Cours electricite 1er annee
Cours electricite 1er année
Chapitre IV
I. Définitions
Dipôle électrostatique = ensemble de deux charges électriques ponctuelles opposés + q et – q, séparées par une distance a très petite par rapport à la distance r au point M où l’on observe leurs effets.
Moment dipolaire :
r =
C’est le vecteur : p q.AB dirigé de –q vers +q.
Dans SI, p s’exprime en C.m. Cette unité étant très grande on utilise le debye(D) :
1D = 13 .10−19 C.m
Exemple de dipôle : molécule polaire : H2O
II. Potentiel créé par un dipôle
Le point M où l’on veut calculer le potentiel est repéré par ses coordonnées polaires : r=OM, θ=(Ox,OM). On suppose r >> a=AB, O étant le milieu de AB.
Le potentiel V créé en M par le dipôle est :
V = 4πε0 AM + 4πε |
0 BM = 4πε0 |
( BM − |
AM ) |
a² |
|
or : BM² = (BO + OM)² = (OM − OB)² = OM² + OB² − 2OB.OM cos θ = r² + |
− a.r.cos θ |
|
r >> a d’où a/r << 1, on peut utiliser le développement limité au 1er ordre de la forme (1+x)n ou (1-x)n :
q |
a |
a |
|||||||
On obtient : |
V = |
1 |
+ |
cos θ |
− 1 |
− |
|||
2r |
2r |
||||||||
4πε0 r |
Où encore : V = q.a.cos θ4πε0 r² |
= |
p.r |
avec r = OM |
4πε0 r3 |
Pour θ = π/2, V=0 pour tous les points du plan médiateur de AB. Ce plan est une surface équipotentielle.
III. Champ électrostatique créé par un dipôle
Comme V ne dépend que de r et de θ, seules les composantes Er et Eθ de
…
Æ pour M éloigné, E et V créés par le dipôle seront négligeable / à E et V créés par des charges situées à proximité du dipôle.
IV .Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle IV.1 Lignes de champ
Par définition, un élément dl de ligne de champ est tangent à E . On a :
E |
r |
dr |
r |
r |
r |
r |
r |
dr |
E |
||||||
r |
r |
r |
|||||||||||||
E |
, |
d l |
, E et d l |
tan gents → E^ d l |
= 0, donc : rdθ.Er |
− dr.Eθ = 0 → |
= |
dθ |
soit : |
dr |
= 2 |
cos θ |
dθ → Lnr = 2.Ln |
sin θ |
+ Lnk → r = k.sin ²θ |
|
r |
IV.2 Surfaces équipotentielles
Ensemble des points pour lesquels V = cte. Soit :
V = p.cos θ = cte → r² = k' cos θ 4πε0 r²
Ce sont des surfaces de révolution autour de Ox.
V. Energie du dipôle
V.1 Energie interne du dipôle
Axe du dipôle
Surface équipotentielle Ligne de champ
C’est l’énergie contenu dans le dipôle, c’est à dire dans les deux charges – q et +q situées à la distance a l’une de l’autre. Elle correspond à l’énergie nécessaire pour amener une charge de l’infini à une distance a de l’autre charge.
Supposons – q en A et amenons +q de l’infini à B. Le travail mis en jeu est :
r r |
q² |
||
dT = −F.d l |
= − |
(−dr) , car r décroit Æ dl<0 et dT < 0 |
|
4πε0 r² |
dT correspond à la variation de l’énergie interne du dipôle. L’énergie du dipôle est alors :
r r |
a |
q² |
−q² |
||
W0 =T =∫−F.dl |
=∫ |
drr² = |
=Wf −Wi <0 |
||
4πε0 |
4πε0 a |
V.2 Energie du dipôle placé dans un champ E
C’est l’énergie nécessaire pour amener +q et –q de l’infini à leur position en B et A. On a : T = q ( Vfinal - Vinitial )
- pour (-q) on a : T∞→ A = (−q )(VA −0 )
- pour (+q) on a : T∞→B = (+q )(VB −0 )
= −qVA
= + qVB
donc : W = q.VB – q.VA = q ( VB – VA)
Or : dV = gradV.dl → − dV = E.dl
B |
B r |
r |
B |
B |
r r |
VA − VB = ∫− dV = ∫E.dl |
= ∫E.dl.cos α = E.cos α.∫dl = E.cos α. a = E.AB |
||||
A |
A |
A |
A |
||
D’où : |
Wdipôle |
= q (VB − VA |
) = −q. E. AB = −p . E |
IV.3 Mouvement du dipôle dans un champ E uniforme
Le dipôle est soumis à un couple de forces :
Même intensité, directions différentes et sens opposés. |
||
Ce couple est caractérisé par son moment Γ . |
A |
|
FA |
-q |
Γ = OA^FA + OB^FB = OA^−q.E + OB^q.E = ( OB −OA) ^ q.E =AB ^ q.E = q.AB ^ E
donc :
r |
r |
^ |
r |
Γ = |
p |
E |
Equilibre du dipôle : |
|||
r |
r |
→ p.E.sinα = 0 |
→ sinα = 0 |
dipôle en équilibre → Γ = 0 |
α = 0 : équilibre stable du dipôle ;
α = π : équilibre instable du dipôle ;
Le couple tend à orienter le dipôle de façon que p ait la même direction et le même sens que E.
