Problème à signaler:


Télécharger Cours complet en electricite



★★★★★★★★★★3.8 étoiles sur 5 basé sur 6 votes.
5 stars
3 votes
4 stars
1 votes
3 stars
1 votes
1 stars
1 votes

Votez ce document:



Cours complet en électricité

Introduction

Ce cours a pour but de présenter rapidement le plus large éventail possible des connaissances de base en électro-nique (analogique et numérique), électrotechnique, traitement et transport du signal.

– Le premier chapitre, à la lecture facultative, introduit la notion de transformée de Fourier et en établit les pro-priétés mathématiques ;

– Le deuxième chapitre aborde les notions de base des circuits électriques, et présente une approche plus(( empi-rique )) des définitions du chapitre précédent ;

– le chapitre suivant expose rapidement les principes de fonctionnement des semi-conducteurs, et présente suc-cintement transistors bipolaire et MOS ;

– Le quatrième regroupe sous le titre (( Systèmes analogiques)) des champs aussi divers que les notions de filtrage, de bruit dans les composants, de contreréaction, etc. ;

– Le chapitre suivant aborde les (( systèmes numériques)) : circuits de logique combinatoire ou séquentielle et quelques contraintes techniques liées au traitement numérique de l’information ;

–  Le sixième chapitre expose brièvement quelques modes de transport de l’information ;

– Le dernier introduit quelques concepts-clefs de l’électrotechnique et de l’électronique de puissance : transfor-mateur, systèmes polyphasés, machines électriques et conversion d’énergie ;

On trouvera en fin de polycopié quelques annexes et un index.

Chapitre 1

Quelques mathématiques...

1.1     Généralités sur les signaux

1.1.1    Introduction

Le concept de signal est extrêmement vaste :

–  le relevé en fonction du temps de l’actionnement d’un interrupteur ;

–  une émission radiophonique ou télévisée ;

–  une photographie...

... sont autant de signaux différents.

y                                         x                                          1.1

Un signal     dépend d’une variable  , sous la forme générale      :

= S(x)

avec y 2 Cm et x 2 Cn

On se limitera, sauf mention contraire, au cas où m = 1 et n = 1. Le cas le plus courant est celui où x est en fait le temps t. Nous considérerons donc à l’avenir que les signaux que nous allons étudier sont des fonctions det.

1.1.2    Les classes de signaux

Les signaux peuvent être classés en diverses catégories :

1.1.2.1    Temps continu et temps discret

– Dans le premier cas, le signal x est une fonction continue du temps t. Exemple :

1.1. Rappel : IN désigne l’ensemble desentiers naturels (0, 1, 2, ... 33, etc.), ZZ l’ensemble des entiers relatifs (-10, -4, 0, 1, etc.), Q l’ensemble des nombres rationnels (tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction),IR l’ensemble des nombres réels(tous les nombres rationnels, plus des nombres comme ¼;p2;e, etc.), et C l’ensemble des nombres complexes.

1.1.  GÉNÉRALITÉS SUR LES SIGNAUX

13

x(t) 6

-

Temps

FIG. 1.1 – Signal à temps continu

On notera souvent un tel signal sous la forme x(t), par exemple.

– Dans le deuxième, x n’est défini qu’en un ensemble dénombrable de points. Exemple :

x(t) 6

-

Temps

FIG. 1.2 – Signal à temps discret

On notera souvent un tel signal sous la forme x(n), par exemple. Ces points sont souvent répartis à des intervalles de temps réguliers.

1.1.2.2    Valeurs continues et valeurs discrètes

– Dans le premier cas, le signal x peut prendre toutes les valeurs possibles dans un ensemble de définition donné (exemple ] ¡ 1; +2[ ou C). Un tel signal est également appeléanalogique en référence à l’électronique.

– Dans le deuxième, le signal x ne peut prendre qu’un ensemble dénombrable de valeurs. Un tel signal est égale-ment appelénumériqueen référence à l’électronique.

Exemple :

x(t) 6

-

Temps

FIG. 1.3 – Signal à valeurs discrètes

Notez que les quatre combinaisons sont possibles : les figures 1.1, 1.2 et 1.3 donnent ainsi respectivement un exemple de signal analogique à temps continu, de signal analogique à temps discret, et de signal numérique à temps continu.

