Cours oscillation electrique libre amortie
Cours oscillation electrique libre amortie
Sans que nous ne nous en rendions compte, les oscillations électriques sont omniprésentes dans notre vie quotidienne. Le fonctionnement de pratiquement tous les « appareils électroniques » est à la base de telles oscillations : montres, téléphones portables, ordinateurs, chaînes audio et vidéo, appareils photo et caméras vidéo numériques, ...
La compréhension de la naissance d’oscillations électriques est très simple, si on aura compris au préalable la charge et la décharge du condensateur ainsi que le comportement de la bobine parcourue par un courant variable.
Chapitre 6: Oscillations électriques
1. Rappels
a) Condensateur chargé
- Un condensateur est formé par deux surfaces métalliques en regard, séparées par un isolant (= diélectrique).
- Lorsqu’une tension U est appliquée aux bornes d’un condensateur, des charges Q > 0 et Q < 0 s’accumulent sur ses armatures. La charge Q du condensateur est numériquement égale au produit de sa capacité C par la tension électrique U
- C U
- La capacité d’un condensateur est d’autant plus grande que la surface S commune des armatures en regard est plus grande, que la distance d entre les armatures est plus petite, et que la permittivité électrique du diélectrique entre les armatures est plus grande.
- L'énergie électrique emmagasinée par un condensateur de capacité C, chargé sous la tension U (et portant alors la charge Q) est déterminée par la relation :
…
b) Bobine parcourue par le courant
- L’intensité du champ magnétique B créé par une bobine parcourue par un courant est proportionnelle à l’intensité du courant. Le sens de B dépend du sens du courant.
Règle pour trouver le sens du champ magnétique B :
on regarde sur l'une des faces et on examine le sens du courant :
s'il correspond au sens indiqué par la lettre S on regarde sur une face Sud ; s'il correspond à celui indiqué par la lettre N on regarde sur une face Nord.
c) Flux magnétique
* Le flux magnétique est une mesure du nombre de lignes de champ passant à travers un circuit.
* Afin d'exprimer ce flux, les physiciens définissent le vecteur surface S .
On choisit un sens positif pour le contour de la surface.
Les caractéristiques du vecteur surface S sont alors :
* point d'application : le centre de la surface
* direction : perpendiculaire à la surface
* sens : déterminé par la règle de la main droite : si les doigts courbés de la main droite indiquent le sens +, alors le pouce indique le sens de S
* norme : la valeur S de la surface (en m2)
* Finalement, le flux d'un champ magnétique B à travers une surface S est défini par le produit scalaire de B par S :
B S BScos
* Si la surface est délimitée par un circuit bobiné comportant N spires, la surface totale équivaut à N fois la surface d'une spire, et :
NB S NBScos
* Unité S.I. : le weber (Wb): si B = 1 T et S = 1 m2 alors = 1 Wb
d) Apparition du phénomène de l'induction électromagnétique
Ce phénomène apparaît dans un circuit électrique si le flux magnétique à travers ce circuitvarie. Il apparaît alors une f.é.m. induite dans le circuit.
Si le circuit est ouvert, on détecte la f.é.m. induite aux bornes du circuit.
Si le circuit est fermé, la f.é.m. induite est la cause d’un courant induit circulant dans le circuit.
e) Loi de Lenz
Le courant induit circule dans un sens tel qu'il tente de s'opposer à la cause qui lui donne naissance.
f) Loi de Faraday
La f.é.m. induite moyenne em est proportionnelle à la variation du flux et inversement proportionnelle à t
La f.é.m. induite moyenne dans un circuit est égale à l'opposé de la variation du flux inducteur à travers ce circuit par unité de temps : em t
La f.é.m. instantanée à un instant t est la f. é. m. moyenne au cours d'un intervalle de temps très petit englobant t.
La f.é.m. induite (instantanée) dans un circuit est égale à l'opposé de la dérivée par rapport au temps du flux inducteur à travers ce circuit : e lim d t 0 t dt ( d est une mesure de la vitesse de variation du flux inducteur !)
dt
Plus le flux varie vite, plus la f.é.m. induite est importante !
