Cours electricite S2 : circuits electriques
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3.1 Transformation de source
La première méthode qu’on verra dans ce chapitre est la transformation de source. Cette méthode permet de transformer une source de tension ayant une résistance en série à une source de courant ayant une résistance en parallèle.
La transformation de source est donnée à la figure 3.1. Pour que les deux circuits soient équivalents, il faut qu’un voltmètre mesure la même tension entre les bornes a et b, et qu’un ampèremètre mesure le même courant qui sort de la borne a (pour entrer dans la borne b).
Si on place un voltmètre aux bornes du circuit de gauche, la tension mesurée sera vs.
Un ampèremètre placéentre a et b agit comme un court-circuit, et donc un courant ayant une valeur de
(3.1)
Pour que le circuit de droit soit équivalent, il faut que la tension et le courant mesurés soient les mêmes. Si on place un voltmètre entre les bornes a et b du circuit de droite, la tension mesurée est vab = isR. Pour que ce soit équivalent, il faut que
s (3.2)
Cette dernière équation permet de transformer une source de tension en une source de courant, et vice-versa. La résistance R est la même dans les deux cas.
EXEMPLE 1
Calculer la puissance dans la source de 6V du circuit suivant.
La seule chose qui nous intéresse, c’est la source de 6V et le courant qui y sort (entre), parce qu’on veut calculer la puissance. On cherche donc à transformer la source de 40V et tout simplifier le plus possible vers la source de 6V.
On peut transformer la source de 40V en une source de courant. Ceci permettra d’avoir une résistance en parallèle avec la résistance de 20Ω. On effectue la transformation:
La source de courant a une valeur de 40/5 = 8A.
On peut continuer à simplifier le circuit. La résistance de 50 est en parallèle avec la résistance de 200. La résistance équivalente en parallèle est:
Transformation de source
On peut continuer la simplification en effectuant une autre transformation de source.
La source de tension aura une valeur de (8)(4) = 32V. Avec cette transformation, on a maintenant 3 résistances en série.
CHAPITRE 3. TECHNIQUES D’ANALYSE DE CIRCUITS
On simplifie à nouveau le circuit.
Après cette simplification, on peut effectuer une autre transformation de source.
Et encore une fois, on a deux résistances en parallèle, puis on effectue une transforma¬tion de source.
On obtient finalement:
On peut maintenant faire l’analyse de ce circuit. On applique la loi de Kirchhoff des tensions pour la boucle, avec les conventions habituelles:
−6+(4+12)i +19.2 = 0
ce qui donne i = −0.825A. La puissance de la source de 6V est:
p = −vi = −(6)(−0.825) = 4.95 W
La source consomme 4.95W.
Plusieurs des simplifications montrées auraient pu être effectuées en une étape au lieu de 2 ou 3. Elles ont étédémontrées ici pour aider à bien comprendre la méthode, et le flot d’idées utilisépour résoudre ce circuit.
3.1.1 Cas particulier
Il existe deux cas particuliers lorsqu’on fait des transformations de source. Pour le premier cas, on a une résistance en parallèle avec la source de tension. On peut ignorer cette résistance parallèle, comme à la figure 3.2.
FIGURE 3.2 – Transformation de source : cas particulier 1
CHAPITRE 3. TECHNIQUES D’ANALYSE DE CIRCUITS
Pour le deuxième cas, il s’agit d’une résistance en série avec la source de courant. On peut ignorer la résistance série, comme à la figure 3.3.
FIGURE 3.3 – Transformation de source : cas particulier 2
Pour les deux cas particuliers, un voltmètre placéentre a et b mesurera la même ten-sion, et un ampèremètre placéentre a et b mesurera le même courant.
3.2 Méthode des tensions de noeuds
On démontrera la méthode des tensions de noeuds à l’aide d’un exemple, en utilisant le circuit de la figure 3.4.
in
5n ion
iov 2A
c
FIGURE 3.4 – Circuit pour exemple La méthode est la suivante:
Les tensions entre les noeuds sont données à la figure 3.5. La tension v1 est la tension au noeud a moins la tension au noeud c, tandis que la tension v2 est la tension au noeud b moins la tension au noeud c.
FIGURE 3.5 – Circuit pour exemple, avec tensions de noeuds
Il faut maintenant faire la somme des courants qui sortent de chaque noeud, et écrire ces équations en fonction des tensions des noeuds. Si on sépare les différentes branches pour le noeud a, on obtient les circuits de la figure 3.6.
