Problème à signaler:


Télécharger Cours et exercices sur l’electricite formule



★★★★★★★★★★3.5 étoiles sur 5 basé sur 1 votes.
Votez ce document:



Cours et exercices sur l’électricité formule

POURQUOI ET COMMENT ?

La production et l’acheminement de l’énergie électrique jusqu’aux utilisateurs présente un coût important. Les choix qui sont faits pour produire cette énergie, la distribuer puis pour l’utiliser ont des conséquences considérables sur notre économie et notre environnement.

Les problèmes liés à l’énergie électrique ne concernent pas seulement les « gros consommateurs ». Les petites consommations domestiques (multipliées par le grand nombre des utilisations) sont aussi concernées.

Les pertes d’énergie électrique dans les appareillages conditionnent les problèmes de dimensionnement et de refroidissement, avec des conséquences sur l’encombrement, la masse et encore le coût.

Prérequis : La notion de valeur moyenne.

Objectifs : Pour choisir, il faut connaître ! Notre objectif est de connaître les outils qui servent à décrire et chiffrer les échanges d’énergie électrique.

Energie, puissance et facteur de puissances seront ces principaux outils.

Méthode de travail : Les signaux périodiques que nous allons rencontrer seront souvent décrits par un graphe.

Aussi, plutôt que de nous précipiter sur les calculs mathématiques, nous privilégierons, autant que possible, une approche plus intuitive et graphique.

L’objectif étant d’arriver au résultat juste le plus rapidement possible, peut être faudra-t-il lutter contre le célèbre proverbe : « Plus c’est matheux, plus c’est sérieux ! ».

Travail en autonomie : Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont données en fin de document.

Corrigés   en   ligne :   Pour   permettre   une   vérification   autonome   des   exercices,     consulter

« Baselecpro » (chercher « baselecpro accueil » sur Internet avec un moteur de recherche)

ENERGIE ELECTRIQUE ECHANGEE DANS UN DIPOLE.

Rappel sur le régime continu.

Considérons un dipôle   parcouru par un courant continu d’intensité « I »    et U soumis à une tension continue « U ».

L’énergie électrique qu’il consomme s’exprime par le produit :

« énergie libérée par chaque charge électrique qui traverse le dipôle » multipliée par le « nombre de ces charges » qui traversent le dipôle sur un intervalle de temps D.t .

L’énergie libérée par une charge est proportionnelle à la tension (ou différence de potentiel) « U » entre les deux extrémités du dipôle. La quantité de charges qui traverse chaque seconde est proportionnelle à l’intensité « I » du courant.

L’énergie électrique échangée dans le dipôle en un temps D.t

la relation :

s’exprime en Joule (symbole : J) par

We U.I.Dt

L’énergie électrique échangée en une seconde est appelée « puissance électrique ». La puissance électrique s’exprime en Watt (symbole : W) par la relation : 

Avec les orientations choisies sur la figure ci-dessus:

  • Si I et U sont tels que (U > 0 et I > 0, ou U < 0 et I < 0), le dipôle est récepteur. Il consomme   de l'énergie électrique pour la transformer en autre chose (chaleur, lumière, mouvement mécanique, transformation chimique etc.) ou pour l'accumuler (par exemple dans une batterie).
  • Si I et U sont tels que (U > 0 et I < 0, ou U < 0 et I > 0), le dipôle est générateur. Il produit de l'énergie électrique.

Dès lors qu’on a orienté (c’est à dire fléché) le courant et la tension, l’énergie électrique ainsi que la puissance électrique peuvent être exprimées par des valeurs algébriques qui permettent  de  connaître la valeur (en Joule ou en Watt), ainsi que le sens de l’échange déterminé par le signe de

We  ou de P.

Puissance instantanée et énergie électrique dans un dipôle en régime variable.

 

Considérons  de  nouveau  notre  dipôle, mais avec une  tension et  un courant variables en fonction du temps. (Les grandeurs variables sont généralement

         u             représentées par des lettres minuscules).

(1)  Nous ne démontrerons pas cette relation de façon plus précise.

