Cours electricite sur la somme des signaux alternatifs
Cours électricité sur la somme des signaux alternatifs
- POURQUOI ET COMMENT ?
Les fonctions alternatives sinusoïdales sont très présentes dans le monde des électriciens et des électroniciens. On les rencontre dans la distribution de l’énergie électrique et dans les moteurs électriques mais aussi dans de multiples domaines de l’électronique et du traitement de signal.
Prérequis :
Quelques éléments de trigonométrie.
La notion de vecteur et de somme vectorielle.
La notion de complexe et de somme de complexes.
Objectifs :
Ce chapitre présente plusieurs méthodes pour faire la somme de fonctions alternatives sinusoïdales (par exemple pour appliquer une loi des mailles ou une loi des nœuds).
Méthode de travail :
Dans l’imaginaire de nombreux apprenants, un savoir est d’autant plus sérieux qu’il est « mathématique ». Dans ce chapitre, nous essaierons de nous convaincre qu’un savoir est d’autant plus intéressant qu’il est efficace pour résoudre un problème.
L’utilisation des vecteurs de Fresnel en est un bon exemple…Si quelques traits à main levée permettent d’avoir une bonne approximation du résultat recherché, pourquoi s’en priver avant d’effectuer éventuellement un calcul plus précis à la calculette ou avec des moyens informatiques!
Travail en autonomie :
Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont données en fin de document.
Corrigés en ligne :
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SOMME DE FONCTIONS ALTERNATIVES SINUSOÏDALES DE MEME FREQUENCE.
En électricité, il est fréquent de devoir faire la somme de fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence.
On veut par exemple calculer v(t) ci-contre sachant que
v1( t ) = Vˆ
.cos(w .t + j1 )
et v2
( t ) = Vˆ2
.cos( w .t + j 2 )
Avec les amplitudes Vˆ1 = constante et Vˆ2 = constante ; la pulsation commune w = constante ;
les phases à l’origine j1 = constante et j2 = constante
Somme en utilisant les expressions analytiques.
Soit v( t ) = v1( t ) + v2 ( t ) = V1.cos(w.t + j1 ) + Vˆ2 .cos(w.t + j 2 )
Þ v( t ) = Vˆ1 .[cos(w.t ).cos(j1 ) - sin( w.t ).sin( j1 )] + Vˆ2 .[cos(w.t ).cos(j2 ) - sin( w.t ).sin( j2 )]
Þ v( t ) = [Vˆ1 .cos(j1 ) + Vˆ2 .cos(j2 )]cos(w.t ) - [Vˆ1 .sin( j1 ) + Vˆ2 .sin( j2 )]sin( w.t )
Posons: [V$1 .cos(j1 ) + V$2 .cos(j2 )] = A et [V$1 .sin( j1 ) + V$2 .sin( j2 )] = B
…
v(t) est une fonction alternative sinusoïdale de même fréquence que v1(t) et v2(t).
Cette façon de calculer est longue, nous ne l’utiliserons jamais !
- Somme point par point en utilisant les représentations graphiques ou par tableau de points.
C’est la façon dont travaille un oscilloscope ou certains logiciels; mais ce n’est pas très pratique lorsqu’il faut le faire à la main...
Somme en utilisant les vecteurs de Fresnel.
Soit à calculer la somme de deux fonctions alternatives sinusoïdales de même pulsation :
v(t) = v1(t) + v2 (t) .
Avec v1(t) = Vˆ .cos(w.t + j1) et
v2 (t) = ˆ .cos(w.t + j 2 ) .
On sait que cette somme est une fonction alternative sinusoïdale de même pulsation (voir § précédent):
v(t) = Vˆ.cos(w.t + j ) avec Vˆ et j à calculer.
Si on représente les vecteurs de Fresnel V1 et V2 associés à v1(t)
et à v2 (t) , On constate que la
projection du vecteur V1 + V2 sur l’axe ox est égale à :
Vˆ .cos(w.t + j1) + Vˆ
cos(w.t + j 2 )
donc à
v(t) = Vˆ.cos(w.t + j ) .
r r
Donc la somme des vecteurs de Fresnel V1 et V2 associés à v1(t) et v2(t) est le vecteur de Fresnel
V associé à v(t):
Les trois vecteurs de Fresnel tournent à la même vitesse angulaire w.
