Serie d’exercices avec correction en electricite s4

Série d’exercices avec correction en électricité s4

Exercice 1   Généralités ♠

1. Rappeler l’expression des potentiels V(r, t) et A(r, t) en fonction des sources de champ électroma- gnétique : ρ et j. En déduire les expressions des champs E et B dans le cas électrostatique.

Même question dans le cas de distributions surfaciques et linéiques.

1. En déduire la relation entre les propriétés de symétrie des champs électrique et magnétique et des sources de champ.
2. Rappeler les expressions des équations de Maxwell. En déduire les équations fermées vérifiées par les potentiels.

Exercice 2    Sphère sous influence

On considère une boule conductrice de rayon R maintenue au potentiel nul et plongée dans un champ électrique extérieur uniforme E = E0ux. Il se produit un phénomène d’influence qui amène un déplace- ment des charges dans le conducteur et la production d’un champ par la sphère, qui s’ajoute au champ extérieur. On recherche l’expression du potentiel et du champ électrique total en tout point à l’extérieur, ainsi que la distribution des charges sur la sphère, à l’équilibre. (∗ Quid des charges en volume dans  leconducteur ? Quel est le temps caractéristique d’évolution de ces charges ? ∗)

1. Déterminer qualitativement la nature (signe) des charges sur la sphère.

♠ 2. Proposer une superposition de deux champs simples dé- crivant le champ total à l’extérieur de la sphère.

1. Déterminer la densité de charge sur la sphère.
2. Tracer les lignes de champs. (∗ Comment calculer leurs équations ? ∗)

Exercice 3    Interaction molécule-paroi

1. Une particule de charge q est située en un point A à distance z d’un plan métallique maintenu     au potentiel nul. Justifier que le potentiel et le champ dans le demi-espace où se trouve la charge peuvent être calculés comme ceux créés dans le vide par deux charges  : q en A et −q en A’,

images               symétrique de A par rapport au plan (particule image).

1. Déterminer la charge portée par la surface. Interpréter.

♠ 3.  On remplace la charge précédente par un dipôle permanent p. Calculer l’énergie d’interaction du

Moyenne

dipôle avec la paroi. En moyennant sur les différentes directions possibles du dipôle, supposées angulaire               équiprobables, montrer que l’énergie d’interaction molécule - paroi se met sous la   forme −K/z3. Comment appelle-t-on cette interaction ? (∗ Quid de l’interaction avec un atome ? Quel autre nom donne-t-on à cette force ? ∗) 

Légende

♠ : Question ou exercice important ou plus délicat.

∗ Question «facultative», qu’on pourra sauter en première lecture, mais à laquelle il faudra pouvoir répondre après quelques temps. ∗

Formulaire    Opérateurs en coordonnées cylindriques :

…

Exercice 4   Aspects électromagnétiques de la propagation d’ondes sur une ligne coaxiale

On propose dans ce problème d’examiner différentes représentations de la propagation d’ondes élec- tromagnétiques dans une ligne coaxiale. La ligne est constituée de deux cylindres (1) et (2) de même axe Oz, et de rayons R1 = 0, 43mm et R2 = 1, 47mm, assimilés à des surfaces parfaitement conduc- trices. L’isolant entre les conducteurs est un milieu non magnétique de permittivité diélectrique relative zr  = 2, 25.

Partie 1    Étude électrostatique

Soit une portion de longueur h de la ligne ; on suppose que les deux conducteurs (1) et (2) sont en équilibre électrostatique et portent respectivement les charges Q et −Q réparties uniformément sur leurs surfaces. (∗ Quelle information peut-on d’ores et déjà en tirer sur les lignes de champ électrique ? ∗)

♠ 1. Exprimer le champ électrique en tout point. Vérifier les relations de continuité à la traversée des surfaces. (∗ À partir de quelles équations de Maxwell dérive-t-on ces relations de continuité ? Que deviennent-elles dans le cas d’un milieu quelconque ? Et en régime variable ? ∗)

1. Exprimer la différence de potentiel entre ces deux conducteurs. En déduire la capacité de la portion de longueur h de la ligne, et la capacité linéique γ de la ligne. Application numérique.
2. Déterminer l’énergie électrostatique emmagasinée dans cette portion. Vérifier le résultat précédent.