Le signe – traduit la loi de Lenz !
- Inductance d’une bobine et f.é.m. auto-induite (ne figure pas au programme officiel)
a) Flux propre et f.é.m. auto-induite
Un courant traversant une bobine, crée en chaque point de son voisinage un champ magnétique. Par conséquent il existe un flux magnétique créé par le courant de la bobine à travers elle-même ; ce flux est appelé flux propre.
Si la bobine est parcourue par un courant d'intensité variable le flux propre à travers la bobine varie : la bobine crée alors une f.é.m. induite dans elle-même ; cette f.é.m. est appelée f.é.m. auto-induite.
Le phénomène de l'auto-induction apparaît si l'intensité de courant à travers une bobine (un circuit) varie. Il se manifeste par la naissance d'une f.é.m. auto-induite dans la bobine (le circuit).
b) Expression mathématique du flux propre
Considérons un circuit sans noyau de fer, de forme quelconque, parcouru par le courant.
* Réflexion 1
L'intensité B du champ magnétique créé par ce circuit (en général non-uniforme) est en tout point proportionnel à l'intensité i du courant qui le traverse.
* Réflexion 2
Le flux propre P est le flux que le circuit envoie à travers lui-même. Il est d'autant plus important que le champ magnétique créé par le courant est plus intense (en tout point de la surface S).
* Conclusion
Le flux propre Pest proportionnel à l'intensité de courant i qui le crée.
P L i
* La constante de proportionnalité L s'appelle inductance du circuit
* Unité S. I. pour l'inductance : le henry (H)
Si P = 1 Wb et i = 1 A alors L = 1 Wb/A = 1 H
c) Expression mathématique de la f.é.m. auto-induite e
| D'après la loi de Faraday : | e | d P | d | L iL | di | si L constant | |
| dt | dt |
Si l'intensité de courant i à travers une bobine d'inductance L constante varie, il apparaît
une f.é.m. auto-induite e à ses bornes, dont l'expression mathématique est e L di . dt
d) Remarque : inductance d’un circuit
Tout circuit parcouru par le courant est traversé par un flux propre et est donc caractérisé par une inductance non-nulle.
e) Etude expérimentale de la f.é.m. auto-induite
Expérience 1 : Fermeture d’un circuit contenant une bobine
Description
L1 et L2 sont deux lampes à incandescence identiques. La bobine est munie d'un noyau de fer fermé. On ajuste la résistance R à une valeur égale à celle de la bobine.
(Pourquoi ?)
Observation
Lorsqu'on ferme l'interrupteur K, L1 s'allume tout de suite et L2 s'allume
avec un retard d'environ 1 seconde. Puis les deux lampes brillent avec le même éclat.
Interprétation
L'augmentation de i2 fait naître dans la bobine une f.é.m. auto-induite qui s’oppose à sa cause d'après la loi de Lenz.
Or cette cause, c'est justement l’augmentation de i2. L'augmentation de i2 est donc ralentie.
Expérience 2 : Ouverture d’un circuit contenant une bobine
Description
Initialement, l'interrupteur est fermé.
La lampe à lueur est une lampe à néon nécessitant une tension d'au moins 80 V pour s'allumer. Comme le générateur ne délivre qu'une tension de 2 V, la lampe ne s’allume pas.
La bobine est munie d'un noyau de fer fermé.
Observation
Lorsqu'on ouvre l’interrupteur K la lampe s’allume brièvement.
Interprétation
La disparition brutale du courant fait naître aux bornes de la bobine une forte f.é.m. auto-induite (> 80 V !).
3. Loi d’Ohm pour une bobine
a) Loi d'Ohm pour une bobine sans noyau de fer
Comme la bobine produit une f.é.m. lorsque l’intensité varie, elle peut être assimilée à un générateur.
