Cours electricite loi de kirchhoff
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Réseaux de Kirchhoff3
Les réseaux électriques sont constitués par l’interconnexion d’éléments appelés dipôles. Ceux-ci sont définis en exprimant la relation liant la tension à leurs bornes au courant les traversant. On distingue une catégorie d’éléments fondamentaux régis par des relations linéaires. Ces dipôles linéaires sont décrits dans cette partie.
Pour d’autres, le courant et la tension sont attachés par une relation non linéaire (faisant intervenir des fonctions mathématiques plus pour moins complexes). Les évaluations sont délicates à effectuer par les lois de base classiques de l’électrocinétique. Il faut en effet avoir recours à des méthodes numériques sur calculateur, ce qui les écarte de notre étude.
II.1. Les éléments de base
Les éléments disposent d’un nombre fini de bornes destinées à établir les connexions : 2 bornes pour un dipôle, 4 bornes pour un quadripôle et n bornes pour un multipôle. Chacune des bornes est soumise à un potentiel tandis qu’elle véhicule un courant (entrant ou sortant). Ces deux grandeurs électriques sont des fonctions réelles du temps (voir §I.1.1et §I.1.2 pour les notations et définitions).
Dans un multipôle, la conservation de la charge électrique impose que la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants. Les tensions et les courants ont un sens choisi conventionnellement au début de l’étude et invariant par la suite. Le plus généralement, on choisit la convention récepteur, mais la convention inverse est communément utilisée pour les sources de tension (Figure 6).
II.1.1. La résistance
Définitions et notations
Le symbole et les notations associées en convention récepteur sont indiquées sur la Figure 7.
Loi de fonctionnement (loi d’Ohm4) : u(t) R Ei(t)
Dans cette relation, R est la résistance électrique en ohms (), u et i sont exprimés respectivement en volts (V) et en ampères (A),
En échangeant la tension et le courant, on obtient la relation :
Relation dans laquelle la grandeur G ( G R ) est la conductance exprimée en siemens5 (S).
3 D’après Gustav , physicien allemand (1824-1887).
Kirchhoff
4 D’après Georg Ohm , physicien allemand (1789-1854).
5 D’après Werner Von , ingénieur et industriel allemand (1816-1892) et/ou son frère Wilhelm Von
Siemens Siemens,
ingénieur et industriel britannique d’origine allemande (1823-1883).
Propriétés
q Si R est constante, on dit que la résistance est linéaire. Dans le cas contraire, la résistance est non linéaire. La représentation graphique i = f(u) est la caractéristique tension-courant de la résistance.
q La loi d’Ohm est aisément illustrée par l’homothétie des tracés temporels indiqués sur la Figure 8. Dans la pratique ceci peut être observé sur l’écran d’un oscilloscope.
Figure 8 : illustration pratique de la loi d'Ohm.
Remarques (pour se souvenir des symboles) :
q générateur de tension, résistance interne faible, le trait traverse (conducteur R nulle).
q générateur de courant, résistance interne élevée, trait interrompu (circuit ouvert).
On dit que le générateur de tension est éteint lorsqu’il est réduit à une tension identiquement nulle (équivalent à un conducteur). Pour le générateur de courant, il est éteint si le courant est identiquement nul (circuit ouvert).
II.1.3. Sources dépendantes
Sources de tension (Figure 13)
La tension délivrée u(t) est dépendante de la tension ou du courant d’un autre élément du réseau :
uem (t) 0 Cas' (t) ou uem (t) O C3' (t)
La relation de dépendance est notée à coté du symbole de la source.
Sources de courant (Figure 14)
Le courant délivré i(t) est dépendant de la tension ou du courant d’un autre élément du réseau :
iem (t) =δ ⋅i' (t) ou iem (t) = ε⋅u' (t)
II.1.4. Condensateur
Définitions et notations
Le symbole et les notations associées en convention récepteur sont indiquées sur la Figure 15.
Dans cette relation, C est la capacité du condensateur en farads6 (F), indépendante du temps. Remarque : démonstration
q(t) = C ⋅u(t) (électrostatique) et
Propriété essentielle
En exprimant la tension aux bornes du condensateur
1r
u(t) = u(0) +C li(x) d x ,
on remarque que la tension est définie par une intégrale fonction de la borne supérieure (t). C’est un résultat de mathématique qui permet de conclure que la tension u(t) est une fonction continue du temps.
On n’observe jamais de discontinuité de tension aux bornes d’un condensateur.
6 D’après Mickael , physicien anglais (1791-1867).
Faraday
II.1.5. Inductance
Définitions et notations
Le symbole et les notations associées en convention récepteur sont indiquées sur la Figure 15.