Partie 2    Étude magnétostatique

Le conducteur central (orienté selon Oz) constitue le conducteur aller d’un courant électrique d’in- tensité I ; le conducteur extérieur est alors parcouru par un courant de même intensité circulant en sens inverse. Compte tenu de l’hypothèse d’épaisseur nulle pour les conducteurs, ces courants sont répartis surfaciquement : les densités correspondantes sont uniformes.

♠ 1. Exprimer le champ magnétique en tout point de l’espace. Vérifier les relations de continuité sur les surfaces.(∗ Mêmes questions qu’à la question 1 de la Partie 1∗)

1. Calculer de deux façons différentes l’inductance linéique λ de la ligne. On s’inspirera des questions 2 et 3 de la partie 1.
2. On constate que par rapport à une ligne bifilaire, la ligne coaxiale permet une meilleure indépen- dance entre des câbles mis côte à côte (diaphonie plus faible). Justifier cette propriété.
3. Les potentiels des conducteurs étant respectivement V1 et V2, déterminer le champ électrique dans l’espace entre les cylindres, puis le vecteur de Poynting. En déduire la puissance transitant à travers une surface à z constant. Interpréter.

Partie 3    Étude en régime variable

On conserve les notations précédentes, mais le courant i dans un conducteur ne présente plus l’unifor- mité supposée précédemment : les densités surfaciques de courant deviennent fonctions de z et du temps

1. On notera donc i(z, t) l’intensité du courant pour le conducteur (1) à la cote z. Les champs électrique et magnétique sont recherchés sous la forme d’une fonction de r, z et du temps t et ont même direction que ceux déterminés dans les études en régime stationnaire.
2. Rappeler l’équation de Maxwell-Gauss. Exprimer alors le champ électrique en fonction de la den- sité surfacique de charge sur le conducteur intérieur σ1(z, t).

♠ 2. À l’aide du théorème d’Ampère (∗ justifier sa validité ∗), déterminer l’expression du champ ma- gnétique.

3. Quelles relations fournissent les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday ? En déduire une équation différentielle vérifiée par ces champs. Idem pour i(z, t).

♠ 4. Quelle est la forme générale des solutions de cette équation ? Comment appelle-t-on le mode de propagation considéré ? Comparer au cas d’un guide d’onde rectangulaire. Quid de la dispersion ?

5.  Retrouver la loi de conservation de la charge.

♠ 6. Montrer qu’il est possible de définir une différence de potentiel u(z, t) entre les deux conducteurs à la cote z. Exprimer u(z, t) en fonction de σ(z, t).

7. Montrer que la puissance rayonnée par le champ électromagnétique s’exprime simplement en fonc- tion de u(z, t) et i(z, t). Commenter.

Partie 4    Modèle à constantes réparties (non faite en TD)

Une autre description de la propagation des signaux électriques consiste en l’application des lois de l’électrocinétique à une portion de ligne située entre les cotes z et z + dz. On modélise alors cet élément comme indiqué figure  La capacité et l’inductance linéiques ont été calculées dans les deux premières parties. 

Figure 4.1 – Modèle à constantes réparties

1. Relier les dérivées partielles de la tension u(z, t) et du courant i(z, t) par rapport au temps et à la cote z.
2. En déduire l’équation de propagation vérifiée par ces deux signaux et exprimer la célérité des ondes en fonction de l’inductance et de la conductance linéiques. Application au cas d’une ligne coaxiale. Interpréter.
3. La solution générale de l’équation pour u(z, t) s’écrit u(z, t) = Ui(t − z/c) + Ur (t + z/c). Montrer que i(z, t) s’exprime en fonction des mêmes termes et d’une résistance caractéristique Rc que l’on exprimera, puis calculera. (Cette question peut aussi être faite à partir des résultats de la Partie   3

uniquement.)

Partie 5    Réflexion des ondes

On place à l’extrémité de la ligne de cote z = L une résistance de valeur R entre les conducteurs (1) et (2). On souhaite déterminer le rapport entre les amplitudes instantanées de l’onde réfléchie et de l’onde incidente.