On se limitera dans la suite du chapitre aux signaux analogiques à temps continu. On peut passer d’un signal analogique à un signal numérique par échantillonnage: se reporter notamment au chapitre 5.4 pour plus de détails.

1.1.2.3    Période, fréquence

On parle également designaux périodiques: un signal x est dit périodique de périodeT , ou par anglicisme T - périodique, si pour tout instantt0x(t0 + T ) = x(t 0) : le signal se répète, identique à lui-même, au bout d’un intervalle de temps T .

On définit alors sa fréquencef 1.2 par

= T1

Une fréquence est l’inverse d’un temps, et s’exprime en Hertz (Hz).

1.1.3.2    Remarques

1. Pour un signal périodique, l’intégrale 1.1 ne converge pas. On peut néanmoins définir la puissance d’un signal T-périodique par :

¢  1

Z(T ) jx(t)j2dt

Px = T

  1. Il existe des signaux ni périodiques, ni d’énergie finie, pour lesquels la puissance ne peut être définie, comme par exemple la (( rampe )) x(t) = t.
  2. Il s’agit là de définitions mathématiques. En pratique, un signal mesuré ne l’estjamais sur un intervalle de

temps infini. Par exemple, on peut commencer à visualiser un signal à un instant qu’on prendra comme origine des temps, et dans ce cas on arrêtera son examen au bout d’un tempsTobs. Comme on ne sait pas ce que ce signal était avant qu’on ne l’observe, ni ce qu’il deviendra après, il serait présomptueux d’utiliser les bornes¡1 et +1 dans l’intégrale 1.1, et on se limitera donc à l’écrire sous la formeR0Tobs jx(t)j2dt. Remarquons d’ailleurs que cette dernière intégrale converge toujours.

Ce qu’il faut retenir

–  Les signaux peuvent être à valeurs discrètes ou continues ; à temps discret ou continu ;

1.2. Parfois notéeº (à prononcer (( nu ))).

¢

1.3. Le symbole = désigne une définition.

1.2.  LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

15

– La périoded’un signal est l’intervalle de temps au bout duquel il se répète identique à lui-même ; safréquence est l’inverse de la période ;

–  L’ énergied’un signal x à temps continu vaut :



¢

+1

Ex =

Z¡1 jx(t)j2dt

1.2     La Transformée de Fourier

1.2.1     Généralités

1.2.1.1    Introduction

Cet outil fut introduit pour la première fois par le physicien français Joseph Fourier, pour ses travaux sur la conduc-tion de la chaleur au XIXe siècle. Depuis lors, il a longuement été développé, et des extensions en ont été proposées.

Il existe plusieurs sortes de Transformées de Fourier, chacune adaptée aux classes de signaux qu’elle analyse, ou au type de signal qu’elle génère. On dénombre ainsi :

–  une transformée continue pour les signaux à temps continu : la Transformée de Fourier à proprement parler ;

–  une transformée continue pour les signaux à temps discret : la Transformée de Fourier à temps discret ;

– une transformée discrète pour les signaux périodiques à temps continu : le développement en série de Fourier, ou Transformée de Fourier au sens des distributions ;

–  une transformée discrète pour les signaux à temps discret : la Transformée de Fourier Discrète.

Nous allons nous limiter, pour l’établissement des propriétés, à la Transformée de Fourier continue des signaux à temps continu.

1.2.1.2    Définitions

R +1

1.  Transformée de Fourier :soit un signal x(t) à temps continu, tel que ¡1 jx(t)jdt converge 1.4. On définit alors la transformée de Fourierde x, notéeX(º) ou TF[x(t)], par :

¢

+1

X(º) =

Z¡1 x(t)e¡j2¼ºtdt

(1.3)

où j est tel que j2 = ¡1.5. La transformée de Fourier permet de mesurer le(( contenu fréquentiel)) d’un signal,

à savoir la manière dont on peut le décomposer en une somme de sinusoïdes de fréquencesº.

  1. Transformée de Fourier inverse :si de plus x est à énergie finie 1.6, cette relation est inversible en

x(t) = Z

+1

¡1 X(º)e+j2¼ºt

(1.4)

1.4.On dit alors que (( x 2 L1 )), ou que x est d’intégrale(( absolument convergente )).