Dans cette relation, L est l’inductance du dipôle inductance exprimée en henrys7 (H), indépendante du temps.
rimant le courant dans l’inductance on remarque que l’expression, définie elle aussi par une intégrale fonction de la borne supérieure, permet de conclure que le courant dans l’inductance i(t) est une fonction continue du temps.
On n’observe jamais de discontinuité du courant traversant une inductance.
II.2. Règles de connexion
Après les avoir définis, les différents éléments sont assemblés au sein de réseaux. Ils sont composés de branches orientées reliant deux points appelés nœuds. Si les branches sont adjacentes (à la queue leu leu), on est en présence d’un chemin. Si deux chemins disjoints de mêmes extrémités sont reliés, on obtient une maille (ou cycle). Toutes ces définitions sont illustrées dans l’exemple de la Figure 19.
7 D’après Joseph Henry, ingénieur et physicien américain (1797-1878).
Lois générales de l'électrocinétique
Le réseau de la Figure 19 est un graphe dans lequel on distingue :
11 6 noeuds, de A, B, C, D, E et F ;
11 m0 branches, numérotées de 1 à 10 ;
11 0, 2, 3) est un chemin délimité par C et D.
11 0, 6, 5, 1, 3) est une maille.
Dans la pratique les branches abritent un assemblage d’éléments décrits au §II.1.
II.3. Loi des nœuds et loi des mailles
Pour mettre en équation le réseau définit précédemment afin de rechercher les grandeurs électriques inconnues parmi tous les courants et les tensions, il faut rechercher les relations attachées à l’interconneÀon des éléments. Pour y parvenir, on traduit la conservation des charges électriques lorsqu’un nœud est atteint, c’est la loi des nœuds relative aux courants dans les branches. Pour les tensions, il faut traduire que le potentiel nul en un nœud annule la somme des tensions prise sur une maille passant par ce nœud, c’est la loi des mailles pour les tensions.
II.3.1. Loi des nœuds
La somme algébrique des courants circulants dans les branches adjacentes à un nœud est nulle. On peut dire aussi que la somme algébrique des k courants entrants dans un nœud est égale à la somme des l courants sortants (ceci signifie que toutes les charges apportées sont extraites).
∑ Mh ik ∑il
l
11 11~ ~~
II.3.2.Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant une maille dans un sens prédéfini est nulle.
II.4. Méthodologie d’étude et exemple II.4.1. Méthodologie
De manière appliquée, pour effectuer la mise en équation puis la résolution d’un circuit électrique, on peut utiliser la démarche suivante :
q un pour les aspects topologiques (organisation du réseau) : (n-1) lois des noeuds sont nécessaires pour n noeuds recensés et (m-1) lois de mailles sont nécessaires pour m mailles indépendantes recensées (une maille est indépendante si elle n’est pas une combinaison des autres),
q un second pour les relations attachées à chaque élément utilisé.
Remarque :
Cette méthode apparaît très fastidieuse, mais elle offre l’avantage de donner les moyens de mettre en équation et résoudre un réseau électrique. Elle ne constitue qu’une étape transitoire qui s’effacera avec l’expérience. Peu à peu, un ensemble de techniques permettant de franchir les étapes plus rapidement se développe au point de s’affranchir des aspects lourds et fastidieux.
Pour mettre en œuvre cette démarche, intéressons-nous à l’exemple du §II.4.2.
II.4.2. Exemple : circuit simple à sept éléments
Dans le circuit de la Figure 20, toutes grandeurs électriques sont permanentes, c'est-à-dire qu’elles ne sont pas modifiées au cours du temps. On les note alors en lettres majuscules. Les éléments (résistances et sources) sont complètement connus.
On cherche à évaluer l’expression du courant I dans la dernière résistance R.
Identification des différentes grandeurs (tensions et courants)
Identification de la topologie du réseau
Mise en équation
11 11 1 loi des nœuds : I1 I2 I3 I ;
11113 lois des mailles : U E1 R1 I1 ; U E2 R2 I2 ; U E3 R3 I3 (E3 libre).
Résolution
Exprimer le courant dans chaque branche à l’aide des trois lois des mailles puis remplacer dans la loi des nœuds pour extraire le courant dans la résistance R :
III. Description énergétique des circuits électriques III.1. Définitions
Un dipôle est traversé par un courant i(f) et soumis à la tension u(f) notés en convention récepteur.
Puissance
La puissance électrique instantanée absorbée par ce dipôle s’exprime par :
p(t) = u(t)[i(t)
La puissance s’exprime en watts8, W
Energie
L’énergie présente dans le dipôle à l’instant f s’exprime par :
w(t) w(0) ilfp(x)dx
où w(0) est l’énergie initiale (et sous réserve que p(f) soit intégrable). L’énergie s’exprime en joules9, J
III.2. Remarques
De par sa définition sous une forme intégrale, l’énergie est une fonction continue du temps.
