT est égale à la différence de potentiel vAB mesurée à vide et l’impédance interne ZT est l’impédance vue des bornes A et B lorsque l’on annule toutes les sources d’excitation du circuit (tous les générateurs de tension idéaux sont remplacés par des courts-circuits et les générateurs de courant idéaux sont remplacés par des circuits ouverts).

Ainsi, nous avons la relation suivante :

v=eT −ZTi

4.5.3 Théorème de Norton

L’ensemble du circuit se trouvant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de courant iN en parallèle avec une admittance YN .

Le théorème de Norton est le théorème dual du théorème de Thévenin.

Le courant iNest le courant de sortie lorsque l’on court circuite les bornes A et B.

L’admittance YN est l’admittance vue des bornes A et B lorsque l’on annule toutes les sources d’excitation du circuit.

Nous avons la relation suivante :

i=iN −YNv

4.5.4 Relation entre les deux théorèmes

A partir du modèle de Norton, on a :

Y Y Y

N N N

En identifiant avec le modèle de Thévenin, on obtient les relations suivantes :

4.6 Théorème de Kennely

Ce théorème permet de transformer pour un circuit tripôle un montage en étoile en un montage en triangle.

Montage étoile                Montage triangle

Cette transformation aussi utile dans l’étude des quadripoles comme les filtres en T et en Ð Théorèmes :

Transformation triangle  étoile

Transformation étoile  triangle

Cette relation s’écrit également :

Z Z Z Z Z Z

+             +

2 3          1 3          1 2

Z3

Démonstration du théorème de Kennely triangle vers étoile :

Appliquons la règle d’association des dipôles en série et en parallèle après avoir débranché le pole 2 du circuit extérieur. On obtient la relation :

Z1 +Z3 = Z13 (Z12 + Z23)               (1)

En débranchant le pole 3 du circuit extérieur, on obtient :

Z Z Z( + ) 12 13 23

Z Z+ =1 2

En débranchant le pole 1 du circuit extérieur, on obtient : Z Z Z

( + )+ =  23 13 12               (3)

Z Z

En sommant les équations (1), (2) et (3), on obtient :

Z Z Z Z Z Z

+ 12       23 +12 13             13 23

Z Z Z+ + =            (4)

1             2             3             Z12 + Z13 + Z23

En calculant (4)-(3) on a :

Z=1 Z12 + Z13 + Z23

En calculant (4)-(1) on a :

Z=2 Z12 + Z13 + Z23

En calculant (4)-(2) on a :

Z=3

Z12 + Z13 + Z23

5 FACTEUR DE QUALITE ET CIRCUIT RESONNANT

5.1 Oscillations libres dans un circuit LC

Soit le circuit composé d’une bobine et d’un condensateur parfait :

Considérons que l’interrupteur est dans la position 1 et que le condensateur est complètement chargé

W emmaga ée =sin        2

A l’instant t=0, on commute l’interrupteur dans la position 2 On a la relation suivante :

… …

Comme dans le cas du circuit LC série, le circuit LC parallèle parfait entretient donc les oscillations sans amortissement.

En pratique, les bobines réels contiennent une faible résistance en série et les oscillations sont amorties à cause des pertes par effet Joules.

5.2 Facteur de qualité d’un circuit 5.2.1 Définition

En pratique, les bobines réels contiennent une faible résistance en série (résistance du fil bobiné)

Les condensateurs réels possèdent également une résistance parallèle de forte valeur qui caractérise les pertes diélectriques (courants de fuites)

Plus faibles seront les pertes meilleur sera l’élément.

On définit le facteur de qualité d’un élément Q comme suit :

Le facteur de qualité est sans unité. L’énergie est emmagasinée dans les éléments réactifs (bobine ou condensateur) et l’énergie est dissipée par effet Joule (résistance).

5.2.2 Facteur de qualité d’un élément réactif réel

Cas de la bobine réelle :

Une bobine réelle est composée d’une bobine pure en série avec une résistance de faible valeur.

soit le courant i(t) = I0 cos(ù t) circulant dans ce circuit.

Nous avons vu dans le chapitre « Puissance et Energie » que la quantité maximale d’énergie que peut emmagasiner une bobine est :

WL = LI0

L’énergie dissipée dans la résistance par effet Joules pendant une période T ( avec ù = 2ð / T ) est égale à :

WD=2rI0T

On a donc :

QL          2ð WL = 2ðLI0 .  2 = 2ðL = Lù

WD        2 rI0 T rT              r

Plus la résistance r est petite, plus le facteur de qualité QL de la bobine réelle est grand.

Cas du condensateur réel :

Un condensateur réel est composée d’un condensateur parfait en parallèle avec une résistance de forte valeur.

soit la différence de potentiel v(t) = V0 cos(ù t) aux bornes de ce circuit.