1.5.On utilise la lettre j et non i comme en mathématiques pour désigner la racine carrée(( classique )) de -1 pour éviter la confusion avec le courant i en électricité.

1.6.Rappel : R¡1+1 jx(t)j2dt converge.

L’opération correspondante est appeléetransformation de Fourier inverse : elle permet de revenir au signal temporel x à partir de son contenu fréquentiel.

Ces deux définitions permettent de disposer de deux manières de définir complètement un signal qui satisfait aux conditions d’inversibilité de la transformée de Fourier. On peut le définir :

–  soit par sa représentation temporelle ;

–  soit par sa représentation fréquentielle.

Ces deux domaines sont souvent appelés(( duaux )) car leurs variables t et f sont liées parf = 1=t.

Spectre : on appelle spectre de x le module de la transformée de Fourier dex :

S(º) = jX(º)j

1.2.2    Propriétés

Pour toutes les démonstrations suivantes, les signauxx et y sont d’intégrales absolument convergentes. On notera indifféremmentX(º) ou T Fx(º) la transformée de Fourier du signalx.

1.2.2.1    Linéarité

Soient ¸ et ¹ deux nombres complexes quelconques. La linéarité de l’équation 1.3 entraîne facilement que :

TF(¸x + ¹y) = ¸TF(x) + ¹TF(y)

(1.5)

1.2.2.2    Décalage en temps/fréquence

Soit t0 un réel strictement positif. Calculons TF[x(t ¡ t0)] :

Z +1

TF[x(t ¡ t0)] =

x(t ¡ t0)e¡j2¼ºtdt

On effectue le changement de variable 1.7 u = t ¡ t0, et il vient :

+1

TF[x(t ¡ t0)] = Z¡1 x(u)e¡j2¼º(u+t0)du

D’où :

+1

TF[x(t ¡ t0)] = e¡2j¼ºt0

Z¡1 x(u)e¡j2¼ºudu

Et donc :

TF[x(t ¡ t0)] = e¡j2¼ºt0 X(º)

(1.6)

Par symétrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de même :

TF[e+j2¼º0tx(t)] = X(º ¡ º0)

(1.7)

1.7. Il faut vérifier son caractère C1, c’est-à-dire continu et dérivable, et également s’assurer qu’il soit strictement monotone.



1.2.  LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

1.2.2.3   Dérivation

On note x0(t) =dx=dt. Alors :

TF[x0(t)] = Z

+1

x0(t)e¡j2¼ºtdt

¡1

On effectue une intégration par parties1.8 en intégrant x’(t) et en dérivant l’exponentielle complexe. On obtient alors :

+1

TF[x0(t)] = [x(t)e¡j2¼ºt]¡1+1 + j2¼º Z¡1

x(t)e¡j2¼ºtdt

Comme x est, physiquement, nécessairement nul à §11.9  et que l’exponentielle complexe y reste bornée, le premier terme de la somme devient nul et donc :

TF[x0(t)] = j2¼ºX(º)

(1.8)

1.2.2.4    Dilatation en temps/fréquence

Soit ¸ un réel non nul. Calculons TF[x(¸t)] :

Z +1

TF[x(¸t)] =               x(¸t)e¡j2¼ºtdt

¡1

Remarque : si on applique la formule 1.10 en posant ¸ = ¡1, on obtient TF[x(¡t)] = X(¡º). On en déduit donc

que la parité de la Transformée de Fourier est la même que celle du signal original.

1.8. Rappel sur l’intégration par parties : Soientf et g deux fonctions dérivables et définies sur l’intervalle[a;b], dont les dérivées sont continues sur ]a;b[. Alors :

Z

f0

(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]ab

¡ Za

f(t)g0(t)dt

b

b

a

avec [f(t)g(t)]ab = f(b)g(b) ¡ f(a)g(a)

1.9.Un signal observéest toujours nul en ¡1 car il n’était alors pas encore observé, et nul en+1 car il ne l’est plus.

1.10.           cf. note 1.7.