D'après la loi d'Ohm pour un générateur (classe de 2e), la tension aux bornes du générateur de résistance intérieure r, traversé par un courant d'intensité i, et créant une f.é.m. E, s'écrit :
uAB VA VB ri E
En appliquant cette relation à la bobine d'inductance L et de résistance r, traversée par un courant d'intensité i, et créant une f.é.m. auto-induite e, on obtient :
u AB ri L di dt
Si r = 0, la bobine est alors appelée inductance pure. u AB L di dt
Si i = cte, uAB ri : la bobine se comporte comme une résistance pure.
b) Définition de l’inductance d’une bobine
L'inductance L d'une bobine est numériquement égale à la constante de proportionnalité entre la tension à ses bornes et le taux de variation de l'intensité de courant.
c) Vérification expérimentale (ne figure pas au programme officiel)
Description de l’expérience
Un circuit comprenant une résistance R et une inductance pure L (rBobine 0) sans noyau de fer, est alimenté par ungénérateur de signaux connecté entre A et B, et délivrant une tension uAB triangulaire.
L'intensité de courant i dans ce circuit varie dans le temps de la même façon que la tension du générateur.
En C et E on connecte les entrées Y1 et
Y2 d'un oscillographe. Le point D est relié à la Terre.
Observations
On observe sur l'écran de l'oscillographe les représentations graphiques en fonction du temps des tensions appliquées aux entrées Y1 et Y2.
* A l'entrée Y1 est appliquée la tension uCD Ri . Cette tension varie proportionnellement à l'intensité de courant et peut donc être donc être considérée comme une représentation de i en fonction du temps.
* A l'entrée Y2 est appliquée la tension u ED ! C'est la tension aux bornes de la bobine.
…
* La tension uBobine double si on double le taux de variation de l'intensité de courant, c.-à-d.
- si on double l'amplitude I, à période T constante ;
- si on réduit la période T de moitié, à amplitude I constante.
* Si on introduit un noyau de fer dans la bobine, à taux de variation de l'intensité constant, alors uBobine devient beaucoup plus faible.
Mesures
E = __________ V; I = __________ A; T = __________ s
On en déduit que L = __________ H
- Energie magnétique emmagasinée par une bobine parcourue par le courant
a) Puissance électrique instantanée reçue par une bobine
Rappel de la classe de 2e : La puissance électrique P reçue par un récepteur traversé par un courant d'intensité I, et aux bornes duquel règne la tension U, s'écrit : P = UI.
Si la puissance varie au cours du temps, la puissance instantanée à l'instant t est égale au produit de la tension instantanée à l'instant t par l'intensité instantanée à l'instant t : p = ui
b) Energies mises en jeu
Rappel de la classe de 2e : L'énergie électrique Eélectrique reçue au cours d'une durée t par un récepteur dont la puissance électrique est P, est donnée par la relation : Eélectrique = P t.
Appliquons cette relation pour écrire l'énergie électrique (infiniment petite) reçue par la bobine au cours d'une durée dt infiniment petite pendant laquelle la puissance instantanée p peut être considérée comme constante :
dEélectrique p dt
ri2 dt Li di dt dt
ri 2 dt Li di
* ri2 dt représente l'énergie électrique (infiniment petite) transformée en énergiecalorifique dans la résistance r (effet Joule).
* Li di représente l'énergie électrique (infiniment petite) transformée en énergiemagnétique et emmagasinée dans la bobine (cédée par la bobine) pendant l’intervalle detemps dt où i augmente (diminue) de di.
| En effet : Li di > 0 si i > 0 et di > 0 | si l'intensité croît cette énergie est reçue par la |
| bobine; | |
| Li di < 0 si i > 0 et di < 0 par la bobine. | si l'intensité diminue cette énergie est cédée |
c) Energie magnétique emmagasinée dans la bobine
Lorsque l'intensité de courant à travers la bobine augmente de di, la bobine emmagasine une énergie magnétique (infiniment petite): dEmagnétique = Li di
Lorsque l'intensité de courant à travers la bobine augmente de 0 à I, elle emmagasine une énergie magnétique totale :
…
Lorsque l’intensité de courant à travers la bobine reste constante égale à I, l’énergie magnétique de la bobine reste constante égale à Emagnétique.