Nous avons vu dans le chapitre « Puissance et Energie » que la quantité maximale d’énergie que peut emmagasiner un condensateur est :

WC =     I2

I0

Comme on a V0 =           , l’énergie WC peut aussi s’écrire :

WC =     CV0 2

L’énergie dissipée dans la résistance par effet Joules pendant une période T ( avec ù = 2ð / T ) est égale à :

2 RI0 T 2

On a donc :

QC = 2ð

WC = 2ð  CV0 2R = 2ðCR = RCw

W           V T        

2             T

D             0

Plus la résistance R est grande, plus le facteur de qualité QC du condensateur réel est grand.

La notion de facteur de qualité peut être étendue à tout type de circuit associant une résistance et une bobine ou un condensateur

5.2.3 Généralisation du facteur de qualité

Soit un circuit série dont l’impédance est de la forme Z = Rs + jXs

Rs           j Xs

Le facteur de qualité de ce circuit est :

Soit un circuit parallèle dont l’admittance est de la forme

j Xp

Y = +      RP jXP

le facteur de qualité de cette impédance est :

On peut vérifier que les expressions obtenues précédemment se déduisent directement de ces deux formules générales.

Exemple : association d’une bobine d’inductance L et d’une résistance R en série X

On a : Rs = R et Xs = Lw , le facteur de qualité est égal à Q =       =

R Rs

5.3 Le circuit résonnant série

Soit l’association en série d’une bobine d’un condensateur et d’une résistance :

Le générateur v(t) impose la pulsation ù du circuit. L’impédance complexe est la suivante :

Z=v i      jCù =R+jLù +  1 =R+j       ⎛Lù − 1

... ...

8 L’ AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL IDEAL

8.1 Généralités 8.1.1 Introduction

L’amplificateur opérationnel (AOP) est un composant intégré essentiel en électronique. Son rôle principal est d’assurer la fonction d’amplification. C’est un composant actif qui nécessite donc une alimentation en tension.

Amplificateur opérationnel signifie :

  • amplificateur : c'est la fonction de base de ce composant
  • opérationnel : les caractéristiques de cet amplificateur nous donnent la possibilité de créer des fonctions mathématiques telles que dérivée, intégrale, Log... Ces fonctions furent utilisées dans des calculateurs analogiques, et permettaient notamment de résoudre des équations différentielles, et ainsi de simuler des réponses de systèmes physiques divers (mécaniques, acoustiques...).

Le symbole AFNOR et IEEE à employer pour l’amplificateur opérationnel est le suivant:

Notations :

  • Entrée dite « non inverseuse » notée +, entrée « inverseuse » notée -.
  • Symbole de l’amplification : D .
  • Amplification différentielle de l’AOP : Ad .
  • Une sortie.

Remarque : On ne fait généralement pas figurer les tensions d’alimentation de l’AOP (surcharge inutile des schémas de montage). Il ne faut pas cependant oublier de cabler les broches d’alimentation de l’AOP pour faire fonctionner correctement le montage !

Un amplificateur opérationnel utilise souvent une alimentation symétrique (±Vcc) car généralement il sert pour l’amplification de signaux bipolaires.

8.1.2 Caractéristiques de l’amplificateur opérationnel idéal

La caractéristique principale de l’AOP est sa fonction d’amplification. Elle est donnée par la relation :

vs =A

dved

Avec ved = v+ −v− , tension différentielle d’entrée et Ad amplification différentielle.

La caractéristique vs = Ad ved est limitée par les tensions d’alimentation de l’AOP. La tension de sortie vs ne pas excéder ces tensions d’alimentation.

On distingue donc deux zones : zone linéaire où vs = Adved , zone de saturation vs ≈ +Vccou − Vcc proche des tensions d’alimentation (saturation de l’amplificateur en sortie).

Pente Ad

ved

-vcc

Par définition un AOP parfait ou idéal possède les caractéristiques suivantes :

  • Les impédances des entrées « + » et « - » sont infinies, ce qui signifie que les courants entrants dans ces bornes sont nuls : i+ = i− = 0,
  • L’impédance de sortie est nulle, ce qui signifie que la tension de sortie vs est indépendante du courant délivré par l’AOP,
  • L’amplification différentielle est infinie : Ad = ∞ .
  • L’amplification différentielle est indépendante de la fréquence des signaux d’entrée

8.1.3 Caractéristiques de l’amplificateur opérationnel réel 741

L’amplificateur réel 741 possède les caractéristiques techniques suivantes :

  • Les impédances des entrées « + » et « - » sont égales à 2Mohms.
  • L’impédance de sortie est égale à 75 ohms
  • L’amplification différentielle n’est pas infini : Ad = 100000.
  • De plus, l’amplification différentielle dépend de la fréquence des signaux d’entrée :

(jw) =  A0  où wc est la pulsation de coupure du gain à –3dB avec A0 =100000 w

wc

Le gain est constant de 0 à fc=5,4Hz. Ensuite il décroît de –20dB par décade.