FIGURE 3.6 – Circuit pour exemple, courants du noeud a L’équation des courants qui sortent du noeud a est:
On a tout simplement appliquéla loi d’Ohm dans chaque branche. Dans chaque cas, le courant est la différence de potentiel aux bornes de la résistance (i = Δv/R).
On procède alors au deuxième noeud, et on sépare les branches. Dans ce cas-ci, le noeud b a aussi trois branches. L’une de ces branches est commune avec le noeud a. Les trois branches sont montrées à la figure 3.7. Remarquer que le courant i3 pour ce noeud est tout simplement la source de courant (négatif, puisque la source est dans le sens contraire de i3).
L’équation des courants qui sortent du noeud b est:
On a maintenant un système à deux équations, deux inconnues. Il est facile de résoudre ce système dans Mathcad, ou Matlab. Si on écrit les équations de façon matricielle, on obtient:
" #" # " #
1.7v1 −0.5v2 = 10 1.7 −0.5 v1 10
−0.5v1 +0.6v2 = 2 =~ ~ = (3.5)
−0.5 0.6 v2 2
On solutionne pour trouver v1 = 9.09V et v2 = 10.91V.
…
FIGURE 3.8 – Solution de l’exemple avec Mathcad
3.2.1 Cas particulier
Un cas particulier de la méthode des tensions de noeud, c’est lorsqu’une source de ten¬sion est le seul élément dans une branche. Ceci réduit le nombre d’équations à résoudre, parce que la source de tension donne directement la tension d’un noeud. Un exemple est montréà la figure 3.9.
FIGURE 3.9 – Cas particulier de la méthode des tensions de noeuds
Dans ce cas-ci, la tension v1 = 100V ; on a donc seulement besoin d’écrire l’équation du noeud b. Au noeud b, l’équation est:
et puisque v1 = 100, on peut facilement solutionner pour trouver v2 = 125V.
3.3 Courants de maille
La technique des courants de maille est une autre méthode puissante pour faire l’ana¬lyse de circuits. Avec la technique des tensions de noeud, ce sont les deux techniques les plus puissantes pour résoudre des circuits.
Il faut définition avant de procéder : une maille est une boucle qui n’a pas d’autre boucle à l’intérieur.
Pour démontrer la méthode, on commence en premier avec un circuit simple dont on fait l’analyse avec les lois de Kirchhoff. On verra ensuite la méthode des courants de maille, pour comparer et voir comment cette méthode permet de simplifier l’analyse.
Soit le circuit de la figure 3.10. On cherche les courants i1, i2 et i3.
On applique la loi des courants de Kirchhoff au noeud a :
i1 −i3 −i2 = 0 (3.7)
Pour obtenir deux autres équations, on applique la loi de Kirchhoff des tensions aux mailles a−b −c −a et a−d −b −a :
Maille a− b − c − a : − v1 + R1ii + R3i3 = 0 (3.8)
Maille a − d − b − a : R2i2 + v2 − R3i3 = 0 (3.9)
FIGURE 3.10 – Exemple pour courants de maille On remplace ensuite l’équation 3.7 dans les équations 3.8 et 3.9.
−v1 + R1i1 + R3(i1 − i2) = 0 => −v1 + (R1 + R3)i1 − R3i2 = 0 (3.10)
v2 + R2i2 − R3(i1 − i3) = 0 => v2 + (R2 + R3)i2 − R3i1 = 0 (3.11)
Ce qui donne finalement:
v1 = (R1 +R3)i1 −R3i2 (3.12)
−v2 = −R3i1 + (R2 + R3)i2 (3.13)
On a maintenant 2 équations, 2 inconnues.
Pour la méthode des courants de maille, on définit un courant qui circule dans la maille, dans le sens horaire.
FIGURE 3.11 – Exemple pour courants de maille
On va ensuite suivre le sens des courants, pour écrire l’équation de la tension dans la maille (selon la loi de Kirchhoff). Le courant dans la résistance R3 est la différence entre les deux courants : ia − ib.
Maille a − v1 + R1ia + R3(ia − ib) = 0 (3.14)
Maille b R2ib + v2 + R3(ib − ia) = 0 (3.15)
En simplifiant les équations, on obtient:
v1 = (R1 + R3)ia − R3ib (3.16)
−v2 = −R3ia + (R2 +R3)ib (3.17)
Si ia = i1, et ib = i2, ce sont les même équations qu’auparavant, avec la méthode plus longue. Noter que le courant i3 = ia − ib.