Voici un exemple des graphes d’une tension et d’un courant variables. On peut associer à ces

graphes la représentation de la « puissance instantanée »  p( t ) u( t ) . i( t ) dans le dipôle.

p(t) = u(t).i(t)

0       to                      t

dt

➢        Sur  un  intervalle  infiniment  petit :  « dt »,  u( t )  et  i( t ) restent

quasiment constants. On peut donc appliquer l’expression de l’énergie électrique en courant continu. Cette énergie étant infiniment petite, elle sera désignée par « dw ».

Ainsi, dw u( to ) . i( to ).dt .

dw  est égale à l’aire hachurée ci-contre.

p(t) = u(t).i(t)

0      to                t1          t

➢        Sur l’intervalle [to , t1], l’énergie électrique échangée est donc la somme  des  énergies  élémentaires  échangées  sur  tous  les   intervalles

« dt » successifs qui constituent cet intervalle [to , t1].

L’énergie électrique totale « w » échangée sur l’intervalle [to , t1] est donc égale à l’aire hachurée sur la figure ci-contre

Remarquons que cette aire est « algébrique » :

Sachant que le dipôle a été orienté en convention récepteur, si

p( t ) u( t ) . i( t ) 0

 

: l’énergie électrique dw  est positive (Le dipôle reçoit de l’énergie électrique, il est récepteur).

Si    p( t ) u( t ) . i( t ) 0  :  elle  est  négative  (Le  dipôle  fournit  de  l’énergie  électrique,  il  est générateur).

En conclusion : L’énergie échangée dans un dipôle pendant un intervalle de temps [to , t1] est égale à l’aire sous la courbe « puissance instantanée » sur ce même intervalle.

On peut la calculer en utilisant la géométrie (pour des formes simples) ou en utilisant une intégrale : 

PUISSANCE MOYENNE (OU ACTIVE) DANS UN DIPOLE EN REGIME PERIODIQUE.

Cas général en régime périodique.

Si la fonction « puissance instantanée » ( p( t ) u( t ) . i( t ))

peut établir les relations suivantes :

est périodique de période « T »,  on

Energie échangée en une période : wT

to T



= ò to

to T

p( t ).dt = ò to

u( t ).i( t ).dt

Energie échangée en une seconde :

⎛ò to T p( t ).dt ⎞ (nombre de période dans 1 seconde) .

Le « nombre de périodes dans 1 seconde est la « fréquence » :

Þ Energie échangée en une seconde :

1     to T

ò to p( t ).dt .

Il  s’agit  d’une  énergie  divisée  par  un  temps,  donc  d’une  puissance  (exprimée  en        Watt (symbole W)). Cette puissance est la valeur moyenne de la puissance instantanée l’appelle « puissance moyenne » ou plus souvent « puissance active ».

On la note généralement « P ».

On retiendra la définition suivante:

p( t ) . On

Comme toute valeur moyenne (2):

  • On peut en faire une estimation à partir du graphe de p( t ) .
  • On peut utiliser la relation :

P = aire sous la courbe p(t) sur un intervalle d' une période

Période

  • On peut utiliser le calcul intégral :

= 1

to T

òto

p( t ).dt

Remarque : En général, la valeur moyenne d’un produit n’est pas le produit des valeurs moyennes Þ = < u( t ).i( t ) > ¹ < u( t ) i( t ) > .

 (2) Voir Baselecpro / chapitre 9

        Mesure de la puissance moyenne (ou puissance active).

La puissance active se mesure à l’aide d’un wattmètre :

i                 Circuit « courant »

             W                         

u

Circuit « tension »

Le      wattmètre      indique      la      valeur      moyenne      du

produit u( t ) . i( t ) qu’on lui applique.

        Exemple de calcul de puissance active.

En régime périodique, un dipôle est le siège de la tension  u( t ) et du courant

i( t )  ci-dessous :

Représenter le graphe de la puissance instantanée p(t) . En déduire une estimation graphique de la puissance active « P » dans ce dipôle. Calculer « P ». 

Puissance active dissipée dans une résistance. Notion de valeur efficace.

En régime périodique, une résistance R est le siège d’une tension u( t )  et d’un

courant i( t ) tels qu’à chaque instant u( t ) R.i( t ) .

La puissance active dissipée dans « R » s’exprime donc par :

òto T p( t ).dt òto T u( t ).i( t ).dt òto T R.i( t )2 .dt R. ⎡ òto T           2     

La puissance active dissipée dans une résistance « R » dépend de la valeur moyenne de i( t )2 ou de la valeur moyenne de u( t )2 .

