Cours d’electricite generale : circuits en regimes variables
Cours d’électricité générale :circuits en regimes variables
I) Grandeurs continues et grandeurs variables
I.1) Définition
une grandeur continue est constante par rapport au temps alors qu’une grandeur variable peut changer de valeur à chaque instant.
- La grandeur variable sera représentée sur l'ordonnée d'un graphique dont l'abscisse est le temps.
- Les unités, les échelles et les graduations doiventêtre précisées pour pouvoir exploiter l'enregistrement.
Notations :
- Une grandeur continue ou constante est notée avec un nom en majuscule. Par exemple : U5, ɵI sortie …
- Une grandeur variable est notée avec un nom en minuscule suivi de parenthèses et de la grandeur par rapport à laquelle elle varie. Par exe mple u5(t), isortie(t)…. Pour alléger la notation et lorsqu’il est évident que la grandeur est variable par rapport au temps on la notera simplement avec son nom en minuscule. Par exemple u5, isortie…
· La valeur de la grandeur i(t) à un instant t est notée i(t). Par exemple
0 0
isortie(1.10-3) = 1,5 mA
I.2) Variation
La variation d’une grandeur y(t) entre deux points de la courbe à l’instant t 1 et à l’instant t 2 est : y = y(t2) – y(t 1) = y2 – y
| isort ie(t) | B | ||
| 2 A | i2 | ||
| A | i | ||
| 1 A | t | i1 | |
| 1 | t1 | t2 | t (ms) |
Sur cet exemple on peut calculer les variations de temps et de la grandeur i entre les points A et B :
- t = t2 – t 1 = 4.10-3 – 2.10 -3 = 2.10-3 s
- i = i2 – i 1 = 2 – 1 = 1 A
I.3) Taux de variation
Le taux de variation d’une grandeur y(t) entre deux points de la courbe à l’instant t 1 et à l’instant t 2 est : y2 -y1 =Dy
t2 - t1 Dt
Ce taux permet de préciser jusqu’à quel point la grandeur observée est croissante, décroissante ou sielle est constante pendant un intervalle de temps.
| Dans l’exemple précédent : | 2 -1 | = 500A / s | Le taux de variation est de 500A/s. |
| 4.10-3 - 2.10-3 |
La grandeur augmente de 500A par seconde en moyenne sur l’intervalle [t 1 ; t2].
Remarques :
· Le taux de variation d’une grandeur constante y(t) est nul (car y = 0).
- Le taux de variation d’une grandeur linéaire (droite) est constant et correspond au coefficient directeur ou à la pente de la droite.
v(t)
Une grandeur faiblement variable dans le temps (taux de variation faible) est souvent considérée comme étant une grandeur constante. Tout dépend del’échelle d’observation de la grandeur.
r(t)
r(t)
1,1
I.4) Notion de dérivée en un point
La dérivée représente le taux de variation instantané de la grandeur en un point. C’est aussi le coefficient directeur de la tangente en ce point. On l’obtient en calculant le taux de variation avec deux points très proches par rapport à l’échelle d’observation de la grandeur. Pour une grandeur y(t) la dérivée
en t1 est notée dydt t
| w(t) | A | A2 |
| 2 | A1 | w |
| A | ||
| 1 | t | |
| t1 | t (ms) |
II) électrocinétique
Rappels :
| · | - |
| Le courant électrique dans un circuit est constituépar un déplacement d’ensemble d’électrons (e). |
- Le courant électrique circule du potentiel (tension) le plus élevé vers le potentiel le moins élevé.
- Le principe de conservation de la charge implique que les composants électriques ne peuvent accumuler des charges électriques ni en générer spontanément.
II.1) Courant et loi des nœuds
II.1.a) Nature microscopique du courant électrique
Le courant électrique est un mouvement d'ensemble de porteurs de charges électriques.
La charge élémentaire exprimée en Coulomb est : e 1,6=.10-19 C.
-19
Un électron transporte la charge : - e donc -1,6.10C.
II.1.b) Intensité du courant électrique
Pendant la durée t, N charges transportent la quantité d'électricité: Q = N.e.
L'intensité du courant électrique est définie par relation :
| DQ | I en Ampères (A) | |
| I= Dt | ||
| DQ en Coulombs (C) | ||
| Dt en secondes (s) | ||
| Q(t) | I(t) | |
Ordre de grandeurs :
- Electronique (circuits intégrés, transistors …) : nA (10-9A), mA (10-6A), mA (10-3A).