1.2.2.5   Conjugaison complexe

On note x¤ le signal conjugué dex1.11. Calculons TF[x¤(t)] :

x(t)e+j2¼ºtdt

TF[x¤(t)] =

Z¡1

x¤(t)e¡j2¼ºtdt = µZ¡1

¤

+1

+1

Et donc :

TF[x¤(t)] = X¤(¡º)

(1.11)

Remarque : si x est un signal réel, alorsx(t) = x¤(t), donc X(º) = X¤(¡º). Si de plus x est pair (ou impair), alors x(t) = x(¡t) (respectivement x(t) = ¡x(¡t)) et en utilisant la remarque du paragraphe 1.2.2.4, il vient X¤(¡º) = X¤(º) (respectivement X¤(¡º) = ¡X¤(º)) d’où X(º) = X¤(º) et X est réelle (respectivement imaginaire pure). En définitive, on obtient le tableau récapitulatif suivant :

Signal x

Pair

Impair

Réel

réelle paire

imaginaire pure impaire

Imaginaire pur

imaginaire pure paire

réelle impaire

1.2.2.6   Convolution

Définition : Soient deux signaux x et y à valeurs continues et à temps continu. On définit le produit de convolution des deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par :

(1.12)

(x ¤ y)(t) =

Z¡1 x(µ)y(t ¡ µ)

¢

+1

On vérifie aisément que(x ¤ y)(t) = (y ¤ x)(t), c’est-à-dire que la convolution est commutative, et donc que :

+1

+1



Z¡1

x(µ)y(t ¡ µ)dµ = Z¡1 x(t ¡ µ)y(µ)

(1.13)

 

Transformée de Fourier: Calculons TF[(x ¤ y)(t)]...

Z +1 µZ +1

TF[(x ¤ y)(t)] = ¡1            ¡1

x(µ)y(t

¡

µ)dµ  e¡j2¼ºtdt

Ou :

+1

+1

TF[(x ¤ y)(t)] = Z¡1

Z¡1 x(µ)y(t ¡ µ)e¡j2¼ºtdµdt

On écrite¡j2¼ºt = e¡j2¼º(t¡µ)e¡j2¼ºµ et on obtient, en regroupant :

TF[(x ¤ y)(t)] = Z¡1 µZ

¡1

y(t ¡ µ)e¡j2¼º(t¡µ)dt x(µ)e¡j2¼ºµ

+1

+1

Dans l’intégrale centrale, on effectue le changement de variableu = t ¡ µ ; il vient alors :

TF[(x ¤ y)(t)] = Z¡1

µZ¡1 y(u)e¡j2¼ºudu

x(µ)e¡j2¼ºµ

+1

+1

On peut ensuite séparer les variables, et on obtient :

x(µ)e¡j2¼ºµdµ

TF[(x ¤ y)(t)] = µZ¡1

y(u)e¡j2¼ºudu¶ µZ¡1

+1

+1

1.11. Autrement dit, si on écritx(t) sous la forme x(t) = x1(t) + jx2(t), alors x¤(t) = x1(t) ¡ jx2(t).

1.2.  LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

19

Et donc :

TF[(x ¤ y)(t)] = X(º)Y (º)

(1.14)

Par symétrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de même :

TF[(x:y)(t)] = (X ¤ Y )(º)

(1.15)

La transformée de Fourier de la convolution de deux signaux est le produit de leurs transformées de Fourier, et la transformée de Fourier inverse d’une convolution de deux TF est le produit des deux transformées de Fourier inverses.

1.2.3     Représentation de Fourier des signaux d’énergie infinie

Les signaux d’énergie infinie sont ceux pour lesquels l’intégrale 1.1 ne converge pas.

1.2.3.1    Impulsion de Dirac

Définition : on introduit ±(t), notéimpulsion de Dirac 1.12, défini par sa transformée de Fourier, tel que :

¢

(1.16)

TF[±(t)] = 1l

où 1l désigne la fonction uniformément égale à 1 surIR.

Plus (( physiquement ))± est la limite quand T ! 0 du signal suivant :

6                                   6

6

61/T

-T/2          T/2

FIG. 1.4 – Construction d’une impulsion de Dirac

On représente graphiquement cette impulsion ainsi :

±(t) 6±(t ¡ t0)

6  6

-

t0   Temps

FIG. 1.5 – Représentation schématique d’une impulsion de Dirac

1.12. On dit parfois aussi (( pic )) de Dirac.

Propriétés soitx un signal à temps continu, d’énergie finie.

