Electricitée fresnel formation complet

Electricité fresnel formation complet

1. LES COURANTS ALTERNATIFS.

1.1 Définitions.

Figure VI. 1

Un courant est alternatif s’il change de sens au cours du temps t ; en outre, il est périodique si son intensité i reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux à T. On a alors :

La période est mesurée en secondes et la fréquence en hertz (Hz).

1.2. Les courants sinusoïdaux.

Un courant alternatif est sinusoïdal, lorsque son intensité sinusoïdale du temps :

est  une  fonction

iI _Msin (  t           )  ou ¹iI _Mcos (  t          )

…

Le courant efficace I équivaut à un courant continu qui dissiperait la même puissance dans une même résistance. (Exercice VI.6)

1.3 Production des courants sinusoïdaux.

Selon l’application à laquelle ils sont destinés, les courants sinusoïdaux peuvent être produits de plusieurs manières². Lorsque la puissance consommée par la charge est importante, on utilise des générateurs dont le principe, décrit ci-dessous, fait appel aux lois de l’induction électromagnétique.

Figure VI. 3

Le principe de production de tensions sinusoïdales monophasées a été étudié au chapitre V, § 4.1.

Soit une bobine à N spires tournant, au-tour de l’axe z’z à la vitesse angulaire constante , dans un champ magnétique

uniforme B perpendiculaire à z’z .

Nous avons trouvé que la f.é.m. induite dans la bobine est :

e _Msin ( t ) E _Msin ( t ) dt

Il en résulte, aux bornes de la bobine une différence de potentiel, ou tension sinu-soïdale u (t ) de pulsation .

On obtient le même résultat si le cadre est fixe et si le champ tourne à la vitesse angulaire . C’est le principe de l’alternateur monophasé.

² En électronique, les courants sinusoïdaux sont produits par des circuits oscillants électroniques (générateurs de fonctions). Les puissances, mises en jeu dans ce cas, sont faibles.

Lorsque le générateur est relié à une charge, il débite en régime permanent, un courant sinusoïdal de même pulsation et déphasé d’un angle par rapport à u(t).

2. LOIS D’OHM EN COURANT ALTERNATIF SINUSOÏDAL.

Les lois d’Ohm s’appliquent au courant alternatif sinusoïdal. Elles s’expriment, à chaque instant³, dans le cas d’éléments simples, comme suit :

…

La mise en série des trois éléments R, L et C est représentée par le circuit de la figure ci-dessous :

Figure VI. 4

C’est l’équation de l’oscillateur électrique amorti en régime forcé sinusoïdal⁴. La solution générale de cette équation est la somme de la solution de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre. La première n’intervient que durant le régime transitoire, la seconde :

^…

La notation complexe a permis de transformer une équation intégro-différentielle (6) en une équation algébrique linéaire (11).

Impédance complexe.

L’équation (11) peut être présentée sous la forme :

Z est, par définition, l’impédance complexe du circuit électrique. L’équation (12) estl’expression de la loi d’Ohm en notation complexe.

…

L’impédance complexe d’un circuit électrique s’écrit, sous forme cartésienne:

ZZ exp  j            .

Avec la loi d’Ohm donnée en (12), et à partir des résultats précédents, on a:

U exp( j 0 )Z exp  jI exp ( j)

L’inverse de l’impédance est appelé admittance et est noté Y_.

Application à des cas simples

N.B : Ces valeurs de portées dans les expressions (10), montrent que le courant est :

-   en phase avec la tension dans le cas d’une résistance R,

-   en retard de  /2 sur la tension dans le cas d’une self

-   et en avance de  /2  dans le cas d’une capacité.

2.2. La représentation de Fresnel.

Principe de la méthode de Fresnel.

La méthode de Fresnel permet d’effectuer la somme de deux ou plusieurs grandeurs sinusoïdales de même pulsation Son principe est le suivant :

Origine des phases

Considérons un vecteur OM , de module A, qui tourne autour d’un point fixe O à la vitesse constante . A l’instant t = 0, il fait un angle avec l’axe Ox (figure VI .6.a).

A l’instant t, il fait un angle ( t +    ) avec l’axe

Ox . La projection OA de ce vecteur sur Ox est :

xA cos       t

Ainsi, lorsque le vecteur OM tourne autour de O, sa projection x sur l’axe effectue un mouvement vibratoire sinusoïdal d’élongation

Considérons deux mouvements vibratoires parallèles de même fréquence angulaire :

A un instant t, ces vibrations peuvent être représentées respectivement, par

les vecteurs OA₁ et OA₂ . Ces derniers représentent les projections sur ox des vecteurs OM₁ et OM₂ tournant à la même vitesse .

