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Cours en electricite impedance


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 Cours en electricite impedance avec exemples

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Cas d’une résistance pure

Un conducteur ohmique, ou résistance, est conçu pour opposer une certaine résistance au courant. Il est caractérisé par sa grandeur de résistance, notée R, qui s’exprime en Ohm, noté Ω.

1 Ω = 1 V·A

−1 = 1 m2 ·kg·s −3 ·A −2

La tension à

ses bornes est réliée à l’intensité du courant par la loi d’Ohm :

u(t) = R · i(t)

Sa représentation schématique est la suivante :

...

Impédance d’un conducteur ohmique

Puisque u(t) = R · i(t), l’impédance de la résistance peut être calculée ainsi :

Z = U

I = RI

I = R

Dans le cas d’un conducteur ohmique pur (ne présentant aucun effet inductif ni capacitif), l’impédance possède une valeur réelle, égale à la valeur de la résistance, et qui ne varie pas en fonction de la fréquence du courant.

Cas d’une bobine pure

Une bobine (aussi appelée self ou self-inductance) est constituée en général d’un fil conducteur enroulé en hélice, formant un solénoïde.

Lorsque la bobine est parcourue par un courant, elle crée un champ magnétique induit, qui s’oppose au courant lui ayant donné naissance (loi de Lenz). La bobine est caractérisée par son inductance L, définie comme le rapport entre le champ magnétique et l’intensité du courant. L s’exprime en Henry, noté H.

1 H = 1 V·s·A

−1 = 1 m2·kg·s

−2·A−2

La tension aux bornes d’une bobine est reliée à l’intensité du courant par la relation suivante : u(t) = Ldi dt

...

Terminologie

Dans ce paragraphe, une définition est donnée pour la surveillance, le diagnostic et la supervision des batteries. Cette terminologie est directement inspirée du domaine de la supervision des systèmes complexes [23][24].

D’une manière générale, la supervision d’un système a pour but de réagir correctement aux changements d’états éventuels de ce système (dégradation, apparition de défauts, ...) afin de maintenir ses performances et d’assurer la sécurité des biens et des personnes. Elle est constituée de trois tâches principales :

— l’étape de surveillance, — l’étape de diagnostic, — l’étape de décision.

L’objectif de la surveillance (ou « monitoring ») est la détermination à chaque instant de l’état courant du système d’intérêt. Cet état est constitué par un ensemble de symptômes dont il faut détecter la présence et déterminer les caractéristiques. Il est important de noter que ces symptômes ne sont pas des défauts, mais plutôt des indicateurs qui permettront la détection et la caractérisation de défauts ou de défaillances dans une étape ultérieure. La tâche de monitoring est réalisée grâce aux connaissances disponibles sur ce procédé, qui peuvent être de deux types :

- les connaissances a priori développées avant l’action de surveillance, constituées par exemple par des modèles physiques du système,

- les connaissances en fonctionnement constituées par les observations faites sur le système lors de son fonctionnement.

L’étape de diagnostic est l’opération qui consiste à remonter des symptômes et de leurs caractéristiques aux défauts présents dans le système d’intérêt. Cette étape utilise donc les sorties de l’étape précédente de surveillance pour fournir une liste de défauts et de défaillances éventuels ainsi que leurs caractéristiques (gravité, localisation...).

Enfin, l’étape de décision consiste à réagir correctement à l’apparition de défauts et de défaillances au sein du système, et à entreprendre les actions correctes permettant d’assurer la sûreté de fonctionnement du procédé (changement de consigne, passage dans un mode dégradé de fonctionnement, opération de maintenance, réparation, mise hors service...).

Concernant les applications de gestion de batteries embarquées dans des HEVs et EVs, la surveillance de la batterie (le système d’intérêt) consiste à estimer les indicateurs d’états (les symptômes) qui seront présentés dans le paragraphe suivant. Pour y parvenir, la tension et le courant sont le plus souvent observés (constituant les connaissances en fonctionnement). Des connaissances a priori peuvent également être rajoutées en utilisant un modèle de batterie. Ensuite, l’étape de diagnostic consiste en général à attribuer un seuil pour chaque indicateur. Par exemple un état de charge aux alentours de 0% peut entrainer une surdécharge si l’accumulateur continue à débiter du courant, ceci ayant des conséquences néfastes sur l’accumulateur. L’étape de diagnostic consistera donc ici à comparer l’état de charge courant de l’accumulateur avec un seuil prédéterminé proche de 0 %. Une fois ce seuil franchi intervient la dernière étape du système de supervision : la tâche de décision. Pour l’exemple précédent de surdécharge, il s’agira de limiter le courant puis d’ouvrir le contacteur de sécurité en cas de franchissement du seuil afin de réagir correctement à cet événement particulier.

Les systèmes regroupant toutes ces fonctionnalités sont appelés systèmes de gestion ou de supervision de batteries, ou plus communément « BMS » (pour Battery Management system).