De façon à simplifier la notation, on introduit la notion de valeur efficace du courant et de la tension : 

Les valeurs efficaces sont symbolisées de façon normalisée par une majuscule avec ou sans l’indice « eff ».

    Remarques sur la valeur efficace.

La valeur efficace d’un courant est égale à la valeur du courant continu qui dissiperait la même puissance active dans la même résistance. De même pour la tension efficace.

Le  courant  i(t)  est  la  somme  de  sa  valeur  moyenne  et  de  sa  composante  alternative :

i( t ) Imoy ialt ( t ) .

Þ Ieff  =                                                     =

Þ Ieff  =

Þ Ieff  =                                                                                          =

Þ

En conclusion :

et de même pour une tension.

La valeur efficace est d’autant plus proche de la valeur moyenne que la composante alternative est faible par rapport à cette valeur moyenne.

Valeur efficace d’une tension ou d’un courant alternatif sinusoïdal :

1                                                [sin()]2

0                                                                                                                           q

sin()

[sin()]2cos(2.q )

2

< [sin()]> = 1

2

On rappelle :

Soit une tension u( t ) . Alternative sinusoïdale.

Représenter  ci-contre  le graphe

de u( t )2 et en déduire Ueff en fonction  de   Uˆ    (sans  faire  de calcul d’intégrale)

Ueff  =

Il en est de même pour la valeur efficace d’un courant alternatif sinusoïdal

  1. La valeur efficace d’une tension se mesure à l’aide d’un voltmètre (en général un appareil numérique). La qualité de cette mesure peut varier :
  • Certains voltmètres ne mesurent la valeur efficace que pour des tensions alternatives sinusoïdales.
  • Certains voltmètres ne mesurent la valeur efficace que de la composante alternative de la tension. (Ils sont souvent qualifiés de voltmètres « RMS »).
  • Certains voltmètres mesurent effectivement la valeur efficace de la tension. On dit alors qu’ils sont « efficace vrai » (en anglais : True RMS ou TRMS).

On peut faire les mêmes remarques pour un ampèremètre.



En conclusion, il convient de rester vigilant lors de l’utilisation d’un appareil de mesure. Les notices des constructeurs ne sont pas toujours très claires quant aux types de mesures effectivement possibles avec un appareil donné.

Uo . i( t ).dt Uo . 1

to T

i( t ).dt Uo . >

De même, si un dipôle

u             est le siège de la tension périodique u( t ) et du courant

Io   constant, la puissance active dans ce dipôle s’exprime par:

òto T p( t ).dt òto T u( t ).Io.dt Io . 1 òto T u( t ).dt = < . Io

        Puissance active en régime alternatif sinusoïdal.

Un dipôle

u             est le siège d’une  tension

u( t ) Uˆ .cos(w .t j ) 

et d’un courant

i( t ) Iˆ .cos(w .t ) . Exprimer la puissance active dans ce dipôle .

 (4)  On rappelle que cos(a. cos(b) =

cos(b) + cos(b)

Puissance active dans une inductance  ou un condensateur.

Pour une inductance : v( t ) L. d (i( t ).

                                        dt                                              (       )

Þ PL = 1 òto T p( t ).dt = 1 òto T v( t ).i( t ).dt = 1 òto ⎛ L. d i( t ) .i( t ).dt

T  to                       T  to                             T  to       ⎜        dt     

⎝                ⎠

Þ PL  =        . [i(t)2 ]     =        . ⎢ (to )2  - i(to)2 ⎥

L                 to T       L     i                              

2.T                     to            2.T     ⎣                               ⎦

En régime périodique : i( to T ) i( to ) Þ PL = 0

La puissance active dans une inductance est nulle

 

Pour un condensateur : i( t ) C. d (v( t ).

                                          dt                                                  (       )

Þ PC = 1  òto T p( t ).dt = 1  òto T v( t ).i( t ).dt = 1 òto T v( t ).C. d v( t )  .dt T  to                       T  to                             T  to                       dt

Þ PC  =          . [v(t)2 ]     =        . ⎢v(to )2  - v(to)2 ⎥

C                 to T       C    ⎡                                ⎤

2.T                     to            2.T     ⎣                                ⎦

 

 

En régime périodique : v( to T ) v( to ) Þ PC  = 0

 

La puissance active dans un condensateur est nulle

Puissance apparente et facteur de puissance.