On sait que la projection sur un axe de la somme de plusieurs vecteurs a comme valeur, la somme algébrique des projections de ces vecteurs sur cet axe, soit :

où, x est la projection du vecteur :

OMOM 1OM 2                                                                   (20)

OM est la diagonale du parallélogramme OM1MM2. Ce dernier tourne à la vitesse sans se déformer. La figure VI.6.b montre une représentation de ces vecteurs à un instant t.

Ainsi, la construction de Fresnel permet de remplacer le calcul de la somme de plusieurs fonctions trigonométriques (équation 19) de même pulsation par une construction géométrique (équation 20) plus simple.

Règle de Fresnel.

Le vecteur de Fresnel associé à la somme de plusieurs vibrations, s’obtient en faisant la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel associés à chacune des vibrations.

…

Impédance et déphasage.

Dans la construction de Fresnel, le choix de l’origine des phases est arbitraire. De ce fait, on choisit la phase de l’intensité du courant comme origine et on écrit:

La d.d.p aux bornes d’un circuit parcouru par un tel courant devient alors :

représente le déphasage entre l’intensité du courant et la tension ; il peut être positif ou négatif.

Circuit formé d’une résistance pure

La résistance R du circuit, de la figure VI.7.a, est traversée par un courant sinusoïdal d’intensité

i (t )   I _Mcos       t

La d.d.p à ses bornes s’écrit d’après la loi d’Ohm :  u ( t )R i ( t )

Soit :                                        U _Mcos (   t          )      R . I _Mcos (  t )

En identifiant les deux membres de cette équation (21), on obtient :

U _MR I _M     et          = 0                                                                            (23)

L’impédance du circuit étudié est égale à sa résistance R.

Figures VI. 7

Dans la représentation de Fresnel, le courant et la tension sont en phase

Circuit formé d’une self pure.

La bobine de self inductance L du circuit représenté sur la figure VI.8.a, est parcourue par un courant i ( t ) I_Mcos t : il en résulte une d.d.p aux bornes de

…

En considérant les valeurs efficaces, on obtient :

ULI = Z I                   soit                        ZL                                                               (25)

Z est l’impédance de la self.

Dans la représentation de Fresnel (figure.VI.8.b), le courant dans la self est en retard de /2 par rapport à la d.d.p à ses bornes ; (ou la d.d.p aux bornes de la self est en avance de /2 sur le courant qui la parcourt).

Circuit formé d’un condensateur pur.

Le circuit, de la figure VI.9.a, est parcouru par un courant sinusoïdal d’intensité

Figures VI. 9

Z représente l’impédance du condensateur de capacité C.

Dans le diagramme de Fresnel (FigureVI.9.b), la d.d.p aux bornes du condensateur est en retard de /2 sur le courant. Ou inversement, le courant présente une avance de /2 sur la d.d.p.

N.B : Les signes des déphasages des expressions (24) et (27) ont changé par rapport à ceux des des expressions (17) et (18), l’origine des phases n’étant plus la même. Cependant quelque soit le choix de cette origine, le courant est toujours:

-   en phase avec la tension dans le cas d’une résistance R,

-   en retard de  /2 sur la tension dans le cas d’une self

-   et en avance de  /2  dans le cas d’une capacité.

Etude du circuit R, L, C série.

Un courant d’intensité i ( t ) I_M cos ( t ) circule dans le circuit de la figure VI.10.a. La d.d.p aux bornes du circuit est donnée par la loi d’Ohm :

Sachant que :

u _Mu _PR iRI _Mcos       t

L’expression de u(t)  devient :

En utilisant les résultats trouvés ci-dessus, on trace le diagramme de Fresnel (Figure VI.10.b) correspondant à l’équation (29).

La d.d.p u(t) aux bornes du circuit est représentée par le vecteur MN . Son module, qui représente la valeur maximale UM de cette d.d.p, et le déphasage peuvent être calculés à partir du triangle MPN rectangle en P .

Remarques : 1°) Dans la méthode de Fresnel, les valeurs efficaces des grandeurs sinusoïdales, tension u (t), courant i (t), flux (t), etc. sont représentées par des vecteurs U ,

I , ..etc.. On peut leur appliquer les règles de l’addition vectorielle. Par exemple, en ce quiconcerne les courants, la loi des nœuds de Kirchhoff (voir exercice VI. 13 : Méthode des trois ampèremètres).