Lorsque l’intensité de courant à travers la bobine s'annule à partir de la valeur I, la bobine restitue cette énergie au circuit.
d) Expérience : étincelle de rupture
Description :
On réalise le circuit ci-dessous. L’interrupteur est constitué par un stylet qu'on déplace sur une lime. La pointe du stylet rencontre successivement les bosses et les creux de la lime réalisant ainsi la fermeture et l’ouverture du circuit. Observation :
Des étincelles jaillissent entre la pointe du stylet et la lime.
Interprétation :
En ouvrant l’interrupteur d'un circuit parcouru par le courant et comprenant une bobine à forte inductance L, l’intensité de courant diminue brusquement et la bobine est le siège d’une f.é.m. d’auto-induction élevée. Ainsi il apparaît une tension élevée entre les bornes de l'interrupteur. L’air y devient conducteur et une étincelle jaillit : l'énergie magnétique initialement emmagasinée par la bobine y est libérée.
5. Expérience : oscillations libres dans un circuit RLC
a) Description
Un générateur de signaux applique entre A et B une tension rectangulaire à un circuit, dit circuit RLC, constitué par :
* un conducteur ohmique de résistance R ;
* une bobine d’inductance L ;
* un condensateur de capacité C.
La résistance R est constituée de 3 résistances en série :
* une résistance fixe R0 ;
* la résistance variable RRhéo d’un rhéostat ;
* la résistance RBob de la bobine. On a évidemment : R = R0 + RRhéo + RBob.
L’oscillographe visualise les deux tensions appliquées aux entrées Y1 et Y2 :
* la tension ugén aux bornes du circuit RLC en fonction du temps ;
* la tension uRo aux bornes de R0, proportionnelle à l’intensité i, en fonction du temps : ce signal peut donc être interprété comme l'intensité de courant en fonction du temps.
b) Résultats
Le circuit RLC est le siège d'oscillations électriques amorties !
Lorsque la tension du générateur augmente brutalement, une intensité alternative d'amplitude décroissante s'installe dans le circuit. De même lorsque la tension s'annule brusquement. (Intensité alternative : les électrons libres effectuent un mouvement de va-et-vient !)
L'amortissement des oscillations est dû à la perte d'énergie par effet Joule dans la résistance totale R. L'amortissement est plus important si R est plus grand !
6. Etude théorique des oscillations électriques libres dans un circuit LC
a) Données
Un circuit série comprend un interrupteur, un condensateur de capacité C et une bobine sans résistance d'inductance L. Initialement le condensateur est chargé sous la tension U0. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur.
b) Conditions initiales
A t = 0, qA0 QA C U0 et i0 = 0.
c) Qu'est-ce qui se passe lorsqu'on ferme l’interrupteur ?
On ferme l'interrupteur K :
* le condensateur va se décharger à travers la bobine
* la charge qA va diminuer : dqA < 0
* un courant d'intensité i va circuler, d'abord dans le sens + choisii > 0
d) Relation entre dqA et i
Définition de l'intensité de courant instantanée : i dq avec dq = charge élémentaire dt traversant une section du fil pendant la durée élémentaire dt.
Pour toute charge élémentaire dq > 0 circulant dans le sens +, la charge qA de l'armature A du condensateur diminue de dq. La variation élémentaire dqA de la charge de l’armature A vaut donc : dqA = dq.
| Finalement : | i | dqA | (1) |
On retrouve que i et dqA sont de signe contraire.