EXEMPLE 2
Soit le circuit de la figure suivante.
Calculer :
On a trois mailles dans ce circuit, donc il faut utiliser trois courants de maille. On place les courants dans la maille, comme à la figure suivante.
2S~ 6S~ 4n
On applique la loi de Kirchhoff des tensions aux trois mailles:
−40 + 2ia + 8(ia − ib) = 0
6ib + 6(ib − i,) + 8(ib − ia) = 0 4i, + 20 + 6(i, − ib) = 0
On a trois équations, et trois inconnues. On peut résoudre ce système d’équations avec Mathcad, et donc ia = 5.6A, ib = 2.0A et ic = −0.8A.
Given
—40 2 ia
~ ~ + ~ ~ ~ ~ = 0 8 ia ib
6 ib
~ + ~~ ~ ~ 8 ib ia
6 ib ic ~ ~~ ~ ~ = 0
4 ic
~ + 20 6 ic ib
~ ~ ~ ~ ~ = 0
Find(ia, ib, ic~ float, 4
La puissance dans les sources est:
p40V = −via = −(40)(5.6) = −224W (fournit)
p20V = +vic = +(20)(−0.8) = −16W (fournit)
Les deux sources fournissent de la puissance. Un bilan de puissance permet de vérifier ces calculs.
Pour la deuxième question, il est facile de trouver vo :
vo = 8(ia − ib) = 8(3.6) = 28.8 V
Cas particulier
De façon similaire à la méthode des tensions de noeuds, s’il y a une source de courant dans une branche, il y a moins d’équations à résoudre.
3.4 Équivalents Thévenin et Norton
Les équivalents Thévenin et Norton sont une autre méthode pour simplifier l’analyse de circuits. On se sert de cette méthode lorsqu’on est intéressépar la tension et le courant à une seule branche du circuit. On n’est pas intéressépar ce qui se passe dans le reste du circuit; on cherche juste à voir l’impact du circuit aux bornes qui nous intéressent.
FIGURE 3.12 – Circuit général et son équivalent Thévenin
Soit un circuit quelconque, tel que donnéà la figure 3.12. Ce qui nous intéresse, c’est l’impact du circuit aux bornes a et b. On cherche à remplacer le circuit quelconque par un circuit équivalent représentépar une source de tension vTH et une résistance série RT H.
Pour que le circuit Thévenin soit équivalent au circuit général, il faut qu’un voltmètre placéaux bornes a et b mesure la même tension dans les deux cas, et il faut qu’un ampère¬mètre placéentre a et b mesure le même courant dans les deux cas.
La tension Thévenin, vTH, est la tension obtenue en plaçant un voltmètre entre les bornes a et b. C’est la tension obtenue lorsqu’il y a un circuit ouvert entre a et b, soit vco.
Pour obtenir la résistance Thévenin, il faut premièrement mesurer le courant entre les bornes a et b. Si on place un ampèremètre entre a et b, c’est l’équivalent de placer un court-circuit. On mesure (ou calcul) donc le courant de court-circuit, icc.
La résistance Thévenin est tout simplement le rapport entre la tension de circuit ouvert et le courant de court-circuit :
vco
RT H = icc
EXEMPLE 3
Pour le circuit suivant, calculer l’équivalent Thévenin entre les bornes a et b.
La première chose à calculer est la tension de circuit ouvert, vco. C’est la tension aux bornes de a et b.
En examinant le circuit, on remarque qu’il y a deux noeuds essentiels. La méthode des tensions de noeuds ne nécessitera qu’une seule équation. Le noeud de référence est le noeud du bas. En appliquant la méthode, on obtient l’équation suivante:
v1 − 25
5 + v1
20
qu’on solutionne pour trouver v1 = 32V.
La tension v1 est la tension aux bornes de la source de courant. Et puisqu’il y a un circuit ouvert entre a et b, aucun courant circule dans la résistance de 40, et donc la tension aux bornes de la source de courant est la tension entre les noeuds a et b, ce qui donne vab,co = 32V = vT H.
Pour calculer iab,cc, il faut appliquer un court circuit entre a et b, ce qui donne le circuit suivant.