2°) Certains auteurs écrivent la loi d’Ohm sous la forme :

UZ I

U et      I  sont des vecteurs mais  Z  est un opérateur :  On multiplie            I     par  Z  et on fait

subir au vecteur ainsi obtenu une rotation d’un angle        pour obtenir U .

Licence de Physique S2: Electricité

Exercice VI.2. Circuit RC

Le circuit de la figure ci-contre, constitué d’une résistance R et d’un condensateur C placés en série, est parcouru par un courant sinusoïdal de

i (t )     I _Mcos (   t )_.

En utilisant la représentation de Fresnel, déterminer l’impédance équivalente du circuit ainsi que le déphasage entre la d.d.p u(t) et le courant qui le parcourt.

A.N. ω =5.10 ³ rd/s, R = 1kΩ,         C = 0,22 µF

3. ASSOCIATION DES IMPEDANCES.

Les lois, relatives aux associations des résistances en courants continus énoncées au chapitre III, restent valables en courants sinusoïdaux lorsqu’on utilise les impédances complexes.

3.1. Impédances montées en série.

La figure ci-contre montre que :

UU ABU AMU MNU NB

Toutes les impédances sont traversées par le même courant i.

UZ IZ ₁ IZ ₂ IZ ₃ IZ ₁Z ₂Z ₃I

Dans le cas de n impédances, on obtient :

…

……

Lorsque la fréquence de l’excitation u(t) se rapproche de la fréquence propre de l’oscillateur, ce dernier entre en résonance.

Pulsation ou fréquence

Figures VI. 14

A la résonance, plusieurs phénomènes sont observés, à savoir :

-  Les  tensions  V_L et    V_Caux  bornes  de la  bobine  et  du  condensateur  sont algébriquement opposées et la d.d.p aux bornes du circuit résulte uniquement de la présence de la résistance.

-  Les tensions  V_L et V_C peuvent à la résonance, valoir plusieurs centaines de fois la tension appliquée : on dit alors qu’il y a un phénomène de surtension.

- La formule (35) montre que le déphasage entre le courant et la tension d’excitation est nul.

Exercice VI. 4. On considère un circuit R, L, C monté en série (figure VI.13) et soumis à une d.d.p

A la résonance la tension aux bornes de la self U_oL est multipliée par un facteur Q = 200 : il en résulte une surtension. Il en est de même de la tension aux bornes du condensateur : U_oC= 400 volts. La courbe, qui représente la variation du courant en fonction de lafréquence (figure VI.14. a), est d’autant plus aigue que le facteur de qualité Q est grand

3.4. Bobine (R, L) et condensateur (C ) en parallèle: Antirésonance.

On considère le circuit constitué d’une bobine de self inductance

L  de résistance R et d’un condensateur  sans  pertes,  de  capacité  C montés  comme  le montre  la  figure  VI.15.

L’impédance du circuit est :

Afin de simplifier l’étude du circuit précédent, nous allons négliger la résistance R devant L . Dans ce cas, l’impédance du circuit devient :

Lorsque           =        o,   l’impédance devient infinie et l’intensité du courant s’annule, d’où le nom de "circuit bouchon" donné à ce montage. Le phénomène ainsi observé est appelé "antirésonance".

Dans une construction de Fresnel, les courants qui circulent respectivement dans la self et le condensateur sont égaux et opposés : leur somme est nulle. Leurs intensités sont plus importantes que l’intensité totale du circuit : on dit alors qu’il y a un phénomène de surintensité.

4. PUISSANCE ELECTRIQUE EN COURANT SINUSOÏDAL.

4.1. Valeur instantanée de la puissance électrique.

Soit une impédance Z, soumise à une tension électrique sinusoïdale : u ( t ) 2 U cos ( t)et par courue par un courant électrique d’intensité

L’expression (41) montre que p(t) est la somme d’un terme constant et d’un terme variable à fréquence double de la fréquence de la tension d’excitation. La puissance varie au cours du temps.

4.2. Valeur moyenne de la puissance électrique.

La valeur moyenne, sur une période, de la puissance :

…

La valeur moyenne du second terme étant nulle, on a :

P correspond à la puissance électrique consommée par Z.

4. 3. Puissance active.