- Electronique de puissance (alimentations, amplificateurs …) : 1A à 1 kA (10 3A).
- Electrotechnique (moteurs, centrales …) : 10A à 10 4A.
II.1.c) Loi des noeuds
Par convention le courant circule de la borne positive (potentiel le plus élevé) vers la borne négative (potentiel le moins élevé) d'un générateur.
La mesure du courant électrique se fait avec unampèremètreque l'on branche en sériedans le circuit. Il doit être traverséintégralementpar le courant qu’il mesure, conformément au schéma ci-dessous :
Courant à mesurer
Ampèremètre
I I
A
+COM
Récepteur quelconque
Sortie « - » ou « COM » ou borne noire
Entrée « +» ou borne rouge
Remarque : Le principe de conservation de la charge impose que l’intensité i du courant avant et après un dipôle est la même.
Un nœud est une connexion qui relie au moins trois fils. D’après le principe de conservation de la charge pour un nœud, on déduit :
Loi des nœuds : La somme des intensités des courants qui arrivent au nœud est égale à la somme des intensités des courants qui sortent du nœud.
| Dans l'exemple ci-contre, la loi des nœuds donne la relation : i1 + i2 = i3 + i4. | i2 | ||
| i1 | i3 |
Remarque : L’application du principe de conservation de la charge est valable pour tout composant électronique ou même pour une portion de circuit.
Pour le transistor bipolaire, par exemple, on a la relation : iE = iB + iC.
iB B C
II.2) Tension et loi des mailles
II.2.a) Introduction au potentiel électrique. Analogie mécanique
La bille ne peut se déplacer que si le plan est incliné : plus l’inclinaison (ou la hauteur h) est grande plus la bille prendra de la vitesse rapidement. De mêmeun courant électrique ne peut exister que si il existe une différence de tension. Plus cette différence depotentiel sera élevée plus l’intensité du courantpourra être grande.
- La tension ou force électromotrice (FEM) ou différence de potentiel s’exprime en volt (V)
- La circulation du courant électrique entre deux points ne peut se faire que du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé.
II.2.b) La tension électrique
Définition: La tension électrique aux bornes d'un circuit estla différence de potentiel entre ses deuxbornes.
| On notera uAB la tension égale à vA - vB. Cette tension sera symbolisée par une flèche dont la pointe est en A et le talon en B (upointe talon). La mesure de | uAB = vA - vB | ||||
| uAB | |||||
| la tension électrique u se fait avec un voltmètre que l'on branche en AB | A | B | |||
| parallèle dans le circuit. La borne "+" du voltmètre est relié au point A et la | |||||
| borne "COM" est reliée au point B. conformément auschéma ci-contre : | |||||
+VCOM
Remarque :
Un fil de liaison a tous ses points au même potentiel. La tension à ses bornes est donc 0V. Ordres de grandeur :
- Electronique (circuits intégrés, transistors …) : mV (10-6V), mV (10-3V) et V.
| - | Electronique de puissance (alimentations, amplificateurs …) : 1V à 1 kV (10 3V). |
| - | Electrotechnique (moteurs, centrales …) : 100V à 4 00kV. |
II.2.c) Lois relatives à la tension
Loi d'additivité :
…
II.3) Résistance et loi d’Ohm
II.3.a) Convention générateur et convention récepteur
Pour un dipôle récepteur, il sera judicieux d'adopter la convention récepteur (flèches deu et i indiquant un sens contraire).
II.3.b) Enoncé de la loi
La loi d'Ohm pour un conducteur ohmique de résistance Rou résistor linéaire, avec la convention récepteur est :
Résistance
Ohm ([1])
u = R iou
Conductance
Siémens (S ou[1]-1)
| i = G u | avec | G = 1 |
| R |
| Ampère (A) | Ampère (A) | Volt (V) |
| Volt (V) |
En convention générateur on aura u = -R i ou i = G- u .
II.3.c) Association série et parallèle
Définition: Des dipôles sont en série lorsqu'ils sont traversés par le même courant.Exemple : associons trois résistances en série et cherchons la résistance équivalente.
Donc RS = R1 + R2 + R3 .
Loi : Dans une association de résistors en série, la résistance équivalente est égale à la somme des
| résistances. Si N est le nombre des résistors, on a : | RS = R1 + R2 + R3 + … + RN |
Remarque : Pour N résistors identiques R : R = N R.