(Si on avait choisi le sens + dans le sens opposé, on aurait trouvé i dqA .) dt
e) Equation différentielle
Sur le schéma, on voit que :
Loi du condensateur :
Loi d'Ohm pour la bobine
Remplaçons (3) et (4) dans (2) :
Compte tenu de (1) :
(6) dans (5) :
…
* Déterminons les constantes QAm et à l'aide des conditions initiales :
t = 0 qa = QA > 0 et i =0 Remplaçons dans les équations (7) et (8) :
QA QAm cos
0 QAm 0 sin
Solution : = 0 et QAm = QA
- Equations finales de la charge du condensateur, de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité dans le circuit
* La charge du condensateur varie en fonction du temps suivant l'équation :
…
* La période propre des oscillations est : T02 2 LC
| * La fréquence propre est donnée par : | f0 | 1 | 1 | |
| 2 LC | ||||
i) Etablissement de l'équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie
* S'il n'y a pas de résistance dans le circuit, aucune énergie n'est transformée en chaleur.
L'énergie électromagnétique totale du circuit est alors conservée.
…
7. Oscillations forcées. Résonance
a) Expérience
* Excitation : Un générateur excite un circuit RLC avec une tension alternative sinusoïdale ugén de fréquence variable.
* Réponse : Le circuit répond à cette excitation par un courant alternatif d'intensité i, dont nous observons l'amplitude à l'aide d'un ampèremètre.
* En même temps, nous visualisons les courbes de ugén et i en fonction du temps à l'aide d'un oscillographe.
b) Observations
La courbe de réponse Im(f) dépend de la résistance (de l'amortissement) totale du circuit.
* Le circuit effectue des oscillations de même fréquence que celle du générateur : il effectue des oscillations forcées.
* L'amplitude Im de l'intensité dans le circuit dépend de la fréquence du générateur et de la valeur de la résistance totale dans le circuit.
* Im passe par un maximum : c'est la résonance. La fréquence de résonance fR est égale à la fréquence propre f0 du circuit.
Afin de mieux comprendre !
Pourquoi le pendule élastique horizontal effectue-t-il des oscillations mécaniqueslibres ?
- Initialement, le chariot est déplacé vers la droite, le ressort est donc allongé. Dès qu’on lâche le chariot, le ressort le tire vers la gauche, c. à d. vers la position d’équilibre. A cause de son inertie, sa vitesse n’augmente que progressivement. Elle augmentera aussi longtemps que le ressort est encore allongé.
- A l’instant où le ressort n’est ni allongé, ni comprimé, il n’y a plus de force agissant sur le chariot. Or celui-ci est en mouvement vers la gauche (vitesse maximale).
- Par la suite, le chariot comprime le ressort. Celui-ci pousse le chariot vers la droite, c. à d. vers la position d’équilibre. A cause de son inertie, le chariot ne sera ralenti que progressivement.
- A l’instant où le chariot a atteint le repos, la compression du ressort est maximale. Il en est de même de la tension du ressort, force que le ressort exerce sur le chariot. Celui-ci va donc redémarrer aussitôt vers la droite et le même jeu se fait dans l’autre sens.
Pourquoi des oscillations électriques libres naissent-elles dans un circuit LC ?
- Une bobine crée un champ magnétique proportionnel à l'intensité du courant qui la traverse. Si cette intensité varie, le champ varie également. Une bobine s'opposant à la variation du champ s'oppose donc à la variation du courant qui la traverse.
- Le condensateur initialement chargé se décharge à travers la bobine dès qu'on ferme l'interrupteur. Un courant à travers la bobine prend naissance. Or celle-ci s'oppose à l'augmentation du courant : l'intensité du courant n'augmente que progressivement, aussi longtemps que le condensateur n'est pas encore complètement déchargé, c. à d. que les charges mobiles sont encore soumises à des forces propulsives.
- A l'instant où le condensateur est complètement déchargé, l'intensité a atteint une certaine valeur (intensité maximale), et du coup le condensateur commence à se charger dans l'autre sens. Par sa polarité inversée, il freine le mouvement des charges : l'intensité du courant va baisser. De nouveau la bobine s'oppose à la diminution du courant, de sorte que le courant ne s'annule que progressivement.
- A l’instant où l'intensité est devenue nulle, le condensateur est chargé au maximum, mais à polarité inversée par rapport à la polarité initiale. Par la suite, le même jeu se fait dans l'autre sens.