On n’observe jamais de discontinuité d’énergie électrique dans un dipôle.
Cette remarque est valable pour tous les phénomènes physiques de l’univers.
La puissance peut aussi s’exprimer comme la dérivée de l’énergie :
Une puissance positive signifie que le dipôle « reçoit » de l’énergie car elle augmente (dérivée >0).
En respectant la convention de signe établie :
q l’élément est passif si w(f) est positive ou nulle (dissipation énergétique),
q l’élément est actif sinon (l’énergie provient de sources internes au dipôle).
III.3. Expression de la puissance et de l’énergie pour les dipôles élémentaires
Puissance Energie
Pour ces éléments, on remarque que l’énergie est toujours positive. Cette propriété est caractéristique des éléments passifs.
La résistance tient une place particulière car sa puissance est toujours positive, elle ne peut la restituer, on dit que c’est un élément dissipatif (c’est le phénomène irréversible appelé effet Joule).
8 D’après James Watt, ingénieur écossais (1736-1819).
9 D’après James Joule, physicien anglais (1818-1889).
La puissance dans le condensateur et l’inductance peut être positive ou négative : ces deux éléments peuvent emmagasiner et restituer de l’énergie. On dit que ces éléments sont réactifs (ils peuvent restituer l’énergie emmagasinée).
III.4. Lois de Kirchhoff au sens énergétique
Loi des nœuds
En exprimant la loi des nœuds sous forme énergétique, le potentiel du nœud ne variant pas, alors la puissance pénétrant par un nœud est identique à celle en sortant.
Loi des mailles
La somme des puissances observées en parcourant une maille est nulle.
Il en résulte que la somme des puissances absorbées par toutes les branches d’un réseau est identiquement nulle. D’autre part, l’énergie fournie par les sources du réseau n’est dissipée que par les éléments passifs.
Nous venons de décrire les réseaux de Kirchhoff et proposer en ensemble de méthodes offrant des outils de mise en équation des circuits pour exprimer les grandeurs inconnues.
Cet aspect essentiel nous garantit les fondements sur lesquels nous allons analyser les circuits en se référant, d’une part, à la nature des signaux issus des générateurs, mais aussi en tenant compte de leur évolution depuis leur naissance jusqu’à un temps où tous sont établis.
Nous allons mettre en évidence ces aspects sur un exemple élémentaire de circuit indiqué à la Figure 21.
Ce circuit RC série peut être mis sous tension à l’instant t = 0 par fermeture de l’interrupteur K.
Suivant la nature du signal délivré par le générateur de tension, comment la tension uS(t) aux bornes du condensateur va-t-elle évoluer ?
Cette question à l’apparente simplicité va trouver ses réponses au travers de différentes études.
Le condensateur est initialement déchargé (q(0) = 0), donc la tension uS(0) est nulle. K étant ouvert, le courant i est nul. Le circuit est alors au repos, c’est un état permanent.
Si la source délivre une tension continue (permanente), dès la fermeture de K, le courant peut eÀster et le condensateur absorber des charges. La tension uS(t) se met à croître. Dans ces conditions, la différence entre les deux tensions diminue et uS(t) se stabilise à la tension de la source. Pendant une période après l’instant initial, on observe un régime transitoire.
Une fois la stabilisation effective, un nouveau régime s’est établi, c’est le régime permanent (Figure 22).
Si le générateur délivre une tension sinusoïdale, il eÀste aussi un régime transitoire qui fini par laisser place au régime permanent. Bien entendu la forme des tensions n’est plus la même que dans le cas précédent.
Dès lors que l’on connaît la topologie du circuit, nous disposons des moyens pour le mettre en équation. Si la nature des signaux délivrés par les générateurs est connue, la mise en équations va nous conduire à un ensemble d’équations différentielles dont la résolution aboutit aux résultats évoqués un peu plus haut.
La résolution de l’équation sans second membre fournit une solution générale (SGESSM) décrivant le régime dit “libre”, c’est à dire le comportement (ou régime) transitoire. La solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) nous décrit les signaux lorsque le générateur aura réussi à s’imposer, à forcer, son régime, c’est le comportement (ou régime) permanent.
La suite du cours suivra donc le cheminement suivant :
q connaître les caractéristiques des signaux et en particuliers des signaux usuels ;
q caractériser le comportement transitoire de certains réseaux ;
q s’intéresser aux éléments soumis aux signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ;
q s’attacher au régime permanent pour des signaux sinusoïdaux de fréquence fixe ;
q généraliser l’étude des réseaux soumis à des signaux sinusoïdaux de fréquence variable.