Þ L'ensemble est donc indéformable au cours du temps. On peut le tracer à un instant quelconque et en déduire l’amplitude de la somme et son déphasage par rapport à
0 x ou à v2 (t) .
v1(t)
V' = V1 – V2
On peut de même démontrer que si v' ( t ) = v1( t ) - v2 ( t )
(avec
V1 v1(t) et v2 (t) de même fréquence), alors V' =V1 - V2 .
– V2
V' = V1 – V2
Ces conclusions peuvent être étendues à un nombre quelconque de fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence:
Par exemple:
v(t) = v1(t) + v2(t) – v3(t) + v4(t) Û V = V1 + V2 – V3 + V4
Remarque : Seuls nous importent le module et la position angulaire des vecteurs. (La localisation
du vecteur
V' =V1 - V2
sur la page est sans importance).
Résumé de la méthode pour déterminer v(t) = v1(t) + v2(t) par les vecteurs de Fresnel:
Pour un instant quelconque, associer des vecteurs de Fresnel
V1 et V2 à v1(t) et à v2 (t) .
En déduire le vecteur de Fresnel V = V1 + V2 .
En déduire l’amplitude de v(t) et son déphasage par rapport à
v1(t) ou v2 (t) .
On fait de même pour une différence.
Cette méthode est plus pratique que la précédente, mais sa précision dépend de la qualité du dessin.
En général, nous n’utiliserons cette méthode que pour obtenir un ordre de grandeur de la somme. Le calcul précis se fera à la calculatrice par la méthode des complexes (ci-après).
Exemple N°1: v1( t ) = 3.cos( wt ) , v2 ( t ) = 4.sin( wt ) . Uniquement par un diagramme de Fresnel (1) à main levée, déterminer approximativement v(t) = v1(t) + v2(t).
Exemple N°2 :
Par un diagramme de Fresnel (2) à main levée, déterminer approximativement l’amplitude de u(t) = u1(t) + u2(t) et l’ordre de grandeur de son déphasage par rapport à u1(t). Représenter ensuite le graphe de u(t).
5 u1(t)
u2(t)
Faire de même avec w(t) = u1(t) - u2(t).
Somme en utilisant les complexes.
La maîtrise de l’outil mathématique est supposée acquise.
Soit v(t) = v1(t) + v2(t) avec v1 ( t ) = V$1 .cos( wt + j 1 ) et v2 ( t ) = V$2 .cos( wt + j 2 )
En utilisant les formules d’Euler:
v1 ( t ) = V$1 .
j( wt + j 1 ) + e - j( wt + j 1 )
et v2 ( t ) = V$2 .
j( wt + j 2 ) + e - j( wt + j 2 )
+ V$ .e
j j 2 .e
j wt + V$ .e - j j 1 .e - j wt + V$ .e - j j 2 .e - j wt ]
Þv( t ) =
.[(Vˆ1 .e jj1 + Vˆ2 .e jj2 ).e jwt + (Vˆ1 .e - jj1 + Vˆ2 .e - jj2 ).e - jwt ]
La somme (Vˆ1 .e jj1
|
+ Vˆ2 .e jj2 ) est égale à un complexe qu’on peut calculer
Soit Vˆ .e jj
le résultat de cette somme :
De même Vˆ1 .e - jj1 + Vˆ2 .e - jj2 = Vˆ .e - jj (Car la somme des conjugués est égale au conjugué de la somme)
Þv( t ) = 1 .[Vˆ .e jj.e jwt + Vˆ .e - jj.e - jwt ] = 1 .[Vˆ .e j( wt + j) + Vˆ .e - j( wt + j) ]
(2) diagramme de Fresnel = ensemble de vecteurs de Fresnel associés à une situation donnée.
|
Pour une fréquence (et donc une pulsation w) donnée, on constate que dans la démonstration
ˆ ˆ ˆ 1 2 précédente, seuls
V1, V2 , V , j , j et j sont variables. On peut donc tout oublier de la
|
démonstration précédente pour ne retenir que
On en déduit donc qu’il suffit de prendre en compte les complexes Vˆ1 .e jj1
v1(t) et v2(t) pour t = 0.
En calculant la somme, on trouve ainsi les valeurs de Vˆ
v( t ) = Vˆ .cos(w .t + j ) . et de j dont on peut déduire
Résumé de la méthode pour déterminer v(t) = v1(t) + v2(t) par les complexes:
Associer des complexes à v1(t) et à
v2 (t) à l’instant t = 0. En déduire le complexe V = V 1 + V 2 = Vˆ .e
Fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence
Complexes associés à t = 0
En déduire l’amplitude Vˆ de v(t) et sa phase j à t = 0.