1. À l’aide de la question .  exprimer en fonction de R et Rc le coefficient de réflexion

Ur (t + L/c)

ρ =                .

Ui(t − L/c)

1. Déterminer le coefficient de réflexion dans le cas d’un circuit ouvert (R = ∞), d’un court-circuit (R = 0) et d’une charge adaptée (R = Rc). Interpréter.
2. Analogie optique ? (Et pour d’autres exemples : cf TP)
3. On suppose R nulle. Exprimer u(z, t) et i(z, t) dans le cas d’une onde incidente sinusoïdale d’ampli- tude A. Comment varient les valeurs efficaces de u et i le long de la ligne à un instant t donné ?
4. Même question dans le cas d’une charge adaptée.

♠ 6. On suppose kL « 1. L’approximation semble-t-elle raisonnable ? Montrer alors que le câble se comporte comme une capacité dans le cas d’un circuit ouvert en bout de ligne, comme une in- ductance dans le cas d’un court-circuit. (∗ Retrouver ces résultats qualitativement. Analogie méca- nique ? ∗)

7. On définit le taux d’ondes stationnaires (TOS) comme le rapport des amplitudes du champ élec- trique aux ventres et nœuds de l’onde, soit :

TOS = |Emax|

|Emin|

Calculer le TOS pour les différentes charges étudiées ci-dessus. Exprimer le TOS en fonction de ρ.

…

d2 u js(u) ∧ (r − u)  = µ0

|r − u|3                       4π

I dl ∧ (r − u)

|r − u|3

1. D’après les expressions ci-dessus, E est proportionnel à ρ. Donc toute symétrie de ρ est une symé- trie de E.

B dépend de j via un terme de la forme j ∧ u. Le produit vectoriel dépendant de l’orientation de l’espace, une symétrie négativ  de j est une antisymétrie de B. Une symétrie positive de j est en

revanche une symétrie de B.

1. À partir de l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

…

c2 ∂t2

Dans la jauge de Lorentz :

1 ∂V

c2  ∂t

+ div A = 0,    et donc :

. 1 ∂2

− ∆  A = µ0j.

c2  ∂t

c2 ∂t2

De même, à partir de l’équation de Maxwell-Gauss, on obtient l’équation :

. 1 ∂2               .        ρ

c2 ∂t2  − ∆  V = z

Exercice 2    Sphère sous influence

En présence du champ électrique permanent E0, les charges de la sphère conductrice se déplacent vers la surface du conducteur, de sorte à créer un champ antagoniste Ea tel que la champ à l’intérieur du conducteur soit nul. À l’équilibre, les charges ne sont donc plus qu’en surface et sont réparties qualitativement comme montré sur la figure ci-contre.

Si l’on s’intéresse également aux charges volumiques dans le conducteur, en écrivant la loi de conser-vation de la charge, et en utilisant le fait que dans un conducteur j  = σE, on obtient :

1. Une isométrie négative transforme une base directe de l’espace en une base indirecte : symétrie par rapport à un plan ou un point par exemple ; une rotation est une isométrie positive.
2. Dite «équation de Poisson». En statique et en l’absence de sources, on l’appelle «équation de Laplace».

ρ est donc une fonction exponentiellement décroissante du temps, avec une constante de temps τ = z0/σ ≈ 10−19 s. On ne peut donc manifestement pas imposer de densité volumique de charges dans le conducteur, et les seules charges à considérer sont en surface.

1. La distribution de charges telle que représentée nous fait songer à un dipôle électrique, placé au centre de la sphère. Nous allons donc essayer 3 de trouver un dipôle p ad hoc, tel que le potentiel qu’il crée soit le même que celui de la sphère, en présence de E0. Nous avons donc deux problèmes : une sphère conductrice maintenue au potentiel nul, dans le champ E0 ; et un dipôle p inconnu dans le même champ électrique.