Elle désigne la puissance effective liée à l’énergie électrique qui peut être convertie par le récepteur sous une autre forme d’énergie (mécanique, calorifique etc..). Elle est mesurée en watt (W) et son expression en courant sinusoïdal est donnée par l’équation (44), soit :

PU I cos

Le terme   cos est appelé  "facteur de puissance" du récepteur. Il mesure l’efficacité d’un système à produire de la puissance active.

4.4. Puissance réactive.

Elle est liée, comme le montrent les exemples qui suivent, à l’énergie emmagasinée durant un quart de période, dans les selfs et les condensateurs du récepteur, puis entièrement restituée au réseau au cours de l’autre quart.

C’est une énergie qui n’est donc pas consommée par la charge, elle est définie par :

Elle est mesurée en Var (volt-ampère-réactif ).

Cette puissance est qualifiée ainsi parce que l’absorption et la restitution de l’énergie sont dues à la réaction d’une self ou d’un condensateur aux variations du courant.

Puissance réactive dans le cas d’une self pure :                Dans ce cas à une tension

u (t )     U _Mcos (   t) correspond un courant d’intensité

i (t )      I _Mcos (   t          )

La puissance instantanée qui est fournie à la self s’écrit alors :

p (t )     UI sin ( 2t )

Les évolutions en fonction du temps de u ( t ) , i ( t ) graphes de la figure VI.16.

Pendant le premier quart de période, la self emmagasine une énergie magnétique:

et p ( t ) sont illustrées par les

La puissance moyenne sur une demi-période est donc nulle.

L’échange d’énergie entre la self et le réseau fait circuler dans le circuit un courant réactif I tel que :

QU I sin

Un comportement similaire est observé dans le cas d’un condensateur, sauf que l’énergie emmagasinée par ce dernier est une énergie électrostatique.

Puissance active dans le cas d’une résistance pure .

Considérons un circuit qui comporte une résistance pure R alimentée par une tension

u (t )     U _Mcos (   t )

Elle sera alors parcourue par un courant d’intensité

i (t )     I _Mcos      t

La puissance instantanée qui lui est fournie s’écrit alors :

La puissance moyenne est :

A partir de la figure VI.17, on note que l’énergie reçue par la résistance est entièrement consommée et transformée en chaleur. Il n’y a pas comme dans les cas précédents, d’oscillations de l’énergie entre le réseau et la charge. Le courant qui circule dans le circuit est appelé courant actif.

Puissance P(t)

4. 5. Puissance apparente.

La puissance apparente est, par définition, égale au produit de la tension par le courant.

SU I

C’est la puissance maximale que peut atteindre la puissance active.

Le rapport de la puissance active P sur la puissance apparente notée S définit le facteur de puissance. On écrit alors :

S

S est mesurée en " volt-ampère " (VA)

5. PUISSANCE EN NOTATION COMPLEXE.

En notation complexe, la tension d’alimentation u ( t ) 2 U cos ( t ) et le courant i ( t ) 2 I cos ( t ) qui parcourt le circuit peuvent s’écrire respectivement:

…

PRe U . I ^*

5. FACTEUR DE PUISSANCE.

La puissance, consommée par une charge en courant alternatif, dépend du facteur de puissance cos introduit par la charge.

Or l’énergie électrique, produite dans des centrales électriques par un fournisseur d’électricité⁵, est transportée dans une ligne pour être fournie aux clients. Le client ne paie au fournisseur que l’énergie qui correspond à la puissance PU I cos qu’il a consommée. Cette puissance est inférieure à celle qui lui a été livrée à la sortie de la centrale électrique. La différence P, qui correspond aux pertes dans la ligne, est à la charge du fournisseur.

La puissance perdue dans la ligne par effet Joule est inversement proportionnelle au facteur de puissance. Le fournisseur est d’autant plus lésé que ce facteur est faible, c’est la raison pour laquelle il pénalise le client dès que le facteur de puissance est inférieur à 0,8. Pour éviter ces pénalités, les industriels relèvent le facteur de puissance de leurs installations électriques à l’aide de condensateurs conçus à cet effet (Exercice VI. 16).

Exercice VI. 5. Un atelier reçoit au niveau, de son compteur, de l’énergie électrique à

1°) On suppose  d’abord que l’énergie, fournie à l’atelier, est transportée, sous forme monophasée sous une tension U  =  220 volts. Quelle doit être la résistance R₁de la ligne pour que les pertes   P₁ ne dépassent, en aucun cas, la moitié de la puissance  P consommée à pleine charge. Quelle est la section du fil de ligne, en déduire la masse de cuivre utilisée.