Application : Matérialisation des lignes de champ : les particules qui sont des dipôles (par exemple les grains de semoule), plongé dans E, s’orientent en dessinant les lignes de champ.
1ère partie
Equilibre électrostatique des
Chapitre V conducteurs chargés
I. Définitions
I.1 Définition d’un conducteur
C’est un milieu dont les porteurs de charges libres peuvent se mettre en mouvement sous l’action d’une force .
I.2 Définition d’un conducteur en équilibre
Un conducteur est dit en équilibre, si toutes ses charges libres sont immobiles.
II. Propriétés d’un conducteur en équilibre
- Le champ électrostatique : Le Champ intérieur est nul Eint =0 , en effet toute
r |
r |
r |
F |
r |
|
charge q est au repos, donc : F = 0 |
→ |
E = |
q |
= 0 , |
|
- Le potentiel est constant V = cte : |
E = −gradV = 0 → V = cte |
- La distribution des charges électriques ne peut être que surfacique : Considérons un conducteur chargé en équilibre. Appliquons le théorème de
Gauss en un point M du conducteur : divE = |
, |
puisque E = 0 |
→ ρ = 0 |
||
ε |
Donc la charge du conducteur ne peut être que surfacique, avec une densité σ.
III. Champ au voisinage d’un conducteur en équilibre
III.1 Théorème de Coulomb
Soit un conducteur en équilibre chargé avec une densité σ.
M un point très près de la surface du conducteur.
Constituons une surface fermée S formée par : S1, S2 et S3.
Appliquons le théorème de Gauss :
...
n étant le vecteur unitaire normal à la surface.
III.2 Pouvoir des pointes
E |
S |
S |
|
1 |
|||
2 |
|||
E = 0 |
|||
S |
|||
3 |
Conducteur en équilibre
Théorème de Coulomb
L’expérience montre que la densité de charge σ varie en sens inverse du rayon de courbure R de la surface du conducteur.
Si le conducteur présente une pointe, R est faible donc σ élevé, d’où E= σ/ε0 sera intense et provoquera, au voisinage de la pointe, l’ionisation de l’air qui déchargera la pointe.
Il est donc impossible de conserver la charge d’un conducteur muni de pointes.
Application : paratonnère.
III.3 Pression électrostatique
Soit dS un élément de surface d’un conducteur en équilibre. Cherchons la force dF appliquée à la charge dq portée par dS :
dF = E1.dq = E1 σ.dS, E1 champ crée par Q- σdS
E2 : champ crée par σ dS : puisque dS est circulaire le champ crée par un disque circulaire en un point très voisin de la surface est : E2 = σ/2.ε0 (série 1, Ex 5) Champ total : E= E1 + E2 Æ E1= E - E2 = σ/ ε0 - σ/2ε0 = σ/2ε0
r |
σ².dS |
r |
||||||
Donc : dF = σ/2ε0 . σ.dS = σ²/2ε0 .dS |
Æ |
dF = |
2ε |
.n |
||||
On définit la pression électrostatique en un point du conducteur par :
p = |
dF |
= |
σ² |
|
dS |
2ε0 |
IV. Capacité d’un conducteur en équilibre
Lorsqu’un conducteur en équilibre est seul dans l’espace, sa charge est proportionnelle à son potentiel. Le coefficient de proportionnalité noté C est
c = Q
appelé capacité du condensateur. V
La capacité C caractérise le conducteur, elle dépend de la forme et des dimensions géométrique du conducteur.