À quelle condition pourra-t-on dire que ces deux situations sont équivalentes, i.e. que le potentiel V(r) à l’extérieur de la sphère est le même ? Il est, dans les deux problèmes, solution de l’équation de Poisson qui, à l’extérieur de la sphère, s’écrit :

∆V(r) = 0

L’expression du potentiel ne dépend donc que des conditions aux limites du domaine, i.e. r = R et r = ∞. Si elles sont identiques pour les deux situations envisagées, alors V aura même expression pour les deux problèmes.

Dans le cas de la sphère conductrice, les conditions aux limites sont :

V(r = R) = 0                                                                               (II.1)

V(r → ∞) = −r · E0  = V0(r)                                                      (II.2)

Il faut donc trouver, si elle existe, la valeur du dipôle p telle qu’en r  =  R, Vdipole  + V0(R)  =  0.  À l’infini, le potentiel créé par un dipôle peut être choisi comme nul et la seconde condition aux limites est donc vérifiée quel que soit p.

Calculons donc dans un premier temps le potentiel créé par un dipôle p en tout point de l’espace. C’est par exemple celui créé par deux charges q et −q, sé- parées d’une distance a, dans l’approximation dipo-laire : on se place dans la situation où a est très pe- tite devant la distance r au point d’observation, et on ne garde que le terme de premier ordre en r/a « 1 (terme dipolaire, le terme de second ordre serait le terme quadripolaire. Rappelons par ailleurs qu’un dipôle est une distribution de charges {qi} telle   que

.i qi  = 0 et .i qiri  = p Ç 0 ).

…

2  .1 + r · a . au premier ordre en r/a. En injectant cette relation dans l’expression de V, on obtient finalement :

Vd (r) = 4πz r3 r · a = p · r 4πz0r3

Vérifions alors que l’on peut imposer la condition aux limites : Vtot(r = R) = 0.

pR cos θ

Vtot(r = R) =  4πz R3   − E0R cos θ = 0

qui a pour solution : p = 4πz0E0R3.
Il est donc possible de trouver un dipôle p tel que les deux problèmes considérés aient la même solution, et ce dipôle doit avoir la valeur donnée ci-dessus.

1. A priori, on ne peut pas être certain de trouver un dipôle qui vérifie les bonnes conditions. Ce n’est ici qu’une intuition...

Figure 2.1 – Lignes de champ

Figure 2.2 – Méthode des images

Remarquons par ailleurs qu’un tel résultat correspond à une densité volumique de dipôle :

P = 3z0E0

Sachant que le champ créé par une sphère de polarisation uniforme P est, à l’intérieur de la sphère,      Ea = −P/(3z0), on retrouve bien que c’est ce choix de dipôle qui permet d’annuler le champ à l’intérieur de la sphère (Ea  = −E0).

et finalement

σ(θ) = z0 E(r → R+) − E(r → R−) · ur = 3z0 E0 cos θ

                  s_______¸¸_______s

On retrouve par ailleurs la relation σ(θ) = P · ur.

On vérifie par la même occasion la continuité de la composante tangentielle du champ.

1. Pour calculer les équations des lignes de champ, tracées figure. il faut résoudre le système différentiel obtenu en écrivant que le champ E est parallèle à un élément de longueur dl de la ligne :

Exercice 3    Interaction molécule-paroi

1. Comme pour l’exercice précédent, montrer que deux situations sont équivalentes revient à montrer que les conditions aux limites du domaine sont les mêmes, l’équation sur le potentiel étant identique dans les deux cas (équation de Laplace). Dans le cas d’une particule chargée et d’un plan infini conducteur maintenu au potentiel nul, il faut trouver une distribution de charge pour laquelle le potentiel est nul à l’endroit où se trouve le plan dans le problème initial. Si l’on considère deux charges opposées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan (qui n’existe plus maintenant), l’une en A, l’autre en A’, le potentiel créé par les deux charges en tout point M du plan est :
2. Regardons d’abord comment décroît le champ à l’infini. On vient de montrer que le problème est équivalent à deux particules de charges opposées. Elles forment un dipôle électrique pour lequel E varie comme 1/r3.