En déduire v(t).
Cette méthode est bien adaptée à l’usage de la calculette ou d’un logiciel de calcul mathématique. Elle donne des résultats précis.
Mais qui dit calculette dit risque d’erreur de frappe, aussi est-il conseillé, avant tout calcul, de représenter un diagramme de Fresnel (à main levée).
Pour éviter de confondre les fonctions alternatives sinusoïdales avec leur complexe associé (à t = 0), on écrira les fonctions en noir ou en bleu, et les complexes en vert ou en rouge.
Exemple: v1( t ) = 3.cos( wt ) , v2 ( t ) = 4.sin( wt ) . Calculer v(t) = v1(t) + v2(t) par les complexes (en respectant les couleurs ci-dessus). Comparer le résultat à celui de l’exemple N°1 du paragraphe
Faire de même pour v’(t) = v1(t) - v2(t).
Remarque :
5 v1(t)
Pour déterminer la somme v(t) = v1(t) + v2(t) lorsque l’instant origine (t = 0) n’est pas imposé (par exemple lors d’un relevé à l’oscilloscope), il est intéressant de choisir l’une des fonctions alternative sinusoïdale comme « référence » par exemple t = 0 peut être choisi tel que
(t) = Vˆ .cos(wt) . Dans ce cas
j1 = 0
et donc
t j 2 et j sont les déphasages de v2 (t)
et de v(t) v2(t)
par rapport à v1(t) .
En conclusion, on constate dans cet exemple que le calcul de Vˆ et de j ne nécessite pas de se référer au temps. Il suffit de choisir une des grandeurs alternatives sinusoïdales comme référence.
PROBLEMES ET EXERCICES
Chap 4. Exercice 1 : Somme par les diagrammes de Fresnel.
Par un diagramme de Fresnel à main levée, déterminer approximativement l’amplitude
2 de u(t) = u1(t) + u2(t) et l’ordre de grandeur
de son déphasage par rapport à u1(t).
0 Représenter ensuite le graphe de u(t).
Chap 4. Exercice 2 : Différence par les diagrammes de Fresnel.
Par un diagramme de Fresnel à main levée, déterminer approximativement l’amplitude de v(q) = v1(q) - v2(q) et l’ordre de grandeur de son déphasage par rapport à v1(q). Représenter ensuite le graphe de v(q).
Remarque : Que la variable s’appelle q ou t ne change rien.
Chap 4. Exercice 3 : Loi des branches
Soient trois dipôles en série soumis à des tensions alternatives sinusoïdales de même fréquence:
v1( t ) = 50.cos⎛w .t + p ⎞ ;
v2( t ) = 25.sin(w .t ) ;
v3( t ) = 10.sin(w .t + 0 ,8) .
A l’aide d’un diagramme de Fresnel à main levée, donner une estimation de v(t).
En utilisant les complexes et la calculatrice, calculer v(t).
Chap 4. Exercice 4 : Loi des nœuds
Soient quatre conducteurs reliés entre eux et parcourus par des courants alternatifs sinusoïdaux de même fréquence:
i2( t ) = 10.cos(w .t ) ; i3( t ) = 15.sin⎛w .t + p ⎞ ; i4( t ) = - 12.cos(w .t ) .
A l’aide d’un diagramme de Fresnel à main levée, donner une estimation de i1(t).
En utilisant les complexes et la calculatrice, calculer i1(t).
Chap 4. Exercice 5 : Loi des mailles
Dans l'ensemble d'un montage électrique, on considère la maille ci-contre.
v1( t ) = 12.cos(w .t ) ; v2( t ) = 12.cos⎛ w .t + p ⎞
et v3( t ) = - 11.cos⎛ w .t + p ⎞
A l’aide d’un diagramme de Fresnel à main levée, donner une estimation de v4 (t) .
En utilisant les complexes et la calculatrice, calculer v4 (t) .
Chap 4. Exercice 6 : Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées
Une ligne électrique triphasée est
- constituée de quatre conducteurs numérotés 1, 2, 3 et N. Elle est
- alimentée par trois sources de tensions alternatives sinusoïdales: v1, v2 et v3 de même fréquence : 50 Hz.
N On a relevé avec un oscilloscope les graphes de v1(t), v2(t) et v3(t):
…
à un instant
Exprimer V2 et V3 en prenant V1 comme référence (On dit aussi que v1 est « origine des phases »).
(On prend donc V1 = 220
- j0 ) et en déduire les complexesU12 , U 23
et U 31 .
