Cours electricite 2eme annee

Cours electricite 2eme année

I. Définition

On dit qu’en une région de l’espace existe un champ électrostatique E si une charge électrique q placée en un point de cette région est soumise à une force E et F ont même direction et même sens,  si q < 0 E et F ont même direction et de sens opposés.

II. Champ électrostatique crée par des charges ponctuelles

II.1 Champ crée par une charge ponctuelle

Une charge q placé en A crée un champ E .

Plaçons en M une charge q’. Elle est soumise à une force F :

…

III. Champ électrostatique crée par une distribution de charges

Pour calculer le champ crée par une distribution de charges, on se ramène au calcul du champ crée par des charges ponctuelles en considérant des charges élémentaires dq.

III.1 Cas d’une distribution de charges linéïque

Le champ crée en M par toutes les charges du fil sera :

III.2 Cas d’une distribution de charges surfacique

…

L’élément de charge dq crée en M un champ :

III.3 Cas d’une distribution de charges volumique

•      Méthodologie de calcul de E :

o décomposer la distribution en éléments de distribution ponctuels". o calculer .

En fait E est défini par ses 3 composantes qu'il faut calculer séparément. plutôt que de calculer les 3 composantes de E , il peut être plus facile de rechercher la puis de calculer simplement son module ; ceci est possible du fait que le champ E "a la symétrie" de la distribution de charge^.

IV. Lignes et tube de champ

- Lignes de champ : Une ligne de champ est une courbe tangente au champ électrostatique.

Equation des lignes de champ : si dl est un élément d’une ligne de champ, on a :

 - Tube de champ : La surface formée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé s’appelle tube de champ.

V. Théorème de Gauss

 V.1 Flux du champ électrique.

Considérons un élément de surface dS traversé par un champ  . Par définition le flux élémentaire est donné par :

φ =  .                          =  . ^r

d           E dS         E ndS  

V.2 Flux du champ E créé par une charge ponctuelle

 V.2.1 à travers un élément de surface

φ = . = .^r = × × cosθ d E dS E ndS E dS

Par définition,                                                           est l’angle solide dΩ sous lequel, depuis le point O, on voit la surface dS. D’où :

dφ = _4πε^q₀   dΩ

Remarque :

- Si dS appartient à une surface S fermé, n est orienté vers l’extérieur de la surface S, le flux de E est appelé flux sortant.

V.2.2 Flux du champ E à travers une surface fermée

•      Cas ou la charge q est à l’intérieur à la surface

Comme la surface est fermée, n est orienté vers l’extérieur, et le flux de E crée par la charge q placé en O est un flux sortant. On a :

dφ = _4πε^q₀  dΩ

φ = _∫∫dφ = _∫∫ ^q                dΩ =         ^q        Ω

4πε0                              4πε0

S                            S

Ω est l’angle solide, sous lequel de O, on voit la surface S. Ω = ⁴π ^stéradians

Cas où la charge q est à l’extérieure de la surface

La charge q est à l'extérieur de la surface fermée S. Le même angle solide d Ω de sommet O, découpe sur S deux éléments de surface dS et dS' , dont les normales, toutes deux orientées vers l'extérieur de la surface fermée S, sont d φ ^'

Le flux total du champ  dû à q en O est : dØ + dØ' = O

Pour l'ensemble des couples d'éléments associés (dS, dS') constituant la surface S on a des flux élémentaires qui s’annulent deux à deux. Donc, au total, le flux de  à travers S est nul.

Résultat : Enoncé du théorème de Gauss

Considérons un ensemble de charges (ponctuelles ou non ) et une surface fermée S. Les charges q_ext, situées à l’extérieur de S, créent un champ électrostatique dont le flux à travers S est nul. Les charges q_int, à l’intérieur de S, créent un champ dont le flux est égal à

D’une manière générale, on écrit :

Application du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet le calcul du champ E plus rapidement que la méthode directe. Pour cela Il faut :

-  déterminer la symétrie de la distribution de charge,

-  choisir une surface fermée,

-  calculer le flux à travers la surface fermée,

-  appliquer le théorème de Gauss et en déduire le champ E .