Considérons alors une surface Σ quelconque (par exemple une sphère), de taille caractéristique R, englobant la particule q, et intersectant le plan. D’après le théorème de Gauss, le flux du champ électrique à travers Σ(R) est :

Φ(R) = Qintz0q + Qplan(R)=                  ,z0

où Qplan(R) est la charge contenue dans la surface du plan interceptée par Σ(R). Si l’on fait  tendre

R vers l’infini, alors :

Φ     q + Qplan(R → ∞)→            z0q + Qplan=              ,z0

où Qplan  est la charge contenue sur tout le plan.

Or, l’aire de la surface Σ(R) croissant en R2 tandis que le champ électrique décroît en 1/R3 (du côté de la charge, dans le conducteur il est carrément nul !), le flux Φ(R) tend vers 0 quand R tend vers l’infini. On en déduit immédiatement que le conducteur porte la charge Qplan = −q !

On aurait également pu remarquer que les deux charges du problème analogue sont en influence totale : toutes les lignes de champ partant de A arrivent en A’ et inversement. Dans le problème initial, du côté de la charge, les lignes de champ sont inchangées. Toutes les lignes de champ partant

de A arrivent donc nécessairement sur le plan, et inversement. Le plan et la charge sont aussi en influence totale, et portent donc des charges opposées : Qplan = −q.

1. À partir de la question 1, il vient immédiatement que les deux situations FIG.  sont équivalentes, le dipôle pt étant l’antisymétrique de p par rapport au plan conducteur (considérer p comme formé de deux charges opposées).

L’énergie électrostatique du dipôle pour une orientation donnée (fixée par les deux angles θ et   φ

…

On retrouve ainsi la bien connue force de van der Waals ! Cette expression en 1/z3 n’est en fait valable que pour des distances z «suffisamment» grandes : trop près de la surface, des effets dus aux temps finis de propagation des interactions interviennent, et des termes en 1/z4 apparaissent : on passe au cas de l’interaction de Casimir-Polder.
Le calcul a été fait ici pour un dipôle quelconque sans plus de précision. Si l’on faisait l’expérience avec un atome, même sans dipôle permanent (orbitale s par exemple), on observerait une telle interaction. C’est la moyenne de p2 (fluctuations quantiques) et non celle de p qui caractérise la force de l’interaction.

1. Le dipôle p n’interagit pas avec le champ qu’il crée, c’est donc bien Et seulement qu’il faut mettre dans l’expression de l’énergie d’interaction. Le calcul de −pt · E donnerait le même résultat.

Exercice 4   Aspects électromagnétiques de la propagation d’onde sur une ligne coaxiale

Partie 1    Étude électrostatique

On suppose ici que Q1 = −Q2. Comme de plus toutes les lignes de champ partant du conducteur central arrivent sur le conducteur extérieur du fait de la géométrie du problème, on peut en déduire que la réciproque doit être vraie (les deux conducteurs sont en influence totale). En particulier, il n’y a aucune ligne de champ partant du conducteur extérieur et arrivant à l’infini. On doit donc s’attendre à trouver un

champ électrique nul à l’extérieur du câble.

1. Le système est invariant par translation selon l’axe Oz et par rotation autour de ce même axe. Dans les coordonnées cylindriques usuelles, on a donc E(r, θ, z) = E(r).

Par ailleurs, tout plan contenant l’axe Oz et tout plan perpendiculaire à l’axe Oz sont plans de symétrie de la distribution de charges. Ce sont donc des plans de symétrie de E. On en déduit que E(r) = E(r)ur.

Pour calculer le champ créé par la ligne en un point M(r, θ, z), on utilise le théorème de Gauss. La surface fermée choisie est un cylindre de même axe que la ligne, de rayon r, de longueur h (voir FIG).

Figure 4.1 – Théorème de Gauss

Les surfaces S 1 et S 2 sont orientées selon ±uz donc le flux de E à travers elles est nul. La surface Σ est orientée selon ur donc le flux du champ est Φ(E) = E(r) · dΣ = E(r) × 2πrh. Par le théorème de Gauss, on a par ailleurs :

Remarque : La discontinuité de la composante normale de E découle de l’équation de Maxwell- Gauss. Dans le cas d’un milieu quelconque, non isotrope en particulier, elle s’écrit div D = ρ, et c’est donc la composante normale de D qui est discontinue !