Ueff .Ieff

*  La puissance apparente se définie par                         .

Son unité est le Volt-Ampère (VA).

Elle caractérise grossièrement le coût d’une transmission de puissance électrique.

En effet

Ueff

détermine  la  qualité  des  isolants  et  le  nombre  de  spires  des  bobinages des transformateurs et des  moteurs.

Ieff

détermine la section minimum des conducteurs (qui   doivent transporter le courant sans échauffement excessif) ainsi que les pertes Joule dans les lignes électriques.

*       Le facteur de puissance est un critère simple pour évaluer grossièrement la qualité (sous  l’angle économique) d’une transmission de puissance électrique.

P

S

Il se définit par              .  C’est, en quelque sorte, un rapport qualité/prix.



  • · Le facteur de puissance est toujours inférieur ou égal à 1 (sans démonstration).
  • · Dans les appareils de mesure, on le trouve souvent désigné par « PF » (pour « Power Factor »).
  • · En régime alternatif sinusoïdal :  =

Mais ce n’est qu’un cas particulier…

Exemple de calcul de facteurs de puissance.

                                 is

 

 

ie                                                       L

ve                                                                                vs

 

charge

Un pont redresseur à diodes, alimenté sous une tension

alternative sinusoïdale ve( t ) applique une tension redressée vs( t ) à une charge très inductive. En régime permanent, le courant is( t ) est quasiment constant : is ( t ) » Io constante .

A partir des signaux périodiques représentés ci- dessous, représenter le graphe de la puissance instantanée et calculer le facteur de puissance en entrée du montage (au niveau de ve( t ) et ie( t ) ). Représenter le graphe de la puissance instantanée et calculer le facteur de puissance en sortie du pont redresseur (au niveau de vs( t ) et is( t ) )

(5)  Les calculs demandés ne nécessitent aucune connaissance sur les ponts redresseurs.

CONSERVATION DE L’ENERGIE ET DE LA PUISSANCE ACTIVE

Sur un intervalle de temps dt l'énergie électrique consommée par un ensemble d'éléments est la somme (algébrique) des énergies électriques consommées par chacun d'eux. (C'est une application de la loi de la conservation de l'énergie).

(On peut compter positivement l'énergie consommée par les éléments récepteurs et négativement l'énergie fournie par les générateurs).

Si toutes les tensions et tous les courants ont une période (et donc une fréquence) commune: l'énergie électrique (algébrique) consommée durant une période par un ensemble d'éléments est la somme (algébrique) des énergies électriques consommées par chacun d'eux durant cette période. Il en va de même pour l'énergie électrique consommée en une seconde; c'est à dire pour la puissance moyenne. 

Cette loi sera un outil de calcul précieux pour la suite.

 Reprenons l’exemple précédent :

L

ve                                                              vs

charge

= 0

= < ve( t ).ie( t ) >        = < Vs . et

➢        Les diodes, si on les considère    idéales,

sont des composants qui se comportent soit comme des interrupteurs ouverts (courant nul), soit comme des interrupteurs fermés (tension nulle).

Elles ne dissipent donc aucune puissance.

➢        Le courant is( t ) est  quasiment  constant : is ( t ) » Io constante , donc la puissance dans le dipôle charge + inductance s’exprime par la relation :  = < Vs .Io .

Io      ➢  La     puissance    active    en    entrée              du montage est donc :

= 0 + < Vs  .Io

= < ve( t ).ie ( t ) > = 0 + < Vs .Io

PUISSANCES EN REGIME ALTERNATIF SINUSOÏDAL.

Puissance active dans un dipôle en régime alternatif sinusoïdal.

 Nous avons déjà établi au paragraphe .que dans ce cas la puissance active s'exprime par la relation: = < u( t ).i( t ) > = Ueff .Ieff .cos(j ) avec :

Puissance réactive.

Définition de la puissance réactive.

La puissance réactive est un outil de calcul applicable au cas du régime alternatif sinusoïdal à fréquence unique. Elle se définit par:

=  Ueff .Ieff .sin( j )

(Q s’exprime en Volt-Ampère Réactif (VAR)).