V.3 Expression locale du théorème de Gauss

Green Ostrogradsky,

-      Somme des charges : ^∑qint  = ^∫∫∫ρ.dv

VI. Symétries de distributions de charges : Règles de symétrie

Symétrie plane Une distribution est symétrique par rapport à un plan P, si pour

deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge vérifie : ρ(M) = ρ(M') .

Dans ce cas le champ électrostatique E   est parallèle au plan P.

Antisymétrie plane Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan P, sipour deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge

vérifie : ρ(M) = − ρ(M' ) .

Dans ce cas le champ électrostatique E est perpendiculaire au plan P.

Invariance par translation Si la distribution de charge est invariante dans toutetranslation parallèle à Oz alors le champ électrostatique E ne dépend pas de z (il dépend des autres coordonnées).

Exemples :

-          Champ créé par un fil infini d’axe Oz,

-          Champ créé par un cylindre infini d’axe Oz

Invariance par rotation Si la distribution de charge est invariante dans toute rotation θ autour de Oz alors le champ E ne dépend pas de θ. L’axe Oz est un axe de symétrie (axe de révolution).Tout plan contenant cet axe est un plan desymétrie. E est porté par l’axe de symétrie.

Symétrie cylindrique Dans une symétrie cylindrique, la distribution de chargesest invariante dans toute translation parallèle à Oz et dans toute rotation θ autour de Oz.

En coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) le champ électrostatique E est parallèle à e_ρ ne dépend que de ρ : E = E(ρ)e_ρ

Symétrie sphérique

La distribution de charges a symétrie sphérique est invariante par rotation autour de tous les axes passant par un point O de la distribution : O est alors un centre de symétrie.

En coordonnées sphériques (r,θ,ϕ), le champ électrostatique E est radial et ne dépend que de r : ^r =                                        ^r E     E(r)e_r

Remarque : Le centre de symétrie O est l’intersection de tous les plans de r symétrie : le champ E est nul en O.

Exemples d’application du théorème de Gauss

Exemple 1:Calcul deEcréé parune sphère chargée, en un point M.- Etude de la symétrie : une sphère chargée uniformément présente une symétrie sphérique, E est radial est ne dépend que de r.

- Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface d’une sphère de centre O et de rayon r = OM
…

Remarque : le champ est continu à la traversée de la surface de la sphère chargée en volume : E(r = R ⁻ ) = E(r = R ⁺ ) .

Exemple 2:Calcul deEcréé parune couche de chargescomprise entredeux sphères concentriques.

- La distribution présente la symétrie sphérique

…

E est radial est ne dépend que de r.

- Surface de Gauss : On choisit la surface S de la sphère de centre O et de rayon r = OM

- Calcul du flux : φ^(E) = _∫∫ E.dS = _∫∫ E.dS = E_∫∫dS = E.S = E.4πr²

- Théorème de Gauss : φ(E) = E.4πr²

…

en R₁ et en R₂ il y’a continuité du champ E .

Remarque :

Si on néglige l’épaisseur de la couche de charges, elle devient chargée en surface :

Dans ce cas E présente une discontinuité qui vient du fait que l’on néglige l’épaisseur de la couche.

Exemple 3: Calcul de Exemple 4: Calcul de Exemple 5: Calcul de

E créé par une sphère chargée en surface.

E créé par un cylindre infini chargé en volume.

E créé par un plan chargé de dimensions infinies.

I. Circulation du champ électrostatique

I.1 Définition

I.2 Conservation de la circulation du champ électrostatique

La circulation élémentaire d’un champ E créé par une charge ponctuelle q est:

La circulation de A à B sur la courbe Γ est donc :

Cette circulation ne dépend pas du chemin Γ pour aller de A à B : la circulation se conserve lorsque nous passons d’un chemin Γ à un chemin Γ ’ reliant les points A et B : la circulation du champ est conservative.