  1. Calculons TF[x(t)±(t)] : il s’agit de la transformée de Fourier d’un produit, donc en appliquant la formule 1.15, le résultat est la convolution des deux transformées de Fourier :

TF[x(t)±(t)] =

Z¡1

X(º0)1l(º ¡ º0)0 =

Z¡1

X(º0)0

On écrit1 = e+j2¼º00, et on obtient :

Z¡1



X(º0)e+j2¼º000

TF[x(t)±(t)] =

Or le membre de droite n’est autre que la valeur prise par x(t) en t = 0 (cf. définition 1.4 de la transformée de Fourier inverse). Il vient donc :

TF[x(t)±(t)](º) = x(0)

(1.17)

L’impulsion de Dirac est donc l’élément neutre de la convolution.

3. La définition 1.16 se traduit par :

+1

Z¡1 e+j2¼ºtdº = ±(t)

mais également par symétrie entre les relations 1.3 et 1.4, par :

Z +1

e¡j2¼ºtdt = ±(º)

(1.20)

¡1

4. Impulsion de Dirac et échelon de Heaviside. L’échelon de Heaviside est défini comme suit :

u(t) = 0 pour t < 0

: u(t) = 1 pour t ¸ 1

1

0

t

FIG. 1.6 – Échelon de Heaviside

Soient

a

et

b

b

Ra

0

b

deux réels non nuls,b > a. Calculons I =

u

(t)x(t)dt :

Za

u0(t)x(t)dt = [u(t)x(t)]ab ¡ Za

u(t)x0(t)dt

en utilisant une intégration par parties (cf. note 1.8). Trois cas se présentent alors :

(a)  a > 0 et b > 0 : alors u(b) = u(a) = 1, et

= u(b)x(b) ¡ u(a)x(a) ¡ (x(b) ¡ x(a)) = 0

1.2.  LA TRANSFORMÉE DE FOURIER

21

(b)  a < 0 et b < 0 : alors u(b) = u(a) = 0, et

b

= 0 ¡ 0 +          0:x(t)dt = 0

a

(c)  a < 0 et b > 0 : alors u(b) = 1 et u(a) = 0, et

b

= x(b) ¡           x0(t)dt = x(b) ¡ (x(b) ¡ x(0)) = x(0)

0

Cette relation devant être vérifiée quels que soienta et b, on obtient :

Z +1

u0(t)x(t)dt = x(0)

¡1

En comparant avec la relation 1.18, et ces égalités devant être vérifiées quel que soit le signalx, il vient donc que

u0(t) = ±(t)

(1.21)

La dérivée de l’échelon de Heaviside est l’impulsion de Dirac.

1.2.3.2    Spectre des signaux périodiques

Soit x(t) un signal à temps continu, de période T. On admet que x est (( développable en série de Fourier)) sous la forme

En admettant la validité de la permutation des symboles de somme et d’intégration, on obtient :

X(º) = n ZZ xn µZ¡1

ej2¼n T e¡j2¼ºtdt = n

ZZ xn µZ¡1 ej2¼T ¡º)tdt

X

+1

t

X

+1

n

2

2

Or la relation 1.20 donne R¡1+1 ej2¼Tn ¡º)tdt = ± ¡º ¡ Tn ¢ donc :

n

X

³º ¡

´

X(º) = n2ZZ xn±



(1.24)


Exemple : cas d’un signal carré.

On considère le signal T -périodiquex(t) tel que :

½

x(t)

=

1

pour ¡ T =4

< t < +T =4

x(t)

=

0

pour + T =4

< jtj < T

x(t)

¡T =4       +T =4                    t

FIG. 1.7 – Exemple de signal carré

On a alors

+T =4

e¡j2¼n Tt dt = j¡2¼n1 (e¡jn¼=2 ¡ e+jn¼=2) = ¼n1 sin n ¼2

xn = T1 Z(T ) x(t)e¡j2¼n Tt dt = T1 Z¡T =4

En remarquant que seuls les termes d’ordre n impair sont non nuls, et en écrivant dans ce casn = 2k + 1, on obtient

X(º) =

1

X

(¡1)k

±  º

n

´

¼ k2<



1582