Au contraire, la continuité de la composante tangentielle de E découle de l’équation de Maxwell- Faraday, inchangée lors du passage à un milieu quelconque. C’est donc toujours E, et non D qu’il faut prendre en compte pour l’équation de continuité.

En régime variable, ces relations de continuité sont inchangées.

5. Malgré le terme en −∂B/∂t qui apparaît dans l’équation de Maxwell-Faraday. Reprendre la démonstration pour se convaincre que ce terme ne modifie pas les relations ci-dessus.

…

(2πrh dr)   z E(r)

R1                    2

=          ln            =

4πzh        R1               2C

On retrouve la formule usuelle de l’énergie contenue dans une capacité.

Partie 2    Étude magnétostatqiue

1. Par les mêmes arguments que pour E, B(r, θ, z) = B(r).

Tout plan contenant Oz étant plan de symétrie de la distribution de courants, c’est un plan d’antisy- métrie pour B. Donc B(r) = B(r)uθ.

On utilise alors le théorème d’Ampère pour calculer le champ magnétique en tout point M(r, θ, z) de l’espace. Le contour fermé choisi est un cercle de rayon r centré sur l’axe Oz, et orienté dans le sens de uθ. Un courant enlacé est alors compté positivement s’il est dans le sens des z croissants (règle de la main droite) . On a alors :

…

Remarque : Par les mêmes arguments que précédemment, dans le cas d’un milieu quelconque, c’est la composante tangentielle de H qui est discontinue, tandis que la composante normale de B est continue.

1. Il faut calculer le flux Φ du champ magnétique à travers une boucle de courant de longueur h. Bien que la ligne soit supposée infinie, on peut considérer qu’elle est la juxtaposition d’une infinité de boucles de courants de longueur h, parcourues par un courant I : le courant résultant dans les bras radiaux est nul (voir FIG. 4.2). Quelle forme doit-on maintenant choisir pour ces spires/pour la surface d’intégration ?

Φ ne dépend en fait pas du choix d’une telle surface. Considérons deux surfaces quelconques S   et S t  tel que sur la figure FIG. 4.3. Construisons à partir de ces deux surfaces une surface fermée  à l’aide des surfaces Σ et Σt, respectivement portées par les cylindres intérieur et extérieur, et  des

Courant résultant nul

Figure 4.2 – Calcul de l’inductance linéique                 Figure 4.3 – Choix de la surface d’intégration

surfaces latérales (de normale uz). B étant à flux conservatif (sa divergence est nulle), son flux Φtot

à travers la surface fermée est nul :

Φtot = ΦS − Φt + ΦΣ + Φt + Φlaterales = 0

Enfin, B étant orthoradial, ΦΣ = Φt = Φlaterales = 0. Dont on déduit immédiatement ΦS  = Φt  = Φ.

Choisissons donc comme surface simple le rectangle de longueur h et de largeur R2 − R1, de vecteur normal uθ. Le flux à travers une tranche élémentaire de rayon r et d’épaisseur dr est :

…

Or, pour une inductance L, l’énergie magnétique est donnée par Em = 1/2 LI2. D’où l’inductance linéique de la ligne :

L=  λ =h

µ0          . R2 .

ln

2π      R1

= 0, 25 µH · m−1

Pour les lignes coaxiales utilisées en TP, λ = 300 nH · m−1.

1. Le champ magnétique créé à l’extérieur de la ligne est nul. Pour deux tels câbles placés côte à côte, il n’y aura donc pas de couplage par mutuelle inductance, phénomène que l’on observerait dans le cas de deux lignes bifilaires.
2. On peut récrire E, entre les conducteurs, sous la forme

…

Le vecteur de Poynting, entre les conducteurs (ailleurs, il est nul) est alors :

Π(r) =  E ∧ B

  (V1 − V2) I

µ0                 2π r2  ln . R2 . z

La puissance transitant à travers une surface à z constant est enfin :

¸ R2

P = „ Π(r) · dS = Π(r) (2π r dr) = (V1 − V2) IR1

On retrouve donc les lois de l’électrocinétique !