Unités :
Dans le SI , C s’exprime en Farad : le Farad est une unité très grande on utilise plutôt des sous multiple :
le microfarad: 1µF = 10-6 F, le nanofarad: 1nF = 10-9 F, le picofarad: 1pF = 10-12 F Exemple :
Expression de la capacité d’une sphère conductrice de centre O et de rayon R : Considérons une sphère conductrice en équilibre portant une charge totale Q. Q est réparti sur la surface avec une densité constante σ.
Le potentiel est constant à l’intérieur et sur la surface de la sphère. Calculons V au centre de la sphère :
V = 4πε10 |
∫∫ σ .RdS = 4πR1ε0 |
∫∫σ .dS = 4πε0 R |
→ C = V = 4πε0 R |
I. Phénomène d’influence
I.1 Influence subie par un conducteur isolé
B un conducteur isolé ne porte aucune charge : Q = 0, V = 0, |
r |
r |
E = 0 . |
On approche de B un corps A chargé positivement.
- action de A sur B => B influencé par A : des charges - apparaissent sur la partie de B proche de A et des charges + sur la partie la plus éloignée.
- modification de la répartition des charges sur la surface de B,
- B étant isolé Æ sa charge reste constante égale à sa valeur initiale.
Conclusion : le phénomène d’influence ne modifie pas la charge totale d’un conducteur isolé, mais modifie uniquement la répartition de cette charge sur sa surface et donc son potentiel.
Remarque : si le conducteur B était initialement chargé, il conserve la même charge mais la répartition en surface est modifiée.
I.2 Influence subie par un conducteur maintenu à un potentiel constant
Le conducteur B est relié à un générateur qui maintient son potentiel constant ou bien à la terre dont le potentiel est nul.
Lorsqu’on approche de B le corps A chargé positivement, il apparaît que des charges – sur B, alors qu’il y’a déplacement des charges + vers la terre (c .à.d déplacement des e- de la Terre vers B).
A |
B |
V=0 |
Conclusion : Dans ce cas, le phénomène d’influence ne modifie pas le potentiel du conducteur, mais modifie sa charge totale et la répartition de cette charge.
I.3 L'influence totale.
L’influence totale apparaît lorsque le conducteur influencé B entoure le conducteur influençant A. On a le phénomène suivant :
- Il apparaît, par influence totale, une charge Q' = - Q sur la surface intérieure de B.
- La charge de la face extérieure de B dépend de sa charge initiale, et de son état (isolé ou maintenu à V constant). On distingue 3 cas :
1èr cas : B isolé et initialement neutre. Puisque la charge totale doit rester nulle, il apparaît sur la face externe la charge +Q
2ème cas : B isolé et porte initialement une charge Q’ Æ il apparaît sur sa face externe la charge Q + Q’
3ème cas : B relié au sol Æ aucune charge sur sa face externe.
II. Capacités et coefficients d’influence d’un système de conducteurs en équilibre électrostatique
Considérons n conducteurs portés aux potentiels V1, V2,…. Vn ; et portant les charges Q1, Q2,…. Qn. On montre que les charges Q1, Q2,…. Qn sont des fonctions linéaires des potentiels des conducteurs :
Q1 = C11V1+ C12V2 +…. C1nVn ,
Q2 = C21V2+ C22V2 +…. C2nVn ………. Qn = Cn1V1+ Cn2V2 +…. CnnVn
Les coefficients Cij sont les coefficients d’influences entre conducteurs :
Cij = Cji < 0, les coefficients Cii sont les capacités des conducteurs en présence des autres conducteurs : Cii >0.
Remarque : La capacité Cii du conducteur i en présence des autres conducteurs est différente de sa capacité Ci lorsqu’il est seul.
III. Les condensateurs
III.1 Définitions
- Un condensateur est formé de deuxconducteurs en influence totale. Les deux conducteurs sont appelés armatures du condensateur.
- On appelle charge du condensateur, la charge Q de son armature interne.
Soient V1 et V2 les potentiels respectifs des des armatures interne et externe.