L’intérêt de cet outil sera vu au paragraphe 5.3  lors de l’utilisation du théorème de Boucherot.

                  Triangle des puissances.

 Voici une façon simple de représenter les relations entre P, Q et S en régime alternatif sinusoïdal:

S (en VA)

Q (en VAR)

Ueff .Ieff .cos(j ) Q =  Ueff .Ieff .sin( j )

P (en W)

Ueff .Ieff ⎛ 

On en déduit : =                      et arctg⎜     ⎟

⎝ 

Puissance réactive dans une résistance, dans une inductance et dans un condensateur

R               ➢  Une résistance R  est le siège d’une  tension  u( t ) et d’un courant

i( t )

tels qu’à chaque instant u( t ) R.i( t ) . En régime alternatif sinusoïdal, u( t )

         u                 sont donc en phase.

et i( t )

QR =  Ueff .Ieff .sin( 0 ) 0

(en  complexes  pour  le régime      alternatif      sinusoïdal)      (6).      On      en      déduit :      Umax L.w.I max

Û UmaxL.w.

Imax

Û Ueff

PL.w.Ieff . On en déduit également que = +  2

Donc QL =  Ueff .Ieff .sin( j ) Þ

➢        Pour un condensateur :

(u( t ))

i( t ) C.



dt Þ = jCw.U

Û = jCw . I = Cw

. I .  (en  complexes  pour

I          le régime alternatif sinusoïdal).

On en déduit : U       =    1  .I

max       C.w    max

Û Umax =    1  .

C.w

Imax 

Û Ueff =    1  .I     .

C.w   eff

On en déduit également que = - p

Donc QC  =  Ueff .Ieff .sin( j )     Þ

Dipôle inductif et dipôle capacitif

De manière générale, on appelle « dipôle inductif » un dipôle récepteur  tel que la tension à ses bornes est en avance par rapport au courant qui le traverse :

<

De manière générale, on appelle « dipôle capacitif » un dipôle récepteur tel que la tension à ses bornes est en retard par rapport au courant qui le traverse :

0 2

 (6) Voir Baselecpro / Chapitre 5

Facteur de puissance en régime alternatif sinusoïdal.

Nous avons déjà établi au paragraphe que le facteur de puissance d’une ligne d'alimentation ou d’un dipôle en régime alternatif sinusoïdal est:

P

S

Ueff .Ieff .cos(j ) = Ueff .Ieffcos(j ) avec :

Exemple numérique

Soit le dipôle:              v     

i(t) et v(t) sont périodiques et sont représentés ci-contre.

Déterminer la puissance active P, la puissance réactive Q et la puissance apparente S  absorbées par ce dipôle.

Déterminer le facteur de puissance de ce dipôle.

Théorème de Boucherot.

(nous admettrons ce théorème sans le démontrer)

Application :

b) Déterminer la valeur du condensateur qu'il faut placer en parallèle avec le moteur pour ramener le facteur de puissance de la ligne à 1. Quelle est la nouvelle valeur du courant en ligne

IL dans ce cas? Quel est l'intérêt d'une telle opération?

Nous constatons que dans certaines situations du régime alternatif sinusoïdal, le calcul avec le théorème de Boucherot est beaucoup plus rapide que l’utilisation des complexes ou des vecteurs de Fresnel.

     Mesure des puissances actives et réactives.

i                 Circuit « courant »

             W                         

 

Circuit « tension »

Le      wattmètre      indique     la      valeur      moyenne      du

produit u( t ) . i( t ) qu’on lui applique :

C’est à dire : < u( t ).i( t ) > = Ueff .Ieff .cos(j ) (en régime alternatif sinusoïdal)

i                 Circuit « courant »

           VAR                      

Circuit « tension »

En   régime   alternatif   sinusoïdal,   le   varmètre indique

Ueff .Ieff .sin( j )

Très souvent, le même appareil possède les fonctions wattmètre et varmètre.

 (7)  Si on ne précise pas, c'est la valeur efficace.

(8)  Si on ne précise pas, c'est la puissance active (ou moyenne).