L’accumulateur : objet de modélisation

Afin d’assurer les différentes tâches du BMS, la modélisation des accumulateurs s’avère un outil essentiel pour comprendre et prédire leur fonctionnement dans un système aussi délicat que les HEVs et EVs. Elle aide à développer des outils théoriques et pratiques nécessaires pour la compréhension et la caractérisation des accumulateurs, siège de différents phénomènes électrochimiques complexes. Ce modèle doit s’adapter à n’importe quel profil de charge sur une large variation du SOC de l’accumulateur et à différentes températures de fonctionnement. Cette section est de nature bibliographique [27]. L’objectif n’est pas de recenser tous les modèles existants mais plutôt de se positionner par rapport aux travaux existants et souligner a posteriori les choix adoptés dans cette thèse.

Boite Blanche

Il s’agit des modèles physio-chimiques. Ce sont les modèles les plus précis et les plus utilisés par les concepteurs d’accumulateurs pour optimiser les performances d'un accumulateur [27]. Toutefois, ils sont également les plus lents et les plus difficiles à configurer (paramètres basés sur la connaissance de la structure, la chimie, la composition, la capacité, la température, et d'autres caractéristiques de l’accumulateur). Par exemple, [28][29] ont développé un modèle électrochimique isotherme qui décrit la charge et la décharge d'un accumulateur au lithium pour un seul cycle. Ce modèle se base sur la résolution d’équations différentielles mettant en jeu les concentrations des espèces en solution. Ces modèles permettent de prédire la tension de l’accumulateur en fonction du temps, mais aussi les profils de concentration au sein des électrodes et de l’électrolyte [30]. Ils peuvent aussi être utilisés pour définir les capacités disponibles à différents profils de sollicitation ou établir les régimes optimaux de courant admissible.

Boite noire

Il s’agit des modèles empiriques [27] consistant à établir une relation directe entre les conditions d’usage et les performances de l’accumulateur (capacité, énergie, ...). Ces modèles sont les plus faciles à configurer mais sont difficilement extrapolables. Les paramètres utilisés n'ont pas de signification physique, ce qui limite sérieusement l’analyse du comportement de l’accumulateur. La loi de Peukert [14] est un exemple de ce genre de modèle. On peut aussi citer dans cette catégorie les modèles basés sur la logique floue [31][32][33][34] ou ceux sur les réseaux de neurones [35][36][37]. Bien que la précision, la vitesse et la complexité de ces modèles soient acceptables, le comportement de l’accumulateur est décrit par des relations sans aucun lien direct avec les phénomènes physico-chimiques qui s’y déroulent. Par conséquent, l’interprétation physique des résultats demeure difficile.

Boite grise

Au lieu de modéliser le comportement de l’accumulateur, soit en décrivant les processus électrochimiques, soit par approximation empirique, les modèles de type boite grise [27] tentent de fournir une représentation équivalente du comportement d'un accumulateur. Bien que le nombre de paramètres soit en général limité, ces modèles font appel à des tables qui nécessitent un effort de configuration important.

Il s’agit en particulier de la modélisation des accumulateurs par des circuits électriques équivalents () [38][39][40][41][42][43] qui constitue un outil essentiel pour les professionnels du génie électrique. De tels circuits permettent de traduire le comportement électrique fréquentiel et temporel des accumulateurs. Grâce à l'analogie entre les différents domaines de la physique-chimie et le domaine de l'électricité, les circuits électriques peuvent, sous certaines conditions de linéarité, approcher les différents phénomènes physico-chimiques présents dans un accumulateur au moyen d’éléments passifs (résistances, capacités, inductances) et actifs (force électromotrice, source de courant ...).

Il est important de distinguer les modèles statiques des modèles dynamiques. Les modèles statiques ne prennent pas en compte les phénomènes transitoires et leur impédance est constituée uniquement d'éléments résistifs, tandis que les modèles dynamiques sont capables de décrire les phénomènes transitoires en utilisant des éléments dont les impédances sont complexes.

Suivant la gamme de validité du modèle, les paramètres de ces circuits peuvent intégrer l’influence de divers facteurs tels que la température, l’état de charge, le courant et l’état de santé. Une phase de caractérisation préalable est alors réalisée permettant d’établir le lien entre ces paramètres et les différents facteurs.

Enfin, quelle que soit la complexité du modèle CEE utilisé, des modèles supplémentaires sont nécessaires pour pouvoir suivre l’évolution du SOC (via le suivi de l’OCV par exemple), de la température (via un modèle d’évolution d’un ou plusieurs paramètres du CEE), et du SOH (via un modèle d’évolution d’un ou plusieurs paramètres du CEE).

Le modèle de Randles généralisé

L’accumulateur présente des comportements microscopiques très complexes et des phénomènes internes fortement couplés. Randles a proposé un circuit électrique équivalent (Figure 1-91-9) en les traduisant avec des composants électriques [44].

 Figure 1-9 : Circuit de Randles.