Le rapport C = |
Q |
est appelé capacité du condensateur. |
|
V − V |
|||
1 |
2 |
Représentation symbolique :
III.2 Calcul de capacités a / Méthode générale
- On calcul le champ E entre les armatures (en utilisant le théorème de Gauss),
- On calcul la circulation du champ d’une armature à l’autre, V1 − V2 = ∫1 |
E.dl |
||||
- Connaissant la charge |
Q = ∫∫σ .dS, on calcul C = |
Q |
|||
V1 −V2 |
|||||
b / Le condensateur plan
Il est constitué de deux plans infinis portés aux potentiels V1 et V2 et distant de e.
Entre les armatures E est uniforme : E = |
n , |
|||||||||||
ε 0 |
||||||||||||
Calculons la circulation de E : |
||||||||||||
A 2 |
r |
r |
V 2 |
|||||||||
∫A1 |
E.dl = ∫− dV → E.e = V1 −V2 → E = V1 −eV2 |
|||||||||||
D’autre part une portion du conducteur de surface S porte la charge Q = σ.S
donc : |
E = |
σ |
Q |
V1 −V2 |
→ C |
Q |
S |
||||||||
ε 0 |
= |
ε 0 S |
= |
e |
= V1 −V2 = ε0 |
. e |
Pour augmenter C il faut remplacer le vide par de la matière, c'est-à-dire ε0 par ε0 εr.
C / Les condensateurs cylindrique et sphérique
- Condensateur cylindrique :
-On calcul d’abord le champ électrostatique entre les armatures : E =
- On calcul la d.d.p entre les armatures :
V1 − V2
On en déduit :
= Q Ln R 2
2πε0 h R1
C = 2πε0 h
Ln R 2 R1
- Condensateur sphérique
Dans ce cas on trouve : C = 4πε R1R 2
0 R 2 − R1
III.3 Groupements de condensateurs
Un condensateur est caractérisé par sa capacité et la d.d.p qu’il peut supporter. Objectif du groupement de condensateurs :
- avoir un condensateur capable de supporter les d.d.p élevées,
- ou avoir un condensateur de capacité très grande,
- Groupement en série.
- Dans ce groupement tous les condensateurs portent la même charge Q,
• La d.d.p entre A et B est la somme des Vi : VA - VB = V1 + V2 + V3
• Le Condensateur équivalent aura la même charge Q sous la d.d.p V de l'ensemble en série. Sa capacité Ce est donnée par :
V |
A |
− V |
B |
= |
Q |
= V |
+ V |
2 |
+ V |
3 |
= |
Q |
+ |
Q |
+ |
Q |
→ |
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|||||
Ce |
1 |
C1 |
C2 |
C3 |
Ce C1 |
C2 C3 |
|||||||||||||||||||||||
Ce groupement permet de diviser la d.d.p totale en fractions supportables par chaque élément .
- Groupement en parallèle.
- Dans ce groupement tous les condensateurs ont la même d.d.p V à leur bornes.
• Le Condensateur équivalent aura la charge Q = Q1 + Q2 + Q3 sous la d.d.p V. Sa capacité Ce est donnée par :
Q = Ce .V = Q1 + Q2 + Q3 = C1 .V + C2 .V + C3 .V = (C1 + C2 + C3 ).V → C = C1 + C2 + C3
Pour un groupement en parallèle de n condensateurs, la capacité du condensateur équivalent sera : C = ∑Ci
i=1
III.4 Condensateur avec dielectrique
En réalité entre les armatures d’un condensateur il y’a un isolant (solide, liquide ou l’air). L’expérience montre que l’utilisation de l’isolant permet d’augmenter la capacité du condensateur :C = εr C0 ,
ou C est la capacité du condensateur avec un isolant entre les armatures, et C0 sa capacité lorsqu’il n’ y a rien entre les armatures « du vide »,
εr sans unité, est la permittivité relative de l’isolant ou constante diélectrique, elle ne dépend que de la nature de l’isolant.
εr = ε0 εr est la permittivité absolue de l’isolant, ε0 est la permittivité absolue du vide.
Exemples : Valeurs de εr pour quelques isolants :
Verres : εr de 4 à 7, |
mica : εr = 8, |
air : εr = 1,00058 |