Comme dans le calcul de vab,co, il y a deux noeuds essentiels. La méthode des tensions de noeud ne nécessitera qu’une seule équation:
ce qui donne v2 = 16V. Le courant de court-circuit est simplement la tension v2 divisée par la résistance de 40,
v2=16
iab,cc = 4 4 = 4 A
La résistance Thévenin est:
vT H 32
RT H = = = 80
icc 4
Le circuit équivalent est:
Ceci veut dire que peu importe ce qu’on branche entre les noeuds a et b, ça ne fait pas de différence si on utilise le circuit original ou l’équivalent Thévenin: l’effet sur la charge est le même.
NOTE : On aurait obtenu le même résultat si on aurait fait des transformations de source.
3.4.1 Équivalent Norton
L’équivalent Norton est juste une transformation de source de l’équivalent Thévenin: c’est une source de courant en parallèle avec une résistance. On obtient donc l’équivalent Norton en faisant une transformation de source de l’équivalent Thévenin. Dans l’exemple précédent, l’équivalent Norton serait une source de courant de 4A en parallèle avec une résistance de 8Ω.
3.4.2 Utilisation des transformations de source
On peut faire des transformations de source pour obtenir l’équivalent Thévenin si le circuit ne contient pas de sources dépendantes. Si le circuit contient des sources dépen-dantes, il faut utiliser les méthodes habituelles.
EXEMPLE 4
Pour le circuit suivant, calculer l’équivalent Thévenin entre les bornes a et b.
Puisque le circuit contient une source dépendante, il faut faire un peu plus attention lorsqu’on résout ce circuit.
La première étape est de réaliser qu’il n’y a pas de courant qui passe entre les deux sources contrôlées (ix = 0). Il n’y a pas de chemin de retour pour que le courant ix puisse compléter une boucle. La tension Thévenin vab,co est la tension aux bornes de la résistance de 250. La tension aux bornes de la résistance de 250 est:
v = −Ri = −(25)(20i) = −500i
Il faut donc trouver une équation pour le courant i. Ce courant est obtenu en appli-quant la loi de Kirchhoff autour de la boucle de gauche, où la tension de contrôle v est la tension vab,co :
−5 + 2000i + 3vab,co = 0
On a deux équations, et deux inconnues, qu’on résout pour trouver:
vab,co = −5 V
Pour calculer le courant de court-circuit, iab,cc, il faut court-circuiter les bornes a et b. Cependant, en court-circuitant les bornes a et b, la tension de contrôle v = 0. On a donc remplacéla source de tension contrôlée par un court-circuit, comme à la figure suivante.
Selon le circuit précédent, le courant de court-circuit iab,cc est le courant de la source contrôlée, puisqu’aucun courant ira dans la résistance de 250.
iab,cc = −20i
Pour trouver le courant i, on applique la loi de Kirchhoff autour de la boucle de gauche:
−5 + 2000i = 0
et donc i = 2.5mA.
CHAPITRE 3. TECHNIQUES D’ANALYSE DE CIRCUITS
Le courant de court-circuit est :
iab,cc = −20i = −20(0.0025) = −50 mA On calcule finalement la résistance Thévenin:
vT H = −5
= 100
RT H =icc 0.05
3.4.3 Cas particulier 1 : aucune source dépendante
S’il n’y a pas de sources dépendantes dans le circuit, on peut calculer RTH en mettant un court-circuit aux sources de tension et un circuit ouvert aux sources de courant. La résistance équivalente entre les bornes a et b est la résistance Thévenin.
EXEMPLE 5
Calculer la résistance Thévenin entre les bornes a et b du circuit suivant.
Il s’agit du même circuit que l’exemple 3. Puisque ce circuit ne contient pas de sources dépendantes, on peut utiliser la méthode simplifiée pour calculer RTH. On place un court-circuit pour la source de tension, et un circuit ouvert pour la source de courant. On obtient le circuit suivant:
La résistance équivalente entre les bornes a et b est facile à calculer :
Req = 5||20+4 =
ce qui est la même réponse que celle obtenue à l’exemple 3.
Cette méthode est en générale beaucoup plus rapide que le calcul du courant de court-circuit. Bien qu’il faut quand même calculer VTH si on cherche à faire l’équivalent Thévenin, la méthode simplifiée est plus rapide, puisqu’il s’agit seulement de calculer des résistances en série et en parallèle.
3.4.4 Cas particulier 2 : seulement des sources dépendantes
S’il y a seulement des sources dépendantes dans le circuit, on ne peut pas utiliser les méthodes habituelles pour calculer la résistance Thévenin. Il faut appliquer une source de tension vx aux bornes a et b, puis calculer le courant ix qui sort de la source. Le rapport vx/ix donne la résistance Thévenin.