Une interprétation préalable des composants est possible. Le modèle (Figure 1-91-9) renferme une résistance ohmique (R) et une inductance (L) en série modélisant les effets des électrodes, de l’électrolyte et de la connectique. Le comportement de la double couche peut être associé à la capacité Cd, alors que la cinétique de la réaction électrochimique peut être décrite par la résistance de transfert de charge (Rte). Selon son modèle, le potentiel d’équilibre est représenté par une source de tension idéale (OCV). Enfin le phénomène de diffusion, connu pour être difficile à étudier, est modélisé par une impédance de Warburg ( Zw ). Trois cas d’impédance de Warburg sont généralement utilisés selon l’épaisseur de la couche de diffusion [18] : épaisseur semi-infinie, épaisseur finie en présence de la convection ou de l’hypothèse de Nernst, et épaisseur finie à travers un film mince. Ces impédances peuvent être généralisées en intégrant des exposants non entiers dans leur expression.

Aussi, afin de présenter les équations correspondantes à chaque cas, il s’avère nécessaire d’introduire rapidement des composants à impédance d’ordre non entier appelés éléments à phase constante (CPE pour « Constant Phase Element ») [45][46] et présentés plus en détails dans l’Annexe A de ce mémoire. La formule générale de l’impédance d’un CPE est donnée par :

ZCPE( f) =            1

                0 < p < 1               Equation 1-7

T(f27r f)~

A très basses fréquences, l’impédance de Warburg présente le comportement d’une résistance. C’est pourquoi on parle de « circuit fermé ».

— la diffusion finie à travers un film mince [18] est modélisée par :

La partie imaginaire tend vers l’infini pour les fréquences basses ce qui correspond à l’impédance d’une capacitance ou à un état de « circuit ouvert ».

Ces phénomènes diffusifs seront négligés dans la suite de la thèse vu qu’ils ne sont sollicités que pour des fréquences extrêmement basses.

Figure 1-11 : Trois types d’impédance de Warburg [18]. 1.5.3.2 Application aux cellules LiFePO4

Le modèle classique de Randles donné à la Figure 1-91-9 et basé sur des impédances d’ordre entier n’est pas approprié pour décrire finement le comportement macroscopique complexe de l’accumulateur. Afin de modéliser correctement un accumulateur, le recours à l’utilisation des CPEs s’avère intéressant, et particulièrement pour modéliser l’effet de couche double et du film de passivation. C’est pourquoi le modèle de Randles généralisé (Figure 1-121-12) consistant à introduire dans le circuit classique deux de ces termes, CPEf et CPEdj, a été proposé dans K.DONG [18] pour modéliser un accumulateur de type LiFePO4.

L’équation analytique de l’impédance totale de ce circuit où l’impédance de Warburg est négligée est donc finalement donnée par :

Za..lytique (f) = R + 2T[jLf +        Rf           +             Rtc         Equation 1-10

1 + R fTf (2T[if )Pf 1 + Rt~Tdi(2T[jf)Pdi

Le Tableau 1-2 récapitule l’ensemble des paramètres de ce modèle ainsi que les phénomènes que [18] a essayé de leur associer.

R             Résistance des électrodes, électrolytes et connexions

L              Inductance de connexions

Rf           Résistance du film de passivation

Tf,Pf      Paramètres du CPEf : effet du film de passivation

 Rtc        Résistance de transfert de charge

Tdi,pdi  Paramètres du CPEd, : effet de la double couche

Le simulateur associé (Annexe C), développé sous Matlab/Simulink à l’INES4 [18][20][48], a montré de bonnes performances lors d’expérimentations menées sur des accumulateurs graphite LiFePO4 de la compagnie A123 Systems Ltd, de capacité nominale 2,3 Ah et de tension nominale de 3,3V (cf. Annexe B). Le modèle présenté ici sera donc celui utilisé dans la suite de ce mémoire, et le simulateur correspondant sera utilisé pour la réalisation des études en simulations, préliminaires à la phase expérimentale.

Circuit électrique équivalent et notion d’impédance électrique

La validité des CEEs précédents est basée sur les hypothèses suivantes :

— Un CEE est défini et valable uniquement autour d’un point de fonctionnement donné.

— L’amplitude des fluctuations de courant à l’entrée de l’accumulateur reste faible. Par conséquent, l’accumulateur modélisé autour du point de fonctionnement choisi peut être considéré comme linéaire.

— Sous les hypothèses précédentes et pour un point de fonctionnement fixe, l’accumulateur peut être considéré comme un système linéaire et invariant dans le temps (LIT) pour lequel les notions de fonction de transfert et de réponse fréquentielle sont parfaitement définies, comme il est montré dans le chapitre suivant.

— Dans ce cas, l’impédance électrique définie par l’Equation 1-10 correspond à la réponse fréquentielle du système LIT constitué par l’accumulateur au point de fonctionnement fixe considéré, dont l’entrée est le courant parcourant cet accumulateur, et la sortie la tension à ses bornes.

Cette impédance dépend des différents éléments du CEE choisi et contient donc la majeure partie de l’information liée aux phénomènes physiques qui prennent place dans l’accumulateur. Elle est donc importante à calculer pour sa caractérisation et/ou sa surveillance. C’est sur cette dernière remarque que repose la démarche suivie dans les chapitres suivants.


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