Remarquons par ailleurs que l’énergie ne se propage pas dans les conducteurs mais entre les deux conducteurs, dans l’isolant, i.e. là où il y a du champ.

Table des matières

1 TD1 : Énoncé 1.0

Exercice 1 Généralités . . . . ....... . . . . 1.1

Exercice 2 Sphère sous influence ....... . . . 1.1

Exercice 3 Interaction molécule-paroi ....... 1.1

Exercice 4 Aspects électromagnétiques de la propagation d’ondes sur une ligne coaxiale . 1.2

Partie 1 Étude électrostatique ....... . . . . 1.2

Partie 2 Étude magnétostatique ....... . . . 1.2

Partie 3 Étude en régime variable ....... . . 1.2

Partie 4Modèle à constantes réparties (non faite en TD) ....1.3

Partie 5Réflexion des ondes ....... . . . . 1.3

2 TD1 : Corrigé 1.C-0

Exercice 1 Généralités ........1.C-1

Exercice 2 Sphère sous influence ....... . . . 1.C-1

Exercice 3 Interaction molécule-paroi ....... 1.C-3

Exercice 4 Aspects électromagnétiques de la propagation d’onde sur une ligne coaxiale . . 1.C-5

Partie 1 Étude électrostatique ....... . . . . 1.C-5

Partie 2 Étude magnétostatqiue ....... . . . 1.C-6

Partie 3 Étude en régime variable ....... . . 1.C-8

Partie 4Modèle à constantes réparties ......1.C-10

Partie 5Réflexion des ondes ....... . . . . 1.C-10

3 TD2 : Énoncé 2.0

Induction ........... . 2.1

Exercice 1 Généralités ........2.1

Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone ..... . . . 2.1

Exercice 3 Oscillateurs mécaniques ....... . 2.1

Exercice 4 Courants de Foucault ....... . . . 2.2

Ondes electromagn ´ etiques ´ ......... 2.2

Exercice 5 Pression de radiation ....... . . . 2.2

Exercice 6 Polarisation et photon ....... . . . 2.3

Exercice 7 Ondes évanescentes - Épaisseur de peau ..... . . 2.4

4 TD2 : Corrigé 2.C-0

Induction ........... . 2.C-1

Exercice 1 Généralités ........2.C-1

Exercice 2 Force de Laplace et moteur synchrone ..... . . . 2.C-2

Exercice 3 Oscillateurs mécaniques ....... . 2.C-4

Exercice 4 Courants de Foucault ....... . . . 2.C-5

Ondes electromagn ´ etiques ´ ......... 2.C-7

Exercice 5 Pression de radiation ....... . . . 2.C-7

Exercice 6 Polarisation et photon ....... . . . 2.C-12

Exercice 7 Ondes évanescentes - Épaisseur de peau ..... . . 2.C-15

1.25 TD3 : Énoncé 3.0

Relativite restreinte ´ ......... . . . 3.1

Exercice 1 Collisions élastiques ....... . . . 3.1

Exercice 2 Collisions inélastiques ....... . . 3.1

Partie 1 Notion de centre de masse ....... . 3.1

Partie 2Matérialisation de photons par création de paire e... . . . . . 3.1

Charges et champ magnetique ´ ........3.2

Exercice 3 Mouvement d’un particule chargée dans un champ magnétique uniforme . . . 3.2

Exercice 4 Piégeage d’un électron dans le champ magnétique terrestre – Aurores boréales 3.2

6 TD3 : Corrigé 3.C-0

Relativite restreinte ´ ......... . . . 3.C-1

Exercice 1 Collisions élastiques ....... . . . 3.C-1

Exercice 2 Collisions inélastiques ....... . . 3.C-2

Partie 1 Notion de centre de masse ....... . 3.C-2

Partie 2Matérialisation de photons par création de paires e... . . . 3.C-3

Charges et champ magnetique ´ ........3.C-4

Exercice 3 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme . . . 3.C-4

Exercice 4 Piégeage d’un électron dans le champ magnétique terrestre – Aurores boréales 3.C-5