Cette méthode peut aussi être utilisée s’il y a des sources indépendantes. Il faut ce¬pendant désactiver les sources indépendantes (court-circuit pour les sources de tension, circuit ouvert pour les sources de courant).
EXEMPLE 6
Calculer la résistance Thévenin entre les bornes a et b du circuit suivant.
2~5
C’est presque le même circuit que dans un autre exemple. On applique une source de tension vx aux bornes a et b, comme à la figure suivante.
Il faut maintenant calculer le courant ix en fonction de la tension vx. Si on fait la somme des courants au noeud a, on obtient:
vx
ix = 20i + 25
Le courant i est obtenu en appliquant la loi de Kirchhoff des tensions autour de la boucle de gauche:
2000i + 3vx = 0
ou,
3vx
i = −
2000
On combine les équations pour avoir une seule équation en fonction de ix et vx :
ix = −20 3vx 2000 + vx
et donc:
ix = −20 3 + 1 = 0.01
vx 2000 25
Ce qui donne:
RT H = ix = 100Ω
3.5 Superposition
Puisque les sources et éléments dans les circuits sont linéaires, ils obéissent aux lois des systèmes linéaires, soit la superposition. On peut analyser un circuit une source à la fois, et la réponse finale (tension ou courant) est la somme des réponses individuelles.
Lorsqu’on analyse un circuit par superposition, il faut désactiver toutes les sources sauf une. On remplace une source de tension indépendante par un court-circuit, et une source de courant par un circuit ouvert.
EXEMPLE 7
Calculer le courant i du circuit suivant.
6n 2S~
On doit désactiver l’une des deux sources (pour utiliser la méthode de superposition). On désactive la source de courant: on la remplace par un circuit ouvert, ce qui donne le circuit de la figure suivante.
Puisqu’il n’y a qu’un noeud essentiel, on utilise la méthode des tensions de noeud pour résoudre ce problème. L’équation est:
v1 −120 v1 + 6 + 3
ce qui donne v1 = 30V (la résistance de 20 et celle de 40 sont en série). Le courant est donc:
i'=v1 =30= 5 A
2 6 6
On doit maintenant analyser le circuit avec la deuxième source. On place un court-circuit à l’endroit de la source de tension, ce qui donne le circuit suivant.
On peut simplifier la partie de gauche du circuit, en combinant les résistances pa-rallèles et en série.
Req = 6||3+2 = (6)(3)
6 + 3 +2 = 4Ω
ce qui donne le circuit suivant, un diviseur de courant.
Le courant est donc:
i00 2 = 4 + 412 = 6 A
Le courant total est la somme des deux courants :
i2 = i~ 2 +i00 2 = 5+6 = 11 A
Bien que la superposition soit une méthode valide pour résoudre des circuits, elle nécessite souvent de résoudre plus d’équations que d’autres méthodes, puisqu’on doit analyser 2 circuits ou plus au lieu d’un seul.
NOTE: on ne peut pas désactiver des sources dépendantes.
3.6 Transfert maximal de puissance
Souvent, l’analyse de circuits est nécessaire pour déterminer la puissance fournie à une charge (antenne, haut-parleur, etc). On cherche maintenant à maximiser la puissance transmise à une charge. Plus le rendement (du transfert de puissance) est élevé, moins on perd de puissance en chaleur.
On commence avec un circuit quelconque, contenant des sources (tension ou courant) et des résistances, qu’on modélise de façon générale par un circuit équivalent Thévenin (voir figure 3.13). Une charge RL est branchée à ce circuit.
Circuit quelconque avec des sources
FIGURE 3.13 – Circuit général pour transfert maximum de puissance La puissance consommée par la charge est:
vT H
p = vi = RLi2 = RL (3.19)
RT H + RL
Pour ce circuit, VTH et RTH sont fixes. On cherche la valeur de RL qui permet de maxi-miser la puissance. Pour maximiser une fonction, il faut dériver et mettre égal à zéro :
"(RT H + RL)− 2RL #
dp = V 2 = 0
dRL T H (RT H + RL)3 (3.20)
On solutionne pour obtenir:
RL = RTH (3.21)
Il y a transfert maximum de puissance lorsque la charge est la même chose que la résistance équivalente de la source. La puissance transférée à la charge est alors :
pmax = RT H vT H = vT H (3.22)
ART H + RT H 4RL