8.2 AOP utilisé avec contre-réaction ou en boucle fermée

A cause de l’amplification infinie (cas parfait) ou très grande (cas réel), il est impossible d’utiliser un AOP parfait en boucle ouverte : en effet, avec une amplification différentielle infinie la moindre différence de tension entre les entrées « + » et «-» provoque la saturation de la sortie. Par exemple, avec      6

Ad = 1 0 et une tension d’alimentation de 10 V, seulement 10 ìV sont nécessaires pour amener l’AOP à saturation. D’autre part, le facteur d’amplification différentielle varie d’un composant à l’autre .

Comme généralement on souhaite imposer un facteur d’amplification constant dans un montage amplificateur, on procédera à une contre-réaction de la sortie sur une des entrées (l’entrée « - »).

On peut schématiquement représenter un AOP comme suit. C’est à dire avec un premier étage qui symbolise la différence entre les entrées « + » et «-» suivit d’un étage d’amplification Ad .

Or, comme Ad est très grand, l’AOP ne peut pas fonctionner tel quel (c’est à dire en boucle ouverte) en régime linéaire (la tension de sortie atteint la saturation).

Réalisons donc le montage suivant où l’on prélève une fraction de la tension de sortie en la réinjectant dans l’entrée inverseuse et appelons ve le signal entrant sur la borne « + ».

L’idée mise en pratique ici consiste à n’amplifier que la différence entre le signal d’entrée et une fraction du signal de sortie. Ce qui convient bien avec un AOP qui, par construction, est un amplificateur différentiel à grand facteur d’amplification.

Ainsi, on comprend aisément que si la tension d’entrée ne varie pas, la tension différentielle ved = v+ − v− nommée aussi tension d’erreur, se stabilise à tension proche de zéro, nulle pour un AOP parfait : on atteint l’équilibre.

Si la tension d’entrée varie, la tension de sortie suit automatiquement. Un tel système est appelé asservissement en automatisme.

Le facteur d’amplification du système bouclé est facile à calculer à partir des deux équations suivantes : vs = Ad ved et ved = ve − Bvs

Or, si AdB >> 1, c’est à dire que le facteur d’amplification de boucle est grand, alors le facteur d’amplification vaut :

Le facteur d’amplification de boucle est indépendant de la valeur du facteur d’amplification différentiel de l’AOP. Ce qui confère à ce type de montage une très faible dépendance aux variations des caractéristiques intrinsèques des AOP

8.3 Montages amplificateurs

Dans tous les montages amplificateurs, la sortie de l’AOP est rebouclée sur l’entrée inverseuse (entrée « -») de l’AOP.

Dans ce paragraphe, nous considérerons que les AOP sont idéaux ( impédance infinie des entrées, gain différentiel infini et impédance de sortie nulle).

Puisque le facteur d’amplification différentiel est infini, la tension différentielle est nulle :

ved = v+ − v− = 0 ⇔ v+ = v− 8.3.1 Amplificateur inverseur

Le montage est le suivant :

Amplificateur inverseur

La mise en équation de ce montage est simple et s’appuie sur les hypothèses présentées précédemment.

Puisque l’impédance d’entrée de l’AOP est infinie, aucun courant n’entre dans l’AOP  les deux résistances R1 et R2 sont parcourues par le même courant.

Donc ve = R1i et vs = −R2i .

On dit que la borne « - » est une masse virtuelle car même si elle n’est pas physiquement reliée à la masse, tout se passe comme si elle y était.

On en déduit tout naturellement le facteur d’amplification du montage :

A             =             vs

                =             R2          

                               ve                          R1          

Pour réaliser un amplificateur dont le facteur d’amplification est égal à 100, on pourra par exemple utiliser R1 =1kÙ et R2 =100kÙ .

8.3.2 Amplificateur non inverseur

vs = Ave

Dans ce cas le signal d’entrée est appliqué sur la borne « + ».

Le calcul du facteur d’amplification de ce montage est très simple en utilisant l’expression du facteur

Amplificateur non inverseur

8.3.3 Suiveur de tension ou adaptateur d’impédance

A             =             vs ve     =             1

Amplificateur suiveur

Ce montage possède des propriétés intéressantes : Facteur d’amplification unitaire ve = v+ = v− = vs , impédance d’entrée infinie, impédance de sortie nulle.

Utilisation : chaque fois que l‘on a besoin d’isoler deux portions de circuit pour éviter toute interaction parasite.

8.4 Montages opérationnels

Comme pour les montages amplificateurs, la sortie de l’AOP est rebouclée sur l’entrée inverseuse (entrée « -») de l’AOP.

On parle ici de montages opérationnels car l’AOP réalise une opération arithmétique sur un ou plusieurs signaux.

8.4.1 Additionneur inverseur

vs = −(Av1 + Bv2 +...+ Cvn )


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