Représenter ci dessus u12(t), u23(t) et u31(t).
4 CE QUE J’AI RETENU DU CHAPITRE « LA SOMME DES SIGNAUX ALTERNATIFS SINUSOÏDAUX DE MEME FREQUENCE».
* Décrire la façon de faire la somme ou la différence de deux fonctions alternatives sinusoïdales en utilisant les vecteurs de Fresnel.
* Décrire la façon de faire la somme ou la différence de deux fonctions alternatives sinusoïdales en utilisant les complexes.
* Si les fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence sont données sous forme analytique, rédiger la méthode permettant d’obtenir la somme ou la différence de ces fonctions.
* Si les fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence sont données sous forme graphique, rédiger la méthode permettant d’obtenir la somme ou la différence de ces fonctions.
* Si les fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence sont données sous forme de vecteurs de Fresnel ou de complexes, on obtient la somme ou la différence de ces fonctions sous la même forme, puis on en déduit son amplitude et son déphasage par rapport aux autres fonctions.
5 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS.
Réponse 1:
v1( t ) = 3.cos(w .t ) ;
v ( t ) = 4.cos⎛w .t - p ⎞
V1 (3)
-50°
v( t ) » 5 cos(w .t - "50°" )
(Pour ne pas confondre degrés et radians, nous
avons choisi de mettre les grandeurs en degrés entre guillemets) ou
v( t ) » 5 cos(w .t - 0,9)
Réponse 2:
u2 ( t ) est déphasé de + 4
par rapport à u1( t )
Les vecteurs de Fresnel peuvent être représentés à un instant quelconque.
u(t) » 6,5 cos(w.t + "10°")
ou u(t) » 6,5 cos(w.t + 0,2)
, w(t) » 4 cos(w.t - "20°").
…
= 5.e - j" 53,1°"
Û v( t ) = 5.cos(w .t - 0,93)
+ j0,93
+ j" 53,1°"
v' ( t ) = v1( t ) - v2 ( t ) Û V' = V1 - V2 = 3.e - 4.e
= 3 + 4 j = 5.e
= 5.e
Û v' ( t ) = 5.cos(w .t + 0,93) .
Réponse 4:
j0 j
V1 = 5.e , V2 = 2.e 4 .
j0,217
j"12,4°"
v( t ) = v1( t ) + v2 ( t ) Û V = V1 + V2 = 5.e + 2.e
= 6 ,57.e
= 6 ,57.e
v( t ) = 6 ,57.cos(w .t + 0,217 )
Comparer au résultat approximatif obtenu par un diagramme de Fresnel à main levée...
Réponse 5:
- Mettre les fonctions à sommer sous la forme
j quelconque
V$ .cos( w .t + j )
avec
Vˆ > 0 , w > 0 et
- Tracer (à main levée) les vecteurs de Fresnel associés à ces fonctions (par exemple à t = 0).
- Représenter le vecteur somme (ou le vecteur différence).
- Si la démarche précédente n’est pas assez précise, effectuer la même démarche en utilisant les complexes et la calculette (attention aux couleurs utilisées pour l’écriture) (4). Le résultat du calcul doit confirmer le résultat approximatif déterminé à l’aide des vecteurs de Fresnel.
- Connaissant la somme (ou la différence) vectorielle ou complexe, revenir à l’expression analytique (avec la couleur d’écriture associée aux fonctions du temps).
Réponse 6:
- Choisir une des fonctions alternatives sinusoïdales comme référence.
- Tracer (à main levée) le vecteur de Fresnel associés à cette fonction référence, puis les vecteurs de Fresnel associés aux autres fonctions à sommer. (Les modules et les déphasages par rapport à la référence doivent être cohérents avec les fonctions considérées).
- Représenter le vecteur somme (ou le vecteur différence).
- Si la démarche précédente n’est pas assez précise, effectuer la même démarche en utilisant les complexes et la calculette (attention aux couleurs utilisées pour l’écriture). Le résultat du calcul doit confirmer le résultat approximatif déterminé à l’aide des vecteurs de Fresnel.
- Connaissant la somme (ou la différence) vectorielle ou complexe, en déduire l’amplitude et le déphasage de la fonction somme (ou différence) par rapport à la référence.
(3) On aurait pu prendre une autre convention (par exemple en sinus).
(4) Cette insistance sur les couleurs peut paraître ridicule. Elle a pourtant fait ses preuves pendant de nombreuses années d’enseignement.