Définition: Des dipôles sont en parallèle lorsqu'ils sont soumis à la même tension.Exemple : associons trois résistances en parallèle et cherchons la résistance équivalente.
Loi : Dans une association de résistors en parallèle,la conductance équivalente est égale à la somme des
| conductances. Si N est le nombre des résistors, ona : | GS = G1 + G2 + G3 + … + G N | . | ||
| Remarques : |
- Lors d'une association en parallèle, la résistanceRP est plus petite que la plus petite des résistances.
| · | Pour N résistors identiques en parallèle on a GP = N G ou R P | = | R | . | |||||
| N | |||||||||
| · | Pour deux résistors R1 et R2 en parallèle, on a R P | = | R1 R 2 | = | Pr oduit | . | |||
| R1 + R 2 | |||||||||
Attention : La formule précédente (produit / somme) est valable uniquement pour deux
résistances.
| R P = | R1R 2R3 | FAUX | ||
| R1 | + R 2 | + R3 | ||
II.4) Diviseur de tension et diviseur de courant
Définition: on est en présence d'un diviseur de tension chaque fois que des résistors sont branchés en sériec'est-à-dire traversés par le même courant.
Définition: on est en présence d'un diviseur de courant chaque fois que des résistors sont branchés enparallèle c'est-à-dire soumis à la même tension.
III) Dipôle actif
La caractéristique u = f(i) ou i = f(u) d'un dipôle actif ne passe pas par l'origine des axes.
De plus, il peut fournir de l'énergie électrique.
Remarque :
Générateur
- Si i = 0 (circuit ouvert) on a u = U0 ¹ 0, c'est la tension à vide des piles par exemple.
- Si u = 0 (court-circuit) on a i = ICC ¹ 0, c'est le courant de court-circuit qui peut êtretrès élevé dans le cas d'une batterie.
Un dipôle actif générateur transforme une puissanced'origine non électrique en une puissance électrique avec un certain rendement (puissance perdue en chaleur par exemple)
Un dipôle actif récepteur transforme une puissance électrique en puissance non électrique (recharge d'une batterie, dynamo utilisée en moteur).
III.1) Modèles électriques équivalents
III.1.a) I) Sources de tension et de courant parfaits
| Source de tension parfaite : La tension U0à ses bornes est constante quel que soit la valeur du courant délivré I. | On la note : |
| Source de courant parfaite I0: L’intensité du courant I0 | On la note : |
| délivrée est constante quel que soit la valeur deal tension U à ses bornes. |
III.1.b) Modèle équivalent de Thévenin M.E.T.
…
Remarque : Il suffit de la mesure de deux points de fonctionnement pour déterminer le M.E.T. Une mesure à vide donne directement U 0 et une seconde en charge. L’écart entre les deux mesures permet de
Du calculer Diet donc R0.
III.1.c) Modèle équivalent de Norton (M.E.N.)
| La relation u = U0 | – R 0 | i peut aussi s'écrirei = | U0 | - | 1 | u ⇒ i = I0 | - | 1 | u . |
| R 0 | R 0 | ||||||||
| R 0 | |||||||||
Un dipôle actif composé d'une source de courant I en parallèle avec une résistance R débitera un courant
Remarques :
- Il suffit de la mesure de deux points de fonctionnement pour déterminer le M.E.N. Une mesure en court circuit (si c’est possible) donne directement I0 et une seconde en charge. L’écart entre les
Du
deux mesures permet de calculer Diet donc R0.
· On peut aussi considérer la conductance interne G et dans ce cas : G = 1 / R ⇒ i = I – G u .
0 0 0 0 0
· Source parfaite de tension :
La résistance interne R est égale à 0[1] et la pente de la droite u = f(i) est nulle.
· Source parfaite de courant :
La résistance interne R est infinie (G = 0S) et la pente de la droite i = g(u) est nulle.
0 0
III.1.d) Equivalence entre les deux modèles
Les modèles de Thévenin et de Nortonsont équivalents .Pour passer d’un modèle à l’autre il suffit d’écrire que : U0= R0I0.
IV) Adaptation d’impédance
L’adaptation d’impédance concerne la transmission d’information ou le transfert de puissance entre deux systèmes. L’un se comporte comme une source et l’autre comme un récepteur. On peut donc modéliser cette liaison par le schéma suivant :
…
La source peut être remplacée par son générateur Thèveninde équivalent, de tension à vide u(t), de résistance interne r, et le récepteur par sa résistance d’entrée R.