A.N. Longueur de la ligne  l = 2 km, résistivité électrique du cuivre                   =18. 10⁹      .m,  sa masse volumique= 8920 kg/m³.

2°) On considère à présent le cas où cette énergie est transportée sous une tension U =  5.500 volts. Calculer  la résistance R₂de la ligne si les pertes   P ₂ne doivent pas dépasser 5% de la puissance P. En déduire la section du fil de ligne et la masse de cuivre utilisée.

Quels sont les avantages de ces conditions par rapport à celles de la première question.

Solution VI. 5.

1°) A partir de l’expression (50) qui donne les pertes

P²

PR

U ²cos²

on a, avec U₁  = 220 volts et les conditions de ce premier cas,

2°) Avec U₂  = 5500 volts et les conditions de ce deuxième cas, on a :

On utilise 64 fois moins de cuivre, en moyenne tension 5.500 volts, pour transporter la même puissance qu’en basse tension 220 volts avec 10 fois moins de pertes.

Ces pertes sont encore réduites si le fournisseur oblige le client à augmenter le facteur de puissance de son installation.

Remarque : Transport de l’énergie électrique :

L’énergie électrique est produite dans des centrales électriques par des alternateurs en moyenne tension (MT), 5500 - 11000 volts.

Elle est ensuite transportée dans des lignes sous hautes ou très hautes tensions 60 kV, 220 kV. puis abaissée en MT⁶ et consommée en basses tensions (BT) 220 - 380 volts

A chaque fois que l’on veut élever ou abaisser la tension électrique, on utilise des transformateurs. Une étude très simplifiée du transformateur est proposée sous forme d’exercice (Exercice VI. 10)

Annexe 3

Courants triphasés

L’énergie électrique est produite, transportée et, en grande partie, consommée sous forme triphasée, d’où l’importance des courants triphasés.

1. Les systèmes triphasés équilibrés

1.1. Définitions :

Un système de tensions (ou courants) est triphasé et équilibré s’il est composé de trois tensions (ou courants) sinusoïdales de même amplitude de même fréquence et déphasées les unes par rapport aux autres de 2 /3

1.2. Production de tensions triphasées :

Considérons :

- trois bobines identiques dont les axes sont fixes, décalés, l’un par rapport à l’autre, de 2 /3 et placés comme l’indique la figure 1.

- et un champ magnétique B , uniforme et constant, tournant, autour de O, à la vitesse angulaire constante .

Les flux magnétiques traversant chaque bobine, sont respectivement :
…

S est la surface totale des N spires d’une bobine.

Dans chaque bobine nait une force électromotrice induite.

…

Aux bornes des bobines apparais-

sent trois forces électromotrices sinusoïdales, de même amplitude

E_ME 2 ,

de même fréquence et déphasées de 2 /3.

Elles constituent un système triphasé.

E est la valeur efficace de cesforces électromotrices.

On obtient le même résultat en faisant tourner, à la vitesse angulaire constante , un ensemble de 3 bobines solidaires, dont les axes sont décalés de 2 /3, dans un champ magnétique uniforme et fixe.

Le principe de l’alternateur triphasé est basé sur ce phénomène d’induction électro-magnétique. Dans un alternateur, le champ magnétique est créé par l’inducteur placé en général sur la partie tournante (le rotor) et les f.é.m. prennent naissance dans l’induit, système de bobines placées sur la partie fixe (le stator).

1.3. Courants triphasés.

Si on ferme les trois bobines sur une charge constituée de trois impédances identiques :

Z ₁= Z ₂=    Z ₃= Z

Ces trois courants forment, eux aussi, un système triphasé équilibré. Les tensions v1, v2, v3, aux bornes de chaque impédance, constituent un système de tensions triphasé.

1.4. Transport de l’énergie électrique.

Pour transporter l’énergie électrique, ainsi produite, on peut utiliser 6 conducteurs qui relient la source (alternateur), à la charge (les 3 impédances) de l’utilisateur, mais cette solution est onéreuse.

Il suffit de relier les 3 entrées des 3 bobines en un seul point O, et de monter la charge formée par les 3 impédances comme le montre la figure 3. Dans cette figure la charge est montée en étoile.

Au lieu de six conducteurs, on en utilise que quatre :

-   trois fils pour les courants i₁ , i₂ , i₃.

-   et un fil neutre.