On peut donc identifier le champ E à champ de gradient :

II. Potentiel crée par une charge ponctuelle

une charge ponctuelle qi placé en O, crée à la distance r le potentiel scalaire V donné par :

• C'est un champ scalaire . Il est défini par les relations suivantes :

E = −grad V ,          V_A  − V_B  = _∫ E.dl

Remarques :

o Le potentiel V est défini à une constante près. Lorsqu’il n’y a pas de charges à l’infini, on choisit la constante nulle, c.à.d que l’action des charges tend vers zéro lorsque r tend vers l’infini.

o Physiquement, c’est la différence de potentiel entre deux points qui a un sens et qui est mesurable.

o         V croît des charges - aux charges + (sens de croissance de V opposé à  )

o     Les surfaces de potentiel constant sont appelées équipotentielles

o  V est un scalaire exprimé en Volt (V)

o Les champs et les potentiels électriques ont été exprimés dans le cas où les charges sont dans le vide. On a utilisé la constante

ε₀ par ε       ; donc la constante

4 πε₀   change de valeur mais la structure des formules reste la même.

III. Potentiel crée par un ensemble de charges ponctuelles

Le potentiel électrostatique crée en M par un ensemble de charges q₁, q₂, …. q_n est la somme des potentiels crée par chacune des charges au point M :

IV. Potentiel crée par une distribution continue de charges

On passe des charges ponctuelles à la distribution continue de charges en changeant ^∑ qi  :

- par _∫ ^λ._r^dl pour un fil chargé Æ       ^V =_4πε¹₀  ∫ ^λ._r^dl + cte ,

V. Surfaces équipotentielles et lignes de champ

V.1 surfaces équipotentielles

C’est l’ensemble des points M pour lesquels : V(x,y,z) = cte

V.2 Lignes de champs

Ce sont des lignes tangentes en tout point au champ E .

Considérons deux point M et M’ d’une surface équipotentielle : on a, MM' = d l

Æ E est normale à la surface équipotentielle.

Conclusion : les lignes de champ sont normales aux surfaces équipotentielles.

Exemple : Surfaces équipotentielles et ligne de champ dans le cas d’une charge ponctuelle :

- Surfaces équipotentielles :

Lignes de champ

VI. Travail de la force électrostatique

Le travail élémentaire de la force F = q.E lors d’un déplacement élémentaire d l de la charge q est :

r                        r

δW = F.d l = qE.dl = −q. gradV .dl = −qdV = −d(qV)

Lorsque la charge se déplace de A à B, le travail total est :

W_AB  = _∫A^B δW = −q_∫A^BdV = −q(V _B − V_A )

VII. Energie potentielle d’interaction électrostatique

VII.1 Energie potentielle d’interaction de deux charges ponctuelles

Le travail de la force électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, elle dérive donc d’une énergie potentielle W_p telle que :

F = q.E = −gradW_p , et puisque E = -gradV on en déduit : W_p  = q.V

W_p est l’énergie potentielle électrostatique, elle sera noté E_e.

Ainsi pour une charge q₁ placé en M₁ sous l’action du potentiel V₂(M₁) créé par une autre charge q₂, l’énergie électrostatique est :

VII.2 Energie potentielle électrostatique de n charges ponctuelles

Pour une charge q_i placé en M_i sous l’action du potentielle V_i créé en M_i par toute les charges sauf q_i, son energie électrostatique sera q_iV_i. Pour l’ensemble des charges, l’énergie électrostatique sera : ^Ee

VII.3 Energie potentielle d’une distribution continue de charges

On se ramène à un ensemble de charges ponctuelles en divisant la charge totale en charges élémentaires dq :

V étant le potentiel créé par toutes les charges de la distribution au point où se trouve la charge élémentaire dq.