FACTEUR DE FORME, TAUX D’ONDULATION, FACTEUR D’ONDULATION ET FACTEUR DE CRETE D’UN SIGNAL PERIODIQUE

* Le facteur de forme, le taux d’ondulation et le facteur d’ondulation sont différents coefficients qui ont pour objectif de quantifier l’importance de la composante alternative par rapport à la valeur moyenne d’un courant ou d’une tension :

Facteur de forme : Pour un courant, il se définit par  =

Ieff

(et pour une tension :

Veff

=            )

>

>

Nous avons vu au § 3.5 remarque e) que la valeur efficace est d’autant plus proche de la valeur moyenne que la composante alternative est faible par rapport à cette valeur moyenne.

Donc  F ³ 1 et F est d’autant plus proche de 1 que la composante alternative est faible par rapport à cette valeur moyenne.

Taux d’ondulation : Pour un courant, il se définit par

Ialteff

= < >

(et de même pour une tension)

Donc est d’autant plus proche de 0 que la composante alternative est faible par rapport à la valeur moyenne.

I        I

Facteur d’ondulation : Pour un courant, il se définit par =   max       min

> (et de même pour une tension)

Donc est d’autant plus proche de 0 que la composante alternative est faible par rapport à la valeur moyenne.

Le facteur de crête est un critère utilisé pour indiquer une limite de bon fonctionnement des ampèremètres ou des voltmètres: Pour un courant, il se définit par le rapport

Imax

Ieff

 (et de même pour une tension).

Ce rapport est supérieur ou égal à 1 car

Ieff

£  Imax .

Table des matières

1POURQUOI ET COMMENT ?1

2ENERGIE ELECTRIQUE ECHANGEE DANS UN DIPOLE2

Rappel sur le régime continu.2

Puissance instantanée et énergie électrique dans un dipôle en régime variable.2

3PUISSANCE MOYENNE (OU ACTIVE) DANS UN DIPOLE EN REGIME PERIODIQUE4

Cas général en régime périodique.4

Mesure de la puissance moyenne (ou puissance active).5

Exemple de calcul de puissance active.5

Puissance active dissipée dans une résistance. Notion de valeur efficace.5

Remarques sur la valeur efficace.6

Puissance active lorsque la tension ou le courant est constant.9

Puissance active en régime alternatif sinusoïdal.9

Puissance active dans une inductance  ou un condensateur.10



Puissance apparente et facteur de puissance.10

Exemple de calcul de facteurs de puissance.11

4CONSERVATION DE L’ENERGIE ET DE LA PUISSANCE ACTIVE12

5PUISSANCES EN REGIME ALTERNATIF SINUSOÏDAL13

Puissance active dans un dipôle en régime alternatif sinusoïdal.13

Puissance réactive.13

Définition de la puissance réactive.13

Triangle des puissances.13

Puissance réactive dans une résistance, dans une inductance et dans un condensateur14 5.2.4 Dipôle inductif et dipôle capacitif14

Facteur de puissance en régime alternatif sinusoïdal.15

Exemple numérique15

Théorème de Boucherot.16

Mesure des puissances actives et réactives.16

6FACTEUR DE FORME, TAUX D’ONDULATION, FACTEUR D’ONDULATION ET FACTEUR DE CRETE D’UN SIGNAL PERIODIQUE17

7EXERCICES SUR LES ENERGIES ET PUISSANCES ELECTRIQUES18

Chap 10. Exercice 1 :Energie électrique stockée dans un condensateur.18

Chap 10. Exercice 2 :Energie électrique stockée dans une inductance.18

Chap 10. Exercice 3 :Consommation d’énergie électrique.18

Chap 10. Exercice 4 :Commutation d’un transistor sur charge inductive.19

Chap 10. Exercice 5 :Puissance dans différents dipôles.20

Chap 10. Exercice 6 :Puissance dans un hacheur20

Chap 10. Exercice 7 :Charge inductive d’un hacheur série en régime périodique.21

Chap 10. Exercice 8 :Signaux dans les ponts redresseurs triphasés21

Chap 10. Exercice 9 :Valeur efficace de signaux trapézoïdaux22

Chap 10. Exercice 10 :Facteur de puissance22

Chap 10. Exercice 11 :Ensemble en alternatif sinusoïdal23

Chap 10. Exercice 12 :Gradateur sur charge résistive24

8CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE25

9REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS27



389