Dans le cas de la transmission de l’information il est nécessaire que le récepteur soit attaqué par une tension v ou un courant i le plus élevé possible.
Adaptation en tension :
| v = | R | uv est maximal si R >> r |
| R + r |
si R ® ¥ alors v est maximal et v = u
Adaptation en courant :
| i = | u | i est maximal si R << r | |
| R + r | |||
si R ® 0 alors I est maximal et i = u r
Dans le cas de la transmission de puissance il est nécessaire que le récepteur reçoive la puissance P= v i la plus élevé possible.
Adaptation en puissance :
| P = v i = | Ruu | = | Ru2 | ||
| R + r R + r | ( R + r )2 | ||||
si R ® r alors P est maximale et P = ui 2
Remarque : La charge reçoit la même puissance que celle dissipée par la résistance interne du générateur.
V) Théorème de superposition
Remarque : éteindre un générateur revient à le remplacer par sa résistance interne.
Définition : L'intensité du courant circulant dans une branched'un circuit comportant plusieurs générateurs indépendants, est la somme des courantsdans cette branche lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant éteints.
Définition : La tension aux bornes d'un dipôle d'un circuit comportant plusieurs générateurs indépendants, est la somme des tensions aux bornesde ce dipôle lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant éteints.
…
VI) Dipôles réactifs
VI.1) Comportement de la capacité
Chargeons un condensateur de capacité C avec successivement les valeurs +I ; 0 et I (1mA ; 0 et –1mA). Les figures ci-contre représentent les chronogrammes de u(t) et i(t) :
i (mA)
…
| La tension u croît linéairement, le coefficient directeur de la droite est positif : | ||||||||||||||||||||
| DtC | ||||||||||||||||||||
· 300 < t < 600ms :
Du La tension u reste constante, le coefficient directeur de la droite est donc égal à zéro : Dt
= 0 = 0 .
- 600 < t < 900ms :
| La tension u décroît linéairement, le coefficient irecteurd de la droite est négatif : | D u = -I . |
| DtC |
Loi : La relation entre l'intensité du courant et la tension aux bornes d'un condensateur parfait est :
| i = C | Du | ou | i = C | du | . |
| Dt | dt |
Remarque : en régime sinusoïdal : u(t) = U2 sin(ωt) et i = du = U 2 ω cos(ωt) C dt
On observe l’apparition d’un déphasage entre u(t) et i(t) (voir régime sinusoïdal)
VI.2) Comportement de l’inductance
Appliquons les valeurs de tension +U ; 0 et -U (1V ; 0 et –1V) aux bornes d’une inductance L. Les figures ci-contre représentent les chronogrammes de u(t) et i(t) :
u (V)
- 0 < t < 300ms :
Le courant i croît linéairement, le coefficient directeur de la droite est positif :
D i = +U .
· 300 < t < 600ms :
Le courant i reste constante, le coefficient directeur de la droite est donc égal à zéro : Di = 0 = 0 . Dt L
- 600 < t < 900ms :
| Le courant i décroît linéairement, le coefficient irecteurd de la droite est négatif : | D i = -U . | |
| Dt | L | |
Loi : La relation entre l'intensité du courant et la tension aux bornes d'une bobine parfait est :
| Di | di | |||
| u = L Dt | ou | u = L | dt | . |
Remarque : en régime sinusoïdal (pour des raisons similaire au condensateur) on observe l’apparition d’un déphasage entre u(t) et i(t) (voir régime sinusoïdal)
VII) Puissance et énergie électrique
VII.1) Expression générale et mesure de la puissance électrique
Soit un dipôle D quelconque, traversé par un courant d'intensité et soumis à la tension u.
Avec la convention récepteur (schéma ci-dessous),al puissance instantanée reçue par D s'écrit :
| p = u.i | i | ||
| Watts | Ampères | u | D |
| Volts |
La puissance est une grandeur algébrique dont le signe dépend de la convention choisie. Avec la convention récepteur, le comportement du dipôle est le suivant :
· si p = ui > 0, alors le dipôle reçoit la puissance (récepteur)
- si p = ui < 0, alors le dipôle fournit la puissance (générateur).
Remarque : Lorsque la puissance absorbée fluctue, on considère la valeur moyenne de p(t) notée P = <p(t)>. Si la tension et le courant sont continus alors u(t) = U, i(t) = I et P = U I.
La puissance se mesure avec un Wattmètre (schéma ci-dessous). Cet appareil mesure à la fois la tension et le courant pour en déduire la puissance.